一元一次方程与方程组

第三章：一元一次方程与方程组

3.1一元一次方程及其解法

知识点：①一元一次方程的概念②等式的基本性质③移项（要变号）④解一元一次方程的一般步骤

一、一元一次方程的概念

定义：一元：只含有一个未知数，一次：未知数的最高次数是1次，方程：含有未知数的等式，且含有未知数的代数式是整式。

拓展：任何一个一元一次方程都可以化简成ax b 0(a 0,a,b为已知数）的形式，这是一元一次方程的标准形式。

题：判断下列式子是否为一元一次方程

（1）

2

）4x1 4x5（））2x11 3x4 （2y3 x2+4 （

2 3 4

x

（6）1

（5）2xyo （7）x2

x

二、等式的基本性质

性质：①等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，结果仍相等

②等式的两边同时乘（或除以）同一个数（除数不能为0），结果仍相等

③如果a b，那么b a（对称性）

④如果a b,b c，那么a c（传递性）

注：一个量用与它相等的量代替，叫做等量代换。

方程也是等式，所以方程也具有等式的性质。

题：运用等式的基本性质把下列等式变成x a的形式

（1）3x2x3

（2）4xx7

3 3

三、移项（要变号）

移项：把方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到方程的另一边（简称：移项要变号）

注：①变形过程中，习惯把含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边，然后合并同类项。

②凡是被移动的项一定要变号（这里的移动说的是从方程的一边移动到另外一边），满意移动的项保持原来的符号

③移项要变号的定理是根据等式的性质1得到的。

题：解方程

（1）4x 7 5 2x 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。求方程2x4的解的过程叫做解方程。必须含有未知数等式的等式才叫方程。等式不一定是方程，方程一定是

等式。

四、解一元一次方程的一般步骤

例：解方程2x1 2 x2

3 2

步骤：

1.去分母。方程中每项都乘以分母的最小公倍数

2.去括号。依据去括号的法则，依次逐步去括号

3.移项（要变号）。含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边

4.合并同类项。含有未知数的项移合并在一起，常数项合并在一起

5.系数化为1。两边同时除以未知数的系数

（一般情况下的步骤，不排除有简便方法，如先去分母比较简单）

题：解方程：x 1 2x

2 3

题：解方程：3x 7x3x 6

题：当m为何值时，方程(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程

3.2一元一次方程的应用

知识点：①列一元一次方程解应用题的步骤；②等积变换问题；③打折销售、利率问题及增长率问题；④行程问题；⑤工程问题

一、列一元一次方程解应用题的步骤

例：某次全校募捐活动中，全校师生共捐款45000元，其中，学生捐款数比老师捐款数的两倍少9000元，问该校老师和学生各捐款多少元？

解题步骤：

（1）审：弄清题意，分清已知量和未知量

（2）设：设未知数，用含有未知数的代数式表示相关量

（3）列：找出等量关系，并由此列出方程

（4）解：解方程，求未知数的值，检验此值是否符合题意

（5）答：根据题意写出答案

注：1.一道题往往含有多个未知数，应当选择一个设为未知数，其他的量用这一个未知数来表示，进而列出方程。

2.列方程时，单位不统一的一定要统一单位。

3.对于方程的解，要看解是不是符合实际意义，在设和答的时候，必须写清单位名称。

二、等积变换问题

等积：等面积或等体积，等积变换问题指的是几何图形的形状发生改变，而面积或体积没有变。

利用等量关系列出等式。

注：1.等式两边单位保持一致

2.找等量关系，用含有未知数的等式表示已知量和未知量之间的关系

题：一圆柱形容器的内半径为3cm，内壁高30cm，容器内盛有15cm高的水，现将一个底面半径为2cm、高18cm的金

属圆柱竖直放入容器内，容器内的水将升高多少？

三、打折销售、利率问题及增长率问题

利润

知识归纳：（1）售价=标价×折数利润=售价-成本利润率=

成本

（2）利息=本金×利率×期数

（3）增长率问题：达到的数量=基数×（1+增长率）

（4）打折：打几折就是按照原价的百分之几十出售

题：商场出售A冰箱每台售价为2190元，每日耗电1度，B冰箱每台售价比A贵10%，单每日耗电0.55度。请问商场将A冰箱打几折，使得A冰箱10年的总费用与B冰箱10年的费用相等？（每年365天，每度电0.5元计算）

四、行程问题

知识归纳：（1）相遇问题：相遇时间×速度和=路程和

（2）追及问题：追及时间×速度差=追及路程

（3）航行问题：顺水速度-水流速度=静水中航行速度

（4）逆水速度+水流速度=静水中航行速度

题：甲乙两地间的路程是708m，一辆慢车从甲地开往乙地，慢车开了一个半小时之后，另有一辆快车从乙地开往甲地。已知慢车每小时走92km，快车每小时走136km，问两侧和各开几小时后相遇？

五、工程问题

（1）全部工作量=各部分工作量之和=1

工作量=工作效率×工作时间

（2）总工程量为1.工作效率是工作时间的倒数

题：甲乙两队共同完成一个项目，甲单独做7.5小时完成，乙单独做，5小时完成，现在让甲乙一起工作1小时，剩

下的让乙单独做，共需多长时间完成？