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抽象代数学在计算机中的应用
代数学历史悠久。代数的发展可分成两个阶段。19世 纪这前的代数称为古典代数，19世纪至今的代数称为 近世代数（抽象代数）。
抽象代数学的研究对象是抽象的，它不是以某一具体 事物为研究对象，而是以一大类具有共同性质的事物 为研究对象。因此其研究成果适用于这一类事物中的 每一个，从而收到事半功倍之效。
欢迎进入 离散数学 第 七章 代 数系统
近世代数— 第七章 代数系统 前言
§7.1 代数系统的引入 §7.2 运算及其性质
结束
前言
为什么要研究代数系统？
代数是专门研究离散对象的数学，是对符号的操作。它是现 代数学的三大支柱之一（另两个为分析与几何）。代数从19世纪以来 有惊人的发展，带动了整个数学的现代化。随着信息时代的到来，计 算机、信息都是数字（离散化）的，甚至电视机．摄像机、照相机都 在数字化。知识经济有人也称为数字经济。这一切的背后的科学基础， 就是数学，尤其是专门研究离散对象的代数。代数发端于“用符号代 替数”，后来发展到以符号代替各种事物。 在一个非空集合上，确定了某些运算以及这些运算满足的规律，于是 该非空集合中的元素就说是有了一种代数结构。现实世界中可以有许 多具体的不相同的代数系统。但事实上，不同的代数系统可以有一些 共同的性质。正因为此，我们要研究抽象的代数系统，并假设它具有 某一类具体代数系统共同拥有的性质。任何在这个抽象系统中成立的 结论，均可适用于那一类代数系统中的任何一个。
闭否，<A，+>，<A，/>呢？ 解：2r，2s∈A， 2r x 2s=2r+s∈A （ｒ＋ｓ∈Ｎ）
∴<A，x>运算封闭
2，4∈A，2+4A，∴<A，+>运算不封闭
2，4∈A，2/4A， ∴<A，/>运算不封闭
§7.2 运算及其性质
2、结合律
已知<A，*>，若x，y，z∈A，有x*（y*z） =（x*y）*z，称*满足结合律。
②.若xs，有l*x=l ，称l为运算*的左零元 若xs，有x*r=r，称r为运算*的右零元
③. 若xs，有e*x=x，x*e=x称e为运算*的么元
若xs，有*x=x* = ，称为运算*的零元
二、么元（单位元）和零元
例：代数A=〈{a，b，c}， 。 〉用下表定
*
△
例：设A={，}，二元运 算*，△定义如左: 问分配律成立否？
① 证明：x△(y*z)=(x△y)*(x△z)
证：当x=：x△(y*z)= ; (x△y)*(x△z)= 当x=：x△(y*z)=y*z ; (x△y)*(x△z)=y*z
注: 若找不到规律,对该例则应用8个式子进行验证。
在许多实际问题的研究中都离不开数学模型，而构造 数学模型就要用到某种数学结构，而抽象世代数研究 的中心问题就是一种很重要的数学结构--代数系统： 半群、群、格与布尔代数等等。计算科学的研究也离 不开抽象代数的应用：半群理论在自动机理论和形式 语言中发挥了重要作用；有限域理论是编码理论的数 学基础，在通讯中起过重要的作用；至于格和布尔代 数则更不用说了，是电子线路设计、电子计算机硬件 设计和通讯系统设的重要工具。另外描述机器可计算 的函数、研究算术计算的复杂性、刻画抽象数据结构、 描述作为程序设计基础的形式语义学，都需要抽象代 数知识。
义：
。a b c
aabb
babc
caba
则b是左么元，无右么元, a是右零元，b是右零元，无左零元;
运算。既不满足结合律，也不满足交换律。
二、么元（单位元）和零元
例: a）〈I，x〉， I为整数集
则么元为1，零元为0 b）〈（s）,∪,∩〉
对运算∪，是么元， s是零元， 对运算∩，s是么元 ，是零元。 c）〈N，+〉 有么元0，无零元。
②、运算*对运算△不可分配
证：∵*（△）=*= （*）△（*）=△=
§7.2.1 运算及其性质
5.吸收律：设<A，*，△>，若x，y，z∈A有: x*(x △z)=x 称运算*满足吸收律; x △(x * y) =x； 运算 △满足吸收律
例:N为自然数集,x,y∈N，x*y=max{x，y}, x△y=min{x，y}
=（ｌοx）οｒ＝ｅοｒ＝ｒ
∴逆元存在为r
若存在X的另一个逆元r’ ; 则:
r’ ＝r’ οｅ=r’ο(xοr)=(r’οx)οr=ｅοr ＝r
四、同态和同构
一、同态
1、定义： 满同态： 单一同态：
二、同构
1、定义：
五、同余关系 六、积代数 七、商代数
谢谢使用
学习本章的方法
4、结合具体例子与应用来理解抽象代数的概念与结论, 特别是“抽象”的概念, 在理解的基础上熟悉基本概 念与重要结论, 掌握基本推理方法, 领会抽象代数的 研究方法,并尝试去解决具体问题。
5、抽象代数以代数结构为研究对象，集合论是研究 代数结构的基础。而群是抽象代数所研究的最为重要、 最为基础的代数结构, 也是抽象代数部分的学习重点, 学习好群的相关知识, 习惯了代数的“抽象”思维, 环、域的学习也就相对容易了。
映射。 例：１）取整 [X]，求绝对值 |X|，是一元运算
２）+,X是二元运算, ３）if x<y and y<z thenｕ 是三元运算
§7.2 运算及其性质
一、二元运算
1、运算封闭性：若x，y∈A，有x * y∈A， 称*在A上是封闭的 例： A={x｜x=2n，n∈N}， 问<A，x>运算封
模k乘法×k定义如下：
x × ky= x ·y
x ·y < k
x ·y-n ·k x ·y≥k, n∈{0, ±1，．．}
则有些元素存在逆元，有些元素无逆元
∴当且仅当x与k互质时，x有逆元
三、 逆元
2、逆元的性质
Th3: 对于可结合运算ο ，如果元素X有 左逆
元ｌ，
右逆元r，则l=r=x－１
推论：逆元若存在，则唯一 证：ｌ=ｌοｅ＝ｌο（xοr）
推论：二元运算的零元若存在则唯一
§7.2 运算及其性质
三、 逆元 1、逆元定义 设*是s上的二元运算，e是运算*的么元 ①、若x*y=e那对于运算*，x是y的左逆元，y是
x的右逆元 ②、若x*y=e，y*x=e，则称x是y的逆元，y的逆
元通常记为y-1，存在逆元(左逆无，右逆元） 的元素称为可逆的（左可逆的，右可逆的）
例：<A，*>，若a，b∈A，有a*b=b 证明：*满足结合律 证：a，b，c∈A， a*（b*c）=a*c=c ( a*b）*c=b*c=c ∴a*（b*c）=（a*b）*c
∴ *满足结合律
§7.2 运算及其性质
3、交换律 已知<A，*>，若x，y∈A，有
x*y=y*x，称*满足交换律。 例：设<有理数集，*>,*定义如下：
6、阅读教材、课堂听讲、反复思考, 并独立完成一 定数量的习题, 只有如此, 才能理解抽象代数的概念, 掌握有关理论, 从而提高分析问题的能力。
§7.1 代数系统的引入
代数系统是由一个集合（此集合称为代数的载 体）和定义在集合上的运算构成。
注：①载体一般是非空集合，
例：整数集，实数集，符号串集合等。 ②定义在载体上的n元运算是一个从An到B的
抽象代数学的主要内容是研究各种各样的代数系统。 它把一些形式上很不相同的代数系统，用统一的方法 描述、研究和推理，从而得到反映出它们共性的一些 本质的结论，然后再把这些结论应用到具体的代数系 统中。
抽象代数学在计算机中的应用
抽象代数的概念和方法也是研究计算科学的重要数学 工具。有经验和成熟的计算科学家都知道，除了数理 逻辑处，对计算科学最有用的数学分支学就是代数， 特别是抽象代数。抽象代数是关于运算的学问，是关 于计算规则的学问。
三、 逆元
例：
a)、代数 〈N，+〉中仅有么元0，有逆元0，
〈R，*〉中，除零元0外所有元素均有逆元
b)、A=〈{a，b，c}，*〉由下表定义：
*abc aaab babc cacc
b是么元,
a的右逆元为c，无左逆元， b的逆元为b，
c的右逆元为空，左逆元为a
三、 逆元
d）A={〈0，1，2，…，k-1〉，×k}
3、教材的基本思路是： 首先严格定义什么是代数 结构, 并讨论一般代数结构的基本性质。然后讨论代 数结构研究的两个方面：其一是通过一些基本性质来 规定一类特定的代数结构, 并对这类代数结构的性质 进行研究。其二是研究代数结构之间的各种关系, 通 过对代数结构之间关系的研究, 就可以把一个代数结 构中的某些性质推广到另一个代数结构中。
满足等幂律
例：已知集合s,〈（s）,∪,∩〉,则∪,∩满足吸 收律，等幂律
§7.2 运算及其性质
二、么元（单位元）和零元 1、定义 : 设*是s上二元运算，er，eI，r，ｌ，e， s ， 有
①.若xs，有el*x=x，称el为运算*的左么元 若xs，有x*er=x，称e, 即观察客观世界, 抽象出模型, 再分析、推理揭示内在规律的过程。
2、领会“抽象”性：代数的抽象性不仅体现在元素 的抽象上, 还体现在相应运算的抽象上, 是在最纯粹 的形式下研究代数结构中的运算的规律与性质, 从运 算的角度来考虑代数结构中的元素。因此, 初等代数 的相应概念、结论不能直接应用在抽象代数中。如何 跨越从直观到抽象是学习抽象代数的重要一步。
a*b=a+b-ab ，问*满足交换律否？ 证：∵a，b∈A，
a*b=a+b-ab=b+a-ba=b*a
∴*满足交换律。
§7.2.1 运算及其性质
4.分配律
设<A，*，△>，若x，y，z∈A有: x*(y△z)=（x*y）△（x*z） ; (y△z)*x=(y*x)△(z*x)