行程问题(相遇、追及、多次相遇、电车)

相遇追及（多次）、电车问题

一、知识地图

简单相遇追及

匀速直线行程多次相遇追及

（包括火车过桥）

发车间隔问题

多次相遇追及环形线路行程

（包括钟表问题）

二、基础知识

在历年“小升初”考试和各类小学奥数竞赛试题中，“行程问题”都占有很大的比重。同时也是小学奥数专题中的难点，“行程问题”经常作为一份试卷中的压轴难题出现，提高解决“行程问题”的能力不仅能帮助在小升初考试和各类数学竞赛中取得优异成绩，还能为今后初中阶段数学、物理学科的学习打下良好的基础。

（一）典型的相遇和追及

路程=速度时间”这一条基本关系式的展开，比如我们遇到所有行程问题是围绕“⨯

的两大典型行程题相遇问题和追及问题的本质也是这三个量之间的关系，在这里：路程和速度和相遇时间；

=⨯

路程差速度差追及时间；

=⨯

这两组关系式中“路程和”或“路程差”实际上对应的是相遇或追及问题中的原始（初始）距离，我们可以通过图示来理解。

（二）多次相遇追及

通过图示介绍直线上的相遇和追及的规律

这部分内容涉及以下几个方面：

1求相遇次数

2求相遇地点

3由相遇地点求全程

“线段示意图”和“折线示意图”是解行程问题特别是多次相遇问题的重要方法。

举个例子：假设A、B两地相距6000米，甲从A地出发在AB间往返运动，速度为6千米/小时，乙从B出发，在AB间往返运动，速度为4千米/小时。我们可以依次求出甲、乙每次到达A点或B点的时间。为了说明甲、乙在AB间相遇的规律，我们可以用“折线示意

图”来表示。

折线示意图能将整个行程过程比较清晰的呈现出来：例如AD表示的是，甲从A地出发运动到B地的过程，其中D点对应的时间为1小时，表示甲第一次到达B点的时间为1小时，BF表示乙从B地出发到达A地的过程，F点对应的时间为1.5小时，表示乙第一次到达A 地的时间为1.5小时，AD与BF相交于C点，对应甲、乙的第一次相遇事件，同样的G点对应是甲、乙的第二次相遇事件。折线图只能直观的表示出相遇的次数和大致时间和地点，具体的时间和地点还必须通过相遇和追及问题的公式进行计算。

通过计算，我们能得出：甲、乙第一次相遇的时间为6÷（6+4）=0.6（小时），即36分钟。相遇点距离B地0.6×4=2.4（千米），从第一次相遇到第二次相遇，甲、乙行程的路程总和等于两个AB长，所以两次相遇的时间间隔为72分钟。第二次相遇发生的时间为108分钟。

事实上，我们从折线示意图就能看出来，任意两次相邻的相遇事件的时间间隔都是72分钟，而每72分钟，甲乙两人运动的总路程都等于2个AB长，所以我们能得到如下推论：如果甲、乙是从线段两端出发，那么相邻的两次相遇事件的时间间隔都相等，并且第n 次相遇时，他俩行走路程和相当于（2n-1）个线段总长。同样的相邻两次的追及事件（速度快的追上速度慢的）发生的时间间隔都相等。第n次追及时，他俩行走路程差相当于（2n-1）个线段总长。

注意：如果甲、乙在线段的端点碰面，既可以算作相遇事件也可以算作追及事件，例如例子当中的E点，既是甲、乙的第三次相遇，也是甲第一次从后面追上乙。

（三）发车间隔问题

有关公共汽车与行人的问题，主要涉及到这几个量：行人速度、汽车速度、前后相邻汽车间距、汽车发车时间间隔、相遇（追及）事件时间间隔。

这些貌似不相关的数量之间隐含着很多数量关系：

1.我们首先分析一下公共汽车的发车过程：从一辆汽车发车到下一辆汽车发车，经

过一个“汽车发车时间间隔”，所以当下一辆车发车的时候，前一辆车已经开走了

“一个汽车发车时间间隔”的时间，这个时间内前一辆车共行驶了“一个汽车发

车时间间隔”乘以“汽车速度”，之后两辆车之间的距离保持不变，即距离保持为

“相邻汽车间距”，所以我们得到第一条公式：

2.与公共汽车发车过程类似的，如果行人和汽车相向（反向）行驶，那么从行人遇

到第一辆车到遇到第二辆车的过程可以看作一个相遇问题，所以有如下数量关系：

同样的如果行人和汽车同向行驶，则有关系式：

三、经典透析

【例1】甲、乙、丙三人每分钟分别行60米、50米和40米，甲从B地、乙和丙从A地同时出发相向而行，途中甲遇到乙后15分又遇到丙。求A，B两地的距离。

[审题要点]从已知条件中唯一的时间量入手，明确甲、乙、丙之间的距离变化关系，逐步求解。

[详解过程]

甲遇到乙后15分钟，甲遇到了丙，所以遇到乙的时候，甲和丙之间的距离为：（60＋40）×15＝1500（米），

而乙丙之间拉开这么大的距离一共要

1500÷（50-40）=150（分），

即从三人出发到甲与乙相遇一共经过了150分钟，

所以A、B之间的距离为：

（60+50）×150＝16500（米）。

[点评]此题实质上有着三个行程基本问题：两个相遇问题：甲和乙相遇，甲和丙相遇；一个追及问题：丙和乙的追及问题。而且这三个问题之间有着相互的联系，甲和丙的相遇路程就是丙和乙的追及路程，丙和乙的追及时间就是甲和乙的相遇时间。利用这些关系层层推进即可解出答案。

【例2】甲、乙、丙三车同时从A地沿同一公路开往B地，途中有个骑摩托车的人也在同方向行进，这三辆车分别用7分钟、8分钟、14分钟追上骑摩托车人。已知甲车每分钟行1000米，丙车每分钟行800米，求乙车的速度是多少？

[审题要点]摩托车在各时间点行驶的位置是甲、乙、丙三车行驶距离的度量，所以本题的关键是求出摩托车的速度。

[详解过程]

甲与丙行驶7分钟的距离差为：

（1000－800）×7＝1400（米），

也就是说当甲追上骑摩托车人的时候，丙离骑摩托车人还有1400米，丙用了14-7=7（分）

追上了这1400米，所以丙车和骑摩托车人的速度差为：

1400÷（14－7）＝200（米／分），

骑摩托车人的速度为：

800－200＝600（米／分），

三辆车与骑摩托车人的初始距离为：

（1000－600）×7＝2800（米），

乙车追上这2800米一共用了8分钟，所以乙车的速度为：

2800÷8＋600＝950（米／分）。

[点评]从整体考虑，7分钟的时候摩托车与甲车在同一位置即7×1000=7000（米），14分钟的时候摩托车与丙车在同一位置即14×800=11200（米），所以所以摩托车在7-14分这7分钟内一共行驶了11200-7000=4200（米），所以摩托车的速度为4200÷7=600（米/秒），摩托车在8分钟时的位置为7000+600=7600（米），所以乙车的速度为7600÷8=950（米/分），这种解法比较类似于牛吃草问题。

【例3】铁路旁一条小路，一列长为110米的火车以每小时30千米的速度向南驶去，8点时追上向南行走的一名军人，15秒后离他而去，8点6分迎面遇到一个向北行走的农民，12秒后离开这个农民，问：军人与农民何时相遇？

[审题要点]涉及火车的行程问题中，火车的长度当然不能忽略，解题关键是找出15秒（12秒）内，火车行驶和人步行与火车车长之间的数量关系。

[详解过程]

分析：火车速度为30×1000÷60=500（米/分）。

要求军人与农民的速度必须先知道知道军人和农民的速度。

由题目条件，从军人被火车头追上到车尾离他而去，一共有15秒，这十五秒可以看作车尾追及军人的时间，所以根据追及公式，火车速度减去军人速度等于

110÷（15÷60）=440（米/分），

所以军人的速度为

500-440==60（米/分），

即60米/分，同样的我们还可以求出农民的速度：