第二章 数列 单元检测(解析版)

第二章数列单元检测

满分：150分时间：120分钟

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列（）

A 为常数数列

B 为非零的常数数列

C 存在且唯一

D 不存在

【答案】B

2．已知数列1，3，5，7，3，11，…，2n－1，…，则21是这个数列的()

A．第10项B．第11项

C．第12项D．第21项

【答案】B[观察可知该数列的通项公式为a n＝2n－1(事实上，根号内的数成等差数列，首项为1，公差为2)，令21＝2n－1，解得n＝11，故选B.]

3．一个各项均正的等比数列，其每一项都等于它后面的相邻两项之和，则公比q＝()

A.

3

2 B. 5

C.5－1

2 D.

1＋5

2

【答案】C[由题意知a n＝a n＋1＋a n＋2＝a n q＋a n q2，即q2＋q－1＝0，解得q＝5－1

2(负值舍去)，

故选C.]

4．等比数列{a n}中，a2，a6是方程x2－34x＋64＝0的两根，则a4等于()

A．8 B．－8

C．±8 D．以上选项都不对

【答案】A[∵a2＋a6＝34，a2·a6＝64，∴a24＝64，且a2>0，a6>0，∴a4＝a2q2>0(q为公比)，∴a4＝8.] 5．一个等差数列共有10项，其中奇数项的和为26，偶数项的和为15，则这个数列的第6项是() A．3 B．4

C．5 D．6

【答案】A由题意，S偶－S奇＝5d，∴d＝－2.2，S10＝10(a5＋a6)

2

＝5(a5＋a6)＝5(2a6＋2.2)＝41，

∴a6＝3.

6.“远望嵬嵬塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几碗灯？”源自明代数学家吴敬所著的《九章詳註比纇算法大全》，通过计算得到的答案是()

A．2 B．3

C．4 D．5

【答案】B [由题意设尖头a 盏灯，根据题意由上往下数第n 层有2n －

1a 盏灯，所以一共有(1＋2＋4＋8＋16＋32＋64)a ＝381盏灯，解得a ＝3.]

7．已知公差不为0的等差数列{a n }的前23项的和等于前8项的和．若a 8＋a k ＝0，则k ＝( ) A ．22 B ．23 C ．24

D ．25

【答案】C [等差数列的前n 项和S n 可看做关于n 的二次函数(图象过原点)．由S 23＝S 8，得S n 的图象关于n ＝31

2

对称，所以S 15＝S 16，即a 16＝0，所以a 8＋a 24＝2a 16＝0，所以k ＝24.]

8．一个有n 项的等差数列，它前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则n 等于( ) A ．13 B ．14 C ．15

D ．16

【答案】A 设该数列有n 项，且首项为a 1，末项为a n, 公差为d . 则依题意有⎩⎪⎨

⎪⎧

5a 1＋10d ＝34，①

5a n －10d ＝146，②

a 1

＋a

n

2·

n ＝234，③

①＋②可得a 1＋a n ＝36.代入③得n ＝13.

9．等比数列前n 项和为54，前2n 项和为60，则前3n 项的和为( ) A ．54 B ．64 C ．662

3

D ．6023

【答案】D S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列， ∴(60－54)2＝54×(S 3n －60)，∴S 3n ＝602

3

.

10．设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230.那么a 3·a 6·…·a 30等于( ) A ．210 B ．215 C ．220

D ．216

【答案】C [法一：a 1·a 2·a 3·…·a 30＝a 301q

(1＋2＋3＋ (29)

＝(a 101q

145)3

，a 3·a 6·a 9·…·a 30 ＝a 101 q

(2

＋5＋8＋ (29)

＝a 101

q 155.

所以

a 3·a 6·a 9·…·a 30＝(a 1·a 2·a 3·…·a 30)1

3

q 10＝(230)1

3·210＝220.故选

C.

法二：a 1·a 4·a 7·…·a 28，a 2·a 5·a 8·…·a 29，a 3·a 6·a 9·…·a 30构成等比数列，公比为210.

设a 3·a 6·a 9·…·a 30＝x ，则有a 1·a 2·a 3·…·a 30＝x 220·x

210·x ＝230.所以x 3＝260，故a 3·a 6·a 9·…·a 30＝220.故选C.]

11．设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 10＝( ) A ．15 B ．19 C ．21

D ．30

【答案】B [由S 3＝a 22得3a 2＝a 22，故a 2＝0或a 2＝3.由S 1，S 2，S 4成等比数列可得S 22＝S 1·

S 4，又S 1＝a 2－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ，故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d )，化简得3d 2＝2a 2d ，又d ≠0，∴a 2＝3，d ＝2，a 1＝1，∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴a 10＝19.]

12．若数列{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 2007＋a 2008>0，a 2007·a 2008<0，则使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是( )

A ．4013

B ．4014

C ．4015

D ．4016

【答案】B 由已知a 1>0，a 2007·a 2008<0，可得数列{a n }为递减数列，即d <0，a 2007>0，a 2008<0.利用等差数列的性质及前n 项和公式可得

所以使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是4014，选B. 答案：B

二、填空题(每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)

13．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝________. 【答案】－6 [S 8＝8×(a 1＋a 8)2＝4(a 3＋a 6)，由于S 8＝4a 3，所以a 6＝0.又a 7＝－2，

所以a 8＝－4，a 9＝－6.]

14．已知公差不为零的正项等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，lg a 1，lg a 2，lg a 4也成等差数列， 若a 5＝10，则a 1＝________. 【答案】2 [设{a n }的公差为d ，则d ≠0. 由lg a 1，lg a 2，lg a 4也成等差数列，

得2lg a 2＝lg a 1＋lg a 4，∴a 22＝a 1a 4

， 即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，d 2＝a 1d .

又d ≠0，故d ＝a 1，a 5＝5a 1＝10，d ＝a 1＝2.

15．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝________.

【答案】768 [由a n ＋1＝3S n ，得S n ＋1－S n ＝3S n ，即S n ＋1＝4S n ，所以数列{S n }是首项为1，公比为4的等比数列，所以S n ＝4n －

1，所以a 6＝S 6－S 5＝45－44＝3×44＝768.]