第五章 刚体的定轴转动

第五章刚体的定轴转动到现在为止，我们主要用力学的基本概念和原理，如牛顿定理，冲量和动量，功和能等概念以及动量、角动量和能量守恒定理来研究质点及质点系的运动。

本章将要介绍一种特殊的质点系—刚体，以及它所遵从的力学规律。

其本质是前几章所讲的基本概念和原理在刚体上的应用。

对于刚体，本章主要讨论定轴转动这种简单的情况以及它所涉及的一些重要物理概念和定理，如转动惯量、力矩、刚体的动能和角动量，转动定理，及包括刚体的系统守恒定理等。

§5-1 刚体运动的描述一、刚体所谓刚体就是其中各部分的相对位置保持不变的物体。

实际上，任何物体都不是绝对坚硬的。

但是，很多物体，诸如分子，钢梁，和行星等等是足够坚硬的，以致在很多问题中，可以忽略它们形状和体积变化，把它们当作刚体来处理。

这就是说，刚体是受力时形状和体积变化可以忽略的理想物体。

二、刚体的运动刚体是一种由大量质点组成，并且受力时不发生相对移动的特殊质点系。

既然是质点系，所以以前讨论的关于质点系的基本定理都可以应用。

刚体的运动可分为平动和转动两种。

而转动又可分为定轴转动和非定轴转动。

若刚体中所有质点的运动轨迹都保持完全相同，或则说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线，如下图中的参考线，则刚体的这种运动叫做平动。

因此，对刚体平动的研究，可归结为对质点的研究，通常都是用刚体质心的运动来代表平动刚体的运动。

B当刚体中所有的点都绕着同一直线作圆周运动时，这种运动叫转动，（如下图所示）这条直线叫转轴。

如果转轴的位置或方向是随时间改变的，这个转轴为瞬时转轴。

如果转轴的位置或方向是固定不动，这种转轴为固定转轴，此时刚体运动叫做刚体的定轴转动。

刚体的一般运动比较复杂，但可以证明，其运动可看作是平动和转动的叠加。

转动是刚体的基本运动形式之一，作为基础，本章只讨论刚体的定轴转动。

三、 刚体定轴转动的描述刚体在作定轴转动时，刚体内的各个质点均绕给定轴作圆周运动。

各质点的线速度和线加速度则因为各点到转轴的距离不同而各不相同。

但由于各质点的相对位置保持不变，所以描述各质点的角量，如角位移θ∆、角速度ω和角加速度α都是一样的。

因此描述刚体整体运动时用角量最为方便。

而质点在圆周运动时，其角量和线量的关系，我们在讲述质点的圆周运动时，已作过介绍。

下面来说明一下，为了充分反映刚体的转动情况，如何用矢量来表示角速度的问题。

定义：刚体中的任意质点的角速度矢量和线速度矢量存在如下关系：r ωv ⨯= （6-1）讨论：1）r 代表任意质点的位置矢量 ，κϕιρz y x ++= 2）v 代表任意质点的速度矢量， κϕιϖζψξϖϖϖ++=3）ω代表任意质点的角速度矢量，0r ωω=，o r 方向是质点的转动方向的右手螺旋（如图所示）4）刚体中的任意质点的位置矢量和速度矢量并不一定在同一 平面上，这一点和质点的圆周运动是有所区别的，这也是引入角速度矢量的原因。

例6-1 一个刚体以每分种60转绕z 轴作匀速转动。

设 某时刻刚体上一点P 的位置矢量为5κ4ϕ3ιρ++=，其单位为“m 102-”，若以“12s m 10--⋅”为速度单位，求该时刻P 点的速度。

解：已知 min 60revn ==s rev6060=srev 1 s rad s rad n ππω22== srad k ωπ2=()sm 6ℵϕ8ℵι5κ4ϕ3ι2ℵκ+-=++⨯=⨯=ρϖω 由此题可见，利用角速度的矢量表示，可以方便求解刚体内的任意质点的线速度。

（由于单个质点的圆周运动，质点的位置矢量和速度矢量是在同一平面上的，而刚体中的任意一个质元，绕轴转动时，其位置矢量和速度矢量是不在同一平面上。

故用角速度标量式计算就比较复杂。

）例6-2 一个飞轮半径为m 2.0、转速为1min 150-⋅rev ，因受到制动而均匀减速，经s 30停止转动，试求：1）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；2）制动开始后s t 6=时飞轮的角速度；3）s t 6=时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度。

解 1）由题意知105601502-⋅=⨯=s rad ππω；s t 30=时，0=ω。

设 0=t 时，00=θ。

因飞轮作匀减速运动，2063050-⋅-=-=-=s rad tππωωα ()rad o πππαωωθ756252222=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-=-= 于是，飞轮共转 5.372752===πππθN 圈 2）在s t 6=时，飞轮的角速度为 104665-⋅=⨯-=+=s rad t πππαωω3）在s t 6=时，飞轮边缘上一点的线速度的大小为 115.2)(42.0--⋅=⋅⨯==s m s m r v πω 22105.062.0--⋅-=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯==s m s m r a t πα ()22226.3142.0--⋅=⋅⨯==s m s m r a n πω例6-3 在高速旋转的微型电动机里，有一圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动。

开始时，它的角速度00=ω，经过s 300后，其转速达到1min 18000-⋅rev 。

已知转子的角加速度α与时间成正比。

问在这段时间内，转子转过多少转？解：由题意知。

转子是绕定轴转动，且角速度α是随时间的延长而增大的，故转子是作变角加速度定轴转动。

设转子的角加速度为 ct =α其中c 为比例常数，由角加速度定义及上式，有 ct t==d d ωα t ct d d =ω 由题意有 ⎰⎰=ωω0d d t t t c 积分得 221ct =ω （1） 由题给出条件知，在s t 300=时， 11600min 18000--⋅=⋅=s rad r πω 所以 1227530060022-⋅=⨯==s rad t c ππω 代入（1）式 2150t πω=由角速度定义及上式有 2150d d t t πθω==两边积分 t t td 150d 02⎰⎰=θπθ 3450t πθ=在s 300内，转子转过的转数为 ()4310330045022⨯=⨯==πππθN §5-2 力矩 转动定理 转动惯量这一节，我们将讨论刚体定轴转动的动力学问题，即研究刚体获得角加速度的原因及刚体绕定轴转动时所遵守的定理。

因此，我们将引进力矩、转动惯量、转动定理及平行轴定理等物理概念和定理。

一、 力矩对于一个存在转轴的静止的刚体，它能否发生转动，不仅取决于它受力方向与大小，而且还与力的作用点和作用线有关。

力矩就是全面考虑这些因素的重要物理量。

在上一章我们讨论了力对给定点的力矩。

而在刚体的定轴转动中，力是对给定转轴的力矩。

在讨论力矩之前首先引入转动平面概念，转动平面就是垂直于转轴的平面，下面以力是否在转动平面内来分别讨论。

1 力在转动平面内如图所示，当外力作用于刚体，力Φ对于0点产生的力矩ΦρM ⨯= （6-2）它和力对给定点的力矩的形式是完全一样的，其使用方法参看上一章。

2 力不在转动平面内当力不在转动平面内，如图，可分解为在转动平面内的分力1F 和垂直于转动平面的分力2F ，代入上式()21ΦΦρM +⨯=21ΦρΦρ⨯+⨯=01+⨯=Φρ （6-3）其中，2F r ⨯，以右手螺旋法则可知，它的方向与转轴垂直，它对刚体的转动没有影响，故可认为其大小为零。

而1F r ⨯方向和转轴z 0一致。

故如无特别指出，一般我们考虑的力均在转动平面内二、 刚体定轴转动定理 转动惯量1、刚体定轴转动定理在外力矩的作用下，绕定轴转动的刚体的角速度会发生变化，即具有角加速度。

下面来讨论外力矩和角加速度的关系。

如图所示，刚体可看成为是由大量质点组成系统，此刚体绕定轴转动，于是刚体上的任意质点都绕z 0轴作圆周运动。

在刚体上取任意一个质点i，质量为i m ，绕z 0作半径为i r 的圆周运动。

设质点i 受到外力i F 和内力i f 作用，并设外力和内力均在转动平面内。

由牛顿第二定理，质点i 在法向和切向的运动方程为αθϕi i ti i i i i i r m a m f F ==+sin sin （1）2cos cos ωθϕi i ni i i i i i r m a m f F ==+ （2）由（1）式两边乘i rαθϕ2sin sin i i i i i i i i r m r f r F =+ 若考虑所有质点的受力情况。

由上式可以得到αθϕ2sin sin i i i i i i i i r m r f r F ∑∑∑=+其中iii r f ϕs i n∑代表刚体所受的内力矩，由牛顿第三定理可知任 意质点的作用力和反作用力大小相等方向相反。

故0sin =∑ii i r f θ，而由（6-2）可知，M r F i i i =∑ϕsin ，M 为刚体所受的合外力矩。

这样上式可以表示为()α⋅=∑2ii r m M （6-4）式中的2ii rm ∑ 与刚体的形状、质量分布以及转轴的位置有关，也就是说，它只与绕定轴转动的刚体本身的性质和转轴的位置有关，叫转动惯量，它为一恒量，以J 表示 ，即αJ M ==tJ d d ω（6-5） 上式表明，刚体绕定轴转动时，刚体的角速度与它所受的合外力矩成正比，与转动惯量成反比，这个关系叫做定轴转动时刚体的转动定理，简称转动定理。

如同牛顿第二定理是解决质点运动问题的基本定理一样，转动定理是解决刚体转动问题的基本方程。

我们把上式与牛顿第二定理公式a F m =加以比较可以发现，前者中的合力矩 相当于后者的合外力，前者中的角加速度相当于后者中的加速度，而刚体的转动惯量J 则和质点的惯性质量相对应。

可以说，转动惯量表示刚体在转动过程中表现的惯性，转动惯量由此明名的。

2、转动惯量 按（6-4）转动惯量可定义为 2ii rm J ∑=（6-6）即刚体上各质点的质量与各质点到转轴的距离平方的乘积之和，如刚体上的质点是连续分布的，则其转动惯量可以用积分进行计算，即m r J d 2⎰= （6-7）讨论：1）其中，r 表示任意一个质点到转轴的距离。

2）dm 表示，该质点的质量⎪⎩⎪⎨⎧=l S V m d d d d λσρ ρ代表体密度，σ代表面密度，λ代表刚体线密度。

3）转动惯量的大小取决与刚体的质量对转轴的分布。

例6-4 求质量为m ，半径为R 的均匀薄圆环的转动惯量，轴于圆环平面垂直并且通过其圆心。

解： 如图（）所示，环上各个质元到轴的垂直距离都相等，而且等于R ，所以⎰⎰==m R m R J d d 22 后一积分的意义是环的总质量m ，所以有2mR J =由于转动惯量是可加的，（2ii rm J ∑=）所以一个质量为m ，半径为R 的薄圆筒对其转轴的转动惯量也是2mR 。

例6-5 求质量为m ，半径为R ，厚度为l 的均匀圆盘的转动惯量，轴与盘面垂直并通过圆心。