随机过程第二章2

2 1
⎛1 ⎜ ⎜0 − Bt n −1） 0 ⎜ ⎜ ⎜M ⎜0 ⎝
1 L 1⎞ ⎟ 1 L 1⎟ 0 L 1⎟ ⎟ M L M⎟ 0 L 1⎟ ⎠
所以 ( Bt 1 , Bt 2 ,L , Bt n ) 是n维正态变量.
所以， ,σ )-布朗运动是一个正态过程 (µ
2
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ϕ (t1 ,L , tn ; u1 , u2 ,..., un ) = e
1 ( jmX ( tk ) uT − uCuT ) 2
=e
1 j uk m X ( tk ) − uk ul C X ( tk ,tl ) 2 k =1 l =1 k =1
∑
n
∑∑
n
n
称为正态过程X的特征函数，其中CX(⋅,)为协方差函数. ⋅
第三章 布朗运动（维纳过程）
1. 1827年植物学家布朗观察到现象 2. 1905 爱因斯坦由物理定律导出其数学描述 3. 1918后维纳提出其简明的数学公式——维纳过程
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布朗运动内容
布朗运动定义 布朗运动的一些性质 与布朗运动的相关的随机过程
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re
=∫
+∞
−∞
y ϕt ( y )dy = 2 ∫ y ϕt ( y )dy
0
+∞
= 2∫
+∞
0
y (令 z= ) t
2 = 2π
∫
y2 +∞ − 2t 0
1 y e 2πt
y2 − 2t
dy
e
y dy t
2 +∞ − 2 2t = ∫0 e z tdz = π 2π
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= e µ ( s +t ) E[e 2σWs e σ (Wt −Ws ) ] = e µ ( s +t ) E[e 2σWs ]E[e σ (Wt −Ws ) ] =e
σ2 ( t −s ) µ ( s +t ) 2σ 2s 2
e
e
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5. 反射布朗运动 定义
−∞
x1 x1 x1
= ∫ P(η ≤ x 2 -y )ϕt 1 ( y )dy
−∞
=∫
−∞ −∞
∫
x 2− y
ϕt
2 −t 1
( z )dzϕt 1 ( y )dy
其中ϕt 1 ( y )为N(0,t 1 )分布的密度函数，
ϕt
2 −t 1
( z )为N(0,t 2 -t 1 )分布的密度函数。
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例1 验证布朗运动是正态过程 证明 设 W={Wt,t≥0}是参数为σ2的布朗运动，则由 0 定义，对任意的n≥1,及任意的 ≤ t1 < t 2 < L < t n
Wt 1 ,Wt −Wt , L ,Wt n −Wt n 相互独立且
2 1 −1
Wt k −Wt k
所以
−1
N(0，σ (t k − t k −1 ))
布朗运动{W(t),t≥0} 的轨道是不可微的
事实上，有
∆W t P ( lim > x) = 1 ∆t → 0 ∆ t
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与布朗运动的相关的随机过程 设W= {Wt,t≥0}是标准布朗运动， 1. d-维标准布朗运动 如果W1,…,Wd,是d个相互独立的标准布朗运动， 则称(W1,…,Wd)是d-维标准布朗运动.
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自相似性 即对任意常数a>0固定的t>0， 有 a1/2Wt Wat
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时间逆转性 即对固定的T>0，定义: Bt =WT –WT-t 0≤t ≤ T 则B ={Bt 0≤t ≤ T}也是标准布朗运动. (称为W的时间逆转过程).
2
CW ( s ,t ) = RW ( s , t ) − mW ( s )mW (t) = min( s , t )
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例1 试计算标准布朗运动的一、二维分布函数
一维分布函数 F(t 1 ; x ) = P(Wt1 ≤ x )
= 1 2πt1
∫
x
-∞
e
x2 2t1
例 5 计算几何布朗运动的均值函数和相关函数 解：均值函数 m B (t ) = E[Btge ]
ge
= E[e
µt
Btµ ,σ
2
]=E[e µt +σWt ]
=e E[e
=e e
tσ 2 µt 2
σWt
]
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相关函数 R Bge (s ,t ) = [E[e µs +σWs e µt +σWt ]
令ξ = Wt1 , η = Wt 2 − Wt1 ,则ξ 服从N(0, t 1 )分布，η 服从N(0, t 2 − t 1 )分布 所以 F(t 1 ,t 2 ; x 1 , x 2 ) = P( ξ ≤ x 1 , ξ + η ≤ x 2 )
= ∫ P(η ≤x 2 -y )P(ξ ∈ dy )
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2. ( µ , σ 2 ) − 布朗运动
设µ ∈ R,
σ > 0,
B
µ ,σ 2 t
定义Байду номын сангаас
= µt + σWt ,
t ≥0
则称随机过程B
µ ,σ 2
={B
µ ,σ 2 t
, t ≥ 0}为(µ ,σ 2 )-布朗运动
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数字特征 设 {Wt,t≥0}是标准布朗运动.则
mW (t ) = 0, DW (t ) = t , t ≥ 0, RW ( s, t ) = CW ( s, t ) = min( s, t ), s, t , ≥ 0
证明
由定义易知有
mW (t ) = 0, DW (t ) = t , t ≥ 0
−1
−1
相互独立且
2
Bt k − Bt k 服从N ( µ(t k − t k −1 )，σ (t k − t k −1 ))分布
所以 （Bt 1 , Bt 2 − Bt 1 , L , Bt n − Bt n −1）是n维正态变量.
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又由于
( Bt 1 , Bt 2 , L , Bt n ) =（Bt 1 , Bt − Bt ,L , Bt n
Btre = Wt ,
t ≥0
Wt ≥ 0 ⎧ Wt , =⎨ , t ≥0 Wt <0 ⎩−Wt , 则称随机过程Bre = {Btre , t ≥ 0}为反射布朗运动
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例6
计算反射布朗运动的一维分布函数
解： ≥ 0时，有 x F(t ; x ) = P(B ≤ x )
布朗运动定义 称实随机过程{Wt,t≥0}是参数为σ2的布朗运动,如果
(1) W0 = 0
(2)
(3)
{Wt , t ≥ 0} 是平稳的独立增量过程．
∀0 ≤ s < t , Wt − Ws ~ N (0, σ 2 (t − s ))
σ2 =1时，称为标准布朗运动
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1 L 1⎞ ⎟ 1 L 1⎟ 0 L 1⎟ ⎟ M L M⎟ 0 L 1⎟ ⎠
所以 (Wt 1 ,Wt 2 , L ,Wt n ) 是n维正态变量. 所以W是正态过程.
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布朗运动的性质 设W= {Wt,t≥0}是标准布朗运动，则W具有 对称性 即 -W= {-Wt,t≥0}也是标准布朗运动
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4. 几何布朗运动
设µ ∈ R, 其中B
µ ,σ 2 t
σ > 0,
B =e
ge t
Btµ ,σ
2
定义 ,
Btµ ,σ
2
t ≥0
,t ≥ 0}为几何布朗运动
是(µ ,σ 2 )-布朗运动,
ge
则称随机过程B = {e
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re t
= P( Wt ≤ x ) = P( −x ≤ Wt ≤ x )
= ∫ ϕt ( y )dy
−x +x
1 其中ϕt ( y ) = e 2πt
y2 − 2t
, 即N (0, t )分布的密度函数
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例7
计算反射布朗运动的均值函数和方差函数 解：均值函数 m B (t ) = E[ Wt ]
2
（Wt 1 ,Wt 2 −Wt 1 , L ,Wt n −Wt n −1） 是n维正态变量.
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又由于
(Wt 1 ,Wt 2 , L ,Wt n ) = (Wt 1 ,Wt −Wt ,L ,Wt
2 1
n
⎛1 ⎜ ⎜0 −Wt n −1 ) ⋅ ⎜ 0 ⎜ ⎜M ⎜0 ⎝
例 1 计算(µ ,σ 2 )-布朗运动的均值函数和相关函数
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例 2 验证(µ ,σ 2 )-布朗运动是一个正态过程
证明 对任意的n≥2,及任意的 0 ≤ t1 < t 2 < L < t n
Bt 1 , Bt − Bt ,L , Bt n − Bt n
2 1
对s≥0, t ≥0,不妨设 s≤t,则
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RW ( s , t ) = E[WsWt ]
= E[(Ws −W 0 )(Wt −Ws +Ws )]
独立性
= E[(Ws −W 0 )(Wt −Ws )] + E[Ws ]2 = 0 + E[Ws ]2 = D [Ws ] + (E[Ws ]) =s = min( s , t )
例 4 验证布朗桥是正态过程
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例5 定义从a到b的布朗桥： B
a→b t
= a+(b-a)t + B ,t ∈[0,1]
br t
其中a和b为实数 试计算其数字特征，并验证它也是正态过程
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多元特征函数 设n维随机变量X=(X1,X2,…,Xn)的联合分布函数为 F(x1,x2,…,xn),则称
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n维正态变量的特征函数
设n维随机变量(X 1 , X 2 ,..., X n )服从正态分布N µ，C） （ 其中µ为均值向量，C为协方差矩阵. 则该n维向量的特征函数为
ϕ (u1 , u2 ,..., un ) = e
1 ( j µ uT − uCuT ) 2
3. 布朗桥
对任意的t ∈[0,1], 定义 B =Wt −tW1, 则称随机过程Bbr ={Btbr , t ∈ [0,1]}为从0到0的布朗桥
易知：B0 =Bbr =0 1
br
br t
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例 3 计算布朗桥的均值函数和相关函数
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布朗运动{Wt,t≥0} 的轨道是连续的 事实上，利用布朗运动定义中 的（2）（3）两条 件，可以验证布朗运动满足随机过程的柯尔莫哥洛 夫（轨道）连续性判断准则。
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布朗运动的仿真样本轨道
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dx
(其中注意到有Wt1
N(0,t1 ))
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例1 试计算标准布朗运动的一、二维分布函数
二维分布函数为 F(t 1 ,t 2 ; x 1 , x 2 ) = P(Wt1 ≤ x 1 , Wt 2 ≤ x 2 )= P(Wt1 ≤ x 1 , Wt1 + (Wt 2 − Wt1 )≤ x 2 )
z2
方差函数 D Bre (t ) = E[ Wt ]-E[ Wt ]
2
2
2
2t 2t = E[ Wt ]- =t − π π
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6. 奥恩斯坦-乌伦贝克过程
设α > 0, 定义 B = e W γ (t ) ,
t
ϕ (u1 , u2 ,L un ) = E[e
j ( u1 X 1 + u2 X 2 +L+ un X n )
]
= E[e
juX T
]
= ∫ L∫ e
−∞ −∞
+∞
+∞
j ( u1 x1 + u2 x2 +L+ un xn )
dF ( x1 , x2 ,L, xn )
为n维随机变量X的特征函数.也称多元特征函数
n n n
=e
1 j uk µk − uk ul COV ( X k , X l ) 2 k =1 l =1 k =1
∑
∑∑
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正态过程的特征函数 设X= {Xt,t∈[0，+∞}}是正态过程, 对任意n≥1及 t1,t2,…,tn∈[0，+∞} n维随机变量{Xt1, Xt2, …, Xt n)} 的n维特征函数