教学案例：数学活动课《折纸与证明》

A F

B C

E D 数学活动课 《折纸与证明》

活动目标：

1、通过折纸活动，使学生经历动手操作的过程，体会数学与生活的联系；

2、进一步激发学生对数学证明的兴趣，感受证明的必要性，感受合情推理和演绎推理相辅相成的关系。

3、进一步发展合乎逻辑的思考和有条理表达的能力。

4、培养学生的合作交流的精神。

活动重点：探究研究问题的方法，如操作、猜想、证明等。

活动难点：说明操作活动合理性的证明过程。

活动用具：长方形纸片若干、剪刀，刻度尺、量角器。

设计意图：新课程标准对过程性目标有明确的定位：“过程本身就是一个课程目标，即首先必须让学生在数学学习活动中去经历探究物体与图形的形状的大小、位置关系变换等过程；经历提出问题、收集、整理、描述和分析数据，作出决策及自我评价的过程；经历观察、猜想、证明等数学活动过程…”。而折纸问题具有可操作性和趣味性，可帮助学生建构三角形、四边形、全等形等方面的知识，有助于培养学生的动手能力和空间观念。学生经历了操作、证明的过程，会进一步激发其对数学证明的兴趣，感受证明的必要性，感知合情推理和演绎推理相辅相成的关系，同时经历了克服困难和取得成功的过程，更能增进应用数学的自信心。

活动过程：

一、创设情境：

同学们一定会用纸片折叠小船、小猴等，其实你还会解释折纸过程中的每一个操作活动的合理性，因为你学会了证明。下面请同学们展示自已最拿手的折纸作品。

请几个折得好的学生展示自已的作品。

二、操作探究：

活动一

如图示，将矩形纸片ABCD 沿虚线EF 折叠，使点A 落在点G 上，点D 落在点H 上；然后再沿虚线GH 折叠，使B 落在点E 上，点C 落在点F 上；叠完后，剪一个直径在BC 上的半圆，再展开，则展开后的图形为（ ）

说明：让学生体验到动手操作的乐趣，直观形象。

活动二

分组讨论：你能用手中的纸片折一个尽量大的正方形吗？然后请代表展示自已的做法，并说明理由。

展示：用一张长方形纸片折一个正方形。如图，

（1）折叠长方形，使点A 落在边DC 的点E 处，得折痕DF ； （2）沿EF 折叠得四边形AFED 。 你能证明四边形AFED 是正方形吗？

学生证明：∵把长方形纸片ABCD 折叠，∴DE=DA ，∠DEF=∠A ∵四边形ABCD 为矩形，∴∠A=∠ADC=∠DEF=900

B

A B C

H(D) F(C)

∴四边形AFDE是正方形。（邻边相等的矩形是正方形）

讨论：对于任一矩形，依上述方法是否一定能折出一个等边三角形？

活动三

用活动二中得到的正方形纸片你能折出等边三角形吗？（各组讨论）

（这个问题学生感到困难，在教师指导下，学生动手操作完成。）

（1）把正方形纸片ABCD对折后再打开，折痕为EF；

（2）将点A翻折到EF上的点A1处，且使折痕过点B；

（3）沿A1C折叠，得△A1BC. 它是什么图形？

（学生对这一问题较感兴趣，拿着长方形纸片在回顾折法，折好后纷纷度量折叠、剪裁得到的纸片，验证他们得到的是否是等边三角形。）

以小组为单位讨论如何证明操作的合理性，并让学生板演证明过程。然后师生一起点评并完善证明过程。

证明：∵把正方形纸片ABCD对折，折痕为EF，

∴EF垂直平分BC。（）

∵将点A翻折，折痕过点B，且使A落在EF上的点A1处，

∴A1C=A1B=AB=BC.（）

∴△A1BC是等边三角形。（）

可让学生说明（）内的理由是什么。

评析：本活动没有现成的结论，要求学生经历操作、观察、猜想、证明等数学活动，从而探究得到结论，让学生从中获得学习数学的体验。

三、学以致用：

教师示范：用一个长方形纸片打好一个结，再拉紧压平，并沿虚线剪开。

学生模仿教师折叠的过程，观察从中能抽象出什么图形？能试着说出其中的道理吗？

（问题一提出，大家认为比较简单，立即动手操作，思考，没有预料到困难很大。）

甲：得到的是五边形。

乙：通过测量发现这是一个五条边相等的五边形。

丙：我用量角器量过发现它不仅边相等，五个角也相等，所以我认为它是一个正五边形。

然后有许多同学附合丙同学的说法。

提出问题：是正五边形吗？为什么？

四、小结学习心得：

1．经过这一节课的学习，你有什么收获、体验。

2．利用长方形纸片，你还能折出哪些图形？

五、作业设计：

1、有一张矩形纸片ABCD，AB=2.5，AD=1.5，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将 AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F（如下图），则CF的长为（）。

A.0.5

B.0.75

C.1

D.1.25

2、利用活动二中折叠出的正方形纸片ABCD，你能折出一个正方形，使它的面积为正方形ABCD 面积的一半吗？

3、在学以致用中得到了正五边形，怎样证明？

教学后记：

活动课的教学是教研的一个课题，我们一直都在做试验，如何才能让活动的开展达到提高学生学习兴趣、培养学生能力的目的。折纸的世界是一个丰富多彩的世界，而且充满了智慧和挑战，不仅能为我们增加生活的乐趣，折纸里面包含许许多多的数学知识，它不仅可以培养学生的观察能力、空间想象能力、综合分析能力、判断推理能力，同时对学生的非智力因素也是很好的检验。

本节课上，学生兴趣浓，个个跃跃欲试，学习的积极性被充分激发起来了。师生之间、生生之间一直没有间断动手操作、讨论交流。动手操作是获得知识的一种方法，学生参与了课堂教学，提高了合作讨论交流的能力，同时充分调动了学生学习的积极性，激发了学生学习数学的兴趣。在活动中学习，在学习中活动。整个过程中，既用理论去指导实践，同时在实践中理论也得到了提升。

实现学生亲身体验是发展学生能力、感悟过程与方法的保证。在课堂教学中，教师不仅应该有数学交流的意识，而且应该培养学生的数学动手操作、合作交流的意识，提供给学生动手操作、合作交流的机会，因为这样做可以使学生主动地带有兴趣地学习数学，从而发现问题、探究问题、解决问题。这样学到了知识，同时培养了学生良好的思维品质。

新课程标准提倡人人学习有价值的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。在教学过程中尊重学生个体的差异，及时对学生的行为作出积极评价，让学生体验到成功的喜悦，以便让学生能以更积极的心态去迎接数学学习中出现的更大的挑战。