(完整word版)定积分典型例题20例答案

定积分典型例题20例答案
例1 求33322
32
1lim
(2)n n n n n →∞+++．
分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限．
解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ∆=，然后把2111n n n
=⋅的一个因子1
n 乘
入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即
33322
32
1lim
(2)n n n n n →∞+++=333
112
lim ()n n n n n
n →∞++
+=1303
4
xdx =⎰．
例2 2
20
2x x dx -⎰
=_________．
解法1 由定积分的几何意义知，2
20
2x x dx -⎰等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥)
与x 轴所围成的图形的面积．故220
2x x dx -⎰
=
2
π
． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2
2
t π
π
-
≤≤
），则
2
2
2x x dx -⎰
=2
2
2
1sin cos t tdt ππ-
-⎰
=2
2
21sin cos t tdt π
-⎰
=220
2cos tdt π
⎰=
2
π 例3 （1）若2
2
()x t x
f x e dt -=⎰，则()f x '=___；（2）若0
()()x
f x xf t dt =⎰，求()f x '=___．
分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可
()
()
()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-⎰．
解 （1）()f x '=42
2x x xe e ---；
（2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x
f x x f t dt =⎰，则
可得
()f x '=0()()x
f t dt xf x +⎰．
例4 设()f x 连续，且31
()x f t dt x -=⎰，则(26)f =_________．
解 对等式310
()x f t dt x -=⎰
两边关于x 求导得
32(1)31f x x -⋅=，
故321(1)3f x x -=
，令3
126x -=得3x =，所以1(26)27
f =． 例5 函数1
1
()(3)(0)x F x dt x t =->⎰的单调递减开区间为_________．
解 1()3F x x
'=-
，令()0F x '<得13x >，解之得109x <<，即1
(0,)9为所求． 例6 求0
()(1)arctan x
f x t tdt =-⎰的极值点．
解 由题意先求驻点．于是()f x '=(1)arctan x x -．令()f x '=0，得1x =，0x =．列表如下：
故1x =为()f x 的极大值
点，0x =为极小值点．
例7 已知两曲线()y f x =与()y g x =在点(0,0)处的切线相同，其中
2
arcsin 0
()x
t g x e dt -=⎰
，[1,1]x ∈-，
试求该切线的方程并求极限3
lim ()n nf n
→∞．
分析 两曲线()y f x =与()y g x =在点(0,0)处的切线相同，隐含条件(0)(0)f g =，(0)(0)f g ''=．
解 由已知条件得
2
(0)(0)0t f g e dt -===⎰，
且由两曲线在(0,0)处切线斜率相同知
2
(arcsin )2
(0)(0)11x x e f g x -=''==
=-．
故所求切线方程为y x =．而
3
()(0)
3
lim ()lim33(0)330n n f f n nf f n n
→∞→∞
-'=⋅==-． 例8 求 2
20
00
sin lim
(sin )x x x
tdt
t t t dt
→-⎰⎰
；
分析 该极限属于
型未定式，可用洛必达法则． 解 2
2000sin lim (sin )x x x
tdt
t t t dt
→-⎰
⎰=22
02(sin )lim (1)(sin )x x x x x x →-⋅⋅-=220()(2)lim sin x x x x →-⋅-=304(2)lim 1cos x x x
→-⋅-
x
(,0)-∞
0 (0,1)
1 (1,)+∞
()
f x '
-
＋
－
=2
012(2)lim sin x x x
→-⋅=0．
注 此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则．
例9 试求正数a 与b ，使等式2
201lim
1sin x x t dt x b x a t
→=-+⎰成立． 分析 易见该极限属于
型的未定式，可用洛必达法则． 解 20201lim sin x x t dt x b x a t →-+⎰=2
20lim 1cos x x a x b x →+-=22001lim lim 1cos x x x b x a x
→→⋅-+
2
01
lim 11cos x x b x a →==-，
由此可知必有0
lim(1cos )0x b x →-=，得1b =．又由
201
2lim 11cos x x x a a
→==-， 得4a =．即4a =，1b =为所求． 例10 设sin 20
()sin x f x t dt =⎰
，34()g x x x =+，则当0x →时，()f x 是()g x 的（ ）．
A ．等价无穷小．
B ．同阶但非等价的无穷小．
C ．高阶无穷小．
D ．低阶无穷小．
解法1 由于 223
00()sin(sin )cos lim lim
()34x x f x x x
g x x x →→⋅=+ 2200cos sin(sin )
lim lim
34x x x x x x →→=⋅+ 22011lim 33
x x x →==． 故()f x 是()g x 同阶但非等价的无穷小．选B ．
解法2 将2sin t 展成t 的幂级数，再逐项积分，得到
sin 223370
111
()[()]sin sin 3!342
x f x t t dt x x =-
+=-+
⎰
，
则
34434
00011
11
sin (sin )
sin ()1
342342lim lim lim ()13
x x x x x x f x g x x x x
→→→-+
-+
===++． 例11 计算2
1||x dx -⎰．
分析 被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分．
解 2
1||x dx -⎰＝0
2
10()x dx xdx --+⎰⎰＝220210[][]22x x --+＝5
2
．
注 在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如 3322
2111[]6
dx x x --=-=⎰，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数21
x 在0x =处间断且在被
积区间内无界.
例12 设()f x 是连续函数，且1
0()3()f x x f t dt =+⎰，则()________f x =．
分析 本题只需要注意到定积分()b
a
f x dx ⎰是常数（,a b 为常数）．
解 因()f x 连续，()f x 必可积，从而10
()f t dt ⎰是常数，记1
()f t dt a =⎰，则
()3f x x a =+，且11
(3)()x a dx f t dt a +==⎰⎰．
所以
2101[3]2x ax a
+=，即1
32
a a +=， 从而14a =-，所以 3
()4
f x x =-．
例13 计算21
1
2
211x x dx x
-++-⎰
．
分析 由于积分区间关于原点对称，因此首先应考虑被积函数的奇偶性． 解 21
1
2
211x x dx x
-++-⎰
=21
1
11
2
2
21111x x dx dx x x
--++-+-⎰
⎰
．由于
22
211x x
+-是偶函数，而
2
11x x
+-是奇函数，有1
1
2
011x
dx x
-=+-⎰
, 于是
21
12211x x dx x -++-⎰=2
102411x dx x +-⎰=221
20(11)4x x dx x
--⎰=112
00
441dx x dx --⎰⎰ 由定积分的几何意义可知1
20
14
x dx π
-=
⎰, 故
21
1
1
2
24444
11x x dx dx x
π
π-+=-⋅
=-+-⎰
⎰．
例14 计算
220
()x
d tf x t dt dx -⎰，其中()f x 连续． 分析 要求积分上限函数的导数，但被积函数中含有x ，因此不能直接求导，必须先换元使被积函数中不含x ，然后再求导．
解 由于
220
()x
tf x t dt -⎰
=
222
1()2x f x t dt
-⎰． 故令22x t u -=，当0t =时2u x =；当t x =时0u =，而2dt du =-，所以
220
()x tf x t dt -⎰=201()()2x f u du -⎰=20
1()2x f u du ⎰， 故
220()x d tf x t dt dx -⎰=201[()]2x d f u du dx ⎰=2
1()22
f x x
⋅=2()xf x ．
错误解答
220
()x d tf x t dt dx -⎰22
()(0)xf x x xf =-=． 错解分析 这里错误地使用了变限函数的求导公式，公式
()()()x
a
d x f t dt f x dx 'Φ==⎰
中要求被积函数()f t 中不含有变限函数的自变量x ，而22()f x t -含有x ，因此不能直接求导，而应先换元．
例15 计算30
sin x xdx π
⎰．
分析 被积函数中出现幂函数与三角函数乘积的情形，通常采用分部积分法．
解
30
s i n x x d x π
⎰
30
(c o s )x d x π
=-⎰33
[(c o s )](c o s )
x x x d x π
π
=⋅---⎰ 30
cos 6
xdx π
π
=-+⎰326
π
=
-． 例16 计算1
2
0ln(1)
(3)x dx x +-⎰
．
分析 被积函数中出现对数函数的情形，可考虑采用分部积分法．
解 120ln(1)(3)x dx x +-⎰=101ln(1)()3x d x +-⎰=11
00111[ln(1)]3(3)(1)x dx x x x +-⋅--+⎰ =101111ln 2()2413dx x x
-++-⎰
11
ln 2ln324
=-． 例17 计算20
sin x e xdx π
⎰．
分析 被积函数中出现指数函数与三角函数乘积的情形通常要多次利用分部积分法．
解 由于2
sin x
e xdx π
⎰20
sin x
xde π
=⎰220
[sin ]cos x
x e x e xdx π
π
=-⎰
2
20
cos x e e xdx π
π
=-⎰， （1）
而
20
cos x
e xdx π
⎰
20
cos x
xde π
=⎰220
[cos ](sin )x
x e x e x dx π
π
=-⋅-⎰
20
sin 1x e xdx π
=-⎰， （2）
将（2）式代入（1）式可得
20
sin x
e xdx π
⎰
220
[sin 1]x e e xdx π
π
=--⎰,
故
20sin x
e xdx π
⎰21
(1)2e π=+．
例18 计算1
arcsin x xdx ⎰．
分析 被积函数中出现反三角函数与幂函数乘积的情形，通常用分部积分法．
解 1
0arcsin x xdx ⎰21
0arcsin ()2x xd =⎰2211
00[arcsin ](arcsin )2
2x x x d x =⋅-⎰
2
102
1421x dx x π
=--⎰
． （1） 令sin x t =，则
21
2
1x dx x
-⎰
22
2sin sin 1sin t
d t t
π
=-⎰2
20sin cos cos t
tdt t π
=⋅⎰220sin tdt π=⎰
20
1cos22t dt π-==⎰2
0sin 2[]24t t π-4
π=． （2）
将（2）式代入（1）式中得
1
arcsin x xdx =
⎰
8
π． 例19设()f x [0,]π上具有二阶连续导数，()3f π'=且0
[()()]cos 2f x f x xdx π''+=⎰，求(0)f '．
分析 被积函数中含有抽象函数的导数形式，可考虑用分部积分法求解． 解 由于0
[()()]cos f x f x xdx π''+⎰00
()sin cos ()f x d x xdf x ππ
'=+⎰⎰
[]000
{()sin ()sin }{[()cos ]()sin }f x x f x xdx f x x f x xdx ππ
π
π'''=-++⎰⎰
()(0)2f f π''=--=．
故 (0)f '=2()235f π'--=--=-． 例20 计算2
43
dx
x x +∞++⎰
． 分析 该积分是无穷限的的反常积分，用定义来计算． 解
20
43dx x x +∞
++⎰
=2
0lim 43t t dx x x →+∞++⎰=0111lim ()213
t t dx x x →+∞-++⎰ =011lim [ln ]23t t x x →+∞++=111lim (ln ln )233
t t t →+∞+-+ =
ln 3
2
．。