平面势流解读
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第七章 平面势流
平面不可压位流的基本方程 几种简单的二维位流 一些简单流动的迭加
平面不可压位流的基本方程
前一章介绍了流体运动所必须遵守的规律：质量方程及 欧拉方程。 这一章应该讨论怎样求解这些方程。 但是，要求得这些偏微分方程的解，是要满足一定边界 条件的，否则求出来的解没有实际意义。不过，飞行器的外 形都比较复杂，要在满足如此复杂的边界条件之下来求得这 些方程的解，实际上是办不到的。
达朗培尔疑题
达朗培尔（D’Alembert）18世纪法国著名数学家，他提 出，在理想不可压流中，任何一个封闭物体的绕流，其阻
力都是零。
这个结论不符合事实。这个矛盾多少耽误了一点流体 力学的发展，那时人们以为用无粘的位流去处理实际流动
是没有什么价值的。
后来才知道，这样撇开粘性来处理问题，是一种很有
2、直匀流加偶极子
只有当正源和负源的总强度等于零时，物形才是封闭的。设 直匀流 v 平行于x轴，由左向右流。再把一个轴线指向负x 的偶极子放在坐标原点处。这时，流动的位函数是：
x ( x, y ) v x M 2 r
流动是直匀流流过一个圆。圆的半径可以从驻点A的 坐标定出来。令：
1 , 2 ,..., n a11 a2 2 an n
不可压平面流必有流函数
vx y
无旋条件
vy x
v y
v x x y
也满足拉普拉斯方程
2 2 2 0 2 x y
几种简单的二维位流
1、直匀流
直匀流是一种速度不变的最简单的平行流动。其流速为
末这流动便只有υr，而没有v 。 设半径为r处的流速是υr，那末这个源的总流量是：
Q 2rv r
流量是常数，故流速υr与半径成反比：
Q 1 vr 2 rFra bibliotek 流函数的表达式是：
Q 或 2
Q y arctg 2 x
位函数从 vr 的式子积分得到：
Q ln r 2
3、偶极子
等强度的一个源和一个汇，放在x轴线上，源放在(-h,0)处，汇放在 (0,0)处。从源出来的流量都进入汇。
应用叠加原理，位函数和流函数如下
Q [ln ( x h) 2 y 2 ln x 2 y 2 ] 2 Q 1 2 2
其中
y 1 arctg xh
偶极子。等位线是一些圆心在x轴上的圆，且都过原点。
流函数的式子取h→0而 Qh M 保持不变的极限结果，是：
2
y M 2 x y2
流线也是一些圆，圆心都在y轴上，且都过源点O。两个 分速度的表达式是:
M ( y 2 x 2 ) cos2 vx M 2 2 2 x (x y ) r2
vy
Q y y 2 x 2 y 2
令
xA坐标为： vx A vyA ，即得驻点 0
xA
Q 2v
yA 0
流动的流函数是:
将驻点坐标代入流函数，得
Q y ( x, y ) v y arctg 2 x Q A 2
流函数为常数时代表一条流线，故过驻点的流线为
正向指向第三象限
M x cos y sin 2 2 x y
如果偶极子位于（ξ，η），轴线和x轴成θ角，正向
指向第三象限，则
M
( x ) cos ( y )sin ( x )2 ( y )2
( y ) cos ( x )sin ( x )2 ( y )2
一些简单流动的迭加
1 、直匀流加点源
在一个平行于x轴由左向右流去的直匀流里，加一个强 度为Q的源，把坐标原点放在源所在的地方，迭加得到的 位函数是：
( x, y ) v x
两个分速是：
Q Q ln r v x ln x 2 y 2 2 4
Q x vx v x 2 x 2 y 2
M
4、点涡
点涡是位于原点的一个点涡的流动，流线是一些同心 圆。流速只有 v ，而没有 vr 。
v (2 r )
1 v 2 r
式中的 是个常数，称为点涡的强度，反时针方向为 正。分速 v 和离中心点的距离r成反比，指向是反时针方 向的。 其位函数和流函数是：
价值的合乎逻辑的抽象，它能使我们把影响流动的各种因 素分开来看清楚。
譬如，早期由经验得出来的良好翼型，最大的升力对
阻力的比不过是几十比一，后来在位流理论指导下，设计 出来的翼型的最大升阻比竟达三百比一。这就是无粘抽象
的指导意义 。
3、直匀流加偶极子加点涡
在直匀流加偶极子的流动之上再在圆心处加一个强度 为（– ）的点涡（顺时针转为负）。
这时位函数和流函数分别是
在极坐标下，两个分速是：
a2 ( x, y) v 1 x r 2 a2 ( x, y ) v 1 y ln r r 2
a2 vr v 1 2 cos r r
a2 1 v v 1 2 sin r 2r r
r a vr 0
仍是一条流线。在这个圆上
v 2v sin
驻点的位置可从
2 a
sin A 4 av
在第三和第四象限内，前后驻点对y轴是对称的。 这个角度离开π和0°的多少决定于环量对之比值； A 越大， 驻点越往下移。
v 0
定出来
用动量定理来计算 ， 以原点为中心，画一个半 径为r1很大的控制面S，整
个的控制面还包括圆的表
面S1以及连接S和S1的两条 割线 。
不过这两条割线上的压力和动量进出都对消了，不必
管它。 S上的压力积分是物体所受的合力。受力情况左右对
称，不会有X合力。我们计算Y方向合力就行了，彻体力略
M 2Mx 2 vx v 2 4 0 x r r
a2 M / v
r 2 M / v a2
故位函数可以写成：
a2 x a2 ( x, y) v ( x 2 ) v r cos r r
流函数是
ψ=0是一条特殊的流线。容易证明，该流线通过驻点，这
去不计；流动是定常的，第一项就没有，因此：
L
S
p cos n, y dS vnv y dS
r
x2 y2
如果源的位置不在坐标原点，而在A（ξ,η）处
Q y arctg 2 x
Q ln ( x ) 2 ( y ) 2 2
Q (x ) vx x 2 ( x ) 2 ( y ) 2 Q ( y ) vy y 2 ( x ) 2 ( y ) 2
若不考虑粘性的作用，流动原来是无旋的，后来必然 还是无旋的 。这一条假设在实际流场的大部分区域都是成 立的。用这条假设可以求流场的初步解。 二维流动 一切流动参数都只是x和y的函数，而与z无关，即一切流 动参数在z向都没有变化，且
vz 0 的一种三维流。计算
作用力时，物体在z向要取一定的尺寸，这通常取为1。 绕圆柱体的有环量绕流的解析解
sin 2 sin Cp
2
驻点的Cp一定等于+1。 从驻点往后，Cp迅速下降，在距A不很远的地方，Cp 降到零，该点流速已达远前方的来流速度。此后气流继沿 物面加速，走了一段之后，流速达最大值，Cp达最小值。 这一点称最大速度点，或最低压强点 ，过了最大速度点之 后，气流开始减速，到无限远的右方，流速减到和远前方 来流一样大。这是大多钝头物体低速流动的特点：头部 附近形成一个低速高压区，随后速度迅速上升，压强急剧 下降。
有无旋条件，就有位函数存在。
x vx
平面流动的连续方程是
y vy
结合两式，得平面不可压位流必须满足的方程：
v x v y 0 x y
2 2
2 0 2 x y
上式是拉普拉斯方程。它是个线性方程，可以用叠加 原理求复合的解。 所谓线性的方程是指未知函数在方程的各项中都是一 次的。 所谓叠加原理是说如果有 方程，则这些函数的线性组合 也必满足拉普拉斯方程。 分别满足拉普拉斯
；
位函数为
vx a vy b
ax by
常用的是这样的直匀流，它与x轴平行，从左面远方流
来，流速为v 的。 此时
v x
v y
2、点源
源可以有正负。正源是从流场上某一点有一定的流量 向四面八方流开去的一种流动。负源（又名汇）是一种与
正源流向相反的向心流动。如果把源放在坐标原点上，那
M (2 xy) sin 2 vy 2 M 2 2 y (x y ) r2
合速度:
v v v M r
2 x 2 y
2
它是有轴线方向的，原来的源和汇放在哪条直线上，那条直线就是
它的轴线。前面表示的偶极子是以x轴为轴线的其正向为轴线上的流线 方向，前面的偶极子是指向负x方向的。如果偶极子轴线和x轴成θ角，
2
2
ln r
如果点涡的位置不在原点，而在（ξ，η），则点涡
的位函数和流函数的式子是：
y arctg 2 x
ln 2
x y
2
2
沿任意形状的围线计算环量，值都是 ，只要这个围 线把点涡包围在内 ，但不包含点涡在内的围线，其环量却 是等于零的。
Q y Q v y arctg A 2 x 2
通常将压强表为无量纲的压强系数 C p ，其定义是当地 静压减去来流静压再除以来流的动压头：
Cp
p p 1 2 v 2
2
不可压无粘流时:
v Cp 1 v
沿这个半无限体的外表面，压强系数是：
a2 ( x, y ) v r r sin
，
时 0 0或 ，这就是x轴线；另外还有r 半径为a 的圆 。
a，这是一个
两个分速的式子是：
用在 r
a 的圆上时，得：
a2 vx v 1 2 cos 2 x r 2 a vy v 2 sin 2 y r
y 2 arctg x
现在我们考虑一种极限情况，当h→0，但同时Q增大
，使 Qh M 保持不变的极限情况。这时位函数变成
2
x 2 y 2 2 xh h 2 Q ( x, y ) lim ln 4 h0 x2 y 2 Q 2hx x lim 2 M 2 2 4 h0 x y x y2
v x v 1 cos2
v y v sin 2
合速即为周向速度如下，径向速度为0
2 2 v vx vy 2v sin
压强系数：
v2 C p 1 2 1 4 sin 2 v
驻点A（θ=π）处的Cp是+1。
从驻点往后流，在θ=150°处流速加快到和来流的流 速一样大了。以后继续加速，在θ=π/2处达最大速度，其 值二倍于来流的速度，Cp是（–3.0）。 过了最大速度点以后，气流减速，在θ=0°处降为零 ，这一点称为后驻点。 这个流动不仅上下是对称的，而且左右也是对称的， 物面上的压强分布也是对称的，结果哪个方向的合力也没 有。 不过实际流动左右是不对称的，由于实际流体是有粘 性的缘故，气流过了最大速度点以后，不可能始终贴着物 体流下去，不可能进行完全的减速，结果水平方向是有一 个阻力的 。
平面不可压位流的基本方程 几种简单的二维位流 一些简单流动的迭加
平面不可压位流的基本方程
前一章介绍了流体运动所必须遵守的规律：质量方程及 欧拉方程。 这一章应该讨论怎样求解这些方程。 但是，要求得这些偏微分方程的解，是要满足一定边界 条件的，否则求出来的解没有实际意义。不过，飞行器的外 形都比较复杂，要在满足如此复杂的边界条件之下来求得这 些方程的解，实际上是办不到的。
达朗培尔疑题
达朗培尔（D’Alembert）18世纪法国著名数学家，他提 出，在理想不可压流中，任何一个封闭物体的绕流，其阻
力都是零。
这个结论不符合事实。这个矛盾多少耽误了一点流体 力学的发展，那时人们以为用无粘的位流去处理实际流动
是没有什么价值的。
后来才知道，这样撇开粘性来处理问题，是一种很有
2、直匀流加偶极子
只有当正源和负源的总强度等于零时，物形才是封闭的。设 直匀流 v 平行于x轴，由左向右流。再把一个轴线指向负x 的偶极子放在坐标原点处。这时，流动的位函数是：
x ( x, y ) v x M 2 r
流动是直匀流流过一个圆。圆的半径可以从驻点A的 坐标定出来。令：
1 , 2 ,..., n a11 a2 2 an n
不可压平面流必有流函数
vx y
无旋条件
vy x
v y
v x x y
也满足拉普拉斯方程
2 2 2 0 2 x y
几种简单的二维位流
1、直匀流
直匀流是一种速度不变的最简单的平行流动。其流速为
末这流动便只有υr，而没有v 。 设半径为r处的流速是υr，那末这个源的总流量是：
Q 2rv r
流量是常数，故流速υr与半径成反比：
Q 1 vr 2 rFra bibliotek 流函数的表达式是：
Q 或 2
Q y arctg 2 x
位函数从 vr 的式子积分得到：
Q ln r 2
3、偶极子
等强度的一个源和一个汇，放在x轴线上，源放在(-h,0)处，汇放在 (0,0)处。从源出来的流量都进入汇。
应用叠加原理，位函数和流函数如下
Q [ln ( x h) 2 y 2 ln x 2 y 2 ] 2 Q 1 2 2
其中
y 1 arctg xh
偶极子。等位线是一些圆心在x轴上的圆，且都过原点。
流函数的式子取h→0而 Qh M 保持不变的极限结果，是：
2
y M 2 x y2
流线也是一些圆，圆心都在y轴上，且都过源点O。两个 分速度的表达式是:
M ( y 2 x 2 ) cos2 vx M 2 2 2 x (x y ) r2
vy
Q y y 2 x 2 y 2
令
xA坐标为： vx A vyA ，即得驻点 0
xA
Q 2v
yA 0
流动的流函数是:
将驻点坐标代入流函数，得
Q y ( x, y ) v y arctg 2 x Q A 2
流函数为常数时代表一条流线，故过驻点的流线为
正向指向第三象限
M x cos y sin 2 2 x y
如果偶极子位于（ξ，η），轴线和x轴成θ角，正向
指向第三象限，则
M
( x ) cos ( y )sin ( x )2 ( y )2
( y ) cos ( x )sin ( x )2 ( y )2
一些简单流动的迭加
1 、直匀流加点源
在一个平行于x轴由左向右流去的直匀流里，加一个强 度为Q的源，把坐标原点放在源所在的地方，迭加得到的 位函数是：
( x, y ) v x
两个分速是：
Q Q ln r v x ln x 2 y 2 2 4
Q x vx v x 2 x 2 y 2
M
4、点涡
点涡是位于原点的一个点涡的流动，流线是一些同心 圆。流速只有 v ，而没有 vr 。
v (2 r )
1 v 2 r
式中的 是个常数，称为点涡的强度，反时针方向为 正。分速 v 和离中心点的距离r成反比，指向是反时针方 向的。 其位函数和流函数是：
价值的合乎逻辑的抽象，它能使我们把影响流动的各种因 素分开来看清楚。
譬如，早期由经验得出来的良好翼型，最大的升力对
阻力的比不过是几十比一，后来在位流理论指导下，设计 出来的翼型的最大升阻比竟达三百比一。这就是无粘抽象
的指导意义 。
3、直匀流加偶极子加点涡
在直匀流加偶极子的流动之上再在圆心处加一个强度 为（– ）的点涡（顺时针转为负）。
这时位函数和流函数分别是
在极坐标下，两个分速是：
a2 ( x, y) v 1 x r 2 a2 ( x, y ) v 1 y ln r r 2
a2 vr v 1 2 cos r r
a2 1 v v 1 2 sin r 2r r
r a vr 0
仍是一条流线。在这个圆上
v 2v sin
驻点的位置可从
2 a
sin A 4 av
在第三和第四象限内，前后驻点对y轴是对称的。 这个角度离开π和0°的多少决定于环量对之比值； A 越大， 驻点越往下移。
v 0
定出来
用动量定理来计算 ， 以原点为中心，画一个半 径为r1很大的控制面S，整
个的控制面还包括圆的表
面S1以及连接S和S1的两条 割线 。
不过这两条割线上的压力和动量进出都对消了，不必
管它。 S上的压力积分是物体所受的合力。受力情况左右对
称，不会有X合力。我们计算Y方向合力就行了，彻体力略
M 2Mx 2 vx v 2 4 0 x r r
a2 M / v
r 2 M / v a2
故位函数可以写成：
a2 x a2 ( x, y) v ( x 2 ) v r cos r r
流函数是
ψ=0是一条特殊的流线。容易证明，该流线通过驻点，这
去不计；流动是定常的，第一项就没有，因此：
L
S
p cos n, y dS vnv y dS
r
x2 y2
如果源的位置不在坐标原点，而在A（ξ,η）处
Q y arctg 2 x
Q ln ( x ) 2 ( y ) 2 2
Q (x ) vx x 2 ( x ) 2 ( y ) 2 Q ( y ) vy y 2 ( x ) 2 ( y ) 2
若不考虑粘性的作用，流动原来是无旋的，后来必然 还是无旋的 。这一条假设在实际流场的大部分区域都是成 立的。用这条假设可以求流场的初步解。 二维流动 一切流动参数都只是x和y的函数，而与z无关，即一切流 动参数在z向都没有变化，且
vz 0 的一种三维流。计算
作用力时，物体在z向要取一定的尺寸，这通常取为1。 绕圆柱体的有环量绕流的解析解
sin 2 sin Cp
2
驻点的Cp一定等于+1。 从驻点往后，Cp迅速下降，在距A不很远的地方，Cp 降到零，该点流速已达远前方的来流速度。此后气流继沿 物面加速，走了一段之后，流速达最大值，Cp达最小值。 这一点称最大速度点，或最低压强点 ，过了最大速度点之 后，气流开始减速，到无限远的右方，流速减到和远前方 来流一样大。这是大多钝头物体低速流动的特点：头部 附近形成一个低速高压区，随后速度迅速上升，压强急剧 下降。
有无旋条件，就有位函数存在。
x vx
平面流动的连续方程是
y vy
结合两式，得平面不可压位流必须满足的方程：
v x v y 0 x y
2 2
2 0 2 x y
上式是拉普拉斯方程。它是个线性方程，可以用叠加 原理求复合的解。 所谓线性的方程是指未知函数在方程的各项中都是一 次的。 所谓叠加原理是说如果有 方程，则这些函数的线性组合 也必满足拉普拉斯方程。 分别满足拉普拉斯
；
位函数为
vx a vy b
ax by
常用的是这样的直匀流，它与x轴平行，从左面远方流
来，流速为v 的。 此时
v x
v y
2、点源
源可以有正负。正源是从流场上某一点有一定的流量 向四面八方流开去的一种流动。负源（又名汇）是一种与
正源流向相反的向心流动。如果把源放在坐标原点上，那
M (2 xy) sin 2 vy 2 M 2 2 y (x y ) r2
合速度:
v v v M r
2 x 2 y
2
它是有轴线方向的，原来的源和汇放在哪条直线上，那条直线就是
它的轴线。前面表示的偶极子是以x轴为轴线的其正向为轴线上的流线 方向，前面的偶极子是指向负x方向的。如果偶极子轴线和x轴成θ角，
2
2
ln r
如果点涡的位置不在原点，而在（ξ，η），则点涡
的位函数和流函数的式子是：
y arctg 2 x
ln 2
x y
2
2
沿任意形状的围线计算环量，值都是 ，只要这个围 线把点涡包围在内 ，但不包含点涡在内的围线，其环量却 是等于零的。
Q y Q v y arctg A 2 x 2
通常将压强表为无量纲的压强系数 C p ，其定义是当地 静压减去来流静压再除以来流的动压头：
Cp
p p 1 2 v 2
2
不可压无粘流时:
v Cp 1 v
沿这个半无限体的外表面，压强系数是：
a2 ( x, y ) v r r sin
，
时 0 0或 ，这就是x轴线；另外还有r 半径为a 的圆 。
a，这是一个
两个分速的式子是：
用在 r
a 的圆上时，得：
a2 vx v 1 2 cos 2 x r 2 a vy v 2 sin 2 y r
y 2 arctg x
现在我们考虑一种极限情况，当h→0，但同时Q增大
，使 Qh M 保持不变的极限情况。这时位函数变成
2
x 2 y 2 2 xh h 2 Q ( x, y ) lim ln 4 h0 x2 y 2 Q 2hx x lim 2 M 2 2 4 h0 x y x y2
v x v 1 cos2
v y v sin 2
合速即为周向速度如下，径向速度为0
2 2 v vx vy 2v sin
压强系数：
v2 C p 1 2 1 4 sin 2 v
驻点A（θ=π）处的Cp是+1。
从驻点往后流，在θ=150°处流速加快到和来流的流 速一样大了。以后继续加速，在θ=π/2处达最大速度，其 值二倍于来流的速度，Cp是（–3.0）。 过了最大速度点以后，气流减速，在θ=0°处降为零 ，这一点称为后驻点。 这个流动不仅上下是对称的，而且左右也是对称的， 物面上的压强分布也是对称的，结果哪个方向的合力也没 有。 不过实际流动左右是不对称的，由于实际流体是有粘 性的缘故，气流过了最大速度点以后，不可能始终贴着物 体流下去，不可能进行完全的减速，结果水平方向是有一 个阻力的 。