同济大学 概率论与数理统计期中试卷

同济大学 09 学年 第一学期
专业 级《 概率统计 》期中试卷
考试形式：（ 闭卷 ）
一、填空题（共 30 分，每空2分）：
1．事件C B A ,,中至少有一个发生可表示为 ，三个事件都发生可表示为 ，都不发生可表示为 .
2．设()4.0=A P ，()3.0=B P ，()4.0=B A P ，则()
=B A P .
3．一袋中有10个球，其中3个黑球，7个白球. 每次从中任取一球，直到第3次才取到黑球
的概率为 ，至少取3次才能取到黑球的概率为 .
4．设随机变量X 的分布函数()⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨⎧≥<≤<≤--<=31318
.0114
.010
x x x x x F ，则X 的分布列为 .
5．进行10次独立重复射击，设X 表示命中目标的次数，若每次射击命中目标的概率都是4.0，则X 服从 分布，其数学期望为 ，方差为 .
6．设连续型随机变量()λe X ~，)0(>λ，则=k 时，{}4
1
2=>k X P .
7．已知随机变量()2~P X ，则102-=X Y 的数学期望=EY ，方差=DY . 8. 已知随机变量X 的概率密度函数为()⎩⎨
⎧>-<≤≤-=2
,20
2225.0x x x x f ，则X 服从 分
布，设随机变量12+=X Y ，则=EY .
二、选择题（共10 分，每小题 2 分）
1．设事件B A ,互不相容，且()()0,0>>B P A P ，则有 （ ）
（A ）()0>A B P （B ）()
()A P B A P =
（C ）()
0=B A P （D ）()()()B P A P AB P =
2．设()x F 1与()x F 2分别为任意两个随机变量的分布函数，令()()()x bF x aF x F 21+=，则下
列各组数中能使()x F 成为某随机变量的分布函数的有（ ）
（A ）52,53==b a （B ）32,32==b a （C ）21,2
3
=
=b a （D ）2
3,21==b a 3．设随机变量X 的概率密度函数为()x f ，且()()x f x f =-，()x F 是X 的分布函数，则对任意实数a ，有（ ） （A ）()()dx x f a F a
⎰
-
=-0
1 (C) ()()a F a F =- (D) ()()12-=-a F a F
4．如果随机变量X 的概率密度函数为()⎪⎩
⎪
⎨⎧<≤-<≤=其他
,021,
21
0,x x x x x f ；则{}=≤5.1X P （ ） （A ）()⎰
⎰
-+5
.11
1
2dx x xdx （B ）()⎰-5
.112dx x
（C ）
()⎰-5
.111dx x （D ）()⎰∞--5
.12dx x
5．设()2
,~σμN
X ，且3=EX ，1=DX ，()x 0
Φ为标准正态分布的分布函数，则
{}=≤≤-11X P （ ）
（A ）()1120-Φ （B ）()()2400Φ-Φ （C ）()()2400-Φ--Φ （D ）()()4200Φ-Φ
三、计算题（共 50 分，每小题 10 分）
1．城乡超市销售一批照相机共10台，其中有3台次品，其余均为正品，某顾客去选购时，超市已售出2台，该顾客从剩下的8台中任意选购一台，求该顾客购到正品的概率。

2．箱中有时8个同样的球，编号为1，2，3，…，8，从中任取3球，以X 表示取出的3个球中的最小号码。

试求X 的分布列。

3．已知随机变量X 的概率密度函数是()⎪⎩
⎪⎨⎧≥≤<<=1,0010x x x x A
x f ，试确定系数A ，并求分
布函数.
4．设随机变量()Y X ,的概率密度函数为()()⎪⎩
⎪⎨⎧<<<<--=其他
,04
2,20,
68
1
y x y x x f ，求
（1）关于随机变量X 的边缘密度函数；（2）{}4≤+Y X P .
5．某种型号的器件的寿命X （以小时计）的概率密度是()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=1000
,
01000
,
10002
x x x x f ，现
有一大批此种器件（设各器件损坏与否相互独立），任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500
小时的概率是多少？
四、证明题（10分） 已知随机变量()2
,~σμN
X ，证明：
（1）(
)22
,~σμa
b a N b aX Y ++=，b a ,为常数，且0>a ；
（2）
()1,0~N X σ
μ
-.
绍兴文理学院 学院07学年第一学期 专业 级《概率统计》期中试卷
标准答案及评分标准
一、填空题（共 30 分，每空 2 分） 1、C B A ABC C B A 2、1.0 3、
157407 4、⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-2.04
.04
.0311p X 5、二项 4.24 6、
2ln 1
λ
7、8,6- 8、均匀 1
二、选择题（共10 分，每小题 2 分）
1、C
2、A
3、B
4、A
5、B 三、计算题（50分，每小题10分）
1．i A 表示售出的两台照相机中有i 台次品，2,1,0=i B 表示顾客买到的是正品。

则()157210270==C C A P ()157
2
1017131==C C C A P ()15
12
10232C C A P = ()
850=
A B P ()861=A B P ()8
7
2=A B P （4分） 由全概率公式：()()()10
7
2
=
=
∑=i i i A B P A P B P （10分） 2．{}()()112213
821--===-k k C C k X P k ，8,7,6,5,4,3=k 或者⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛56215615561056656
356
1876543P X
（10分） 3．
()1210
===⎰
⎰
+∞
∞
-A dx x
A
dx x f ⇒21
=A (4分)
当0≤x 时，(){}0=≤=x X P x F
当10<<x 时，(){}x dt t
x X P x F x
==
≤=⎰
21
当1≥x 时，(){}12
1
1
==
≤=⎰dt t
x X P x F
所以，()⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<<≤=1
1100
x x x
x x F . （10分） 4．（1）当20<<x 时，()()⎰+∞
∞
-=dy y x f x f X ,
()()x dy y x -=--=
⎰
34
1681
4
2
（3分） 所以()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他
20341
x x x f X （5分）
（2）{}4≤+Y X P ()3
2681
20
40
=--=
⎰⎰
-x
y x （10分） 5．任取该种器件一只，其寿命大于1500小时的概率为
3
2
100015002==⎰
+∞
dx x p 非作歹 （4分）
任取5只这种产品，其中寿命大于1500小时的只数记为X ，则⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛32,
5~b X （7分） 所求概率为{}{}{}243
232
1012==-=-=≥X P X P X P （10分） 四、证明题（10分） （1）由于0>a ，
(){}{}⎪⎭
⎫
⎝⎛-Φ=⎭⎬
⎫⎩⎨⎧-≤=≤+=≤=a b y a b y X P y b aX P y Y P y F Y （4分） ()()()[]2
22
2'21
1σμσ
πϕa b a y Y Y e a a b y a y F y f +--
=⎪
⎭⎫ ⎝⎛-==
所以(
)22
,~σμa b a N b aX Y ++= （7分）
（2）令σμσ
-
==
b a ,1
，则
()1,0~N X σ
μ
- （10分）。