第五章 刚体的定轴转动

第五章刚体的定轴转动
到现在为止，我们主要用力学的基本概念和原理，如牛顿定理，冲量和动量，功和能等概念以及动量、角动量和能量守恒定理来研究质点及质点系的运动。

本章将要介绍一种特殊的质点系—刚体，以及它所遵从的力学规律。

其本质是前几章所讲的基本概念和原理在刚体上的应用。

对于刚体，本章主要讨论定轴转动这种简单的情况以及它所涉及的一些重要物理概念和定理，如转动惯量、力矩、刚体的动能和角动量，转动定理，及包括刚体的系统守恒定理等。

§5-1 刚体运动的描述
一、刚体
所谓刚体就是其中各部分的相对位置保持不变的物体。

实际上，任何物体都不是绝对坚硬的。

但是，很多物体，诸如分子，钢梁，和行星等等是足够坚硬的，以致在很多问题中，可以忽略它们形状和体积变化，把它们当作刚体来处理。

这就是说，刚体是受力时形状和体积变化可以忽略的理想物体。

二、刚体的运动
刚体是一种由大量质点组成，并且受力时不发生相对移动的特殊质点系。

既然是质点系，所以以前讨论的关于质点系的基本定理都可以应用。

刚体的运动可分为平动和转动两种。

而转动又可分为定轴转动和非定轴转动。

若刚体中所有质点的运动轨迹都保持完全相同，或则说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线，如下图中的参考线，则刚体的这种运动叫做平动。

因此，对刚体平动的研究，可归结为对质点的研究，通常都是用刚体质心的运动来代表平动刚体的运动。

B
当刚体中所有的点都绕着同一直线作圆周运动时，这种运动叫转动，（如下图所示）这条直线叫转轴。

如果转轴的位置或方向是随时间改变的，这个转轴为瞬时转轴。

如果转轴的位置或方向是固定不动，这种转轴为固定转轴，此时刚体运动叫做刚体的定轴转动。

刚体的一般运动
比较复杂，但可以证明，其运动可看作是平动和转动的叠加。

转动是刚体的基本运动形式之一，作为基础，本章只讨论刚体的定轴转动。

三、 刚体定轴转动的描述
刚体在作定轴转动时，刚体内的各个质点均绕给定轴作圆周运动。

各质点的线速度和线加速度则因为各点到转轴的距离不同而各不相同。

但由于各质点的相对位置保持不变，所以描述各质点的角量，如角位移θ∆、角速度ω和角加速度α都是一样的。

因此描述刚体整体运动时用角量最为方便。

而质点在圆周运动时，其角量和线量的关系，我们在讲述质点的圆周运动时，已作过介绍。

下面来说明一下，为了充分反映刚体的转动情况，如何用矢量来表示角速度的问题。

定义：刚体中的任意质点的角速度矢量和线速度矢量存在如下关系：
r ωv ⨯= （6-1）
讨论：1）r 代表任意质点的位置矢量 ，κϕιρz y x ++= 2）v 代表任意质点的速度矢量， κϕιϖζψξϖϖϖ++=
3）ω代表任意质点的角速度矢量，0r ωω=，o r 方向是质点的转动方向的右手螺旋（如图所示）
4）刚体中的任意质点的位置矢量和速度矢量并不一定在同一 平面上，这一点和质点
的圆周运动是有所区别的，这也是引入角速度矢量的原因。

例6-1 一个刚体以每分种60转绕z 轴作匀速转动。

设 某时刻刚体上一点P 的位置矢量为5κ4ϕ3ιρ++=，其单位为“m 102
-”，若以“1
2
s m 10--⋅”为速度单位，求该时刻P 点的
速度。

解：已知 min 60rev
n ==
s rev
6060=s
rev 1 s rad s rad n ππω22== s
rad k ωπ2=
()s
m 6ℵϕ
8ℵι5κ4ϕ3ι2ℵκ+-=++⨯=⨯=ρϖω 由此题可见，利用角速度的矢量表示，可以方便求解刚体内的任意质点的线速度。

（由于单个质
点的圆周运动，质点的位置矢量和速度矢量是在同一平面上的，而刚体中的任意一个质元，绕轴转动时，其位置矢量和速度矢量是不在同一平面上。

故用角速度标量式计算就比较复杂。

）
例6-2 一个飞轮半径为m 2.0、转速为1
min 150-⋅rev ，因受到制动而均匀减速，经s 30停止转动，试求：1）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；2）制动开始后s t 6=时飞轮的
角速度；3）s t 6=时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度。

解 1）由题意知10560
150
2-⋅=⨯=
s rad ππω；s t 30=时，0=ω。

设 0=t 时，00=θ。

因飞轮作匀减速运动，
20
6
3050-⋅-=-=
-=
s rad t
π
πωωα ()rad o πππαωωθ75625222
2=⎪
⎭
⎫
⎝⎛-⨯-=-= 于是，飞轮共转 5.372752===
π
ππθN 圈 2）在s t 6=时，飞轮的角速度为 10466
5-⋅=⨯-
=+=s rad t ππ
παωω
3）在s t 6=时，飞轮边缘上一点的线速度的大小为 115.2)(42.0--⋅=⋅⨯==s m s m r v πω 2
2105.062.0--⋅-=⋅⎪⎭
⎫ ⎝⎛-
⨯==s m s m r a t πα ()222
26.3142.0--⋅=⋅⨯==s m s m r a n πω
例6-3 在高速旋转的微型电动机里，有一圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动。

开始时，它的角速度00=ω，经过s 300后，其转速达到1
min 18000
-⋅rev 。

已知转子的角加速度α与时间成正比。

问在这段时间内，转子转过多少转？
解：由题意知。

转子是绕定轴转动，且角速度α是随时间的延长而增大的，故转子是作变角
加速度定轴转动。

设转子的角加速度为 ct =α
其中c 为比例常数，由角加速度定义及上式，有 ct t
==
d d ω
α t ct d d =ω 由题意有 ⎰⎰=ω
ω0
d d t t t c 积分得 2
2
1ct =
ω （1） 由题给出条件知，在s t 300=时， 11600min 18000
--⋅=⋅=s rad r πω 所以 1
2
275300
60022-⋅=⨯==s rad t c ππω 代入（1）式 2150
t π
ω=
由角速度定义及上式有 2150
d d t t πθω==
两边积分 t t t
d 150d 0
2
⎰⎰=
θ
π
θ 3450
t π
θ=
在s 300内，转子转过的转数为 ()43103300450
22⨯=⨯=
=
ππ
πθN §5-2 力矩 转动定理 转动惯量
这一节，我们将讨论刚体定轴转动的动力学问题，即研究刚体获得角加速度的原因及刚体绕定轴转动时所遵守的定理。

因此，我们将引进力矩、转动惯量、转动定理及平行轴定理等物理概念和定理。

一、 力矩
对于一个存在转轴的静止的刚体，它能否发生转动，不仅取决于它受力方向与大小，而且还与力的作用点和作用线有关。

力矩就是全面考虑这些因素的重要物理量。

在上一章我们讨论了力对给定点的力矩。

而在刚体的定轴转动中，力是对给定转轴的力矩。

在讨论力矩之前首先引入转动平面概念，转动平面就是垂直于转轴的平面，下面以力是否在转动平面内来分别讨论。

1 力在转动平面内
如图所示，当外力作用于刚体，力Φ对于0点产生的力矩
ΦρM ⨯= （6-2）
它和力对给定点的力矩的形式是完全一样的，其使用方法参看上一章。

2 力不在转动平面内
当力不在转动平面内，如图，可分解为在转动平面内的分力1F 和垂直于转动平面的
分力2F ，代入上式
()21ΦΦρM +⨯=21ΦρΦρ⨯+⨯=01+⨯=Φρ （6-3）
其中，2F r ⨯，以右手螺旋法则可知，它的方向与转轴垂直，它对刚体的转动没有影响，故可认为其大小为零。

而1F r ⨯方向和转轴z 0一致。

故如无特别指出，一般我们考虑的力均在转动平面内
二、 刚体定轴转动定理 转动惯量
1、刚体定轴转动定理
在外力矩的作用下，绕定轴转动的刚体的角速度会发生变化，即具有角加速度。

下面来讨论外力矩和角加速度的关系。

如图所示，刚体可看成为是由大量质点组成系统，此刚体绕定轴转动，于是刚体上的任意质点都绕z 0轴作圆周运动。

在刚体上取任意一个质点i
，质量为i m ，绕z 0作半径
为i r 的圆周运动。

设质点i 受到外力i F 和内力i f 作用，并设外力和内力均在转动平面内。

由牛顿第二定理，质点i 在法向和切向的运动方程为
αθϕi i ti i i i i i r m a m f F ==+sin sin （1）
2cos cos ωθϕi i ni i i i i i r m a m f F ==+ （2）
由（1）式两边乘i r
αθϕ2sin sin i i i i i i i i r m r f r F =+ 若考虑所有质点的受力情况。

由上式可以得到
αθϕ2
sin sin i i i i i i i i r m r f r F ∑∑∑=+
其中
i
i
i r f ϕs i n
∑代表刚体所受的内力矩，由牛顿第三定理可知任 意质点的作用力和反作用力大小相等方向相反。

故
0sin =∑i
i i r f θ
，
而由（6-2）可知，M r F i i i =∑ϕsin ，M 为刚体所受的合外力矩。

这样上式可以表示为
()α⋅=∑2
i
i r m M （6-4）
式中的
2
i
i r
m ∑ 与刚体的形状、质量分布以及转轴的位置有关，也就是说，它只与绕定
轴转动的刚体本身的性质和转轴的位置有关，叫转动惯量，它为一恒量，以J 表示 ，即
αJ M ==t
J d d ω
（6-5） 上式表明，刚体绕定轴转动时，刚体的角速度与它所受的合外力矩成正比，与转动惯量成反比，这个关系叫做定轴转动时刚体的转动定理，简称转动定理。

如同牛顿第二定理是解决质点运动问题的基本定理一样，转动定理是解决刚体转动问题的基本方程。

我们把上式与牛顿第二定理公式a F m =加以比较可以发现，前者中的合力矩 相当于后者的合外力，前者中的角加速度相当于后者中的加速度，而刚体的转动惯量J 则和质点的惯性质量相对应。

可以说，转动惯量表示刚体在转动过程中表现的惯性，转动惯量由此明名的。

2、转动惯量 按（6-4）转动惯量可定义为 2
i
i r
m J ∑=
（6-6）
即刚体上各质点的质量与各质点到转轴的距离平方的乘积之和，如刚体上的质点是连续分布的，则其转动惯量可以用积分进行计算，即
m r J d 2⎰= （6-7）
讨论：1）其中，r 表示任意一个质点到转轴的距离。

2）dm 表示，该质点的质量⎪⎩
⎪
⎨⎧=l S V m d d d d λσρ ρ代表体密度，σ代表面密度，λ代表
刚体线密度。

3）转动惯量的大小取决与刚体的质量对转轴的分布。

例6-4 求质量为m ，半径为R 的均匀薄圆环的转动惯量，轴于圆环平面垂直并且通过其圆心。

解： 如图（）所示，环上各个质元到轴的垂直距离都相等，而且等于R ，所以
⎰⎰==m R m R J d d 22 后一积分的意义
是环的总质量m ，所以有
2mR J =
由于转动惯量是可加的，（2
i
i r
m J ∑=）所以一个质量为m ，半径为R 的薄圆筒对其转轴
的转动惯量也是2
mR 。

例6-5 求质量为m ，半径为R ，厚度为l 的均匀圆盘的转动惯量，轴与盘面垂直并通过圆心。

解：如图（）所示，圆盘可以认为是由许多个薄圆环组成。

取任一个半径为r ，宽度dr 为的薄圆环。

它的转动惯量例6-4计算出的结果为
m r J d d 2=
其中dm 为薄圆环的质量。

以ρ表示圆盘的密度，则有
r rl m d 2d πρ=
代入上一式可得
r l r J d 2d 3ρπ=
因此
ρπρπl R r l r J J R
40
321
d 2d ===⎰⎰
由于
l R m
2πρ= 所以
22
1
mR J =
此例中对l 并不限制，所以一个质量为m ，半径为R 的均匀实心圆柱对其转轴的转动惯量也是
22
1
mR 。

例6-6 求长度为L ，质量为m 的均匀细棒AB 的转动惯量； （1） 对于通过棒的一端与棒垂直的轴； （2） 对于通过棒的中点与棒垂直的轴。

（6-6a ） (6-6b)
解：（1）如图（6-6a ）所示，沿棒长度方向取x 轴，取任意一个微元为dx 。

以λ表示单位长度的质量，则这一个微元的质量为dx dm λ=。

对于在棒的一端的轴来说，
30
22
31
d d L x x m x J L
A λρ===⎰⎰
将L
m
=λ代入，可得
2
3
1mL J A =
（2）对于通过棒的中点的轴来说，如图（6-6b ）所示，棒的转动惯量应为
3
2
2
2212
1L dx x dm x J L L C λλ==
=⎰⎰+
- 以L
m
=λ代入，可得
212
1
mL J C =
3 平行轴定理
由上面例6-6的结果可知，对于不同的转轴，同一刚体的转动惯量是不同的。

同时我们可以导出一个对于不同转轴的转动惯量之间的一般关系。

以m 表示刚体的质量，以C J 表示它对于通过其质心C 的轴的转动惯量，若另一个轴与此轴平行并且相距为d ，则此刚体对于后一轴的转动惯量为
2md J J C += （6-8）
这一关系叫做平行轴定理。

大家可以将上面的例题用平行轴定理再进行验算，它们的结果是完全相同的。

证明略。

例6-7 如图所示，一个细杆和圆盘的组合刚体绕z 0轴转动，圆盘中心轴与z 0轴平行，细杆质量为l m ，小圆盘的质量为R m ，求 刚体的转动惯量。

解：由转动惯量的基本定义 2
i
i
i r
m J ∑= 可知
R L J J J +=总
2
3
1mL J L =
根据平行轴定理，小圆盘对于z 0轴的转动惯量为
2d m J J R C R +=
其中 2
2
1R m J R C =，R L d +=
所以 ()2221R L m R m J R R R ++= 所以 ()2222
131R L m R m L m J R R L +++=总
三、 刚体定轴转动定理的应用
刚体的转动定理和牛顿第二定理一样，它的研究对象是单一刚体。

故在讨论刚体和质点所形成的系统时，也和牛顿定理应用一样，需要把它们隔离，对于每一个刚体或质点，分别用转动定理或牛顿定理来分别讨论。

下面以单个刚体和刚体与质点系统，分别举例如下。

1、单个刚体的定轴转动问题 例6-8 如图所示，一长为l 、质量为m 的匀质细杆竖直放置，其下端与一个固定铰链0相接，并可绕其转动。

细杆由静止开始绕铰链0转动。

试计算细杆转到与竖直方向呈夹角时的角加速度和角速度。

解：细杆受到两个力作用，一个是重力∏，另一个是铰链对细杆的约束力N Φ。

由于细杆是匀质的，所以重力∏可视为作用于杆的重心。

以铰链0为转轴，当杆与竖直成θ角时，重力对铰链的重力矩为θsin 2
1
mgl 。

而约束力N F 始终通过转轴0，其力矩为零，故由转动定理，有
αθJ mgl =sin 2
1
式中细杆绕轴0的转动惯量2
3
1ml J =。

于是细杆与竖直线成θ角时的角加速度为
θαsin 23l
g =
由角加速度定义，有
θωsin 23d d l
g
t = 进行如下变换
θθθωsin 23d d d d l
g t =⋅ 由于dt
d θ
ω=，上式为
θθωωd sin 23d l
g
=
对上式积分，并利用初始条件：0=t 时，0,000==ωθ得 ⎰⎰=θ
ω
θθωω0
0d sin 23d l g
积分后化简，细杆转到与竖直成θ角时的角速度为
()θωcos 13-=
l
g
例6-9 如图所示，长为L 均匀细杆，质量为m ，放在粗糙平面上。

棒可绕通过端点与平面相垂直的轴转动。

已知，细棒和平面的磨擦系数为μ，棒的初角速度为0ω。

求 细杆经多
少时间t 才停止转动。

解：在细杆上取任意微元其受到的摩擦力为
l L
m g
m g f d d d μμ-=-= 摩擦力矩为
mgL l l L m g
l f M L
μμ2
1
d d d 0
-=-=⋅-==⎰⎰⎰M 由转动定理可知， dt
d J mgL J M ω
μα=-==21 所以
mgLdt Jd t
μωω⎰⎰-=0
00
21
积分后，将2
3
1m L J = 代入得
g
L t μω320
=
2、刚体和质点组成的系统
例6-10 如图所示，质量为A m 的物体静止在光滑平面上，它和一个质量不计的绳连接，此绳跨过一个半径为R 、质量为C m 的圆柱形滑轮，并系在另一质量为B m 的物体B 上，竖直悬挂。

圆柱形滑轮可绕其几何中心轴转动。

当滑轮转动时，它与绳间无滑动，且滑轮与轴间的摩擦力可忽略不计。

问：（1）这两物体的线加速度为多少？水平和竖直两段绳子的张力各为多少？（2）物体从静止落下距离y 时，其速率为多少？
解：（1）首先将三个物体隔离出来，并作如图所示的示力图，张力'T F 和'
2T F 的大小是不相等的。

但'=22T T F F ，'
=11T T F F
应用牛顿第二定理，并考虑到绳子不会伸长，故对A 和B 两物体，得
a m F A T =1 （1） a m F g m B T B =-2 （2）
由转动定理有
αJ R F R F T T =-12 （3）
αR a = （4）
解（1）、（2）、（3）和（4）式，得 C
B A B m m m g m a 2
1
++=
C
B A B A T m m m g
m m F 2
1
1++=
C
B A B
C A T m m m g
m m m F 2
1
212
++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=
（3） 因为物体是静止出发，作匀加速直线运动。

所以它下落距离y 时的速率为
C
B A B m m m gy
m ay 2
1
22++=
=ϖ §6-3 刚体定轴转动的角动量 角动量守恒定理
这一节将讨论力矩对时间的积累作用，得出角动量定理和角动量守恒定理。

下一节讨论力矩对空间的积累作用，得出刚体的转动动能定理。

这一节着重讨论绕定轴转动的刚体的角动量定理和角动量守恒定理。

一、 刚体定轴转动的角动量
刚体定轴转动时，应具有角动量。

现在我们把质点的角动量广为刚体的角动量。

质点的角动量是对一给定点而言的，在刚体的定轴转动中，其角动量却是对固定轴的。

如图所示，以角速度ω绕定轴转动的一根均匀细杆，以任意一个质点i 为对象，其质量为i m ∆，
当细棒以ω转动时，该质点绕轴作半径为i r 的圆周运动，它对于0点的位置矢量为i R ，则它对0点的角动量为
()i i i i m ϖP Λ∆⨯=∆ 因i v 垂直于i R ，所以i L ∆的大小为
i i i i R m L ϖ∆=∆
方向如图所示。

刚体对0L 的方向和每个质点i L ∆有贡献的是z L ，即∑∆=
iz
z L
L ，因此
θc o s i iz L L ∆=∆
()ωθ∑∑∑∑∆=
∆=∆=∆=2cos i
i i i i i i i i z r m r m R m L L ϖϖ
式中
2
i
i r
m ∑∆=J ，是对于z 0轴的转动惯量。

所以，刚体绕给定轴的角动量的一般表达式
如下：
ωJ =Λ （6-9） 其中，角动量的方向和角速度矢量的方向一致。

二、 刚体定轴转动的角动量定理
利用角动量的表达式，刚体定轴转动定理可重新表示为
()t J t J
d d d d ωω=
=M =t
d d Λ
（6-10） 此式说明，刚体所受的外力矩等于刚体角动量的变化率。

由（6-10）可见，它是转动定律的另一表达方式，但其意义更加普遍。

即使在绕定轴转动物体的转动惯量J 因内力作用而发生变化时，转动定理已不再适用，但式（6-10）仍然成立。

这与质点动力学中，牛顿第二定律
的表达式dt
d P
F =较之a F m =更普遍是一样的。

设有一个转动惯量为J 的刚体绕定轴转动，在合外力矩M 的作用下，在时间0t t t -=∆内，其角速度由0ω变为ω，由式（6-10）积分得
t d d M Λ=
⎰⎰-==21
0d d t t t ΛΛΛΛM Λ=0ωωJ J - （6-11）
讨论 1）⎰t
t t 0
d M 是外力矩与作用时间的乘积，叫做力矩对给定轴的冲量矩，又叫角冲量。

2）上式也称为刚体的角动量定理，其物理意义为：当转轴给定时，作用在物体上的冲量矩，等于角动量的增量，这一结论叫做角动量定理。

它与质点的角动量定理在形式上很相似。

三、刚体定轴转动的角动量守恒定律
当作用在绕定轴转动的刚体上的合外力矩等于零时，由角动量定理也可导出角动量守恒定律。

由式（6-11）可以看出，当合外力矩为零时，可得
=Λ常矢量， （6-12）
这就是说，如果物体所受的合外力矩等于零，或者不受外力矩的作用，物体的角动量保
持不变。

这个结论叫做角动量守恒定律。

这个定理也可推广到质点和刚体组成的系统，或则由多个刚体所组成的系统。

但需要注意以下两点：
（1）
其中 0=M ，是表示质点和刚体系统的合外力矩。

0ΛΛ=，表示系统的角动
量保持不变，当然，系统的角动量包括质点的角动量和刚体的角动量。

（2） 系统的角动量守恒表示，刚体对同一转动轴的角动量守恒，质点是对于同一转动点的角动量守恒。

有许多现象都可以用角动量守恒来说明。

有一人坐在能绕竖直轴转动的圆盘上（摩擦忽略不计）。

开始时人平举两臂，两手各握一个哑铃，并使人与盘一起以一定的角速度旋转。

由于在水平面内没有外力矩作用，人与盘的角动量之和应当保持不变，因此，当人放下两臂，使转动惯量变小时，人与凳的转动角速度就要加快。

（此系统的机械能是不守恒的）又如冰上芭蕾演员表演时，先把两臂张开，并绕通过足尖的垂直转轴以角速度0ω旋转，然后迅速把两臂向身边靠拢，这时由于转动惯量变小，根据角动量守恒定律，角速度必增大，因而旋转更快。

跳水运动员常在空中先把手臂和腿蜷缩起来，以减小转动惯量而增大转动角速度，在快到水面时，则又把手、腿伸直、以增大转动惯量而减小转动角速度，并以一定的方向落入水中。

最后还应再次指出，前面关于角动量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律，都是在不同的理想化条件（如质点、刚体……）下，用经典的牛顿力学原理“推证”出来的。

但它们的使用范围，却远远超出原有条件的限制。

它们不仅适用于牛顿力学所研究的宏观、低速（远小于光速）领域，而且通过相应的扩展和修正后也适用于牛顿力学失效的微观、高速（接近光速）的领域，即量子力学和相对论之中。

这就充分说明,上述三条守恒定律不但比牛顿力学理论更基本、更普遍，而且也是近代物理理论的基础，是更为普适的物理定律。

例6-11 如图所示，子弹质量为m ，以速度o v 射向静止细杆的下端。

受到转轴
0当子弹
穿出后，子弹的速度损失043
ϖ。

已知： 细杆的质量为M ，长度为L 。

求子弹穿出后细杆
的角速度ω
解：1）以质点的动量定理和刚体的角动量定理来计算。

以f 代表棒对子弹的阻力，以子弹为对象
()004
3
d ϖϖϖm m t f -=-=⎰
子弹对细杆的反作用力为 f '，以细杆为对象
⎰⎰='='ωJ t f L t L f d d
由于 f f '-= 由上述两式得 L J mv ω-=-
043 23
1ML J = 所以 ML m ML Lm J Lm 493
143430
200ϖϖϖ=⋅==
ω
2） 以角动量守恒来计算，以子弹和细杆组成的系统，由于细杆的作用力，（此力是变力，不可忽略）即系统合外力并不等于零。

但合外力矩为0角动量守恒。

ωJ mvL L m +=0ϖ 所以 ()ωJ L m =-ϖϖ0 ML
m v 490
=
ω 例6-12 一个质量为M ，半径为R 的水平均匀圆盘可绕通过中心的光滑竖直轴自由转动。

在盘的边缘上站着一个质量为m 的人，二者最初都相对地面静止。

当人在盘上沿盘边走一周时，盘对地面转过的角度多大？
解：如图所示，对盘和人组成的系统，在人走动时系统所受的对竖直轴的外力矩为零，所以系统对此轴的角动量守恒。

以j 和J 分别表示人和盘对轴的转动惯量，并以ω和Ω分别表示任一时刻人和盘绕轴的角速度。

由于起始角动量为零，所以角动量守恒给出 0=Ω-J j ω
其中2
mR j =，22
1
MR J =
，以θ和Θ分别表示人和盘对地面发生的角位移，则 t d d θω=， t
d d Θ=Ω 代入上一式得
t
MR t mR d d 21d d 2
2
Θ
=θ 两边同乘以dt ，并积分，则有 Θ=⎰⎰Θ
d 2
1
d 2002
MR mR θθ
由此得
Θ=
M m 2
1
θ 人在盘上走一周时
Θ-=πθ2 代入上一式可解得
π222⨯+=ΘM
m m
§5-4 力矩做功
刚体绕定轴转动的动能定理
一、 力矩做功
质点在外力作用下发生位移时，我们说，力对质点作了功。

与此相似，当刚体在外力矩的作用下绕定轴转动而发生角位移时，我们就说力矩对刚体作了功，这就是力矩在空间累积作用。

对于刚体，由于各质点间的相对位置不变，故其内力不做功。

对于在转动平面内的外力的分力F ，将使刚体转动。

如图所示，设外力i F 作用于质量为i m ∆的P 点，绕轴转过的角位移为θd 。

质点P 的位移大小为θd d i i r s =，位移与i F 所夹角为β。

根据功的定义，力i Φ在这段位移 θββd cos d cos d i i i i r s A ΦΦ==
可见由图，i ϕβsin cos =，又因为力矩i i i i r F M ϕsin =，故上式可写为 θd d i i M A = 设刚体从0θ转到θ，则力i F 做功为
θθ
θd 0
⎰=i i M A
再对各个外力的功求和，得所有外力做的总功
⎰⎰∑∑⎰∑=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛===θ
θθ
θθ
θθθθ0
00d d M d M M A A i i i i i i （6-13）
上式中∑=
i
i
M
M 为刚体所受到的外力对转轴的总外力矩。

此由可见，力对刚体所做的功可用力矩与刚体角位移的乘积的积分来表示，叫做合外
力矩的功 。

二、 力矩的功率
我们用单位时间内，力矩对刚体所作的功来表示力矩做功的快慢，并把它叫做力矩的功率，用P 表示。

设刚体在恒定外力矩作用下绕定轴转动时，在时间dt 内转过ϑd 角，则力矩的功率为
ωθM t
M t A P ===
d d d d （6-14） 即力矩的功率等于力矩与角速度的乘积。

当功率一定时，转速越低，力矩越大；反之，转速
越高，力矩越小。

三、 转动动能
刚体可看成是由许许多多的质点所组成。

刚体的转动动能等于各质点动能的总和。

设刚体上各个质点的质量与线速率分别为1m ∆、2m ∆、…、i m ∆与1v 、2v 、…、i v ，各质点的质量微元到转轴的垂直距离为1r 、2r 、…、i r 。

当刚体以角速度ω绕定轴转动时，刚体中第i 个微元的动能为
2222
1
21ωi i i r m m =ϖ 整个刚体的动能为
222
22121
ωω
⎪⎭
⎫
⎝⎛∆=∆=
∑∑i i i i
i k r m r m E 式中
2
i
i
i r
m ∑∆为刚体的转动惯量，故
22
1
ωJ E k =
（6-15） 即刚体绕定轴转动的转动动能等于刚体的转动惯量与角速度二次方的乘积的一半。

这与质点的动能2
2
1mv E k =
，在形式上是完全相似的。

四、 刚体绕定轴转动的动能定理
设在合外力矩M 的作用下，刚体绕给定轴转过角位移为θd ，合外力矩对刚体所作的元功为
θd d M A = 由转动定律t
J
J d d ω
α==M ，上式亦可写成 ωωθω
d d d d d J t
J
A == 若设上式中的J 为常量，那么在t ∆时间内，由合外力矩对刚体做功，使得刚体的角速率从1ω变到2ω，合外力矩对刚体所作的功为
2
1222
121d d 2
1
ωωωωωωJ J J A A -=
==⎰⎰ （6-16）
上式表明，合外力矩对转动刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。

这就是刚体绕定轴转动的动能定理。

对于由质点、刚体组成的物体系统，用同样方法可得到包含有质点、刚体组成的物体系的功能定理。

22E E A A -=+非保内外
上式中，外A 为外力对系统所做的功，非保内A 为系统非保守内力做功，2E 和1E 分别表示系统的末机械能和初机械能。

由质点的机械能的定义可知p k E E E +=，那么刚体的势能是如何表示的呢？下面我们来讨论刚体的势能。

五、刚体的势能
如果一个刚体受到保守力的作用，也可以引入势能概念。

例如在重力场中的刚体就具有一定的重力势能，它的重力势能就是它的各个质元重力势能的总和。

对于一个不太大，质量为m 的刚体如图，它的重力势能为
y
i i
i i
i
i
p h m g gh
m E ∑∑∆=∆=
根据质心的定义，此刚体的质心的高度应为
m
h
m h i
i
i c ∑∆=
所以上一式可以写成
c p mgh E = （6-17）
这一结果说明，一个不太大的刚体的重力势能和它的全部质量集中在质心时所具有的重力势能一样。

对于包括有刚体的系统，如果在运动过程中，只有保守内力做功，则该系统的机械能也应该守恒。

例6-13 如图所示，一个质量为m ，长度为L 均匀质量细杆，可绕一水平轴旋转，开始细杆处于水平位置，然后自由下落。

求：()θωω=。