量子力学的变分法
第九章变分法_量子力学
a
a
（9）
其中N为归一化常数，λ为变分参数。利用归一化条件
∫ <ψ |ψ >= a ψ 2dx = 1 −a
容易求得
N 2a = 315 /16(λ 2 + 8λ + 28)
由公式
∫ h 2
E =− 2m
aψ
−a
d 2ψ dx2
dx
求得
E (λ )
=
3 4
11λ 2 λ2
+ 36λ + 60 + 8λ + 28
J (α,
β
,L)
=
∫ψ *(r;α, β ,L)Hψ (r;α, β ,L)dτ ∫ψ *(r;α , β ,L)ψ (r;α, β ,L)dτ
的极值。 ∂J / ∂α = ∂J / ∂β = L = 0 （1）
α β, ,L 得到使积分取得最小值的参量 00 用它们按（1）式计算得结果就是基态能量的近似值，即近似的有
量子力学 第九章 变分法
李延芳 李忻忆 龚 陈蔚
变分法的基本步骤： 1、根据实际问题的物理分析，选择含有待定参量α，β，的尝试波函数
，然后计算积分
J (α, β ,L)
ψ (r;α , β,L)
=
∫ψ *(r;α , β ,L)Hψ (r;α, β ,L)dτ
∫ψ (r;α, β ,L)ψ (r;α, β ,L)dτ *
n
≥ (E2 − E1)(C2*C2 + C3*C3 +L)
≥ (E2 − E1)(1− C1*C1)
（6）
此式即为（2）式。
1
在看下一道题之前，这里我们先看一下无限深势阱波函数和能级的精确解是什么？
量子力学导论chap103
u(r)满足薛定谔方程
( 1 2 )u(r) 2 u(r)
2r
2
即一个1s（n = 1）电子在一个有效电荷为 的
原子核库仑势中的薛定谔方程。
对类氢原子，其能量本征值为
En
e4
22
Z2 n2
H
*(
1 2
12
Z r1
1 2
22
Z r2
1 r12
( , H ) ( , ) (H , ) ( , )
由于波函数是复函数， 和 *取任意值。
所以 H , H * * *
这就是薛定谔方程。
反过来，也可证明满足薛定谔方程的可归一化波 函数一定可使能量取极值。 这就证明了薛定谔方程与变分原理的等价性。 变分原理的重要性在于：根据具体物理问题，先 对波函数作某种限制，然后给出该试探波函数形 式下的能量平均值<H>，并让<H>取极值，从而定 出所取形式下的最佳波函数，作为严格解的一种 近似。
H E
§10.3 变分法
1、薛定谔方程与变分原理 1）薛定谔方程： 给定体系哈密顿量 H，体系能量本征值可以通 过薛定谔方程加以求解，当然对波函数有边界条 件的限制
H E
波函数还要满足正交归一化
( , ) 1
2）变分原理 从变分原理外加归一化条件可导出薛定谔方程 变分原理：设体系能量平均值为
2
ki (ri ) di 1,i 1, 2, , Z
求极值 H
2
i ki (ri ) d i 0
i
H
k*i hiki
* ki
hiki
变分量子算法
变分量子算法1. 引言量子计算是一种利用量子力学原理进行计算的新型计算方式。
相比传统的经典计算机，量子计算机在某些特定问题上具有超越经典计算机的优势。
变分量子算法（Variational Quantum Algorithm）是一种基于参数化量子电路的优化算法，被广泛应用于解决优化问题、模拟物理系统和机器学习等领域。
本文将逐步介绍变分量子算法的基本原理、应用场景以及未来发展方向。
2. 变分量子算法原理变分量子算法是一种基于参数化量子电路的优化方法，它通过调节参数来最小化或最大化一个目标函数。
在变分量子算法中，我们首先构造一个参数化的量子电路，并将其作为一个黑盒，然后使用经典优化方法来调节电路中的参数，使得目标函数达到最小值或最大值。
具体而言，我们可以将变分量子算法分为以下几个步骤：步骤1：构造参数化量子电路首先，我们需要选择一个适当的参数化量子电路结构。
这个结构通常由一系列可调节的旋转门和受控门组成。
通过调节这些门的参数，我们可以改变量子态的表示能力。
步骤2：定义目标函数在变分量子算法中，我们需要定义一个目标函数，它可以是任意一个我们希望优化的函数。
例如，在解决优化问题时，目标函数可以是一个损失函数；在模拟物理系统时，目标函数可以是能量期望值；在机器学习中，目标函数可以是分类准确率等。
步骤3：量子态演化在这一步中，我们将构造的参数化量子电路作用于初始态上，并得到一个输出态。
这个输出态不一定是我们想要的最终结果，因此需要进一步进行优化。
步骤4：经典优化通过经典优化算法（如梯度下降、共轭梯度等），我们调节参数化量子电路中的参数，使得目标函数达到最小值或最大值。
这个过程通常涉及到计算目标函数关于参数的梯度，并根据梯度来更新参数。
步骤5：重复迭代为了得到更好的结果，通常需要多次重复步骤3和步骤4直至收敛。
每次迭代都会产生一个新的输出态，并进一步优化参数。
当满足一定的停止准则时，算法停止并输出最终结果。
3. 变分量子算法应用场景变分量子算法具有广泛的应用场景，在优化问题、模拟物理系统和机器学习等领域都有重要的作用。
变分法在量子力学的应用
变分法在量子力学的应用变分法在量子力学的应用变分法在量子力学的应用【1】摘要在处理物理问题及量子力学问题时，通常会应用到变分法。
变分法与处理数的函数普通微积分保持着相对立关系，属于处理函数的一种方式。
欧拉-拉格朗日方程式是变分法最为重要的定理。
通过变分法，可以实现泛函临界点对应。
变分法的出现推动了理论物理的进一步发展，在量子力学及相应最小作用量原理中发挥着十分重要的作用。
在概述变分法的基础上，对变分法在量子力学物理领域的应用进行研究与分析。
实践证明，在处理量子力学问题中，变分法发挥着重要作用。
关键词变分法;量子力学;最优控制20世纪二三十年代，奥地利物理学家薛定谔提出一种可以进行微观粒子体系运动行为的一波方程，被人称之为薛定谔方程。
通过进行薛定谔方程求解，可以获得体系波函数，应用体系波函数，可以确定体系性质，此后有学者对相对论效应狄拉克方程的确定进行了研究。
这些研究成果的出现，让人们认为量子力学其普遍理论似乎已经基本完成，人类已经基本知晓了绝大部分物理学及物理定律。
解决问题困难及关键仅在于如何将这些定律进行现实应用。
狄拉克认为，随着体系的不断增加，薛定谔方程或狄拉克方程几乎是不可解的。
针对这种现象，求解其方程的近似方法不断被研究。
在物理量子学领域，进行薛定谔法方程求解，其主要方法包括微扰法及变分法。
束缚定态是建立于不含时间的薛定谔方程，即在能量变分原理的等价性基础上，能量本征值方程解是通过对能量极值的求解来完成的。
在进行具体问题处理的过程中，通过波函数中一些特殊变化将最普遍任意变分进行替代，通过这种方法可以获得依赖于波函数特殊形式的一种近似解，这种解决问题的方法被称之变分法。
变分法用在解决如量子力学等物理问题领域。
变分法的应用，其优势在于运用变分法进行方程求解并不会受到限制，在保证变分函数良好的基础上，即可实现对体系基态性质的研究。
1 变分法概述变分法与处理数函数普通微积分表现出相对立关系。
泛函是通过位置函数导数及相应位置函数积分来实现相应构造。
变分法在量子力学中的应用
便、 简单 和物理 意 义 明确 的 优 势 。本 文 将 主 要研 究 变 分法在 量子 力学 中 的应 用 。为 与求解 量 子体 系 的 基 态性质 相关 的科研 和教学 活动 提供 一个参 考 。
１ 变 分 法 概 要
得到 的式 子加 上 （ ６ ） 式， 可 得 到
可算 出
Ｅ 一 ＋ （ １ ２ ）
Ｅ为一极 小 的条件 为
ｄ Ｅ
一
８
ｈｚ
一
一
丌。
８
０
（ １ ３ ）
…
可 解 得
＝ ＿
｛
８ ７ ￣ ｚ （
—
（ ） ＋ （ ） ＋ （ ） 。 ］ ＋
变分 法 。
Ｎ 去 Ｖ － ｖ 。 － （ ｗ — Ｖ ）
其 中波 函数满 足归一 化条 件
（ ４ ）
（ ５ ）
ｆ ｘ ｔ ， ｘ Ｉ ｔ ｄ ｒ 一１
把（ ４ ） 式 代入 （ ３ ） 式， 施 行部分 积分得 到
变分 法 的优点 在 于运 用 它 求解 不 受 什 么 限制 ，
只要选取 好 的变分 函 数 ， 就 能很 好 地 得 到体 系 的 基 态性 质 。因此 利 用 变 分 法 来 求 解 量 子 体 系 具 有 方 １ ９ ２ ６年 ，奥 地 利 物 理 学 家 薛 定 谔 提 出用 一 个 波方 程来描 述微 观粒子 体系 的运 动行 为 ，即薛定 谔 方程口 ］ 。求解 此方 程 ，就 可得 到 体 系 的波 函数 ，那 么体 系的一 切性 质都能 被确 定ｌ ２ ］ 。随后 的考 虑 了相 对论 效应 的狄拉 克方程 的确 立ｌ ３ ］ ， 让 人 们似 乎看 到 “ 现在 量 子力 学 的 普遍 理 论 业 已完 成 ， 作 为 大 部 分 物理 学与全 部化 学 的物 理 定律 业 已完 全 知 晓 ， 而 困 难仅 在于 把 这 些 定 律 确 切 应用 将 导 致 方 程 式 太 繁 杂而 难 以求 解 。 ” 。 正 如 狄拉 克所 说 ，随 着体 系 的增
第四章-变分法和微扰法
ˆ d H aa a H a
ˆ d H bb b H b
ˆ d H H ab a H b ba
ˆ d 2c c H ˆ d c 2 H ˆ c12 a H 1 2 a 2 b b d a b
(0) ˆ (0) E (0) (1) d (0) H ˆ (1) E (1) (0) d H n n n n n n
(0) (1) (0) (0) ˆ (1) (0) n En n d n H n d (1) (0) (0) (0) ˆ (1) (0) En d n n n H n d (1) (0) ˆ (1) (0) En n H n d
ˆ (0) (0) E (0) (0) 0 : H n n n ˆ (0) (1) H ˆ (1) (0) E (0) (1) E (1) (0) 1 : H n n n n n n ˆ (0) (2) H ˆ (1) (1) E (0) (2) E (1) (1) E (2) (0) 2 : H n n n n n n n n 整理后得：
其中E n(0), λE n(1), λ2 E n(1), ... 分别是能量的 0 级近似 ，能量的一级修正和二级修正等； 而ψn(0), λψn(1), λ2ψn(2), ... 分别是状态波函数的 0 级近似，一级修正和二级修正等。
ˆ 代入定态Schrodinger方程 H n r E n r 得：
2 2 ˆ H r V r r E r 2
变分法计算h2+的基态能级
变分法计算h2+的基态能级
变分法是一种常用的量子化学计算方法，它是基于构建出一个有限空间的基组（即选择一组可能的基态来表示原子），然后对这些基态用变分原理进行考虑，以解决原子核势能面上的多体原子波函数的问题。
H2+是氢分子的正离子，它只有一个电子，所以其基态能量可以用变分法计算得到。
在变分法中，我们需要先计算出一组可能的基态，并将它们组合在一起形成一个有限空间的系统。
然后，可以使用变分原理来解决多体原子波函数的问题，确定H2+的基态能级。
变分法数值求解
(2)相应于本征态的本征能量取极小值
薛定谔方程
H n E n (７)
在归一化条件下 * d 1 (8)
对波函数作一微小的变动
n
n
n
,
* n
* n
* n
(9)
则归一化条件变为
(
* n
* n
)(
n
n )d
1
即
[ n* n
n
* n
]d
n
2
d
(10)
(2)相应于本征态的本征能量取极小值
那么具体是怎样选择试探波函数了？下面我们来分 析一下。
首先题中给出的势场V（x)=g|x|，满足
V(x)=V(-x),这样哈密顿量
H
2
2m
d2 dx2
|
x|
在宇称变换P下不变，一维定态问题的束缚态并不简
并，应有确定的宇称，其中基态无节点必为偶宇称
态。
再根据节点交错定理和宇称交错定理，第一激发态有一个节 点为奇宇称态。此外，由于势函数没有奇异性，束缚定态的 波函数还应该满足波函数以及一阶导数连续的条件。
2
E 2m
a
a
d 2
dx2
dx (7)
得
E()
3 4
112 36 60 2 8 28
2 ma 2
(8)
例题—无限深势阱
变分法求解
3、取极值 E() 0 ( 9)
得两根 1 1.2207500 , 2 8.317712
代入E得
E(1) 1.233719
2 ma 2
1.0000147
(1)薛定谔方程的变分原理
经典力学中
变分原理 => 哈密顿方程 S 0
变分法
18
方法II 使用第二种试探波函数
( x ) Ae
x2
1. 对第二种试探波函数确定归一化系数：
1 ( x )* ( x )dx | A |
| A|
2
2
2
e
2
x2
dx | A |
2
2
2.求能量平均值
H( ) | A | | A |
2
ˆ * H dx
e e
x2
ˆ x 2 dx He [
2 d2 2 dx 2
2
x2
1 2
x ]e
2 2
x2
dx
2 1 2 1 2 8
19
3.变分求极值
dH ( ) 2 1 2 2 0 d 2 8
0 j j
I c* y* k k
k
ˆ G G c y d
j
ˆ = c* y* c j G G0 y j d k k
= c* c j G j G0 k
k j
j
y y d
* k j
= c* c j G j G0 kj k
1 2
1
2
代入上式得基态能量近似值为：
2 1 1 1 2 2 H 2 2 8 2
这正是精确的一维谐振子基态能量。这是因为若将 代入试探波函数，得：
( x ) Ae
x
2
1 2
9
变分原理 (2)
F、变分的计算方法： 微分与变分可互调换顺序： y y
() x x
(4.5) (4.6)
积分与变分可互调换顺序，设
F y, y, xdx
x2 x1
x2 x2 F y, y , x dx F y, y , x dx x1 x1
k 如果 yx 与 y1 x 很接近，且函数有k阶导， y x 也与 k y1 x 很接近，即其差的模都很小，则 yx 与 y1 x 具有k阶接 y k 称为k阶变分。 近度。 y, y ,y k 具有相同量级的微量。 一般认为，
x2 x1
F x 0
一般条件包括： y x1 0 • 一阶或若干阶可微；在 端点 x1 , x2 处为零， y x 0 2 • yx ,
y x
•
对于多变量，类推；
•
上述， 的变分。 y x 为宗量 yx
yx y0 x 0或 0
则泛函 而且在
yx 在曲线 y y0 x 上达到极大（或极小）值。
y y0 x上有驻值条件：
yx 0
与函数极值判定条件类似：
2 0
2 0
(4.4)
取极小值
取极大值
y 0
2
y 0
0
故，
T
1 2g
x1
0
1 2y
1 y 2
y
d dx
y ydx 2 y(1 y )
由于y 为任选函数，且 ，由变分法基本定理：
2 1 1 y d y 2y y dx y 1 y2
量子化学_变分法
nn
nn
w cjcksjk cjckH jk
j1 k 1
j1 k 1
因为变分积分是n个独立参数所决定的，可看作为 W=W（C1，C2，…，Cn）
w
ci
n j 1
n
C jCk S jk
k 1
W
ci
n j 1
n
C jCk S jk
k 1
ci
nn
C jCk H jk
j1 k 1
w
0
ci
求：
h2
0 8 2 I
8 2 I
h2
8I
2
S11 0 d 2
2
S13 0 sin d 0
2
S12 0 (1 cos)d 0
S21 S12
S31 S13 0
S22
2 cos2 d
0
2
S32 0 cossin d 0
2
S23 0 sin cosd 0
S33
[
Hˆ
]
c
(24c2
64c
128)(86c 8) (43c2 8c (24c264c 128)2
80)(48c
64)
0
23C2 + 56C – 48 = 0
C1 = -3.107， C2 = 0.6718 得C1代入约2.2380 hv， C2代入约0.5172 hv，即变分积分值为 0.5172 hv，
H11
2 0
f1*Hˆ f1d
2 0
(
h2
8 2
I
d2
d 2
cos )dຫໍສະໝຸດ 0H12 2 0
f1*Hˆf 2d
2 0
12.2 变分法
（7 ）
H , H / ,
* a* a ( , H ) / a n a n ( n , n ) n n n n nn nn * a* a E , / a a n nn n n n n n n nn nn 2
( 0) ki
练习 在Hartree方法中
2 2 1 H i d i d j ki (ri ) k j (rj ) rij i 2 i j i i
(29)
说明上式的物理意义.
12.2 变分法
1 2 2 ( )u (r ) u (r ) 2 r 2
(14)
此即一个1s电子在一个有效电荷为 的原子核的 Coulomb引力场中的能量本征方程.利用式(13)和(14) 可计算
1 2 Z 1 2 Z 1 H ( 1 2 ) d 1 d 2 2 r1 2 r2 r12
能量本征方程 设量子体系的Hamilton 量为H，则体系的能 量本征值可以在一定条件下求解能量本征方程
H E
（1）
并满足归一化条件
( , ) 1
（2 ）
而得出.可以证明上述原则与变分原理等价.
12.2 变分法
量子力学教程 量子力学教程(第二版） 设体系的能量平均值表示为
H ( , H )
*
1 2 1 2 1 [( 1 ) ( 2 ) ] d 1 d 2 2 r1 2 r2 r1 r2 r12
*
2
2
3 e 2 r
π
1
r1
e 2 ( r1 r2 ) d 1 2 d1 d 2 π r12
§5.4 变分法 量子力学课件
（五）实例
例 1.
对一维简谐振子试探波函数，前面已经给出了可能的形 式。下面我们就使用这种试探波函数，应用变分法求解 谐振子的基态近似能量和近似波函数。
使用试探波函数：
( x) Aex2
1. 对试探波函数定归一化系数：
1 ( x) * ( x)dx | A |2 e2 x2 dx | A |2
试探波函数的好坏直接关系到计算结果，但是 如何选取试探波函数却没有一个固定可循的法 则，通常是根据物理上的知觉去猜测。 （1）根据体系 Hamilton 量的形式和对称性推测
合理的试探波 函数；
（2）试探波函数要满足问题的边界条件；
（3）为了有选择的灵活性，试探波函数应包含一个或 多个待调整的参数，这些参数称为变分参数；
| A |2 2 | A |2 [1 2 22 2 ] 1
2
2
4 2
代 入 | A |2 2
H ( ) 2 1 2 1 2 8
3.变分求极值
dH ( ) 2 1 2 2 0 d 2 8
1 2
1 2
代入上式得基态能量近似值为：
H
2
2
1 2
1 2
8
2
1
2
这正是精确的一维谐振子基态能量。这是因为若将
下面我们根据上面所述原则构造试探波函数。
可选取如下试探波函数：
( x) Ae x2
A ——归一化常数， 是变分参量。选取这样的试探 波函数是因为
1.φ(x)是光滑连续的函数；
2. 关 于 x = 0 点 对 称 ， 满 足 边 界 条 件 即当 |x|→∞ 时， ψ→ 0；
3. φ(x)是高斯函数，高斯函数有很好的性质， 可作解析积分，且有积分表可查。
哈密顿原理变分法
哈密顿原理变分法引言：哈密顿原理是经典力学中的一种数学工具，用于描述物体在空间中的运动。
它是由法国数学家和物理学家嗣洛·哈密顿于19世纪提出的，被广泛应用于许多物理学领域，如量子力学、相对论等。
本文将介绍哈密顿原理的基本概念、原理和应用，并探讨其在理论物理学中的重要性。
一、哈密顿原理的基本概念1. 变分法变分法是一种数学方法，用于求解泛函（函数als）极值问题。
在物理学中，我们经常遇到求解由泛函表示的物理量的极值问题，变分法就是解决这类问题的有效工具。
2. 哈密顿原理哈密顿原理是变分法在经典力学中的应用。
它表述了一个物体在给定时间间隔内，其运动轨迹使作用量（action）取极值的路径就是实际发生的路径。
作用量是由拉格朗日量（Lagrangian）和时间变量组成的积分，表示了物体在给定时间内所经历的所有可能的路径对系统的总贡献。
二、哈密顿原理的原理和推导1. 哈密顿原理的原理哈密顿原理的核心思想是“自然界的真实路径是使作用量取极值的路径”。
作用量S可以表示为：S = ∫(L - H)dt其中L是拉格朗日量，H是哈密顿量。
根据变分法的原理，我们可以通过对作用量的变分求解，得到真实路径。
2. 哈密顿原理的推导我们假设系统的状态由广义坐标q和广义速度q'描述，拉格朗日量可以表示为：L = L(q, q', t)根据拉格朗日方程，我们可以得到：d/dt(∂L/∂q') - ∂L/∂q = 0将哈密顿量H定义为：H = ∑(q'∂L/∂q' - L)则拉格朗日方程可以写为：d/dt(∂L/∂q') = ∂H/∂q对作用量S进行变分，可以得到：δS = ∫(∂L/∂qδq + ∂L/∂q'δq' - ∂H/∂qδq)dt根据变分法的原理，δS = 0，我们可得到哈密顿正则方程：∂H/∂q = -d/dt(∂L/∂q')∂H/∂q' = d/dt(∂L/∂q')三、哈密顿原理的应用1. 经典力学哈密顿原理在经典力学中有广泛的应用。
量子化学课件--第九章变分法
变分法是处理有相互作用的多粒子体系的不含时间 的薛定谔方程所需要的近似方法，它能使我们不用 求解薛定谔方程，就能得到体系基态能量的近似。
9.1 变分原理
给定一个体系的哈密顿算符，如果是任何一个满足 此问题边界条件的归一化品优函数，则存在：
*Hˆd E0 (1)
E0是哈密顿算符的最低能量本征值的真实数值，该定 理的意义就在于它能使我们计算基态能量的上限。 证明：定义积分I为：
e-x2在时都有合适的行为，但从量纲的观点来看是
不能令人满意的，由于ex的台劳级数展开为：
ex xn 1 x x2 ...
n0 n!
2!
所有右端的项必须具有相同的量纲，所以x必须和1具
有相同的量纲，即x是无量纲的。
定义量为： 2vm / 的单位为：1/（长度）2，所以x2是无量纲的。这使 人想到e-x2形式的尝试函数。但是一常数，不是一个 可变参量。
定义积分I1为：
E0 E1 E2 ...
I1 *(Hˆ E1)d
（为一归一化函数，满足问题的边界条件）
将展开为： ak k （ k 为 真 实 的 波 函 数 ）
k
运用和上节类似的处理方法，即将代入积分I1，利用 本征函数的正交归一性，可得：
I1 | ak |2 (Ek E1)
9.3 行列式
简介：是n2个量（称元素）的正方形排列，表示一个
具体的数值，有别于矩阵。数n是行列式的阶，用aij表 示一个典型的元素，把n阶行列式写成：
a11 a12 ... a1n
det(aij )
a21 ...
a22 ....
... a2n ... ...
an1 an2 ... ann
（垂直线表示行列式，不是绝对值）
5.4变分法
•
量子力学中，基态的计算具有特殊的重要性， 量子力学中，基态的计算具有特殊的重要性，变分法 主要解决基态能量与波函数问题。 主要解决基态能量与波函数问题。 ∧ ∧ 的本征方程是否能严格求解， （1）问题：不管H 的本征方程是否能严格求解，原则上 H ）问题： 总是存在一组本征值和本征函数， 总是存在一组本征值和本征函数，令其本征值为分离 谱，则
∧
例题6 例题 若设 ψ = Ae
−λr2
(λ > 0) 作为波函数，以 λ 为参量，用 作为波函数， 为参量，
变分法求氢原子基态能量。 变分法求氢原子基态能量。 • 解：首先将 ψ 归一化，利用 归一化，
∫
2
∞
0
x e
2n −αx2
1⋅ 3⋅ 5⋅L⋅ (2n −1) π dx = 2n+1αn α
−2λr2
dr
3 2 2 2 = a0es λ − 2 es λ 2 2 µ h ，令 dH ，可得 式中 =0 a0 = 2 dλ µes
所以
λmin
4 s 2
2 2 = 3a0 π
3/4 −λminr2
4e 4e µe 4µe E0 = − =− × =− 3π a0 3π h 3πh
2 s 2 s 2 s 2
E0 , E1 , E2 ,L , En ,L
（5.4-1） ） （5.4-2） ） （5.4-3） ）
ψ0 ,ψ1,ψ2 ,L n ,L ψ
则有
Hψn = Enψn
∧
（2）假定一任意波函数 ψ ，则应有 ）
ψ = ∑anψn
n
（5.4-4） ）
• 在这个假设态
ψ
*
中，体系能量的平均值
量子力学十大物理公式
量子力学十大物理公式量子力学是现代物理学中的重要分支，描述微观粒子行为的理论框架。
它通过一系列的数学公式来表达和解释微观世界的现象。
下面将介绍十大量子力学公式，带您一窥量子世界的奥秘。
一、薛定谔方程薛定谔方程是量子力学的基本方程，描述了量子体系的时间演化。
它以波函数Ψ为核心，通过偏微分方程形式表达。
薛定谔方程揭示了微观粒子的波粒二象性，以及它们在不同势场下的行为。
二、不确定关系不确定关系是由海森堡提出的，表明了位置和动量、能量和时间等物理量之间的测量不确定性。
不确定关系揭示了量子世界的测量困难和观测的局限性，深刻影响了我们对微观粒子的认识。
三、波粒二象性波粒二象性揭示了微观粒子既具有粒子性又具有波动性的特征。
它由德布罗意关系给出，表明了微观粒子的动量与波长之间的关系。
波粒二象性是量子力学的核心概念之一，对于解释干涉、衍射等现象具有重要意义。
四、量子力学的统计解释量子力学的统计解释是由波尔和狄拉克等提出的一种解释方法，用概率的形式描述微观粒子的行为。
它通过密度矩阵、统计算符等工具，描述了微观粒子的集体行为和统计规律。
五、量子力学的测量理论量子力学的测量理论描述了在测量微观粒子时，测量结果的统计规律和可能的扰动。
它通过投影算符、本征值等概念，给出了测量算符的表达和测量结果的概率分布。
六、量子力学的变分原理量子力学的变分原理是通过变分法求解薛定谔方程的一种方法。
它通过最小化能量泛函，得到精确的波函数和能量本征值。
变分原理在量子化学、固体物理等领域有广泛应用。
七、量子力学的量子力学力学守恒定律量子力学的力学守恒定律描述了微观粒子的动量、角动量和能量等守恒规律。
它通过对应的算符和守恒量的对易关系，给出了守恒定律的数学表达。
八、量子力学的微扰理论量子力学的微扰理论是处理微观粒子在外界扰动下的行为的一种方法。
它通过对薛定谔方程引入微扰项，展开波函数的级数解，得到微扰态的修正。
微扰理论在原子物理、核物理等领域有广泛应用。
第六章 定态微扰论与变分法
En E E E
n
(0) n (0) n
(1) n (1) n
2
(2) n 2 (2) n
E
k
k
(k ) n (k ) n
(5)
(6)
将以上几式代入（1）式得：
ˆ (0) H ˆ (1) )( (0) (1) 2 (2) ) (H n n n (E
(1) (0)* ˆ (0) En n H n d H nn
(0)
0
(1) ˆ 在 n 态中的平均值。 能量的一级修正值 En 等于 H
(1) 已知 E 后，由（９）式可求波函数的一级修正 n 。
(1) n
(1) ˆ (0) 的本征函数系 l(0) 展开 将 n 按H
由这组方程可以逐级求得其各级修正项，即求得能量和 波函数的近似解为：
(0) (1) (2) En En En En
(0) (1) (2) n n n n
E (nk )
n ( k )
(12)
(13)
ˆ (1) H ˆ H
其中：
1 1 En 、 n 为一级修正，
n 1 xn1,n xn,n1 ( ) 2
1 2
6.2 简并态微扰论
( 0) ˆ ( 0) 的本征值 E ( 0) 假设 En 是简并的，即对于 H n ( 0 ) ( 0 ) ˆ i En i , i 1,2,k 有多个本征函数 1,2 ,k , H (1) ( 0) 如何选择零级近似波函数 n 呢？
(0) n
Ci(0)i
i 1
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量子力学的变分法-量子力学的变分法
解薛定谔方程的一种应用范围极广的近似方法。
对于束缚定态，它是基于能量本征值方程（即不含时间的薛定谔方程）与能量变分原理的等价性，通过求能量的极值得到能量本征值方程的解。
在处理具体问题时，总是采用波函数某种特殊的变化去代替最普遍的任意变分，这样就可得到依赖于波函数特殊形式的近似解。
这种方法称为变分法。
若体系的哈密顿量算符为彑，其能量本征值方程为
, (1)
该体系的能量平均值
(2)
是波函数φ的泛函。
式中表示对体系全部坐标积分。
可以证明，求彑的本征值方程，等价于求解
(3)
也就是满足变分原理(3)的φ为彑的本征函数,唕的极值为所对应的本征值，即
(4)
这样，如果能猜测到一个φ正好满足式(1),则由式(2)所得的唕【φ】等于E，如果猜测的φ与ψ略有不同,则唕【φ】必定大于E，因而唕【φ】总是给出唕的一个上限。
当做了多次猜测之后,其中最小的唕一定是这些猜测中最好的，这样就把最小的唕取作E的近似值。
应用以上手续可得到一种通过猜测去计算能量近似值的方法。
改善波函数通常是通过一个含连续参数的特殊形式的波函数φ(q,α1,α2,α3,…)来实现的，这样唕也就是这些参数的函数。
式中q代表体系的全部坐标，所猜测的波函数φ(q, α1,α2,α3,…)称为尝试波函数,变分参数(α1,α2,α3,…)是待定的。
根据变分原理，由唕取极值，则有
(5)
通过以上方程组可解得(i=1,2,3,…)，于是φ(q,α嬼, α嬽, α嬿,…)和E(α嬼, α嬽, α嬿,…)分别是ψ和E在φ(q,α1,α2,α3,…)形式下最好的近似。
它的近似性来源于用参数的变化代替了普遍形式的任意变分、显然，参数愈多,尝试波函数的变化愈普遍,所得结果愈好。
在选取尝试波函数时,要注意使其与ψ满足相同的边界条件。
如果尝试波函数φ与精确解的差为Δ量级,则唕与精确解的差为｜Δ｜2量级，因而即使用粗糙的尝试波函数也可得到近似性很好的能量本征值。
通常用这种方法求体系基态能量的近似值。
考虑到不同能量的本征函数彼此正交,也可以由低至高逐级求激发态能量的近似值,其近似性较基态为差。
变分法的优点在于运用它求解不受什么限制，但是由于结果的好坏完全取决于尝试波函数的选择，致使结果的任意性大。
以上是解束缚定态的变分法。
对于散射问题，如将决定能量的变分原理改为决定相移的变分原理，以上方法的基本思想仍适用。
变分法也常与量子力学的微扰论结合起来使用。