宋元数学

3.3宋元数学
• 这一时期的一个显著的标志是数学家及其 这一时期的一个显著的标志是数学家及其 标志 数学著作的大批出现。 数学著作的大批出现。 • 据不完全统计，著名的数学家数十人（其 据不完全统计，著名的数学家数十人（ 中最著名的就是“宋元四大家” 杨辉、 中最著名的就是“宋元四大家”：杨辉、 秦九韶、李冶、朱世杰）， ），有记载的数学 秦九韶、李冶、朱世杰），有记载的数学 专著百余种，远远超出了前面的各个时期。 专著百余种，远远超出了前面的各个时期。 • 这一时期印刷出版、记载着中国古典数学 这一时期印刷出版、 最高成就的宋元算书 宋元算书， 最高成就的宋元算书，也是世界文化的重 要遗产。 要遗产。
• “就是把1到9的数字分三行排列，不论直 就是把1 的数字分三行排列， 着加，横着加，还是斜着加， 着加，横着加，还是斜着加，结果都是等 15。 于15。我们先生让下午一定要把这道题做 我正算到关键之处。 好。我正算到关键之处。” • 杨辉和孩童俩人连忙一起算了起来， 杨辉和孩童俩人连忙一起算了起来， 直到天已过午，俩人才舒了一口气， 直到天已过午，俩人才舒了一口气，结果 出来了，他们又验算了一下， 出来了，他们又验算了一下，觉得结果全 15，这才站了起来。 是15，这才站了起来。孩童望着这位慈祥 和善的地方官说： 耽搁你的时间了， 和善的地方官说：“耽搁你的时间了，到 我家吃饭吧！ 杨辉一听， 我家吃饭吧！”杨辉一听，说：“好，好， 下午我也去见见你先生。 下午我也去见见你先生。”
• 孩童望着杨辉，泪眼汪汪，杨辉心想，这 孩童望着杨辉，泪眼汪汪，杨辉心想， 里肯定有什么蹊跷，温和地问道： 里肯定有什么蹊跷，温和地问道：“到底 是怎么回事？ 是怎么回事？” • 孩童这才一五一十把原因道出： 孩童这才一五一十把原因道出：原来 这孩童并未上学， 这孩童并未上学，家中穷得连 • 饭都吃不饱，哪有钱读书。而这孩童给地 饭都吃不饱，哪有钱读书。 主家放牛，每到学生上学时，他就偷偷地 主家放牛，每到学生上学时， 躲在学生的窗下偷听， 躲在学生的窗下偷听，今天上午先生出了 这道题，这孩童用心自学， 这道题，这孩童用心自学，终于把它解决 了。 • 杨辉听到此，感动万分，一个小小的孩 杨辉听到此，感动万分， 竟有这番苦心，实在不易。 童，竟有这番苦心，实在不易。便对孩童 说：“这是10两银子，你拿回家去吧。下 这是10两银子，你拿回家去吧。 10两银子 午你到学校去，我在那儿等你。 午你到学校去，我在那儿等你。” •
数字九宫格
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总结
• 杨辉的数学著作甚多，他编著的数学书共五种二 十一卷，在他的著作中收录了不少现已失传的古 代数学著作中的算题和算法． • 杨辉的数学研究与教育工作的重点是在计算技术 方面． • 杨辉对筹算乘除捷算法进行了总结和发展，创 “纵横图”之名．继沈括“隙积术”之后，关于 高阶等差级数的研究创“垛积术”．又将《九章 算术》246个题目按解题方法由浅入深的顺序， 重新分为九类．
数学史概论
3.3宋元数学 3.3宋元数学
宋元数学
• 这一时期包括宋元两代，即900年至1368 这一时期包括宋元两代， 900年至1368 年至 年。 • 宋代结束了五代十国的封建割据的局面以 出现了社会稳定、生产发展、 后，出现了社会稳定、生产发展、经济繁 荣的景象， 荣的景象，特别是统治者鼓励发展科学技 同时改革旧的科举制度， 术，同时改革旧的科举制度，极大地推动 了科学文化技术的发展。 了科学文化技术的发展。闻名于世的中国 古代“四大发明”中的指南针、火药和活 古代“四大发明”中的指南针、火药和活 字印刷这三大发明就都是在宋代完成并获 字印刷这三大发明就都是在宋代完成并获 得广泛的应用的。 得广泛的应用的。
杨辉
• 杨辉（南宋人）字谦 南宋Baidu Nhomakorabea） 南宋人
光，钱塘（今杭州） 钱塘（今杭州） 人。 • 中国南宋时期杰出的 数学家和数学教育家。 数学家和数学教育家。 他著名的数学书共五 种二十一卷。 种二十一卷。 由现存文献可推知， 由现存文献可推知，杨辉担任过南宋地方行政官 为政清廉，足迹遍及苏杭一带， 员，为政清廉，足迹遍及苏杭一带，他署名的数 学书共五种二十一卷。 学书共五种二十一卷。他是世界上第一个排出丰 富的纵横图和讨论其构成规律的数学家。 富的纵横图和讨论其构成规律的数学家。
杨辉的著作
• 他著名的数学书共五种二十一卷。著 他著名的数学书共五种二十一卷。 详解九章算法》十二卷、 有《详解九章算法》十二卷、《日用 算法》二卷、 乘除通变本末》三卷、 算法》二卷、《乘除通变本末》三卷、 田亩比类乘除算法》二卷、 《田亩比类乘除算法》二卷、《续古 摘奇算法》二卷。 摘奇算法》二卷。杨辉的数学研究与 教育工作的重点是在计算技术方面， 教育工作的重点是在计算技术方面， 他对筹算乘除捷算法进行总结和发展， 他对筹算乘除捷算法进行总结和发展， 有的还编成了歌决，如九归口决。 有的还编成了歌决，如九归口决。
• 下午，杨辉带着孩童找到先生，把这 下午，杨辉带着孩童找到先生， 孩童的情况向先生说了一遍， 孩童的情况向先生说了一遍，又掏出 银两，给孩童补了名额， 银两，给孩童补了名额，孩童一家感 激不尽。自此， 激不尽。自此，这孩童方才有了真正 的先生。 的先生。 • 杨辉回到家中，反复琢磨， 杨辉回到家中，反复琢磨，一有 就在桌上摆弄着这些数字， 空闲 就在桌上摆弄着这些数字，终于 发现一条规律就是现在的九宫了。 发现一条规律就是现在的九宫了。
• 开方做法本源图
• 杨辉三角 • 本图采自《永乐大典》 本图采自《永乐大典》
（一）贾宪三角或杨辉三角
• “贾宪三角”或“杨 贾宪三角” n 辉三角” 辉三角”实际上是一 （ + a） n = 0,1 2,..., ) x ( , 6 张二项系数表， 张二项系数表，即 展开的各项系数。 展开的各项系数。 杨辉三角最本质的特 征是， 征是，它的两条斜边 都是由数字1组成的 组成的， 都是由数字 组成的， 而其余的数则是等于 它肩上的两个数之和。 它肩上的两个数之和。
贾宪
贾宪 生平不详，
11世纪上半叶 北宋数学家。 撰《黄帝九章 算经细草》9卷 （在《详解九 章算法》中， 今约存三之二）
“贾宪三角”或“杨辉三角”
• 贾宪约公元1050年完成一部叫《黄帝九章算 贾宪约公元1050年完成一部叫 1050
经细草》的著作，原书丢失，但其主要内容被杨 经细草》的著作，原书丢失， 辉著《详解九章算术》摘录。根据杨辉的摘要， 辉著《详解九章算术》摘录。根据杨辉的摘要， 贾宪的高次开方法是以一张称为“开方做法本源” 贾宪的高次开方法是以一张称为“开方做法本源” 的图为基础。 的图为基础
杨辉一看来了兴趣，连忙下轿抬步， 杨辉一看来了兴趣，连忙下轿抬步， 来到前面。衙役急忙说： 来到前面。衙役急忙说：“是不是把这 孩童哄走？ 孩童哄走？” 杨辉摸着孩童头说： 杨辉摸着孩童头说：“为何不让本官 从此处经过？ 从此处经过？” 孩童答道： 不是不让经过， 孩童答道：“不是不让经过，我是 怕你们把我的算式踩掉， 怕你们把我的算式踩掉，我又想不起来 了。” 什么算式？ “什么算式？”
• 他非常重视数学教育的普及和发展， 他非常重视数学教育的普及和发展， 算法通变本末》 在《算法通变本末》中，杨辉为初 • 学者制订的“习算纲目” 学者制订的“习算纲目”是中国数 教育史上的重要文献。 学 教育史上的重要文献。
故事
• 一天，台州府的地方官杨辉出外巡游， 一天，台州府的地方官杨辉出外巡游， 路上，前面铜锣开道，后面衙役殿后， 路上，前面铜锣开道，后面衙役殿后， 中间，大轿抬起，好是威风。 中间，大轿抬起，好是威风。 • 走着、走着，只见开道的镗锣停了下 走着、走着， 前面传来孩童的大声喊叫声， 来，前面传来孩童的大声喊叫声，接 着是衙役恶狠狠的训斥声。 着是衙役恶狠狠的训斥声。杨辉忙问 怎么回事，差人来报： 孩童不让过， 怎么回事，差人来报：“孩童不让过， 才让走， 说等他把题目算完后 才让走，要不 就绕道。 就绕道。”