线性规划的几种类型与基本不等式

线性规划与基本不等式

一、线性规划

例1：设变量,x y 满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤-⎩

，则目标函数2z x y =+的最小值为

A. 2

B. 4

C. 5

D. 7

例2：已知实数,x y 满足20006x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩

，若目标函数z x y =+的最大值为m ，最小值为n ，则m+n 为

A. 1

B. 6

C. 10

D. 12

例3：已知,x y 满足约束条件0101/2x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩

，若目标函数z ax y =+（a 为常数）仅在点11(,)22取得最大值，则实数a 的取值范围是

A. （-2,2）

B. （0,1）

C. （-1,1）

D. （-1,0）

例4：在平面直角坐标系中，不等式组040x y x y x a +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩

（a 是常数）所表示的区域的面积是9，那么实数a 的值为

A. 2

B. 2-

C. -5

D. 1

例5：已知变量,x y 满足的不等式组0210x y x kx y ≥⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩

表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k= A. 12-

B. 12

C. 0

D. 102

-或 例6：设,x y 满足约束条件3602000x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩

，若目标函数,(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为6，则46a b +的最小值为 A.

256 B. 253 C. 506 D. 503

例7：已知实数,x y 满足00220y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩，记11y t x -=+的最大值为m ，最小值为n ，则m-n= A.

43 B. 34 C. 43- D. 34

-

例8：已知变量,x y 满足约束条件111x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则x y z x y -=+的取值范围 A. (1,1)- B. (1,1]- C. [1,1)- D. [1,1]-

例9：当实数,x y 满足不等式组0022x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩

时，恒有3ax y +≤成立，则a 的取值范围

A. (,0]-∞

B. [0,)+∞

C. [0,2]

D. (,3]-∞

例10：已知点(,)P x y 坐标满足条件41x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩

，则22x y +最大值为

A. 2

B. 6

C. 10

D. 12

例11：定义在R 上的函数()f x 是减函数，且对任意的a R ∈，都有()()0f a f a -+=。若,x y 满足不等式22(2)(2)0f x x f y y -+-≤，则当14x ≤≤时，2x y -的最大值为

A. 1

B. 10

C. 5

D. 8

例12：已知实数,x y 满足约束条件37011x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩

，则||y x -的最大值为

A. 3

B. 4

C. 2

D.

二、基本不等式

例1：若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是 .

例2：变式：若44log log 2x y +=，求11x y

+的最小值.并求x,y 的值

例3已知54x <，求函数14245

y x x =-+-的最大值。

例4：求2710(1)

1x x y x x ++=>-+的值域。 例5：求函数2y =的值域

例6：已知0,0x y >>，且191x y

+=，求x y +的最小值。

变式： （1）若+

∈R y x ,且12=+y x ，求y x 11+的最小值

(2)已知+∈R y x b a ,,,且1=+y

b x a ，求y x +的最小值

例7已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22 ＝1，求x 1＋y 2 的最大值.

例8.（1）已知a >0，b >0，ab －(a ＋b )＝1，求a ＋b 的最小值。

2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。

例9、已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W ＝3x ＋2y 的最值.

作业：

1、已知,x y R +∈，且满足134

x

y +=，则xy 的最大值为 ________ 2、若正实数x ，y 满足26xy x y =++ ，则xy 的最小值是 。（变式：求2x +y 的最小值为______）

3、已知2lg 8lg 2lg ,0,0=+>>y x y x ，则y

x 311+的最小值是 .A 2 .B 22 .C 4

.D 32 4、函数log (3)1a y x =+-（0a >，1a ≠）的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则12m n

+的最小值为 5、设0a b ＞＞，则()

211a ab a a b ++-的最小值是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4

6、若,,0a b c >且2

22412a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值是 .

A .

B 3 .

C 2 .

D 7、设函数ln ,0()21,0x x f x x x >⎧=⎨--≤⎩

，D 是由x 轴和曲线()y f x =及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则2z x y =-在D 上的最大值为

8、若,x y 满足约束条件：02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩

；则x y -的取值范围为_____ 9、若直线x y 2=上存在点),(y x 满足约束条件⎪⎩

⎪⎨⎧≥≤--≤-+m x y x y x 03203，则实数m 的最大值为（ ）

A ．

21 B ．1 C ．2

3 D ．2 10、已知变量,x y 满足约束条件241y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为( )

()A 12 ()B 11 ()C 3 ()D -1