代数拓扑的主要内容及其历史

代数拓扑的主要内容及其历史拓扑学的名称首见于德国数学家利斯廷（listing，-），拓扑是topology 的中文音译，以前长期被称作位置分析（analysis situs），关于位置分析的经典例子是欧拉解决的（Eluer，1707-1783）科尼斯堡七桥问题。

拓扑学是研究几何图形在被弯曲，拉大，缩小或任意变形下保持性质不变得一门学科。

20世纪中期最伟大的数学家赫尔曼·外尔（H.weyl，1885-1955）曾经说过：20世纪将是抽象代数的魔鬼和拓扑学的天使争夺数学灵魂的时期。

诚如此，从1900年希尔伯特在国际数学家大会上宣读的23个问题中竟然没有一个是拓扑的问题开始，到1935年在苏联召开的国际拓扑学大会的召开，拓扑学的发展可谓天翻地覆，一大批新的概念和理论建立了起来，整个拓扑学仿佛有做不完的问题。

数学灵魂争夺的最终结果是群进入了拓扑学。

一方面20世纪数学（特别是抽象代数学）的发展为拓扑学提供了工具从而形成了代数拓扑这一学科，另一方面拓代数扑学的发展反过来又促进了新的数学的产生（典型的例子是同调代数，范畴论）。

代数拓扑是现代数学的主流。

法国布尔巴基学派的迪厄多内说过：代数拓扑和微分拓扑是现代数学的女王。

陈省身先生当年在中央研究院主持工作训练新人时，吸取了苏联函数论学派的和波兰泛函分析学派的成功的经验，认为当时数学的主流乃是代数拓扑，应当以代数拓扑为主要学习内容，培养从全国各地选拔的青年才俊。

这种方式取得了很大的成效，如首届国家最高科技奖吴文俊的早期工作就是代数拓扑，廖山涛，张素诚，杨忠道等都出自代数拓扑讨论班。

代数拓扑起源于庞加莱的组合拓扑学，本文旨在简要叙述一下代数拓扑的历史。

毫无疑问，早期的代数拓扑学已经成为经典。

本文简要介绍一下同调的思想发展史，即组合拓扑学是如何发展到代数拓扑学的。

那么组合拓扑学的主要研究对象是什么？同调群是如何引入拓扑学的？同调群的拓扑不变性又是由谁证明的？上同调群、相对上同调群、局部同调群、上同调环之间有什么关系呢？通过一学期的学习，使我下定决心以这种方式写这篇作业。

本学期的主要内容是多面体的同调论，我的思路是以重大人物的伟大功绩和重大定理的发明为线索，阐明代数拓扑中许多重要又不为人所知的事实和重大思想，这仅是我的一个尝试。

代数拓扑的主要方法思路：代数拓扑学中的最基本的研究对象是----单纯复合形及其多面体。

然后从几何性质出发，利用群的术语，对于每一个多面体的一个固定的剖分，即对于每一个单纯复合形，引进它的同调群，同调群集中反映了单纯复合形的许多重要的几何性质。

并进而引出了上同调群，并由此可以定义上同调环，代数拓扑最终导致了同调代数的产生。

1庞加莱（H.poincare,1854-1912）庞加莱基本引进同调群，尽管他没有以群论的语言表述出来，但是庞加莱已经拥有了全部的同调思想，他引进的是另一个拓扑不变量--基本群。

庞加莱当时法国乃至世界上是伟大的法国数学家，被称为掌握全部数学的最后一位全才，他的哲学思维在数学家中也是首屈一指。

庞加莱在1895年发表了他的论文【位置分析】，随后又做了5篇补充（1899,1900，1902,1902,1904），从而一举开创了组合拓扑学。

庞加莱的方法是以多面体为对象，把点、棱、面推广为标准构件----单形，然后把所有图形都分解为单形的组合---复形，从而得到其拓扑性质。

（单形和复形的术语是又不劳威尔引入的）从上面我们已经看出，庞加莱以一般流形以及把它们三角剖分之后构成的复合形为拓扑学的研究对象。

并把欧拉公式推广到庞加莱公式，建立了庞加莱对偶定理。

庞加莱还留下了一系列猜想，最著名的是庞加莱猜想和主猜测。

庞加莱猜想一直吸引着其后数学家的注意，并最终以俄罗斯数学家佩雷尔曼解决而画上圆满的符号。

佩雷尔曼也因此获得了2006年数学界最高的荣誉---菲尔兹奖。

组合拓扑学的最主要的拓扑不变量是贝蒂数和挠系数，对此庞加莱已经明了。

因为庞加莱对偶定理明确告知我们：对于可定向的n维闭流形，k维挠系数=n-k维挠系数。

庞加莱的另一个大贡献是他引入一个非数值的拓扑不变量---基本群，在区分单连通上很有作用，基本群其实是一维同伦群。

本文不讨论它们，因为我对此几乎一无所知。

那么后来的同调群这个非数值的拓扑不变量引入组合拓扑，似乎也就没什么大惊小怪了。

因为早在1895年庞加莱就定义了基本群，而同调群的引入是埃米•诺特提醒了拓扑学家，她这样认为：为什么非要把不变量看做数呢？苏联的数学家亚历山大洛夫和瑞士的霍普夫大受影响，从而开始了代数拓扑真正开始---群进入拓扑学。

群进入拓扑学没什么大不了的，当时的哥廷根大学是世界的数学中心，以埃米•诺特的为首的抽象代数学派如日中天，抽象代数的思维迅速的进入了数学的各个领域并且占有了它，拓扑、数论、几何都由于获得了新思路而生机勃勃，其后代数拓扑，代数数论，代数几何一直是数学的主流。

代数拓扑就是在这个大背景下形成的。

那么我们看一下复形的同调群是怎么定义的。

单形一个单形只不过是一个n维的三角形，也就是说0维的单形只不过是一个点，以为单行是一条线段，二维单形是一个三角形，三位单形是一个四面体，n维单形是一个具有n+1个定点的广义的四面体。

一个单形较低维的面还是单形。

复形一个复形是具有下述性质的一组有限个单形：组中任何两个单形的交，如果有的话，是一个公共的面，并且组中每一个单形的面也是组中的单形。

即单形要规则相处。

在引入同调群的过程中，最重要的是单形定向和边缘运算这两个概念。

对于一组顶点，当选定过顶点的一个顺序，就给了它一个定向。

一个单形的边缘由这个单形所包含的低一维的单形组成。

一个二维单形的边缘由三个一维的单形组成。

边缘其实就是其顺向面的组合。

对于一个给定的复形，可以做它的q维定向单形的线性组合，系数我们一般取整数。

这样一个线性组合我们称之为链。

经过我们验证，所有的这样的链组成一个群，我们叫做k维链群，记作(,)C K J。

这其实是一个自由Abel群。

q一个边缘为零的链叫做一个闭链。

所以有些链是闭链，这样的闭链组合在一起也构成一个群，我们叫做q维闭链群，记作(,)Z K J。

闭链之中有些是其他链q的边缘我们把它叫做q维边缘链，我们把闭链群中边缘链组合起来，发现也构成一个群，我们把这样的群叫做q维边缘链群，记作(,)B K J。

q而k 维闭链群和k 维边缘链群的商群()()q q Z K B K 就是这个复形的同调群，记作(,)q H K J ！ 这里只不过是用群的语言进行了一下描述，前面已经说过，庞加莱已经定义了贝蒂数和挠系数，而整同调群的结构定理恰恰告诉我们，告诉了我们同调群就知道了贝蒂数和挠系数，二者是一样的！整同调群的结构：n 维的有限复形K 的q 维整同调群能唯一分解成下述直和：1q ()q H K J J J J J θθ=++++++…………。

前面为q R 个J 的直和，q R 就是前面所述的贝蒂数，i ϑ就是前面所述的挠系数。

同调群（贝蒂数，挠系数）可以取自不同的系数群。

美国数学家维不仑和亚历山大引进了模2同调群，模2同调群的优点是不用区分方向。

同为美国数学家的莱夫谢兹用有理数做链的系数，而苏联数学家庞特亚里金则更加广泛，直接用交换群作为链的系数。

这些都是对同调群的推广。

同调群反映了复形的几何性质。

例如n 维有限复形的零维贝蒂数等于复形的连通分支的个数。

庞加莱公式：欧拉得出了多面体的欧拉公式，即V-E+F=2。

而单形和复形是多面体的推广，庞加莱把它推广到n 维复形，其中q 维单形的个数是q a ，q 维贝蒂数是q R ，则庞加莱示性数为0(1)nn q q a =-∑，它等于0(1)n n q q R =-∑。

这是复形的一个拓扑不变量。

关于如何计算同调群，庞加莱用关联矩阵给出了算法，当时还没有计算机，这在现代情形下可以用计算机来机械完成。

至此我们大致说清楚了同调群。

庞加莱的思想太过超前，且注意直觉思维的重要性。

当时，大多数法国数学家把自己限制在狭小的范围内研究函数论，而没有关注庞加莱的拓扑学思想。

实际上，庞加莱的思想广博深刻，大大超越了时代，庞加莱的工作在法国后继无人，关于关同调群的拓扑不变性的严密证明（实际上是贝蒂数和挠系数不变性）庞加莱也没有完成。

虽然法国没人继承，但是拓扑学的思想已经生根开花，世界范围内涌现出一大批拓扑学家。

尤其著名的是布劳威尔，霍普夫，后来更是形成了苏联和美国两大拓扑学派。

在为代数拓扑注入了严密基础的数学家中，有一个人不得不提，他就是直觉主义的另一旗帜人物—布劳威尔。

2布劳威尔布劳威尔是荷兰伟大的数学家和哲学家，直觉主义的坚定拥护者。

在1909-1913年短短的5年里，他创立了单形逼近方法来证明拓扑不变形，其中尤为著名的是维数的拓扑不变性。

我们在这里提两个重要的概念和定理，一是单形逼近，二是不劳威尔不动点定理。

我们重点关注一下同调群的拓扑不变性是如何证明的。

如果两个多面体作为拓扑空间同胚，那么它们的同调群有什么关系呢？答案是同构。

本学期所学习的课程从重心重分开始，从复形K 的链群到重心重分SdK 的链群建立了链映射，并诱导出了同调群的同态，进而证明了同调群的重分不变性，并用重分不变性证明了拓扑不变性。

最后提到了伦型不变性，虽然伦型不变性包括了前两者，但是作为历史，我们有必要看一下这个思想过程。

复形K 和L 之间的链群(),()q q C K C L 存在一序列的同态q f ，那么它们的同调群(),()q q H K H L 有什么关系呢？答案是什么也没有。

链映射：但是当这组同态q f 满足1q q q q f f -∂=∂时，称为复形K 到复形L 的一个链映射，这时则链映射可诱导出同调群的同态。

由此不同的链映射可诱导出不同的同调群(),()q q H K H L 的同态，但是什么时候诱导出的同态相同呢？当两个链映射同伦时，诱导出相同的同调群之间的同态。

链同伦：q D ：1()()q q C K C L +−−→，满足11q q q q q q D D g f +-∂+∂=-。

D 叫做从f 到g 的连轮移。

到底复形K 和复形L 之间能否建立链映射呢？这点通过单纯映射得到了保证。

我发现，代数拓扑的所有定义都是从单形开始定义，然后定义复形，进而定义到链，这是否是一个规律呢？单纯映射既有明显的几何直观，又自然诱导出一个链映射。

在同调群的重分不变性的证明中，关键的两个概念是重分链映射和标准链映射，分别是K 到SdK 的链映射和SdK 到K 的链映射，我们可以证明这两个链映射诱导出的同调群的同态互逆，从而一举证明了同调群的重分不变性。

在同调群的拓扑不变性的证明中，我们证明了任何一个映射都可以由单纯映射来“逼近”，我觉得这点和非线性函数由线性函数逼近，不连续函数由连续函数逼近类似。