详解数列求和的方法+典型例题.docx

详解数列求和的常用方法

数列求和是数列的重要内容之一， 除了等差数列和等比数列有求和公式外， 大部分数列的求和都需要一定的技巧。

第一类：公式法

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。 1、等差数列的前 n 项和公式

n( a 1 a n )

na 1

n(n

1)d S n

2

2

2、等比数列的前 n 项和公式

na 1 (q 1)

S

n

a 1 (1 q n ) a 1

a n q (q 1)

1 q

1 q

3、常用几个数列的求和公式

n

1

n(n 1)

（ 1）、 S n

k 1 2 3

n

k 1

2

n

2

2

2

2

2

1 (

1)(2

1)

（ 2）、 S n

k 1 2 3 n n

n n

k 1

6

n

k 3

13 23 33

n 3 [ 1

n(n 1)] 2

（ 3）、 S n

k 1

2

第二类：乘公比错项相减（等差

等比）

这种方法是在推导等比数列的前

n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列

{ a n b n } 的前 n 项和，其中 { a n } ， { b n } 分别是等差数列和等比数列。

例 1：求数列 { nq n 1 } ( q 为常数 ) 的前 n 项和。解：Ⅰ、若 q =0， 则 S n =0

Ⅱ、若

q =1 ，则

1 ( 1)

1

2 3

nn n

S n

Ⅲ、若 q ≠ 0 且 q ≠ 1，

2

则 S n

1 2q 3q 2

nq n 1

①

qS n q2q 2 3q3nq n②

①式—②式： (1q) S n1q q 2q3q n 1nq n

S n1

q (1 q q 2q 3q n 1nq n )

1

S n1

q (

1

q n nq n )

11q

S n

1q n nq n

(1q) 21q

0(q0)

综上所述： S n 1

n(n1)(q1)

2

q n nq n

1

(1q) 21

(q 0且 q 1)

q

解析：数列 { nq n 1} 是由数列n与 q n 1对应项的积构成的，此类型的才适应错位相减，

（课本中的的等比数列前n 项和公式就是用这种方法推导出来的），但要注意应按以上三种情况进行分类讨论，最后再综合成三种情况。

第三类：裂项相消法

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。

裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最

终达到求和的目的通项分解（裂项）如：

1、乘积形式，如：

（ 1）、a n

111 n(n1)n n 1

（ 2）、a n

(2n (2n) 2

1)

1 1 (11) 1)( 2n

2 2n 12n1

（ 3）、a n

n(n

1

2)

1 [1

1)

1] 1)( n2n( n(n 1)(n2)

（4）、

n 212(n 1) n 111

,则 S n 11

a n

2n

n(n1)2

n

n2

n 1

(n1)2

n

1) 2

n

n(n 1)(n

2、根式形式，如：

a n1n1n

1n

n

例 2：求数列1

，

1

，

1

，⋯，

1

，⋯的前 n 和 S n 1233n(n

241)

解：∵

111

=

n1

n(n1)n

S n1

111111

2233n n1 S n1

1

n1

例 3：求数列1，1

4，1，⋯，1，⋯的前 n 和 S n

13235n(n2)

解：由于：

1

=

111

n(n2)

(

n

）

2n2

： S n

1

(11) ( 1 1)(

1

1 )

2324n n 2

S n

1

(11

n

1

n

1)

2212

311

S n42n22n4

2 一剩下首尾

解析：要先察通型，在裂求和候，尤其要注意：究竟是像例

两，是像例 3 一剩下四。

第四类：倒序相加法

是推等差数列的前n 和公式所用的方法，就是将一个数列倒来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个 (a1a n ) 。

例 4：若函数f ( x)任意x R 都有 f ( x) f (1x) 2 。

（1）

a n f ( 0) f (1) f (2) f ( n

1) f (1) ，数列{ a n}是等差数列？是

n n n 明你的；

（ 2）求数列{

1}

的的前 n 和 T n。

a n

a n1