第三章(第2讲)微分方程组

定理3：齐次微分方程组（1）的n个解Y1 ( x), Y2 ( x)， ，Yn ( x) 在I上线性无关的充要条件是它们的Wronsky行列式在I上任 一点均不为0。
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第三章 一阶线性微分方程组
四. 一阶线性齐次微分方程组的基解矩阵及其判定：
定义：齐次微分方程组（1）的n个线性无关的解Y1 ( x), Y2 ( x)， ，Yn ( x)称为微分方程组的基本解组，它们对应的矩阵称为 基本解矩阵（简称基解矩阵）。
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第三章 一阶线性微分方程组
推论3：微分方程组（）的线性无关解的个数不能多 1 余n个。
Liouville公式：若Y1 ( x), Y2 ( x)， ，Yn ( x)是齐次微分方程组 （1）的n个解，则它们的Wronsky行列式W(x)于方程组（1） 的系数有如下关系： W ( x) W ( x0 ) exp{ [ a11 (t ) a22 (t )
方程组（ 1 ）的m个解，则Y （x ) CiYi ( x )仍是（1）的解。
i 1 m
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第三章 一阶线性微分方程组
二. n维向量函数组的线性相关性：
e3 x e6 x 3x 6x 例1：判断向量组Y1 ( x) e , Y2 ( x) 2e 的线性相关性。 e3 x e6 x
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第三章 一阶线性微分方程组
五. 一阶线性齐次微分方程组解的结构：
定理1：齐次微分方程组（1）必存在基本解组（基本矩阵）。
定理2：若Y1 ( x), Y2 ( x)， ，Yn ( x)是齐次微分方程组（） 1 的基本解组，则其线性组合： Y ( x) C1Y1 ( x) C2Y2 ( x) 为n个独立常数。 CnYn ( x ) 是齐次微分方程组（）的 1 通解。其中C1，C2， ，Cn
基本解组、基解矩阵的验证： dYi ( x) （） 1 Yi ( x)是方程组的解： A( x)Yi ( x)(i 1, 2, dx (2) Yi ( x)线性无关： det W ( x) 0. , n);
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第三章 一阶线性微分方程组
x1 (t ) 1 t x2 (t ) 1 2t 例1：试证明 e , e y1 (t ) 1 y2 (t ) 2 x(t ) y 齐次微分方程组 的基本解组，并写出 y (t ) 2 x y 该方程组的基解矩阵。
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定理2：若向量组Y1 ( x), Y2 ( x)， ，Yn ( x)是齐次微分方程组（1） 的n个线性无关的解，则它们的Wronsky行列式在I上恒不为0。 推论2：若齐次微分方程组（）的 1 n个解Y1 ( x), Y2 ( x)， ，Yn ( x) 在x0 I 处的Wronsky行列式 det W （x0） 0，则该解组必线性相关。
三. n维向量函数组的Wronsky行列式及其性质：
n个n维向量函数组：
y11 ( x) y12 ( x) y ( x) y ( x) Y1 ( x) 21 , Y2 ( x) 22 , yn1 ( x) yn 2 ( x ) y11 ( x ) y12 ( x ) y1n ( x) y ( x) Yn ( x) 2 n , ynn ( x) y1n ( x )
作业：P133-134 T2 、 T4、 T5
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注：若向量组Y1 ( x), Y2 ( x)， ，Yn ( x)的Wronsky行列式在I上 恒为0，但Y1 ( x), Y2 ( x)， ，Yn ( x)在区间I上未必就线性相关。 推论1 ：若向量组Y1 ( x), Y2 ( x)， ，Yn ( x)的Wronsky行列式在
x 0 I上有detW（x 0） 0，则该向量组在区间I上必线性无关。
x0 x
ann (t )]dt}
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定理2 '：若 ( x) Y1 ( x), Y2 ( x)， ，Yn ( x) 是齐次微分方程 组（）的基解矩阵，而 1 ( x)是（）的任一解，则存在非 1 奇异常数矩阵C,使得： ( x) ( x) C。
定理3：若( x)是齐次微分方程组（）的基解矩阵， 1 C是n阶 非奇异常数矩阵，则( x) ( x) C也是（1）的基解矩阵。 定理4：若( x)和( x)是齐次微分方程组（）的两个基解 1 矩阵，则存在非奇异常数矩阵M,使得：( x) ( x) M。
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第三章 一阶线性微分方程组
第三章 一阶线性微分方程组
第二讲 一阶线性齐次方程组的一般理论
一. 一阶线性齐次微分方程组的解空间：
dY A( x)Y . (1) dx dY （1）的解空间 V {Y ( x) A( x)Y } 是线性空间。 dx y1i 定理：若Yi ( x) , (i 1, 2, , m)是一阶线性齐次微分 y ni
e3 x 0 3 x 例2：判断向量组Y1 ( x) 0 , Y2 ( x) e 的线来自百度文库相关性。 e 3 x e 3 x
说明：向量函数组的线性相关性与它们的分量构成的 向量函数组的线性相关性并不等价。
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第三章 一阶线性微分方程组
y2 n ( x ) ynn ( x ) ,
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构成的行列式：W ( x )
y21 ( x )
y22 ( x )
yn1 ( x ) yn 2 ( x ) 称为该向量组的Wronsky行列式
第三章 一阶线性微分方程组
定理1：若向量组Y1 ( x), Y2 ( x)， ，Yn ( x )在区间I上线性相关， 则它们的Wronsky行列式在I上恒为0。