数学建模中的优化模型(课堂PPT)
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数学建模中的优化模型ppt课件
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3
4
• 制订月生产计划，使工厂的利润最大.
• 如果生产某一类型汽车，则至少要生产80辆，
那么最优的生产计划应作何改变？ 15
汽车厂生产计划
模型建立
设每月生产小、中、大型 汽车的数量分别为x1, x2, x3
小型 钢材 1.5 时间 280 利润 2
中型 3
250 3
大型 5
400 4
现有量 600 60000
p(t)w(t) p(t)w(t) 4
每天利润的增值 每天投入的资金
保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售
由 S(t,r)=3 若 1.8 w 2.2(10%), 则 7 t 13（30%） 建议过一周后(t=7)重新估计 p, p, w, w, 再作计算。
13
研究 r, g变化时对模型结果的影响 估计r=2， g=0.1
• 设r=2不变
t 3 20 g , 0 g 0.15 g
t 对g的（相对）敏感度 30
t
S(t, g) Δ t / t dt g 20 Δ g / g dg t
S(t, g) 3 3 3 20 g
7
常用优化软件
1. LINGO软件 2. MATLAB优化工具箱 3. EXCEL软件的优化功能 4. SAS(统计分析)软件的优化功能 5. 其他
8
2.简单的优化模型
——生猪的出售时机
问 饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设 题 备，估计可使80千克重的生猪体重增加2公斤。
市场价格目前为每千克8元，但是预测每天会降 低 0.1元，问生猪应何时出售。
均为整数，重新求解. 17
模型求解 整数规划(Integer Programming,简记IP)
数学建模简明教程课件：简单优化模型
由上面三个表达式可求得：
r
1
4a 4,
cos
r1
4
r 2
r1
22
这也是在能量消耗最小原则下血管分岔处几何形状的 结果.由这个结果得：
a4
cos 2a 4
r 若取a＝1和a＝2可得 r1 和θ的大致范围约为：
r
1.26
1.32
r1
37
49
23
3.模型检验
记动物大动脉和最细的毛细血管半径分别为rmax和rmin
时刻为t＝t2，设t时刻森林烧毁面积为B(t)，则造成损失的森
林烧毁面积为B(t2)；单位时间烧毁的面积为 dB(t) (这 dt
也表示了火势蔓延的程度).在消防队员到达之前，即0≤t≤t1
期间，火势越来越大，从而
dB随(t )t的增加而增加 dt
；开始救火之后，即t1≤t≤t2期间，如果消防队员救火能力足
合来确定.式(3.3.2)还表明最优价格包括两部分：一部分为
成本的一半，另一部分与“绝对需求量”成正比，与市场
需求对价格的敏感系数成反比.
29
3.4 存贮模型
为了使生产和销售有条不紊地进行，一般的工商企业 总需要存贮一定数量的原料或商品，然而大量库存不但积 压了资金，而且会使仓库保管的费用增加.因此，寻求合理 的库存量乃是现代企业管理的一个重要课题.
min［订货费(或生产费)＋存贮费＋缺货损失费］
下面我们讨论几个重要的存贮模型.
31
3.4.1 不允许缺货的订货销售模型
为了使问题简化，我们作如下假设： (1)由于不允许缺货，所以规定缺货损失费为无穷大. (2)当库存量为零时，可立即得到补充. (3)需求是连续均匀的，且需求速度(单位时间的需求量) 为常数. (4)每次订货量不变，订货费不变. (5)单位存贮费不变.
数学建模～最优化模型(课件)
投资组合优化
在风险和收益之间寻求平衡，通 过优化投资组合实现最大收益。
03
非线性规划模型
非线性规划问题的定义
目标函数
一个或多个非线性函数，表示 要最小化或最大化的目标。
约束条件
决策变量的取值受到某些限制 ，通常以等式或不等式形式给 出。
决策变量
问题中需要求解的未知数，通 常表示为x1, x2, ..., xn。
这是一种常用的求解整数规划问题的算法，通过不断将问题分解为更 小的子问题，并确定问题的下界和上界，逐步逼近最优解。
割平面法
该方法通过添加割平面来限制搜索区域，从而逼近最优解。
迭代改进法
该方法通过不断迭代和改进当前解，逐步逼近最优解。
遗传算法
这是一种基于生物进化原理的优化算法，通过模拟自然选择和遗传机 制来寻找最优解。
定义域
决策变量的取值范围，通常是 一个闭区间或开区间。
非线性规划问题的求解方法
梯度法
利用目标函数的梯度信息，通过迭代方法寻 找最优解。
共轭梯度法
结合梯度法和牛顿法的思想，通过迭代方法 寻找最优解。
牛顿法
利用目标函数的二阶导数信息，通过迭代方 法寻找最优解。
信赖域方法
在每次迭代中，通过限制搜索步长来保证求 解的稳定性。
02
线性规划模型
线性规划问题的定义
01
02
03
线性规划问题
在给定一组线性约束条件 下，求一组线性函数的最 大值或最小值的问题。
约束条件
包括资源限制、物理条件 等，通常以等式或不等式 形式给出。
目标函数
需要最大化或最小化的线 性函数，通常表示为决策 变量的线性组合。
线性规划问题的求解方法
数学建模优化建模实例课件
6米钢管根数 0 1 0 2 1 3 0
8米钢管根数 0 0 1 0 1 0 2
余料(米) 3 1 3 3 1 1 3
为满足客户需要，按照哪些种合理模式，每种模式
切割多少根原料钢管，最为节省？
两种 1. 原料钢管剩余总余量最小 标准 2. 所用原料钢管总根数最少
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决策 变量 xi ~按第i 种模式切割的原料钢管根数(i=1,2,…7) 目标1（总余量） Min Z1 3x1 x2 3x3 3x4 x5 x6 3x7
模型建立
xij--第i 种货物装入第j 个货舱的重量
目标 函数 (利润)
Max Z 3100(x11 x12 x13) 3800(x21 x22 x23) 3500(x31 x32 x33) 2850(x41 x42 x43)
货舱 x11 x21 x31 x41 10 重量 x12 x22 x32 x42 16
3
货机装运
模型建立
xij--第i 种货物装入第j 个货舱的重量
约束
平衡 要求
x11 x21 x31 x41 10
x12 x22 x32 x42 16
10； 6800
16； 8700
8； 5300
条件
x13 x23 x33 x43 8
货物 供应
x11 x12 x13 18 x21 x22 x23 15
如何装运， 使本次飞行 获利最大？
1
货机装运
模型假设
每种货物可以分割到任意小； 每种货物可以在一个或多个货舱中任意分布； 多种货物可以混装，并保证不留空隙；
模型建立
决策 xij--第i 种货物装入第j 个货舱的重量(吨） 变量 i=1,2,3,4, j=1,2,3 (分别代表前、中、后仓)
数学建模～最优化模型(课件ppt)
用Matlab编程求解程序如下：
[X,FVAL,EXITFLAG,OUTPUT] = LINPROG(f,A,b) f = -[10 5]; A = [0.3 0.4;0.5 0.2]; B = [9;8];
[X,FVAL,EXITFLAG,OUTPUT] = LINPROG(f,A,b)
X= 10.0000
2
建立无约束优化模型为：min y =- ( 3 2 x ) x ， 0< x <1.5
2
先编写M文件fun0.m如下: function f=fun0(x) f=-(3-2*x).^2*x; 主程序为wliti2.m: [x,fval]=fminbnd('fun0',0,1.5); xmax=x fmax=-fval
控制，计划聘请两种不同水平的检验员.一级检验员的标准为： 速度25件/小时，正确率98%，计时工资4元/小时；二级检验员 的标准为：速度15件/小时，正确率95%，计时工资3元/小时.检 验员每错检一次，工厂要损失2元.为使总检验费用最省，该工 厂应聘一级、二级检验员各几名？
解 设需要一级和二级检验员的人数分别为x1、x2人, 则应付检验员的工资为：
综上得，
函数f(x)在x=4取得在[-3,4]上得最大值f(4)=142，在 x=1处取得在[-3,4]上取得最小值f(1)=7
用MATLAB解无约束优化问题
1. 一元函数无约束优化问题: min f ( x )
常用格式如下： （1）x= fminbnd (fun,x1,x2) （2）x= fminbnd (fun,x1,x2 ，options) （3）[x，fval]= fminbnd（…） （4）[x，fval，exitflag]= fminbnd（…）
数学建模之优化模型PPT课件
（二）优化模型的分类
1.根据是否存在约束条件 有约束问题和无约束问题。
2.根据设计变量的性质 静态问题和动态问题。
3.根据目标函数和约束条件表达式的性质 线性规划，非线性规划，二次规划，多目标规划等。
第3页/共29页
（1）非线性规划
目标函数和约束条件中，至少有一个非线性函数。
minu f (x) x
配件厂为装配线生产若干种部件，轮换生 产不同的部件时因更换设备要付生产准备费 （与生产数量无关），同一部件的产量大于需 求时因积压资金、占用仓库要付存贮费。今已 知某一部件的日需求量100件，生产准备费5000 元，存贮费每日每件1元。如果生产能力远大于 需求，并且不允许出现缺货，试安排该产品的 生产计划，即多少天生产一次（称为生产周 期），每次产量多少，可使总费用最小。
由相对变化量衡量对参数的敏感程度。
T 对c1 的敏感程度记为 S(T, c1) 2
S(T , c1)
T c1
T c1
dT d c1
c1 T
1 2
c2r c1 1 2c1 T 2
c2r
1
1
S (T , c2 ) 2
S(T , r) 2
第19页/共29页
S (T , c1)
1 2
S
(T
,
一 优化模型的一般意义
（一）优化模型的数学描述
将一个优化问题用数学式子来描述，即求函数
u f ( x) x (x1, x2, x3,...,xn ) 在约束条件 hi (x) 0,i 1,2,...,m.
和 gi (x) 0(gi (x) 0),i 1,2,...,p.
下的最大值或最小值，其中
工厂定期订购原料，存入仓库供生产之用； 车间一次加工出一批零件，供装配线每天生产之用； 商店成批购进各种商品，放在货柜里以备零售； 水库在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和发电。
数学建模最优化模型省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
谢 谢！！！
➢ 最优化措施旳应用
许多生产计划与管理分配问题都能够归纳为 最优化问题, 最优化模型是数学建模中应用最广泛 旳模型之一,其内容涉及线性规划、非线性规划、 整数线性规划、动态规划、多目旳规划、决策规 划等.
一般在实际生活中，我们总是利用 最优化措 施处理两方面旳问题：成本最小化和利润最大化
例：森林救火费用最小问题
x* a v
c1vh2 2c2ah 2c3v 2
➢ 一般优化模型旳总结
➢ 阐明：
拟定目旳
建立目旳函数；
分析原因
对影响目旳函数变化旳各个原因
进行定性或定量分析，而对那些随机性大、影响度很小旳 原因能够假设掉。
拟定决定性原因
拟定影响问题变化旳主要原因
分析各原因之间旳作用 分析各原因之间旳相互作 用，从而能够拟定各原因是相互独立旳、或是有关旳。 （统计回归中旳交互项旳引入）
把影响化为体现式
即模型旳建立，即文字数字化。
改善成果，找最优解
不断根据事实，改善模型，
从而实现真正意义上旳优化。
常用模型：线性规划、非线性规划、整数规划、动态规 划、多目旳规划等。
模型旳建立和求解
• 首先作图分析：
由图和前述旳假设可知：森林烧毁面积 b(t2 )等于图中三角形
旳积，即
b(t2 )
1 2
ht2，而t2
t1
h vx
a ,所以b(t2 )
1 2
ht1
1 2
h2 vx
a
，而火灾旳损失费 w1 c1b(t2 ) 与救火费用w2 之和为：
w
1 2
c1ht1
c1h 2 2(vx
火被t1 扑灭旳时刻为 。 时t刻2 森t 林烧毁旳面
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13
3. 数学规划模型
例1 汽车厂生产计划 例2 加工奶制品的生产计划 例3 运输问题
14
例1 汽车厂生产计划
汽车厂生产三种类型的汽车，已知各类型每辆车对 钢材、劳动时间的需求，利润及工厂每月的现有量.
小型 中型 大型
现有量
钢材（吨）
1.5
3
5
600
劳动时间（小时） 280
250
400
60000
Global optimal solution found.
7
常用优化软件
1. LINGO软件 2. MATLAB优化工具箱 3. EXCEL软件的优化功能 4. SAS(统计分析)软件的优化功能 5. 其他
8
2.简单的优化模型
——生猪的出售时机
问 饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设 题 备，估计可使80千克重的生猪体重增加2公斤。
市场价格目前为每千克8元，但是预测每天会降 低 0.1元，问生猪应何时出售。
X1 64.516129
0.000000
X2 167.741928
0.000000
X3 0.000000
0.946237
Row Slack or Surplus Dual Price
2 0.000000
0.731183
3 0.000000
0.003226
1）舍去小数：取x1=64，x2=167，算出目标函数值 z=629，与LP最优值632.2581相差不大.
• 设g=0.1不变
t40r60, r1.5 r
t 对r 的（相对）敏感度
20
t
15
S(t,
r)
Δt Δr
/ /
t r
dt dr
r t
10
60
5
S(t,r)
3
40r60
0
1.5
2
2.5
r3
生猪每天体重增加量r 增加1%，出售时间推迟3%。 11
敏感性分析
t 4r40g2 rg
研究 r, g变化时对模型结果的影响 估计r=2， g=0.1
• 设r=2不变
t320g, 0g0.15 g
t 对g的（相对）敏感度 30
t
S(t,g) Δt/t dtg 20 Δg/g dgt
10
S(t,g) 3 3
320g
0
0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 g 0.16
生猪价格每天的降低量g增加1%，出售时间提前3%。 12
强健性分析
研究 r, g不是常数时对模型结果的影响
IP可用LINGO直接求解
s.t. 1.5x13x25x3600 max=2*x1+3*x2+4*x3; 1.5*x1+3*x2+5*x3<600;
28x1 025x2 040x30 60020800 *x1+250*x2+400*x3
x1, x2, x3为非负整数
<60000; @gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);
利润（万元）
2
3
4Байду номын сангаас
• 制订月生产计划，使工厂的利润最大.
• 如果生产某一类型汽车，则至少要生产80辆，
那么最优的生产计划应作何改变？ 15
汽车厂生产计划
模型建立
设每月生产小、中、大型 汽车的数量分别为x1, x2, x3
小型 钢材 1.5 时间 280 利润 2
中型 3
250 3
大型 5
400 4
简要提纲
1. 优化模型简介 2. 简单的优化模型 3. 数学规划模型 4. 图论，动态规划(选讲) 5. 建模与求解实例
1
1. 优化模型简介
2
优化问题的一般形式
3
无约束优化:最优解的分类和条件
4
约束优化的简单分类
5
优化建模如何创新？
• 方法1：大胆创新，别出心裁 ---- 采用有特色的目标函数、约束条件等 ---- 你用非线性规划，我用线性规划 ---- 你用整数/离散规划，我用连续规划/网络优化 ---- …… • 方法2：细致入微，滴水不漏 ---- 对目标函数、约束条件处理特别细致 ---- 有算法设计和分析，不仅仅是简单套用软件 ---- 敏感性分析详细/ 全面 ---- ……
利润 Q=R-C=pw -C Q (t) ( 8 g )8 t( r 0 ) t4 t
求 t 使Q(t)最大 t 4r40g2 =10 rg
Q(10)=660 > 640 10天后出售，可多得利润20元
10
敏感性分析
t 4r40g2 rg
研究 r, g变化时对模型结果的影响 估计r=2， g=0.1
2）试探：如取x1=65，x2=167；x1=64，x2=168等， 计算函数值z，通过比较可能得到更优的解.
• 但必须检验它们是否满足约束条件. 为什么？
3）模型中增加条件：x1, x2, x3
均为整数，重新求解. 17
模型求解 整数规划(Integer Programming,简记IP)
Mza 2 x 1 3 x 2 4 x 3
现有量 600 60000
Mza 2 x 1 3 x 2 4 x 3
s.t. 1.5x13x25x3600
线性规划 模型(LP)
28x1 025x20 40x30 60000
x1,x2,x3 0
16
模型 求解
结果为小数， 怎么办？
Objective Value: 632.2581
Variable Value Reduced Cost
w=80+rt w = w(t) p=8-gt p =p(t)
Q (t)p(t)w (t)4t
Q(t)0 p ( t)w ( t) p ( t)w ( t) 4
每天利润的增值 每天投入的资金
保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售
由 S(t,r)=3 若 1.8w 2.2(10%), 则 7t1（330%） 建议过一周后(t=7)重新估计 p,p,w,w, 再作计算。
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建模时需要注意的几个基本问题
1、尽量使用实数优化，减少整数约束和整数变量 2、尽量使用光滑优化，减少非光滑约束的个数 如：尽量少使用绝对值、符号函数、多个变量求 最大/最小值、四舍五入、取整函数等 3、尽量使用线性模型，减少非线性约束和非线性变 量的个数（如x/y <5 改为x<5y） 4、合理设定变量上下界，尽可能给出变量初始值 5、模型中使用的参数数量级要适当(如小于103)
如果估计和预测有误差，对结果有何影响。
分 投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随 析 时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大
9
建模及求解
估计r=2， g=0.1 若当前出售，利润为80×8=640（元）
t 天 生猪体重 w=80+rt 出售 出售价格 p=8-gt
销售收入 R=pw 资金投入 C=4t
3. 数学规划模型
例1 汽车厂生产计划 例2 加工奶制品的生产计划 例3 运输问题
14
例1 汽车厂生产计划
汽车厂生产三种类型的汽车，已知各类型每辆车对 钢材、劳动时间的需求，利润及工厂每月的现有量.
小型 中型 大型
现有量
钢材（吨）
1.5
3
5
600
劳动时间（小时） 280
250
400
60000
Global optimal solution found.
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常用优化软件
1. LINGO软件 2. MATLAB优化工具箱 3. EXCEL软件的优化功能 4. SAS(统计分析)软件的优化功能 5. 其他
8
2.简单的优化模型
——生猪的出售时机
问 饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设 题 备，估计可使80千克重的生猪体重增加2公斤。
市场价格目前为每千克8元，但是预测每天会降 低 0.1元，问生猪应何时出售。
X1 64.516129
0.000000
X2 167.741928
0.000000
X3 0.000000
0.946237
Row Slack or Surplus Dual Price
2 0.000000
0.731183
3 0.000000
0.003226
1）舍去小数：取x1=64，x2=167，算出目标函数值 z=629，与LP最优值632.2581相差不大.
• 设g=0.1不变
t40r60, r1.5 r
t 对r 的（相对）敏感度
20
t
15
S(t,
r)
Δt Δr
/ /
t r
dt dr
r t
10
60
5
S(t,r)
3
40r60
0
1.5
2
2.5
r3
生猪每天体重增加量r 增加1%，出售时间推迟3%。 11
敏感性分析
t 4r40g2 rg
研究 r, g变化时对模型结果的影响 估计r=2， g=0.1
• 设r=2不变
t320g, 0g0.15 g
t 对g的（相对）敏感度 30
t
S(t,g) Δt/t dtg 20 Δg/g dgt
10
S(t,g) 3 3
320g
0
0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 g 0.16
生猪价格每天的降低量g增加1%，出售时间提前3%。 12
强健性分析
研究 r, g不是常数时对模型结果的影响
IP可用LINGO直接求解
s.t. 1.5x13x25x3600 max=2*x1+3*x2+4*x3; 1.5*x1+3*x2+5*x3<600;
28x1 025x2 040x30 60020800 *x1+250*x2+400*x3
x1, x2, x3为非负整数
<60000; @gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);
利润（万元）
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3
4Байду номын сангаас
• 制订月生产计划，使工厂的利润最大.
• 如果生产某一类型汽车，则至少要生产80辆，
那么最优的生产计划应作何改变？ 15
汽车厂生产计划
模型建立
设每月生产小、中、大型 汽车的数量分别为x1, x2, x3
小型 钢材 1.5 时间 280 利润 2
中型 3
250 3
大型 5
400 4
简要提纲
1. 优化模型简介 2. 简单的优化模型 3. 数学规划模型 4. 图论，动态规划(选讲) 5. 建模与求解实例
1
1. 优化模型简介
2
优化问题的一般形式
3
无约束优化:最优解的分类和条件
4
约束优化的简单分类
5
优化建模如何创新？
• 方法1：大胆创新，别出心裁 ---- 采用有特色的目标函数、约束条件等 ---- 你用非线性规划，我用线性规划 ---- 你用整数/离散规划，我用连续规划/网络优化 ---- …… • 方法2：细致入微，滴水不漏 ---- 对目标函数、约束条件处理特别细致 ---- 有算法设计和分析，不仅仅是简单套用软件 ---- 敏感性分析详细/ 全面 ---- ……
利润 Q=R-C=pw -C Q (t) ( 8 g )8 t( r 0 ) t4 t
求 t 使Q(t)最大 t 4r40g2 =10 rg
Q(10)=660 > 640 10天后出售，可多得利润20元
10
敏感性分析
t 4r40g2 rg
研究 r, g变化时对模型结果的影响 估计r=2， g=0.1
2）试探：如取x1=65，x2=167；x1=64，x2=168等， 计算函数值z，通过比较可能得到更优的解.
• 但必须检验它们是否满足约束条件. 为什么？
3）模型中增加条件：x1, x2, x3
均为整数，重新求解. 17
模型求解 整数规划(Integer Programming,简记IP)
Mza 2 x 1 3 x 2 4 x 3
现有量 600 60000
Mza 2 x 1 3 x 2 4 x 3
s.t. 1.5x13x25x3600
线性规划 模型(LP)
28x1 025x20 40x30 60000
x1,x2,x3 0
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模型 求解
结果为小数， 怎么办？
Objective Value: 632.2581
Variable Value Reduced Cost
w=80+rt w = w(t) p=8-gt p =p(t)
Q (t)p(t)w (t)4t
Q(t)0 p ( t)w ( t) p ( t)w ( t) 4
每天利润的增值 每天投入的资金
保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售
由 S(t,r)=3 若 1.8w 2.2(10%), 则 7t1（330%） 建议过一周后(t=7)重新估计 p,p,w,w, 再作计算。
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建模时需要注意的几个基本问题
1、尽量使用实数优化，减少整数约束和整数变量 2、尽量使用光滑优化，减少非光滑约束的个数 如：尽量少使用绝对值、符号函数、多个变量求 最大/最小值、四舍五入、取整函数等 3、尽量使用线性模型，减少非线性约束和非线性变 量的个数（如x/y <5 改为x<5y） 4、合理设定变量上下界，尽可能给出变量初始值 5、模型中使用的参数数量级要适当(如小于103)
如果估计和预测有误差，对结果有何影响。
分 投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随 析 时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大
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建模及求解
估计r=2， g=0.1 若当前出售，利润为80×8=640（元）
t 天 生猪体重 w=80+rt 出售 出售价格 p=8-gt
销售收入 R=pw 资金投入 C=4t