自动控制 控制系统的稳定性分析

第五节 控制系统的稳定性分析
例 已知系统的特征方程,试用劳斯判据确定 方程的根在s平面上的分布。 s3-3s+2=0 解： 方程中的系数有负值，系统不稳定。 ε -2 = -∞ -3 劳斯表为: b31= ε -3 s3 1 b31→ -∞ ε →0 s2 ε0 2 第一列元素的符号变化了 1 s b ∞ 31 两次,有一对不稳定根。 0 s b 241 s3-3s+2=(s-1)2(s+2)=0 通过因式分解验证: s1.2=1 s3=-2
第五节 控制系统的稳定性分析
如果劳斯表中某一行的元素全为零， 表示系统中含有不稳定的实根或复数根。 系统不稳定。 此时，应以上一行的元素为系数，构 成一辅助多项式，该多项式对s求导后， 所得多项式的系数即可用来取代全零行。 同时由辅助方程可以求得这些根。 下面举例说明:
第五节 控制系统的稳定性分析
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第五节 控制系统的稳定性分析
例 系统如图所示，试确定系统稳定放大倍 C(s) 数K的取值范围。 R(s) K - s(0.1s+1)(0.25s+1) 解：闭环传递函数 K Ф(s)= s(0.1s+1)(0.25s+1)+K 特征方程: 劳斯表: s3 1 40 s2 14 40K s1 b31 b41 s0 40K s3+14s2+40s+40K=0 14*40 -1*40K >0 b31= 14 系统稳定的条件: 560-40K>0 14>K>0 40K>0
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1．改变环节的积分性质
积分环节外加单位负反馈,系统结构图为: 1劳斯表: R(s) K 1 C(s) s = 1 - s(Ts+1) - s 3 1 T s+1 1 s 1+
s 2 1+TK K s G(s)= s(Ts+1)(s+1) 系统的闭环传递函数为 1 s 1+T-TK C(s)= 1+T K R(s) s(Ts+1)(s+1)+K s0 K 系统稳定的条件 特征方程式: 1+T-TK>0 1+T 3 2 Ts +(1+T)s +s+K=0 K>0 T >K>0
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二、劳斯稳定判据
根据稳定的充分与必要条件 , 求得特 征方程的根 , 就可判定系统的稳定性 . 但对 于高阶系统求解方程的根比较困难。 劳斯稳定判据是根据闭环传递函数 特征方程式的各项系数 , 按一定的规则排 列成劳斯表，根据表中第一列系数正负符 号的变化情况来判别系统的稳定性。 下面具体介绍劳斯稳定判据的应用。
第五节 控制系统的稳定性分析
如果劳斯表中某行的第一个元素为零， 表示系统中有纯虚根，系统不稳定。 该行中其余各元素不等于零或没有 其他元素，将使得劳斯表无法排列。 此时，可用一个接近于零的很小的正 数ε来代替零，完成劳斯表的排列。 下面举例说明:
第五节 控制系统的稳定性分析
例 已知系统的特征方程，试判断系 统的稳定性。 s3+2s2+s+2=0 解：劳斯表为: s3 1 1 s2 2 2 b31 s1 ε s0 b 241 系统有一对纯虚根 不稳定 -2*1 =0ε ( ) b31= 2*12 ε -2*0 2* b41= ε =2 通过因式分解验证: s3+2s2+s+2=0 (s+2)(s2+1)=0 s1=-2 s2.3=±j
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2．加入比例微分环节
系统中加入比例微分环节结构图 C(s) R(s) ) ( K s+1 τ K G(s)= s2(Ts+1) - s2(Ts+1) τ s+1 系统的闭环传递函数: K( τ s+1) Ф(s)= Ts3+s2 τ s+K +K 系统稳定的条件: τ -T>0 即 τ >T K>0 K>0
第五节 控制系统的稳定性分析
设系统的特征方程为 a0sn +a1sn-1 + …+an-1s+an=0 根据特征方程的各项系数排列成劳斯表： -a a a a 0 3 1 2 系统稳定的条件： n b31= s a0 a2 a 4 … a1 (1) 特征方程式各项 n-1 a a a … a1a4 -a0a5 s 1 3 5 b = 系数都大于零。 32 a1 sn-2 b31 b32 b33 … (2) 劳斯表中第一列 b31a3 -b32a1 n-3 s b41 b42 b43 … 元b素均为正值。 41= b31 b31a5 -b33a1 第一列元素符号改变的次 0 b42= s bn+1 b31 数等于不稳定根的个数。 … … … … …
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三、结构性不稳定系统的改进措施
调整系统的参数无法使其稳定，则称 这类系统为结构不稳定系统。
闭环传递函数： K Ф(s)= Ts3+s2+K 特征方程是式： Ts3+s2+K=0 由于特征方程中少了s项，无论K取何值 系统总是不稳定。 解决的方法有以下两种：
如：
R(s)
C(s) K s2(Ts+1)
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一、系统稳定的充分与必要条件
A A0 A系 稳定性： 1 统 n作 受 外 r(t) … = s + s-s1 + + s-sn 稳定 c(t) 用力后 , 其动态过程的 系统单位阶跃响应： 振荡倾向和系统恢复 c(t)=A0+A1es1t+…+Anesnt 不稳定 平衡的能力。 0 t 稳定的系统其瞬态 传递函数的一般表达式： sit→0 m m1 分量应均为零。 lim e 即： b0s +b1s +· · · +bm-1 s+bm n≥m C ( s ) t → ∞ Ф(s)= R(s) = a sn +a sn-1+· 系统稳定的充分与必要条件： · · +an-1s+an 0 1 系统输出拉 系统所有特征根的实部小于零 即特 K0(s –z1)(s –z2)· · · (s ,– zm) 1 氏变换： C(s)= (s –s1)(s –s2)· · · ( s – s n) · s 征方程的根位于 S左半平面。
劳斯表: s3 T K τ s2 1 K s1 Kτ ( -T) s0 K
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第五节 控制系统的稳定性分析
作业习题：
3-11 (1) (3) 3-13 3-14
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第五节 控制系统的稳定性分析
例 已知系统的特征方程，试判断该系统 的稳定性。 s4+2s3+3s2+4s+5=0 解： 劳斯表如下： -1*4 2*3 =1 b = 31 2 s4 1 3 5 -1*0 2*5 3 =5 b32= s 2 4 2 -2*5 =-6 s2 b 131 b 5 32 b41= 1*4 1 s1 -6 b41 -6*5 -1*0 = 5 b = 51 -6 0 s b 551 有两个正实部根，系统不稳定。
例 已知控制系统特征方程,判断系统稳定性。 s6 +2s5 +8s4+12s3+20s2+16s+16=0 解： 劳斯表为: 由为零上一行的元素 s6 1 8 20 16 组成辅助多项式： s5 2 12 16 P(s)=2s4+12s2+16 dP(s)=8s3+24s s4 2 12 16 ds 3 s 代入 0 0 8 24 系统有虚根,不稳定。 2 s 6 16 劳斯表中某行同乘以某正数， s1 8/3 不影响系统稳定性的判断。 0 s 16