材料力学：弯曲正应力

m a
n a
m m’ n’
m
b m n
b
m’ n’
（2）变形前垂直于纵向直线的横向线（ mm , nn 等）变形后仍 为直线（ m’m’ , n’n’ 等） ，但相对转了一个角度，且与
弯曲后的纵向直线垂直。
平面假设 ：梁在受力弯曲后，原来的横截面仍 为平面，它绕着该横截面上的 某一轴 旋转了一 个角度，且仍垂直于梁弯曲后的轴线 。
C
D
a
F
a
则该段梁的弯曲就称为
纯弯曲。
+
F
+
简支梁 CD 段任一横截面
上，剪力等于零，而弯矩
为常量，所以该段梁的弯
Fa
+
曲就是 纯弯曲 。
推导 纯弯曲 梁横截面上正应力的计算公式。
推导公式时，要综合考虑 几何 ，物理 和 静力学 三方面 。 取 一 纯弯曲 梁来研究 。
1. 几何方面
m a n a
b m n
b
梁在加力前先在其侧面上画上一系列的横向线（如 mm ，nn 等） 以及横向线相垂直的一系列的纵向线 （如 aa ，bb 等） 。
m a
n a
m
m
b m n
b
梁变形后观察到的现象 （1）变形前相互平行的纵向直线（aa ，bb 等），变形后均为 圆弧线（a’a’ ，b’b’等 )，且靠上部的缩短靠下部的伸长。
d
（3）公式推导 用两个横截面从梁中假想地截取
长为 dx 的一段 。
由平面假设可知，在梁弯曲时， 这两个横截面将相对地旋转一个 角度 d 。
d
横截面的转动将使梁的凹边的纵 向线段缩短，凸边的纵向线段伸 长。由于变形的连续性，中间必 有一层纵向线段 O1O2 无长度改 变。此层称为 中性层 。
O1
dx
O2
O1O2 的长度为 dx 。
d
中性层与横截面的交线称
为 中性轴 。
中性轴与横截面的 对称轴成正交 。
O1
dx
O2
d
横截面的 对称轴
横截面
O1
dx
O2
中性层
中性轴
d
将梁的轴线取为 x 轴 。 横截面的对称轴取为 y 轴 。 中性轴取为 z 轴 。
Z
O1
dx
O2
x
y
d
为中性层上的纵向线段 O1O2
m
M
m
Fs
m
m

M
m
Fs
m
只有与切应力有关的切向内力元素 dFs = dA 才能合成剪力
只有与正应力有关的法向内力元素 dFN = dA 才能合成弯矩 所以，在梁的横截面上一般既有 正应力，又有 切应力
一、纯弯曲梁截面上的正应力
F F
若梁在某段内各横截面上的 弯矩为常量 ，剪力为零，
O1
dx
y
O2
d
y
y ( d ) dx
A
dx B1
B
d
AB1 B1 B y ( d ) AB1 O1 O 2 dx
中性层的曲率为
1 d dx


d dx
因为 是个非负的量于是
O1
dx y
O2
d
y

y

A
dx
B
B1
d


y

该式说明 ， 和 y 坐标成正比 , 而与中性轴 z 坐标无关 。 ， 因而， 横截面上到中性轴等
变弯后的曲率半径。
在横截面上取距中性轴为 y 处 的纵向线 AB。 作 O2B1 与 O1A 平行。 O2B1 的长度为 y 。
O1
dx
y
O2
d
y
A
B
B1
d
AB1 为变形前 AB 的长度 B1B 为 AB1 的伸长量 AB1 为 A 点的纵向线应变。
l AB1 B1 B AB1 O1 O2 l
E

Sz
0
SZ 0
中性轴必通过横截面的形心
中性轴过截面形心且与横截面的对称轴 y 垂直
C
Z
C
Z 中性轴 中性轴
y
y
压
M M C
Z
C
Z
拉
中性轴
中性轴 拉
y
y
压
中性轴将横截面分为 受拉 和 受压 两部分。
My
A z (dA)
E

A z
y dA
E

I yz 0
I yz 0
因为 y 轴是横截面的对称轴，所以 Iyz 一定为零。 该式自动满足
中性轴是横截面的形心主惯性轴
M Z A y (dA)
E

A y dA
2
E

Iz M
1 M EI z
y

Sz
FN dA E A ydA E A


0
E I yz 0
My
A z (dA)
E

A z
y dA

M Z A y (dA)
E

A y dA
2
E

Iz M
FN dA
A
E

A
ydA
Z
dA
M Z A y (dA)
y
FN dA
A
0
dA
1 dA
M y A z (dA) 0
M
Z
M Z A y (dA) M
y
O
x
dA
dA Z
因为该梁段是纯弯曲，因此 FN 和 My 均等于零， 而 Mz 就是 上横截面的弯矩 M 。
y
E E
材料力学：弯 曲正 应 力
对称弯曲的概念及计算简图 梁的剪力和弯矩 • 剪力图和弯矩图 平面刚架和曲杆的内力图
梁横截面上的正应力 • 梁的正应力强度条件 梁横截面上的切应力 • 梁的切应力强度条件
梁的合理设计
§ 4-4 梁截面上的正应力 • 梁的强度条件
当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上 既又弯矩 M ， 又有剪力 Fs 。
σ Eε E
y
ρ
M
中性轴
弯曲正应力
3. 静力学方面 在横截面上法向内力元素 dA
dA
1 dA
M
Z
构成了空间平行力系。
y
O
x
dA
dA Z
y
该空间平行力系简化为 x 轴方向的主矢
FN dA
A
dA
1 dA
M
O
Z
x
dA
对y 轴和 z 轴主矩
M y A z (dA)
y
=E

y

E
y E E
上式为横截面上 正应力 变化规律的表达式。
y E E
上式说明，横截面上任一点处
的正应力与该点到中性轴的距
Z百度文库
O
离 y 成正比 ； 在距中性轴为 y 的同一横线上
各点处的 正应力 均相等 。
y
y1
x
y
需要解决的问题
如何确定 中性轴的位置 ？ 如何计算 1/ ?
O1
dx
O2
d
y
远的各点，其线应变相等。 变
y
A d x dx
B
B1
d


y

Z
O1
dx
O2 O
d
x
y
y
A d x dx
B
y y
B1
2. 物理方面
假设： 纯弯曲时横截面上各点处的处于单轴应力状态 。 材料在线弹性范围内工作，且拉，压弹性模量相等 。 由单轴应力状态下的 胡克定律 可得物理关系