高中数学学习资料

抽象函数的性质问题解析抽象函数是高中数学的一个难点，也是近几年来高考的热点。

考查方法往往基于一般函数，综合考查函数的各种性质。

本节给出抽象函数中的函数性质的处理策略，供内同学们参考。

1、 定义域：解决抽象函数的定义域问题——明确定义、等价转换。

材料一：若函数)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，求函数)21(+=xf y 的定义域。

解析：由)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，知1+x 中的)3,2[-∈x ，从而411<+≤-x ，对函数)21(+=xf y 而言，有1124x-≤+<，解之得：),21(]31,(+∞--∞∈Y x 。

所以函数)21(+=x f y 的定义域为),21(]31,(+∞--∞Y总结：函数的定义域是指自变量的取值范围，求抽象函数的定义域的关键是括号内式子的地位等同（即同一对应法则后括号内的式子具有相同的取值范围），如本题中的1+x 与21+x的范围等同。

2、 值域：解决抽象函数的值域问题——定义域、对应法则决定。

材料二：若函数)1(+=x f y 的值域为]1,1[-，求函数)23(+=x f y 的值域。

解析：函数)23(+=x f y 中定义域与对应法则与函数)1(+=x f y 的定义域与对应法则完全相同，故函数)23(+=x f y 的值域也为]1,1[-。

总结：当函数的定义域与对应法则不变时，函数的值域也不会改变。

3、 对称性：解决抽象函数的对称问题——定义证明是根本、图象变换是捷径、特值代入是妙法。

材料三：设函数)(x f y =定义在实数集上，则函数)1(-=x f y 与)1(x f y -=的图象关于（ ） A 、直线0=y 对称 B 直线0=x 对称 C 直线1=y 对称 D 直线1=x 对称解法一（定义证明）：设点),(00y x P 是函数)1(-=x f y 的图象上的任意一点，则)1(00-=x f y ，),(00y x P 关于直线m x =的对称点为),2(00/y x m P -，要使点),2(00/y x m P -在函数)1(x f y -=的图象上，则)21()]2(1[000m x f x m f y -+=--=，应有121-=-m ，故1=m ，所以函数)1(-=x f y 与)1(x f y -=的图象关于直线1=x 对称。

解法二（图象变换法）：由函数)(x f y =的图象向右平移1个单位得到函数)1(-=x f y 的图象；由函数)(x f y =的图象关于y 轴对称得到函数)(x f y -=的图象，再向右平移1个单位，得到)1()]1([x f x f y -=--=的图象。

如图所示，选D 。

解法三（特值代入法）：由已知可得点))1(,0(-f P 在函数)1(-=x f y 的图象上，点))1(,2(-f Q 在函数)1(x f y -=的图象上，又点P 、Q 关于直线1=x 对称，选D 。

总结：了解一些简单结论对解题也是很有好处的。

如：函数)(x f y =满足)()(x b f x a f -=+，则函数)(x f y =的自对称轴为2b a x +=；函数)(x a f y +=与)(x b f y -=的互对称轴为x b x a -=+，即2ab x -= 4、 周期性：解决抽象函数的周期性问题——充分理解与运用相关的抽象式是关键。

材料四：设)(x f y =是定义在R 上的奇函数，其图象关于直线1=x 对称。

证明)(x f y =是周期函数。

证明：由)(x f y =的图象关于直线1=x 对称，得)()2(x f x f -=+，又)(x f y =是定义在R 上的奇函数，所以)()(x f x f -=-∴)()2(x f x f -=+，则)()]([)2()]2(2[)4(x f x f x f x f x f =--=+-=++=+由周期函数的定义可知4是它的一个周期。

总结：一般地，)()(x f T x f -=+,)(1)(x f T x f ±=+均可断定函数的周期为2T 。

5、 奇偶性：解决抽象函数的奇偶性问题——紧扣定义、合理赋值。

材料五：已知)(x f y =是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的R b a ∈,，都满足：)()()(a bf b af b a f +=⋅。

判断)(x f y =的奇偶性，并证明你的结论。

解析：令1==b a ，则)1(1)1(1)11(f f f ⋅+⋅=⋅，得0)1(=f ；令1-==b a ，则)1()1()1()1()]1()1[(-⋅-+-⋅-=-⋅-f f f ，得0)1(=-f ； 令1-=a ，x b =得)1()()1(])1[(-⋅+⋅-=⋅-f x x f x f ，得)()(x f x f -=- 因此函数)(x f y =为奇函数。

总结：赋值是解决多变量抽象函数的重要手段。

6、 单调性：解决抽象函数的单调性问题——紧密结合定义、适当加以配凑。

材料六：设)(x f y =是定义在[-1，1]上的奇函数，且对于任意的]1,1[,-∈b a ，当0≠+b a 时，都有：0)()(>++ba b f a f 。

若b a >，试比较)(a f 与)(b f 的大小。

解析：)]([)()()()()()()(b a b a b f a f b f a f b f a f -+•-+-+=-+=-，Θb a >，∴0>-b a ，又0)()(>++ba b f a f ，∴0)()(>-b f a f ，即)()(b f a f >。

总结：本题实质上是证明函数的单调性，有时也用到1)()(12>x f x f （或1)()(12<x f x f ）来判断。

抽象函数的单调性，一般不用导数判断。

7、 可解性：由抽象式求解析式问题——视)(x f 为未知数，构造方程（组）。

材料七：设函数)(x f 满足x xx f x f +=-+1)1()(……①)10(≠≠x x 且，求)(x f 。

解析：以x x 1-代x ，得x x x f x x f 12)11()1(-=--+-，……②以11--x 代x ，得12)()11(--=+--x x x f x f ，……③①+③-②得：x x x x x x f 12121)(2----++=所以)1(21)(23---=x x x x x f )10(≠≠x x 且 总结：在所给的抽象式中紧紧围绕)(x f ，将其余的式子替换成)(x f ，构造一个或几个方程，然后设法求解。

8、 凹凸性：解决函数的凹凸性问题——捕捉图象信息，数形结合。

材料八：如图所示，)(x f i )4,3,2,1(=i 是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0，1]中任意的1x 和2x ，任意]1,0[∈λ，)()1()(])1([2121x f x f x x f λλλλ-+<-+恒成立”的只有（ ） A 、)(1x f B 、)(2x f C 、)(3x f D 、)(4x f 解析：令21=λ，则不等式变为2)()()2(2121x f x f x x f +<+，可知函数)(x f i 是一个凹函数，故只有)(1x f 正确，选A 。

总结：函数的凹凸性在高中阶段没有专门研究，但也逐渐走入高考殿堂。

总之，因为抽象函数密切联系函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性等诸多性质，加上本身的抽象性、多变性，使得抽象函数这一难点更加扑朔迷离。

因此应不断挖掘隐含，灵活运用上述解题策略，定会收到良好的效果。

课外练习：函数()f x 是定义域在[0，1]上的增函数，满足()2()2x f x f =且(1)1f =，在每个区间111(,]22ii -(1,2,)i =g g g 上，()y f x =的图象都是斜率为同一常数k 的直线的一部分。

（1）、求(0)f 、1()2f 及1()4f 的值，并归纳出1()2i f (1,2,)i =g g g 的表达式；（2）、直线12i x =，112i x -=，x 轴及()y f x =的图象围成的图形的面积为i a (1,2,)i =g g g ，记12()lim()n x S k a a a →∞=+++g g g ，求()S k 的表达式，并写出其定义域和最小值。

（04，北京，18） 解析：（1）为了求(0)f ，只需在条件()2()2xf x f =中，令0x =，即有(0)2(0)f f =(0)0f ⇒=。

由1(1)2()2f f =及(1)1f =，得111()(1)222f f ==。

同理1111()()4224f f ==。

归纳11()22i i f =(1,2,)i =g g g 。

（2）、11122i i x -<≤时，1111()()22i i f x k x --=+-，1111211111111[()]()(1)22222242i i i i i i i i k a k -----=++--=-(1,2,)i =g g g 。

故{}n a 是首项为1(1)24k -，公比为14的等比数列，所以12()lim()n x S k a a a →∞=+++g g g 1(1)224(1)13414k k -==--。

()S k 的定义域是01k <≤，当1k =时取得最小值12。

抽象函数问题的“原型”解法抽象来源于具体。

抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的。

如()(0)f x kx k =≠有121212()()()()f x x k x x f x f x +=+=+可抽象为()()()f x y f x f y +=+。

那么y =k x 就叫做抽象函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+的“原型”（函数），分析抽象函数问题的解题过程及心理变化规律可知，一般均是由抽象函数的结构，联想到已学过的具有相同或相似结构的某类（基本）“原型”函数，并由“原型”函数的相关结论，预测、猜想抽象函数可能具有的某种性质使问题获解的，称这种解抽象函数问题的方法为“原型”解法。

下面给出中学阶段常用的“原型”（函数）并举例说明“原型”解法。

一、中学阶段常用抽象函数()f x 的“原型”（函数）1、()()()f x y f x f y +=+——y kx =(k 为常数）2、()()()f x y f x f y +=——y =xa （a ＞0且a ≠1）3、()()()f xy f x f y =+——log a y x = (a ＞0且a ≠1)4、()()()f xy f x f y =——ny x =(n 为常数）5、()()2()()22x y x yf x f y f f +-+=或()()2()()f x y f x y f x f y ++-=－－y =cos ωx (ω为常数）6、()()()1()()f x f y f x y f x f y ++=-－－y =tan x二、“原型”解法例析【例1】 设函数()f x 满足()()2()()22x y x y f x f y f f +-+=，且f (2π)=0，x 、y ∈R ；求证：()f x 为周期函数，并指出它的一个周期。