第五章 刚体的定轴转动

第五章刚体的定轴转动

到现在为止，我们主要用力学的基本概念和原理，如牛顿定理，冲量和动量，功和能等概念以及动量、角动量和能量守恒定理来研究质点及质点系的运动。本章将要介绍一种特殊的质点系—刚体，以及它所遵从的力学规律。其本质是前几章所讲的基本概念和原理在刚体上的应用。对于刚体，本章主要讨论定轴转动这种简单的情况以及它所涉及的一些重要物理概念和定理，如转动惯量、力矩、刚体的动能和角动量，转动定理，及包括刚体的系统守恒定理等。

§5-1 刚体运动的描述

一、刚体

所谓刚体就是其中各部分的相对位置保持不变的物体。实际上，任何物体都不是绝对坚硬的。但是，很多物体，诸如分子，钢梁，和行星等等是足够坚硬的，以致在很多问题中，可以忽略它们形状和体积变化，把它们当作刚体来处理。这就是说，刚体是受力时形状和体积变化可以忽略的理想物体。

二、刚体的运动

刚体是一种由大量质点组成，并且受力时不发生相对移动的特殊质点系。既然是质点系，所以以前讨论的关于质点系的基本定理都可以应用。

刚体的运动可分为平动和转动两种。而转动又可分为定轴转动和非定轴转动。若刚体中所有质点的运动轨迹都保持完全相同，或则说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线，如下图中的参考线，则刚体的这种运动叫做平动。因此，对刚体平动的研究，可归结为对质点的研究，通常都是用刚体质心的运动来代表平动刚体的运动。

B

当刚体中所有的点都绕着同一直线作圆周运动时，这种运动叫转动，（如下图所示）这条直线叫转轴。

如果转轴的位置或方向是随时间改变的，这个转轴为瞬时转轴。如果转轴的位置或方向是固定不动，这种转轴为固定转轴，此时刚体运动叫做刚体的定轴转动。刚体的一般运动

比较复杂，但可以证明，其运动可看作是平动和转动的叠加。转动是刚体的基本运动形式之一，作为基础，本章只讨论刚体的定轴转动。

三、 刚体定轴转动的描述

刚体在作定轴转动时，刚体内的各个质点均绕给定轴作圆周运动。各质点的线速度和线加速度则因为各点到转轴的距离不同而各不相同。但由于各质点的相对位置保持不变，所以描述各质点的角量，如角位移θ∆、角速度ω和角加速度α都是一样的。因此描述刚体整体运动时用角量最为方便。而质点在圆周运动时，其角量和线量的关系，我们在讲述质点的圆周运动时，已作过介绍。下面来说明一下，为了充分反映刚体的转动情况，如何用矢量来表示角速度的问题。

定义：刚体中的任意质点的角速度矢量和线速度矢量存在如下关系：

r ωv ⨯= （6-1）

讨论：1）r 代表任意质点的位置矢量 ，κϕιρz y x ++= 2）v 代表任意质点的速度矢量， κϕιϖζψξϖϖϖ++=

3）ω代表任意质点的角速度矢量，0r ωω=，o r 方向是质点的转动方向的右手螺旋（如图所示）

4）刚体中的任意质点的位置矢量和速度矢量并不一定在同一 平面上，这一点和质点

的圆周运动是有所区别的，这也是引入角速度矢量的原因。

例6-1 一个刚体以每分种60转绕z 轴作匀速转动。设 某时刻刚体上一点P 的位置矢量为5κ4ϕ3ιρ++=，其单位为“m 102

-”，若以“1

2

s m 10--⋅”为速度单位，求该时刻P 点的

速度。

解：已知 min 60rev

n ==

s rev

6060=s

rev 1 s rad s rad n ππω22== s

rad k ωπ2=

()s

m 6ℵϕ

8ℵι5κ4ϕ3ι2ℵκ+-=++⨯=⨯=ρϖω 由此题可见，利用角速度的矢量表示，可以方便求解刚体内的任意质点的线速度。（由于单个质

点的圆周运动，质点的位置矢量和速度矢量是在同一平面上的，而刚体中的任意一个质元，绕轴转动时，其位置矢量和速度矢量是不在同一平面上。故用角速度标量式计算就比较复杂。）

例6-2 一个飞轮半径为m 2.0、转速为1

min 150-⋅rev ，因受到制动而均匀减速，经s 30停止转动，试求：1）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；2）制动开始后s t 6=时飞轮的

角速度；3）s t 6=时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度。 解 1）由题意知10560

150

2-⋅=⨯=

s rad ππω；s t 30=时，0=ω。 设 0=t 时，00=θ。因飞轮作匀减速运动，

20

6

3050-⋅-=-=

-=

s rad t

π

πωωα ()rad o πππαωωθ75625222

2=⎪

⎭

⎫

⎝⎛-⨯-=-= 于是，飞轮共转 5.372752===

π

ππθN 圈 2）在s t 6=时，飞轮的角速度为 10466

5-⋅=⨯-

=+=s rad t ππ

παωω

3）在s t 6=时，飞轮边缘上一点的线速度的大小为 115.2)(42.0--⋅=⋅⨯==s m s m r v πω 2

2105.062.0--⋅-=⋅⎪⎭

⎫ ⎝⎛-

⨯==s m s m r a t πα ()222

26.3142.0--⋅=⋅⨯==s m s m r a n πω

例6-3 在高速旋转的微型电动机里，有一圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动。

开始时，它的角速度00=ω，经过s 300后，其转速达到1

min 18000

-⋅rev 。已知转子的角加速度α与时间成正比。问在这段时间内，转子转过多少转？

解：由题意知。转子是绕定轴转动，且角速度α是随时间的延长而增大的，故转子是作变角

加速度定轴转动。设转子的角加速度为 ct =α

其中c 为比例常数，由角加速度定义及上式，有 ct t

==

d d ω

α t ct d d =ω 由题意有 ⎰⎰=ω

ω0

d d t t t c 积分得 2

2

1ct =

ω （1） 由题给出条件知，在s t 300=时， 11600min 18000

--⋅=⋅=s rad r πω 所以 1

2

275300

60022-⋅=⨯==s rad t c ππω 代入（1）式 2150

t π

ω=

由角速度定义及上式有 2150

d d t t πθω==