平面向量中“三点共线定理”妙用

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(完整版)平面向量中“三点共线定理”妙用

平面向量中“三点共线定理”妙用对平面内任意的两个向量b a b b a//),0(,≠的充要条件是：存在唯一的实数λ，使b a λ=由该定理可以得到平面内三点共线定理：三点共线定理：在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O ，存在唯一的一对实数x,y 使得：OP xOA yOB =+且1x y +=。

特别地有：当点P 在线段AB 上时，0,0x y >> 当点P 在线段AB 之外时，0xy <笔者在经过多年高三复习教学中发现，运用平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式解决高考题，模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式的妙用,供同行交流。

例1（06年江西高考题理科第7题）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若1200OB a OA a OC =+，且A 、B 、C 三点共线，（设直线不过点O ），则S 200=（） A ．100B ．101C ．200D ．201解：由平面三点共线的向量式定理可知：a 1+a 200=1,∴1200200200()1002a a S +==,故选A 。

点评：本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起，是一道经典的高考题。

例2 已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点，且满足R y x AC y AB x AP ∈+=.,，则yx 41+ 的最小值是解：点P 落在ABC 的边BC 上 ∴B ，P,C 三点共线AP xAB yAC =+ 1x y ∴+=　且x>0,y>014141444()1()()145y x y xx y x y x y x y x y x y∴+=+⨯=+⨯+=+++=++　x>0,y>040,0y xx y ∴>> 由基本不等式可知：4424y x y xx y x y+≥⨯=，取等号时4y xx y =224y x ∴=2y x ∴=±0,0x y >>2y x∴=1x y +=12,33x y ∴==，符合所以yx 41+的最小值为9 点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起，较综合考查了学生基本功.例3（湖北省2011届高三八校第一次联考理科）如图2，在△ABC 中，13AN NC =，点P 是BC 上的一点，若211AP mAB AC =+，则实数m 的值为（） A ．911 B. 511 C. 311 D. 211解：,,B P N 三点共线，又2284111111AP mAB AC mAB AN mAB AN =+=+⨯=+ 8111m ∴+= 311m ∴=，故选C 例4（07年江西高考题理科）如图3，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB ＝ m AM ，AC ＝n AN ，则m ＋n 的值为．解：因为O 是BC 的中点，故连接AO ，如图4，由向量加法的平行四边形法则可知：1()2AO AB AC ∴=+m AB AM ＝，AC nAN =1()2AO mAM nAN ∴=+22m nAO AM AN ∴=+又,,M O N 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：122m n+= 2m n ∴+=例5（广东省2010届高三六校第三次联）如图5所示：点G 是△OAB 的重心，P 、Q 分别是边OA 、OB 上的动点，且P 、G 、Q 三点共线．设OA x OP =，OB y OQ =，证明：yx 11+是定值；图3图4图2证明：因为G 是OAB 的重心，211()()323OG OA OB OA OB ∴=⨯+=+1OP xOAOA OP x=∴= 1OQ yOBOB OQ y=∴=111111()()3333OG OA OB OP OQ OG OP OQ x y x y∴=+=+∴=+ 又,,P G Q 三点共线，11133x y ∴+= 113x y ∴+= 11x y∴+为定值3例6（汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试）如图6所示,在平行四边形ABCD 中，13AE AB =,14AF AD =,CE 与BF 相交于G 点，记AB a =，AD b =，则AG =_______A ．2177a b + B. 2377a b + C. 3177a b + D. 4277a b +分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点F 、G 、B 以及E,G,C 三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。

向量中三点共线结论的运用

而： OD OA OB =kOC 【结合两组共线条件】

1 OC = OA OB m n , 1 【联系所求表达式，转换条件】 k k k k k
点评：运用极限思维也可以解决这道题。当ＡＢ距离无限接近于０时（即：A、B 重合为一点时）：
1. 其实两道题描述的都是相同的情景，第一题等价于：已知：O 是钝角三角形的外心，且
OC xOA yOB x、y R ，求 x y 的取值范围。刚好是对偶的题目。
2. 第二题在第一题的基础上有所提高，需要自己构造 D 点。所谓外心其实是为了提供一个外接圆，初做此题容易使人联想到外心的性质，误入歧途。但实际上两题基本思路一致，甚至利用极限情况求解的方式也一致。 3. 利用极限情况求解往往可以达到很好的解题效果。
1 OC OA= OB ，m=n= ，m+n=-1；当 AB 距离无限接近于外接圆直径时（即：△趋近 2
于直角△）：m=n→（趋近于），m+n→ 。当然，以上两种极端情况都不可能取到，所以用开区间 , 1 。
三、总结归纳

.
2015.1.22 JZX
解答：令 OC 的反向延长线与 AB 交于点 D， OD kOC ，由于 D 在圆外，则 k 1,0 【C、 O、D 的三点共线的条件】

D、A、B 三点共线，可令： OD OA OB =1 【D、A、B 的三点共线的条件】
点评：运用极限思维也可以解决这道题。当 OA 无限接近于 OD 时（即：D 在圆上时）：m=-1， n=0；当 AB 平行于 OC 时（即：CO、BA 交于无穷远处时）：m=-n，m+n=0。当然，以上两种极端情况都不可能取到，所以用开区间 1, 0 。 2. （2015·绵阳一诊 10 改编）已知： O 是锐角三角形的外心，且 OC xOA yOB x、y R ，求 x y 的取值范围答案： , 1

向量三点共线定理及其延伸应用汇总

向量三点共线定理及其延伸应用汇总1.如何判断三点共线？根据向量三点共线定理，只需判断向量AB和向量AC是否共线即可。

如果它们共线，即存在实数k，使得向量AB=k向量AC，则三点A、B、C 共线。

2.判断四点共面问题将四点依次相连，可以形成三个向量：向量AB，向量AC和向量AD。

如果这三个向量共面，则四点A、B、C、D共面。

这可以通过判断向量AB 和向量AC是否共线，以及向量AB和向量AD是否共线来进行。

3.判断平行四边形平行四边形是指具有两对平行的对边的四边形。

如果一个四边形ABCD是平行四边形，那么向量AB和向量CD是共线的，向量AD和向量BC 也是共线的。

因此，可以通过判断向量AB和向量CD是否共线，以及向量AD和向量BC是否共线来判断一个四边形是否为平行四边形。

4.求解向量坐标问题假设已知三个点A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)在坐标平面上，现要求证这三个点共线。

可以将它们看作向量，向量AB=(x2-x1,y2-y1)和向量AC=(x3-x1,y3-y1)。

如果这两个向量共线，即存在实数k，使得向量AB=k向量AC，则三个点共线。

5.解决线段相交问题如果已知线段AB和线段CD，在平面上是否相交？可以将线段AB表示为向量AB，线段CD表示为向量CD。

如果向量AB和向量CD共线，那么线段AB和线段CD必定相交；反之，如果不共线，则线段AB和线段CD不相交。

6.判断三角形共线问题已知三角形ABC，如果顶点A、B和C共线，即向量AB和向量AC共线，则三角形ABC退化为一条线段。

7.探索顺、逆时针旋转问题已知三点A、B和C按照顺时针旋转形成的向量AB和向量AC是否共线？如果向量AB和向量AC共线，则这三点按顺时针方向排列；反之，如果不共线，则这三点按逆时针方向排列。

8.求解线段长度问题定理：若O为向量OA与向量OB的中点，则向量OA和向量OB共线且长度相等。

利用这个定理，可以求解线段长度。

三点共线向量式的巧妙运用

２（ａ－ｂ＋ｂ）由均值不等式得ｂ（０，ａ－ｂ）≤ ＝４
１４４２２当且仅当ａ · ２＝４， ≥ａ＋２ ≥ ２ｂ（ａ－ｂ）ａａ
槡
ａ－ｂ＝ｂ且ａ２＝
＝
４时等号成立解得．ａ＝槡２，ｂ２ａ５
２，２时，的最小值是槡又ｃ＝ａ＝槡ｕ４．２５
１
ＣＰＣＮ２故Ｓ△ＡＰＣＣＰ２＝＝，＝＝．ＣＢＣＡＳ△ＡＢＣＣＢ３３２有关计算和证明问题此类问题如果善于利用三点共线向量式，往
∴ 往使问题的求解变得非常简便．例３（２００７年江西卷）如右图，在 △ＡＢＣ中，Ｏ是，中点过点的直线分别ＢＣＯ交直线ＡＢ、ＡＣ于不同两点 → → Ａ → 若ＡＭ、Ｎ，Ｂ＝ｍＡＣＭ，＝Ｎ →，则ｍ＋ｎ的值ｎＡ为．１（ｍ → Ｏ → Ｂ → → 解ＡＡＣ）＝ＡＭ＋＝＋Ａ２２
ＢＣ的外心，ＡＢ＝６， △Ａ → Ｂ → → 若Ａ且２ＡＣ＝１０，ＯＣ，ｘ＋１０＝ｘＡ＋ｙＡｙ＝
４４
中学数学教学
２０１０年第５期Ｐ → ２Ｂ → Ｐ → ０，又Ａ＋Ｐ＋３Ｃ＝ → → →， ∴ＡＰ＝－２ＢＰ－３ＣＰＰ → Ｐ → ３Ｐ →）（１Ｐ →， ∴ ｔＣＢＢ＝－－２－Ｃ＋ λ－） λ（Ｐ → （Ｐ → ０．））即（３ＢＣ＋３＝ λ－１ λ－ｔＰ →、Ｐ → 不共线， ∵ＢＣ１ λ＝，３ λ－１＝０烄３ ∴ ３ λ－ｔ＝０烅ｔ＝１，烆 → → ∴ＰＱＰ＝ｍ＝Ｃ → → Ｑ → ２ ∴ＣＱＰ＋Ｐ＝Ｃ＝ｍ．评注本题既考虑到三点共线向量式，同时

平面向量中的三点共线结论的应用

若，3.已知B 为OAC 边AC 上一点，且满足OC y OA x OB +=4，不等式222313x y m m x y +≥-++恒成立时，实数m 的最值范围为___________.巩固练习1.在ABC ∆中，4AB =，O 为三角形的外接圆的圆心，若),(R y x AC y AB x AO ∈+=且21x y +=，则ABC ∆的面积的最大值为_____．2.在P AB ∆中，,60,9,80=∠==APB PB P A 点C 满足PB y P A x PC +=,且,0,0,532≥≥=+y x y x 其中则||PC 的最大值为______，最小值为______.3.已知ABC ∆的外心为O 满足AC y AB x AO +=,若,10,6==AC AB 且,5102=+y x 则=∠BAC cos ______.例5.如图，M 为△ABC 的中线AD 的中点，过点M 的直线分别交线段AB 、AC 于点P 、Q 两点，设AP xAB =，AQ y AC =，记()y f x =，设32()32g x x a x a =++，[0,1]x ∈，若对任意11[,1]3x ∈，总存在2[0,1]x ∈，使得12()()f x g x =成立，则实数a 的取值范围为______.巩固练习2.（2022·辽宁葫芦岛·高三期末）如图，在等腰ABC 中，已知2AB AC ==，120A ∠= ，E ，F 分别是边AB ，AC 上的点，且AE AB λ= ，AF AC μ=，其中λ，R μ∈，且21λμ+=，若线段EF ，BC 的中点分别为M ，N ，则MN的最小值是（）A ．77B ．217C ．2114D ．213．（2023·全国·高三专题练习）直角三角形ABC 中，P 是斜边BC 上一点，且满足2BP PC =，点M 、N 在过点P 的直线上，若AM m AB = ，AN nAC =，()0,0m n >>，则下列结论错误的是（）A ．12m n+为常数B ．m n +的最小值为169C ．2m n +的最小值为3D ．m 、n 的值可以为12m =，2n =巧用杠杆原理处理三角形中的向量问题数值，各线段上得如图所示各点的标数则根据杠杆平衡原理可，已知三角形中的赋值标数法,d,cNC AN b a MB AM ==点数值乘数值等于点数值乘线段上，段数值乘积相等。

平面向量三点共线定理的推论及空间推广

平面向量三点共线定理的推论及空间推广三点共线定理，又称三点确定一直线，它是平面几何学中一个基本定理。

它宣称，假设有三个不同的点，它们一定能构成一条直线。

本文主要介绍三点共线定理的推论及平面的推广，并且进一步评论该定理在空间几何中的推广。

一、三点共线定理：1. 定义：三点共线定理，又称三点确定一直线，是指，任意三个不同点，它们一定能构成一条直线。

2. 推论：（1）若由不同的三点确定的直线上含有两点，那么其余一点必然也在这条直线上。

（2）如果有一条直线上含有两点，则另一点也必然在这条直线上。

3. 例子：我们从A、B、C三点可以确定一条直线，若在这条直线上发现了B1点，B1点必然和A、C也在这条直线上。

二、平面推广：1.定理：三点共线定理也同样拓展到了平面中，即：任意三个不同点，必定能构成一个平面或一个平行于某平面的直线。

2.推论：（1）若由不同的三点所确定的平面上含有两点，那么另一点必定也在这个平面上。

（2）如果一个平面上含有两点，则另一点也必定在这个平面上。

3.例子：三个点A、B、C在一个平面上，若在这个平面上发现了B1点，那么A、C也必定在这个平面上，这样就可以确定这个平面。

三、空间推广：1.定理：三点共线定理可以拓展到空间几何中，即：任意三个不同点，必定能构成一个平面或一个空间中的直线。

2.推论：（1）若由不同的三点所确定的平面上含有两点，那么另一点必定也在这个平面上。

（2）如果一个平面上含有两点，则另一点也必定在这个平面上。

3.例子：如果三个点A、B、C全都在空间中，若空间中发现了B1点，那么A、C也必定在平面上，这样就可以确定这个平面。

总结：三点共线定理是一个基本定理，指任意三个不同点，一定能构成一条直线，并且这个定理在平面和空间几何中都能成立，一个平面或一个空中的直线，它的推论雷同，即：若有两点，另一点也在这个平面或这条直线上。

向量中有关三点共线的一个结论的简单应用

2021年第07期总第500期数理化解题研究向量中有关三点共线的一个结论的简单应用孙红(浙江省青田中学；2；900)摘要：向量具有几何和代数的双重属性，它是沟通几何与代数的桥梁，注重运用向量解决数学问题,体现了几何与代数的融合，有利于培养学生的数学思维能力，有利于提升数学学科核心素养.本文结合具体的实例，探讨了向量中三点共线的一个结论的简单应用•关键词：向量；三点共线；应用中图分类号：G632 文献标识码:A 文章编号：；008 -0333(202；)07 -0049 -03向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，是解决解析几何的有力工具,有着丰富的实际背景和深刻的几何背景.向量来源于物理，并且兼有”数”和”形”的特点，坐标表示使平面内的向量和坐标建立了一一对应的关系，将“数”与“形”紧密结合起来’从而将图形的基本性质转化为向量的运算体系•在平面向量的解题中涉及到三点共线时经常用到下面的结论,我们一起来探讨一下•结论已知0，A ,B ，C 四点共面，若0C 二入°4 + “ OB(入，“ e R ),则A ,B ,C 三点在同一条直线上的充要条件是入 + “ - 1.证明 (先证必要性) 若A ,B , C 三点在同一条直线上，则存在t e R ,使得A C - t AB.所以O B - 04 -t ( O B - B ).即 B - (1 - t )04 + t 0B -入 B + /zO B .则r -；-t ，此时入+“-1.z 二t ,(再证充分性)若入+ z - 1,则0C -入04 + z 0B - (1 -z )0B + z 0B .所以0B - 0B -z (0B - 0B ).即A C -/zA B .所以A ,B ,C 三点在同一条直线上.综上所述,A ,B , C 三点在同一条直线上的充要条件是入+ z — ； •点评平面向量三点共线结论中三个向量04,0B , 0B 必须是同起点，其中蕴含了一个几何特征，即三点共线和一个代数结论入+ z -1 •上述结论中包含了两个方面：(；)若A ,B ,C 三点在同一条直线上，则入+ z -1； (2)若入+ z -；,则A , B , C 三点在同一条直线上•在向量解题中要注意灵活应用,即结论的正用和逆用,下面一起来看一下结论的简单应用.题1在A ABC 中,D ,E 分别是线段BC 上(除端点外)的两个动点,B + B -% A b + yA c ,求丄+ 4的最小值.%y分析因为B ,D ,C 三点共线，所以存在m E R ，使得A 力-mA B + (1 - m )A C . ①同理，由B , E , C 三点共线，则存在n e R ,使得A B -nA B + (1 - n )AC.②所以AD + AE - (m + n )A B + (2 - m - n )AC - % A B +% - m + n , “ …y AC ,即｛解得 % + y -2•y - 2 - m - n ,又分别是线段BC 上的两个动点,所以0 < m <1,0 < n < 1.2% - 3、时等号成立.4y -；所以 0 <%,y <2.所以丄+ -y -I I 1 +%y 2 V %/5+2 弹・4% ]-9,V %y 丿2,'% + y -2,当且仅当y 4%即V %y ,:0( %+y )-2 f 5 + % +4；所以丄+ ~~的最小值为刍.% y 2点评本题条件不多，解题时要充分利用已知条件找到%,y 满足的关系式•上述解题过程中利用了平面向量三点共线的一个结论’根据B ,D ,C 三点共线和B ,E ,C 三点共线可得到等式①和②，结合已知条件可得% + y -2,因此本题就转化为在% + y -2和0<%,y <2的条件下，求丄+ 土%y收稿日期：2020 -12 -05作者简介:孙红(1979 -)，女，安徽省宿县人，中学高级教师，从事高中数学教学研究.— 49—数理化解题研究2021年第07期总第500期的最小值问题，利用1的代换容易求出最小值题2 已知0为△ 4BC 所在平面内的一点,0》—4 0》,0力—1 0》,4D 与BC 交于点M ,设0》—a , 0》—b .用a ,b 表示0》.分析这是学生作业本上的一道习题，学生拿到这道题可能会感觉无从下手,题目中涉及的向量比较多，事实上,根据题目条件4,M ,D 三点共线，存在m e R ,使得而—m 0》+ (1 - m )0》—m a +辽％①同理B ,M ,C 三点共线，存在n e R ,使得》—n0》+ (1 - n )0》—a + (1 - n )b .②一n m 二才，由等式①和②可得，解得＜1 - m v4n — .1 ；所以0M — 7 a + 7 b .当然本题也可以利用平面图形的几何性质来解决. 过点》作04交BC 于点N ,根据题意容易得到，DN—1 0C — 1 C4.所以》M — 1 M4,—1》》—2 6 6 77 (0》-0》)—7 卜-1 bj— ； a -[[b .所以0》—0》+—；a + 7 b .题3 已知0为△ 4BC 外接圆的圆心,4B —6,4C —15,40 — % 4》+ y 4》,2% +3y — 1,求 cosZ B4C 的值.分析 40 — % 4》+ y 4C — 2% x 2 4》 + 3 y x ； 4》,令4》丁 — 1 4》,4C ； — 1 4》,贝V 40 —2% 4》；+ 3y 4C ；.因为 2%+ 3y — 1,所以0,B',C '三点共线•又0为厶4BC 外接圆的圆心,B ；是线段4B 的中点,所以B'C ；是线段4B 的中垂线•在 RtA 4B'C ；中，有 4B ； — 1 4B —3,4C ； — ； 4C — 5,4B ；cos/B'4C ‘ — 4》3—5 •即 cosZ B4C35点评上述解题过程利用了平面向量中三点共线的结论，因为题目条件中给出等式2% +3y — 1,有时我们会想能否利用三点共线的结论,而要利用结论必须要出现系数2%和3y ,因此需要对已知等式进行恒等变形，即40—%4》+ y4》—2% x 2 4》+ 3y x ； 4》,这时只需令4》—1 4》,4》—；4》,贝V 4》—2% 4》+3y4》.又 2% +3y — 1, 容易得到0,B ；,C ；三点共线,这是三点共线结论的逆用, 通过对已知等式进行恒等变形，结合已知条件构造三点共线进行解题，这种解题思路在向量解题中经常运用.题4给定两个长度为1的平面向量0》和0》,它们的夹角为120°,点C 在以0为圆心的圆弧4B 上变动，若0C — % 0》+ y 0》(% ,y e R )，求% + y 的最大值•分析连接4B 交0C 于点》，因为4,B ,》三点共线,则存在 m , n e R ,使得0》—m 0》+ n 0》,m + n — 1(m ,n e R ).又0,》,C 三点共线,所以存在t e R ,使得0》 -t0》 — tm 0》 + tn 0》—% 0》+ y 0》.即｛，解得 % + y — t ( m + n ) — t.y — tn.又t俑—嵩，当0》丄4B 时」轨占此时t唤—2,即% + y 的最大值为2 •点评上述解题过程中利用了 4,B ,》三点共线，存在m ,n e R ,使得0》—m 0》+ n 0》,m + n — 1,以及0, D , C 三点共线，存在t e R ,使得0》—t 0》,从而得到等式% +y — t.又t — 0》— J ,因此要求% + y 的最大值，即求|0》 |0》0》的最小值,结合图形容易求得答案•事实上，假若%+ y — 1,则4,B ,C 三点共线，但是因为点C 在圆弧4B 上运动，因此只需将直线4B 平移至4'B ‘，使得直线4'B ；与圆弧4B 有交点,即为点C.根据等和线定理容易得到,% + y —-p0》l — 10》|•又'0》e [t ，1 ]，所以%+ y 的最大值为2 ,此时直线4'B ‘与圆弧4B 相切，切点为点C.思路1根据平面向量分解定理，按照向量加法的几何意义及平行四边形法则,等式0》—%0》+ y 0》表明了将0》向0》和0》方向上进行分解，在0》和0》方向上的投影分别是%,y ,因此我们可以利用余弦定理得到等式%2 + y 2- %y — 1,然后再结合基本不等式知识或△法求解% + y 的最大值.思路2引入变量Z C0B — a ,利用正弦定理将% + y的最大值问题转化为关于a 的三角函数的最值问题.思路3建立平面直角坐标系，将本题转化为向量的代数运算.比如以0》所在直线为%轴，以点0为坐标原点建立平面直角坐标系，容易得到4 (1,0),B设C (cos 0,sin 0)〔0三0三；n )根据0C — % 0》+ y 0》.将 % + y 的最大值问题转化为关于0的三角函数的最值问题.变式若本题的其他条件不变，求2% + y 的最大值. 上述几种方法同样适用，若用到等和线定理,则需将—50—2021年第07期总第500期数理化解题研究已知等式进行恒等变形•事实上’OC-%04+y O B-2%X ；04+y O B,令O M-；04,即M为线段OA的中点，则OC-2%O M+y O B.连接MB交OC于点N，假设2%+y -1,则C,M,B三点共线,但是因为点C在圆弧AB上运动,根据等和线定理,只需将直线MB平移至M'B，,使得直线M‘B，与圆弧相切’切点为点C,此时(2%+y)喰-临-侖，根据图形可得OC丄M'B',MB〃MW.所以OC丄MB,即ON丄MB,在△ABM中利用面积法可求得O/V•题5(2019年浙江高考卷)已知点F(1,0)为抛物线y2-2p%(p>0)的焦点，过点F的直线交抛物线于A,B 两点，点C在抛物线上，使得A ABC的重心G在%轴上，直线AC交%轴于点Q,且点Q在点F的右侧，记A AFG,△CQG的面积分别是S；,S2•(1)求卩的值及抛物线的准线方程；S(2)求S；的最小值及此时点G的坐标.S2分析解析几何是高考重点考查的内容之一,本题考查的是抛物线的标准方程以及直线与抛物线的位置关系,同时考查了学生的转化与化归能力、数形结合能力、运算求解能力,以及运用所学知识分析问题和解决问题的能力,考查逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养•(；)抛物线的标准方程为y2-4%；(2)思路1设点法•设点A(t2,21),写出直线AF的方程，联立抛物线方程可求得点B的坐标(用t表示),结S合已知条件从而求得点C,G,Q的坐标,进而得到S；的表S2达式，可写成关于变量t的函数，最后利用换元法以及基本不等式等知识求得函数的最小值.思路2设出直线AB的方程，如Z AB:%-my+ 1,将直线AB的方程与抛物线方程联立,设A(%；,y；),B(%2,y2),利用韦达定理，结合题目条件容易求得点C,G,Q的坐标, S从而得到S；的表达式，因此问题就转化为求函数的最小S2值问题•这两种方法都比较好,但解题中计算量非常大，很难将解题进行到底，解决此题需要一定的综合解题的能力.思路3有些同学是利用向量知识进行求解，相比较而言计算量较小，在解题过程中利用了平面向量中三点共线的一个结论，及三角形中的重心的性质等知识,最终S将S；最大值问题转化为求函数的最大值问题•下面是利S2用向量法求解本题的部分解析•因为点G是A ABC的重心，则S△agb-S△agc.令A F-入A V,AQ-/zAC(0<入，“<1),贝卩S；-S“G-^S△ABG，S2-S△CQG-(1-z)S△AGC.所以-；—延长AG 交BC于点M,则A M-；(A F+A C),AG-；A M-；(A B+A C).又F,G,Q三点共线，所以存在t e R,使A F -tAF+(1-t)AQ-入tAB+z(；-t)A C-；(AB+AC).即｛入t-V，解得入二2"[•门、13"-；z(；-1)二亍又0<入,z<；,所以2<z<；•A A所以S；二入__S21-z(3z-；)(；-仏)-3^z2+4z-；■3--1+孚——；、三3z+^丿+4-23+4当且仅当｛”-丄,z；；；C T+7-3,即｛\3+3入二6时等号成立.73“-；所以的最小值为；+£•(点G的坐标求解略)解析几何中有关面积最值或范围问题是高考的热点和难点之一，一般来讲有两种常见的解题思路：(1)构造关于所求量的函数,将有关面积的最值或范围问题转化为函数的最值或范围问题；(2)构造关于所求量的不等式来求解最值或范围.解题过程中经常将直线方程与圆锥曲线方程联立,利用韦达定理、弦长公式、点到直线的距离、基本不等式等知识•解析几何作为高考解答题之一，常作为压轴题,解答题重视数学思想、数学方法的理解、掌握与灵活运用，综合性强，难度较大，体现了对学生数学素养的考查.对于本题相比较前面涉及到的三种解题方法中，利用向量法求解本题计算量较少,容易求解.参考文献:[1]何振华.例谈高中数学一题多解的“套路”[J].福建中学数学,2018(12)：38-40.[责任编辑:李璟]—51—。

在平面向量中,三点共线的应用

在平面向量中，三点共线的应用赣州中学龚海院高中数学北师大版必修4课本第二章平面向量，第82页有例题3.题目为：A,B,C 是平面内三个点，且A 与B 不重合，P 是平面内任意一点，若点C 在直线AB 上，则存在实数λ，使得(1)PC PA PB λλ=+-证明：如图所示，因为向量BA BC 与共线，根据向量共线定理可知：证完.注意到: PA PB 与的系数之和为1-+=1λλ（）。

此命题的逆命题也是成立的。

特别说明，。

此命题在解决一些几何问题（诸如“三点共线”或类似的题）时有着广泛的应用。

以下通过例题来加以说明。

下面仅举几例，以飨读者。

例1 如图，在平行四边形ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上。

BN=13BD ，求证：M 、N 、C 三点共线。

证：设1AB e =，2AD e =，（1e 与2e 不共线），则21BD e e =-.∵N 为BD 的三等分点，∴2111()33BN BD e e ==-,而11122BM BA e ==-, ∴21212111211212()333323333BN e e e e e BM BC BM =-=+⨯-=+=+,∵12,33m n ==，且m+n=1，且B 、M 、C 三点不共线，则点M 、N 、C 三点共线。

例2 （06年江西高考题）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若120O B aO A a O C =+，且A 、B 、C 三点共线，（设直线不过点O ），则S 200=A ．100B ．101C ．200D ．201()()(1)BC BAPC PB PA PB PC PB PA PB PC PB PAλλλλλ=-=-=+-=-+,,,,1,,,A B C P PC xPB yPA x y A B C =++=命题：已知平面上四点：，若有且则三点共线。

,1,1-y)(),,PC xPB yPA x y PC PB yPA PB y PA PB PC PB yBA PC PB yBA BC yBA BC BA =++==+=+-=+-==证明：因为且则（即是,所以，故与共线，从而A,B,C三点共线，证完。

平面向量中三点共线定理的应用

平面向量中三点共线定理的应用知识梳理(一)对平面内任意的两个向量b a b b a//),0(,≠的充要条件是：存在唯一的实数λ,使b aλ=由该定理可以得到平面内三点共线定理：(二)三点共线定理：在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O ,存在唯一的一对实数x ,y 使得：OP xO A yOB =+ 且.OP xO A yOB =+ 例题精讲例1设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于()A.OM→B ．2OM→C ．3OM→D ．4OM→例2如图,在平行四边形ABCD 中,AC ,BD 相交于点O ,E 为线段AO 的中点.若BE →＝λBA →＋μBD →(λ,μ∈R),则λ＋μ＝．例3如图所示,在平行四边形ABCD 中，13AE AB = ,14AF AD =,CE 与BF 相交于G 点，记AB a = ,AD b = ,则AG =_______例4在△ABC 中，D 是△ABC 所在平面内一点,且AD →＝13AB →＋12AC →,延长AD 交BC 于点E ,若AE →＝λAB →＋μAC →,则λ－μ的值是．练习1．如图,在三角形ABC 中,BE 是边AC 的中线,O 是BE 边的中点,若AB →＝a ,AC →＝b ,则AO →＝()A.12a ＋12b B.12a ＋13b C.14a ＋12b D.12a ＋14b 2．(2019·济南调研)在△ABC 中,AN →＝14NC →,若P 是直线BN 上的一点,且满足AP →＝mAB →＋25AC →,则实数m 的值为()A ．-4B ．-1C ．1D ．43．在△ABC 中,13AN NC =,点P 是BC 上的一点,若211AP mAB AC =+,则实数m 的值为()A ．911B ．511C ．311D ．2114．如图所示,在△ABC 中,点O 是BC 的中点,过点O 的直线分别交直线AB ,AC 于不同的两点M ,N ,若AB →＝mAM →,AC →＝nAN →,则m ＋n 的值为()A ．1B ．2C ．3D ．45．已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC →＝2AE →，则向量EM →＝()A ．12AC →＋13AB→B ．12AC →＋16AB→C ．16AC →＋12AB →D ．16AC →＋32AB→6．(2019·衡水中学调研)一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB ，AD 分别交于点E ，F ，且交其对角线AC 于点M ，若AB →＝2AE →，AD →＝3AF →，AM →＝λAB →－μAC →(λ,μ∈R),则52μ－λ＝()A ．－12B ．1C.32D ．－37．在平行四边形ABCD 中,E 和F 分别是CD 和BC 的中点,若AC →＝λAE →＋μAF →,其中λ,μ∈R,则λ＋μ＝________．8．在平行四边形ABCD 中,E 和F 分别是CD 和BC 的中点,若AC →＝λAE →＋μAF →,其中λ,μ∈R,则λ＋μ＝________．9．(2019·中原名校联考)如图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，则APPM＝________．10．点G 是△OAB 的重心,P 、Q 分别是边OA 、OB 上的动点,且P 、G 、Q 三点共线．设OA x OP =,OB y OQ =,证明：yx 11+是定值；11．在三角形ABC 中,AM ﹕AB =1﹕3,AN ﹕AC =1﹕4,BN 与CM 相交于点P ,且a AB =,b AC =,试用a 、b表示AP .12．已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点,且满足R y x AC y AB x AP ∈+=.,,求yx 41+的最小值.PABCMN答案例1答案：D 解析：OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝(OA →＋OC →)＋(OB →＋OD →)＝2OM →＋2OM →＝4OM →例2解：因为E 为线段AO 的中点，所以BE →＝12BA →＋12BO →＝12BA →＋1221(⨯BD →)=12BA →＋14BD →＝λBA →＋μBD →，所以λ＋μ＝12＋14＝34.例3解：,,E G C 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x 使得(1)AG xAE x AC∴=+- , 1133AE AB a == ,AC a b=+ 12(1)()(1)(1)33x AG x a x a b a x b ∴=⨯+-+=-+-…………………①又,,F G B 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数λ使得(1)AG AB AFλλ∴=+- 1144AF AD b ==，，1(1)4AG a b λλ∴=+-……………………………②由①②两式可得：213114x x λλ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩6737x λ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩3177AG a b ∴=+ 例4解：设AE →＝xAD →，因为AD →＝13AB →＋12AC →，所以AE →＝x 3AB →＋x2AC →.由于E ，B ，C 三点共线，所以x 3＋x 2＝1，解得x ＝65.又AE →＝λAB →＋μAC →.所以λ＝x 3＝25，μ＝x 2＝35，因此λ－μ＝－15.练习1、答案：D 解析：因为在三角形ABC 中，BE 是AC 边上的中线，所以AE →＝12AC →.因为O 是BE 边的中点，所以AO →＝12(AB →＋AE →)＝12AB →＋14AC →＝12a ＋14b .2、答案：B解析：根据题意设BP →＝nBN →(n ∈R)，则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋nBN →＝AB →＋n (AN →－AB →)＝AB →＋－(1－n )AB →＋n5AC →，又AP →＝mAB →＋25AC →，n ＝m ，＝25，＝2，＝－1.3、答案：C 解析：,,B P N 三点共线，又2284111111AP m AB AC m AB AN m AB AN=+=+⨯=+ 8111m ∴+=311m ∴=4、答案：B 解析：因为O 为BC 的中点，所以AO →＝12(AB →＋AC →)＝12(mAM →＋nAN →)＝m 2AM →＋n 2AN →，因为M ，O ，N 三点共线，所以m 2＋n2＝1，所以m ＋n ＝2.5、答案：C 解析：如图，因为EC →＝2AE →，所以EM →＝EC →＋CM →＝23AC →＋12CB →＝23AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →＋16AC →.6、答案：A 解析：AM →＝λAB →－μAC →＝λAB →－μ(AB →＋AD →)＝(λ－μ)AB →－μAD →＝2(λ－μ)AE →－3μAF →，因此E ，M ，F 三点共线．所以2(λ－μ)＋(－3μ)＝1，则2λ－5μ＝1.因此52μ－λ＝－12.7、答案：43解析：选择AB →，AD →作为平面向量的一组基底，则AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF →＝AB →＋12AD →，又AC →＝λAE →＋μAF →＝12λ＋μ→＋λ＋12μ→，12λ＋μ＝1，λ＋12μ＝1，λ＝23，μ＝23，所以λ＋μ＝43.8、答案：43解析：选择AB →，AD →作为平面向量的一组基底，则AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF →＝AB →＋12AD →，又AC →＝λAE →＋μAF →＝12λ＋μ→＋λ＋12μ→，＋μ＝1，＋12μ＝1，＝2，＝23，所以λ＋μ＝43.9、答案：4解析：设AB →＝a ，AC →＝b ，因为A 、P 、M 三点共线，所以存在唯一实数λ，使得AP →＝λAM →.又知M 为BC 的中点，所以AP →＝12λ(a ＋b )．因为B 、P 、N 三点共线，所以存在唯一实数μ，使得BP →＝μBN →，又AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋μBN →＝AB →＋μ(AN →－AB →)＝AB →＋－(1－μ)a ＋2μb ，所以12λ(a ＋b )＝(1－μ)a ＋23μb ，μ＝12λ，＝12λ，解得λ＝45，μ＝35.所以AP →＝45AM →，PM →＝15AM →.所以|AP →|∶|PM →|＝4∶1，即APPM＝4.10、证明：因为G 是OAB 的重心，分析：211()()323OG OA OB OA OB ∴=⨯+=+1OP xOAOA OPx=∴=1OQ yOBOB y=∴= 111111()()3333OG OA OB OQ OG OP OQx y x y ∴=+=+∴=+又,,P G Q 三点共线，11133x y∴+=113x y∴+=11x y∴+为定值311、解：,,N P B 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x,y 使得,1AP xAB y AN x y =++=,AN ﹕AC=1﹕4,b AC AN 4141==1444y y x AP xAB AC xa xa b -∴=+=+=+……①又,,C P M 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数μ,λ使得,1AP AM AC μλμλ∴=++=∵AM ﹕AB=1﹕3∴a AB AM3131==，，133AP a b a b μλλλ-∴=+=+ ……………………………②由①②两式可得：1314x x λλ-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩311211x λ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩81,11x y y +=∴=321111AP a b∴=+12. 点P 落在ABC 的边BC 上∴B，P,C 三点共线AP xAB y AC=+ 1x y ∴+=　且x>0,y>014141444()1()()145y x y x x y x y x y x y x y x y ∴+=+⨯=+⨯+=++=++ x>0,y>040,0y xx y∴>>由基本不等式可知：44y x x y +≥=，取等号时4y xx y=224y x ∴=2y x ∴=±0,0x y >> 2y x ∴=1x y += 12,33x y ∴==，符合所以yx 41+的最小值为9。

平面向量中“三点共线定理”妙用

平面向量中“三点共线定理”妙用对平面内任意的两个向量b a b b a //),0(,的充要条件是：存在唯一的实数，使ba 由该定理可以得到平面内三点共线定理：三点共线定理：在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O ，存在唯一的一对实数x,y 使得：OP xOAyOB 且1xy。

特别地有：当点P 在线段AB 上时，0,0xy当点P 在线段AB 之外时，0xy笔者在经过多年高三复习教学中发现，运用平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式解决高考题，模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式的妙用,供同行交流。

例1（06年江西高考题理科第7题）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若1200OBa OA a OC，且A 、B 、C 三点共线，（设直线不过点O ），则S 200=（）A ．100B ．101C ．200D ．201解：由平面三点共线的向量式定理可知：a 1+a 200=1,∴1200200200()1002a a S ,故选A 。

点评：本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起，是一道经典的高考题。

例2 已知P 是ABC 的边BC 上的任一点，且满足R y x AC y AB x AP .,，则yx41的最小值是解：点P 落在ABC 的边BC 上B ，P,C 三点共线A Px A By1xy　且x>0,y>014141444()1()()145y xy xx y x y xy x yxy x yx>0,y>040,y x xy由基本不等式可知：4424y x y x xyxy，取等号时4y x xy 224yx2y x 0,0x y 2y x 1x y 12,33xy，符合所以yx41的最小值为9点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起，较综合考查了学生基本功.例3（湖北省2011届高三八校第一次联考理科）如图2，在△ABC 中，13ANNC ，点P 是BC 上的一点，若211APmABAC ，则实数m 的值为（）A ．911B.511 C.311 D.211解：,,B P N 三点共线，又2284111111AP mAB AC mAB AN mAB AN8111m311m，故选C例4（07年江西高考题理科）如图3，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB ＝ m AM ，AC ＝n AN ，则m ＋n 的值为．解：因为O 是BC 的中点，故连接AO ，如图4，由向量加法的平行四边形法则可知：1()2AO ABAC m AB AM ＝，AC nAN1()2AO mAM nAN 22m n AOAMAN又,,M O N 三点共线，由平面内三点共线定理可得：122m n 2m n 例5（广东省2010届高三六校第三次联）如图5所示：点G 是△OAB 的重心，P 、Q分别是边OA 、OB 上的动点，且P 、G 、Q 三点共线．设OA x OP，OB y OQ ，证明：yx11是定值；图3图4图2证明：因为G 是OAB 的重心，211()()323OGOAOB OAOB 1OP xOA OA OP x 1OQ yOB OBOQy111111()()3333OGOA OB OP OQ OGOPOQxy x y 又,,P G Q 三点共线，11133xy113xy11xy为定值3例6（汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试）如图6所示,在平行四边形ABCD 中，13AE AB ,14AFAD ,CE 与BF 相交于G点，记AB a ，ADb ，则AG _______A ．2177abB. 2377ab C. 3177ab D.4277ab分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点F 、G 、B 以及E,G,C 三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。

浅谈平面向量三点共线定理及应用

平面向量是高中数学的热点内容之一具有几何形式和代数形式的双重性质在高中数学里向量可以成为很多知识内容板块之间的一个交汇点成为多个知识板块之间的桥梁所以向量具有工具的作用平面向量三点共线定理蕴含着丰富பைடு நூலகம்背景通过对定理的研究可得出平面向量三点共线的其他性质利用总结的性质很方便地解决与之相关的一类问题同时揭示一个数学思想反应数学的本质属性因此我们要充分研究挖掘一些定理的潜在功能做到一点带面会一题而知一类把学生真正从题海中解放出来即能巩固基础知识又能培养学生的创新能力和探索精神
浅谈平面向量三点共线定理及应用
浅谈平面向量三点共线定理及应用平面向量是高中数学的热点内容之一，具有几何形式和代数形式的双重性质，在高中数学里，向量可以成为很多知识内容板块之间的一个交汇点，成为多个知识板块之间的桥梁，所以向量具有工具的作用，平面向量三点共线定理，蕴含着丰富的背景，通过对定理的研究，可得出平面向量三点共线的其他性质，利用总结的性质很方便地解决与之相关的一类问题，同时揭示一个数学思想，反应数学的本质属性，因此，我们要充分研究挖掘一些定理的潜在功能，做到一点带面，会一题而知一类，把学生真正从题海中解放出来，即能巩固基础知识，又能培养学生的创新能力和探索精神。下面具体研究平面向量三点共线定理的其他性质。
例题：依据： 1.先找到λ+µ=1 的位置。 2.根据相似比求λ+µ取值范围（反方向为负号）。 1=+,,µλ ?且满足点三点共线OB +µOA =λOC C C B A 例题呈现（2017 年全国Ⅲ卷理科第 12 题）在矩形 ABCD 中， AB =1， AD = 2，动点 P 在以C 为圆心且与 BD 相切的圆上，若，则λ+µ 的最大值（）
1. 2. λ+2µ 3. 一点感想：教材只是提供了基本的教学素材，并非教学内容的全部，要想取得理想的教学效果，就应该有用好教材，超出教材的理念，充分挖掘教材的潜在价值，在对例题讲解时要会适当变换题目的条件或结论，引导学生从一个问题引申到一类问题，从而提高学生解决问题的能力。 µλAD AB AP +=

平面向量中“三点共线定理”妙用讲解学习

点评：本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起，是一道经典的高考题。

例2 已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点，且满足R y x AC y AB x AP ∈+=.,，则yx 41+ 的最小值是解：点P 落在ABC 的边BC 上 ∴B ，P,C 三点共线AP xAB yAC =+ 1x y ∴+=　且x>0,y>014141444()1()()145y x y xx y x y x y x y x y x y∴+=+⨯=+⨯+=+++=++　x>0,y>040,0y xx y ∴>> 由基本不等式可知：4424y x y xx y x y+≥⨯=，取等号时4y xx y =224y x ∴=2y x ∴=±0,0x y >>2y x∴=1x y +=12,33x y ∴==，符合所以yx 41+的最小值为9 点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起，较综合考查了学生基本功.例3（湖北省2011届高三八校第一次联考理科）如图2，在△ABC 中，13AN NC =，点P 是BC 上的一点，若211AP mAB AC =+，则实数m 的值为（） A ．911 B. 511 C. 311 D. 211解：,,B P N 三点共线，又2284111111AP mAB AC mAB AN mAB AN =+=+⨯=+ 8111m ∴+= 311m ∴=，故选C 例4（07年江西高考题理科）如图3，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB ＝ m AM ，AC ＝n AN ，则m ＋n 的值为．解：因为O 是BC 的中点，故连接AO ，如图4，由向量加法的平行四边形法则可知：1()2AO AB AC ∴=+m AB AM ＝，AC nAN =1()2AO mAM nAN ∴=+22m nAO AM AN ∴=+又,,M O N 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：122m n+= 2m n ∴+=例5（广东省2010届高三六校第三次联）如图5所示：点G 是△OAB 的重心，P 、Q分别是边OA 、OB 上的动点，且P 、G 、Q 三点共线．设OA x OP =，OB y OQ =，证明：yx 11+是定值；图3图4图2证明：因为G 是OAB 的重心，211()()323OG OA OB OA OB ∴=⨯+=+1OP xOAOA OP x=∴= 1OQ yOBOB OQ y=∴=111111()()3333OG OA OB OP OQ OG OP OQ x y x y∴=+=+∴=+ 又,,P G Q 三点共线，11133x y ∴+= 113x y ∴+= 11x y∴+为定值3例6（汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试）如图6所示,在平行四边形ABCD 中，13AE AB =,14AF AD =,CE 与BF 相交于G 点，记AB a =，AD b =，则AG =_______A ．2177a b + B. 2377a b + C. 3177a b + D. 4277a b +分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点F 、G 、B 以及E,G,C 三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。

高中数学解题技巧：平面向量三点共线定理，关键点λμ=1

高中数学解题技巧：平面向量三点共线定理，关键点λμ=1
综述：先对平面向量之三点共线定理进行证明；此定理简称
λ+μ=1；若三点共线，则分解某向量，引进唯一参数λ，再用分解定理的唯一性求λ，此即待定系数法；亦可用平行向量求参数；
这点不难证明，只需证明由这三点A，B，C所组成的向量中有两个向量共线，而本结论可作定理直接使用。

平面向量题型要充分认识平面向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，重视向量的工具作用和应用意识，强化知识的联系，善于构造向量解决问题。

平面向量中三点共线

平面向量中三点共线定理的应用知识梳理（一）、对平面任意的两个向量a,b（b O）,a〃b的充要条件是：存在唯一的实数使a b由该定理可以得到平面三点共线定理:（二）、三点共线定理：在平面中A、B、P三点共线的充要条件是：对于该平面uuv uv uuv任意一点的0 ,存在唯一的一对实数x,y使得：OP xOA yOB且uuv u uuvOP xOA yOB。

特别地有：当点P在线段AB上时，x 0,y 0当点P在线段AB之外时，xy 0典例剖析例1、已知P是ABC的边BC上的任一点，且满足AP xAB yAC,x.y——的最小值是______x y分析：Q点P落在VABC的边BC上B，P,C三点共线uuu uuu uuurQ AP xAB yAC x y 1 且x>0,y>0—4(——) —(——) (x y) 1 V 44 5 y 4x y x y x y x y x yQ x>0,y>0 y c 4x 小0, 0 由基本不等式可知：y 4x 2“4x 4，取等号x y x y ■ x y时y 4x 2 2y 4x y 2xQ x 0, y 0 y 2xQ x y 11x - ,y22，符x y 3 3合所以—4的最小值为9x yR，则例3、在△ ABC 中，点0是BC 的中点，过点0的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若 m + n 的值uuuAB = m AM ， AC = n AN ，则点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起，较综合考查了学生基本功例2、在△ ABC 中， uuur AN1 uuir-NC ，点P 是BC 上的一点 3，若 uuu uuu AP mAB2 uuurAC ， 11则实数m 的值为（ )r木A . —B.-C. 3D.-11 1111110 \B _ \分析：Q B ,P, N二占八、共线，又uuu uuu 2 uuur uuu 2 uuur uuu 8 uuir8APmAB ACmAB 4AN mABANm -111111111m3 —，故选C11:Q 因为O 是BC 的中点，故连接AO ，如图4，由向量加法的平行四边形法则可知： uuir AO 1 uuu — (AB 2uiurAC)uuu uuu u uuir uuurQ AB = m AM ，AC nAN为 ________变式、直线I过Y ABCD的两条对角线AC与BD的交点O ,与AD边交于点N,与AB的延长线交于点M。

平面向量中“三点共线定理”妙用

平面向量中“三点共线定理”妙用对平面内任意的两个向量 a,b （b 0）,a//b 的充要条件是：存在唯一的实数，使a buuuv uv uuuv的 O ，存在唯一的一对实数 x,y 使得：OP xOA yOB 且 x y特别地有：当点 P 在线段 AB 上时， x 0,y 0当点 P 在线段 AB 之外时， xy 0笔者在经过多年高三复习教学中发现，运用平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式解决高考题，模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式的妙用 , 供同行交流。

例 1（06 年江西高考题理科第 7 题）已知等差数列 {a n } 的前 n项和为 S n ，若 uuur uuur uuurOB a 1OA a 200OC ，且 A 、B 、C 三点共线，（设直线不过点 O ），则 S 200=（）A ． 100B ．101C ．200D ．201解：由平面三点共线的向量式定理可知： a 1+a 200=1, ∴ S200 200（a1 a200）100, 故选 A 。

2点评：本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起，是一道经典的高考题。

例2 已知P 是 ABC 的边BC 上的任一点，且满足 AP xAB yAC,x.yR，则1 4xy的最小值是解：Q 点 P 落在VABC 的边 BC 上 B ， uuur uuur xAB yAC P,C 三点共线uuur Q AP且点共线定在平面中 A 、B 、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意由该定理可以得到平面内三点共线定理：1。

4x5yx 4x yy4y4x2y4x x y x y 4 ，取等号时y y)1xy 4x 2 2 1 2y2 4x2 y 2xQ x 0,y 0 y 2xQ x y 1 x ,y ，符合x y 3 314所以 1 4的最小值为9 xy点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起，较综合考查了学生基本功.例 3 （湖北省2011 届高三八校第一次联考理科）如图 2 ，在△ ABCuuur AN1uuurNC，点P是BC上的一点，uuur 若APuuur 2 uuurmAB 2 AC ，则实数m的11值为（）9532 A B. C. D.11111111uuur 解：Q B, P, N三点共线，又QuuurmAB2 uuurAC11uuurmAB2 uuur4AN11uuurmAB8 u A u N ur118m 11 m 3，故选 C11例4（07 年江西高考题理科）如图3，在△ ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC 于不同的两点M、的值为．四边形法则可知：uuurAO1 uuur (AB2uuurAC)uuur uuuur uuur uuurQ AB＝mAM ，AC nANuuur 1 uuuur uuurAO (mAM nAN ) 2uuur m uuuur n uuurAO AM AN22又Q M,O,N 三点共线，由平面内三点共线定理可得：m n22 例5（广东省2010 届高三六校第三次联）别是边OA 、OB上的动点，且P、G、Q 三点共线．11设OP xOA ，OQ yOB ，证明：是定值；xy 图2解：Q因为O是BC的中点，故连接AO，N，若AB ＝m AM ，AC ＝n AN ，则m＋n如图5所示：点G是△ OAB的重心，P、Q 分中，例 6（汕头市东山中学 2013 届高三第二次模拟考试）如图 6 所示 , uuur 1uuur uuur 在平行四边形 ABCD 中， AE 1 AB , AF 3uuur r uuur r uuur 点，记 AB a ，AD b ，则 AG由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数 x 使得uuur AG uuur xAE uuur(1 x)AC uuur, Q AE1uuur AB 3 1r a , 3uuur r AC a uuur 1rr r 2x rrAG xa(1 x)(a b) (1 )a (1 x)b332r 1r 2r 3r3r 1r4r 2r A ． ab B. a b C. a b D.a b 7 7 7 7 7 77 7分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点 F 、G 、B 以及 E,G,C 三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。