数学建模中的优化模型(课堂PPT)
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6
建模时需要注意的几个基本问题
1、尽量使用实数优化，减少整数约束和整数变量 2、尽量使用光滑优化，减少非光滑约束的个数 如：尽量少使用绝对值、符号函数、多个变量求 最大/最小值、四舍五入、取整函数等 3、尽量使用线性模型，减少非线性约束和非线性变 量的个数（如x/y <5 改为x<5y） 4、合理设定变量上下界，尽可能给出变量初始值 5、模型中使用的参数数量级要适当(如小于103)
• 设g=0.1不变
t40r60, r1.5 r
t 对r 的（相对）敏感度
20
t
15
S(t,
r)
Δt Δr
/ /
t r
dt dr
r t
10
60
5
S(t,r)
3
40r60
0
1.5
2
2.5
r3
生猪每天体重增加量r 增加1%，出售时间推迟3%。 11
敏感性分析
t 4r40g2 rg
研究 r, g变化时对模型结果的影响 估计r=2， g=0.1
简要提纲
1. 优化模型简介 2. 简单的优化模型 3. 数学规划模型 4. 图论，动态规划(选讲) 5. 建模与求解实例
1
1. 优化模型简介
2
优化问题的一般形式
3
无约束优化:最优解的分类和条件
4
约束优化的简单分类
5
优化建模如何创新？
• 方法1：大胆创新，别出心裁 ---- 采用有特色的目标函数、约束条件等 ---- 你用非线性规划，我用线性规划 ---- 你用整数/离散规划，我用连续规划/网络优化 ---- …… • 方法2：细致入微，滴水不漏 ---- 对目标函数、约束条件处理特别细致 ---- 有算法设计和分析，不仅仅是简单套用软件 ---- 敏感性分析详细/ 全面 ---- ……
现有量 600 60000
Mza 2 x 1 3 x 2 4 x 3
s.t. 1.5x13x25x3600
线性规划 模型(LP)
28x1 025x20 40x30 60000
x1,x2,x3 0
16
模型 求解
结果为小数， 怎么办？
源自文库
Objective Value: 632.2581
Variable Value Reduced Cost
如果估计和预测有误差，对结果有何影响。
分 投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随 析 时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大
9
建模及求解
估计r=2， g=0.1 若当前出售，利润为80×8=640（元）
t 天 生猪体重 w=80+rt 出售 出售价格 p=8-gt
销售收入 R=pw 资金投入 C=4t
利润 Q=R-C=pw -C Q (t) ( 8 g )8 t( r 0 ) t4 t
求 t 使Q(t)最大 t 4r40g2 =10 rg
Q(10)=660 > 640 10天后出售，可多得利润20元
10
敏感性分析
t 4r40g2 rg
研究 r, g变化时对模型结果的影响 估计r=2， g=0.1
利润（万元）
2
3
4
• 制订月生产计划，使工厂的利润最大.
• 如果生产某一类型汽车，则至少要生产80辆，
那么最优的生产计划应作何改变？ 15
汽车厂生产计划
模型建立
设每月生产小、中、大型 汽车的数量分别为x1, x2, x3
小型 钢材 1.5 时间 280 利润 2
中型 3
250 3
大型 5
400 4
7
常用优化软件
1. LINGO软件 2. MATLAB优化工具箱 3. EXCEL软件的优化功能 4. SAS(统计分析)软件的优化功能 5. 其他
8
2.简单的优化模型
——生猪的出售时机
问 饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设 题 备，估计可使80千克重的生猪体重增加2公斤。
市场价格目前为每千克8元，但是预测每天会降 低 0.1元，问生猪应何时出售。
• 设r=2不变
t320g, 0g0.15 g
t 对g的（相对）敏感度 30
t
S(t,g) Δt/t dtg 20 Δg/g dgt
10
S(t,g) 3 3
320g
0
0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 g 0.16
生猪价格每天的降低量g增加1%，出售时间提前3%。 12
强健性分析
研究 r, g不是常数时对模型结果的影响
13
3. 数学规划模型
例1 汽车厂生产计划 例2 加工奶制品的生产计划 例3 运输问题
14
例1 汽车厂生产计划
汽车厂生产三种类型的汽车，已知各类型每辆车对 钢材、劳动时间的需求，利润及工厂每月的现有量.
小型 中型 大型
现有量
钢材（吨）
1.5
3
5
600
劳动时间（小时） 280
250
400
60000
Global optimal solution found.
IP可用LINGO直接求解
s.t. 1.5x13x25x3600 max=2*x1+3*x2+4*x3; 1.5*x1+3*x2+5*x3<600;
28x1 025x2 040x30 60020800 *x1+250*x2+400*x3
x1, x2, x3为非负整数
<60000; @gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);
X1 64.516129
0.000000
X2 167.741928
0.000000
X3 0.000000
0.946237
Row Slack or Surplus Dual Price
2 0.000000
0.731183
3 0.000000
0.003226
1）舍去小数：取x1=64，x2=167，算出目标函数值 z=629，与LP最优值632.2581相差不大.
2）试探：如取x1=65，x2=167；x1=64，x2=168等， 计算函数值z，通过比较可能得到更优的解.
• 但必须检验它们是否满足约束条件. 为什么？
3）模型中增加条件：x1, x2, x3
均为整数，重新求解. 17
模型求解 整数规划(Integer Programming,简记IP)
Mza 2 x 1 3 x 2 4 x 3
w=80+rt w = w(t) p=8-gt p =p(t)
Q (t)p(t)w (t)4t
Q(t)0 p ( t)w ( t) p ( t)w ( t) 4
每天利润的增值 每天投入的资金
保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售
由 S(t,r)=3 若 1.8w 2.2(10%), 则 7t1（330%） 建议过一周后(t=7)重新估计 p,p,w,w, 再作计算。
建模时需要注意的几个基本问题
1、尽量使用实数优化，减少整数约束和整数变量 2、尽量使用光滑优化，减少非光滑约束的个数 如：尽量少使用绝对值、符号函数、多个变量求 最大/最小值、四舍五入、取整函数等 3、尽量使用线性模型，减少非线性约束和非线性变 量的个数（如x/y <5 改为x<5y） 4、合理设定变量上下界，尽可能给出变量初始值 5、模型中使用的参数数量级要适当(如小于103)
• 设g=0.1不变
t40r60, r1.5 r
t 对r 的（相对）敏感度
20
t
15
S(t,
r)
Δt Δr
/ /
t r
dt dr
r t
10
60
5
S(t,r)
3
40r60
0
1.5
2
2.5
r3
生猪每天体重增加量r 增加1%，出售时间推迟3%。 11
敏感性分析
t 4r40g2 rg
研究 r, g变化时对模型结果的影响 估计r=2， g=0.1
简要提纲
1. 优化模型简介 2. 简单的优化模型 3. 数学规划模型 4. 图论，动态规划(选讲) 5. 建模与求解实例
1
1. 优化模型简介
2
优化问题的一般形式
3
无约束优化:最优解的分类和条件
4
约束优化的简单分类
5
优化建模如何创新？
• 方法1：大胆创新，别出心裁 ---- 采用有特色的目标函数、约束条件等 ---- 你用非线性规划，我用线性规划 ---- 你用整数/离散规划，我用连续规划/网络优化 ---- …… • 方法2：细致入微，滴水不漏 ---- 对目标函数、约束条件处理特别细致 ---- 有算法设计和分析，不仅仅是简单套用软件 ---- 敏感性分析详细/ 全面 ---- ……
现有量 600 60000
Mza 2 x 1 3 x 2 4 x 3
s.t. 1.5x13x25x3600
线性规划 模型(LP)
28x1 025x20 40x30 60000
x1,x2,x3 0
16
模型 求解
结果为小数， 怎么办？
源自文库
Objective Value: 632.2581
Variable Value Reduced Cost
如果估计和预测有误差，对结果有何影响。
分 投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随 析 时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大
9
建模及求解
估计r=2， g=0.1 若当前出售，利润为80×8=640（元）
t 天 生猪体重 w=80+rt 出售 出售价格 p=8-gt
销售收入 R=pw 资金投入 C=4t
利润 Q=R-C=pw -C Q (t) ( 8 g )8 t( r 0 ) t4 t
求 t 使Q(t)最大 t 4r40g2 =10 rg
Q(10)=660 > 640 10天后出售，可多得利润20元
10
敏感性分析
t 4r40g2 rg
研究 r, g变化时对模型结果的影响 估计r=2， g=0.1
利润（万元）
2
3
4
• 制订月生产计划，使工厂的利润最大.
• 如果生产某一类型汽车，则至少要生产80辆，
那么最优的生产计划应作何改变？ 15
汽车厂生产计划
模型建立
设每月生产小、中、大型 汽车的数量分别为x1, x2, x3
小型 钢材 1.5 时间 280 利润 2
中型 3
250 3
大型 5
400 4
7
常用优化软件
1. LINGO软件 2. MATLAB优化工具箱 3. EXCEL软件的优化功能 4. SAS(统计分析)软件的优化功能 5. 其他
8
2.简单的优化模型
——生猪的出售时机
问 饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设 题 备，估计可使80千克重的生猪体重增加2公斤。
市场价格目前为每千克8元，但是预测每天会降 低 0.1元，问生猪应何时出售。
• 设r=2不变
t320g, 0g0.15 g
t 对g的（相对）敏感度 30
t
S(t,g) Δt/t dtg 20 Δg/g dgt
10
S(t,g) 3 3
320g
0
0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 g 0.16
生猪价格每天的降低量g增加1%，出售时间提前3%。 12
强健性分析
研究 r, g不是常数时对模型结果的影响
13
3. 数学规划模型
例1 汽车厂生产计划 例2 加工奶制品的生产计划 例3 运输问题
14
例1 汽车厂生产计划
汽车厂生产三种类型的汽车，已知各类型每辆车对 钢材、劳动时间的需求，利润及工厂每月的现有量.
小型 中型 大型
现有量
钢材（吨）
1.5
3
5
600
劳动时间（小时） 280
250
400
60000
Global optimal solution found.
IP可用LINGO直接求解
s.t. 1.5x13x25x3600 max=2*x1+3*x2+4*x3; 1.5*x1+3*x2+5*x3<600;
28x1 025x2 040x30 60020800 *x1+250*x2+400*x3
x1, x2, x3为非负整数
<60000; @gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);
X1 64.516129
0.000000
X2 167.741928
0.000000
X3 0.000000
0.946237
Row Slack or Surplus Dual Price
2 0.000000
0.731183
3 0.000000
0.003226
1）舍去小数：取x1=64，x2=167，算出目标函数值 z=629，与LP最优值632.2581相差不大.
2）试探：如取x1=65，x2=167；x1=64，x2=168等， 计算函数值z，通过比较可能得到更优的解.
• 但必须检验它们是否满足约束条件. 为什么？
3）模型中增加条件：x1, x2, x3
均为整数，重新求解. 17
模型求解 整数规划(Integer Programming,简记IP)
Mza 2 x 1 3 x 2 4 x 3
w=80+rt w = w(t) p=8-gt p =p(t)
Q (t)p(t)w (t)4t
Q(t)0 p ( t)w ( t) p ( t)w ( t) 4
每天利润的增值 每天投入的资金
保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售
由 S(t,r)=3 若 1.8w 2.2(10%), 则 7t1（330%） 建议过一周后(t=7)重新估计 p,p,w,w, 再作计算。