中考数学复习新定义题型专题训练

中考数学复习新定义题型专题训练
典例精析：
例1.我们把分子为1的分数叫做理想分数，如,,,111
234
任何一个理想分数都可以写成两个不
同理想分数的和，如()=+;=+;=+;=1111111111
236341245209 ；根据对上述式子的观察
思考：如果理想分数111
n a b
=+（n 是不小于2的正整数），那么a b += (用含n 的
点评：
本题可以视为“规律性的题型中的定义”，主要是根据定义（本题是“理想分数”）计算推理发现规律，从实例规律迁移解决问题.
2.若x 是不等于1的实数，我们把11x -称为x 的差倒数，如2的差倒数是1112
=--，1-的差倒数为()11
112
=--，现已知11x 3=-，2x 是1x 的差倒数，3x 是2x 的差倒数，4x 是3x 的
差倒数，…，依次类推，则 2020x =
.
例2.我们把a b c d 称作二阶行列式，规定它的运算法则为
a b
ad bc c d
=-，比如：232534245=⨯-⨯=-，如果有23x
01x
->，则x 的取值范围为 . 分析：
根据二阶行列式规定的运算法则可知：()2x 3x 10--⨯> ，解得：x 1>；∴故应填：
x 1>.
点评：
本题可以视为“运算建模题型中定义”，主要是根据定义所规定的运算法则进行运算推理来解决问题；这类题可以串联起数学的多个知识点，是中考中出现频率比较高的一种题型.追踪练习：
1.对于点(),x y 的一次操作变换()(),,1p x y x y x y =+-，且规定()()(),,n 1n 1p x y P P x y -=（n 为大于1的整数）；如()(),,1p 1231=-，()()()(),,(.),2111p 12P 12P 3124==-=，(),3p 12=
((,))(,)(,)122P p 12p 2462==-，则(,)2019p 11-= （ ）
A.()
,100902-
B.()
,101002-
C.(),100902
D.()
1010
02、2.对于正数x ，如果规定()1f x 1x =
+，例如：()11f 4145
==+，114f 145
14
⎛⎫
== ⎪⎝⎭+;根据上面的规定计算()()()()111f 2019f 2018f 2f 1f f f 220182019⎛⎫⎛⎫⎛⎫
++++++
++ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭ 的值
为
， ()()()()111f 2020f 2019f 2f 1f f f 220192020⎛⎫⎛⎫⎛⎫
++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
的值
二阶行列式运算法则”，计算填空：
； ⑵.
x 3x 2x 4x 3
+---= ；⑶.
2x x 26x 2
x
-=+，则x = .
4.若定义()a,b ☆()m,n am bn =+ ，则
⎛⋅ ⎝= .
5.对于两个不相等的实数a,b
，定义一种新的运算如下，)a b a b 0=+> ，如：
32= ()654 的值.
6.我们定义
a b ad bc c d =-，比如：()12
1623661236
-=-⨯-⨯=--=-；若x,y 均为
点评：
本题可以视为“探索题型中的新定义”，主要是根据定义计算推理论证，这类题一般要在定义的前提下进行匪类讨论，往往和存在性问题交融在一起.
追踪练习：
1.若平面直角坐标系中，两点关于过原点的一条直线成轴对称，则这两点就是互为镜面点， 这条直线叫镜面直线，如(),A 23）和(),B 32是以x y =为镜面直线的镜面点． ⑴.若(),M 41和(),N 14--是一对镜面点，则镜面直线为 .
⑵.若以y =为镜面直线，则(),E 20-的镜面点为 ．
2.如图，A,B 是⊙O 上的两个顶点，P 是⊙O 上的动点（P 不与A,B 重合），我们称APB
∠是⊙O 上关于点A,B 的滑动角.
3.定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内
ABCD 的准内点．⑴.如图2,AFD ∠与DEC ∠的角平分线相交于点P ．求证：点P 是四边形ABCD 的准内点．⑵.分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点．（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）
⑶.判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假”．①任意凸四边形一定存在准内点．（ ）②任意凸四边形一定只有一个准内点．（ ）
③若点P 是四边形ABCD 的准内点，则PA PB PC PD +=+或PA PC PB PD +=+（ ）.
例4. 对于实数a b 、，定义运算某“*”：()()
22
a a
b a b a b ab b a b ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩*.例如42*，因为42>，所
以2
424428=-⨯=*.若12x x 、是一元二次方程2x 5x 60-+=的两个根，则*12
x x = .
分析：
∵12x x 、是一元二次方程2
x 5x 60-+=的两个根∴()()x 2x 30--= 解得：x 3= 或x 2=
①.当12x 3,x 2== 时，1x *2x =2
3233-⨯=；②.当12x 2,x 3== 时，1x *2x =2
2333⨯-=-.
故应填：3或3-. 点评：
本题可以视为“开放题型中的新定义”，本题的结论是开放的，常常要根据条件分类讨论，结
合对应的定义法则进行运算推理（实际上是同一名称多种形式），这类题容易漏解.追踪练习：
1. 对实数a ☆b ()()
-⎧>≠⎪=⎨≤≠⎪⎩b b a a b,a 0a a b,a 0 ；比如2☆3-==3128，计算[2☆()-4]× [()-4☆
()-2]= .
2.在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点()111P x ,y 和()222P x ,y 的“非常距离”，给出以下概念：
若1212x x y y -≥- ，则点1P 和点2P 的“非常距离”距离为12x x -；.若1212x x y y -<- ，则点1P 和点2P 的“非常距离”距离为12y y -.
例如：点()1P 1,2和()2P 3,5。

因为1325-<-，点1P 和2P 的“非常距离”距离为253
-=.
也就是图1中线段1P Q 与线段2P Q 长度的较大值（点Q 为垂直于y 轴的直线1P Q 与垂直于x 轴的直线2P Q 交点）.
⑴.已知点1A ,02⎛⎫
-
⎪⎝⎭
,B 为y 轴上的一动点.①.若点A 和点B 的“非常距离”为2，写出一个满足条件点B 的坐标；②.直接写出点A 和点B 的“非常距离”的最小值.
⑵.已知C 是直线3
y x 34
=+的一个动点.
①.如图2，点D 的坐标是()0,1，求点C 和点D 的“非常距离”的最小值及相应的点C 的坐标；
②.如图3，E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C 和点E 的“非常距离”的C 的坐标 .
例5.先阅读材料，再根据解答：对于一个关于x 的代数式A ,若存在一个系数为正数关于x 的单项式F ,使
⋅A F
2x
的结果是所有系数均为整数的整式，则称单项式F 为代数式A 的“整系单项式” ，例如：
①2①1
当==321A ,F 2x x 时，由于⋅
=3212x x 12x ，故32x 是21x 的整系单项式； 当==521A ,F 6x x 时，由于
⋅=52
216x x 3x 2x ，故56x 是21x 的整系单项式；当=-=234A 3,F x 2x 3 时，由于
⎛⎫- ⎪
⎝⎭
=-243x 332x 2x 12x ，故24x 3是-332x
的整系单项式；
当=-=43A 3,F 8x 2x 时，由于
⎛
⎫- ⎪
⎝⎭=-43238x 32x 12x 6x 2x ，故48x 是-332x
的整系单项式；
显然，当代数式A 存在整系单项式F 时，F 有无数个，现把次数最低，系数最小的整系单项式F 记为()F A ,例如：⎛⎫⎛⎫=-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭3
221
34F 2x ,F 3x 2x 3x .
阅读以上材料并解决下列问题：⑴.判断：当=1
A x
时，=3F 2x A 的整系单项式（填“是”或“不是”）；
⑵.当=
-2
A 2x
时，()F A =
;⑶.解方程：()+-=
-⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭F x 14
112x 2F 12
x . 分析：本题的⑴根据⋅A F 2x 可计算判断；⑵问求()F A 不但要使⋅A F
2x
是整系单项式，而且要使
其“次数最低，系数最小”，所以要进行逆推，即222F 1x 4x F 2x x ⎛⎫-⋅ ⎪⎛⎫⎝⎭=-⋅ ⎪⎝⎭
,要使结果“次数最低，系数最小”,则2F x = ；⑶问仿照⑵问逆推出()21F x 12x,F 12x x ⎛
⎫+=-= ⎪⎝
⎭ ，然后再
解分式方程.
略解：
⑴.是；⑵.2x ；
⑶.∵()2
1F x 12x,F 12x x ⎛⎫+=-
= ⎪
⎝⎭ ∴原方程改写为2
2x 4
12x 22x 2-=-- 整理得：2
x 2
1x 1x 1
-=-- 解得x 1= 经检验x 1=是原方程的增根，所以原方程无解.
点评：
本题可以视为“阅读材料中的新定义”，这类题是要读懂定义的规则，按规则办事；本题通过数学建模串联起分式的混合运算和解方式方程，其中计算()F A 本题的难点，要根据
⋅A F
2x
和“次数最低，系数最小的整系单项式”的要求进行逆推；本题的阅读量大，有些显得抽象，由于本卷信息多，要在有限的时间内完成，对大部分学生有一定的挑战性！
追踪练习：1. 阅读材料
我们经常通过认识一个事物的局部或其特殊类型，来逐步认识这个事物；比如我们通过学习两类特殊的四边形，即平行四边形和梯形（继续学习它们的特殊类型如矩形、等腰梯形等）来逐步认识四边形.
我们对课本里特殊四边形的学习，一般先学习图形的定义，再探索发现其性质和判定方法，
然后通过解决简单的问题巩固所学知识；请解决以下问题：
如图，我们把满足AB AD,CB CD ==且AB BC =的四边形ABCD 叫做“筝形”；⑴.写出筝形的两个性质（定义除外）；⑵.写出筝形的两个判定方法（定义除外），并选出一个进行证明.
2.阅读下面的材料：
我们学过两条直线平行的定义.下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们平行的定义：设一次函数111(0)y k x b k =+≠的图象为直线1l ，一次函数222(0)y k x b k =+≠的图象为直线2l ，若12k k =，且12b b ≠，我们就称直线1
l 与直线2l
解答下面的问题：
①①①2①①①1①①①3
⑴.求过点(1,4)P 且与已知直线21y x =--平行的直线l 的函数表达式,并画出直线l 的图象；
⑵.设直线l 分别与y 轴、x 轴交于点A 、B ，如果直线m ：
(0)y kx t t =+>与直线l 平行且交x 轴于点C ，求出⊿ABC
的面积S 关于t 的函数表达式.
巩固练习：一.选择题：
1.概念：()()()()f a,b b,a ,g m,n m,n ==--，例如：()()()()f 2,33,2,g 1,41,4=--=，则
()g f 5,6-⎡⎤⎣⎦等于
（ ）
A.(),65-
B.(),56--
C.(),65-
D.(),56-
2.设{}min ,a b 表示、a b 这两个数中的最小值，如{}min ,111-=-，{}min ,322=，则关于x 的一次函数{}min ,y x 2x 1=-可以表示为（ ）
A.y x =
B.y 2x 1=-
C.,
,x x 1y 2x 1x 1
<⎧=⎨
-≥⎩
D.,
,x x 1y 2x 1x 1
>⎧=⎨
-≤⎩3.历史上，数学家欧拉最先把关于x 的多项式用记号()f x 来表示，把x 等于某数a 时的多项式的值用()f a 来表示，例如x 1=-时，多项式()2
f x x 3x 5=+-的值记为()f 1-，那么
()f 1-等于
（ ）
A.7-
B.9-
C.3-
D.1-
4.小刚用棋子摆放图形来研究数的规律，图1中棋子围成三角形，其颗数为3,6,9,12, 称为三角形数；类似的，图2中棋子围成正方形，其颗数为4,5,12,16, 称为正方形数，下列数中既是三角形数又是正方形数的是
（ ）
A.2014
B.2016
C.2018
D.2020 5.若定义抛物线满足()()
2
2n 11y x x n n 1n n 1+=-+++（n 0≠的自然数）；若该抛物线与x 轴交
于n n A ,B ，用n S 表示这n n A ,B 两点间的距离，则1232020S S S S ++++ =（ ） A.
20172018 B.20182019 C.20192020 D.2020
2021
6.定义[]a,b,c 为函数=++2
y ax bx c 的特征数，下面给出特征数为[]---2m,1m,1m 的函数
的一些结论：
①.当=-m 3时，函数图象的顶点坐标是⎛⎫
⎪⎝⎭
18,33；②.当>m 0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于32
；③.当<m 0时，函数在>
1
x 4
时，y 随x 的增大而减小；④.当≠m 0时，函数图象经过同一个点.其中正确的结论有（ ）
A.①②③④
B.①②④
C.①③④
D.②④7.如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”
．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（ ）A.,,123
B. ,,
11
C. ,,11
D. ,,12
8.若十位上的数字比个位上的数字、百位上的数字都大的三位数叫做中高数，如：796就是一个“中高数”．若十位上数字为7，则从3、4、5、6、8、9中任选两数，与7组成“中高数”的概率是（ ）A.
1
2
B.
2
3
C.
2
5
D.
35
二.填空题：
10.我们规定：一个n 边形（n 为整数，≥n 4）的最短对角线与最长对角线长度的比值，叫做这个n 边形的“特征值”，记为n λ，那么6λ =
.
11.若规定:⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 2343
56325436543
C ,C ,C ,121231234
,观察上面的计算过程，寻找规律并计算=6
10
C
.12.对于实数p,q ，我们假如用符号{}min p,q 表示p,q 两数中较小的数，如{}min 1,21=,
{}min 2,33--=-,若(){
}
2
2
min x 1,x 1+=,则x.=
.
13.若规定用符号[]
m 表示实数m 的整数部分，例如：⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
203 ，[]
=3.143
，按此规定
⎤+
⎦
1
的值为
.
14.
规定：[
]x 表示不大于
x
的最大整数，(
)x
表示不小于x 的最小整数，
[)
x
表示最接近x
的整
3
6
124812
数（x n 0.5≠+，n 为整数），例如：[]()[)2.32, 2.33,2.32=== ；则下列说法正确的是
.（写出所有正确说法的序号）
①.当x 1.7=时，[]()[)x x x 6++=；②.当x 2.1=-时，[]()[)x x x 7++=-；
③.方程[]()[)4x 3x x 11++=的解为1x 1.5<<；
④.当1x 1-<< 时，函数[]()y x x x =++的图象与正比例函数y 4x =图象有两个交点.15.定义一种运算符号↓，其规则为=-2
2
M N M N ↓,若已知=7a 13↓，则a 的值为 .
16.定义运算a ☆b =()-a 1b ，下列给出了关于这种运算的几点结论：
①.2☆()-2=6；②.a ☆b =b ☆a ；③.若+=a b 0。

则（a ☆b ）+（b ☆a ）=2ab ；④.若a ☆b =0，则=a 0 .其中正确结论序号是
　．（填序号）
17.若,,,=-=-=-
12312
111
a 1a 1a 1m a a ；则2020a 的值为 （用含m 的式子表
示），.
18.若记()==+22x y f x 1x ，其中()f 1表示当=x 1时y 的值，即()==+22
11
f 1211，⎛⎫
⎪⎝⎭
1f 2 表示当=1x 2时y 的值，即⎛⎫
⎪
⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
2
2
1112f ,25112；则()()()⎛⎫⎛⎫
++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
11f 1f 2f f 3f 23 ()()⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
11f 2020f
f 2021f 20202021 = ．
19.P 是⊿ABC 的边AB 上的动点（P 异于A,B ）,过点P 的直线截⊿ABC 截得的三角形与⊿
ABC 相似，我们不妨称这种直线为过P 的⊿ABC 的相似线，简记为()x P l （x 为自然数 ）.
⑴.如图，∠=∠=∠
A 90,
B
C ；当=BP 2PA 时，()1P l ，()2P l 都是过点P 的⊿ABC 的相似线（其中⊥1l BC ,2l ∥AC ）.此外，还有
条；
⑵.如图，∠=∠=
C 90,B 30,当
BP
BA
= 时，截得三角形
面积为⊿ABC 面积的1
4
.
20.如图，正方形ABCD 的边长为2，曲线1234BM M M M 叫“正方形ABCD 的渐开线”,其中 1122334BM M M M M M M 、、、、的圆心依次按A D C B 、、、循环，长度分别标记为1234l l l l 、、、、.
当弧线长度标记为2020l 时，2020l 的值为
.
22.对于平面直角坐标系中的任意两点111222P x ,y ,P x ,y ，称-+-1212x x y y 为12P ,P 两点的直角距离，记作()12d P ,P ；若()000P x ,y 是一定点，()Q x,y 是直线=+y kx b 上一动点，称()0d P ,Q 的最小值为0P 到直线=+y kx b 的直角距离；令()-0P 2,3 ,O 为坐标原点。

则：
⑴. ()0d O,P =
;
⑵.()-P a,3到直线=+y x 1的直角距离为6，则a = .
三.解答题：
23.规定○是一种新的运算符号，且a ○b =+⨯-+2a a b a 2，例如：2○3=+⨯-+222322=10.请你根据上面的规定试求：①.-2○1的值；②.1○3○5的值.
24.规定
=-a b ad bc c d ，比如：=⨯-⨯=-=-12142346234；-+=-2253x 5
32x 3
，试求-211x 5的值.
25.平面直角坐标系中．过一点分別作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积的“数值”相等，则这个点叫做和谐点．例如．图中过点P 分別作x 轴，y 轴的垂线．与坐标轴围成
矩形OAPB 的周长与面积的“数值”相等，则点P 是和谐点
.
M
⑴.判断点()M 1,2，()N 4,4）是否为和谐点，并说明理由；⑵.若和谐点()-P a,12在直线=-+y x b （b 为常数）上，求a,b 的值．
26.如图，在平面直角坐标系中，已知点()A 2,3、()B 6,3 ,连接AB ;如果点P 在直线=-y x 1上，且点P 到直线AB 的距离小于1，那么点P 是线段AB 的“临近点”.
⑴.判断点⎛⎫
⎪⎝⎭
75C ,22是否是线段AB 的“临近点”，并说明理由；⑵.若点()Q m,n 是线段AB 的“临近点”，求m 的取值范围.
27若两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，则成这两个二次函数为“同簇二次函数”.⑴.请写出两个同簇二次函数；
⑵.已知关于x 的二次函数=-++2
2
1y 2x 4mx 2m 1和=++2
2y ax bx 5；其中1y 经过()
A 1,1;若+12y y 为1y 的同簇二次函数，求函数2y 的表达式，并求当≤≤0x 3时，y 的最大值.
28.如图，概念：若双曲线()=
>k
y k 0x
与他的意图一条对称轴=y x 相交于A,B 两点，则线段AB 的长度为双曲线()=
>k
y k 0x
的对径.⑴.求双曲线=
1
y x 的对径；⑵.若双曲线()=>k
y k 0x
的对径为k 的值；
⑶.仿照上述概念，概念双曲线()=<k
y k 0x
的对径.
29.如图，概念：在直角三角形中，锐角α的领边与对边的比叫做角α的余切，记作cot α ，即图中=
AC
cot BC
α ，根据上述角的余切的概念，解答下列问题：⑴.
cot 30 =
；
⑵.如果，已知=
3
tan A 4
，其中∠A 为锐角，试求cot A 的值. 30.在学习锐角三角函数中，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化；类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，假如我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad ）.如图①在⊿
ABC 中，=AB AC ,顶角A 的正对记作sadA ，这时sadA BC
AB
=
=底边腰.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义，解下列问题：⑴.
sad60 =
.
⑵.对于<<
0A 180，∠A 的正对值sadA 的取值范围是 .
⑶.如图②，已知=
3
sin A 5
，其中∠A 为锐角，试求sadA 的值.
x
32.给出定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形.
⑴.在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形；
⑵.如图，将⊿ABC 绕顶点B 按顺时针方向旋转60°得到⊿DBE ，连AD,DC,CE ,已知
∠= DCE 30.
①.求证：⊿BCE 是等边三角形；
②.求证：+=2
2
2
DC BC AC ,即四边形ABCD 是勾股四边形
33.联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念.
概念：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三机型的准外心.举例;如图1，若=PA PB
,则点P 为⊿ABC 的准外心.
应用：如图. CD 为等边⊿ABC 的高，准外心
P 在高CD 上，且=
1
PD AB 2
，求∠APB 的度数.
探究：已知⊿ABC 为直角三角形，斜边=BC 5,=AB 3,准外心P 在AC 上，试探究PA 的长. 34.在平面直角坐标系xOy 中的某圆上，有弦MN ,
取MN 的中点P ,我们规定P 到某点（直线 ）的距离叫做“弦中距”，用符号、d 表示，以()-W 3,0半径为2的圆上。

⑴.已知弦MN 的长度为2.
①.如图
1，MN ∥x 轴时，直接写出到原点O 的、d 的长度；
②.如果MN 在圆上运动，在图2中画出示意图，并直接写出 原点O 的、d 的取值范围；⑵.已知()-M 5,0
，点N 为⊙W 上的一动点，有直线=-y x 2 ，求到直线、d 的的最大值.
35.阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”；例如，点()M 1,3 的特征线有：=x
1，=y 4 ，=+y x 2，=-+y x 4.
问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC ,点B 在第一象限，A,C 分别在
x
轴和y 轴上，抛物线()=
-+21
y x m n 4
经过B,C 两点，顶点D 在正方形内部.⑴.直接写出点()D m,n 的所有特征线；
⑵.若点D 有一条特征线=+y x 1 ，求此抛物线的解析式；
⑶.点P 是AB 边上除点A 外的任意一点，连接OP ，将⊿OAP 沿OP 折叠，点A 落在A'的位置；当点A 在平行于坐标轴的D 点的特征线上时，满足⑵中条件的抛物线象下平移多少距离，其顶点落在OP 上. 2020.4.25.
A
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