第六章_分子扩散

d
右端Dm
2c x 2
M 1 d2f
4Dmt 4t d 2
方程为 2 f 2 df d 2 f 0 d d 2
d ( df 2f ) 0 d d
特解 df 2f 0, d
解为 f c0e2
扩散质质量守恒
M
cdx
M
c0e 2 d
M
c0
e 2 d
Mc0
c0 1
扩散解为
c(x,t)
（5）实测浓度计算扩散系数
2 2Dmt
Dm
1 2
( 2 )
t
1 2
2 2
t2
2 1
t1
在不长的时间间隔内，测知t1、t2 时刻 的浓度分布，求得方差，据上式可计算 分子扩散系数值。
（6）浓度分布曲线的宽度
c
2 0 2
分布宽度
σ
2σ
4σ
面积百分比
0.383
0.6826
0.9546
x 5σ
心点浓度c(x,y,z,t)，
dy
扩散通量(Qx,Qy,Qz)。
dx
根据扩散质质量守
恒原理，分析各面
的扩散质通量
x
Mx
(Qx
1 2
Qx x
dx)dydzdt
(Qx
1 2
Qx x
dx)dydzdt
Qx dxdydzdt x
My
Qy y
dxdydzdt
Mz
Qz z
dxdydzdt
M Mx My Mz (Qx Qy Qz )dxdydzdt x y z
Q
Dm
c xi
负号表示扩散方向与浓度梯度方向相反，即从浓度高处向浓度低处扩散；
Dm为分子扩散系数（cm2 / s ），随溶质、溶液种类及温度压力条件而变 化。见表4.1
3 分子扩散方程：Fick第二定律 浓度分布不均匀引起分子扩散，建立浓度随时空变化的关系式。
z
o y
dz
在静止流体中取微
元六面体空间，中
二维扩散的浓度分布呈 钟形体。源点处浓度最 大，随着离点源距离的 增加，浓度以负指数衰 减。等浓度线为同心圆：
c y
o
x
x2 y2 const.
3 瞬时点源的三维扩散
在坐标原点瞬时投入质量为 M 的扩散质，在三维空间扩散。
扩散方程： 浓度解：
c t
Dx
2c x 2
Dy
2c y 2
Dz
2c z 2
c1
c2 t
c2
c1 t
Dxc2
2c1 x 2
Dyc1
2c2 y 2
c1
(
c2 t
Dy
2c2 y 2
)
c2
(
c1 t
Dx
2c1 x 2
)
0
上式中两项分别为零，即c1、c2各自满足一维扩散方程的解。
所以二维扩散解为
M
x2
y2
c(x, y,t)
exp( )
4t Dx Dy
4Dxt 4Dyt
0.9876
理论上两端可延伸至无穷远。实用上认为其分布宽度为 4 。
2 瞬时线源的二维扩散
从 z 方向的一条线源均匀投入质量为 M 的扩散质，在 xy 平
面上扩散。
二维扩散方程
c t
Dx
2c x2
Dy
2c y 2
设平面上任意点浓度 代入扩散方程
c(x, y,t) c1(x,t) c2 ( y,t)
第六章
分子扩散
• 扩散：流体中含有物质（示踪剂、扩散质）从 含量多处向含量少处传输转移的现象。
• 扩散包括分子扩散：分子运动产生
紊动扩散：紊流中流体微团的紊动
• 分子扩散慢，除微观的生化作用外，在环境问 题中并不发生实质性影响。但许多情况下，环 境中的物质分散问题可以按分子扩散来描述， 因为它们与分子扩散有强烈的相似之处。
一阶浓度矩
M1
xcdx
二阶浓度矩
M 2
x2cdx
（3）质量中心坐标
c
M1
M0
0
x
例：以源平面为坐标原点，则 M1 0 0 浓度分布曲线以纵轴为对称。
（4）浓度分布的方差和标准差
浓度分布可表示为
2
M2 M0
2
2Dmt
2Dmt
c
M
e
x2 2 2
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2
方差体现了浓度分布曲线的扩展宽度，随时间的增加而增 大。所以各时刻的浓度分布曲线可用不同的标准差表示。
M
x2
e 4Dmt
4Dmt
正态分布（高斯分布）
浓度解的分析
（1）浓度分布曲线
c
t1 < t2
0
x
随时间增长，扩散范围变宽而峰值浓度降低， 浓度分布曲线愈趋扁平。
（2）各阶浓度矩
M p
x pcdx
零阶浓度矩
M 0
cdx M
（表示浓度分布曲线与x轴所包围的面积，即扩散质量M，各时刻为常数）
分布源
c 扩散区
左半部各点初始浓度相 同，均为c0，右半部为 清水区（扩散区）。
p
dξ
ox
x
ξ
微小污染源 d 的质量 dM c0d 。扩散到p点的浓度
1 瞬时面源的一维扩散
c
从正交于扩散方向的一个面源均匀 集中投入质量M的扩散质，形成细 管中的一维扩散。
o
x
扩散方程
c
2c
t Dm x2
由量纲分析得解的结构： c
代入扩散方程中求函数 f
M
x
f(
)
4Dmt 4Dmt
令 x
4Dmt
左端 c M 1 [ f () df ]
t 2 4Dmt t
6.1分子扩散现象与扩散方程
1 分子扩散现象
两种不同物质通过分子运动而互相渗透的现象。
物质分子扩散的原因：
浓度扩散（存在浓度梯度） 温度扩散（存在温度梯度） 压力扩散（存在压力梯度） 强制扩散（存在其它作用力梯度）
2 分子扩散基本规律：Fick第一定律
1855年Fick 提出：单位时间通过单位面积的扩散 质与其在该面法向的浓度梯度成正比。
三维扩散 二维扩散 一维扩散
c t
Dm 2 c
c t
Dm
(
2c x 2
2c y 2
)
c t
Dm
2c x 2
6.2静止流体中的分子扩散求解
• 分子扩散方程中，若扩散系数为常数，方程 可线性化。在简单的初边值条件下，可求得 解析解。对复杂条件下求解只能借助数值解 法。
• 扩散方程求解和污染源的存在形式密切相关： 空间上：点源、线源、面源、体积源（空间 分布源） 时间上：瞬时源、时间连续源（恒定、非恒 定）
M
x2
y2
z2
c(x, y, z,t) 3
8(t) 2
exp( )
Dx Dy Dz
4Dxt 4Dyt 4Dzt
4 瞬时分布源的扩散
瞬时投入的污染物质不是集中在一点，而是分布在一定的空 间范围之内。可考虑为若干集中源的叠加。
（1）一维起始无限分布源的扩散
0 x0 t 0, c(x,0) c0 x 0
M M
M (c c dt)dxdydz c dxdydz t
c dxdydzdt t
c Qx Qy Qz 0 t x y z
Qx
Dmx
c x
Qy
Dmy
c y
c t
Dmx
2c x 2
Dmy
2c y 2
Dmz
2c z 2
Qz
Dmz
c z
若扩散为各向同性，即
Dmx Dmy Dmz Dm