平面向量专题强化训练
平面向量专题练习(带答案详解)
平面向量专题练习(带答案详解) 平面向量专题练（附答案详解）一、单选题1.已知向量 $a=(-1,2)$，$b=(1,1)$，则 $a\cdot b$ 等于（）A。
3 B。
2 C。
1 D。
02.已知向量 $a=(1,-2)$，$b=(2,x)$，若 $a//b$，则 $x$ 的值是（）A。
-4 B。
-1 C。
1 D。
43.已知向量 $a=(1,1,0)$，$b=(-1,0,2)$，且 $ka+b$ 与 $2a-b$ 互相垂直，则 $k$ 的值是（）A。
1 B。
5/3 C。
3/5 D。
7/54.等腰直角三角形 $ABC$ 中，$\angle ACB=\frac{\pi}{2}$，$AC=BC=2$，点 $P$ 是斜边 $AB$ 上一点，且 $BP=2PA$，那么 $CP\cdot CA+CP\cdot CB$ 等于（）A。
-4 B。
-2 C。
2 D。
45.设 $a,b$ 是非零向量，则 $a=2b$ 是成立的（）A。
充分必要条件 B。
必要不充分条件 C。
充分不必要条件 D。
既不充分也不必要条件6.在 $\triangle ABC$ 中 $A=\frac{\pi}{3}$，$b+c=4$，$E,F$ 为边 $BC$ 的三等分点，则 $AE\cdot AF$ 的最小值为（）A。
$\frac{8}{3}$ B。
$\frac{26}{9}$ C。
$\frac{2}{3}$ D。
$3$7.若 $a=2$，$b=2$，且 $a-b\perp a$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。
$\frac{\pi}{6}$ B。
$\frac{\pi}{4}$ C。
$\frac{\pi}{3}$ D。
$\frac{\pi}{2}$8.已知非零向量 $a,b$ 满足 $|a|=6|b|$，$a,b$ 的夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$，且 $a\perp (a-kb)$，则实数 $k$ 的值为（）A。
18 B。
高一数学平面向量计算强化练习与答案
一．选择题（共14小题）1．下列各式中结果为零向量的是高一数学平面向量计算强化练习()A ．AB MB BO OM +++ B ．AB AD DC -- C ．OA OC BO CO+++ D ．AB AC BD CD-+- 2．设,a b是两个不共线的向量，若向量()m a kb k R =+∈ 与向量2n a b =- 共线，则()A ．12k =-B ．0k =C ．12k =D ．1k =3．若平面四边形ABCD 满足：AB AD AC +=，()()0AB AD AB AD -⋅+= ，则该四边形一定是()A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．正方形4．已知m ，n是夹角为60︒的两个单位向量，则|2|(m n += )ABCD．5．已知单位向量a，b 满足0a b ⋅=，若向量c a = ，则cos ,(a c 〈〉= )A．2B ．12C．4D ．146．已知向量(4,3)AB = ，(3,)AC t = ，||1BC = ，则AB AC ⋅等于()A ．3B ．4C ．15D ．217．已知向量(1,2),(5,)a b k =-= ．若||a b +不超过5，则k 的取值范围是()A ．[5-，1]B ．[1-，5]C ．[6-，2]D ．[2-，6]8．如图，在平行四边形ABCD 中，AP BD ⊥，垂足为P ，且4AP =，则(AP AC ⋅=)A ．32B ．18C ．16D ．89．如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为AB ，AD 上的点，且42,53AM AB AN AD ==，连接AC ，MN 交于P 点，若AP AC λ=，则λ的值为()A ．35B ．57C ．411D ．81510．在平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，DE 交AC 于F ，则(DF =)A ．1233AB AD-+B ．2133AB AD-+C ．1233AB AD-D ．2133AB AD-11．下列向量运算结果错误的是()A ．a b d e ++=B ．c f d =-C ．a c b=- D ．c d e g++=12．圆内接四边形ABCD 中，2AD =，4CD =，BD 是圆的直径，则(AC BD ⋅=)A ．12B ．12-C ．20D ．20-13．已知非零向量a ，b 满足||2||a b = ，且()a b b -⊥ ，则a与b 的夹角为()A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π14．已知正六边形ABCDEF 中，G 是AF 的中点，则(CG =)A ．5384CE DA+B ．2536CE DA+C ．3548CE DA+D ．5263CE DA+二．多选题（共6小题）15．已知向量(1,2)AB = ，(2,4)AC =-，则()A ．(3,2)BC =-B ．||2||AC AB = C ．//AB ACD ．与AB 方向相同的单位向量为16．已知平面向量(1,2)a =，(2,1)b =-- ，则下列命题中正确的有()A ．a b> B ．||a b +=C ．a b⊥ D ．4cos ,5a b <>=-17．已知(2,1,2)a =-，(2,2,1)b = ，则()A ．a，b 夹角为锐角B ．a b + 与a b -相互垂直C ．||||a b a b +=- D ．以a，b18．已知平面向量(1,0)a =，b = ，则下列说法正确的是()A ．||16a b +=B ．()2a b a +⋅= C ．向量a b + 与a的夹角为60︒D ．向量a b + 在a 上的投影向量为2a19．如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为线段AD ，CD 的中点，AF CE G = ，则()A ．12AF AD AB =+ B ．1()2EF AD AB =+C ．2133AG AD AB=- D ．3BG GD=20．已知向量(4,2)a =-，(2,)b t = ，则下列说法正确的是()A ．当a b ⊥时，4t =B ．当//a b时，1t =-C ．a与b 夹角为锐角时，则t 的取值范围为(4,)+∞D ．当2t =时，a在b 上的投影为2三．填空题（共5小题）21．设1e ，2e 是空间两个不共线的向量，已知12AB e ke =+ ，1254BC e e =+ ，122DC e e =--，且A ，B ，D 三点共线，则实数k =．22．若向量(6,8)a =- ，则与a平行的单位向量是．23．若向量(,2)a x = ，(3,)b y =- ，(1,2)c =--，且()()a c b c -⊥+ ，则||a b - 的最小值为．24．已知向量,a b满足||6,(a b == ，且||0(0)a b λμλμ+=≠ ，则||λμ的值为．25．已知向量(3,2)a =，(1,1)b x =- ，若()a b a -⊥ ，则|2|a b +=．一．选择题（共14小题）1．下列各式中结果为零向量的是高一数学平面向量计算强化练习答案()A ．AB MB BO OM +++ B ．AB AD DC -- C ．OA OC BO CO+++ D ．AB AC BD CD-+- 【分析】根据向量的加法与减法的几何意义即可求解．【解答】解：对A ， AB MB BO OM AB MB BM AB +++=++=，A ∴错误；对B ， AB AD DC DB DC CB --=-=，B ∴错误；对C ， OA OC BO CO BO OA BA +++=+=，C ∴错误；对D ， 0AB AC BD CD AD AD -+-=-=，D ∴正确．故选：D ．【点评】本题考查向量的线性运算，属基础题．2．设,a b是两个不共线的向量，若向量()m a kb k R =+∈ 与向量2n a b =- 共线，则()A ．12k =-B ．0k =C ．12k =D ．1k =【分析】由题意知存在x R ∈，使m xn =，代入化简得12x k x =⎧⎨=-⎩，解方程组即可．【解答】解： 向量()m a kb k R =+∈ 与向量2n a b =-共线，∴存在x R ∈，使m xn =，即(2)a kb x a b +=-，即2a kb xa xb +=-，又 设,a b是两个不共线的向量，∴12xk x =⎧⎨=-⎩，解得12k =-；故选：A ．【点评】本题考查了向量的运算及向量共线的应用，属于基础题．3．若平面四边形ABCD 满足：AB AD AC +=，()()0AB AD AB AD -⋅+= ，则该四边形一定是()A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．正方形【分析】根据题意，AB AD AC +=，满足平行四边形法则，所以四边形ABCD 是平行四边形，再根据菱形的判定定理即可得出．【解答】解： AB AD AC +=，∴四边形ABCD 是平行四边形，()()0AB AD AB AD -⋅+=，即0DB AC ⋅=，∴对角线DB AC ⊥，∴平行四边形ABCD 是菱形，故选：B ．【点评】本题考查了向量的相等、数量积运算、平行四边形与菱形的判定定理，属于基础题．4．已知m ，n是夹角为60︒的两个单位向量，则|2|(m n += )A B C D ．【分析】由|2|m n += 可解得此题．【解答】解：|2|m n +=== ．故选：C ．【点评】本题考查平面向量数量积性质及运算及向量模，考查数学运算能力，属于基础题．5．已知单位向量a，b 满足0a b ⋅= ，若向量c a = ，则cos ,(a c 〈〉= )A ．32B ．12C ．34D ．14【分析】根据条件进行数量积的运算可求出a c ⋅和||c 的值，从而根据向量夹角的计算公式可求出cos ,a c <>的值．【解答】解： ,a b为单位向量，且0a b ⋅= ，∴()1a c a a ⋅=⋅+= ，||1a =，||2c === ，∴1cos ,||||2a c a c a c ⋅<>==．故选：B ．【点评】本题考查了单位向量的定义，向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题．6．已知向量(4,3)AB = ，(3,)AC t = ，||1BC = ，则AB AC ⋅等于()A ．3B ．4C ．15D ．21【分析】先由平面向量的线性运算求得BC，再由平面向量模的坐标表示得到关于t 的方程，解之即可利用平面向量数量积的坐标表示求得AB AC ⋅．【解答】解：因为(4,3)AB = ，(3,)AC t =，所以(1,3)BC AC AB t =-=--，因为||1BC = ，所以22(1)(3)1t -+-=，解得3t =，则(3,3)AC = ，所以433321AB AC ⋅=⨯+⨯=．故选：D ．【点评】本题考查平面向量的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题．7．已知向量(1,2),(5,)a b k =-= ．若||a b +不超过5，则k 的取值范围是()A ．[5-，1]B ．[1-，5]C ．[6-，2]D ．[2-，6]【分析】根据求模公式将||a b +用k 表示出来，解关于k 的不等式即可．【解答】解：由已知得(4,2)a b k +=+，故||5a b +=，化简得2(2)9k + ，解得51k -．故选：A ．【点评】本题考查平面向量的坐标表示和模的计算公式，属于基础题．8．如图，在平行四边形ABCD 中，AP BD ⊥，垂足为P ，且4AP =，则(AP AC ⋅= )A ．32B ．18C ．16D ．8【分析】由平面向量数量积的运算求解即可．【解答】解：设AC BD O = ，则222||||cos 2||21632AP AC AP AO AP AO OAP AP ⋅=⋅=∠==⨯=，故选：A ．【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，属基础题．9．如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为AB ，AD 上的点，且42,53AM AB AN AD ==，连接AC ，MN 交于P 点，若AP AC λ=，则λ的值为()A ．35B ．57C ．411D ．815【分析】根据已知条件，结合平面向量的基本定理，即可求解．【解答】解： 42,53AM AB AN AD ==，∴5353()()4242AP AC AB AD AM AN AM AN λλλλλ==+=+=+，M ，N ，P 三点共线，∴53142λλ+=，解得411λ=．故选：C ．【点评】本题主要考查平面向量的基本定理，属于基础题．10．在平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，DE 交AC 于F ，则(DF = )A ．1233AB AD -+ B ．2133AB AD -+C ．1233AB AD - D ．2133AB AD-【分析】由题可得23DF DE =，再根据向量运算法则即可表示．【解答】解：因为E 是BC 的中点，//AD EC ，所以||||2||||DF AD EF EC ==，所以222121()()333233DF DE DC CE AB AD AB AD ==+=-=- ．故选：D ．【点评】本题考查平面向量基本定理，考查向量的线性运算，属基础题．11．下列向量运算结果错误的是()A ．a b d e ++=B ．c f d =-C ．a c b =-D ．c d e g++= 【分析】直接利用三角形法则进行计算选项即可．【解答】解：A 选项：a b d c d f ++=+=，故A 选项错误；B 选项：f d AD CD AC c -=-==，故B 选项正确；C 选项：c b AC BC AB a -=-==，故C 选项正确；D 选项：c d AC CD DE AE g +=++==，故D 选项正确．故选：A ．【点评】本题主要考查平面向量三角形法则，属于基础题．12．圆内接四边形ABCD 中，2AD =，4CD =，BD 是圆的直径，则(AC BD ⋅=)A ．12B ．12-C ．20D ．20-【分析】由平面向量的减法运算知，()AC BD DC DA DB ⋅=--⋅，展开后，结合平面向量数量积的几何意义，可转化为22||||AC BD DA DC ⋅=-，代入数据，运算即可．【解答】解：因为BD 是圆的直径，所以90BAD BCD ∠=∠=︒，所以2222()||||cos ||||cos ||||2412AC BD DC DA DB DA DB DC DB DA DB ADB DC DB BDC DA DC ⋅=--⋅=⋅-⋅=⋅∠-⋅∠=-=-=-．故选：B ．【点评】本题考查平面向量在平面几何中的应用，理解平面向量数量积的几何意义是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．13．已知非零向量a ，b 满足||2||a b = ，且()a b b -⊥ ，则a与b 的夹角为()A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π【分析】由()a b b -⊥ ，可得()0a b b -⋅= ，进一步得到2||||cos ,0a b a b b <>-=，然后求出夹角即可．【解答】解：()a b b -⊥，∴2()a b b a b b-⋅=⋅- 2||||cos ,0a b a b b =<>-=，∴2||cos ,||||b a b a b <>=22||122||b b == ，,[0,]a b π<>∈，∴,3a b π<>=．故选：B ．【点评】本题考查了平面向量的数量积和向量的夹角，属基础题．14．已知正六边形ABCDEF 中，G 是AF 的中点，则(CG =)A ．5384CE DA+B ．2536CE DA+C ．3548CE DA+D ．5263CE DA+【分析】选AF ，AB 为基向量，将CG ，CE ，DA用基向量表示后可得．【解答】解：1112222CG CB BA AG OA BA AF AF AB AB AF AF AB =++=++=---+=--；555528844DA OA AF AB =⨯=-- ；33333()44444CE BF AF AB AF AB ==-=-，∴353355124844442CE DA AF AB AF AB AF AB +=---=--．故选：C ．【点评】本题考查了平面向量基本定理，属中档题．二．多选题（共6小题）15．已知向量(1,2)AB = ，(2,4)AC =-，则()A ．(3,2)BC =-B ．||2||AC AB = C ．//AB ACD ．与AB 方向相同的单位向量为【分析】利用向量的坐标运算计算即可．【解答】解：A 选项，(3,2)BC AC AB =-=-，故A 正确；B 选项，||AC ==||AB ==，故B 正确；C 选项，142(2)0⨯-⨯-≠，故C 错误；D 选项，||AB AB = ，故D 正确．故选：ABD ．【点评】本题考查向量的坐标运算，需熟练掌握向量坐标运算公式．16．已知平面向量(1,2)a =，(2,1)b =-- ，则下列命题中正确的有()A ．a b >B ．||a b +=C ．a b⊥ D ．4cos ,5a b <>=-【分析】对于A ，结合向量不能比较大小，即可求解，对于B ，结合向量模公式，即可求解，对于C ，结合向量垂直的性质，即可求解，对于D ，结合平面向量的夹角公式，即可求解．【解答】解：对于A ，向量不能比较大小，故A 错误，对于B ， (1,2)a =，(2,1)b =-- ，∴(1,1)a b +=-，∴||a b +== ，故B 正确，对于C ，40a b ⋅=-≠，故C 错误，对于D ， (1,2)a =，(2,1)b =-- ，∴||a =，||b = ，4a b ⋅=- ，∴4cos ,5||||a b a b a b ⋅<>==-，故D 正确．故选：BD ．【点评】本题主要考查平面向量的夹角公式，考查转化能力，属于基础题．17．已知(2,1,2)a =-，(2,2,1)b = ，则()A ．a，b 夹角为锐角B ．a b + 与a b -相互垂直C ．||||a b a b +=- D ．以a，b 【分析】对A ，根据向量的夹角公式的坐标运算即可求解；对B ，根据向量垂直的性质即可求解；对C ，根据向量模的公式即可求解；对D ，根据三角形的面积公式即可求解．【解答】解：对A ， (2,1,2)a =-，(2,2,1)b = ，∴2212214cos ,0339a b ⨯-⨯+⨯<>==>⨯，且a 与b 不共线，∴a，b 夹角为锐角，A ∴正确；对B ， ()()401(3)310a b a b +⋅-=⨯+⨯-+⨯=，∴a b + 与a b -相互垂直，B ∴正确；对C ， (4,1,3)a b += ，(0a b -=，3-，1)，||a b ∴+=，||a b -=，C ∴错误；对D，||3a ==，||3b == ，又根据A的分析知65sin ,9a b <>==，∴以a，b为邻边的平行四边形的面积为||||sin ,339a b a b <>=⨯⨯= ，D ∴正确．故选：ABD ．【点评】本题考查向量的夹角公式的坐标运算，向量垂直的性质，向量垂直的性质，三角形的面积公式，属基础题．18．已知平面向量(1,0)a =，b = ，则下列说法正确的是()A ．||16a b +=B ．()2a b a +⋅= C ．向量a b + 与a的夹角为60︒D ．向量a b + 在a 上的投影向量为2a【分析】由平面向量数量积的坐标运算，结合平面向量的模、投影向量及夹角的运算求解即可．【解答】解：已知平面向量(1,0)a =，b = ，对于选项A，a b +=，则||4a b += ，即选项A 错误；对于选项B，()2102a b a +⋅=⨯+=，即选项B 正确；对于选项C ，()21cos ,412||||a b a a b a a b a +⋅<+>===⨯+ ，即,60a b a <+>=︒，即选项C 正确；对于选项D ，向量a b + 在a上的投影向量为()2||||a b a a a a a +⋅=，即选项D 正确，故选：BCD ．【点评】本题考查了平面向量数量积的坐标运算，重点考查了平面向量的模及夹角的运算，属基础题．19．如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为线段AD ，CD 的中点，AF CE G = ，则()A ．12AF AD AB =+ B ．1()2EF AD AB =+C ．2133AG AD AB=- D ．3BG GD=【分析】对于A ：直接利用三角形法则的应用和线性运算的应用求出结果．对于B ：利用三角形法则的应用和线性运算的应用求出结果．对于C ：利用平行线分线段成比例和三角形法则和线性运算的应用求出结果．对于D ：直接利用平行线成比例的应用求出结果．【解答】解：在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为线段AD ，CD 的中点，AF CE G = ，如图所示：根据三角形法则：对于1:2A AF AD DF AD AB =+=+，故选项A 正确．对于:B E ，F 分别为线段AD ，CD 的中点，所以11()22EF AC AB AD ==+，故选项B 正确．对于C ：过E 作//EH DC ，所以12EH CF =，所以13HG HF =，故13HG AH =，整理得14HG AG =，所以32AF AG = ，即22121()33233AG AF AD AB AD AB ==+=+，故选项C 错误．对于D ：根据平行线分线段成比例定理，点B 、G 、D 共线，2BG GD =故选项D 错误．故选：AB ．【点评】本题考查的知识要点：平面向量共线基本定理，向量的线性运算，平行线分线段定理，三角形法则，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．20．已知向量(4,2)a =-，(2,)b t = ，则下列说法正确的是()A ．当a b ⊥时，4t =B ．当//a b时，1t =-C ．a与b 夹角为锐角时，则t 的取值范围为(4,)+∞D ．当2t =时，a在b 上的投影为2【分析】由向量垂直的坐标运算得到A 正确；由向量共线的坐标运算公式得到B 正确；向量夹角为[0θ∈，2π时，820a b t ⋅=-+> ，可得4t >，再由向量共线当(0)a b λλ=> 时，解得1t =-，2λ=-，不合条件，可得C 正确；a在b 上的投影为||a b b ⋅ ，代入数据进行运算，可得D 错误．【解答】解：对于A ，a b ⊥时，4220t -⨯+=，可得4t =，故A 正确；对于B ，//a b时，440t --=，可得1t =-，故B 正确；对于C ，a与b 夹角[0θ∈，)2π时，820a b t ⋅=-+> ，可得4t >，当(0)a b λλ=>时，解得1t =-，2λ=-，无解，可得a与b 夹角为锐角时，4t >，C 正确；对于D ，当2t =时，a在b 上的投影为||a b b ⋅= ，故D 选项错误．故选：ABC ．【点评】本题考查平面向量数量积的运算性质，涉及向量平行，向量模的运算，向量夹角公式，属于中档题．三．填空题（共5小题）21．设1e ，2e 是空间两个不共线的向量，已知12AB e ke =+ ，1254BC e e =+ ，122DC e e =--，且A ，B ，D 三点共线，则实数k =1．【分析】由题意可得向量AB 和BD 共线，存在实数λ，使AB BD λ=，可得关于k ，λ的方程组，进行求解即可．【解答】解：A ，B ，D 三点共线，∴向量AB 和BD 共线，故存在实数λ，使AB BD λ=，由题意可得121212(54)(2)6()BD BC CD e e e e e e =+=+++=+，即12166e ke e λλ+=+ 2e ，故可得616k λλ=⎧⎨=⎩，解得161k λ⎧=⎪⎨⎪=⎩，故1k =，故答案为：1．【点评】本题考查向量的线性运算，涉及向量的共线定理，建立方程关系是解决本题的关键．22．若向量(6,8)a =- ，则与a平行的单位向量是3(5，4)5-或3(5-，4)5．【分析】由题意，根据与a平行的单位向量是||a a ± ，得出结论．【解答】解： 向量(6,8)a =- ，则与a平行的单位向量是3(||5a a ±=± ，45-，即3(5，45-或3(5-，45，故答案为：3(5，45-或3(5-，45．【点评】本题主要共线向量与单位向量的定义，属于基础题．23．若向量(,2)a x = ，(3,)b y =- ，(1,2)c =--，且()()a c b c -⊥+ ，则||a b - 的最小值为【分析】先求出a c - ，b c +的坐标，再利用()()a c b c -⊥+ 可得3y x =+，代入||a b -= ，再结合二次函数的性质即可求出结果．【解答】解： (,2)a x = ，(3,)b y =- ，(1,2)c =--，∴(1,4)a c x -=+，(4,2)b c y +=-- ，又 ()()a c b c -⊥+ ，∴()()0a c b c -⋅+=，4(1)4(2)0x y ∴-++-=，3y x ∴-=，即3y x =+ (3,2)a b x y -=+-，∴||a b -==∴当1y =时，||a b -，．【点评】本题主要考查了平面向量的坐标运算，考查了二次函数的性质，是基础题．24．已知向量,a b满足||6,(a b == ，且||0(0)a b λμλμ+=≠ ，则||λμ的值为13．【分析】由||0(0)a b λμλμ+=≠ 可转化为0a ub λ+= ，从而可得||||||||a u b λ⋅=⋅，从而求得．【解答】解： ||0(0)a b λμλμ+=≠，0a ub λ∴+= ，即a ub λ=- ，即||||||||a u b λ⋅=⋅，又||6a =，||2b == ，6||2||u λ∴⋅=⋅，即||1||3λμ=，故答案为：13．【点评】本题考查了平面向量的应用及向量的模，属于基础题．25．已知向量(3,2)a =，(1,1)b x =- ，若()a b a -⊥ ，则|2|a b +=13．【分析】根据()a b a -⊥ 即可得出()0a b a -=，进行向量数量积的坐标运算即可求出4x =-，进而可得出2a b +的坐标，从而可得出|2|a b + 的值．【解答】解：(2,1)a b x -=+ ，(3,2)a =，且()a b a -⊥ ，∴()62(1)0a b a x -=++=，解得4x =-，∴(1,5)b =，2(5,12)a b +=，∴|2|13a b +=．故答案为：13．【点评】本题考查了向量垂直的充要条件，向量坐标的加法、减法、数乘和数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．。
部编版高中数学必修二第六章平面向量及其应用专项训练
(名师选题)部编版高中数学必修二第六章平面向量及其应用专项训练单选题1、在复平面内，把复数3−√3i 对应的向量按顺时针方向旋转π3，所得向量对应的复数是( )A ．2√3B ．−2√3iC ．√3−3iD ．3+√3i 答案：B分析：由题意知复数3−√3i 对应的向量按顺时针方向旋转π3，需要把已知向量对应的复数乘以复数的沿顺时针旋转后的复数，相乘得到结果．解：∵由题意知复数3−√3i 对应的向量按顺时针方向旋转π3，∴旋转后的向量为(3−√3i )[cos(−π3)+i sin(−π3)]=(3−√3i )(12−√3i 2)=32−3√3i2−√3i 2+3i 22=−2√3i ．故选：B ．2、在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于（ ） A ．14B ．34C ．√24D ．√23 答案：B分析：利用余弦定理求得cosB . b 2=ac,c =2a ，则b 2=2a 2， 由余弦定理得cosB =a 2+c 2−b 22ac=a 2+4a 2−2a 22a⋅2a=34.故选：B3、如图，在△ABC 中，点M 是AB 上的点且满足AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，N 是AC 上的点且满足AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CM 与BN 交于P 点，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ）A ．12a +14b ⃗ B ．35a +15b⃗C ．14a +12b ⃗ D ．310a +35b⃗ 答案：B分析：根据三点共线有λ,μ∈R ，使AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ +3(1−λ)4AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =μ2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−μ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由平面向量基本定理列方程组求参数，即可确定答案.AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由C ，P ，M 共线，存在λ∈R ，使AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−λ)AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ +3(1−λ)4AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ①， 由N ，P ，B 共线，存在μ∈R ，使得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =μAN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−μ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =μ2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−μ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ②， 由①② {λ=μ23(1−λ)4=1−μλ=15,μ=25，故AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =35a +15b ⃗ . 故选：B.4、已知向量a ⃑=(2，3)，b ⃗⃑=(3，2)，则|a ⃑–b ⃗⃑|= A ．√2B ．2 C ．5√2D ．50 答案：A分析：本题先计算a ⃑−b ⃗⃑，再根据模的概念求出|a ⃑−b ⃗⃑|． 由已知，a ⃑−b ⃗⃑=(2,3)−(3,2)=(−1,1)， 所以|a ⃑−b ⃗⃑|=√(−1)2+12=√2， 故选A小提示：本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错．5、若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足3AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑－AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑－AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑＝0→，则△ABM 与△ABC 的面积之比为（ ） A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．2∶5 答案：B分析：由平面向量的加法结合已知可得M 为AD 的三等分点，然后由等高的三角形面积之比等于底边之比可得.如图，D 为BC 边的中点，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=12(AB⃗⃗⃗⃗⃗⃑+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑) 因为3AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑－AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑－AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑＝0→所以3AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃑， 所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑=23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃑所以S △ABM =23S △ABD =13S △ABC .故选：B6、在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知A =45°，a =6，b =3√2，则B 的大小为（ ） A ．30°B ．60°C ．30°或150°D ．60°或120° 答案：A分析：先由正弦定理求出sin B =12，可得B =30°或B =150°，再由a >b ，得A >B ，从而可求出B =30°.由正弦定理得bsinB=asinA，即3√2sinB=6sin45°，解得sin B =12，又B 为三角形内角，所以B =30°或B =150°， 又因为a >b ，所以A >B ，即B =30°. 故选：A.7、已知向量AB →=(2,2)，AC →=(t,1)，若AB →⋅BC →=2，则t =（ ） A ．5B ．4C ．3D ．2 答案：B分析：先根据已知条件计算BC →，再根据向量数量积的坐标运算求解即可得答案. 解：根据题意得：BC →=AC →−AB →=(t,1)−(2,2)=(t −2,−1)， 所以AB →⋅BC →=2(t −2)+2×(−1)=2t −4−2=2，解得t =4. 故选：B.小提示：本题考查向量的减法坐标运算，数量积的坐标运算，考查运算能力，是基础题. 8、已知向量a ⃑=(√3,1)，向量a ⃑−b ⃗⃑=(√3+1,√3+1)，则a ⃑与b ⃗⃑的夹角大小为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 答案：D分析：计算可得b →=(−1,−√3)，利用数量积公式计算即可得出结果. ∵向量a ⃑=(√3,1)，向量a ⃑−b ⃗⃑=(√3+1,√3+1)， ∴b →=(−1,−√3)，cos <a ,b ⃗ >=−√3−√32×2=−√32，且0≤<a ,b⃗ >≤π， ∴a →,b →的夹角为5π6=150°.故选：D. 多选题9、已知向量a ⃑=(2, −1) ， b ⃗⃑=(−3, 2) ， c ⃑=(1 , 1)，则（ ） A ．a ⃑//b ⃗⃑B ．(a ⃑+b ⃗⃑)⊥c ⃑ C ．a ⃑+b ⃗⃑=c ⃑D ．c ⃑=5a ⃑+3b ⃗⃑ 答案：BD分析：根据向量的平行与垂直坐标公式及加减运算对选项一一判断即可． 因为2×2−(−1)×(−3)=1≠0，所以a ⃑,b⃗⃑不平行，则A 错； 由(a ⃑+b ⃗⃑)⋅c ⃑=(−1,1)⋅(1,1)=−1+1=0，所以(a ⃑+b ⃗⃑)⊥c ⃑，则B 正确； 由a ⃑+b ⃗⃑=(−1,1)，c ⃑=(1 , 1)，故C 错；由5a ⃑+3b ⃗⃑=(10−9,−5+6)=(1,1)=c ⃑，故D 正确.故选：BD10、已知向量m ⃗⃗ =(1,0)，n ⃗ =(12,12)，则（ ）A ．|m ⃗⃗ |=√2|n ⃗ |B ．(m ⃗⃗ −n ⃗ )//n ⃗C ．(m ⃗⃗ −n ⃗ )⊥n ⃗D ．m ⃗⃗ 与n ⃗ 的夹角为π4答案：ACD解析：由m ⃗⃗ ，n ⃗ 的坐标，根据向量模、夹角的坐标表示及向量垂直、平行的判定即可判断各选项的正误. ∵m ⃗⃗ =(1,0)，n ⃗ =(12,12)，∴|m ⃗⃗ |=1，|n ⃗ |=√(12)2+(12)2=√22， ∴|m ⃗⃗ |=√2|n ⃗ |，故A 正确； ∵m →−n →=(12,−12)，∴m ⃗⃗ −n ⃗ 与n ⃗ 不平行，故B 错误； 又(m ⃗⃗ −n ⃗ )⋅n ⃗ =0，C 正确； ∵cos〈m ⃗⃗ ,n ⃗ 〉=m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |m ⃗⃗⃗ ||n ⃗ |=√22，又〈m ⃗⃗ ,n ⃗ 〉∈[0,π]，∴m ⃗⃗ 与n ⃗ 的夹角为π4， D 正确. 故选：ACD11、在△ABC 中，若(a +b ):(a +c ):(b +c )=9:10:11，下列结论中正确的有（ ） A ．sinA:sinB:sinC =4:5:6B ．△ABC 是钝角三角形C ．△ABC 的最大内角是最小内角的2倍D ．若c =6，则△ABC 外接圆的半径为8√77答案：ACD分析：先根据题意求出a ，b ，c ,结合正弦定理可得A ，D 的正误, 结合余弦定理可得B ，C 的正误. 由题意,设a +b =9x,a +c =10x,b +c =11x , 解得a =4x,b =5x,c =6x ; 所以sin A:sin B:sin C =4:5:6, 所以A 正确;由以上可知C最大,cos C=(4x)2+(5x)2−(6x)22×4x×5x=18>0所以C为锐角,所以B错误;由以上可知A最小,cos A=(5x)2+(6x)2−(4x)22×5x×6x =34,cos2A=2cos2A−1=2×916−1=18,即cos C=cos2A,因为C为锐角,2A为锐角,所以C=2A 所以C正确;因为cos C=18，所以sin C=√1−cos2C=3√78,设△ABC外接圆的半径为r,则由正弦定理可得2r=csinC =16√77所以r=8√77所以D正确.故选: ACD.填空题12、已知向量a⃑=(1,3),b⃗⃑=(3,4)，若(a⃑−λb⃗⃑)⊥b⃗⃑，则λ=__________．答案：35分析：根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．因为a⃑−λb⃗⃑=(1,3)−λ(3,4)=(1−3λ,3−4λ)，所以由(a⃑−λb⃗⃑)⊥b⃗⃑可得，3(1−3λ)+4(3−4λ)=0，解得λ=35．所以答案是：35．小提示：本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设a⃑=(x1,y1),b⃗⃑=(x2,y2)，a⃑⊥b⃗⃑⇔a⃑⋅b⃗⃑=0⇔x1x2+y1y2=0，注意与平面向量平行的坐标表示区分．。
人教A版高中数学必修第二册强化练习题-第六章-平面向量及其应用(含答案)
人教A版高中数学必修第二册第六章 平面向量及其应用全卷满分150分 考试用时120分钟一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在△ABC中,AD为BC边上的中线,点E为AD的中点,则EB=( ),6.已知点O是△ABC内一点,满足OA+2OB=m OC,S△AOBS△ABC =47,则实数m=( )A.2B.-2C.4D.-47.某人用下述方法证明了正弦定理:如图1,直线l与锐角△ABC的边AB,AC(不含端点)分别相交于点D,E,设BC=a,CA=b,AB=c,∠ADE=90°,记与DE方向相同的单位向量为i,∵AB+ BC=AC,∴i·(AB+BC)=i·AC,进而得i·AB+i·BC=i·AC,即acos(90°-B)=bcos(90°-A),即asin B=bsin A,钝角三角形及直角三角形也满足.请用上述方法探究:如图2,直线l与锐角△ABC的边AB,AC(不含端点)分别相交于点D,E,设BC=a,CA=b,AB=c,∠ADE=θ,则θ与△ABC 的边和内角之间的等量关系为( )8.9.11.已知△ABC 的外心为O,重心为G,垂心为H,则下列结论正确的是( )A.OA ·OB =OA ·OC =OB ·OCB.AO ·AB =12AB2C.向量AH 与AB|AB |cos B +AC|AC |cos C共线D.过点G 的直线l 分别与AB,AC 交于E,F 两点,若AE =λAB ,AF =μAC (λ,μ≠0),则1λ+1μ=3三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)12.在△ABC中,AB·AC<0,S△ABC=154,|AB|=3,|AC|=5,则∠BAC= .13.在△ABC中,BD=13BC,E是线段AD上的动点(与端点不重合),设CE=x CA+y CB(x,y∈R),则6x+yxy的最小值是 .14.在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足b2-a2=ac,则1tan A -1tan B的取值范围为 .四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(13分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,c=2,cos C=-33.(1)求sin B和a的值;(2)求△ABC的面积.16.(15分)在△ABC中,已知AB=2,AC=6,∠BAC=60°,AC边上的中线为BN,M为BC边上靠近B的四等分点,AM与BN交于点P.(1)用AB与AC表示AM,并计算AM的长;(2)求∠NPM的余弦值.17.(15分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,2cos Acos C=tan Btan A+tan C.(1)求B;(2)若b=2,求a+c的最大值.18.(17分)某商店经营者陈某准备在商店门前“摆地摊”,经营冷饮生意.已知该商店门前是一块角形区域,如图所示,其中∠APB=120°,且在该区域内的点R 处有一个路灯,经测量,点R 到区域边界PA,PB 的距离分别为RS=4,RT=6.陈某准备过点R 修建一条长椅MN(点M,N 分由答案全解全析1.B ∵AD 为BC 边上的中线,∴AD =12(AB +AC ),又∵点E 为AD 的中点,∴EB =ED +DB =12AD +12CB =14(AB +AC )+12(AB -AC )=34AB -14AC .故选B.2.B 因为BD =BC +CD =5a +4b +a +2b =6a +6b ,且A,B,D 三点共线,所以存在实数λ,使得AB =λBD ,即a +m b =λ(6a +6b ),又a ,b 不共线,所以1=6λ,m =6λ,解得m=1.故选B.3.D 因为a=2ccos B,所以a=2c·a 2+c 2-b 22ac ,整理得b=c.因为ccos B+bcos C=2c,所以sin Ccos B+sin Bcos C=2sin C,所以sin(B+C)=2sin C,即sin A=2sin C,所以a=2c,又a=2ccos B,所以2c=2ccos B,所以cos B=22,因为B ∈(0,π),所以B=π4,所以C=π4,A=π2,故△ABC 为等腰直角三角形.故选D.4.D 由题意得a ·b =1×1×cos π3=12,故(a +2b )·(a -b )=a 2+a ·b -2b 2=-12,|a +2b |=(a +2b )2=a 2+4a ·b +4b 2=7,|a -b |=(a -b )2=a 2-2a ·b +b 2=1,所以cos<a +2b ,a -b >=(a +2b )·(a -b )|a +2b ||a -b |=-127×1=-714.故选D.5.D ∵O,G,H 依次位于同一条直线上,且外心到重心的距离是垂心到重心距离的一半,∴OG =12GH ,∴OG =13OH ,OH =32GH ,A 错误,B 错误;AG =AO +OG =AO +13OH =AO +13(AH -AO )=2AO +AH3,C 错误;BG =BO +OG =BO +13OH =BO +13(BH -BO )=2BO +BH3,D 正确.故选D.6.D 由OA +2OB =m OC 得13OA +23OB =m 3OC ,易知m<0,设m 3OC =OD ,则13OA +23OB =OD ,∴A,B,D 三点共线,且OC ,OD 反向共线,如图所示,∵sin B=cos Asin ∠ACB,∴sin(A+∠ACB)=sin ∠ACBcos A,即sin Acos ∠ACB+cos Asin ∠ACB=sin ∠ACBcos A,∴sin Acos ∠ACB=0,∵sin A≠0,∴cos ∠ACB=0,∴∠ACB=90°.∵AB ·AC =9,S △ABC =6,∴bccos A=9,12bcsin A=6,∴tan A=43,根据三角形ABC 是直角三角形可得sin A=45,cos A=35,∴bc=15,∴c=5,b=3,a=4.以C 为原点,AC 所在直线为x 轴,BC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系,如图,则C(0,0),A(3,0),B(0,4),∴CA =(3,0),CB =(0,4).∵P 为线段AB 上一点(不含端点),∴存在实数λ,使得CP =λCA +(1-λ)CB =(3λ,4-4λ)(0<λ<1).易得CA |CA |=(1,0),CB |CB |=(0,1),∴CP =x·CA|CA |+y·CB|CB |=(x,0)+(0,y)=(x,y),∴x=3λ,y=4-4λ,∴4x+3y=12,且x ∈(0,3),y ∈(0,4).则1x +1y =112(4x+3y)++3y x+≥712+112×23y x ·4x y =7+4312,当且仅当3y x =4xy,即x=12-63,y=83-12时,等号成立,故1x +1y 的最小值为7+4312.故选D.9.BD A 选项,2a +b =(2n+1,3+m)=(2,6),则2n +1=2,3+m =6,解得m =3,n =12,则a ,2,b =(1,2),所以不存在实数λ,使b =λa ,即a ,b 不共线,A 错误;B 选项,若a =-2b ,则n =−2,2=−2(m -1),解得m =0,n =−2,所以b =(1,-1),|b |=12+(−1)2=2,所以与b 同向的单位向量为b|b |=正确;C 选项,当n=1时,a =(1,2),因为a 与b 的夹角为锐角,所以a ·b =1×1+2×(m -1)>0,m -1≠2,解得m>12,且m≠3,故m ,3∪(3,+∞),C 错误;D 选项,若a ⊥b ,则a ·b =n+2(m-1)=2m+n-2=0,即2m+n=2,所以z=2n +4m =2n +22m ≥22n ·22m =222m +n =4,当且仅当2n =22m ,即n=2m=1时,等号成立,D 正确.故选BD.10.BD 对于A,CA ·AB =|CA |·|AB |cos(π-A)=-bccos A=-1,A 错误;对于B,|AC -t AB |2=AC 2-2t AC ·AB +t 2AB 2=b 2-2tbccos A+t 2c 2=4-2tc+t 2c 2=3+(1-tc)2≥3,当且仅=|AB ||BC |cos(|AB |cos B +|AC ||BC |cos |AC |cos C=-|BC |+|BC |=0,所以AB|AB |cos B +AC|AC |cos C与BC 垂直,又因为AH⊥BC ,所以AH 与AB|AB |cos B +AC|AC |cos C共线,故C 中结论正确;如图,取BC 的中点D,连接AD,则G 为AD 上靠近D 的三等分点,所以AG =23AD =13(AB +AC )=13λAE +13μAF ,因为E,G,F三点共线,所以13λ+13μ=1,故1λ+1μ=3,故D 中结论正确.故选BCD.12.答案 5π6解析 因为AB ·AC =|AB ||AC |cos ∠BAC<0,所以∠BAC>π2,因为S △ABC =12|AB |·|AC |sin ∠BAC=12×3×5sin ∠BAC=154,所以sin ∠BAC=12,故∠BAC=5π6.13.答案 16解析 因为BD =13BC ,所以CB =32CD ,因为CE =x CA +y CB ,所以CE =x CA +32y CD ,又因为A,D,E 三点共线,所以x+32y=1,x>0,y>0,则6x +y xy =6y +1x =++32y =6x y +3y2x +10≥26x y ·3y2x+10=16,=3y2x,32y =1,即x =14,y =12时,等号成立,所以6x +yxy 的最小值是16.14.答案 1,解析 因为b 2-a 2=ac,b 2=a 2+c 2-2accos B,所以ac=c 2-2accos B,所以a=c-2acos B,由正弦定理得sin A=sin C-2sin Acos B,即sin A=sin(A+B)-2sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B-2sin Acos B=cos Asin B-sin Acos B=sin(B-A),因为△ABC 为锐角三角形,所以A,B ∈0,所以B-A ∈-π2所以A=B-A,所以B=2A,C=π-3A.由A,B,C ∈0,可得A 故B 1tan A -1tan B =cos A sin A -cos B sin B =sin B cos A -cos B sin A sin A sin B =sin(B -A )sin A sin B =sin A sin A sin B =1sin B,∴|BN |2-AB 2=14AC 2+AB 2-AC ·AB =14×62+22-6=7,∴BN=7.(12分)∵AM =14AC +34AB ,BN =12AC -AB ,∴AM ·BN =-AB =18AC 2-34AB 2+18AC ·AB =94,(14分)∴cos ∠NPM=AM ·BN|AM ||BN |=94332×7=2114.(15分)解法二:(1)以点A 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,3),C(6,0),∵AC 边上的中线为BN,∴N(3,0),(3分)∵M 为BC 边上靠近B 的四等分点,∴分)设AM =x AC +y AB (x,y ∈R ),,=x(6,0)+y(1,3),y =94,=334,解得x =14,y =34,所以AM =14AC +34AB ,|AM |==332,即AM 的长为332.(9分)(2)易知∠NPM 为向量AM 与BN 的夹角,∴cos ∠NPM=AM ·BN |AM ||BN |,易知AM =,BN =(2,-3),(12分)则AM ·BN =94×2+334×(-3)=94,|BN |=7,(14分)故cos ∠NPM=AM ·BN|AM ||BN |=94332×7=2114.(15分)17.解析 (1)因为2cos Acos C=tan Btan A +tan C ,所以2cos Acos Csin A cos A +sin Ccos C=sin Bcos B ,即2cos Csin A+2cos Asin C=sin Bcos B ,所以2sin(A+C)=sin Bcos B ,(4分)又sin(A+C)=sin B,且sin B≠0,所以cos B=12,(7分)因为B ∈(0,π),所以B=π3.(9分)(2)由余弦定理的推论得cos B=a 2+c 2-b 22ac =(a +c )2-2ac-b 22ac ,即(a +c )2-2ac-42ac=12,故(a+c)2-4=3ac,(12分)因为ac≤14(a+c)2,所以(a+c)2-4≤34(a+c)2,解得0<a+c≤4,当且仅当a=c=2时,等号成立,故a+c 的最大值为4.(15分)18.解析 (1)连接ST,RP,如图,在四边形RSPT 中,∠PSR=90°,∠PTR=90°,∠SPT=120°,则∠SRT=60°,∴S △PMN =34PM·PN≥34×128=323,故当PM 为83时,三角形PMN 的面积最小,最小面积为323.(17分)19.解析 (1)g(x)=sin x x =sin xcos 5π6+cos xsin 5π6+cos x=-32sin x+32cos x,∴g(x)的相伴特征向量OM =-32,分)(2)向量ON =(1,3)的相伴函数为f(x)=sin x+3cos x,令f(x)=sin x+3cos x=85,即2sin x =85,∴sin x +=45.∵x ∈-π3,∴x+π3∈0,∴cos x +=35,∴sin x=sin x +=12sin x -32cos x +=4−3310.(5分)(3)假设存在满足条件的点P.∵h(x)=msin x =32msin x-12mcos x,OT =(-3,1)为h(x)的相伴特征向量,∴m=-2,∴=2cos x2.(7分)设P x ,2cos∵A(-2,3),B(2,6),∴AP =x +2,2cos x 2-3,BP =x -2,2cos x 2-6,∵AP⊥BP ,∴AP ·BP =0,∴(x+2)(x-2)+2cos x 2-32cos x 2-6=0,即x 2-4+4cos 2x2-18cos x 2+18=0,(9分)∴2cos x 2=254-x 2,∵-2≤2cos x 2≤2,∴-132≤2cos x 2-92≤-52,∴254≤2cos x 2≤1694.又∵254-x 2≤254,当且仅当x=0时,等号成立,∴x=0.∴在y=φ(x)的图象上存在点P(0,2),使得AP⊥BP .(17分)。
备考2025届高考数学一轮复习强化训练第六章平面向量复数第3讲平面向量的数量积及应用极化恒等式
极化恒等式例6 （1）[2024北京高考]在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，∠C ＝90°.P 为△ABC 所在平面内的动点，且PC ＝1，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是（ D ） A.[－5， 3]B.[－3，5]C.[－6，4]D.[－4，6]解析 解法一（极化恒等式） 设AB 的中点为M ，CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与CP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ，由极化恒等式得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2－14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2＝（CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ －CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ）2－254＝CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2＋CP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2－2CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CP ⃗⃗⃗⃗⃗ cos θ－254＝254＋1－5cos θ－254＝1－5cos θ，因为cos θ∈[－1，1]，所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[－4，6]. 解法二 以C 为坐标原点，CA ，CB 所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则 A （3，0），B （0，4），设P （x ，y ），则x 2＋y 2＝1，PA⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（3－x ，－y ），PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝ （－x ，4－y ），所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝x 2－3x ＋y 2－4y ＝（x －32）2＋（y －2）2－254，又（x －32）2＋（y －2）2表示圆x 2＋y 2＝1上一点到点（32，2）距离的平方，圆心（0，0）到点（32，2）的距离为52，所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[（52－1）2－254，（52＋1）2－254]，即PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[－4，6]，故选D. 解法三 以C 为坐标原点，CA ，CB 所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则 A （3，0），B （0，4），因为PC ＝1，所以P 在以（0，0）为圆心，1为半径的圆上，所以设点P 坐标为（cos α，sin α），则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（3－cos α，－sin α）·（－cos α，4－sin α）＝1－3cos α－4sin α＝1－5sin （α＋φ）（其中tan φ＝34）.因为sin （α＋φ）∈[－1，1]，所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[－4，6]. （2）[全国卷Ⅱ]已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·（PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）的最小值是（ B ） A.－2B.－32C.－43D.－1解析 解法一 如图，取BC 的中点D ，则PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝2PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·（PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）＝2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ .在△PAD 中，取AD 的中点O ，则2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PD⃗⃗⃗⃗⃗ ＝2｜PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2－12｜AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2＝2｜PO⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2－32. 由于点P 在平面内是随意的，因此当且仅当点P ，O 重合时，｜PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜取得最小值，即2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值－32.故选B. 解法二 如图，以等边三角形ABC 的底边BC 的中点O 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则A （0，√3），B （－1，0），C （1，0）.设P （x ，y ），则PA⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（－x ，√3－y ），PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（－1－x ，－y ），PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（1－x ，－y ），所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·（PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）＝（－x ，√3－y ）·（－2x ，－2y ）＝2x 2＋2（y －√32）2－32，易知当x ＝0，y ＝√32时，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·（PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）取得最小值，最小值为－32.故选B.方法技巧极化恒等式：a ·b ＝14[（a ＋b ）2－（a －b ）2].几何意义：向量a ，b 的数量积等于以这组向量所对应的线段为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”的平方差的14.应用：（1）在▱ABCD 中，O 为AC ，BD 的交点，则有AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝14（4｜AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2－4｜OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2）＝｜AO⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2－｜OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2. （2）如图，在△ABC 中，若M 是BC 的中点，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2－14BC⃗⃗⃗⃗⃗ 2. 训练4 [2024山东青岛二中5月模拟]如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝3，BC ＝6，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－32，则实数λ的值为 16，若M ，N 是线段BC 上的动点，且 ｜MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＝1，则DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 132.解析 依题意得AD ∥BC ，∠BAD ＝120°，由AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝｜AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜·｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜·cos ∠BAD ＝ －32｜AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＝－32，得｜AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＝1，因此λ＝｜AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ｜｜BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＝16.取MN 的中点E ，连接DE ，则DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＋DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝2DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝14[（DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＋DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）2－（DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ －DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）2]＝DE ⃗⃗⃗⃗⃗ 2－14NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2＝DE ⃗⃗⃗⃗⃗ 2－14.留意到线段MN 在线段BC 上运动时，DE 的最小值等于点D 到直线BC 的距离，即AB ·sin B ＝3√32，因此DE ⃗⃗⃗⃗⃗ 2－14的最小值为（3√32）2－14＝132，即DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为132.思维帮·提升思维 快速解题三角形“四心”的向量表示与运用角度1 垂心的向量表示与运用例7 [2024山西朔州模拟]已知H 为△ABC 的垂心，若AH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋25AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则sin ∠BAC ＝ √63.解析 如图，连接BH ，CH ，因为AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋25AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝BA⃗⃗⃗⃗⃗ ＋AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝ －23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋25AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CH ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ －35AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .由H 为△ABC 的垂心，得BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，即（－23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋25AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）·AC⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，可知25｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2＝23｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜·｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cos ∠BAC ，即cos ∠BAC ＝3｜AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜5｜AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜ ①，同理有CH ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，即（13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ －35AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，可知13｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2＝35｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cos ∠BAC ，即cos ∠BAC ＝5｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜9｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜②，①×②得cos 2∠BAC ＝13，得sin 2∠BAC ＝1－cos 2∠BAC ＝1－13＝23，又sin ∠BAC ＞0，所以sin ∠BAC ＝√63. 方法技巧1.垂心的定义：三角形三条高的交点称为该三角形的垂心.2.垂心的性质：设O 是△ABC 的垂心，P 为△ABC 所在平面内随意一点，则有（1）OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ；（2）｜OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2＋｜BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2＝｜OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2＋｜CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2＝｜OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2＋｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2； （3）动点P 满意AP⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λ（AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cos∠ABC ＋AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cos∠ACB ）或OP⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋λ（AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cos∠ABC ＋AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cos∠ACB ），λ∈R 时，动点P 的轨迹经过△ABC 的垂心.角度2 重心的向量表示与运用例8 [2024广州一中诊断]如图，已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直线与AB ，AC 分别交于M ，N 两点，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝x AB⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则xy x ＋y＝ 13 .解析 由M ，G ，N 三点共线得，存在实数λ使得AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＋（1－λ）AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝x λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋y （1－λ）AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，且0＜λ＜1. 因为G 是△ABC 的重心，所以AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝13（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ），所以{xλ＝13，y （1－λ）＝13，则{x ＝13λ，y ＝13（1－λ），故xy ＝19λ（1－λ），x ＋y ＝13λ（1－λ），则xy x ＋y ＝19λ（1－λ）×3λ（1－λ）＝13.方法技巧1.重心的定义：三角形三条中线的交点称为该三角形的重心.2.重心的性质：设O 是△ABC 的重心，P 为平面内随意一点，则有（1）OA⃗⃗⃗⃗⃗ ＋OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0；（2）PO⃗⃗⃗⃗⃗ ＝13（PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）；（3）动点P 满意AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λ（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）或OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋ λ（AB⃗⃗⃗⃗⃗ ＋AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ），λ∈[0，＋∞）时，动点P 的轨迹经过△ABC 的重心. 角度3 外心的向量表示与运用例9 [2024湖北荆门模拟]已知点O 为△ABC 所在平面内一点，在△ABC 中，满意2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2，2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2，则点O 为该三角形的（ B ） A.内心B.外心C.垂心D.重心解析 因为2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AO⃗⃗⃗⃗⃗ ＝2｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜｜AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cos ∠OAB ＝｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2，所以｜AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cos ∠OAB ＝ 12｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜，则向量AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 在向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影向量的长度为｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜的一半，所以点O 在边AB 的中垂线上，同理，点O 在边AC 的中垂线上，所以点O 为该三角形的外心，故选B. 方法技巧1.外心的定义：三角形三边垂直平分线的交点称为该三角形的外心.2.外心的性质：若O 是△ABC 的外心，则有（1）｜OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＝｜OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＝｜OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜； （2）（OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ）·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0. 角度4 内心的向量表示与运用例10 [2024四川南充阶段测试]已知O 是△ABC 所在平面内一点，且点O 满意OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·（AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜－AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜）＝OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·（BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜－BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜）＝OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·（CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜－CB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜）＝0，则点O 为△ABC 的（ C ） A.外心 B.重心C.内心D.垂心解析 解法一AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜，AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜分别是与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同的单位向量，可令AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＝AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＝AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，连接ED ，则△ADE 为腰长是1的等腰三角形，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜－AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＝ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，所以AO 为∠CAB 的平分线，同理BO 为∠ABC 的平分线，CO 为∠ACB 的平分线，所以O 为△ABC 的内心.故选C. 解法二 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜－AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜）＝0，即OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＝OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜，即｜OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜·｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜｜AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cos （π－∠OAB ）＝｜OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜·｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗｜｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗｜·cos （π－∠OAC ），所以∠OAB ＝∠OAC ，即AO 是∠BAC 的平分线，同理可得BO 为∠ABC 的平分线，CO 为∠ACB 的平分线，所以O 为△ABC 的内心. 方法技巧1.内心的定义：三角形三条内角平分线的交点称为该三角形的内心.2.内心的性质：若O 是△ABC 的内心，P 为平面内随意一点，则有（1）a OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋b OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋c OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0（a ，b ，c 分别是△ABC 的三边BC ，AC ，AB 的长）；（2）动点P 满意AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λ（AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＋AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜）或OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋λ（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＋AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜），λ∈[0，＋∞）时，动点P 的轨迹经过△ABC 的内心.训练5 （1）[2024长春模拟]点O 是平面α上确定点，点P 是平面α上一动点，A ，B ，C 是平面α上△ABC 的三个顶点（点O ，P ，A ，B ，C 均不重合），以下命题正确的是 ①②③④ .①动点P 满意OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则△ABC 的重心确定在满意条件的P 点的集合中； ②动点P 满意OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋λ（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＋AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜）（λ＞0），则△ABC 的内心确定在满意条件的P 点的集合中；③动点P 满意OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋λ（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜sinB ＋AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜sinC ）（λ＞0），则△ABC 的重心确定在满意条件的P 点的集合中；④动点P 满意OP⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋λ（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cosB ＋AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cosC ） （λ∈R ），则△ABC 的垂心确定在满意条件的P 点的集合中.解析 对于①，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，移项得－OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，则点P 是△ABC 的重心，故①正确. 对于②，因为动点P 满意OP⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋λ（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＋AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜）（λ＞0），移项得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λ（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＋AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜）（λ＞0），所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 与∠BAC 的平分线对应的向量共线，所以P 在∠BAC 的平分线上，所以△ABC 的内心在满意条件的P 点的集合中，②正确. 对于③，OP⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋λ（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜sinB ＋AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜sinC ）（λ＞0），即AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λ（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜sinB ＋AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜sinC ），过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，则｜AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜sin B ＝｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜sin C ＝AD ，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λAD（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ），设M 为BC 的中点，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝2λAD AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以P 在BC 的中线上，所以△ABC 的重心确定在满意条件的P 点的集合中，③正确. 对于④，OP⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋λ（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cosB ＋AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cosC ）（λ∈R ），即AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λ（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cosB＋AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cosC ），所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λ（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cosB ＋AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cosC）＝λ（－｜BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＋｜BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜）＝0，所以AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以P 在边BC 上的高所在的直线上，所以△ABC 的垂心确定在满意条件的P 点的集合中，④正确.故正确的命题是①②③④.（2）[多选/2024安徽淮北师大附中模拟]数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的重心、垂心和外心共线.这条线就是三角形的欧拉线.在△ABC 中，O ，H ，G 分别是外心、垂心和重心，D 为BC 边的中点，则下列四个选项中正确的是（ ABD ） A.GH ＝2OG B.GA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋GB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋GC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0 C.AH ＝ODD.S △ABG ＝S △BCG ＝S △ACG解析 依据题意画出图形，如图所示.对于B ，连接GD ，由重心的性质可得G 为AD 的三等分点，且GA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－2GD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又D 为BC 的中点，所以GB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋GC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝2GD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以GA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋GB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋GC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－2GD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋2GD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，故B 正确.对于A ，C ，因为O 为△ABC 的外心，D 为BC 的中点，所以OD ⊥BC ，所以AH ∥OD ，所以△AHG ∽△DOG ，所以GHOG ＝AHOD ＝AGDG ＝2，即GH ＝2OG ，AH ＝2OD ，故A 正确，C 不正确.对于D，延长AH交BC于N，过点G作GE⊥BC，垂足为E，则△DEG∽△DNA，所以GEAN＝DGDA ＝13，所以S△BGC＝12×BC×GE＝12×BC×13×AN＝13S△ABC，同理，S△AGC＝S△AGB＝13S△ABC，所以S△ABG＝S△BCG＝S△ACG，故D正确.故选ABD.。
高一数学必修4(新人教)平面向量课后强化训练(含详解)：2.5
△ABC 的面积之比是 ( )
1
1
A. 3
B.2
2
3
C.3
D.4
第 2页
[答案 ] C [解析 ] 由P→A＋P→B＋P→C＝A→B，得P→A＋P→B＋B→A＋ P→C＝0，即P→C＝2A→P，所以
点 P 是 CA 边上的三等分点，如图所示．故
△ S PBC PC 2
＝ AC＝3.
△ S ABC
6．点 P 在平面上作匀速直线运动，速度 v＝(4，－ 3)，设开始时点 P 的坐
第 7页
[证明 ] M→N ＝B→N－B→M. 因为 B→M＝12B→A，B→N＝13B→D＝13(B→A＋B→C)， 所以 M→N＝13B→A＋13B→C－12B→A， ＝13B→C－16B→A. 由于 M→C＝B→C－B→M＝B→C－12B→A， 可知 M→C＝3M→N ，即 M→C∥M→N . 又因为 MC、MN 有公共点 M，所以 M、N、C 三点共线． 16．如图所示， 正方形 ABCD 中，P 为对角线 BD 上的一点， PECF 是矩形， 用向量方法证明 PA＝EF.
标为 (－10,10)，则 5 秒后点 P 的坐标为 (速度单位： m/s，长度单位： m)( )
A ．(－2,4)
B．(－30,25)
C．(10，－ 5) D．(5，－ 10)
[答案 ] C
[解析 ] 5 秒后点 P 的坐标为：
(－ 10,10)＋5(4，－ 3)＝(10，－ 5)．
7．已知向量 a，e 满足： a≠e，|e|＝1，对任意 t∈R，恒有 |a－te|≥|a－e|，
则( )
A ．a⊥e
B ． a⊥( a－e)
C．e⊥(a－e) D．(a＋e)⊥(a－e)
人教版高三数学第二学期平面向量多选题单元达标专题强化试卷学能测试
人教版高三数学第二学期平面向量多选题单元达标专题强化试卷学能测试一、平面向量多选题1．已知集合()(){}=,M x y y f x =,若对于()11,x y M ∀∈,()22,x y M ∃∈,使得12120x x y y +=成立,则称集合M 是“互垂点集”.给出下列四个集合:(){}21,1M x y y x ==+;(){2,M x y y ==;(){}3,xM x y y e ==;(){}4,sin 1M x y y x ==+.其中是“互垂点集”集合的为( )A ．1MB ．2MC ．3MD ．4M 【答案】BD【分析】根据题意知，对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ，在图象上存在另一个点P '，使得OP OP '⊥，结合函数图象即可判断．【详解】由题意知，对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ，在图象上存在另一个点P '，使得OP OP '⊥．在21y x =+的图象上，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '，所以1M 不是“互垂点集”集合；对y = 所以在2M 中的任意点()11,P x y ，在2M 中存在另一个P '，使得OP OP '⊥， 所以2M 是“互垂点集”集合；在xy e =的图象上，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '， 所以3M 不是“互垂点集”集合；对sin 1y x =+的图象，将两坐标轴绕原点进行任意旋转，均与函数图象有交点， 所以所以4M 是“互垂点集”集合，故选：BD ．【点睛】本题主要考查命题的真假的判断，以及对新定义的理解与应用，意在考查学生的数学建模能力和数学抽象能力，属于较难题．2．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点O ､G ､H 分别是ABC 的外心､重心､垂心，且M 为BC 的中点，则（ ）A ．0GA GB GC ++= B ．24AB AC HM MO +=-C ．3AH OM =D ．OA OB OC ==【答案】ABD【分析】 向量的线性运算结果仍为向量可判断选项A ；由12GO HG =可得23HG HO =，利用向量的线性运算()266AB AC AM GM HM HG +===-，再结合HO HM MO =+集合判断选项B ；利用222AH AG HG GM GO OM =-=-=故选项C 不正确，利用外心的性质可判断选项D ，即可得正确选项. 【详解】因为G 是ABC 的重心，O 是ABC 的外心，H 是ABC 的垂心，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，所以12GO HG =， 对于选项A ：因为G 是ABC 的重心，M 为BC 的中点，所以2AG GM =， 又因为2GB GC GM +=，所以GB GC AG +=，即0GA GB GC ++=，故选项A 正确；对于选项B ：因为G 是ABC 的重心，M 为BC 的中点，所以2AG GM =， 3AM GM =，因为12GO HG =，所以23HG HO =， ()226663AB AC AM GM HM HG HM HO ⎛⎫+===-=- ⎪⎝⎭ ()646424HM HO HM HM MO HM MO =-=-+=-，即24AB AC HM MO +=-，故选项B 正确；对于选项C ：222AH AG HG GM GO OM =-=-=，故选项C 不正确；对于选项D ：设点O 是ABC 的外心，所以点O 到三个顶点距离相等，即OA OB OC ==，故选项D 正确；故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用已知条件12GO HG =得23HG HO =，利用向量的线性运算结合2AG GM =可得出向量间的关系.3．如图，B 是AC 的中点，2BE OB =，P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，且(),OP xOA yOB x y R =+∈，则下列结论正确的为（ ）A ．当0x =时，[]2,3y ∈B ．当P 是线段CE 的中点时，12x =-，52y = C ．若x y +为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段D ．x y -的最大值为1-【答案】BCD【分析】利用向量共线的充要条件判断出A 错，C 对；利用向量的运算法则求出OP ，求出x ，y 判断出B 对，过P 作//PM AO ，交OE 于M ，作//PN OE ，交AO 的延长线于N ，则OP ON OM =+，然后可判断出D 正确.【详解】当0x =时，OP yOB =，则P 在线段BE 上，故13y ≤≤，故A 错当P 是线段CE 的中点时，13()2OP OE EP OB EB BC =+=++ 1153(2)222OB OB AB OA OB =+-+=-+，故B 对 x y +为定值1时，A ，B ，P 三点共线，又P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，故P 的轨迹是线段，故C 对如图，过P 作//PM AO ，交OE 于M ，作//PN OE ，交AO 的延长线于N ，则：OP ON OM =+；又OP xOA yOB =+；0x ∴，1y ；由图形看出，当P 与B 重合时：01OP OA OB =⋅+⋅；此时x 取最大值0，y 取最小值1；所以x y -取最大值1-，故D 正确故选：BCD【点睛】结论点睛：若OC xOA yOB =+，则,,A B C 三点共线1x y ⇔+=.4．下列条件中，使点P 与A ，B ，C 三点一定共面的是（ ）A ．1233PC PA PB =+ B ．111333OP OA OB OC =++ C ．QP QA QB OC =++D ．0OP OA OB OC +++=【答案】AB【分析】 根据四点共面的充要条件，若A ，B ，C ，P 四点共面(1)PC xPA yPB x y ⇔=++=()1OP xOA yOB zOC x y z ⇔=++++=，对选项逐一分析，即可得到答案.【详解】对于A ，由1233PC PA PB =+，12133+=，所以点P 与A ，B ，C 三点共面. 对于B ，由111333OP OA OB OC =++，1111333++=，所以点P 与A ，B ，C 三点共面. 对于C ，由OP OA OB OC =++，11131++=≠，所以点P 与A ，B ，C 三点不共面. 对于D ，由0OP OA OB OC +++=，得OP OA OB OC =---，而11131---=-≠，所以点P 与A ，B ，C 三点不共面.故选：AB【点睛】关键点睛：本题主要考查四点共面的条件，解题的关键是熟悉四点A ，B ，C ，P 共面的充要条件(1)PC xPA yPB x y ⇔=++=()1OP xOA yOB zOC x y z ⇔=++++=，考查学生的推理能力与转化思想，属于基础题.5．在ABC 中，D 、E 分别是AC 、BC 上的点，AE 与BD 交于O ，且AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅，2AB AC AE +=，2CD DA =，1AB =，则（ ） A ．0AC BD ⋅=B ．0OA OE ⋅=C ．3OA OB OC ++=D ．ED 在BA 方向上的正射影的数量为712【答案】BCD【分析】根据AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅以及正弦定理得到sin cos sin cos C B B C ⋅=⋅，从而求出B C =，进一步得到B C A ==，ABC 等边三角形，根据题目条件可以得到E 为BC 的中点和D 为AC 的三等分点，建立坐标系，进一步求出各选项.【详解】由AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅得cos cos AB BC B CA BC C ⋅=⋅， ||cos ||cos AB B CA C ⋅=⋅，正弦定理，sin cos sin cos C B B C ⋅=⋅，()0sin B C =-，B C =，同理：A C =，所以B C A ==，ABC 等边三角形.2AB AC AE +=，E 为BC 的中点，2CD DA =，D 为AC 的三等分点.如图建立坐标系，3A ⎛⎝⎭，1,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，136D ⎛ ⎝⎭，解得3O ⎛ ⎝⎭， O 为AE 的中点，所以，0OA OE +=正确，故B 正确；1323,,,23AC BD ⎛⎫⎛=-= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，AC BD ⋅=123310236⨯--≠，故A 错误；32OA OB OC OA OE OE ++=+==，故C 正确； 13,6ED ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，13,22BA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，投影712||ED BA BA ⋅=，故D 正确. 故选：BCD. 【点睛】如何求向量a 在向量b 上的投影，用向量a 的模乘以两个向量所成的角的余弦值就可以了，当然还可以利用公式a b b ⋅进行求解.6．在平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，2DE EC =，AE 交BD 于F 且2AE BD ⋅=-，则下列说法正确的有（ ）A ．1233AE AC AD =+B ．25DF DB = C ．,3AB AD π=D ．2725FB FC ⋅= 【答案】BCD【分析】根据向量的线性运算，以及向量的夹角公式，逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.【详解】对于选项A ：()22233133AE AD DE AD DC AD AD D C A A A C =+=+=+-=+，故选项A 不正确；对于选项B ：易证DEFBFA ，所以23DF DE BF AB ==，所以2235DF FB DB ==，故选项B 正确； 对于选项C ：2AE BD ⋅=-，即()223AD A B D AB A ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，所以 2221233AD AD AB AB -⋅-=-，所以1142332AD AB -⋅-⨯=-，解得：1AB AD ⋅=，11cos ,212AB ADAB AD AB AD ⋅===⨯⨯，因为[],0,AB AD π∈，所以,3AB AD π=，故选项C 正确；对于选项D ：()()332555AB FB FC DB FD DC AD BD AB ⎛⎫⋅=⋅+=-⋅+ ⎪⎝⎭()()()3233255555AD AD AB AB AD A AB AB B AD ⎡⎤⎛⎫=-⋅-+=-⋅+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭22969362734252525252525AB AB AD AD =⨯-⋅-⨯=⨯--=，故选项D 正确. 故选：BCD【点睛】 关键点点睛：选项B 的关键点是能得出DEF BFA ，即可得23DF DE BF AB ==，选项D 的关键点是由于AB 和AD 的模长和夹角已知，故将FB 和FC 用AB 和AD 表示，即可求出数量积.7．已知M 为ABC 的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是（ ） A ．1122AD AB AC =+ B ．0MA MB MC ++= C ．2133BM BA BD =+ D ．1233CM CA CD =+【答案】ABD【分析】根据向量的加减法运算法则依次讨论即可的答案.【详解】 解：如图，根据题意得M 为AD 三等分点靠近D 点的点.对于A 选项，根据向量加法的平行四边形法则易得1122AD AB AC =+，故A 正确； 对于B 选项，2MB MC MD +=，由于M 为AD 三等分点靠近D 点的点，2MA MD =-，所以0MA MB MC ++=，故正确；对于C 选项，()2212=3333BM BA AD BA BD BA BA BD =+=+-+，故C 错误； 对于D 选项，()22123333CM CA AD CA CD CA CA CD =+=+-=+，故D 正确. 故选：ABD【点睛】本题考查向量加法与减法的运算法则，是基础题.8．下列说法中错误的为 （）A ．已知()1,2a =，()1,1b =，且a 与a λb +的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．向量()12,3e =-，213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭不能作为平面内所有向量的一组基底 C ．若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为aD ．三个不共线的向量OA ，OB ，OC ，满足AB CA BA CB OA OB AB CA BA CB ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⋅+=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0CA BC OC CA BC ⎛⎫ ⎪=⋅+= ⎪⎝⎭，则O 是ABC 的内心【答案】AC【分析】对于A ，由向量的交角为锐角的等价条件为数量积大于0，且两向量不共线，计算即可； 对于B ，由124e e =，可知1e ，2e 不能作为平面内所有向量的一组基底； 对于C ，利用向量投影的定义即可判断；对于D ，由0AB CA OA AB CA ⎛⎫ ⎪⋅+= ⎪⎝⎭，点O 在角A 的平分线上，同理，点O 在角B 的平分线上，点O 在角C 的平分线上，进而得出点O 是ABC 的内心.【详解】对于A ，已知()1,2a =，()1,1b =，且a 与a λb +的夹角为锐角，可得()0a a b λ+>⋅，且a 与a λb +不共线，()1,2a λb λλ+=++，即有()1220λλ++⨯+>，且()212λλ⨯+≠+， 解得53λ>-且0λ≠，则实数λ的取值范围是53λ>-且0λ≠， 故A 不正确； 对于B ，向量，，213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，124e e =，∴向量1e ，2e 不能作为平面内所有向量的一组基底，故B 正确；对于C ，若a b ，则a 在b 上的投影为a ±，故C 错误；对于D ，AB CAAB CA +表示与ABC 中角A 的外角平分线共线的向量，由0AB CA OA AB CA ⎛⎫ ⎪⋅+= ⎪⎝⎭，可知OA 垂直于角A 的外角平分线， 所以，点O 在角A 的平分线上，同理，点O 在角B 的平分线上，点O 在角C 的平分线上，故点O 是ABC 的内心，D 正确. 故选：AC. 【点睛】本题考查了平面向量的运算和有关概念，具体包括向量数量积的夹角公式、向量共线的坐标表示和向量投影的定义等知识，属于中档题.9．ABC ∆是边长为3的等边三角形，已知向量a 、b 满足3AB a =，3AC a b =+，则下列结论中正确的有（ ） A ．a 为单位向量B ．//b BC C ．a b ⊥D ．()6a b BC +⊥ 【答案】ABD【分析】 求出a 可判断A 选项的正误；利用向量的减法法则求出b ，利用共线向量的基本定理可判断B 选项的正误；计算出a b ⋅，可判断C 选项的正误；计算出()6a b BC +⋅，可判断D 选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A 选项，3AB a =，13a AB ∴=，则113a AB ==，A 选项正确； 对于B 选项，3AC a b AB b =+=+，b AC AB BC ∴=-=，//b BC ∴，B 选项正确；对于C 选项，21123cos 0333a b AB BC π⋅=⋅=⨯⨯≠，所以a 与b 不垂直，C 选项错误； 对于D 选项，()()()2260a b BC AB AC AC AB AC AB +⋅=+⋅-=-=，所以，()6a b BC +⊥，D 选项正确.故选：ABD.【点睛】本题考查向量有关命题真假的判断，涉及单位向量、共线向量的概念的理解以及垂直向量的判断，考查推理能力，属于中等题.10．如图，已知点O 为正六边形ABCDEF 中心，下列结论中正确的是( )A ．0OA OC OB ++=B ．()()0OA AF EF DC -⋅-= C ．()()OA AF BC OA AF BC ⋅=⋅D ．OF OD FA OD CB +=+-【答案】BC【分析】 利用向量的加法法则、减法法则的几何意义，对选项进行一一验证，即可得答案.【详解】对A ，2OA OC OB OB ++=，故A 错误；对B ，∵OA AF OA OE EA -=-=，EF DC EF EO OF -=-=，由正六边形的性质知OF AE ⊥，∴()()0OA AF EF DC -⋅-=，故B 正确；对C ，设正六边形的边长为1，则111cos1202OA AF ⋅=⋅⋅=-，111cos602AF BC ⋅=⋅⋅=， ∴()()OA AF BC OA AF BC ⋅=⋅1122BC OA ⇔-=，式子显然成立，故C 正确； 对D ，设正六边形的边长为1，||||1OF OD OE +==，||||||||3FA OD CB OD DC CB OC OA AC +-=+-=-==，故D 错误；故选：BC.【点睛】本题考查向量的加法法则、减法法则的几何意义，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意向量的起点和终点.。
高中数学必修二第六章平面向量及其应用专项训练题(带答案)
高中数学必修二第六章平面向量及其应用专项训练题单选题1、定义空间两个向量的一种运算a⃑⊗b⃑⃑=|a⃑|⋅|b⃑⃑|sin⟨a⃑,b⃑⃑⟩，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（）A．λ(a⃑⊗b⃑⃑)=(λa⃑)⊗b⃑⃑B．(a⃑⊗b⃑⃑)⊗c⃑=a⃑⊗(b⃑⃑⊗c⃑)C．(a⃑+b⃑⃑)⊗c⃑=(a⃑⊗c⃑)+(b⃑⃑⊗c⃑)D．若a⃑=(x1,y1)，b⃑⃑=(x2,y2)，则a⃑⊗b⃑⃑=|x1y2−x2y1|答案：D分析：A．按λ的正负分类讨论可得，B．由新定义的意义判断，C．可举反例说明进行判断，D．与平面向量的数量积进行联系，用数量积求出两向量夹角的余弦值，转化为正弦值，代入计算可判断．A．(λa⃑)⊗b⃑⃑=|λa⃑||b⃑⃑|sin<λa⃑,b⃑⃑>，λ>0时，<λa⃑,b⃑⃑>=<a⃑,b⃑⃑>，(λa⃑)⊗b⃑⃑=λ|a⃑||b⃑⃑|sin<a⃑,b⃑⃑>=λ(a⃑⊗b⃑⃑)，λ=0时，λ(a⃑⊗b⃑⃑)=0,(λa⃑)⊗b⃑⃑=0，成立，λ<0时，<λa⃑,b⃑⃑>=π−<a⃑,b⃑⃑>，sin<λa⃑,b⃑⃑>=sin(π−<a⃑,b⃑⃑>)=sin<a⃑,b⃑⃑>(λa⃑)⊗b⃑⃑=−λ|a⃑||b⃑⃑|sin< a⃑,b⃑⃑>=−λ(a⃑⊗b⃑⃑)，综上，A不恒成立；B．a⃑⊗b⃑⃑是一个实数，(a⃑⊗b⃑⃑)⊗c⃑无意义，B不成立；C．若a⃑=(0,1),b⃑⃑=(1,0)，c⃑=(1,1)，则a⃑+b⃑⃑=(1,1)，<a⃑+b⃑⃑,c⃑>=0，(a⃑+b⃑⃑)⊗c⃑=|a⃑+b⃑⃑||c⃑|sin0=√2×√2×0=0，<a⃑,c⃑>=π4,<b⃑⃑,c⃑>=π4，(a⃑⊗c⃑)+(b⃑⃑⊗c⃑)=1×√2×sinπ4+1×√2×sinπ4=2，(a⃑+b⃑⃑)⊗c⃑≠(a⃑⊗c⃑)+(b⃑⃑⊗c⃑)，C错误；D．若a⃑=(x1,y1)，b⃑⃑=(x2,y2)，则|a⃑|=√x12+y12，|b⃑⃑|=√x22+y22，cos <a ⃑,b ⃑⃑>=1212√x 12+y 12×√x 22+y 22，sin <a ⃑,b ⃑⃑>=√1−cos 2<a ⃑,b ⃑⃑>=√1−(x 1x 2+y 1y 2)2(x 12+y 12)(x 22+y 22)=1221√(x 1+y 1)(x 2+y 2)， 所以a ⃑⊗b ⃑⃑=|a ⃑||b ⃑⃑|sin <a ⃑,b⃑⃑>=|x 1y 2−x 2y 1|，成立． 故选：D ．小提示：本题考查向量的新定义运算，解题关键是理解新定义，并能运用新定义求解．解题方法一种方法是直接利用新定义的意义判断求解，另一种方法是把新定义与向量的数量积进行联系，把新定义中的sin <a ⃑,b ⃑⃑>用cos <a ⃑,b⃑⃑>，而余弦可由数量积进行计算． 2、若|AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=5，|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=8，则|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|的取值范围是（ ） A ．[3,8]B ．(3,8)C ．[3,13]D ．(3,13)答案：C分析：利用向量模的三角不等式可求得|BC⃑⃑⃑⃑⃑⃑|的取值范围. 因为|BC⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|，所以，||AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|−|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑||≤|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|≤|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|+|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|，即3≤|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|≤13. 故选：C.3、已知非零平面向量a ⃗，b ⃑⃗，c ⃗，下列结论中正确的是（ ）（1）若a ⃗⋅c ⃗=b ⃑⃗⋅c ⃗，则a ⃗=b ⃑⃗；（2）若|a ⃗+b ⃑⃗|=|a ⃗|+|b ⃑⃗|，则a ⃗//b⃑⃗ （3）若|a ⃗+b ⃑⃗|=|a ⃗−b ⃑⃗|，则a ⃗⊥b ⃑⃗（4）若(a ⃗+b ⃑⃗)⋅(a ⃗−b ⃑⃗)=0，则a ⃗=b ⃑⃗或a ⃗=−b⃑⃗ A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（3）（4）D ．（2）（3）（4）答案：B解析：根据向量的数量积运算，以及向量模的计算公式，逐项判断，即可得出结果.已知非零平面向量a ⃗，b ⃑⃗，c ⃗，（1）若a ⃗⋅c ⃗=b ⃑⃗⋅c ⃗，则(a ⃗−b ⃑⃗)⋅c ⃗=0，所以a ⃗=b ⃑⃗或(a ⃗−b ⃑⃗)⊥c ⃗，即（1）错；（2）若|a ⃗+b ⃑⃗|=|a ⃗|+|b ⃑⃗|，则a ⃗与b ⃑⃗同向，所以a ⃗//b⃑⃗，即（2）正确；（3）若|a ⃗+b ⃑⃗|=|a ⃗−b ⃑⃗|，则|a ⃗|2+|b ⃑⃗|2+2a ⃗⋅b ⃑⃗=|a ⃗|2+|b ⃑⃗|2−2a ⃗⋅b ⃑⃗，所以2a ⃗⋅b ⃑⃗=0，则a ⃗⊥b⃑⃗；即（3）正确；（4）若(a ⃗+b ⃑⃗)⋅(a ⃗−b ⃑⃗)=0，则|a ⃗|2−|b ⃑⃗|2=0，所以|a ⃗|=|b⃑⃗|，不能得出向量共线，故（4）错； 故选：B.小提示：本题主要考查向量数量积的运算，考查向量有关的判定，属于基础题型.4、已知向量a ⃑，b ⃑⃑满足|a ⃑|=√3，|b ⃑⃑|=2，且a ⃑⊥(a ⃑−b ⃑⃑)，则a ⃑与b⃑⃑的夹角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°答案：A分析：利用数量积的定义，即可求解.解：a ⃑⊥(a ⃑−b ⃑⃑),所以a ⃑⋅(a ⃑−b ⃑⃑)=0,即|a →|2−|a →||b →|cos <a →,b →>=0，解得cos <a →,b →>=√32,又因为向量夹角的范围为[0°,180°]，则a ⃑与b ⃑⃑的夹角为30°，故选：A. 5、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a +b )2−c 2=4，C =120°，则△ABC 的面积为（ ）A ．√33B ．2√33C ．√3D ．2√3 答案：C解析：利用余弦定理可求ab 的值，从而可求三角形的面积.因为C =120°，故c 2=a 2+b 2−2abcos120°=a 2+b 2+ab ，而(a +b )2−c 2=4，故c 2=a 2+b 2+2ab −4=a 2+b 2+ab ，故ab =4，故三角形的面积为12×ab ×sin120°=√34×4=√3，故选：C.6、△ABC 内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知b 2+c 2−a 2=bc ，则A =（ ）A ．π6B ．5π6C ．π3D ．2π3答案：C分析：利用余弦定理求出cosA ，再求出A 即可.∵b 2+c 2−a 2=bc ,∴cosA =b 2+c 2−a 22bc =bc 2bc =12，∵0<A <π，∴A =π3. 故选：C7、已知向量a ⃑=(−1,m )，b ⃑⃑=(m +1,2)，且a ⃑⊥b⃑⃑，则m =（ ） A ．2B ．−2C ．1D ．−1答案：C分析：由向量垂直的坐标表示计算．由题意得a ⃑⋅b⃑⃑=−m −1+2m =0，解得m =1 故选：C ．8、已知直角三角形ABC 中，∠A =90°，AB =2，AC =4，点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上，则PB⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的最大值为（ ）A ．16+16√55B ．16+8√55C ．165D ．565答案：D分析：建立如图所示的坐标系，根据PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑·PC⃑⃑⃑⃑⃑⃑=|PD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|2−5可求其最大值. 以A 为原点建系，B (0,2),C (4,0)，BC:x 4+y 2=1，即x +2y −4=0，故圆的半径为r =√5 ∴圆A:x 2+y 2=165，设BC 中点为D (2,1)，PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑·PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=PD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2−14BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2=|PD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|2−14×20=|PD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|2−5， |PD |max =|AD |+r =√5+√5=√5，∴(PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑·PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)max =815−5=565， 故选：D.多选题9、下列说法正确的有（ ）A ．若a ⃑//b ⃑⃑，b ⃑⃑//c ⃑，则a ⃑//c ⃑B ．若a ⃑=b ⃑⃑，b ⃑⃑=c ⃑，则a ⃑=c ⃑C ．若a ⃑//b ⃑⃑，则a ⃑与b⃑⃑的方向相同或相反D ．若AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑、BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑共线，则A 、B 、C 三点共线 答案：BD分析：取b⃑⃑=0⃑⃑可判断AC 选项的正误；利用向量相等的定义可判断B 选项的正误；利用共线向量的定义可判断D 选项的正误.对于A 选项，若b ⃑⃑=0⃑⃑，a ⃑、c ⃑均为非零向量，则a ⃑//b ⃑⃑，b ⃑⃑//c ⃑成立，但a ⃑//c ⃑不一定成立，A 错；对于B 选项，若a ⃑=b ⃑⃑，b ⃑⃑=c ⃑，则a ⃑=c ⃑，B 对；对于C 选项，若b ⃑⃑=0⃑⃑，a ⃑≠0⃑⃑，则b⃑⃑的方向任意，C 错； 对于D 选项，若AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑、BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑共线且AB 、BC 共点B ，则A 、B 、C 三点共线，D 对.故选：BD.10、下列说法正确的是（ ）A ．向量不能比较大小，但向量的模能比较大小B ．|a ⃑|与|b ⃑⃑|是否相等与a ⃑与b⃑⃑的方向无关 C ．若a ⃑//b ⃑⃑，b ⃑⃑//c ⃑，则a ⃑//c ⃑D ．若向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑与向量CD⃑⃑⃑⃑⃑⃑是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上 答案：AB分析：根据向量的定义以及向量模的定义可判断A ，B ；举反例b⃑⃑=0⃑⃑时可判断C ；由共线向量的定义可判断D ，进而可得正确选项.对于A ：向量即有大小又有方向不能比较大小，向量的模可以比较大小，故选项A 正确；对于B ：|a ⃑|与|b ⃑⃑|分别表示向量a ⃑与b ⃑⃑的大小，与a ⃑，b⃑⃑的方向无关，故选项B 正确； 对于C ：当b ⃑⃑=0⃑⃑时，向量a ⃑与c ⃑可以是任意向量都满足a ⃑//b ⃑⃑，b ⃑⃑//c ⃑，故选项C 不正确；对于D ：若向量AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑与向量CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑是共线向量，表示AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑与CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑方向相同或相反，得不出A ，B ，C ，D 四点在一条直线上，故选项D 不正确；故选：AB.11、设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2cosAsinB =b 2sinAcosB ，则△ABC 的形状为（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形答案：AC分析：根据正弦定理和二倍角公式进行求解.∵a 2cosAsinB =b 2sinAcosB∴由正弦定理得sin 2AcosAsinB =sin 2BsinAcosB ，∵sinAcosA ≠0∴sinAcosA =sinBcosB ，即sin2A =sin2B∴2A =2B 或2A +2B =π，即该三角形为等腰三角形或直角三角形.故选：AC.填空题12、已知a ⃗,b ⃑⃑是空间两个向量，若|a ⃗|=2,|b ⃑⃗|=2,|a ⃗−b ⃑⃗|=√7，则cos 〈a ⃗,b⃑⃑〉＝________． 答案：18 分析：根据向量几何法的模长公式，可得向量数量积的值，根据向量夹角余弦值的公式，可得答案.由|a ⃑−b ⃑⃑|=√7，可知(a ⃑−b ⃑⃑)2=7，则|a ⃑|2−2a ⃑⋅b⃑⃑+|b ⃑⃑|2=7， ∵|a ⃑|=2,|b ⃑⃑|=2，∴a ⃑⋅b ⃑⃑=12，则cos⟨a ⃑⋅b ⃑⃑⟩=a ⃑⃑⋅b ⃑⃑|a ⃑⃑|⋅|b ⃑⃑|=18. 所以答案是：18. 13、如图，在矩形ABCD 中，AB =3，AD =2，DE =2EC ，M 为BC 的中点，若点P 在线段BD 上运动，则PE⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗的最小值为______.答案：2352 分析：构建直角坐标系，令AP⃑⃑⃑⃑⃑⃗=λAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+(1−λ)AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗求P 的坐标，进而可得PE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗，由向量数量积的坐标表示及二次函数的性质求最值即可.以A 为坐标原点，AB ，AD 分别为x ，y 建系，则E(2,2)，M(3,1)，又AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(3,0)，AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(0,2)，令AP⃑⃑⃑⃑⃑⃗=λAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+(1−λ)AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(3λ,2−2λ)，0≤λ≤1， 故P(3λ,2−2λ)，则PE⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(2−3λ,2λ)，PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(3−3λ,2λ−1)， PE⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(2−3λ)(3−3λ)+2λ(2λ−1) =13λ2−17λ+6， 所以λ=1726时，PE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗取最小值2352. 所以答案是：2352.14、海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得CD =45m ，∠ADB =135°，∠BDC =∠DCA =15°，∠ACB =120°，则AB 两点的距离为______m ．答案：45√5分析：先将实际问题转化为解三角形的问题，再利用正、余弦定理求解。
人教版平面向量多选题专项训练单元专题强化试卷学能测试试卷
人教版平面向量多选题专项训练单元专题强化试卷学能测试试卷一、平面向量多选题1．题目文件丢失！2．已知非零平面向量a ，b ,c ,则（ ）A ．存在唯一的实数对,m n ，使c ma nb =+B ．若0⋅=⋅=a b a c ，则//b cC ．若////a b c ，则a b c a b c =++++D ．若0a b ⋅=，则a b a b +=- 答案：BD【分析】假设与共线，与，都不共线，即可判断A 错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B 正确；向量共线可以是反向共线，故C 错；根据向量数量积法则，可判断D 正确. 【详解】A 选项，若与共线，与，都解析：BD【分析】假设a 与b 共线，c 与a ，b 都不共线，即可判断A 错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B 正确；向量共线可以是反向共线，故C 错；根据向量数量积法则，可判断D 正确.【详解】A 选项，若a 与b 共线，c 与a ，b 都不共线，则ma nb +与c 不可能共线，故A 错；B 选项，因为a ，b ,c 是非零平面向量,若0⋅=⋅=a b a c ，则a b ⊥，a c ⊥，所以//b c ，即B 正确；C 选项，因为向量共线可以是反向共线，所以由////a b c 不能推出a b c a b c =++++；如a 与b 同向，c 与a 反向，且a b c +>，则a b c a b c =+-++，故C 错；D 选项，若0a b ⋅=，则()222222a b a b a b a b a b +=+=++⋅=+， ()222222a b a b a b a b a b -=-=+-⋅=+，所以a b a b +=-，即D 正确. 故选：BD.【点睛】本题主要考查共线向量的有关判定，以及向量数量积的相关计算，属于基础题型.3．已知ABC 的三个角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos A b B a=，则该三角形的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形【分析】在中，根据，利用正弦定理得，然后变形为求解.【详解】在中，因为，由正弦定理得，所以，即，所以或，解得或.故是直角三角形或等腰三角形.故选： D.【点睛】本题主要考查解析：D【分析】在ABC 中，根据cos cos A b B a =，利用正弦定理得cos sin cos sin A B B A=，然后变形为sin 2sin 2A B =求解.【详解】在ABC 中，因为cos cos A b B a=， 由正弦定理得cos sin cos sin A B B A=， 所以sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =，所以22A B =或22A B π=-，解得A B =或2A B π+=. 故ABC 是直角三角形或等腰三角形.故选： D.【点睛】本题主要考查利用正弦定理判断三角形的形状，还考查了运算求解的能力，属于基础题.4．ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2AB a =，2AC a b =+，则下列结论正确的是（ ）A ．a 是单位向量B ．//BC b C ．1a b ⋅=D ．()4BC a b ⊥+ 答案：ABDA. 根据是边长为2的等边三角形和判断；B.根据，，利用平面向量的减法运算得到判断；C. 根据，利用数量积运算判断；D. 根据， ，利用数量积运算判断.【详解】A. 因为是边长解析：ABD【分析】A. 根据ABC 是边长为2的等边三角形和2AB a =判断；B.根据2AB a =，2AC a b =+，利用平面向量的减法运算得到BC 判断；C. 根据1,2a ABb BC ==，利用数量积运算判断；D. 根据b BC =， 1a b ⋅=-，利用数量积运算判断.【详解】A. 因为ABC 是边长为2的等边三角形，所以2AB =，又2AB a =，所以 a 是单位向量，故正确；B. 因为2AB a =，2AC a b =+，所以BC AC AB b =-=，所以//BC b ，故正确；C. 因为1,2a AB b BC ==，所以1122cos120122a b BC AB ⋅=⋅=⨯⨯⨯︒=-，故错误； D. 因为b BC =， 1a b ⋅=-，所以()()2444440BC a b b a b a b b ⋅+=⋅+=⋅+=-+=，所以()4BC a b ⊥+，故正确.故选：ABD【点睛】本题主要考查平面向量的概念，线性运算以及数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.5．在△ABC 中，点E ，F 分别是边BC 和AC 上的中点，P 是AE 与BF 的交点，则有（ ） A ．1122AE AB AC →→→=+ B ．2AB EF →→= C ．1133CP CA CB →→→=+ D ．2233CP CA CB →→→=+ 答案：AC【分析】由已知结合平面知识及向量共线定理分别检验各选项即可.【详解】如图：根据三角形中线性质和平行四边形法则知，, A 是正确的；因为EF 是中位线，所以B 是正确的；根据三角形重心解析：AC【分析】由已知结合平面知识及向量共线定理分别检验各选项即可.【详解】如图：根据三角形中线性质和平行四边形法则知，111()()222AE AB BE AB BC AB AC AB AC AB →→→→→→→→→→=+=+=+-=+, A 是正确的； 因为EF 是中位线，所以B 是正确的； 根据三角形重心性质知，CP =2PG ，所以22113323CP CG CA CB CA CB →→→→→→⎛⎫⎛⎫==⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 是正确的，D 错误.故选：AC【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的简单应用，熟记一些基本结论是求解问题的关键，属于中档题.6．已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且AE EB =，2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（ ）A ．1AB CE ⋅=-B ．0OE OC += C ．32OA OB OC ++=D ．ED 在BC 方向上的投影为76答案：BCD【分析】以E 为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可.【详解】由题E 为AB 中点，则，以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：所以，，解析：BCD【分析】以E 为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可.【详解】由题E 为AB 中点，则CE AB ⊥，以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：所以，123(0,0),(1,0),(1,0),3),()3E A B C D -， 设123(0,),3),(1,),(,33O y y BO y DO y ∈==--，BO ∥DO ， 所以2313y y =-，解得：3y =， 即O 是CE 中点，0OE OC +=，所以选项B 正确； 322OA OB OC OE OC OE ++=+==，所以选项C 正确； 因为CE AB ⊥，0AB CE ⋅=，所以选项A 错误； 123(3ED =，(1,3)BC =， ED 在BC 方向上的投影为127326BC BC ED +⋅==，所以选项D 正确. 故选：BCD【点睛】 此题考查平面向量基本运算，可以选取一组基底表示出所求向量的关系，对于特殊图形可以考虑在适当位置建立直角坐标系，利于计算.7．下列结论正确的是（ ）A ．已知a 是非零向量，b c ≠，若a b a c ⋅=⋅，则a ⊥（-b c ）B ．向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则a 在b 上的投影向量为12bC ．点P 在△ABC 所在的平面内，满足0PA PB PC ++=，则点P 是△ABC 的外心D ．以（1，1），（2，3），（5，﹣1），（6，1）为顶点的四边形是一个矩形答案：ABD【分析】利用平面向量的数量积运算，结合向量的线性运算，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断选择.【详解】对：因为，又，故可得，故，故选项正确；对：因为||＝1，||＝2，与的夹角为解析：ABD【分析】利用平面向量的数量积运算，结合向量的线性运算，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断选择.【详解】对A ：因为()a b c a b a c ⋅-=⋅-⋅，又a b a c ⋅=⋅，故可得()0a b c ⋅-=，故()a b c ⊥-，故A 选项正确；对B ：因为|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，故可得1212a b ⋅=⨯=. 故a 在b 上的投影向量为12a b b b b ⎛⎫⋅ ⎪= ⎪⎝⎭，故B 选项正确； 对C ：点P 在△ABC 所在的平面内，满足0PA PB PC ++=，则点P 为三角形ABC 的重心，故C 选项错误；对D ：不妨设()()()()1,1,2,3,6,1,5,1A B C D -， 则()()()1,24,25,0AB AD AC +=+-==，故四边形ABCD 是平行四边形；又()14220AB AD ⋅=⨯+⨯-=，则AB AD ⊥，故四边形ABCD 是矩形.故D 选项正确；综上所述，正确的有：ABD .故选：ABD .【点睛】本题考查向量数量积的运算，向量的坐标运算，向量垂直的转化，属综合中档题.8．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，不解三角形，确定下列判断错误的是（ ）A ．B ＝60°，c ＝4，b ＝5，有两解B ．B ＝60°，c ＝4，b ＝3.9，有一解C ．B ＝60°，c ＝4，b ＝3，有一解D ．B ＝60°，c ＝4，b ＝2，无解答案：ABC【分析】根据判断三角形解的个数的结论：若为锐角，当时，三角形有唯一解；当时，三角形有两解；当时，三角形无解：当时，三角形有唯一解.逐个判断即可得解.【详解】对于，因为为锐角且，所以三角解析：ABC【分析】根据判断三角形解的个数的结论：若B 为锐角，当c b <时，三角形有唯一解；当sin c B b c <<时，三角形有两解；当sin c B b >时，三角形无解：当sin c B b =时，三角形有唯一解.逐个判断即可得解.【详解】对于A ，因为B 为锐角且45c b =<=，所以三角形ABC 有唯一解，故A 错误；对于B ，因为B 为锐角且sin 4 3.9c B b c ===<，所以三角形ABC 有两解，故B 错误；对于C ，因为B 为锐角且 sin 432c B b =⨯=>=，所以三角形ABC 无解，故C 错误；对于D ，因为B 为锐角且sin 422c B b =⨯=>=，所以三角形ABC 无解，故D 正确.故选：ABC.【点睛】本题考查了判断三角形解的个数的方法，属于基础题.9．已知a 、b 是任意两个向量，下列条件能判定向量a 与b 平行的是（ ）A ．a b =B ．a b =C ．a 与b 的方向相反D ．a 与b 都是单位向量 答案：AC【分析】根据共线向量的定义判断即可.【详解】对于A选项，若，则与平行，A选项合乎题意；对于B选项，若，但与的方向不确定，则与不一定平行，B选项不合乎题意；对于C选项，若与的方向相反，解析：AC【分析】根据共线向量的定义判断即可.【详解】对于A选项，若a b=，则a与b平行，A选项合乎题意；=，但a与b的方向不确定，则a与b不一定平行，B选项不合乎题对于B选项，若a b意；对于C选项，若a与b的方向相反，则a与b平行，C选项合乎题意；对于D选项，a与b都是单位向量，这两个向量长度相等，但方向不确定，则a与b不一定平行，D选项不合乎题意.故选：AC.【点睛】本题考查向量共线的判断，考查共线向量定义的应用，属于基础题.10．给出下列命题正确的是（）A．一个向量在另一个向量上的投影是向量+=+⇔与b方向相同B．a b a b aC．两个有共同起点的相等向量，其终点必定相同A B C D必在同一直线上D．若向量AB与向量CD是共线向量，则点,,,答案：C【分析】对A，一个向量在另一个向量上的投影是数量；对B，两边平方化简；对C，根据向量相等的定义判断；对D，根据向量共线的定义判断.【详解】A中，一个向量在另一个向量上的投影是数量，A解析：C【分析】对A，一个向量在另一个向量上的投影是数量；对B ，两边平方化简a b a b +=+；对C ，根据向量相等的定义判断；对D ，根据向量共线的定义判断.【详解】 A 中，一个向量在另一个向量上的投影是数量，A 错误；B 中，由a b a b +=+，得2||||2a b a b ⋅=⋅，得||||(1cos )0a b θ⋅-=，则||0a =或||0b =或cos 1θ=，当两个向量一个为零向量，一个为非零向量时，a 与b 方向不一定相同，B 错误； C 中，根据向量相等的定义，且有共同起点可得，其终点必定相同，C 正确；D 中，由共线向量的定义可知点,,,A B C D 不一定在同一直线上，D 错误.故选：C 【点睛】 本题考查了对向量共线，向量相等，向量的投影等概念的理解，属于容易题.11．设a 、b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ）A ．若a b a b +=-，则存在实数λ使得λab B ．若a b ⊥，则a b a b +=- C ．若a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影向量为aD ．若存在实数λ使得λa b ，则a b a b +=- 答案：AB 【分析】 根据向量模的三角不等式找出和的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论.【详解】当时，则、方向相反且，则存在负实数解析：AB【分析】 根据向量模的三角不等式找出a b a b +=-和a b a b +=+的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】当a b a b +=-时，则a 、b 方向相反且a b ≥，则存在负实数λ，使得λa b ，A选项正确，D 选项错误；若a b a b +=+，则a 、b 方向相同，a 在b 方向上的投影向量为a ，C 选项错误；若a b ⊥，则以a 、b 为邻边的平行四边形为矩形，且a b +和a b -是这个矩形的两条对角线长，则a b a b +=-，B 选项正确.故选：AB.【点睛】本题考查平面向量线性运算相关的命题的判断，涉及平面向量模的三角不等式的应用，考查推理能力，属于中等题.12．对于菱形ABCD ，给出下列各式，其中结论正确的为（ ） A ．AB BC = B ．AB BC =C ．AB CD AD BC -=+ D ．AD CD CD CB +=-答案：BCD【分析】由向量的加法减法法则及菱形的几何性质即可求解.【详解】菱形中向量与的方向是不同的，但它们的模是相等的， 所以B 结论正确，A 结论错误；因为，，且，所以，即C 结论正确；因为，解析：BCD 【分析】 由向量的加法减法法则及菱形的几何性质即可求解. 【详解】 菱形中向量AB 与BC 的方向是不同的，但它们的模是相等的， 所以B 结论正确，A 结论错误； 因为2AB CD AB DC AB -=+=，2AD BC BC +=，且AB BC =， 所以AB CD AD BC -=+，即C 结论正确；因为AD CD BC CD BD +=+=，||||CD CB CD BC BD -=+=，所以D 结论正确.故选：BCD【点睛】本题主要考查了向量加法、减法的运算，菱形的性质，属于中档题.13．（多选）若1e ，2e 是平面α内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是（ ）A ．()12,e e λμλμ+∈R 可以表示平面α内的所有向量B ．对于平面α中的任一向量a ，使12a e e λμ=+的实数λ，μ有无数多对C ．1λ，1μ，2λ，2μ均为实数，且向量1112e e λμ+与2212e e λμ+共线，则有且只有一个实数λ，使()11122122e e e e λμλλμ+=+D ．若存在实数λ，μ，使120e e λμ+=，则0λμ==答案：BC 【分析】由平面向量基本定理可判断出A 、B 、D 正确与否，由向量共线定理可判断出C 正确与否. 【详解】由平面向量基本定理，可知A ，D 说法正确，B 说法不正确， 对于C ，当时，这样的有无数个，故C解析：BC 【分析】由平面向量基本定理可判断出A 、B 、D 正确与否，由向量共线定理可判断出C 正确与否. 【详解】由平面向量基本定理，可知A ，D 说法正确，B 说法不正确，对于C ，当12120λλμμ====时，这样的λ有无数个，故C 说法不正确. 故选：BC 【点睛】若1e ，2e 是平面α内两个不共线的向量，则对于平面α中的任一向量a ，使12a e e λμ=+的实数λ，μ存在且唯一.14．已知ABC ∆中,角A,B,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足,3B a c π=+=,则ac=( ) A ．2B ．3C ．12 D ．13答案：AC 【分析】将两边同时平方，可得一个关系式，再结合余弦定理可得结果. 【详解】 ∵， ∴①，由余弦定理可得，②， 联立①②，可得，即， 解得或. 故选：AC. 【点睛】本题考查余弦定理的应解析：AC 【分析】将a c +=两边同时平方，可得一个关系式，再结合余弦定理可得结果. 【详解】∵,3B a c π=+=，∴2222()23a c a c ac b +=++=①， 由余弦定理可得，2222cos3a c acb π+-=②，联立①②，可得222520a ac c -+=，即22520a a c c ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得2ac =或12a c =. 故选：AC. 【点睛】本题考查余弦定理的应用，考查计算能力，是基础题. 15．化简以下各式,结果为0的有( ) A ．AB BC CA ++ B ．AB AC BD CD -+- C ．OA OD AD -+D ．NQ QP MN MP ++-答案：ABCD 【分析】根据向量的线性运算逐个选项求解即可. 【详解】 ; ; ; .故选：ABCD 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算,属于基础题型.解析：ABCD 【分析】根据向量的线性运算逐个选项求解即可. 【详解】0AB BC CA AC CA ++=+=;()()0AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD -+-=+-+=-=; ()0OA OD AD OA AD OD OD OD -+=+-=-=; 0NQ QP MN MP NP PM MN NM NM ++-=++=-=.故选：ABCD 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算,属于基础题型.二、平面向量及其应用选择题16．如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进50 m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50 m ，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于（ ）A 3B ．22C ．312D ．212- 解析：C【分析】易求30ACB ∠=︒，在ABC 中，由正弦定理可求BC ，在BCD 中，由正弦定理可求sin BDC ∠，再由90BDC θ∠=+︒可得答案． 【详解】45CBD ∠=︒，30ACB ∴∠=︒，在ABC 中，由正弦定理，得sin sin BC AB CAB ACB =∠∠，即50sin15sin30BC =︒︒，解得25(62)BC =-， 在BCD 中，由正弦定理，得sin sin BC CD BDC CBD=∠∠25(62)50sin 45-=︒， 31sin BDC -∴∠=31sin(90)θ-+︒= 31cos θ-∴=故选：C ． 【点睛】该题考查正弦定理在实际问题中的应用，由实际问题恰当构建数学模型是解题关键．17．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 满足()()1sin 2sin sin 2A ABC C A B +-+=--+，面积S 满足12S ≤≤，记a 、b 、c 分别为A 、B 、C 所对的边，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．()8bc b c +>B ．()ab a b +>C ．612abc ≤≤D ．1224abc ≤≤解析：A 【分析】由条件()()1sin 2sin sin 2A A B C C A B +-+=--+化简得出1sin sin sin 8A B C =，设ABC ∆的外接圆半径为R ，根据12S ≤≤求得R 的范围，然后利用不等式的性质判断即可.【详解】ABC ∆的内角A 、B 、C 满足()()1sin 2sin sin 2A ABC C A B +-+=--+，即()()1sin 2sin sin 2A A B C A B C +-+++-=，即()()1sin 2sin sin 2A ABC A B C +--++-=⎡⎤⎣⎦， 即()12sin cos 2sin cos 2A A ABC +-=，即()()12sin cos 2sin cos 2A B C A B C -++-=，即()()12sin cos cos 4sin sin sin 2A B C B C A B C --+==⎡⎤⎣⎦，1sin sin sin 8A B C ∴=，设ABC ∆的外接圆半径为R ，则2sin sin sin a b cR A B C===， []2111sin 2sin 2sin sin 1,2224S ab C R A R B C R ==⨯⨯⨯=∈，2R ∴≤≤338sin sin sin abc R A B C R ⎡∴=⨯=∈⎣，C 、D 选项不一定正确；对于A 选项，由于b c a +>，()8bc b c abc ∴+>≥，A 选项正确；对于B 选项，()8ab a b abc +>≥，即()8ab a b +>成立，但()ab a b +>成立. 故选：A. 【点睛】本题考查了利用三角恒等变换思想化简、正弦定理、三角形的面积计算公式、不等式的基本性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题． 18．ABC ∆中，22:tan :tan a b A B =，则ABC ∆一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形解析：D 【分析】由已知22:tan :tan a b A B =，利用正弦定理及同角的三角函数的基本关系对式子进行化简，然后结合三角函数的性质再进行化简即可判断． 【详解】∵22:tan :tan a b A B =，由正弦定理可得，22sin sin tan sin cos sin sin sin tan sin cos cos AA A A BB B B B B AB===， ∵sin sin B 0A ≠，∴sin cos sin cos A BB A=， ∴sin cos sin cos A A B B =即sin 2sin 2A B =，∵()(),0,,0,A B A B ππ∈+∈， ∴22A B =或22A B π+=， ∴A B =或2A B π+=，即三角形为等腰或直角三角形，故选D ． 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系及正弦定理的应用，利用正弦定理进行代数式变形是解题的关键和难点．19．已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC a CA b ==，，AB c =，则①AD ＝－b －12a ；②BE ＝a ＋12b ；③CF ＝－12a ＋12b ；④AD ＋BE ＋CF ＝0.其中正确的等式的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：D 【分析】本题考查的知识点是向量的加减法及其几何意义、及零向量，我们根据已知中的图形，结合向量加减法的三角形法则，对题目中的四个结论逐一进行判断，即可得到答案． 【详解】①如图可知AD ＝AC ＋CD ＝AC ＋12CB ＝－CA －12BC ＝－b －12a ，故①正确． ②BE ＝BC ＋CE ＝BC ＋12CA ＝a ＋12b ，故②正确． ③CF ＝CA ＋AE ＝CA ＋12AB ＝b ＋12(－a －b ) ＝－12a ＋12b ，故③正确． ④AD ＋BE ＋CF ＝－DA ＋BE ＋CF ＝－(DC ＋CA )＋BE ＋CF ＝－(12a ＋b )＋a ＋12b －12a ＋12b ＝0，故④正确． 故选D. 【点睛】本题考查的主要知识点是向量加减法及其几何意义，关键是要根据向量加减法及其几何意义，将未知的向量分解为已知向量．20．设(),1A a ，()2,1B -，()4,5C 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则a =（ ）A ．12-B ．12C ．-2D ．2解析：A【分析】根据平面向量的投影的概念，结合向量的数量积的运算公式，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，点(),1A a ，()2,1B -，()4,5C ， O 为坐标原点， 根据OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则OA OC OB OC OCOC⋅⋅=,即OA OC OB OC ⋅=⋅，可得4152415a +⨯=⨯-⨯，解得12a =-.故选：A. 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的坐标运算，以及向量的投影的定义，其中解答中熟记向量投影的定义，以及向量的数量积的运算公式，列出方程是解答的关键，着重考查运算与求解能力.21．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，2c =，2cos 3A =，则b= A ．2 B ．3C ．2D ．3解析：D 【详解】 由余弦定理得，解得（舍去），故选D.【考点】 余弦定理 【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b 的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！22．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()()(23)a b c a c b ac +++-=+，则cos sin A C +的取值范围为A ．33)2B ．3(3) C ．3(3]2D ．3(3)2解析：A 【分析】先化简已知()()(23a b c a c b ac +++-=+得6B π=，再化简cos sin A C +3sin()3A π+，利用三角函数的图像和性质求其范围.【详解】由()()(23)a b c a c b ac +++-=+可得22()(23)a c b ac +-=+，即2223a c b ac +-=，所以2223cos 2a c b B ac +-==，所以6B π=，56C A π=-，所以5cos sin cos sin()6A C A A π+=+-553cos sincos cos sin cos sin )66223A A A A A A πππ=+-=+=+，又02A π<<，506A π<-2π<，所以32A ππ<<，所以25336A πππ<+<，所以3)262A π<+<，故cos sin A C +的取值范围为3()22．故选A ．【点睛】(1)本题主要考查余弦定理解三角形，考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)利用函数的思想研究数学问题，一定要注意“定义域优先”的原则，所以本题一定要准确计算出A 的范围32A ππ<<，不是02A π<<.23．在ABC ∆中，601ABC A b S ∆∠=︒=，，则2sin 2sin sin a b cA B C-+-+的值等于（ ）A．3 BCD．解析：A 【解析】分析：先利用三角形的面积公式求得c 的值，进而利用余弦定理求得a ，再利用正弦定理求解即可.详解：由题意，在ABC ∆中，利用三角形的面积公式可得011sin 1sin 6022ABC S bc A c ∆==⨯⨯⨯=， 解得4c =，又由余弦定理得22212cos 116214132a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，解得a =，由正弦定理得2sin 2sin sin sin a b c a A B C A -+===-+，故选A. 点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.24．在三角形ABC 中，若三个内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，1a =，c =45B =︒，则sin C 的值等于（ ）A ．441B ．45C ．425D．41解析：B 【分析】在三角形ABC 中，根据1a =，c =45B =︒，利用余弦定理求得边b ,再利用正弦定理sin sin b cB C =求解. 【详解】在三角形ABC 中， 1a =，c =45B =︒， 由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，13221252=+-⨯⨯=， 所以5b =， 由正弦定理得：sin sin b cB C=，所以2sin 42sin 55c BC b===， 故选：B 【点睛】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，所以考查了运算求解的能力，属于中档题. 25．已知在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若ABC 的面积为S ，且222()S a b c =+-，则tan C =（ ）A ．43- B ．34-C ．34D ．43解析：A【分析】由三角形面积公式和余弦定理可得C 的等式，利用二倍角公式求得tan2C，从而求得tan C ． 【详解】∵222222()2S a b c a b ab c =+-=++-，即22212sin 22ab C a b ab c ⨯⋅=++-， ∴222sin 2ab C ab a b c ⋅-=+-，又222sin 2sin cos 1222a b c ab C ab CC ab ab +-⋅-===-，∴sin cos 12C C +=，即22cos sin cos 222C C C =，则tan 22C =，∴222tan2242tan 1231tan 2CC C ⨯===---， 故选：A ． 【点睛】本题考查三角形面积公式，余弦定理，考查二倍角公式，同角间的三角函数关系，掌握相应的公式即可求解．属于中档题，考查了学生的运算求解能力．26．三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，那么点P 是三角形ABC 的（ ） A ．重心 B ．垂心C ．外心D ．内心解析：B 【分析】先化简得0,0,0PA CB PB CA PC AB ⋅=⋅=⋅=，即得点P 为三角形ABC 的垂心. 【详解】由于三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅， 则()()()0,0,0PA PB PC PB PA PC PC PB PA ⋅-=⋅-=⋅-= 即有0,0,0PA CB PB CA PC AB ⋅=⋅=⋅=， 即有,,PA CB PB CA PC AB ⊥⊥⊥， 则点P 为三角形ABC 的垂心. 故选：B. 【点睛】本题主要考查向量的运算和向量垂直的数量积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 27．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若2a =，ABC的面积为1)，则b c +=（ ）A ．5 B．C ．4D ．16解析：C 【分析】根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得4A π=,再根据面积公式可求得6(2bc =,再代入余弦定理求解即可. 【详解】ABC 中,cos sin a B b A c +=,由正弦定理得sin cos sin sin sin A B B A C +=,又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+,∴sin sin cos sin B A A B =,又sin 0B ≠,∴sin A cos A =,∴tan 1A =,又(0,)A π∈, ∴4A π=.∵1sin 1)24ABCSbc A ===-,∴bc=6(2,∵2a =,∴由余弦定理可得22()22cos a b c bc bc A =+--,∴2()4(2b c bc +=++4(26(216=++⨯-=,可得4b c +=.故选：C【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题. 28．已知非零向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭且12AB AC AB AC ⋅=，则ABC 的形状是（ ）A ．三边均不相等的三角形B ．等腰直角三角形C ．等边三角形D ．以上均有可能解析：C 【分析】 AB AB 和ACAC 分别表示向量AB 和向量AC 方向上的单位向量，0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭表示A ∠平分线所在的直线与BC 垂直，可知ABC 为等腰三角形，再由12AB AC AB AC ⋅=可求出A ∠，即得三角形形状。
含解析高中数学《平面向量》专题训练30题（精）
含解析高中数学《平面向量》专题训练30题（精）含解析高中数学《平面向量》专题训练30题（精）1．已知向量．（1）若，求x的值；（2）记，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及对应的x的值．【答案】（1）（2）时，取到最大值3；时，取到最小值.【解析】【分析】（1）根据，利用向量平行的充要条件建立等式，即可求x的值．（2）根据求解求函数y＝f（x）解析式，化简，结合三角函数的性质即可求解最大值和最小值及对应的x的值．【详解】解：（1）∵向量．由，可得：，即，∵x∈[0，π]∴．（2）由∵x∈[0，π]，∴∴当时，即x＝0时f（x）max＝3；当，即时．【点睛】本题主要考查向量的坐标运用以及三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．2．已知中，点在线段上，且，延长到，使．设．（1）用表示向量；（2）若向量与共线，求的值．【答案】（1）,；（2）【解析】【分析】（1）由向量的线性运算，即可得出结果；（2）先由(1)得，再由与共线，设，列出方程组求解即可.【详解】解：（1）为BC的中点，，可得，而（2）由（1）得，与共线，设即，根据平面向量基本定理，得解之得，．【点睛】本题主要考查向量的线性运算，以及平面向量的基本定理，熟记定理即可，属于常考题型.3．（1）已知平面向量、，其中，若，且，求向量的坐标表示；（2）已知平面向量、满足，，与的夹角为，且（+）（），求的值.【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）设，根据题意可得出关于实数、的方程组，可求得这两个未知数的值，由此可得出平面向量的坐标；（2）利用向量数量积为零表示向量垂直，化简并代入求值，可解得的值．【详解】（1）设，由，可得，由题意可得，解得或.因此，或；（2），化简得，即，解得4．已知向量，向量.（1）求向量的坐标；（2）当为何值时，向量与向量共线.【答案】（1）（2）【解析】【详解】试题分析：（1）根据向量坐标运算公式计算；（2）求出的坐标，根据向量共线与坐标的关系列方程解出k;试题解析：（1）（2），∵与共线，∴∴5．已知向量与的夹角，且，．（1）求，；（2）求与的夹角的余弦值．【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）利用平面向量数量积的定义可计算得出的值，利用平面向量数量积的运算性质计算得出的值；（2）计算出的值，利用平面向量夹角的余弦公式可求得与的夹角的余弦值．【详解】（1）由已知，得，；（2）设与的夹角为，则，因此，与的夹角的余弦值为.6．设向量,,记（1）求函数的单调递减区间；（2）求函数在上的值域．【答案】（1）；（2）.【解析】【详解】分析：（1）利用向量的数量积的坐标运算式，求得函数解析式，利用整体角的思维求得对应的函数的单调减区间；（2）结合题中所给的自变量的取值范围，求得整体角的取值范围，结合三角函数的性质求得结果.详解：（1）依题意,得．由,解得故函数的单调递减区间是．（2）由（1）知,当时,得,所以,所以,所以在上的值域为．点睛：该题考查的是有关向量的数量积的坐标运算式，三角函数的单调区间，三角函数在给定区间上的值域问题，在解题的过程中一是需要正确使用公式，二是用到整体角思维.7．在中，内角，，的对边分别是，，，已知，点是的中点.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求中线的最大值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（1）由正弦定理，已知条件等式化边为角，结合两角和的正弦公式，可求解；（2）根据余弦定理求出边的不等量关系，再用余弦定理把用表示，即可求解；或用向量关系把用表示，转化为求的最值.【详解】（Ⅰ）由已知及正弦定理得.又，且，∴，即.（Ⅱ）方法一：在中，由余弦定理得，∵，当且仅当时取等号，∴.∵是边上的中线，∴在和中，由余弦定理得，，①.②由①②，得，当且仅当时，取最大值.方法二：在中，由余弦定理得，∵，当且仅当时取等号，∴.∵是边上的中线，∴，两边平方得，∴，当且仅当时，取最大值.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理在三角形中应用，考查基本不等式和向量的模长公式的灵活运用，是一道综合题.8．已知平面向量，.(1)若，求的值；(2)若，与共线，求实数m的值.【答案】（1）；（2）4.【解析】（1）求出，即可由坐标计算出模；（2）求出，再由共线列出式子即可计算.【详解】(1)，所以；(2)，因为与共线，所以，解得m＝4.9．已知向量．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若，求向量与夹角的大小．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】【分析】（Ⅰ）首先求出的坐标，再根据，可得，即可求出，再根据向量模的坐标表示计算可得；（Ⅱ）首先求出的坐标，再根据计算可得；【详解】解：（Ⅰ）因为，所以，由，可得，即，解得，即，所以；（Ⅱ）依题意，可得，即，所以，因为，所以与的夹角大小是．10．如图，在中，，，，，.（1）求的长；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）将用和表示，利用平面向量数量积的运算律和定义计算出的值，即可得出的长；（2）将利用和表示，然后利用平面向量数量积的运算律和定义计算出的值．【详解】（1），，，，，，.；（2），，，.【点睛】本题考查平面向量模与数量积的计算，解题的关键就是选择合适的基底将题中所涉及的向量表示出来，考查计算能力，属于中等题.11．如图所示，在中，，，，分别为线段，上一点，且，，和相交于点.（1）用向量，表示；（2）假设，用向量，表示并求出的值.【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）把放在中，利用向量加法的三角形法则即可；（2）把，作为基底，表示出，利用求出.【详解】解：由题意得，，所以，（1）因为，，所以.（2）由（1）知，而而因为与不共线，由平面向量基本定理得解得所以，即为所求.【点睛】在几何图形中进行向量运算:(1)构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则；(2)树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算.12．已知向量与的夹角为，且，.（1）若与共线，求k；（2）求，；（3）求与的夹角的余弦值【答案】（1）；（2），；（3）.【解析】【分析】（1）利用向量共线定理即可求解.（2）利用向量数量积的定义：可得数量积，再将平方可求模.（3）利用向量数量积即可夹角余弦值.【详解】（1）若与共线，则存在，使得即，又因为向量与不共线，所以，解得，所以.（2），，（3）.13．已知.（1）当为何值时，与共线（2）当为何值时，与垂直？（3）当为何值时，与的夹角为锐角？【答案】（1）；（2）；（3）且.【解析】【分析】（1）利用向量共线的坐标表示：即可求解.（2）利用向量垂直的坐标表示：即可求解.（3）利用向量数量积的坐标表示，只需且不共线即可求解.【详解】解：（1）.与平行，，解得.（2）与垂直，，即，（3）由题意可得且不共线，解得且.14．如图，在菱形ABCD中，，．（1）若，求的值；（2）若，，求．（3）若菱形ABCD的边长为6，求的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）由向量线性运算即可求得值；（2）先化，再结合（1）中关系即可求解；（3）由于，，即可得，根据余弦值范围即可求得结果．【详解】解：（1）因为，，所以，所以，，故．（2）∵，∴∵ABCD为菱形∴∴，即．（3）因为，所以∴的取值范围：．【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算；(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．15．已知，，与夹角是．（1）求的值及的值；（2）当为何值时，？【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用数量积定义及其向量的运算性质，即可求解；（2）由于，可得，利用向量的数量积的运算公式，即可求解．【详解】（1）由向量的数量积的运算公式，可得，.（2）因为，所以，整理得，解得．即当值时，．【点睛】本题主要考查了数量积定义及其运算性质、向量垂直与数量积的关系，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，以及向量垂直的坐标运算是解答的关键，着重考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．设向量（I）若（II）设函数【答案】（I）（II）【解析】【详解】(1)由＝(sinx)2＋(sinx)2＝4sin2x，＝(cosx)2＋(sinx)2＝1，及，得4sin2x＝1.又x∈，从而sinx＝，所以x＝.(2)sinx·cosx＋sin2x＝sin2x－cos2x＋＝sin＋，当x∈时，－≤2x－≤π，∴当2x－＝时，即x＝时，sin取最大值 1.所以f(x)的最大值为.17．化简．（1）．（2）．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用平面向量加法的三角形法则化简可得所求代数式的结果；（2）利用平面向量加法的三角形法则化简可得所求代数式的结果.【详解】（1）；（2）.18．已知点,,，是原点.（1）若点三点共线，求与满足的关系式；（2）若的面积等于3，且,求向量.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】(1)由题意结合三点共线的充分必要条件确定m,n满足的关系式即可；(2)由题意首先求得n的值，然后求解m的值即可确定向量的坐标.【详解】（1），，由点A，B，C三点共线，知∥，所以，即；（2）由△AOC的面积是3，得，，由，得，所以，即,当时，，?解得或，当时，，方程没有实数根，所以或．【点睛】本题主要考查三点共线的充分必要条件，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．如图，在直角梯形中，为上靠近B的三等分点，交于为线段上的一个动点．（1）用和表示；（2）求；（3）设，求的取值范围．【答案】(1)；(2)3；(3).【解析】【分析】(1)根据给定条件及几何图形，利用平面向量的线性运算求解而得；(2)选定一组基向量，将由这一组基向量的唯一表示出而得解；(3)由动点P设出，结合平面向量基本定理，建立为x的函数求解.【详解】(1)依题意，，，；(2)因交于D，由(1)知，由共起点的三向量终点共线的充要条件知，，则，，；(3)由已知，因P是线段BC上动点，则令，，又不共线，则有，，在上递增，所以，故的取值范围是.【点睛】由不共线的两个向量为一组基底，用该基底把相关条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．20．设向量满足，且．（1）求与的夹角；（2）求的大小.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由已知得，展开求得，结合夹角公式即可求解；（2）由化简即可求解．【详解】（1）设与的夹角为θ由已知得，即，因此，得，于是，故θ=，即与的夹角为；（2）由．21．已知，，(t∈R)，O是坐标原点．（1）若点A，B，M三点共线，求t的值；（2）当t取何值时，取到最小值？并求出最小值．【答案】（1）t；（2）当t时，?的最小值为.【解析】【分析】（1）求出向量的坐标，由三点共线知与共线，即可求解t的值．（2）运用坐标求数量积，转化为函数求最值．【详解】（1），，∵A，B，M三点共线，∴与共线，即，∴，解得：t.（2），，，∴当t时，?取得最小值．【点睛】关键点点睛：（1）由三点共线，则由它们中任意两点构成的向量都共线，求参数值.（2）利用向量的数量积的坐标公式得到关于参数的函数，即可求最值及对应参数值.22．设向量，，.(1)求；(2)若，，求的值；(3)若，，，求证：A，，三点共线.【答案】(1) 1(2)2(3)证明见解析【解析】【分析】（1）先求，进而求；（2）列出方程组，求出，进而求出；（3）求出，从而得到，得到结果.(1)，；(2)，所以，解得：，所以；(3)因为，所以，所以A，，三点共线.23．在平面直角坐标系中，已知，.（Ⅰ）若，求实数的值；（Ⅱ）若，求实数的值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）求出向量和的坐标，然后利用共线向量的坐标表示得出关于的方程，解出即可；（Ⅱ）由得出，利用向量数量积的坐标运算可得出关于实数的方程，解出即可.【详解】（Ⅰ），，，，，，解得；（Ⅱ），，，解得.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查利用共线向量和向量垂直求参数，考查计算能力，属于基础题.24．在中，，，，点，在边上且，.（1）若，求的长；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先设，，根据题意，求出，，再由向量模的计算公式，即可得出结果；（2）先由题意，得到，，再由向量数量积的运算法则，以及题中条件，得到，即可求出结果.【详解】（1）设，，则，，因此，所以，，（2）因为，所以，同理可得，，所以，∴，即，同除以可得，.【点睛】本题主要考查用向量的方法求线段长，考查由向量数量积求参数，熟记平面向量基本定理，以及向量数量积的运算法则即可，属于常考题型.25．已知向量，，，且．（1）求，；（2）求与的夹角及与的夹角．【答案】（1），；（2），．【解析】【分析】（1）由、，结合平面向量数量积的运算即可得解；（2）记与的夹角为，与的夹角为，由平面向量数量积的定义可得、，即可得解.【详解】（1）因为向量，，，且，所以，所以，又，所以；（2）记与的夹角为，与的夹角为，则，所以．，所以．【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算与应用，考查了运算求解能力，属于基础题.26．平面内给定三个向量，，.（1）求满足的实数，；（2）若，求实数的值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）依题意求出的坐标，再根据向量相等得到方程组，解得即可；（2）首先求出与的坐标，再根据向量共线的坐标表示计算可得；【详解】解：（1）因为，，，且，，，，.，解得，.（2），，，.，，，.，解得.27．如图，已知中，为的中点，，交于点，设，．（1）用分别表示向量，；（2）若，求实数t的值．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）根据向量线性运算，结合线段关系，即可用分别表示向量，；（2）用分别表示向量，，由平面向量共线基本定理，即可求得t的值.【详解】（1）由题意，为的中点，，可得，，．∵，∴，∴（2）∵，∴∵，，共线，由平面向量共线基本定理可知满足，解得．【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，平面向量共线基本定理的应用，属于基础题.28．已知，向量，.（1）若向量与平行，求k的值；（2）若向量与的夹角为钝角，求k的取值范围【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）利用向量平行的坐标表示列式计算即得结果；（2）利用，且不共线，列式计算即得结果.【详解】解：（1）依题意，，，又，得，即解得或；（2）与的夹角为钝角，则，即，即，解得或.由（1）知，当时，与平行，舍去，所以.【点睛】思路点睛：两向量夹角为锐角（或钝角）的等价条件：（1）两向量夹角为锐角，等价于，且不共线；（2）两向量夹角为钝角，等价于，且不共线.29．已知．(1)若，求的值；(2)若，求向量在向量方向上的投影．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先得到，根据可得,即可求出m；（2）根据求出m=2,再根据求在向量方向上的投影.【详解】；；；；；；；在向量方向上的投影为．【点睛】本题主要考查了向量坐标的加法和数量积的运算，向量垂直的充要条件及向量投影的计算公式，属于中档题.30．平面内给定三个向量.（1）求；（2）求满足的实数m和n；（3）若，求实数k.【答案】（1）6；（2）；（3）.【解析】（1）利用向量加法的坐标运算得到，再求模长即可；（2）先写的坐标，再根据使对应横纵坐标相等列方程组，解方程组即得结果；（3）利用向量垂直则数量积为零，再利用数量积的坐标运算列关系求出参数即可.【详解】解：（1）由，得，；（2），，，，故，解得；（3），，，，，，即，解得.【点睛】结论点睛：若，则等价于；等价于.试卷第1页，共3页试卷第1页，共3页。
(完整版)平面向量专项训练(含答案)
平面向量专题训练知识点回顾1．向量的三种线性运算及运算的三种形式。
向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都称为向量的线性运算，前两者的结果是向量，两个向量数量积的结果是数量。
每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。
主要内容列表如下：运 算图形语言符号语言坐标语言加法与减法→--OA +→--OB =→--OC→--OB -→--OA =→--AB记→--OA =(x 1,y 1)，→--OB =(x 1,y 2) 则→--OA +→--OB =(x 1+x 2,y 1+y 2)AB OB --→=u u u r -→--OA =（x 2-x 1,y 2-y 1）→--OA +→--AB =→--OB实数与向量 的乘积→--AB =λ→aλ∈R记→a =(x,y) 则λ→a =(λx,λy)两个向量 的数量积→a ·→b =|→a ||→b | cos<→a ,→b >记→a =(x 1,y 1), →b =(x 2,y 2) 则→a ·→b =x 1x 2+y 1y 2（3）两个向量平行 ：设a =（x 1,y 1），b =(x 2,y 2)，则a ∥b ⇔a b λ=r r⇔x 1y 2-x 2y 1=0（4）两个向量垂直：设→a =(x 1,y 1), →b =(x 2,y 2)，则→a ⊥→b⇔a 0b •=r r ⇔x 1x 2+y 1y 2=0 课堂精练一、选择题1. 已知平面向量a =,1x （） ，b =2,x x （－）， 则向量+a b ( )A 平行于x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于y 轴D.平行于第二、四象限的角平分线2. 已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ．若向量c 满足()//+c a b ，()⊥+c a b ，则c =（ ） A ．77(,)93 B ．77(,)39-- C ．77(,)39 D ．77(,)93--ECBA 3.已知向量(1,0),(0,1),(),a b c ka b k R d a b ===+∈=-，如果//c d 那么 ( ) A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向 4已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b （ ） Ａ．(21)--， Ｂ．(21)-，Ｃ．(10)-，Ｄ．(12)，5.设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=u u u r u u u r u u u r，则（ ）A.0PA PB +=u u u r u u u r rB.0PC PA +=u u u r u u u r rC.0PB PC +=u u u r u u u r rD.0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r6.已知向量a = (2,1)，a ·b = 10，︱a + b ︱=b ︱=（ ） 7.设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则()()a c bc -•-的最小值为( )A.2-2C.1-D.18已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a（ ）A ．1BC ．2D ．49平面向量a 与b 的夹角为060，(2,0)a =，1b= 则2ab +=( )B.10.若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则c=( )A.3a+bB. 3a-bC.-a+3bD. a+3b11.如图1， D ，E ，F 分别是∆ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则 ( )A ．0AD BE CF ++=u u u r u u u r u u u r rB ．0BD CF DF -+=u u u r u u u r u u u r rC ．0AD CE CF +-=u u u r u u u r u u u r rD ．0BD BE FC --=u u u r u u u r u u u r r12.已知O 是ABC △所在平面内一点,D 为BC 边中点,且2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r，那么（ ）Ａ．AO OD =u u u r u u u rＢ．2AO OD =u u u r u u u rＣ．3AO OD =u u u r u u u rＤ．2AO OD =u u u r u u u r13.设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a =+==|,|||||，则>=<b a ,( )A ．150° B.120° C.60° D.30°14.已知()()3,2,1,0a b =-=-，向量a b λ+与2a b -垂直，则实数λ的值为( )A.17-B.17C.16-D.1615.已知1,6,()2==-=g a b a b a ，则向量a 与向量b 的夹角是（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π16.已知向量(1,1),(2,),x ==a b 若a +b 与-4b 2a 平行，则实数x 的值是 （ ） A ．-2B ．0C ．1D ．217.在ABC △中，AB =u u u r c ，AC =u u u r b ．若点D 满足2BD DC =u u u r u u u r ，则AD =u u u r （ ）A ．2133+b cB ．5233-c bC ．2133-b c D ．1233+b c 18.在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4)AB =u u u r ，(1,3)AC =u u u r ,则BD =u u u r （ ）A ． （－2，－4）B ．（－3，－5）C ．（3，5）D ．（2，4）19.设)2,1(-=,)4,3(-=,)2,3(=则=⋅+)2( （ ）A.(15,12)-B.0C.3-D.11- 二、填空题1.若向量a r ，b r 满足12a b ==r r ，且a r 与b r 的夹角为3π，则a b +=r r ．2.设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ3.已知向量a 与b 的夹角为120o，且4==a b ，那么(2)+gb a b 的值为4.已知平面向量(2,4)a =r ，(1,2)b =-r ．若()c a a b b =-⋅r r r r r ，则||c =r____________．5.a r ，b r 的夹角为120︒，1a =r，3b =r 则5a b -=r r ．6.已知向量2411()()，，，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是7.若向量a 、b 满足b a b a 与,1==的夹角为120°，则b a b a ··+＝8.已知向量(3,1)a =r ，(1,3)b =r ， (,2)c k =r ，若()a c b -⊥r r r则k = ．9.已知向量(3,1)a =r ，(1,3)b =r ，(,7)c k =r ，若()a c -r r∥b r ，则k = ．10.在平面直角坐标系xoy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC,AD ∥BC,已知点A(－2，0)，B （6，8），C(8,6),则D 点的坐标为__________.平面向量专题训练答案：一选择题1 C2 D3 D 4Ｄ 5 B 6 C 7 D 8 Ｃ 9 B 10 B11 A 12 Ａ 13 B 14 A 15 C 16 D 17 A 18 B 19 C 二 填空题2 23 0 _4 285 76 -37 -18 09 5 10_（0，－2）。
人教A版高中数学必修第二册强化练习题-第六章-平面向量及其应用复习提升(含答案)
人教A版高中数学必修第二册本章复习提升易混易错练易错点1 忽视向量的方向致错1.(多选题)(2024江苏连云港月考)已知平面向量a=(1,1),b=(-3,4),则下列说法正确的是( )A.cos<a,b>=210(C.若a与b的夹角为π,则|a-b|=33D.若a与b方向相反,则b在a上的投影向量的坐标是-12易错点4 解三角形时忽略隐含条件致错5.在钝角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c=btan C,则sin A-3cos C的最小值为 ( )A.-158B.-2C.-178 D.-106.(2024云南昆明月考)已知a,b,c 分别为△ABC 三个内角A,B,C 的对边,a=23,且A=π3,则△ABC 周长的取值范围为 .7.(2024北京朝阳陈经纶中学期中)在锐角△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知a=7,b=3,7sin B+sin A=23.(A.C.3.与A.2a+4b B.5a+5b C.4a+2b D.310a+35b4.(2024广东深圳致理中学月考)如图,在直角梯形ABCD 中,∠DAB=π2,∠ABC=π4,AB ∥DC,|AB |=3,|DC |=2.(1)求AC ·BD ;(2)若k AB -AD 与AC 共线,求实数k 的值;(3)若P 为BC 边上的动点(不包括端点),求(PA +PB )·PC 的最小值.三、数形结合思想在平面向量中的应用5.(2024福建福州格致中学期中)在Rt △ABC 中,∠BAC=90°,AB=2,AC=4,D 为BC 的中点,点P 在AD 上,则PB ·PC 的取值范围为( )A.[-5,0] B.[-3,0] C.[0,3] D.[0,5]6.(2024河南周口鹿邑第二高级中学月考)已知平面向量a,b,c 满足|a|=|a-b|=2,|a-c|=1,则b·c 的最大值为 .7.(2024四川成都第七中学月考)已知平面向量a,b 满足|a|=12|b|=a·b=1,2|c|2=b·c,则|c-a|2+|c-b|2的最小值是 .四、转化与化归思想在解三角形中的应用8.(2024江苏如皋中学月考)在锐角△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,满足cos Cc=cos B -cos Cc -b,则a c 的取值范围为 . 9.(2023湖南四大名校统考)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知△ABC 的面积为S,且+2+b 2)sin A.(1)求C 的值;(2)若a=3,求△ABC 周长的取值范围.答案与分层梯度式解析本章复习提升易混易错练1.AD2.ACD 4.C 5.C1.AD 由题意知|a|=12+12=2,|b|=(-3)2+42=5,a·b=1×(-3)+1×4=1.对于A,cos<a,b>=a ·b|a |·|b |=12×5=210,故A 正确;对于B,b 在a 上的投影向量为a ·b |a |·a|a |=a ·b|a |2·a=12a,故B 错误;则解得为非零向量,则由向量加法的三角形法则可知b则S △ABC =2S △ACE =2×43S △AOC =83S △AOC ,即S △AOC S △ABC =38,所以△AOC 和△ABC 的面积之比为3∶8,故D 正确.故选ACD.选项速解 对于D,由OA +3OB +4OC =0及奔驰定理得S △BOC ∶S △AOC ∶S △AOB =1∶3∶4,所以S △AOC ∶S △ABC =3∶8.3.答案 13;-53,∞解析 因为|a|=|b|=1,(a+2b)·(a-b)=-23,所以a 2+a·b-2b 2=-23,即1+a·b-2=-23,则a·b=13,则cos<a,b>=a ·b|a ||b |=13,即a 与b 夹角的余弦值为13.若ka+b 与a+3b 的夹角为锐角,则(ka+b)·(a+3b)>0且当ka+b 与a+3b 共线时,有ka+b=λ(a+3b)(λ∈R),即ka+b=λa+3λb(λ∈R),易知a 与b 不共线,所以k =λ,1=3λ,解得k=13,所以当ka+b 与a+3b 不共线时,k≠13,由(ka+b)·(a+3b)>0,得ka 2+(3k+1)a·b+3b 2>0,即k+(3k+1)×13+3>0,解得k>-53,所以k>-53且k≠13,即实数k 的取值范围为-53,∞.易错警示 若向量a 与b 的夹角为锐角,则a·b>0,但a·b>0时,a 与b 的夹角为锐角或零角.同理,若向量a 与b 的夹角为钝角,则a·b<0,但a·b<0时,a 与b 的夹角为钝角或平角.已知两向量夹角为锐角(或钝角)求参数时,要排除向量共线的情况.4.C 对于A,由a ∥b,得sin α=3cos α易错点,因此tan α=3,A 中结论正确; 对于B,由a ⊥b,得cos α+3sin α=0易错点,因此tan α=-33,B 中结论正确;对于C,因为a 与b 的夹角为π3,|a|=12+(3)2=2,|b|=co s 2α+si n 2α=1,所以a·b=2×1×12=1,因此|a-b|=a 2+b 2-2a ·b =3,C 中结论错误;对于D,因为a 与b 方向相反,所以a 与b 的夹角为π,所以a·b=2×1×(-1)=-2,则b 在a 上的投影向量为a ·b |a |·a |a |=-12a=-12中结论正确.故选C.易错警示 已知非零向量a=(x 1,y 1),b=(x 2,y 2),若a ∥b,则x 1y 2-x 2y 1=0,若a ⊥b,则x 1x 2+y 1y 2=0.两个坐标表示形式相似,容易混淆,可分别用口诀记忆:纵横交错积相等,横横纵纵积相反.5.C 因为c=btan C,所以由正弦定理得sin C=sin B·sin Ccos C ,易知sin C≠0,所以sin B=cos C,又因为△ABC为钝角三角形,所以B=π2+C,即B为钝角,所以sin A-3cos C=sin(B+C)-3cos C+C+C-3cos C=cos 2C-3cos C6.∴∴b+c=4(sin B+sin C)=4sin B+sinsin B+sin B=432cos B 3cos B=4sin∵0<B<3,∴6<B+6<6,∴12<sin B∴23<43sin B≤43,∴△ABC周长的取值范围为(43,63].易错警示 在三角形中隐含着一些角的范围,三角形内角和为π,若已知一个角的大小,则另外两个角的范围不能是(0,π),如A=π3,则B∈0,特别是在求值域问题时会用到.7.解析 (1)由题意,结合正弦定理得7sin A =3sin B,∴7sin B=3sin A,根据7sin B+sin A=23,得sin A=32,∵△ABC 为锐角三角形,∴A ∈0,∴A=π3.(2)由题意,结合余弦定理得a 2=c 2+9-6c·cosπ3=7,解得c=1或c=2.当c=1时,cos B=a 2+c 2-b 22ac=-714<0,故B 为钝角易错点,这与△ABC 为锐角三角形矛盾,故不满足条件. 当c=2时,满足题意,此时△ABC 的面积为12bc·sin A=12×3×2×32=332.易错警示 在解三角形时,若三角形有两解,则要根据题中条件进行检验,否则可能会产生增根,如本题中求出c 有2个值后进行检验,舍去c=1的情形.思想方法练1.D3.B 5.A1.D 由余弦定理的推论得a-c×a 2+c 2-b 22ac =b-c×b 2+c 2-a 22bc ,化简得a 2+b 2-c 2a =a 2+b 2-c 2b,即(a 2+b 2-c 2两个因式的乘积等于0,故分情况讨论.当a 2+b 2-c 2=0时,a 2+b 2=c 2,则△ABC 为直角三角形;当a 2+b 2-c 2≠0时,a=b,则△ABC 为等腰三角形.综上,△ABC 为等腰或直角三角形,故D 正确.故选D.2.答案 3+1或3-1解析 ∵asin A =csin C ,c=6,A=45°,a=2,∴sin C=c sin A a =6sin45°2=32,∴C=60°或C=120°.角C 有两个解,需分类讨论.当C=60°时,B=75°,则b=c sin Bsin C =6sin75°sin60°=3+1;当C=120°时,B=15°,则b=c sin Bsin C =6sin15°sin120°=3-1.思想方法 在应用正、余弦定理解三角形时,会根据题中信息进行分类讨论,特别是在已知三角形两边及一边的对角解三角形时,需要注意解的个数,若有两个解,则需分类讨论.3.B 由AM =3MB 得AM =34AB ,由AN =NC 得AN =12AC ,由C,P,M 三点共线,可得AP =λAC +(1-λ)AM (λ∈R),即AP =λAC +3(1−λ)4AB ,由N,P,B 三点共线,可得AP =μAN +(1-μ)AB (μ∈R),即AP =μ2AC +(1-μ)AB ,AC =(2,1),BD =(-3,1),AC =(2,1),通过坐标运算,将(PA +PB )·PC 表示成关于λ的二次函数,利用函数的性质求得最值.对于y=4λ2-λ,λ∈(0,1),其图象的对称轴为直线λ=18,故其最小值为-18=-116,故(PA +PB )·PC 的最小值为-116.思想方法 一般运用方程思想解决平面向量中的线性运算问题,解题的关键在于设置变量,然后利用已知条件或公式、定理构造方程(组)求解. 一般运用函数思想解决平面向量中的最值问题,解题的关键在于设置变量,然后将所求用变量表示出来,构造关于变量的函数,函数一般为二次函数、反比例函数等.在利用函数性质求解最值时,要注意变量的取值范围.5.A 根据直角三角形的特点,建立平面直角坐标系,利用数量积的坐标运算求最值,可以化繁为简.以A为坐标原点,AC,AB的方向分别为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系,所以A(0,0),B(0,2),C(4,0),因为D为BC的中点,所以D(2,1),则AD=(2,1),设AP=λAD(0≤λ≤1),所以AP=λ(2,1)=(2λ,λ),则P(2λ,λ),可得PB=(0,2)-(2λ,λ)=(-2λ,2-λ),PC=(4,0)-(2λ,λ)=(4-2λ,-λ),所以PB·PC=-10λ+5λ2=5(λ-1)2-5,因为0≤λ≤1,所以PB·PC=5(λ-1)2-5∈[-5,0].故选A.6.答案 12解析 根据向量的几何表示和向量的减法作出图形,再由几何图形特征求解,可以化难为易.如图,设OA=a,OB=b,OC=c,则BA=a-b,CA=a-c,由|a|=|a-b|=2,|a-c|=1,得点B在以A为圆心,2为半径的圆上,点C在以A为圆心,1为半径的圆上,b·c=|OB||OC|cos<OB,OC>,由图可知,当A,B,C三点共线(B,C的位置如图中的B',C')时,|OB|取最大值4,|OC|取最大值3,cos<OB,OC>取最大值1,所以b·c的最大值为12.7.答案 7-32解析 根据向量的几何表示画出a,b,c,由题意结合图形特征求解.如图,令OA =a,OB =b,OC =c,D,E 分别为OB,AB 的中点,F 为OD 的中点,·OC OB =2为直径的圆,+CE -2BE·CEcos 8.答案 (2,3)解析 因为cos C c=cos B -cos Cc -b ,所以(c-b)cos C=c(cos B-cos C),所以2ccos C=bcos C+ccos B,由正弦定理得2sin Ccos C=sin Bcos C+sin Ccos B=sin(B+C),通过正弦定理将边转化为角.又B+C=π-A,所以sin A=sin 2C,因为在锐角△ABC 中,0<A<π2,0<2C<π,所以A=2C 或A=π-2C.当A=2C 时,B=π-A-C=π-3C,所以0<π−3C <π2,0<2C <π2,解得π6<C<π4,符合题意;当A=π-2C 时,B=π-A-C=π-(π-2C)-C=C,此时b=c,不合题意.所以π6<C<π4,又a c =sin A sin C =sin2C sin C =2cos C,将长度比值的范围问题,通过正弦定理和三角恒等变换转化为关于C 的三角函数的值域问题.而22<cos C<32,所以a c =2cos C ∈(2,3),则a c 的取值范围为(2,3).9.解析 (1)因为S=12bcsin A,所以由正弦定理及已知得2×12bcsin A+2+b 2)sin A,通过正弦定理将角转化为边.易知sin A≠0,所以a 2+b 2-c 2=ab,故cos C=a 2+b 2-c 22ab =12,通过余弦定理的推论将边的关系转化为角的余弦值.又0<C<π,所以C=π3.(2)将周长的范围问题,通过正弦定理和三角恒等变换转化为关于A 的三角函数的值域问题.因为a=3,C=π3,所以由正弦定理得c=32sin A ,b=3sin B sin A ==3cos A 2sin A +32,故△ABC 的周长为a+b+c=3+3cos A2sin A +32+32sin A=3(1+cos A )2sin A +332=6cos 2A 24sin A 2cos A 2+332=32tan A 2+332,易知A ∈0,则A 2∈0,故0<tan A 2<3,所以32tan A 2+332>23,即△ABC 的周长的取值范围是(23,+∞).思想方法 转化与化归思想在解三角形中应用得非常广泛,如解三角形时,常用正弦定理或余弦定理进行边角互化;求范围或最值问题时,将所涉及的元素转化为某个角的三角函数值;实际应用中也常建立数学模型,将实际问题转化为数学问题来解决.。
第02讲 平面向量的线性运算(3个知识点+4种题型+强化训练)解析版
第02讲 平面向量的线性运算（3个知识点+4种题型+强化训练）知识点一、向量加法1．向量加法的定义定义：求两个向量和的运算 叫做向量的加法． 对于零向量与任意向量a 规定0＋a ＝a ＋0＝a . 2．向量求和的法则三角形法则已知非零向量a b 在平面内任取一点A 作AB →＝a BC →＝b 则向量AC →叫做a 与b的和 记作a ＋b 即a ＋b ＝A B →＋BC →＝A C →.平行四边形法则已知两个不共线向量a b 作AB →＝a AD →＝b 以AB → AD →为邻边作▱ABCD 则对角线上的向量AC →＝a ＋b .思考：两个向量相加就是两个向量的模相加吗？[提示] 不是 向量的相加满足三角形法则 而模相加是数量的加法． 3．向量加法的运算律 (1)交换律：a ＋b ＝b ＋a .(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )． 知识点二、向量减法1．相反向量(1)定义：与向量a 长度相等 方向相反的向量 叫做a 的相反向量． (2)性质：①－(－a )＝a .②对于相反向量有：a ＋(－a )＝0. ③若a b 互为相反向量 则a ＝－b a ＋b ＝0. 2．向量的减法(1)定义：a －b ＝a ＋(－b ) 即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量． (2)作法：在平面内任取一点O 作OA →＝a OB →＝b 则向量BA →＝a －b 如图所示．思考：在什么条件下|a－b|＝|a|＋|b|?[提示]当a b至少有一者为0或a b非零且反向时成立．知识点三、向量的数乘运算(1)定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量这种运算叫做向量的数乘记作：λa它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ＞0时λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时λa的方向与a的方向相反．(2)运算律：设λμ为任意实数则有：①λ(μ a)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μ a；③λ(a＋b)＝λa＋λb；特别地有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)；λ(a－b)＝λa－λb.(3)线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a b以及任意实数λμ1μ2恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b.(4) 共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ使b＝λa.思考：定理中把“a≠0”去掉可以吗？[提示]定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0则实数λ可以是任意实数；若a＝0b≠0则不存在实数λ使得b＝λa.知识复习题型一、向量的加法一、单选题1．在平面四边形ABCD中下列表达式化简结果与AB相等的是（）A．AC CD+B．AD DC CB++C．CA CB+--D．CB DA DC【答案】B【分析】根据平面的线性运算求得正确答案.【详解】AC C AD+=不符合题意.D++=+=符合题意.AD DC CB AC CB ABCA CB BA-=不符合题意.=+-+≠不符合题意.CB DA DC CB CA AB故选：B2．（2024下·全国·高一专题练习）下列等式不正确的是()①()()++=++；a b c a c b②0+=；AB BA③AC DC AB BD=++.A．②③B．②C．①D．③【答案】B【分析】根据向量加法的运算律判断即可.【详解】对于① ()()++=++正确；a b c a c b对于② 0+=错误；AB BA对于③ DC AB BD AB BD DC AC++=++=正确.故选：B3．（2024下·全国·高一专题练习）如图所示的方格纸中有定点O P Q E F G H则OP OQ+=（）A．OE B．OF C．OG D．OH【答案】B【分析】根据平行四边形法则即可求.【详解】以OP OQ 为邻边作平行四边形 可知OF 为所作平行四边形的对角线故由平行四边形法则可知OF 对应的向量OF 即所求向量． 故选：B4．（2024下·全国·高一专题练习）已知四边形ABCD 为菱形 则下列等式中成立的是（ ） A ．AB BC CA += B ．AB AC BC += C ．AC BA AD += D ．AC AD DC +=【答案】C【分析】根据菱形的性质 结合平面向量加法的运算性质进行判断即可. 【详解】对于A AB BC AC += 故A 错误；对于B 因为AB BC AC += 所以2AB AC AB BC +=+ 故B 错误； 对于C AC BA BA AC BC AD +=+== 故C 正确；对于D 因为AD DC AC += 所以2AC AD AD DC +=+ 故D 错误. 故选：C5．（2024上·河北石家庄·高一石家庄市第二十四中学校考期末）向量()AB OM BO MB +++= （ ） A ．BC B ．AB C ．AC D ．AM【答案】B【分析】利用向量加法的三角形法则及向量加法的运算律即可求解. 【详解】由()AB OM BO MB AB BO OM MB AB +++=+++= 故B 正确. 故选：B. 二、填空题6．（2024下·全国·高一专题练习）已知向量a 表示“向东航行3km” b 表示“向南航行3 km” 则a b +表示 .【答案】向东南航行32km. 【分析】根据向量加法法则分析即可.【详解】根据题意由于向量a 表示“向东航行3km” 向量b 表示“向南航行3km” 那么可知a b +表示向东南航行223332+=km. 故答案为：向东南航行32km 7．（2023·全国·高一随堂练习）化简：（1）AB BC CD ++= ； （2）AB BC CD DE EF ++++= ； （3）AB CB AC --= ； （4）12231n n A A A A A A -++⋅⋅⋅+= ． 【答案】 AD AF 0 1n A A 【分析】根据向量加减法的几何意义进行运算即可. 【详解】（1）AB BC CD AC CD AD ++=+=；（2）AB BC CD DE EF AC CD DE EF ++++=+++AD DE EF AE EF AF =++=+=； （3）0AB CB AC AB BC AC AC AC --=+-=-=； （4）122311311111n n n n n n n n A A A A A A A A A A A A A A A A ----++⋅⋅⋅+=+⋅⋅⋅+==+=.故答案为：AD ；AF ；0；1n A A . 三、解答题8．（2023·全国·高一随堂练习）如果0AB BC CA ++= 那么A B C 三点是否一定是一个三角形的三个顶点？ 【答案】不一定【分析】考虑A B C 三点是否共线即可回答.【详解】当A B C 三点共线也有0AB BC CA ++= 所以A B C 三点不一定是一个三角形的三个顶点.9．（2024下·全国·高一专题练习）如图 已知a 、b 、c 求作向量a b c ++．【答案】作图见解析【分析】在平面内任取一点O 作OA a = AB b = BC c = 利用平面向量加法的三角形法则可作出向量a b c ++.【详解】作法：如图所示 在平面内任取一点O 作OA a = AB b = BC c = 则OC OA AB BC a b c =++=++．题型二、向量的减法 一、单选题1．（2022上·江西·高三校联考阶段练习）对于非零向量a b “0a b +=”是“a b ∥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据相反向量一定是共线向量 共线向量不一定是相反向量可求解. 【详解】由0a b +=得0a b += 所以a b =- 则a b ∥； 由a b ∥得a 与b 方向相同或相反 模长不一定相等 所以0a b +=不一定成立所以“0a b +=”是“a b ∥”的充分不必要条件. 故选:A.2．（2023下·河北张家口·高一河北省尚义县第一中学校考阶段练习）向量AB CB DA -+=（ ） A ．BD B ．CDC ．DCD ．0【答案】C【分析】根据向量的概念 以及向量加减法的运算律 即可得出答案. 【详解】由AB CB DA AB BC DA AC AD DC -+=++=-=. 故选：C.3．（2024下·全国·高一专题练习）已知,a b 为非零向量 则下列说法错误的是（ ） A ．若||||||a b a b +=+ 则a 与b 方向相同B ．若||||||a b a b +=- 则a 与b 方向相反C ．若||||||a b a b +=- 则a 与b 有相等的模D ．若||||||a b a b -=- 则a 与b 方向相同 【答案】C【分析】运用向量三角不等式的取等条件求解即可.【详解】由向量三角不等式可知 只有当非零向量,a b 同向时 有||||||a b a b +=+||||||a b a b -=- 故A D 正确；只有当非零向量,a b 反向时 有||||||||b b a a +=- ||||||a b a b +=- 故B 正确 C 错误．故选：C ． 二、多选题4．（2023下·湖南怀化·高一校考期中）下列各式中结果一定为零向量的是（ ） A ．BO OM MB ++ B ．AB BC +C ．C BO OB O CO +++D ．AB AC BD CD -+-【答案】ACD【分析】利用向量的加法运算 结合零向量的意义逐项计算判断作答. 【详解】对于A 0O M BO M B MO OM ++=+= A 是； 对于B AB BC AC += AC 不一定是零向量 B 不是；对于C ()()000BO O OB OC CO B O C BO C O +++=+++=+= C 是； 对于D ()0AB AC BD CD AB AD AD BD AC CD -+-=+-+=-= D 是. 故选：ACD 5．若a 、b 为相反向量 且1a = 1b = 则a b += a b -= . 【答案】 0 2【分析】利用相反向量的定义结合平面向量的加、减法可求得结果. 【详解】因为a 、b 为相反向量 且1a = 1b = 则0a b += 2a b a -= 因此 0a b += 22a b a -==. 故答案为：0；2.6．（2022下·上海闵行·高一上海市七宝中学校考阶段练习）若向量a 与b 共线 且1==a b 则+=a b ． 【答案】0或2【分析】由题可知a 与b 相等或互为相反向量 据此即可求a b + 【详解】向量a 与b 共线 且a b = ∴a 与b 相等或互为相反向量 当a 与b 相等时 22a a b ==+ 当a 与b 互为相反向量时 0=0a b =+． 故答案为：0或2．7．（2022·高一课时练习）如图所示 中心为O 的正八边形1278A A A A 中()11,2,,7i i i a A A i +== ()1,2,,8j j b OA j == 则25257a a b b b ++++= ．（结果用i a ib 表示）【答案】6b【分析】根据向量的加减运算即可求得答案. 【详解】由题图可知 25257a a b b b ++++2356257A A A A OA OA OA =++++()()2235567OA A A OA A A OA =++++367OA OA OA =++36366OA OA OA OA b =+-==,故答案为：6b8．已知长度相等的三个非零向量,,OA OB OC 满足OA OB OC ++=0,则由A ,B ,C 三点构成的∴ABC 的形状是 三角形. 【答案】等边【详解】如图,以OA ,OB 为邻边作菱形OAFB ,则OA OB OF +=,∴OF OC +=0,∴OF =-OC . ∴O ,F ,C 三点共线. ∴四边形OAFB 是菱形, ∴CE 垂直平分AB.∴CA=CB. 同理,AB=AC.∴△ABC 为等边三角形. 四、解答题9．（2022下·河南周口·高一校考阶段练习）化简下列各式： (1)()()BA BC ED EC ---； (2)()()AC BO OA DC DO OB ++--- 【答案】(1)DA(2)0【分析】（1）根据平面向量加法和减法的运算法则化简即可得出结果； （2）首先化简出两个向量的结果 再与第三个向量进行加减运算即可求得结果. 【详解】（1）利用平面向量的加减运算法则可得()()()BA BC ED EC BA CB ED CE CA CD CA DC DA ---=+-+=-=+=（2）由平面向量的加减运算法则可得()()()()AC BO OA DC DO OB AC BA DC OD BO ++---=+-++()0BC DC BD BC BC =-+=-=题型三 、向量的数乘运算 一、单选题1．（2023·湖南岳阳·校联考模拟预测）已知向量,a b 则()()2a b a b +--=（ ） A ．a b + B ．a b - C ．3a b + D ．3ab【答案】D【分析】直接由向量的线性运算即可求解.【详解】由题意()()2223a b a b a b a b a b +--=+-+=+. 故选：D.2．（2024上·河南焦作·高三统考期末）已知ABC 所在平面内一点D 满足102DA DB DC ++=则ABC 的面积是ABD △的面积的（ ） A ．5倍 B ．4倍C ．3倍D ．2倍【答案】A【分析】利用平面向量的线性运算计算即可．【详解】设AB 的中点为M 因为102DA DB DC ++=所以2()CD DA DB =+ 所以4CD DM = 所以点D 是线段CM 的五等分点所以5ABC ABDCM S SDM==,所以ABC 的面积是ABD △的面积的5倍． 故选：A.3．（2023下·河南洛阳·高一河南省偃师高级中学校考阶段练习）在ABC 中 点M 是AB 的中点 N 点分AC 的比为:1:2,AN NC BN =与CM 相交于E 设,AB a AC b == 则向量AE =（ ）A．1132a b+B．1223a b+C．2155a b+D．3455a b+【答案】C【分析】由三点共线性质以及平面向量基本定理解方程组即可得解.【详解】由题意,,B E N三点共线所以存在Rλ∈使得()113AE AB AN AB ACλλλλ-=+-=+同理,,C E M三点共线所以存在Rμ∈使得()112AE AC AM AC ABμμμμ-=+-=+由平面向量基本定理可得1213μλλμ-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩解得21,55λμ==所以2155AE a b=+.故选：C.4．（2023·湖南永州·统考二模）在ABC中若1,2AB AC CA CB+=+=则ABC的面积的最大值为（）A．16B．15C．14D．13【答案】D【分析】设,E F分别为,BC AB的中点结合三角形相似推出43ABC ACEFS S=四边形由题意可得1||,||12AE CF==确定四边形ACEF面积的最大值即可得答案.【详解】设,E F分别为,BC AB的中点连接EF则EF AC∥则BEF△∴BCA故14BEF ABCS S=,则34ABC ACEF S S =四边形 故43ABCACEFSS =四边形 又1,2AB AC CA CB +=+= 则21,22AB AC AE CA CB CF +==+== 故1||,||12AE CF ==当AE CF ⊥时 四边形ACEF 面积最大 最大值为1111224⨯⨯=故ABC 的面积的最大值为411343⨯=故选：D 5．（2024下·全国·高一专题练习）在ABC 中 D 为AC 上一点且满足 12AD DC =，若P 为BD 的中点 且满足 AP AB AC λμ=+，则λμ+的值是 . 【答案】23【分析】根据平面向量的线性运算计算即可. 【详解】如图因为12AD DC = 所以13AD AC =则11111112222326AP AB AD AB AC AB AC =+=+⨯=+ 所以12λ=16μ= 23λμ+=.故答案为：23.6．（2024下·全国·高一专题练习）已知矩形ABCD 中 对角线交于点O 若125,3BC e DC e == 则OC = . 【答案】12 5322e e +【分析】利用向量的线性运算可得OC 的表达形式.【详解】因为ABCD 是矩形 所以1111122222OC AC AB BC DC BC ==+=+ 所以125322OC e e =+.故答案为：125322e e +7．（2022·全国·模拟预测）在平行四边形ABCD 中 点G 在AC 上 且满足3AC AG = 若DG mAB nAD =+ 则m n -= .【答案】1【分析】利用向量线性运算求得1233DG AB AD =- 与题干对照即可求解. 【详解】()11123333DG AG AD AC AD AB AD AD AB AD =-=-=+-=- 则13m = 23n =-所以1m n -=. 故答案为：1 三、解答题8．（2024下·全国·高一专题练习）若向量x y 满足23x y a += 32x y b -= a 、b 为已知向量 求向量x y ． 【答案】231313=+x a b 321313=-y a b 【分析】根据23x y a += 32x y b -= 列方程组求解. 【详解】解：由方程组2332x y ax y b +=⎧⎪⎨-=⎪⎩解得231313=+x a b 321313=-y a b .题型四、平面向量共线定理及应用一、单选题1．（2024·陕西安康·陕西省安康中学校联考模拟预测）已知平面向量a 与b 不共线 向量(),32m xa b n a x b =+=+- 若//m n 则实数x 的值为（ ）A ．1B ．13-C ．1或13-D ．1-或13【答案】C【分析】根据平面共线定理 由向量平行 求得x 满足满足的方程 求解即可. 【详解】由//m n 且,m n 均不为零向量 则()32,m n a x b λλλλ==+-∈R可得()132x x λλ=⎧⎨=-⎩ 则()3210x x --= 整理得23210x x 解得1x =或13x ． 故选：C ．2．（2024上·辽宁·高一校联考期末）已知a 与b 为非零向量,2,OA a b OB a b OC a b λμ=+=-=+ 若,,A B C 三点共线 则2λμ+=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【分析】根据三点共线可得向量共线 由此结合向量的相等列式求解 即得答案. 【详解】由题意知 ,,A B C 三点共线 故2,(2)(1)AB a b BC a b λμ=-=-++, 且,AB BC 共线故不妨设,(0)A k B k BC =≠ 则1(2)2(1)k k λμ=-⎧⎨-=+⎩ 所以122μλ+-=- 解得23λμ+=故选：D3．（2024下·全国·高一专题练习）已知21,e e 为两个不共线的向量 若向量12122,23a e e b e e =+=-+ 则下列向量中与向量2a b +共线的是（ ） A ．1252e e -+ B ．12410e e +C ．12104e e +D ．122e e +【答案】B【分析】根据向量线性运算表示12225a b e e +=+ 然后利用共线向量基本定理求解即可. 【详解】因为向量122a e e =+ 1223b e e =-+ 所以12225a b e e +=+．又()1212410225e e e e +=+ 所以12410e e +与2a b +共线． 故选：B ． 二、填空题4．（2024·全国·高三专题练习）在ABC 中 O 是边BC 的中点 AP t AO = 过点P 的直线l 交直线,AB AC 分别于,M N 两点 且,AM mAB AN nAC == 则11m n+= . 【答案】2t【分析】由三点共线的性质列式求值. 【详解】由题意：().222t t tAP t AO AB AC AB AC ==+=+ 由,,M P N 三点共线知 ()()11AP AM AN mAB nAC λλλλ=+-=+-. ()212t m t n λλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩⇒ 212t m t n λλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩消去λ 得112m n t+=. 故答案为：2t5．（2022上·河南·高二校联考期末）已知ABC 中 点D 在线段AB （不含端点）上 且满足()R CD xCA yCB x y =+∈, 则12x y+的最小值为 .【答案】322+/223+【分析】根据向量共线可得1x y += 即可利用基本不等式的乘“1”法求解. 【详解】∴(),R CD xCA yCB x y =+∈ 由于D 在线段AB （不含端点）上 故,,A D B 三点共线 所以1x y +=且00，x y >>则()121223322y xx y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭ 当且仅当2y x xy=时 即21,22x y =-=-时取等号 故12x y+有最小值322+. 故答案为：322+.6．（2024下·全国·高一专题练习）如图所示 在ABC 中 14AN NC =P 是BN 上的一点 若611AP AB mAC =+ 则实数m 的值为 ．【答案】111【分析】借助共线定理的推论即可得. 【详解】因为14AN NC = 所以5AC AN = 所以6651111AP AB mAC AB mAN =+=+ 因为P B N 三点共线 所以65111m += 解得111m =.故答案为：111. 7．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）在ABC 中 M N 分别是边AB AC 上的点 且23AN AC =13AM AB = 点O 是线段MN 上异于端点的一点 且满足340(0)OA OB OC λλ++=≠ 则λ= ．【答案】8【分析】用OA 、AN 表示出OC 、OB 从而得到6977AO AN AM λλ=+++ 再根据M O N 三点共线 得到69177λλ+=++ 解得即可. 【详解】解：因为23AN AC =13AM AB =所以()23AN OC OA =- ()13AM OB OA =- 即32OC AN OA =+ 3OB AM OA =+因为340OA OB OC λ++= 所以()333402OA AM OA AN OA λ⎛⎫++++= ⎪⎝⎭即()769AO AN AM λ+=+ 即6977AO AN AM λλ=+++ 因为M O N 三点共线 故69177λλ+=++ 解得8λ=． 故答案为：8 8．（2022下·陕西西安·高一统考期中）设,a b 是不共线的两个向量. (1)若2OA a b =- 3OB a b =+ 3OC a b =- 求证：A B C 三点共线； (2)若8a kb +与2ka b +共线 求实数k 的值. 【答案】(1)证明见解析； (2)±4.【分析】（1）要证明三点共线 即证明三点组成的两个向量共线即可. （2）由共线性质求出参数即可.【详解】（1）由2OA a b =- 3OB a b =+ 3OC a b =- 得3(2)2AB OB OA a b a b a b =-=+--=+ 3(3)242BC OC OB a b a b a b AB =-=--+=--=-因此//AB BC 且有公共点B 所以A B C 三点共线.（2）由于8a kb +与2ka b +共线 则存在实数λ 使得8(2)a kb ka b λ+=+ 即(8)(2)0k a k b λλ-+-= 而,a b 是不共线因此8020k k λλ-=⎧⎨-=⎩解得2,4k λ==或2,4k λ=-=- 所以实数k 的值是4±.9．（2024上·辽宁·高一校联考期末）如图 在ABC 中 D 是BC 上一点 G 是AD 上一点 且2AG BD DG CD== 过点G 作直线分别交,AB AC 于点,E F .(1)用向量AB 与AC 表示AD ； (2)若54AB AE = 求ACAF 和EG EF的值.【答案】(1)1233AD AB AC =+ (2)138AC AF = 1318EG EF =.【分析】（1）利用向量的线性运算求解；（2）设AC AF μ= 利用向量的线性运算和平面向量基本定理求解. 【详解】（1）2221233333AD AB BD AB BC AB BA AC AB AC =+=+=++=+.（2）因为54AB AE = 所以54AB AE =．设AC AF μ= 22122454333399189AG AD AB AC AB AC AE AF μ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭ 因为,,G E F 三点共线 所以541189μ+= 解得138μ= 所以138AC AF =.因为48513EF EA AF AB AC =+=-+424264134859945918513EG EA AG AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=+=-++=-+=-+ ⎪⎝⎭所以1318EG EF =即1318EG EF =. 10．（2024下·全国·高一专题练习）如图 在平行四边形ABCD 中 ,,AB a AD b M ==为AB 中点 N 为BD 上靠近点B 的三等分点 求证：,,M N C 三点共线．【答案】证明见解析【分析】根据三点共线要求证明//CM CN即可.【详解】∴,AB a AD b==∴BD AD AB b a=-=-．∴N是BD上靠近点B的三等分点∴11()33BN BD b a==-．∴在平行四边形中BC AD b==∴112()333CN BN BC b a b a b =-=--=--．①∴M为AB的中点∴111,()222MB a CM MC MB BC a b a b⎛⎫=∴=-=-+=-+=--⎪⎝⎭．②由①②可得32CM CN=．由向量共线定理知//CM CN．又∴CM与CN有公共点C ∴,,M N C三点共线．。
平面向量强化训练经典题型含详细答案
.一．选择题（共30小题）1．（2011•重庆）已知向量=（1，k），=（2，2），且+与共线，那么•的值为（）A．1 B．2 C．3 D．42．（2011•辽宁）若为单位向量，且=0，，则的最大值为（）A．﹣1 B．1 C．D．23．（2011•湖北）若向量=（1，2），=（1，﹣1），则2+与的夹角等于（）A．﹣B．C．D．4．（2011•湖北）已知向量∵=（x+z，3），=（2，y﹣z），且⊥，若x，y满足不等式|x|+|y|≤1，则z的取值范围为（）A．[﹣2，2] B．[﹣2，3] C．[﹣3，2] D．[﹣3，3]5．（2011•广东）已知向量a=（1，2），b=（1，0），c=（3，4）．若λ为实数，（（a+λb）∥c），则λ=（）A．B．C．1 D．26．（2011•番禺区）如图，已知=，=，=3，用，表示，则等于（）A．+B．+C．+D．+7．（2011•番禺区）已知A（3，﹣6）、B（﹣5，2）、C（6，﹣9），则A分的比λ等于（）A．B．﹣C．D．﹣8．（2010•重庆）已知向量a，b满足a•b=0，|a|=1，|b|=2，，则|2a﹣b|=（）A．0 B．C．4 D．89．（2010•天津）如图，在△ABC中，AD⊥AB，BCsinB=，，则=（）10．（2010•广东）若向量=（1，1），=（2，5），=（3，x）满足条件（8﹣）•=30，则x=（）A．6 B．5 C．4 D．311．（2010•福建）若向量=（x，3）（x∈R），则“x=4”是“|a|=5”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件12．（2010•湖南）若非零向量a，b满足|a|=|b|，（2a+b）•b=0，则a与b的夹角为（）A．30°B．60 C．120°D．150°13．（2010•湖南）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，则等于（）A．﹣16 B．﹣8 C．8 D．1614．（2010•安徽）（安徽卷理3文3）设向量，，则下列结论中正确的是（）A．B．C．与垂直D．15．（2009•浙江）已知向量=（1，2），=（2，﹣3）．若向量满足（+）∥，⊥（+），则=（）A．（，）B．（﹣，﹣）C．（，）D．（﹣，﹣）16．（2009•四川）已知双曲线的左、右焦点分别是F1、F2，其一条渐近线方程为y=x，点在双曲线上、则•=（）A．﹣12 B．﹣2 C．0 D．417．（2009•陕西）在△ABC中，M是BC的中点，AM=1，点P在AM上且满足学，则等于（）A．B．C．D．18．（2009•山东）设p是△ABC所在平面内的一点，，则（）A．B．C．D．19．（2008•山东）已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m=（，﹣1），n=（cosA，sinA）．若m⊥n，且αcosB+bcosA=csinC，则角A，B的大小分别为（）A．，B．，C．，D．，20．（2008•辽宁）已知四边形ABCD的三个顶点A（0，2），B（﹣1，﹣2），C（3，1），且，则顶点D的坐标为（）A．B．C．（3，2）D．（1，3）21．（2008•湖南）在△ABC中，AB=3，AC=2，BC=，则=（）22．（2008•海南）已知平面向量=（1，﹣3），=（4，﹣2），与垂直，则λ是（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．223．（2008•广东）已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且∥，则=（）A．（﹣5，﹣10）B．（﹣4，﹣8）C．（﹣3，﹣6）D．（﹣2，﹣4）24．（2007•辽宁）若向量a与b不共线，a•b≠0，且，则向量a与c的夹角为（）A．0 B．C．D．25．（2007•湖北）连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量与向量的夹角为θ，则的概率是（）A．B．C．D．26．（2007•北京）已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且，那么（）A．B．C．D．27．（2006•陕西）已知非零向量与满足（+）•=0，且•=﹣，则△ABC为（）A．等腰非等边三角形B．等边三角形C．三边均不相等的三角形D．直角三角形28．（2006•辽宁）△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c设向量，，若，则角C的大小为（）A．B．C．D．29．（2006•湖南）已知，且关于x的方程有实根，则与的夹角的取值范围是（）A．B．C．D．30．（2006•广东）如图所示，D是△ABC的边AB的中点，则向量=（）A．B．C．D．答案与评分标准一．选择题（共30小题）1．（2011•重庆）已知向量=（1，k），=（2，2），且+与共线，那么•的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：平面向量数量积的运算。
北师大版数学八年级下册平面向量运算强化练习题
北师大版数学八年级下册平面向量运算强化练习题一、基础运算1. 已知向量→AB = (-3, 2) ，→AC = (5, -1)，求向量→BC。
2. 已知向量→OA = (4, -2)，→OB = (1, 3)，求向量→(OA+OB)的模长。
3. 设向量→a = (5, -3)，向量→b = (-2, 1)，求向量→a + 3→b的模长。
二、向量共线与共面4. 已知向量→AB = (3, -4)，→CD = k(9, -12)，其中k为常数，求k的值使得→AB与→CD共线。
5. 已知向量→AB = (2, -1, 3)，→CD = (4, -2, 6)，求证向量→AB与→CD共面。
三、数量积与向量夹角6. 已知向量→OA = (2, 1)，→OB = (3, -4)，求向量→if (i=→OA，f=→OB)的数量积。
7. 设向量→a = (1, 2) ，向量→b = (3, -4)，求证向量→a和→b的数量积为0时，它们互相垂直。
四、平面向量运算综合练8. 已知平行四边形四个顶点依次为A(1, -2)，B(3, 1)，C(5, 3)，D(7, 0)，求向量→AD的坐标。
9. 设向量→a = (1, 2)，向量→b = (2, 1)，求证向量→a + 3→b在x轴上投影的坐标为等于3。
10. 已知向量→OA = (3, -2)，向量→OB = (5, 4)，向量→AC = (-4, 1)，求证向量→OC与→AB平行。
五、复巩固11. 已知向量→OA = (2, -1)，→OB = (3, 4)，求向量→AB的模长。
12. 设向量→a = (1, 3)，向量→b = (2, -1)，求向量→a与→b的数量积。
13. 已知向量→OA = (2, -1)，→OB = (-3, 4)，求向量→(OA-OB)的坐标。
以上是北师大版数学八年级下册的平面向量运算强化练题。
希望能帮助到你，加油！。
【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题4 平面向量(50题竞赛真题强化训练)解析版
【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题4 平面向量 （50题竞赛真题强化训练）一、单选题1．（2018·全国·高三竞赛）已知ABC ∆的外接圆圆心为O ，BC CA AB >>.则（ ）.A ．OA OB ⋅>OA OC ⋅>OB OC ⋅. B ．OA OB ⋅>OB OC ⋅>OA OC ⋅. C ．OB OC ⋅>OA OC ⋅>OA OB ⋅D ．OA OC ⋅>OB OC ⋅>OA OB ⋅ 【答案】A 【解析】 【详解】设ABC ∆的外接圆半径为R .则2cos2O R A OB C ⋅=,2cos2O R B OC A ⋅=,2cos2O R A OC B ⋅=.又由BC CA AB >>，可知sin sin sin 0A B C >>>.故22212sin 12sin 12sin A B C -<-<-，即cos2cos2cos2A B C <<.所以OA OB ⋅>OA OC ⋅>OB OC ⋅.2．（2019·全国·高三竞赛）设P 为ABC ∆所在平面内一动点.则使得PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅取得最小值的点P 是ABC ∆的（ ）.A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】C 【解析】 【详解】 注意到()()()()PA PB PB PC PC PA PA PA AB PA AB PA AC PA AC PA⋅+⋅+⋅=⋅+++⋅+++⋅222()32()3()33AB AC AB AC PA AB AC PA AB AC PA AB AC ++=++⋅+⋅=+-+⋅①当3AB ACPA +=，即P 为ABC ∆的重心时，式①取得最小值2()3AB AC AB AC +-+⋅.故答案为C3．（2018·全国·高三竞赛）设H 是ABC ∆所在平面上的一点，用a 、b 、c 、h 分别表示向量OA 、OB 、OC 、OH ．若⋅+⋅=⋅+⋅=⋅+⋅a b c h b c a h c a b h ，则H 是ABC ∆的． A ．内心 B ．外心C ．重心D ．垂心【答案】D 【解析】 【详解】由⋅+⋅=⋅+⋅a b c h b c a h ，得0⋅+⋅-⋅-⋅=a b c h b c a h ，即()()0-⋅-=a c b h ． 所以0CA HB ⋅=,则HB CA ⊥．同理，HA BC ⊥．4．（2019·全国·高三竞赛）如图，在ABC ∆的边上做匀速运动的三个点P 、S 、R ，当0=t 时，分别从A 、B 、C 出发，当1t s =时，恰好同时到达B 、C 、A ．那么，这个运动过程中的定点是PQR ∆的（ ）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心【答案】D 【解析】 【详解】 依题意知AP BS CR AB BC CA λ===，设G 为PSR ∆的重心，则1(),3AG AP AS AR =++ 11[1)]()33AB AB BC AC AB AC λλλ+++-=+（. 所以，G 为ABC ∆的重心. 故答案为D5．（2018·全国·高三竞赛）如图，在凸四边形ABCD 中，4AB =，3BC =，52CD =，且90ADC ABC ∠=∠=︒.则BC AD→⋅→等于（ ）.A ．254B ．274C ．8D ．294【答案】B 【解析】 【详解】如图由勾股定理得55222AC CD =⨯=，且90ADC ∠=︒，则30CAD ∠=︒. 又因90ADC ABC ∠=∠=︒，所以，A 、B 、C 、D 四点共圆. 联结BD ，则903060ABD ACD ∠=∠=︒-︒=︒. 设BAC α∠=（α为锐角），则3sin 5α=，()4cos 0605αα=︒<<︒. 作矩形CBAF ，则AF BC =，()903060FAD αα∠=︒-+︒=︒-.故()cos 3sin cos 60sin BC AD AF AD AF ADAB FAD ABD ADB α⎡⎤→⋅→=→⋅→=→⋅→∠=⋅∠︒-⎢⎥∠⎣⎦()41273sin60cos sin 9024ααα⎡⎤=⨯⋅︒=⎢⎥︒-⎣⎦.选B.编者注：此题用复数法解答比较简洁.6．（2018·全国·高三竞赛）已知P 为①ABC 内一点，且满足2PA+3PB+4PC=0，那么，::PBC PCA PAB S S S ∆∆∆等于.A ．1:2:3B ．2:3:4C ．3:4:2D ．4:3:2【答案】B 【解析】【详解】如图，延长PA 至D ，使PD=2PA ；延长PB 至E ，使PE=3PB ；延长PC 至F ，使PF=4PC.则PD+PE+PF=0. 从而，P 为①DEF 的重心.于是，有 11113433436PBC PEF DEF DEF S S S S ∆∆∆∆==⨯=⨯⨯， 11114234224PCA PFD DEF DEF S S S S ∆∆∆∆==⨯=⨯⨯， 11112332318PAB PDE DEF DEF S S S S ∆∆∆∆==⨯=⨯⨯. 故111::::2:3:4362418PBC PCA PAB S S S ∆∆∆==.7．（2020·浙江温州·高一竞赛）已知单位向量1e ，2e 的夹角为60°，向量12a xe ye =+，且12x ≤≤，12y ≤≤，设向量a 与1e 的夹角为α，则cos α的最大值为（ ）． ABCD【答案】C 【解析】 【详解】由题意有1cos x y α+=则22222221344cos 11x xy yx xy y x x y y α++==-++⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 又因为1,22x y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2425cos ,728α⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以max cos α=故选：C.8．（2018·全国·高三竞赛）平面上的两个向量OA 、OB 满足OA a =，OB b =，且224a b +=，0⋅=OA OB .若向量(),OC OA OB λμλμ=+∈R，且222211122a b λμ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则OC 的最大值是（ ）A ．12B ．1C ．2D ．4【答案】C 【解析】 【详解】因为OA a =，OB b =，且224a b +=，OA OB ⊥，所以，O 、A 、B 三点在以AB 的中点M 为圆心、1为半径的圆上. 又()12OM OA OB =+，OC OA OB λμ=+，则 11=22MC OC OM OA OBλμ⎛⎫⎛⎫=--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故21112222MC OA λλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.22221111222OA OB OB a b μλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅+-=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.从而，点C 也在以M 为圆心，1为半径的圆上. 因此，O 、A 、B 、C 四点共圆，其圆心为M .当O 、M 、C 三点共线，即OC 为M 的一条直径时，max 2OC =.9．（2018·陕西·高三竞赛）在边长为8的正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，N 是AD 边上一点，且3DN NA =，若对于常数m ，在正方形ABCD 的标上恰有6个不同的点P ，使PM PN m ⋅=，则实数m 的取值范围是A ．()8,8-B ．()1,24-C ．()1,8-D ．()0,8【答案】C 【解析】 【详解】如图建立直角坐标系，()()()()0,0,8,4,0,2,,A M N P x y .由题意得：()()228,4,2868PM PN x y x y x x y y m ⋅=--⋅--=-+-+=()()224317x y m ⇔-+-=+.即以()4,3仅有6个不同的交点，易由图形知()451,0m <⇒∈-.二、填空题10．（2018·吉林·高三竞赛）如图，在直角三角形ABC 中，2ACB π∠=，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上一点，且2BP PA =，那么CP CA CP CB ⋅+⋅=__________.【答案】4 【解析】 【详解】解法一：因为()11213333CP CA AP CA AB CA AC CB CA CB =+=+=++=+，所以CP CA CP CB ⋅+⋅=22218443333CA CB +=+=. 解法二：以C 为原点，CA 、CB 分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则A （2，0），B （0，2），P （43，23），有()2,0CA =，()0,2CB =，42,33CP ⎛⎫= ⎪⎝⎭.所以CP CA CP CB ⋅+⋅= 84433+=. 故答案为411．（2019·全国·高三竞赛）设ABC ∆的面积为1，边AB 、AC 的中点分别为E 、F ，P 为线段EF 上的动点，则2f PB PC BC =⋅+的最小值为__________．【解析】 【详解】作PD BC ⊥于点D.设BC a =.如下左图，当点D 位于线段BC 或CB 的延长线上时，()()f PD DB PD DC =+⋅++2BC 22PD DB DC a =+⋅+ 22124a a h a ah ≥+>=>如下右图，当点D 位于边BC 上时， ()()f PD DB PD DC =+⋅++ 2BC 22PD DB DC a =+⋅+ 2214a h DB DC a ≥-+2222231444a a a a h a h a +≥-+=≥=当D 为线段BC 的中点以及a =时，上式等号成立.综上，min f =12．（2019·全国·高三竞赛）设P 是ABC 所在平面上一点,满足2PA PB PC AB ++=.若ABC S ∆1=,则PAB S ∆=______. 【答案】13【解析】 【详解】设O 为原点.则()()()OA OP OB OP OC OP PA PB PC -+-+-=++ ()22AB OB OA ==-,即()3OA OP OB OC -=-. 故3PA CB =.得PA BC ,且3BC PA =. 所以,PABS=11=33ABC S ∆. 故答案为1313．（2019·全国·高三竞赛）在①ABC 中，已知2,3,4AB AC BC ===，设0为①ABC 的内心，且AO AB BC λμ=+.则λ+μ=________． 【答案】79【解析】 【详解】设AO 与BC 交于点D. 由角平分线定理知23BD AB DC AC ==. 于是，3255AD AB AC =+. 又54AO AB AC AB AC OD BD CD BD CD ===+=，则 512939AO AD AB AC ==+ ()1239AB AB BC =++ 5299AB BC =+. 因此，79λμ+=. 故答案为7914．（2021·全国·高三竞赛）已知向量(cos ,sin ),(2,7)a b αα==，则|2|a b +的最大值是___________． 【答案】5 【解析】 【详解】|2|2||||235a b a b +≤+≤+=，当tan α=故答案为：5.15．（2019·全国·高三竞赛）在正四面体ABCD 中，设14AE AB =，14CF CD =，记DE 和BF 所成的角为θ．则cos θ=______． 【答案】413- 【解析】 【详解】设正四面体棱长为4．则()()224cos43BF DE BC CF DA AE CF DA BC AE π⋅=+⋅+=⋅+⋅=⨯=-．而222cos3BF DE BC CF BC CF π==+-=4cos 13BF DE BF DEθ⋅==-⋅．16．（2019·全国·高三竞赛）如图，已知G 是ABO 的重心，若PQ 过点G ,且,,,OA a OB b OP ma OQ nb ====，则11m n+=_____.【答案】3 【解析】 【详解】由1()2OM a b =+，可知21()33OG OM a b ==+.由P 、G 、Q 三点共线有PG GQ λ=.而111()()333PG OG OP a b ma m a b =-=+-=-+,111()(),333GQ OQ OG nb a b a n b =-=-+=-+-故11113333m n λ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.因为、a b 不共线，所以，11331133m n λλ⎧-=-⎪⎪⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩. 解得3mn m n =+.故113m n+=. 故答案为317．（2021·全国·高三竞赛）ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，O 是ABC 的外心，点P 满足OP OA OB OC =++，若3B π=，且4BP BC ⋅=，则ABC 的面积为_________． 【答案】【解析】 【分析】 【详解】由OP OA OB OC=++，得OP OA OB OC -=+，即AP OB OC =+．注意到()OB OC BC +⊥，所以AP BC ⊥． 同理，BP AC ⊥，所以P 是ABC 的垂心， ()BP BC BA AP BC BA BC ⋅=+⋅=⋅，所以cos 4ac B =，8ac =，所以1sin 2ABC S ac B ==△故答案为：18．（2021·全国·高三竞赛）已知平面单位向量a b c x 、、、，且0a b c ++=，记||||||y x a x b x c =-+-+-，则y 的最大值为________．【答案】4 【解析】 【分析】 【详解】单位向量a b c 、、满足0a b c ++=，则有2,,,3a b b c c a π===，不妨设四个向量如图所示，分别为OA OB OC OX 、、、，X 在单位圆O 的AB 上．设||,||AX m BX n ==， 则有223m n mn ++=，故有22()()334m n m n mn ++=+≤+，即有2m n +≤，故||||||||224y x a x b x c m n x c =-+-+-=++-≤+=． 故答案为：4.19．（2021·全国·高三竞赛）已知点A 满足1||2OA =，B 、C 是单位圆O 上的任意两点，则AC BC ⋅的取值范围是__________． 【答案】1,38⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】 【详解】(221()()()2AC BC OC OA OC OB OC OA OB OC ⋅=-⋅-=++--)222211()28OA OB OCOA CB --=+-. 又150||||||222OA CB OA CB ≤+≤+≤+=，取等可以保证， 故所求范围为1,38⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．故答案为：1,38⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.20．（2020·浙江·高三竞赛）已知a ，b 为非零向量，且1a a b =+=，则2a b b ++的最大值为__________.【答案】 【解析】 【详解】解法一 设()1,0a =，()cos 1,sin b θθ=-，则(cos 2cos sin222a b b θθθ⎛⎫==+≤ ⎝++⎪⎭解法二 设m an a b =⎧⎨=+⎩，则2a b n m a n m ⎧+=+⎨=-⎩，且1n m ==，所以()()222222422a b b n m n m n m n mn m++=++-≤++-=+=故答案为：21．（2021·全国·高三竞赛）已知两个非零向量,m n 满足2,22m m n =+=，则2m n n ++的最大值是_____．【解析】 【分析】 【详解】设()()2,0,22cos ,2sin m m n x x =+=，则()cos 1,sin n x x =-．则：|2|||(cos m n n x ++==≤=.当且仅当102cos 3(22cos )3x x +=-，即1cos 3x =.. 22．（2021·全国·高三竞赛）设P 是ABC 所在平面内一点，满足3PA PB PC AB ++=，若PAC △的面积为1，则PAB △的面积为__________. 【答案】12 【解析】 【分析】 【详解】因为3PA PB PC AB ++=，所以33PA AB AC AB ++=，即1322()2PA AB AC AB AC =-=-， 记AC 的中点为M ，于是23PA MB =，因此1122PAB PAM PAC S S S ===.故答案为：12.23．（2021·全国·高三竞赛）已知、、A B C 为ABC 三内角，向量cos,3sin ,||222A B A B αα-+⎛⎫== ⎪⎝⎭.如果当C 最大时，存在动点M ，使得|||||MA AB MB 、、∣成等差数列，则||||MC AB 最大值为________.【解析】 【分析】 【详解】2213||2cos 3sin 2cos()cos()22222A B A B A B A B α-+=⇔+=+--+=1cos()3cos()2sin sin cos cos tan tan 2A B A B A B A B A B ⇔-=+⇔=⇔=，tan tan tan tan()2(tan tan )tan tan 1A BC A B A B A B +=-+==-+≤-=--等号成立仅当tan tan A B ==. 令||2AB c =，因||||4MA MB c +=，所以M 是椭圆2222143x y c c +=上的动点.故点C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，设(,)M x y ，则：22222224||432c MC x y c y y ⎛⎫=+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭221932c y =-+，||y ≤.当y =时，22max max ||,||MC MC =.即max||||MC AB =24．（2021·全国·高三竞赛）如图，在ABC 中，32,5,cos ,5CAB AB AC D ===∠是边BC 上一点，且2BD DC =．若点P 满足BP 与AD 共线，PA PC ⊥，则||||BP AD 的值为_________．【答案】34或316【解析】 【分析】 【详解】因为2BD DC =，所以2()AD AB AC AD -=-，即1233AD AB AC =+． 因为BP 与AD 共线，所以存在实数λ，使得BP AD λ=．因为1233AD AB AC =+，所以233BP AB AC λλ=+， 从而2213333PA PB BA AB AC AB AB AC λλλλ⎛⎫=+=---=-+- ⎪⎝⎭21133PC PA AC AB AC λλ⎛⎫⎛⎫=+=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以222422111133333PA PC AB AB AC AC λλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+++-⋅-- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．因为32,5,cos 5AB AC CAB ==∠=， 所以2234,25,2565AB AC AB AC ==⋅=⨯⨯=，所以24221411612533333PA PC λλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+⨯++-⨯--⨯ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2128829λλ=--． 因为PA PC ⊥，所以0PC PA ⋅=，即21288209λλ--=，解得34λ=或316λ=-．因此||3||4||BP AD λ==或316．故答案为：34或316.25．（2021·全国·高三竞赛）若平面向量a b a b +、、的模均在区间[]2,4内，则a b ⋅的取值范围是_________． 【答案】[]14,4- 【解析】 【分析】 【详解】222222()||||2441422a b a b a b +----⋅=≥=-．等号成立当且仅当||||4,||2a b a b ==+=时成立． 取边长为4、4、2的等腰OAB ，其中2AB =． 令,OA a BO b ==即可．又222()()4444a b a b a b +--⋅=≤=．取(2,0)a b ==，等号成立． 故答案为：[]14,4-.26．（2019·广西·高三竞赛）已知点P (－2，5)在圆22:220C x y x y F +--+=上，直线l ：3480x y ++=与圆C 相交于A 、B 两点，则AB BC →→⋅=____________ . 【答案】32- 【解析】 【详解】由已知求得圆C ：(x －1)2+(y －1)2=52到直线l 的距离为3， 从而4||5,||8,cos 5BC AB ABC ==∠=. 所以||||cos()32AB BC AB BC ABC π⋅=-∠=-. 故答案为：32-．27．（2019·甘肃·高三竞赛）△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，点O 为△ABC 的外心，已知2220b b c -+=，那么BC AO ⋅的取值范围是____________ .【答案】1,24⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【详解】延长AO 交①ABC 的外接圆于D ，得到BC AO AO AC AO AB ⋅=⋅-⋅1122AD AC AD AB =⋅-⋅ ()2212b c =-21124b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. 因为2220c b b =-+>，所以b ①(0，2)，故1,24BC AO ⎛⎫⋅∈- ⎪⎝⎭.故答案为：1,24⎛⎫- ⎪⎝⎭．28．（2019·四川·高三竞赛）设正六边形ABCDEF 的边长为1，则()()AB DC AD BE +⋅+=______ .【答案】－3 【解析】 【详解】如图所示，建立平面直角坐标系设C (1，0)，则11,22B A ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭，11,,,22D E ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭.于是1(1,0)2AB DC ⎛+=+ ⎝⎭32⎛= ⎝⎭，(1,(1,(0,AD BE +=+-=-，于是3()()(0,32AB DC AD BE ⎛+⋅+=⋅-=- ⎝⎭.故答案为：3-．29．（2019·重庆·高三竞赛）已知向量,,a b c 满足()||:||:||1::3a b c k k +=∈Z ，且b a -=2()c b -，若α为,a c 的夹角，则cos α=_______ .【答案】112- 【解析】 【详解】因为2()b a c b -=-，所以1233b ac =+，所以222144999b a c a c =++⋅.因为||||:||1::3a b c k ==，所以2144cos (2,6)93k α=++∈. 又因为k ①Z +，所以k =2，所以1cos 12α=-. 故答案为：112-． 30．（2018·山东·高三竞赛）在ABC 中，60BAC ∠=︒，BAC ∠的平分线AD 交BC 于D ，且有14AD AC t AB =+．若8AB =，则AD=______． 【答案】【解析】 【详解】过点D 作DE AB 交AC 于点E ，DF AC 交AB 于点F ，由题设14AD AC t AB AE AF =+=+，所以14AE AC =，13AE EC =，AF t AB =． 因此13AE BD BF AB EC CD FA AC ====，所以24AC =，334FA BF AB ==，因此34t =． 所以22131313444444AD AC AB AC AB AC AB ⎛⎫⎛⎫=+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22196108161616AC AB AC AB =++⋅=． 由此得AD =31．（2018·河北·高三竞赛）设点O 为三角形ABC 内一点，且满足关系式： 23=AOBBOC COAABCSS SS++_____.【答案】116【解析】 【详解】将OA 2OB 3OC 32CA AB BC ++=++化为3OA OB 2OC 0++=，()()OA OB 2OA OC 0+++=.设M 、N 分别是AB 、AC 的中点，则OM 2ON =-. 设①ABC 的面积为S ，由几何关系知12BOCS S =，13AOHS S =，16AOCSS =， 所以23116AOBBOC COAABCSS SS++=. 32．（2018·全国·高三竞赛）在等腰①ABC 中，已知AC BC ==D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上，且AD =DB=EF=1．若25·16DE DF ≤，则·EF BA 的取值范围是_______． 【答案】423⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 【解析】 【详解】以D 为原点、射线DB 和DC 分别为x 和y 轴正方向建立平面直角坐标系.则 A(-1,0)，B(1,0)，C(0,2).设点()()1122,,,E x y F x y ，其中，112222,22y x y x =-+=+. 设线段EF 的中点为()00,M x y .则()121201212024,22.2y y x x x y y x x y ⎧-=-+=-⎪⎨+-==-⎪⎩由EF=1，得()()2200421x y -+-=. ①故()()2200041201 3.x y y -=--≥⇒≤≤ ②又()()222221125·4416DE DF DE DF DE DF DM EF DM ⎡⎤=+-+=-=-≤⎢⎥⎣⎦222002929.1616DM x y ⇒≤⇒+≤ ③ 将式①代入式①，消去0x ，整理得220002984154321653y y y --≤⇒-≤≤. ④ 综合式①、①得041.3y ≤≤于是，12312x x ≤-≤. 故()()()2121124·,?1,02,23EF BA x x y y x x ⎡⎤=---=-∈⎢⎥⎣⎦. 33．（2018·全国·高三竞赛）在平面直角坐标系中，已知O 为原点，点()1,0A -，(B ，动点C在圆()2234x y -+=上运动，则OA OB OC ++的最大值为_________． 2 【解析】 【详解】令()[)()32cos ,2sin 0,2C θθθπ+∈，则(2OA OB OC++=2≤.当且仅当点)2与()2cos ,2sin θθ的连线过原点O 时，上式等号成立.这显然是可以取得的.34．（2019·全国·高三竞赛）如图，在ABC 中，已知O 为BC 的中点，点M 、N 分别在边AB 、AC 上，且6AM =，4MB =，4AN =，3NC =，90MON ∠=︒．则cos A =______．【答案】38【解析】 【详解】令AB a =，AC b =．则10a =，7b =． 因为O 为BC 的中点，所以，1122AO a b =+． 由题意知35AM a =，47AN b =．故31111522102OM AM AO a a b a b ⎛⎫=-=-+=- ⎪⎝⎭，41111722214ON AN AO b a b a b ⎛⎫=-=-+=-+ ⎪⎝⎭． 由90MON ∠=︒，知11110102214OM ON a b a b ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221910203528a ab b ⇒-+⋅-=191100107cos 490203528A ⇒-⨯+⨯⨯-⨯= 3cos 8A ⇒=．故答案为3835．（2018·全国·高三竞赛）已知D 为ABC 边AB 上的一点, P 为ABC 内一点,且满足3D 4AAB =,25AP AD BC =+.则APD ABCS S =△△ ______. 【答案】310【解析】 【详解】 注意到,1sin 23232154510sin 2APD ABCAD DP ADPS DP BC DP BC ADP B SAB BC B ∠=⇒⇒∠=∠⇒==⨯=36．（2018·全国·高三竞赛）已知O 是ABC 的外心.若AB AC =,30CAB ∠=︒,且12CO CA CB λλ=+,则12λλ=______.【答案】12 【解析】 【详解】不妨设2AB =.以A 为原点、AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系.则()())0,0,2,0,A B C.设外心为()O 1,y .由C OA O =，得())()222111y y +=+-.解得2y =则(()()12121121CO CA CB λλλλ==+=-+-. 解得13,λ= 22λ=故1212λλ=.37．（2018·全国·高三竞赛）在①ABC 中，已知∠A=120︒，记向量,cos cos BA BC BA ABC Cα=+.cos cos CA CB CA ACB Bβ=+则α与β的夹角等于________.【答案】60︒ 【解析】 【详解】注意到1221IG F F IG PF IG PF ⋅=⋅-⋅，即,CA BA αβ⊥⊥. 从而，α与β的夹角与①A 相等或互补. 又11.cos ?cos cos cos cos cos ?cos BA CB BC CB B C ABA CB A BBC CB B Cαβ⋅⋅⋅=+=--⋅⋅⋅显然，cos cos cos 0.B C A ⋅>->则0.αβ⋅>因此，α与β的夹角等于60.︒38．（2018·全国·高三竞赛）如图，设G H 、分别为ABC ∆的重心、垂心，F 为线段GH 的中点，ABC ∆外接圆的半径1R =．则222AF BF CF ++ =_______．【答案】3 【解析】 【详解】以ABC ∆的外心O 为原点建立平面直角坐标系. 于是， O H OA OB OC =++，()13OG OA OB OC =++. 则()()1223OF OG OH OA OB OC =+=++. 故222AF BF CF ++()()()()()()OA OF OA OF OB OF OB OF OC OF OC OF =-⋅-+-⋅-+-⋅-()22223OA OB OC OA OB OC OF OF OF =++-++⋅+⋅ 2223OA OB OC =++=39．（2019·全国·高三竞赛）如图，M ，N 分别是正六边形ABCDEF 的对角线AC 、CE 的内分点，且AM CNAC CEλ==，若B 、M 、N 三点共线，则λ=______.【解析】 【详解】延长EA 、CB 交于点P ，设正六边形边长为1，易知2PB =，A 为EP 的中点，EA AP ==，由AM AC λ=，可得(1)CM CA λ=-，又3CP CB =，CA 是PCE ∆边PE 上的中线，CN CE λ=，则有1()2CA CE CP =+，即113122λλ=+-，整理得CM ()31122λλλ--=+， 因为当B 、M 、N 三点共线时，存在实数t 使得(1)CM t CN tCB =-+， 故()311122λλλ--+=，解得λ=40．（2019·全国·高三竞赛）设实常数k 使得方程222250x y xy x y k +-+++=在平面直角坐标系xOy 中表示两条相交的直线,交点为P.若点A 、B 分别在这两条直线上,且||1PA PB ==,则PA PB ⋅=_____.【答案】45±【解析】 【详解】由题设知，关于x y 、的二次多项式222250x y xy x y k +-+++=可以分解为两个一次因式的乘积.因()()2222522x y xy x y x y +-=-+-+，所以，()()2222522x y xy x y k x y a x y b +-+++=-++-++，其中，a b 、为待定的常数. 将上式展开后比较对应项的系数得 ,21,21ab k a b b a =--=+= .解得1,1,1a b k ==-=-.再由210,210,x y x y -++=⎧⎨-+-=⎩得两直线斜率为121,22k k ==，交点()1,1P .设两直线的夹角为θ（θ为锐角）.则 212134tan ,cos 145k k k k θθ-===+.故PA PB ⋅cos PA PB θ=⋅或()4cos 180cos 5PA PB PA PB θθ⋅︒-=±⋅=±.故答案为45±41．（2018·全国·高三竞赛）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AB c =.沿向量AB 的方向，点121,,,n M M M -将线段AB 分成了n 等份.设0A M =，n B M =.则()11211limn n CA CM CM CM CM CB n -→+∞⋅+⋅++⋅=______.【答案】23c【解析】 【详解】设CB a =，CA b =.则222a b c +=.故i n i iCM CA CB n n-=+. 由0CA CB ⋅=，得111lim ni i n i CM CM n -→∞=⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭∑ ()()()22221111lim n n i i i n i n i a b n n n →∞=⎡⎤---+=+⎢⎥⎣⎦∑ ()()222111lim n n i i i b a n n →∞=-=-∑ ()222223211lim lim 33n n n i c n c i i c n n →∞→∞=-=-==∑. 42．（2019·全国·高三竞赛）设点O 在ABC 的外部，且230OA OB OC --=.则:ABCOBCSS=______.【答案】4 【解析】 【详解】如图，设D ，E 分别是边AB 、BC 的中点，联结CD .则2OA OB OD += ①2OB OC OE += ①3-⨯①②得2326OA OB OC OD OE →=--=-.则3OD OE =.因此，OD 与OE共线，且3OD OE =.于是，2DE OE =. 故221BCD OBCS S==，24ABC BCDOBCOBCS S SS ==. 43．（2018·全国·高三竞赛）已知向量a 、b 满足·2a b a b ===，且()()·0a c b c --=.则2b c -的最小值为______. 1 【解析】 【详解】 注意到，·1cos ,,=23a b a b a b ab π==⇒. 由此可设()(2,0,b a == . 设(),c m n = .由()()()()())223·0120012a c b c m m n n m n ⎛⎛⎫--=⇒--+-=⇒-+-= ⎪⎝⎭⎝⎭. 设3cos ,sin 2m n αα=+=. 又()24,b c m n-=--，则2b c -==1.因此，min 21b c -.44．（2018·江苏·高三竞赛）在ABC ∆中，5AB =，4AC =，且12AB AC ⋅=，设P 为平面ABC 上的一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是________. 【答案】658- 【解析】 【详解】由5AB =，4AC =，且12AB AC ⋅=得3cos 5A =.如图，以A 为坐标原点，AC 为x 轴建立直角坐标系，则()4,0C ，()3,4B ，设(),P x y ，则()()()22,72,422724PA PB PC x y x y x x y y ⋅+=--⋅--=-+-()2276522148x y ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭.即()PA PB PC ⋅+的最小值是658-. 故答案为658-45．（2018·贵州·高三竞赛）已知O 为△ABC 所在平面上一定点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫⎪=++ ⎪⎝⎭，其[]0λ∈+∞，，则P 点的轨迹为________．【答案】①BAC 的角平分线 【解析】 【详解】AB AC AB AC OP OA AB AC AB AC λλ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=++⇒=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 而AB AC AB AC ⎛⎫⎪+ ⎪⎝⎭，且[]0λ∈+∞，， 所以AB AC AB AC λ⎛⎫⎪+ ⎪⎝⎭表示①BAC 的角平分线上的一个向量． 因此，P 点的轨迹为①BAC 的角平分线． 故答案为①BAC 的角平分线46．（2021·全国·高三竞赛）已知平面向量a ､b ､c ，满足||2,||||5,01a b c λ===<<，若0b c ⋅=，那么2|()|(1)()5a b bc c b c λλ-+-++--的最小值为___________. 2##2-【解析】 【分析】设(,),(5,0),(0,5)a x y b c ===，则2|()|(1)()5a b b c c b c λλ-+-++--即为点(55,5)P λλ-到点(,)A x y （圆224x y +=上的动点）的距离与到点(0,3)D 的距离，利用对称可求其最小值. 【详解】解析：建立直角坐标系.设(,),(5,0),(0,5)a x y b c ===， 则2|()|(1)()5a b b c c b c λλ-+-++--问题转化为点(55,5)P λλ-到点(,)A x y 的距离与到点(0,3)D 的距离之和最小， 其中点(55,5)P λλ-在直线5(05)x y x +=<<上运动， 点(,)A x y 在圆224x y +=上运动，所以||||||||||||2PD PA PD PO r PD PO +≥+-=+-. 点O 关于直线5x y +=对称的点为(5,5)G ，所以|||||PD PO DG +≥=∣，所以||||2PD PA +≥2.2. 【点睛】思路点睛：向量的模的最值问题，可建立平面直角坐标系，将问题转化为动点到几何对象的距离和最值的问题.47．（2019·贵州·高三竞赛）在①ABC 中，0,0GA GB GC GA GB ++=⋅=.则(tan tan )tan tan tan A B CA B+⋅=____________ .【答案】12 【解析】 【详解】设△ABC 中角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .由0,0GA GB GC GA GB ++=⋅=，知G 为△ABC 的重心. 又GA ①GB ，所以22222222211221122GA GB c GA GB a GB GA b ⎧⎪+=⎪⎪⎪⎛⎫⎛⎫+=⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩.得到2225a b c +=.故：(tan tan )tan (sin cos cos sin )sin tan tan sin sin cos A B C A B A B C A B A B C++=⋅2sin sin sin cos C A B C =()22222abc ab a b c =+-2222212c a b c==+-. 故答案为：12．48．（2021·全国·高三竞赛）已知三个非零向量a 、b 、c ，满足||a b c a b b c c a t λ++=⋅+⋅+⋅=（其中λ为给定的正常数）．则实数t 的最小值为___________． 【答案】23λ 【解析】 【分析】应用()()222211||||cos ,||||||||22a b a b a b a b a b a b ⋅=⋅<>≤⋅≤+=+及求和的轮换关系得到2222cyccyc||23t a b c a a b t λ=++=+⋅≥∑∑，再分类讨论即可得解.【详解】()()222211||||cos ,||||||||22a b a b a b a b a b a b ⋅=⋅<>≤⋅≤+=+， 所以2cyccyca b a ⋅≤∑∑．故2222cyc cyc||23t a b c a a b t λ=++=+⋅≥∑∑． 假设0=t ，则0,()0a b c a b a b c ++=⋅++⋅=． 故2222()2a b c a b a b c a b a b +=-⋅=-+⋅-⋅=-⋅， 所以22||||||||||2||||a b a b a b a b ⋅≥⋅=+≥⋅， 这与a 、b 为非零向量矛盾．从而0t >．又223t t λ≥，所以23t λ≥，当,,a b c 两两同向且模均为λ时等号成立．故2min 3t λ=．故答案为：23λ 三、解答题49．（2020·浙江温州·高一竞赛）若平面上的点111222333()(),,,,,(),2)1(,A x y A x y A x y C -满足1235CA CA CA === （1）求12CA CA -的最大值；（2）设向量(,)m a b =,(,)n c d =,定义运算m n ac bd ⊗=-．若21230A A A A ⋅=,求122331OA OA OA OA OA OA ⊗+⊗+⊗的取值范围．(其中О为坐标原点)【答案】（1）（2）[]24,6-． 【解析】 【详解】（1）因为121225CA CA CA CA -≤+=等号当且仅当向量1CA 与2CA 反向共线时成立,所以12CA CA -的最大值为（2）由于1235CA CA CA ===所以点123,,A A A 在以C 为圆心 又因为21230A A A A ⋅=,所以13A A 为圆的直径,则点C 为A 1A 3的中点．所以122331OA OA OA OA OA OA ⊗+⊗+⊗121223233131x x y y x x y y x x y y =-+-+-① 因为点C 为13A A 的中点,所以132x x +=,134y y +=-,代入式①可得原式=2213132211112424(2)(4)x y x x y y x y x x y y ++-=++---- 222211112424x y x x y y =+-+++①因为125CA CA ==,所以()()()()22112222125125x y x y ⎧-++=⎪⎨-++=⎪⎩, 可得221111244x x y y -+=+≥-,再代入式①可化简为：22211242(2)x y x x ++-+,且21182(2)2x x -≤-+≤．设21xα=,22y α=-,则22246x y αα+=-++4[]16,∈-．故122331OA OA OA OA OA OA ⊗+⊗+⊗22211242(2)x y x x =++-+6[]24,∈-．50．（2021·全国·高三竞赛）已知点(2cos ,sin ),(2cos ,sin ),(2cos ,sin )A B C ααββγγ，其中,,[0,2)αβγπ∈，且坐标原点O 恰好为ABC 的重心，判断ABCS 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】三角形ABC 【解析】 【分析】 【详解】先证明一个引理：若()()1122,,,,(0,0)A x y B x y C ，则122112ABCS x y x y =-． 因为()()1122,,,CA x y CB x y ==， 所以21cos CA CB C CA CBx⋅==⨯所以sin C ==所以：1sin 2ABCSCACB C =⋅⋅ 12211122x y x y ==-回到原题，连结OA 、OB 、OC ，则： ABCOABOBCOACSSSS=++112cos sin 2sin cos 2cos sin 2sin cos 22αβαββγβγ=-+- 12cos sin 2sin cos 2αγαγ+- sin()sin()sin()αββγαγ=-+-+-．由三角形的重心为原点得sin sin sin 0,2cos 2cos 2cos 0.αβγαβγ++=⎧⎨++=⎩即sin sin sin ,cos cos cos .αβγαβγ+=-⎧⎨+=-⎩所以两式平方相加可得1cos()2αβ-=-，所以sin()αβ-=，同理sin()sin()βγαγ-=-=所以sin()sin()sin()3ABCSαββγαγ=-+-+-==故三角形ABC。
2023-2024学年安徽省六安市高中数学苏教版 必修二第9章-平面向量强化训练-11-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年安徽省六安市高中数学苏教版 必修二第9章-平面向量强化训练(11)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟 满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）82-8-21. 已知向量 ，， 且， 则实数的值为（）．A. B. C. D. 2. 已知向量 ， ，则的坐标为（ ）A. B. C. D. 3. 化简－＋＋的结果等于( )A. B. C.D.734. 平面向量的夹角为 ，，则 ( )A. B. C.D.5. 已知与共线，且向量与向量垂直，则（ ）A. B. C. D.6. 设向量 ， ，向量 与 的夹角为锐角，则 的范围为（ ）A. B. C. D.7. 若||=1，||=2，=+ ， 且 ， 则与的夹角为（ ）30°60°120°150°A. B. C. D. 31428. 已知向量，且 ，则实数 （ ）A. B. C. D. 81012139. 已知，若点P 是 所在平面内的一点，且 ，则 的最大值等于（ ）A. B. C. D. -22010. 已知向量 ， ， 若向量和方向相同，则实数的值是（ ）A. B. C. D.-11或-2-1或11. 已知向量 ， 不共线，且 ， ，若 与 方向相反，则实数k 的值为（ ）A. B. C. D. 12. 如图所示，向量 ， ， 在一条直线上，且 ，则（ ）A. B. C. D.13. 边长为2的等边 中，点 为 边上的一个动点，则 ．14. 设四边形为平行四边形， .若点 满足 ，则= .15. 在边长为3的等边三角形ABC 中，=2 ， 则•等于 16. 如图，已知菱形的边长为 ， ， ， 则 ．得分17. 在锐角中，角、、的对边分别为、、，若向量，，且．(1) 若，，求边；(2) 求的取值范围．18. 已知是同一平面内的三个向量，其中 .（Ⅰ）若，且，求的坐标；（Ⅱ）若，且与垂直，求与夹角的余弦值.19. 已知向量，与的夹角为．(1) 若的最小值为，求．(2) 若向量，且，与的夹角等于，求，的值．20. 已知中，过重心的直线交边于，交边于，若，，其中，为非零常数.(1) 求证：；(2) 求证：为定值.21.(1) 已知的三边长，，，求；(2) 在中，已知斜边，若长为的线段以点为中点，求的最大值？答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)18.19.(1)(2)20.(1)(2)21.(1)(2)。
2023-2024学年江西省高中数学人教B版 必修二平面向量初步强化训练-6-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年江西省高中数学人教B 版 必修二平面向量初步强化训练(6)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）====1. 如图所示,等腰梯形ABCD 中,对角线AC 与BD交于点P,点E,F 分别在两腰AD,BC 上,EF 过点P,且EF ∥AB,则下列等式成立的是( )A. B. C. D.- 2. 已知向量 ，若共线，则等于（ ）A.B. C. D.3. 等腰中， ， D 为线段上的动点，过D 作交于E ．过D 作交于F ，则（ ）A.B.C. D.=2 与 的夹角为4. 已知 ， 是单位向量，且 ，则（ ）A. B. C. D. 5. 若向量 ，， ，则 （ ）236. 在边长为的正三角形中，设，，若，则的值为（ ）A. B. C. D. 7. 设是边长为的正的边及其内部的点构成的集合，点是的中心，若集合 ， 若点， 则的最大值为（ ）A. B. C. D.108. 设x ，y ∈R ，向量 =（x ，1）， =（1，y ）， =（2，﹣4），且⊥，∥，则| + |=（ ）A.B.C.D. 9. 如图所示，二面角的棱上有、两点，直线、分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，已知，，，，则该二面角的大小为（）A. B. C. D.10.已知向量 ， 若 ， 则（ ）A. B. C. D.11. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．已知四棱锥是阳马，上平面， 且， 若，，， 则（）A. B. C. D.12.如图所示，矩形ABCD 中，点E 为AB 中点， 若， 则（）3A. B. C. D.13. 已知，（，），若，则的最小值为．14. 已知点，，向量，若，则实数 .15. 已知，则 .16. 如图，在平面四边形中，为的中点，且OA=3，OC=5．若，则的值是17. 空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x轴､y轴､z轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组（x，y，z）相对应，称向量的斜60°坐标为[x，y，z]，记作.(1) 若，，求的斜60°坐标；(2) 在平行六面体中，AB=AD=2，AA1=3，，如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”.①若，求向量的斜坐标；②若，且，求.18. 设为平面直角坐标系中的四点，且，，．(1) 若，求点的坐标及；(2) 设向量，，若与平行，求实数的值．(Ⅰ)求曲线Γ的方程；(Ⅱ)过点的直线l与曲线Γ交于不同的两点S，R，直线SB，RB分别交曲线Γ于点E，F.设，，求的取值范围．20. 如图，在平行四边形中，分别是上的点，且满足，记，，试以为平面向量的一组基底.利用向量的有关知识解决下列问题；(1) 用来表示向量；(2) 若，且，求；21. 已知．(1) 若，求x的值；(2) 若，求x的值．答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.11.12.13.15.16.(1)(2)18.(1)(2)19.20.(1)(2)21.(1)(2)。
2023-2024学年海南省五指山高中数学人教A版 必修二平面向量及应用强化训练-1-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年海南省五指山高中数学人教A版 必修二平面向量及应用强化训练(1)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）1. 向量 ， 且 ， 则（ ）A .B .C .D .2. 在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ， ，则（ ）A .B .C .D .233. 已知为双曲线 的左､右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为 ，若，则双曲线离心率的值为（ ）A .B .C .D .4. 已知向量 ， ， 若 ， 则（ ）A .B .C .D .35. 在中，是边上的点，且为的外心，则（ ）A .B .C .D .-41476. 已知向量 ，，且 ，则（ ）A .B .C .D .7. 下列各组向量平行的是（ ）A .B .C .D .4-48-88. 在中，已知， 点P时AB的垂直平分线l上任意一点，则（ ）A . B . C . D .[18，27]9. 已知正四棱锥的侧棱长为 ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36 ，且 则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）A .B .C .D .或10. 在中，已知 ， ， ， 则角的度数为（ ）A .B .C .D .11. 在直三棱柱 中，侧棱长为2，底面是边长为2的正三角形，则异面直线 与 所成角的余弦值为（）A .B .C .D .5612. 如图，在中， ，， ， 平面内的点、在直线两侧，与都是以为直角顶点的等腰直角三角形，、分别是、的重心.则（ ）A .B .C .D .阅卷人得分二、填空题（共4题，共20分）13. 在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，为边 上的高，给出以下结论：⑴；⑵；⑶；⑷．其中正确的序号是 ．14. 已知向量， 向量， 则与的夹角大小为 .15. 已知菱形的边长为4，是的中点，则 ．16. 已知向量 ， ， .写出m的一个值： ，使得 ， 此时 .17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ， 的外接圆半径为 .(1) 求角C的大小；(2) 求 面积的最大值.18. 设、是不共线的两个非零向量．(1) 若 ， ， ， 求证：A、B、C三点共线；(2) 若与共线，求实数k的值．19. 如图，在四边形中，E为上一点，若.(1) 求证：；(2) 若 ， 求四边形的面积.20. 设非零向量 ， 不共线.(1) 若 ， ，且 ，求实数 的值；(2) 若 ， ， .求证： ， ， 三点共线.21. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B=60°.（Ⅰ）若 ， ，求 的面积；（Ⅱ）若 ，求角C.答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)18.(1)(2)19.(1)(2)20.(1)(2)21.。
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平面向量专题强化训练
一．选择题（本大题共7小题，每小题5分，共35分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知点(0,1)A ，(3,2)B ，向量(7,4)BC =--，则向量
AC =（ ）
A .(10,7)
B .(10,5)
C .(4,3)--
D .(4,1)--
1.C 【解析】(30,21)(3,1)AB =--=，所以AC =(3,1)(7,4)(4,3)AB BC +=+--=--. 故选C .
2. 已知向量a (3,1)=，(,1)b x =-，若a b -与b 共线，则x 的值等于
A .3-
B .1
C .2
D . 1或2
2.A 【解析】a b -(3,2)x =-，由a b -与b 共线得(3)(1)20x x -⨯--=，解得3x =-.故选A .
3. 已知向量a 、b 的夹角为
3
π，且||1a =，1||2b =，则|2|a b -=（ ）
A .1
B
C .2
D . 32
3．A 【解析】依题意111||||cos 13224a b a b π==⨯⨯=⋅⋅，所以2|2|(2)a b a b -=-
2244a b a b =+-⋅1==.故选A . 3. 已知向量(1,2)m =-，(1,)n λ=，若m n ⊥，则2m n +与m 的夹角为 （ ）
A .
23π B .34π C .3π D .4
π 4.D 【解析】依题意有0m n =⋅，即120λ-+=，解得12λ=，所以2m n +(1,2)(2,1)=-+
(1,3)=，所以2m n +与m 的夹角的余弦值cos
2θ==，所以θ=4π. 4. 边长为4的正三角形ABC 中，点D 在边AB 上，12AD DB =
，M 是BC 的中点，则AM CD =⋅ （ ）
A ．16
B ．
C .-
D ．8-
5．D 【解析】()()AM CD AB BM CB BD =++⋅12()()23
AB BC BC AB =+--
22214323AB BC AB BC =---⋅222144444cos120323=-⨯-⨯-⨯3232833
=--+ 8=-.
5. 若平面向量a ，b ，c ，d 满足a b xc +=，a b yd -=
(x ，)y ∈R ，且|||||a b =，c 与d 不垂直，则xy = （ ）
A ．1
B ．2
C ．3-
D ．0
6.D 【解析】()()()()()a b a b xc yd xy c d +-==⋅⋅⋅，因为|||||a b =，所以220a b -=，
因为c 与d 不垂直，所以由()0xy c d =⋅得，所以0xy =.故选D .
7. 过点(2,1)P 的直线l 与函数23()24
x f x x +=-的图象交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则()OA OB OP +=⋅（ ）
A
B
． C ．5 D ．10
7.D 【解析】7
232()1242
x f x x x +==+--，所以函数()f x 的图象关于点(2,1)P 对称，所以过点(2,1)P 的直线l 与函数()f x 的图象交于A ，B 两点，A ，B 两点关于点(2,1)P 对称，所以2OA OB OP +=，则()OA OB OP +=⋅2
2OP ，因
为22OP ==，所以()OA OB OP +=⋅2510⨯=.故选D .
二.填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）
8. 如图所示，在梯形ABCD 中，
2A π
∠=，AB =2BC =，
32
AD =点E 为AB 的中点，则CE BD =⋅____________． 8.2-【解析】以B 为原点，BC 为x 轴，AB 为y 轴建系，
()2,0C ，
(0,2E ，(
)0,0B ，3(2D ，所以(2,)2
CE =-，3(2
BD =，所以312CE BD =-+=-⋅．
9． 在Rt ABC ∆中，2A π
=，||4AB =
，||5AC =，
(AM AB AC λμλ=+，)μ∈R ，若AM BC ⊥，则
=λμ . 9．2516
【解析】因为0AM BC =⋅，所以()AB AC BC λμ+=⋅ ()()0AB AC AC AB λμ+-=⋅，得220AC AB μλ-=，即25160μλ-=，所以=λμ2516
. 10． 已知A ，B ，C 是圆221x y +=上互不相同的三个点，且满足||||AB AC =，则
AB AC ⋅的取值范围是 .
10．1[,4]2
-【解析】不妨设(1,0)A ，由||||AB AC =知点B ，C 关于x 对称，可设(cos ,sin )B αα，(cos ,sin )C αα-，则AB AC ⋅(cos 1,sin )(cos 1,sin )αααα=---⋅
222(cos 1)sin 2cos 2cos αααα=--=-2112(cos )22
α=--，当cos 1α=-时，AB AC ⋅取得最大值4，当1cos 2α=时，AB AC ⋅取得最小值12
-，所以AB AC ⋅的取值范围是1[,4]2
-.。