代数拓扑的主要内容及其历史

代数拓扑的主要内容及其历史

拓扑学的名称首见于德国数学家利斯廷（listing，-），拓扑是topology 的中文音译，以前长期被称作位置分析（analysis situs），关于位置分析的经典例子是欧拉解决的（Eluer，1707-1783）科尼斯堡七桥问题。拓扑学是研究几何图形在被弯曲，拉大，缩小或任意变形下保持性质不变得一门学科。

20世纪中期最伟大的数学家赫尔曼·外尔（H.weyl，1885-1955）曾经说过：20世纪将是抽象代数的魔鬼和拓扑学的天使争夺数学灵魂的时期。诚如此，从1900年希尔伯特在国际数学家大会上宣读的23个问题中竟然没有一个是拓扑的问题开始，到1935年在苏联召开的国际拓扑学大会的召开，拓扑学的发展可谓天翻地覆，一大批新的概念和理论建立了起来，整个拓扑学仿佛有做不完的问题。数学灵魂争夺的最终结果是群进入了拓扑学。一方面20世纪数学（特别是抽象代数学）的发展为拓扑学提供了工具从而形成了代数拓扑这一学科，另一方面拓代数扑学的发展反过来又促进了新的数学的产生（典型的例子是同调代数，范畴论）。

代数拓扑是现代数学的主流。法国布尔巴基学派的迪厄多内说过：代数拓扑和微分拓扑是现代数学的女王。陈省身先生当年在中央研究院主持工作训练新人时，吸取了苏联函数论学派的和波兰泛函分析学派的成功的经验，认为当时数学的主流乃是代数拓扑，应当以代数拓扑为主要学习内容，培养从全国各地选拔的青年才俊。这种方式取得了很大的成效，如首届国家最高科技奖吴文俊的早期工作就是代数拓扑，廖山涛，张素诚，杨忠道等都出自代数拓扑讨论班。

代数拓扑起源于庞加莱的组合拓扑学，本文旨在简要叙述一下代数拓扑的历史。毫无疑问，早期的代数拓扑学已经成为经典。本文简要介绍一下同调的思想发展史，即组合拓扑学是如何发展到代数拓扑学的。那么组合拓扑学的主要研究对象是什么？同调群是如何引入拓扑学的？同调群的拓扑不变性又是由谁证明的？上同调群、相对上同调群、局部同调群、上同调环之间有什么关系呢？通过一学期的学习，使我下定决心以这种方式写这篇作业。本学期的主要内容是多面体的同调论，我的思路是以重大人物的伟大功绩和重大定理的发明为线索，阐明代数拓扑中许多重要又不为人所知的事实和重大思想，这仅是我的一个尝试。

代数拓扑的主要方法思路：代数拓扑学中的最基本的研究对象是----单纯复合形及其多面体。然后从几何性质出发，利用群的术语，对于每一个多面体的一个固定的剖分，即对于每一个单纯复合形，引进它的同调群，同调群集中反映了单纯复合形的许多重要的几何性质。并进而引出了上同调群，并由此可以定义上同调环，代数拓扑最终导致了同调代数的产生。

1庞加莱（H.poincare,1854-1912）

庞加莱基本引进同调群，尽管他没有以群论的语言表述出来，但是庞加莱已经拥有了全部的同调思想，他引进的是另一个拓扑不变量--基本群。

庞加莱当时法国乃至世界上是伟大的法国数学家，被称为掌握全部数学的最后一位全才，他的哲学思维在数学家中也是首屈一指。庞加莱在1895年发表了他的论文【位置分析】，随后又做了5篇补充（1899,1900，1902,1902,1904），从而一举开创了组合拓扑学。

庞加莱的方法是以多面体为对象，把点、棱、面推广为标准构件----单形，然后把所有图形都分解为单形的组合---复形，从而得到其拓扑性质。（单形和复形的术语是又不劳威尔引入的）

从上面我们已经看出，庞加莱以一般流形以及把它们三角剖分之后构成的复合形为拓扑学的研究对象。并把欧拉公式推广到庞加莱公式，建立了庞加莱对偶定理。庞加莱还留下了一系列猜想，最著名的是庞加莱猜想和主猜测。庞加莱猜想一直吸引着其后数学家的注意，并最终以俄罗斯数学家佩雷尔曼解决而画上圆满的符号。佩雷尔曼也因此获得了2006年数学界最高的荣誉---菲尔兹奖。

组合拓扑学的最主要的拓扑不变量是贝蒂数和挠系数，对此庞加莱已经明了。因为庞加莱对偶定理明确告知我们：对于可定向的n维闭流形，k维挠系数=n-k维挠系数。

庞加莱的另一个大贡献是他引入一个非数值的拓扑不变量---基本群，在区分单连通上很有作用，基本群其实是一维同伦群。本文不讨论它们，因为我对此几乎一无所知。那么后来的同调群这个非数值的拓扑不变量引入组合拓扑，似乎也就没什么大惊小怪了。因为早在1895年庞加莱就定义了基本群，而同调群的引入是埃米•诺特提醒了拓扑学家，她这样认为：为什么非要把不变量看做数呢？苏联的数学家亚历山大洛夫和瑞士的霍普夫大受影响，从而开始了代数拓扑真正开始---群进入拓扑学。

群进入拓扑学没什么大不了的，当时的哥廷根大学是世界的数学中心，以埃米•诺特的为首的抽象代数学派如日中天，抽象代数的思维迅速的进入了数学的各个领域并且占有了它，拓扑、数论、几何都由于获得了新思路而生机勃勃，其后代数拓扑，代数数论，代数几何一直是数学的主流。代数拓扑就是在这个大背景下形成的。

那么我们看一下复形的同调群是怎么定义的。

单形

一个单形只不过是一个n维的三角形，也就是说0维的单形只不过是一个点，以为单行是一条线段，二维单形是一个三角形，三位单形是一个四面体，n维单形是一个具有n+1个定点的广义的四面体。

一个单形较低维的面还是单形。

复形

一个复形是具有下述性质的一组有限个单形：组中任何两个单形的交，如果有的话，是一个公共的面，并且组中每一个单形的面也是组中的单形。即单形要规则相处。

在引入同调群的过程中，最重要的是单形定向和边缘运算这两个概念。对于一组顶点，当选定过顶点的一个顺序，就给了它一个定向。

一个单形的边缘由这个单形所包含的低一维的单形组成。一个二维单形的边缘由三个一维的单形组成。边缘其实就是其顺向面的组合。

对于一个给定的复形，可以做它的q维定向单形的线性组合，系数我们一般取整数。这样一个线性组合我们称之为链。经过我们验证，所有的这样的链组成

一个群，我们叫做k维链群，记作(,)

C K J。这其实是一个自由Abel群。

q

一个边缘为零的链叫做一个闭链。所以有些链是闭链，这样的闭链组合在一

起也构成一个群，我们叫做q维闭链群，记作(,)

Z K J。闭链之中有些是其他链

q

的边缘我们把它叫做q维边缘链，我们把闭链群中边缘链组合起来，发现也构成

一个群，我们把这样的群叫做q维边缘链群，记作(,)

B K J。

q