计算方法第六章

(x x0 )(x x1) (x2 x0 )(x2 x1)
f
(x2 )
b
Ak a lk (x)dx
A0
1 6
(b
a),
A1
2 3
(b
a),
A2
1 6
(b
a)
b f (x)dx b a [ f (a) 4 f ( a b) f (b)] 考察其精度。
a
6
2
解：逐次检查公式是否精确成立
二次插值多项式来代替被积函数，并等分[a,b]区间，使
h=x2-x1=x1-x0=(b-a)/2，其中，a=x0,b=x2，得到：
L0 x1)(x0 x2 )
f
(x0 )
(x x0 )(x x2 ) (x1 x0 )(x1 x2 )
f
(x1)
b
b
由节点 决定， a[ f ( x) Ln( x)]dx a Rn( x)dx
与
f (x) 无关。
b a
f (n1) ( x ) (n 1)!
n
(x
k0
xk )dx
1
定义 若某个求积公式所对应的误差R[ f ]满足：R[ Pk ]=0 对任
意成立k ， n则阶称A的k此多求项a积b l式k公(x成式)d立x的，代且数R精[ 度Pn为+1
第六章 数值积分
利用数值方法计算积分的近 似值
近似计算 I
b
f ( x)dx
a
插值型积分公式
§1 Newton-Cotes 公式
/*interpolatory quadrature*/
思 路
利用插值多项式
Ln (x)
f (x)
则积分易算。
在[a, b]上取 a x0 < x1 <…< xn b，做 f 的 n 次插值
0 j i
Ai (b a)Ci(n)
Cotes系数
C (n) i
注：Cotes 系数仅取决于 n 和 i，与 f (x) 及区间[a, b]均无关。
6
C(n) i
(1)ni ni!(n i)!
n 0
ji
(t
j)dt
Ai (b a)Ci(n)
n = 1:
C (1) 0
(1)1 111
代入 P0 = 1：
b
1dx b a
a
=
b
2
a
[1
1]
f(a)
f(b)
代入
P1
=
x
：
b
x
a
dx
b2
2
a2
=
b
a
[a
a
b]
2
b
代入
P2
=
x2
：
b a
x2dx
b3
3
a3
b a [a2 b2] 2
代数精度 = 1 2
例如，有积分公式:
1 f (x)dx 1 f (1) 2 f (0) f (1)
1
2
求该积分公式的代数精确度。
解：取f(x)=1，
1
1
1
1
f (x)dx 1dx 2 = [ f (1) 2 f (0) f (1)] [1 2 1] 2
-1
-1
2
2
取f(x)=x ，
1
f (x)dx
1
xdx 0
=
1 [ f (1) 2 f (0) f (1)] 1 [1 0 1] 0
]0 n。
对某个
n+1
阶多项式
例：对于[a,
b]上1次插值，有 L1(x)
xb ab
f
(a)
xa ba
f (b)
A1
A2
b
2
a
考察其代数精度。
b f (x)dx b a [ f (a) f (b)]
a
2
f(x)
解：逐次检查公式是/*否tr精a梯p确e形zo成公id立a式l rule*/
2, 3
C (2) 2
1 6
b a
f
( x)dx
2 k 0
f
(xk ) Ak
2 k 0
f
(xk )(b a)Ci(2)
ba[f 6
n
多项式 Ln ( x) f ( xk )lk ( x) ，即得到
k0
b
n
b
f ( x)dx
a
f ( xk ) a lk ( x)dx Ak
k 0
误差 R[ f ]
b
n
f ( x)dx a
Ak f ( xk )
k0
b
Ak a
dx ( x x j )
jk ( xk x j )
-1
-1
2
2
取f(x)=x2 ，
1
f (x)dx
1 x2dx 2
1 [ f (1) 2 f (0) f (1)] 1 [1 0 1] 1
-1
-1
32
2
对于任意一个一次多项式，求积公式都是精确成立的；
至少存在一个二次多项式使求积公式不精确成立；
故该求积公式的代数精确度为1。 3
用直线代替y=f(x)精度不高，若用抛物线代替，即采用
梯形公式 代数精度 = 1
R[ f ] b f ( x )( x a)(x b)dx 1 h3 f ( ) , [a,b] , h b a
a 2!
12
1
注：梯形公式是用直线代替y=f(x)，然后再求积分而得，
并且梯形公式只对线性函数积分精确。
7
n = 2:
C (2) 0
1 6
,
C (2) 1
代入
P4
=
x4：
b a
x4dx
b5
5
a5
b a g(5a4 4a3b 4ab3 6a2b2 5b4 ) 24
代数精度 = 3
小结：
n
1、形如 Ak f ( xk ) 的求积公式至少有 n 次代数精度 该
k 0
公式为插值型（即：Ak
b
a lk
(
x)dx）
2、从某种意义上说，代数精度越高，求积分公式就越精 确。为了提高代数精度，可以提高插值多项式的次数。
1
(t
0
1)dt
( 1 2
t2
t)
|10
1 2
C (1) 1
(1)0 111
1
(t
0
0)dt
(1 2
t2)
|10
1 2
b a
f (x)dx
1 k 0
f (xk ) Ak
1 k 0
f (xk )(b a)Ck(1)
ba 2
f
(
x0
)
b
2
a
f (x1)
b
ba
a f ( x)dx
[ f (a) f (b)] 2
代入 P0 = 1：
b
1dx b a
a
=
b a g6 6
代入
P1
=
x
：
b
x
a
dx
b2
2
a2
=
b a g3(a b) 6
代入 P2 = x2 ： b x2dx b3 a3 = b a g(2a2 2ab 2b2 )
a
3
6
4
代入
P3
=
x3：
b a
x3dx
b4
4
a4
=
b a g3 (a3 a2b ab2 b3 ) 62
5
❖
当节点等距分布时：
xi
a i h,
h
b
n
a
,
i 0, 1, ..., n
Ai
xn ( x x j ) dx x0 ji ( xi x j )
令 xath
n
(t j) h h dt (b a)(1)ni n
(t j)dt
0 ji (i j) h
n i!(n i)!