2017年上海中学高考数学模拟试卷(6)(解析版)

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2017高考上海各区数学一模(含答案)

上海市宝山区2017届高三一模数学试卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 23lim1n n n →∞+=+2. 设全集U R =，集合{1,0,1,2,3}A =-，{|2}B x x =≥，则U AC B =3. 不等式102x x +<+的解集为 4. 椭圆5cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的焦距为5. 设复数z 满足23z z i +=-（i 为虚数单位），则z =6. 若函数cos sin sin cos x xy x x=的最小正周期为a π，则实数a 的值为7. 若点(8,4)在函数()1log a f x x =+图像上，则()f x 的反函数为 8. 已知向量(1,2)a =，(0,3)b =，则b 在a 的方向上的投影为9. 已知一个底面置于水平面上的圆锥，其左视图是边长为6的正三角形，则该圆锥的侧面积为10. 某班级要从5名男生和2名女生中选出3人参加公益活动，则在选出的3人中男、女生均有的概率为（结果用最简分数表示）11. 设常数0a >，若9()a x x+的二项展开式中5x 的系数为144，则a =12. 如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N ，那么称该数列为N 型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列，则2668型标准数列的个数为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 设a R ∈，则“1a =”是“复数(1)(2)(3)a a a i -+++为纯虚数”的（） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件14. 某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120 人，则该样本中的高二学生人数为（）A. 80B. 96C. 108D. 110 15. 设M 、N 为两个随机事件，给出以下命题：（1）若M 、N 为互斥事件，且1()5P M =，1()4P N =，则9()20P M N =；（2）若1()2P M =，1()3P N =，1()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件；（3）若1()2P M =，1()3P N =，1()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件；（4）若1()2P M =，1()3P N =，1()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件；（5）若1()2P M =，1()3P N =，5()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件；其中正确命题的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 416. 在平面直角坐标系中，把位于直线y k =与直线y l =（k 、l 均为常数，且k l <）之间的点所组成区域（含直线y k =，直线y l =）称为“k l ⊕型带状区域”，设()f x 为二次函数，三点(2,(2)2)f --+、(0,(0)2)f +、(2,(2)2)f +均位于“04⊕型带状区域”，如果点(,1)t t +位于“13-⊕型带状区域”，那么，函数|()|y f t =的最大值为（） A. 72 B. 3 C. 52D. 2三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面积为934，侧面积为36；（1）求正三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）求异面直线1AC 与AB 所成的角的大小；18. 已知椭圆C 的长轴长为26，左焦点的坐标为(2,0)-；（1）求C 的标准方程；（2）设与x 轴不垂直的直线l 过C 的右焦点，并与C 交于A 、B 两点，且||6AB =，试求直线l 的倾斜角；19. 设数列{}n x 的前n 项和为n S ，且430n n x S --=（*n N ∈）；（1）求数列{}n x 的通项公式；（2）若数列{}n y 满足1n n n y y x +-=（*n N ∈），且12y =，求满足不等式559n y >的最小正整数n 的值；20. 设函数()lg()f x x m =+（m R ∈）；（1）当2m =时，解不等式1()1f x >；（2）若(0)1f =，且1()()2x f x λ=+在闭区间[2,3]上有实数解，求实数λ的范围；（3）如果函数()f x 的图像过点(98,2)，且不等式[cos(2)]lg2n f x <对任意n N ∈均成立，求实数x 的取值集合；21. 设集合A 、B 均为实数集R 的子集，记：{|,}A B a b a A b B +=+∈∈；（1）已知{0,1,2}A =，{1,3}B =-，试用列举法表示A B +；（2）设123a =，当*n N ∈，且2n ≥时，曲线2221119x y n n n +=-+-的焦距为n a ，如果 12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅，122{,,}993B =---，设A B +中的所有元素之和为n S ，对于满足3m n k +=，且m n ≠的任意正整数m 、n 、k ，不等式0m n k S S S λ+->恒成立，求实数λ的最大值；（3）若整数集合111A A A ⊆+，则称1A 为“自生集”，若任意一个正整数均为整数集合2A 的某个非空有限子集中所有元素的和，则称2A 为“*N 的基底集”，问：是否存在一个整数集合既是自生集又是*N 的基底集？请说明理由；上海市宝山区2017届高三一模数学试卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 23lim1n n n →∞+=+2. 设全集U R =，集合{1,0,1,2,3}A =-，{|2}B x x =≥，则U AC B =3. 不等式102x x +<+的解集为 4. 椭圆5cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的焦距为5. 设复数z 满足23z z i +=-（i 为虚数单位），则z =6. 若函数cos sin sin cos x xy x x=的最小正周期为a π，则实数a 的值为7. 若点(8,4)在函数()1log a f x x =+图像上，则()f x 的反函数为 8. 已知向量(1,2)a =，(0,3)b =，则b 在a 的方向上的投影为9. 已知一个底面置于水平面上的圆锥，其左视图是边长为6的正三角形，则该圆锥的侧面积为10. 某班级要从5名男生和2名女生中选出3人参加公益活动，则在选出的3人中男、女生均有的概率为（结果用最简分数表示）11. 设常数0a >，若9()a x x+的二项展开式中5x 的系数为144，则a =12. 如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N ，那么称该数列为N 型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列，则2668型标准数列的个数为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 设a R ∈，则“1a =”是“复数(1)(2)(3)a a a i -+++为纯虚数”的（） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件14. 某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120 人，则该样本中的高二学生人数为（）A. 80B. 96C. 108D. 110 15. 设M 、N 为两个随机事件，给出以下命题：（1）若M 、N 为互斥事件，且1()5P M =，1()4P N =，则9()20P M N =；（2）若1()2P M =，1()3P N =，1()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件；（3）若1()2P M =，1()3P N =，1()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件；（4）若1()2P M =，1()3P N =，1()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件；（5）若1()2P M =，1()3P N =，5()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件；其中正确命题的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 416. 在平面直角坐标系中，把位于直线y k =与直线y l =（k 、l 均为常数，且k l <）之间的点所组成区域（含直线y k =，直线y l =）称为“k l ⊕型带状区域”，设()f x 为二次函数，三点(2,(2)2)f --+、(0,(0)2)f +、(2,(2)2)f +均位于“04⊕型带状区域”，如果点(,1)t t +位于“13-⊕型带状区域”，那么，函数|()|y f t =的最大值为（） A. 72 B. 3 C. 52D. 2三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面积为934，侧面积为36；（1）求正三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）求异面直线1AC 与AB 所成的角的大小；18. 已知椭圆C 的长轴长为26，左焦点的坐标为(2,0)-；（1）求C 的标准方程；（2）设与x 轴不垂直的直线l 过C 的右焦点，并与C 交于A 、B 两点，且||6AB =，试求直线l 的倾斜角；19. 设数列{}n x 的前n 项和为n S ，且430n n x S --=（*n N ∈）；（1）求数列{}n x 的通项公式；（2）若数列{}n y 满足1n n n y y x +-=（*n N ∈），且12y =，求满足不等式559n y >的最小正整数n 的值；20. 设函数()lg()f x x m =+（m R ∈）；（1）当2m =时，解不等式1()1f x >；（2）若(0)1f =，且1()()2x f x λ=+在闭区间[2,3]上有实数解，求实数λ的范围；（3）如果函数()f x 的图像过点(98,2)，且不等式[cos(2)]lg2n f x <对任意n N ∈均成立，求实数x 的取值集合；21. 设集合A 、B 均为实数集R 的子集，记：{|,}A B a b a A b B +=+∈∈；（1）已知{0,1,2}A =，{1,3}B =-，试用列举法表示A B +；（2）设123a =，当*n N ∈，且2n ≥时，曲线2221119x y n n n +=-+-的焦距为n a ，如果 12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅，122{,,}993B =---，设A B +中的所有元素之和为n S ，对于满足3m n k +=，且m n ≠的任意正整数m 、n 、k ，不等式0m n k S S S λ+->恒成立，求实数λ的最大值；（3）若整数集合111A A A ⊆+，则称1A 为“自生集”，若任意一个正整数均为整数集合2A 的某个非空有限子集中所有元素的和，则称2A 为“*N 的基底集”，问：是否存在一个整数集合既是自生集又是*N 的基底集？请说明理由；上海市崇明县2017届高三一模数学试卷2016.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 复数(2)i i +的虚部为 2. 设函数2log ,0()4,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则((1))f f -=3. 已知{||1|2,}M x x x R =-≤∈，1{|0,}2xP x x R x -=≥∈+，则M P =4. 抛物线2y x =上一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标为5. 已知无穷数列{}n a 满足112n n a a +=*()n N ∈，且21a =，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则lim n n S →∞=6. 已知,x y R +∈，且21x y +=，则xy 的最大值为7. 已知圆锥的母线10l =，母线与旋转轴的夹角30α︒=，则圆锥的表面积为8. 若21(2)nx x+*()n N ∈的二项展开式中的第9项是常数项，则n =9. 已知,A B 分别是函数()2sin f x x ω=(0)ω>在y 轴右侧图像上的第一个最高点和第一个最低点，且2AOB π∠=，则该函数的最小正周期是10. 将序号分别为1、2、3、4、5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是11. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，若函数()y f x =的图像恰好经过k 个格点，则称函数()y f x =为k 阶格点函数，已知函数：①2y x =；②2sin y x =；③1xy π=-；④cos()3y x π=+；其中为一阶格点函数的序号为（注：把你认为正确的序号都填上）12. 已知AB 为单位圆O 的一条弦，P 为单位圆O 上的点，若()||f AP AB λλ=-()R λ∈ 的最小值为m ，当点P 在单位圆上运动时，m 的最大值为43，则线段AB 长度为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A. tan y x =B. 3xy = C. 13y x = D. lg ||y x =14. 设,a b R ∈，则“21a b ab +>⎧⎨>⎩”是“1a >且1b >”的（）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分也非必要 15. 如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，(25,0)F -为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足||||OP OF =且||4PF =，则椭圆C 的方程为（）A.221255x y += B. 2213010x y += C.2213616x y += D. 2214525x y += 16. 实数a 、b 满足0ab >且a b ≠，由a 、b 、2a b+、ab 按一定顺序构成的数列（） A. 可能是等差数列，也可能是等比数列 B. 可能是等差数列，但不可能是等比数列 C. 不可能是等差数列，但可能是等比数列 D. 不可能是等差数列，也不可能是等比数列三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，12BB =，求：（1）异面直线11B C 与1AC 所成角的大小；（2）四棱锥111A B BCC -的体积；18. 在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域，点E 正北55海里处有一个雷达观测站A ，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45°且与点A 相距402海里的位置B 处，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45θ︒+ （其中26sin 26θ=，090θ︒︒<<）且与点A 相距1013海里的位置C 处；（1）求该船的行驶速度；（单位：海里/小时）（2）若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由；19. 已知点1F 、2F 为双曲线222:1y C x b-=(0)b >的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且1230MF F ︒∠=；（1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，求12PP PP ⋅的值；20. 设12()2x x a f x b+-+=+，,a b 为实常数；（1）当1a b ==时，证明：()f x 不是奇函数；（2）若()f x 是奇函数，求a 与b 的值；（3）当()f x 是奇函数时，研究是否存在这样的实数集的子集D ，对任何属于D 的x 、c ，都有2()33f x c c <-+成立？若存在，试找出所有这样的D ；若不存在，说明理由；21. 已知数列{}n a 、{}n b 满足2(2)n n n S a b =+，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和；（1）若数列{}n a 是首项为23，公比为13-的等比数列，求数列{}n b 的通项公式；（2）若n b n =，23a =，求证：数列{}n a 满足212n n n a a a +++=，并写出{}n a 通项公式；（3）在（2）的条件下，设nn na cb =，求证：数列{}nc 中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积；参考答案一. 填空题1. 22. 2-3. [1,1]-4.34 5. 4 6. 187. 75π 8. 12 9. 833 10. 96 11. ②③ 12. 423二. 选择题13. C 14. B 15. C 16. D三. 解答题 17.（1）5arccos10；（2）33；18.（1）155；（2）357d =<，会进入警戒水域；19.（1）2212y x -=；（2）29；20.（1）(1)(1)f f -≠-；（2）12a b =⎧⎨=⎩，12a b =-⎧⎨=-⎩；（3）当121()22x x f x +-+=+，D R =；当121()22x x f x +--=-，(0,)D =+∞，25(,log ]7D =-∞；21.（1）12n b =；（2）1n a n =+；（3）略；上海市金山区2017届高三一模数学试卷2016.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 若集合2{|20}M x x x =-<，{|||1}N x x =>，则MN =2. 若复数z 满足232z z i +=-，其中i 为虚数单位，则z =3. 如果5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值是 4. 函数cos sin ()sin cos x xf x x x=的最小正周期是5. 函数()2x f x m =+的反函数为1()y f x -=，且1()y f x -=的图像过点(5,2)Q ，那么m =6. 点(1,0)到双曲线2214x y -=的渐近线的距离是 7. 如果实数x 、y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值是8. 从5名学生中任选3人分别担任语文、数学、英语课代表，其中学生甲不能担任数学课代表，共有种不同的选法（结果用数值表示） 9. 方程22242340x y tx ty t +--+-=（t 为参数）所表示的圆的圆心轨迹方程是（结果化为普通方程） 10. 若n a 是(2)nx +（*n N ∈，2n ≥，x R ∈）展开式中2x 项的二项式系数，则23111lim()n na a a →∞++⋅⋅⋅+= 11. 设数列{}n a 是集合{|33,stx x s t =+<且,}s t N ∈中所有的数从小到大排列成的数列，即14a =，210a =，312a =，428a =，530a =，636a =，，将数列{}n a 中各项按照上小下大，左小右大的原则排成如图的等腰直角三角形数表，则15a 的值为12. 曲线C 是平面内到直线1:1l x =-和直线2:1l y =的距离之积等于常数2k （0k >）的点的轨迹，下列四个结论：① 曲线C 过点(1,1)-；② 曲线C 关于点(1,1)-成中心对称； ③ 若点P 在曲线C 上，点A 、B 分别在直线1l 、2l 上，则||||PA PB +不小于2k ；④ 设0P 为曲线C 上任意一点，则点0P 关于直线1:1l x =-，点(1,1)-及直线2:1l y =对称的点分别为1P 、2P 、3P ，则四边形0123P PP P 的面积为定值24k ；其中，所有正确结论的序号是41012283036⋅⋅⋅二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 给定空间中的直线l 与平面α，则“直线l 与平面α垂直”是“直线l 垂直于平面α上无数条直线”的（）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既不充分也不必要 14. 已知x 、y R ∈，且0x y >>，则（） A.110x y-> B. 11()()022x y -<C. 22log log 0x y +>D. sin sin 0x y -> 15. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）A. 283π-B. 83π- C. 82π- D. 23π16. 已知函数2(43)30()log (1)10a x a x a x f x x x ⎧+-+<=⎨++≥⎩（0a >且1a ≠）在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（）A. 2(0,]3B. 23[,]34C. 123[,]{}334D. 123[,){}334三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PB 、PD 与平面ABCD 所成的角依次是4π和1arctan 2，2AP =，E 、F 依次是PB 、PC 的中点；（1）求异面直线EC 与PD 所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）（2）求三棱锥P AFD -的体积；18. 已知△ABC 中，1AC =，23ABC π∠=，设BAC x ∠=，记()f x AB BC =⋅；（1）求函数()f x 的解析式及定义域；（2）试写出函数()f x 的单调递增区间，并求方程1()6f x =的解；19. 已知椭圆C 以原点为中心，左焦点F 的坐标是(1,0)-，长轴长是短轴长的2倍，直线l 与椭圆C 交于点A 与B ，且A 、B 都在x 轴上方，满足180OFA OFB ︒∠+∠=；（1）求椭圆C 的标准方程；（2）对于动直线l ，是否存在一个定点，无论OFA ∠如何变化，直线l 总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由；20. 已知函数2()21g x ax ax b =-++(0)a >在区间[2,3]上的最大值为4，最小值为1，记()(||)f x g x =，x R ∈；（1）求实数a 、b 的值；（2）若不等式222()()log 2log 3f x g x k k +≥--对任意x R ∈恒成立，求实数k 的范围；（3）对于定义在[,]p q 上的函数()m x ，设0x p =，n x q =，用任意i x (1,2,,1)i n =⋅⋅⋅- 将[,]p q 划分成n 个小区间，其中11i i i x x x -+<<，若存在一个常数0M >，使得不等式01121|()()||()()||()()|n n m x m x m x m x m x m x M --+-+⋅⋅⋅+-≤恒成立，则称函数()m x为在[,]p q 上的有界变差函数，试证明函数()f x 是在[1,3]上的有界变差函数，并求出M 的最小值；21. 数列{}n b 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有(1)2n n n S +=；（1）试证明数列{}n b 是等差数列，并求其通项公式；（2）如果等比数列{}n a 共有2017项，其首项与公比均为2，在数列{}n a 的每相邻两项i a 与1i a +之间插入i 个(1)i i b -*()i N ∈后，得到一个新数列{}n c ，求数列{}n c 中所有项的和；（3）如果存在*n N ∈，使不等式11820(1)()(1)n n n n n b n b b b λ++++≤+≤+成立，若存在，求实数λ的范围，若不存在，请说明理由；参考答案一. 填空题1. (1,2)2. 12i -3. 512-4. π5. 16. 557. 4 8. 48 9. 20x y -= 10. 2 11. 324 12. ②③④二. 选择题13. A 14. B 15. A 16. C三. 解答题 17.（1）310arccos 10；（2）43；18.（1）2211()sin sin()sin(2)33366f x x x x ππ=+=+-，(0,)3x π∈；（2）递增区间(0,]6π，6x π=；19.（1）2212x y +=；（2）(2,0)-； 20.（1）0b =，1a =；（2）1[,8]2；（3）min 4M =；21.（1）n b n =；（2）201822033134+；（3）不存在；上海市虹口区2017届高三一模数学试卷2016.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合{1,2,4,6,8}A =，{|2,}B x x k k A ==∈，则A B =2. 已知21zi i=+-，则复数z 的虚部为 3. 设函数()sin cos f x x x =-，且()1f a =，则sin 2a =4. 已知二元一次方程111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的增广矩阵是111113-⎛⎫⎪⎝⎭，则此方程组的解是5. 数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，n S 是它前n 项和，则2lim n n nSa →∞=6. 已知角A 是ABC ∆的内角，则“1cos 2A =”是“3sin 2A =”的条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要条件”、“既非充分又非必要”之一）7. 若双曲线2221y x b-=的一个焦点到其渐近线距离为22，则该双曲线焦距等于8. 若正项等比数列{}n a 满足：354a a +=，则4a 的最大值为 9. 一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于10. 设函数61()211x x f x x x ⎧≥=⎨--≤-⎩，则当1x ≤-时，则[()]f f x 表达式的展开式中含2x 项的系数是11. 点(20,40)M ，抛物线22y px =（0p >）的焦点为F ，若对于抛物线上的任意点P ，||||PM PF +的最小值为41，则p 的值等于12. 当实数x 、y 满足221x y +=时，|2||32|x y a x y +++--的取值与x 、y 均无关，则实数a 的取值范围是二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 在空间，α表示平面，m 、n 表示二条直线，则下列命题中错误的是（） A. 若m ∥α，m 、n 不平行，则n 与α不平行 B. 若m ∥α，m 、n 不垂直，则n 与α不垂直 C. 若m α⊥，m 、n 不平行，则n 与α不垂直 D. 若m α⊥，m 、n 不垂直，则n 与α不平行14. 已知函数()sin(2)3f x x π=+在区间[0,]a （其中0a >）上单调递增，则实数a 的取值范围是（） A. 02a π<≤B. 012a π<≤C. 12a k ππ=+，*k N ∈ D. 2212k a k πππ<≤+，k N ∈15. 如图，在圆C 中，点A 、B 在圆上，则AB AC ⋅的值（）A. 只与圆C 的半径有关B. 既与圆C 的半径有关，又与弦AB 的长度有关C. 只与弦AB 的长度有关D. 是与圆C 的半径和弦AB 的长度均无关的定值16. 定义(){}f x x =（其中{}x 表示不小于x 的最小整数）为“取上整函数”，例如{2.1}3=，{4}4=，以下关于“取上整函数”性质的描述，正确的是（）①(2)2()f x f x =；② 若12()()f x f x =，则121x x -<；③ 任意1x 、2x R ∈，1212()()()f x x f x f x +≤+；④1()()(2)2f x f x f x ++=； A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 在正三棱锥P ABC -中，已知底面等边三角形的边长为6，侧棱长为4；（1）求证：PA BC ⊥；（2）求此三棱锥的全面积和体积；18. 如图，我海蓝船在D 岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A 处，此时测得其北偏东30° 方向与它相距20海里的B 处有一外国船只，且D 岛位于海蓝船正东18海里处；（1）求此时该外国船只与D 岛的距离；（2）观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方航行，为了将该船拦截在离D 岛12海里的E 处（E 在B 的正南方向），不让其进入D 岛12海里内的海域，试确定海蓝船的航向，并求其速度的最小值（角度精确到0.1°，速度精确到0.1海里/小时）；19. 已知二次函数2()4f x ax x c =-+的值域为[0,)+∞；（1）判断此函数的奇偶性，并说明理由；（2）判断此函数在2[,)a+∞的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（3）求出()f x 在[1,)+∞上的最小值()g a ，并求()g a 的值域；20. 椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）过点(2,0)M ，且右焦点为(1,0)F ，过F 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，设点(4,3)P ，记PA 、PB 的斜率分别为1k 和2k ；（1）求椭圆C 的方程；（2）如果直线l 的斜率等于1-，求出12k k ⋅的值；（3）探讨12k k +是否为定值？如果是，求出该定值，如果不是，求出12k k +的取值范围；21. 已知函数()2|2||1|f x x x =+-+，无穷数列{}n a 的首项1a a =；（1）若()n a f n =（*n N ∈），写出数列{}n a 的通项公式；（2）若1()n n a f a -=（*n N ∈且2n ≥），要使数列{}n a 是等差数列，求首项a 取值范围；（3）如果1()n n a f a -=（*n N ∈且2n ≥），求出数列{}n a 的前n 项和n S ；参考答案一. 填空题1. {2,4,8}2. 13. 04. 21x y =⎧⎨=⎩ 5. 146. 充分非必要7. 68. 29. 43 10. 6011. 22或42 12. [5,)+∞二. 选择题13. A 14. B 15. C 16. C三. 解答题17.（1）略；（2）9793S =+，63V =； 18.（1）291；（2）东偏北41.8︒， 6.4v =海里/小时； 19.（1）非奇非偶函数；（2）单调递增；（3）当02a <<，()0g a =；当2a ≥，4()4g a a a=+-；值域[0,)+∞； 20.（1）22143x y +=；（2）12；（3）2；21.（1）3n a n =+；（2）{3}[1,)a ∈--+∞；（3）当2a ≤-，3(1)(2)(1)(3)2n n n S a n a --=+---+；当21a -<≤-，3(1)(2)(1)(35)2n n n S a n a --=+-++；当1a >-，3(1)2n n n S na -=+；上海市闵行区2017届高三一模数学试卷2016.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 方程lg(34)1x +=的解x = 2. 若关于x 的不等式0x ax b->-（,a b R ∈）的解集为(,1)(4,)-∞+∞，则a b += 3. 已知数列{}n a 的前n 项和为21n n S =-，则此数列的通项公式为4. 函数()1f x x =+的反函数是5. 6(12)x +展开式中3x 项的系数为（用数字作答）6. 如图，已知正方形1111ABCD A BC D -，12AA =，E 为棱1CC 的中点，则三棱锥1D ADE -的体积为 7. 从单词“shadow ”中任意选取4个不同的字母排成一排，则其中含有“a ”的共有种排法（用数字作答）8. 集合{|cos(cos )0,[0,]}x x x ππ=∈= （用列举法表示） 9. 如图，已知半径为1的扇形AOB ，60AOB ∠=︒，P 为弧AB 上的一个动点，则OP AB ⋅取值范围是 10. 已知x 、y 满足曲线方程2212x y+=，则22x y +的取值范围是11. 已知两个不相等的非零向量a 和b ，向量组1234(,,,)x x x x 和1234(,,,)y y y y 均由2个a 和2个b 排列而成，记11223344S x y x y x y x y =⋅+⋅+⋅+⋅，那么S 的所有可能取值中的最小值是（用向量a 、b 表示）12. 已知无穷数列{}n a ，11a =，22a =，对任意*n N ∈，有2n n a a +=，数列{}n b 满足 1n n n b b a +-=（*n N ∈），若数列2{}nnb a 中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则满足要求的1b 的值为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 若a 、b 为实数，则“1a <”是“11a>”的（）条件 A. 充要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要 14. 若a 为实数，(2)(2)4ai a i i +-=-（i 是虚数单位），则a =（）A. 1-B. 0C. 1D. 215. 函数2()||f x x a =-在区间[1,1]-上的最大值是a ，那么实数a 的取值范围是（） A. [0,)+∞ B. 1[,1]2 C. 1[,)2+∞ D. [1,)+∞16. 曲线1:sin C y x =，曲线22221:()2C x y r r ++-=（0r >），它们交点的个数（）A. 恒为偶数B. 恒为奇数C. 不超过2017D. 可超过2017三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 如图，在Rt AOB ∆中，6OAB π∠=，斜边4AB =，D 是AB 中点，现将Rt AOB ∆以直角边AO 为轴旋转一周得到一个圆锥，点C 为圆锥底面圆周上一点，且90BOC ∠=︒，（1）求圆锥的侧面积；（2）求直线CD 与平面BOC 所成的角的大小；（用反三角函数表示）18. 已知(23,1)m =，2(cos ,sin )2An A =，A 、B 、C 是ABC ∆的内角；（1）当2A π=时，求||n 的值；（2）若23C π=，||3AB =，当m n ⋅取最大值时，求A 的大小及边BC 的长；19. 如图所示，沿河有A 、B 两城镇，它们相距20千米，以前，两城镇的污水直接排入河里，现为保护环境，污水需经处理才能排放，两城镇可以单独建污水处理厂，或者联合建污水处理厂（在两城镇之间或其中一城镇建厂，用管道将污水从各城镇向污水处理厂输送），依据经验公式，建厂的费用为0.7()25f m m=⋅（万元），m 表示污水流量，铺设管道的费用（包括管道费）() 3.2g x x =（万元），x 表示输送污水管道的长度（千米）；已知城镇A 和城镇B 的污水流量分别为13m =、25m =，A 、B 两城镇连接污水处理厂的管道总长为20千米；假定：经管道运输的污水流量不发生改变，污水经处理后直接排入河中；请解答下列问题（结果精确到0.1）（1）若在城镇A 和城镇B 单独建厂，共需多少总费用？（2）考虑联合建厂可能节约总投资，设城镇A 到拟建厂的距离为x 千米，求联合建厂的总费用y 与x 的函数关系式，并求y 的取值范围；20. 如图，椭圆2214y x +=的左、右顶点分别为A 、B ，双曲线Γ以A 、B 为顶点，焦距为25，点P 是Γ上在第一象限内的动点，直线AP 与椭圆相交于另一点Q ，线段AQ 的中点为M ，记直线AP 的斜率为k ，O 为坐标原点；（1）求双曲线Γ的方程；（2）求点M 的纵坐标M y 的取值范围；（3）是否存在定直线l ，使得直线BP 与直线OM 关于直线l 对称？若存在，求直线l 方程，若不存在，请说明理由；21. 在平面直角坐标系上，有一点列01231,,,,,,n n P P P P P P -⋅⋅⋅，设点k P 的坐标(,)k k x y （k N ∈，k n ≤），其中k x 、k y Z ∈，记1k k k x x x -∆=-，1k k k y y y -∆=-，且满足 ||||2k k x y ∆⋅∆=（*k N ∈，k n ≤）；（1）已知点0(0,1)P ，点1P 满足110y x ∆>∆>，求1P 的坐标；（2）已知点0(0,1)P ，1k x ∆=（*k N ∈，k n ≤），且{}k y （k N ∈，k n ≤）是递增数列，点n P 在直线:38l y x =-上，求n ；（3）若点0P 的坐标为(0,0)，2016100y =，求0122016x x x x +++⋅⋅⋅+的最大值；上海市松江区2017届高三一模数学试卷2016.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则MN =2. 已知a 、b R ∈，i 是虚数单位，若2a i bi +=-，则2()a bi +=3. 已知函数()1x f x a =-的图像经过(1,1)点，则1(3)f -=4. 不等式|1|0x x ->的解集为5. 已知(sin ,cos )a x x =，(sin ,sin )b x x =，则函数()f x a b =⋅的最小正周期为6. 里约奥运会游泳小组赛采用抽签方法决定运动员比赛的泳道，在由2名中国运动员和6 名外国运动员组成的小组中，2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为 7. 按下图所示的程序框图运算：若输入17x =，则输出的x 值是8. 设230123(1)n n n x a a x a x a x a x +=++++⋅⋅⋅+，若2313a a =，则n = 9. 已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等，那么这个圆锥的侧面积是 2cm10. 设(,)P x y 是曲线22:1259x y C +=上的点，1(4,0)F -，2(4,0)F ，则12||||PF PF +的最大值为11. 已知函数243,13()28,3xx x x f x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨->⎪⎩，若()()F x f x kx =-在其定义域内有3个零点，则实数k ∈12. 已知数列{}n a 满足11a =，23a =，若1||2n n n a a +-=*()n N ∈，且21{}n a -是递增数列，2{}n a 是递减数列，则212lim n n na a -→∞=二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 已知a 、b R ∈，则“0ab >”是“2b aa b+>”的（） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件14. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，点P 在截面1A DB 上，则线段AP 的最小值为（） A.13 B. 12 C. 33 D. 2215. 若矩阵11122122a a a a ⎛⎫⎪⎝⎭满足：11a 、12a 、21a 、22{0,1}a ∈，且111221220a a a a =，则这样的互不相等的矩阵共有（）A. 2个B. 6个C. 8个D. 10个 16. 解不等式11()022xx -+>时，可构造函数1()()2x f x x =-，由()f x 在x R ∈是减函数及()(1)f x f >，可得1x <，用类似的方法可求得不等式263arcsin arcsin 0x x x x +++> 的解集为（）A. (0,1]B. (1,1)-C. (1,1]-D. (1,0)-三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，在正四棱锥P ABCD -中，PA AB a ==，E 是棱PC 的中点；（1）求证：PC BD ⊥；（2）求直线BE 与PA 所成角的余弦值；18. 已知函数21()21x xa f x ⋅-=+（a 为实数）；（1）根据a 的不同取值，讨论函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；（2）若对任意的1x ≥，都有1()3f x ≤≤，求a 的取值范围；19. 松江天马山上的“护珠塔”因其倾斜度超过意大利的比萨斜塔而号称“世界第一斜塔”，兴趣小组同学实施如下方案来测量塔的倾斜度和塔高，如图，记O 点为塔基、P 点为塔尖、点P 在地面上的射影为点H ，在塔身OP 射影所在直线上选点A ，使仰角45HAP ︒∠=，过O 点与OA 成120︒的地面上选B 点，使仰角45HBP ︒∠=（点A 、B 、O 都在同一水平面上），此时测得27OAB ︒∠=，A 与B 之间距离为33.6米，试求：（1）塔高；（即线段PH 的长，精确到0.1米）（2）塔的倾斜度；（即OPH ∠的大小，精确到0.1︒）20. 已知双曲线2222:1x y C a b-=经过点(2,3)，两条渐近线的夹角为60︒，直线l 交双曲线于A 、B 两点；（1）求双曲线C 的方程；（2）若l 过原点，P 为双曲线上异于A 、B 的一点，且直线PA 、PB 的斜率PA k 、PB k 均存在，求证：PA PB k k ⋅为定值；（3）若l 过双曲线的右焦点1F ，是否存在x 轴上的点(,0)M m ，使得直线l 绕点1F 无论怎样转动，都有0MA MB ⋅=成立？若存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由；21. 如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称为“H 型数列”；（1）若数列{}n a 为“H 型数列”，且113a m =-，21a m=，34a =，求实数m 的范围；（2）是否存在首项为1的等差数列{}n a 为“H 型数列”，其前n 项和n S 满足2n S n n <+*()n N ∈？若存在，请求出{}n a 的通项公式；若不存在，请说明理由；（3）已知等比数列{}n a 的每一项均为正整数，且{}n a 为“H 型数列”；若23n n b a =，n c =5(1)2n n a n -+⋅，当数列{}n b 不是“H 型数列”时，试判断数列{}n c 是否为“H 型数列”，并说明理由；参考答案一. 填空题1. {1}2. 34i -3. 24. (0,1)(1,)+∞5. π6.147. 143 8. 11 9. 17π 10. 10 11. 3(0,)312. 12-二. 选择题13. B 14. C 15. D 16. A三. 解答题 17.（1）略；（2）33； 18.（1）1a =-，偶函数；1a =，奇函数；a R ∈且1a ≠±，非奇非偶函数；（2）[2,3]；19.（1）18.9米；（2）6.9°；20.（1）2213y x -=；（2）3；（3）(1,0)-； 21.（1）1(,0)(,)2-∞+∞；（2）不存在；（3）132n n a -=⋅时，{}n c 不是“H 型数列”；14n n a -=时，{}n c 是“H 型数列”；上海市浦东新区2017届高三一模数学试卷2016.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知U R =，集合{|421}A x x x =-≥+，则U C A =2. 三阶行列式351236724---中元素5-的代数余子式的值为 3. 8(1)2x -的二项展开式中含2x 项的系数是4. 已知一个球的表面积为16π，则它的体积为5. 一个袋子中共有6个球，其中4个红色球，2个蓝色球，这些球的质地和形状一样，从中任意抽取2个球，则所抽的球都是红色球的概率是6. 已知直线:0l x y b -+=被圆22:25C x y +=所截得的弦长为6，则b =7. 若复数(1)(2)ai i +-在复平面上所对应的点在直线y x =上，则实数a =8. 函数()(3sin cos )(3cos sin )f x x x x x =+-的最小正周期为9. 过双曲线222:14x y C a -=的右焦点F 作一条垂直于x 轴的垂线交双曲线C 的两条渐近线于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积的最小值为10. 若关于x 的不等式1|2|02xx m --<在区间[0,1]内恒成立，则实数m 的范围11. 如图，在正方形ABCD 中，2AB =，M 、N 分别是边BC 、CD 上的两个动点，且2MN =，则AM AN ⋅的取值范围是12. 已知定义在*N 上的单调递增函数()y f x =，对于任意的*n N ∈，都有*()f n N ∈，且(())3f f n n =恒成立，则(2017)(1999)f f -=二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 将cos 2y x =图像向左平移6π个单位，所得的函数为（） A. cos(2)3y x π=+ B. cos(2)6y x π=+C. cos(2)3y x π=-D. cos(2)6y x π=-14. 已知函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，则()y f x =-与1()y f x -=-图像（） A. 关于y 轴对称 B. 关于原点对称 C. 关于直线0x y +=对称 D. 关于直线0x y -=对称 15. 设{}n a 是等差数列，下列命题中正确的是（）A. 若120a a +>，则230a a +>B. 若130a a +<，则120a a +<C. 若120a a <<，则213a a a >D. 若10a <，则2123()()0a a a a --> 16. 元旦将近，调查鲜花市场价格得知：购买2只玫瑰与1只康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4只玫瑰与5只康乃馨所需费用之和小于22元；设购买2只玫瑰花所需费用为A 元，购买3只康乃馨所需费用为B 元，则A 、B 的大小关系是（）A. A B >B. A B <C. A B =D. A 、B 的大小关系不确定三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 在长方体1111ABCD A BC D -中（如图），11AD AA ==，2AB =，点E 是棱AB 中点；（1）求异面直线1AD 与EC 所成角的大小；（2）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体成为鳖臑，试问四面体1DCDE 是否为鳖臑？并说明理由；18. 已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ；（1）若3B π=，7b =，△ABC 的面积332S =，求a c +的值；（2）若22cos ()C BA BC AB AC c ⋅+⋅=，求角C ；。

2017届上海市黄浦区高三4月高考模拟数学试卷及试题解析

黄浦区2017年高考模拟考数学试题及参考答案（完卷时间:120分钟满分:150分）一、填空题（本大题共有12题,满分54分. 其中第1~6题每题满分4分,第7~12题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.[1.函数的定义域为．【答案】【解析】试题分析:考点:函数的定义域的求法.2.若关于的方程组有无数多组解,则实数_________．【答案】；【解析】当时,,不合题意；当时,,得,综上:.3.若“”是“”的必要不充分条件,则的最大值为_________．【答案】；【解析】由得:或；若“”是“”的必要不充分条件,则,所以的最大值为.【点睛】从集合的角度看充要条件,若对应集合 ,对应集合, 如果,则是的充分条件；如果,则是的充分不必要条件；如果,则是的必要条件；如果,则是的必要不充分条件；如果,则是的充要条件,如果无上述包含关系,则是的既不充分也不必要条件；4.已知复数,(其中i为虚数单位),且是实数,则实数t等于________．【答案】；【解析】为实数,则.5.若函数(a>0,且a≠1)是R上的减函数,则a的取值范围是________．【答案】；【解析】当时,在上为减函数,而在上为减函数,要使函数在R上为减函数,则a满足,解得.6.设变量满足约束条件,则目标函数的最小值为___________【答案】；【解析】先画出二元一次不等式组所表示的平面区域,目标函数为截距型目标函数,令,作直线,由于,表示直线的截距,平移直线得最优解为,的最小值为.【点睛】线性规划问题要搞清目标函数的几何意义,常见的目标函数线有截距型、距离型（两点间的距离、点到直线的距离）、斜率型等,主要考查最值或范围.另外有时考查线性规划的逆向思维问题,难度稍大一点. 线性规划问题为高考高频考点,属于必得分题.7.已知圆和两点,若圆上至少存在一点,使得,则的取值范围是________．【答案】；【解析】由于两点在以原点为圆心,为半径的圆上,若圆上至少存在一点,使得,则两圆有公共点,设圆心距为,,则,则,则的取值范围是.8.已知向量,,如果∥,那么的值为________．【答案】；【解析】,则,.【点睛】有关三角函数计算问题,“异名化同名,异角化同角”,注意弦切互化,最关键问题是寻找角与角之间的关系,角与角之间是否存在和、差、倍关系,再借助诱导公式,同角三角函数关系,和、差公式,二倍角公式等求值.9.若从正八边形的8个顶点中随机选取3个顶点,则以它们作为顶点的三角形是直角三角形的概率是________．【答案】；【解析】正八边形的八个顶点,无三点在同一直线上,任取3点可连成一个三角形,共可作个三角形,其中4条对角线为其外接圆的直径,根据直径所对的圆周角为直角,每条直径可连接6个直角三角形,共计可作个直角三角形,概率为.10.若将函数的图像向左平移个单位后,所得图像对应的函数为偶函数,则的最小值是________．【答案】；【解析】若将函数的图像向左平移个单位后,所得图像对应的函数为为偶函数,根据正（余）弦函数的奇偶性可知:则,或,则,或,则,即:,当时,取得最小值为.【点睛】11.三棱锥满足:,,,,则该三棱锥的体积V的取值范围是________．【答案】；【解析】由于平面, ,在中,,要使面积最大,只需,的最大值为,的最大值为,该三棱锥的体积V的取值范围是.12.对于数列,若存在正整数,对于任意正整数都有成立,则称数列是以为周期的周期数列．设,对任意正整数n都有若数列是以5为周期的周期数列,则的值可以是_________．(只要求填写满足条件的一个m值即可)【答案】（或,或）．【解析】数列满足, ,,当,时, , ,若时,,, 当时, ,,解得,填写 .继续讨论可求出其他的解（略）.二、选择题（本大题共有4题,满分20分．）每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分．13.下列函数中,周期为π,且在上为减函数的是( )A. y=sinB. y=cosC. y=sinD. y=cos【答案】A【解析】试题分析:周期是π的函数只有A,B,因为y＝sin=cos2x,其在上为减函数,故选A。

2017年上海市黄浦区高考数学一模试卷(解析版)

2017年上海市黄浦区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1～6题每题满分54分，第7～12题每题满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.[ 1．若集合A={x||x﹣1|＜2，x∈R}，则A∩Z=．2．抛物线y2=2x的准线方程是．3．若复数z满足（i为虚数单位），则z=．4．已知sin（α+）=，α∈（﹣，0），则tanα=．5．以点（2，﹣1）为圆心，且与直线x+y=7相切的圆的方程是．6．若二项式的展开式共有6项，则此展开式中含x4的项的系数是．7．已知向量（x，y∈R），，若x2+y2=1，则的最大值为．8．已知函数y=f（x）是奇函数，且当x≥0时，f（x）=log2（x+1）．若函数y=g （x）是y=f（x）的反函数，则g（﹣3）=．9．在数列{a n}中，若对一切n∈N*都有a n=﹣3a n，且+1=，则a1的值为．10．甲、乙两人从6门课程中各选修3门．则甲、乙所选的课程中至多有1门相同的选法共有．11．已知点O，A，B，F分别为椭圆的中心、左顶点、上顶点、右焦点，过点F作OB的平行线，它与椭圆C在第一象限部分交于点P，若，则实数λ的值为．12．已知为常数），，且当x1，x2∈[1，4]时，总有f（x1）≤g（x2），则实数a的取值范围是．二、选择题（本大题共有4题，满分20分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．若x ∈R ，则“x ＞1”是“”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件14．关于直线l ，m 及平面α，β，下列命题中正确的是（）A ．若l ∥α，α∩β=m ，则l ∥mB ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥mC ．若l ⊥α，m ∥α，则l ⊥mD ．若l ∥α，m ⊥l ，则m ⊥α15．在直角坐标平面内，点A ，B 的坐标分别为（﹣1，0），（1，0），则满足tan ∠PAB•tan ∠PBA=m （m 为非零常数）的点P 的轨迹方程是（）A ．B ．C ．D ．16．若函数y=f （x ）在区间I 上是增函数，且函数在区间I 上是减函数，则称函数f （x ）是区间I 上的“H 函数”．对于命题：①函数是（0，1）上的“H 函数”；②函数是（0，1）上的“H 函数”．下列判断正确的是（）A ．①和②均为真命题B ．①为真命题，②为假命题C ．①为假命题，②为真命题D ．①和②均为假命题三、解答题（本大题共有5题，满分76分．）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．在三棱锥P ﹣ABC 中，底面ABC 是边长为6的正三角形，PA ⊥底面ABC ，且PB 与底面ABC 所成的角为．（1）求三棱锥P ﹣ABC 的体积；（2）若M 是BC 的中点，求异面直线PM 与AB 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18．已知双曲线C以F1（﹣2，0）、F2（2，0）为焦点，且过点P（7，12）．（1）求双曲线C与其渐近线的方程；（2）若斜率为1的直线l与双曲线C相交于A，B两点，且（O为坐标原点）．求直线l的方程．19．现有半径为R、圆心角（∠AOB）为90°的扇形材料，要裁剪出一个五边形工件OECDF，如图所示．其中E，F分别在OA，OB上，C，D在上，且OE=OF，EC=FD，∠ECD=∠CDF=90°．记∠COD=2θ，五边形OECDF的面积为S．（1）试求S关于θ的函数关系式；（2）求S的最大值．20．已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域内存在实数t，使得f（t+2）=f（t）+f（2）．（1）判断f（x）=3x+2是否属于集合M，并说明理由；（2）若属于集合M，求实数a的取值范围；（3）若f（x）=2x+bx2，求证：对任意实数b，都有f（x）∈M．21．已知数列{a n}，{b n}满足b n=a n﹣a n（n=1，2，3，…）．+1（1）若b n=10﹣n，求a16﹣a5的值；（2）若且a1=1，则数列{a2n+1}中第几项最小？请说明理由；（3）若c n=a n+2a n+1（n=1，2，3，…），求证：“数列{a n}为等差数列”的充分必要（n=1，2，3，…）”．条件是“数列{c n}为等差数列且b n≤b n+12017年上海市黄浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1～6题每题满分54分，第7～12题每题满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.[ 1．若集合A={x||x﹣1|＜2，x∈R}，则A∩Z={0，1，2} ．【考点】交集及其运算．【分析】化简集合A，根据交集的定义写出A∩Z即可．【解答】解：集合A={x||x﹣1|＜2，x∈R}={x|﹣2＜x﹣1＜2，x∈R}={x|﹣1＜x＜3，x∈R}，则A∩Z={0，1，2}．故答案为{0，1，2}．2．抛物线y2=2x的准线方程是．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线方程求得p，进而根据抛物线的性质，求得答案．【解答】解：抛物线y2=2x，∴p=1，∴准线方程是x=﹣故答案为：﹣3．若复数z满足（i为虚数单位），则z=1+2i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由，得z=1+2i．故答案为：1+2i．4．已知sin（α+）=，α∈（﹣，0），则tanα=﹣2．【考点】运用诱导公式化简求值；同角三角函数间的基本关系．【分析】由α∈（﹣，0）sin（α+）=，利用诱导公式可求得cosα，从而可求得sinα与tanα．【解答】解：∵sin（α+）=cosα，sin（α+）=，∴cosα=，又α∈（﹣，0），∴sinα=﹣，∴tanα==﹣2．故答案为：﹣2．5．以点（2，﹣1）为圆心，且与直线x+y=7相切的圆的方程是（x﹣2）2+（y+1）2=18．【考点】圆的切线方程．【分析】由点到直线的距离求出半径，从而得到圆的方程．【解答】解：将直线x+y=7化为x+y﹣7=0，圆的半径r==3，所以圆的方程为（x﹣2）2+（y+1）2=18．故答案为（x﹣2）2+（y+1）2=18．6．若二项式的展开式共有6项，则此展开式中含x4的项的系数是10．【考点】二项式定理的应用．【分析】根据题意求得n=5，再在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于4，求得r的值，可得展开式中含x4的项的系数．【解答】解：∵二项式的展开式共有6项，故n=5，=•（﹣1）r•x10﹣3r，令10﹣3r=4，∴r=2，则此展开式的通项公式为T r+1中含x4的项的系数=10，故答案为：10．7．已知向量（x，y∈R），，若x2+y2=1，则的最大值为+1．【考点】向量的模．【分析】利用≤+r即可得出．【解答】解：设O（0，0），P（1，2）．=≤+r=+1=+1．∴的最大值为+1．故答案为：．8．已知函数y=f（x）是奇函数，且当x≥0时，f（x）=log2（x+1）．若函数y=g （x）是y=f（x）的反函数，则g（﹣3）=﹣7．【考点】反函数．【分析】根据反函数与原函数的关系，可知反函数的定义域是原函数的值域，即可求解．【解答】解：∵反函数与原函数具有相同的奇偶性．∴g（﹣3）=﹣g（3），∵反函数的定义域是原函数的值域，∴log2（x+1）=3，解得：x=7，即g（3）=7，故得g（﹣3）=﹣7．故答案为：﹣7．9．在数列{a n}中，若对一切n∈N*都有a n=﹣3a n，且+1=，则a1的值为﹣12．【考点】数列的极限．【分析】由题意可得数列{a n}为公比为﹣的等比数列，运用数列极限的运算，解方程即可得到所求．【解答】解：在数列{a n}中，若对一切n∈N*都有a n=﹣3a n+1，可得数列{a n}为公比为﹣的等比数列，=，可得====，可得a1=﹣12．故答案为：﹣12．10．甲、乙两人从6门课程中各选修3门．则甲、乙所选的课程中至多有1门相同的选法共有200．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】根据题意，甲、乙所选的课程中至多有1门相同，其包含两种情况：①甲乙所选的课程全不相同，②甲乙所选的课程有1门相同；分别计算每种情况下的选法数目，相加可得答案．【解答】解：根据题意，分两种情况讨论：①甲乙所选的课程全不相同，有C63×C33=20种情况，②甲乙所选的课程有1门相同，有C61×C52×C32=180种情况，则甲、乙所选的课程中至多有1门相同的选法共有180+20=200种情况；故答案为：200．11．已知点O，A，B，F分别为椭圆的中心、左顶点、上顶点、右焦点，过点F作OB的平行线，它与椭圆C在第一象限部分交于点P，若，则实数λ的值为．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】由题意画出图形，求出的坐标，代入，结合隐含条件求得实数λ的值．【解答】解：如图，A（﹣a，0），B（0，b），F（c，0），则P（c，），∴，，由，得，即b=c，∴a2=b2+c2=2b2，．则．故答案为：．12．已知为常数），，且当x1，x2∈[1，4]时，总有f（x1）≤g（x2），则实数a的取值范围是．【考点】函数恒成立问题．【分析】依题意可知，当x1，x2∈[1，4]时，f（x1）max≤g（x2）min，利用对勾函数的单调性质可求g（x2）min=g（1）=3；再对f（x）=2ax2+2x中的二次项系数a分a=0、a＞0、a＜0三类讨论，利用函数的单调性质可求得f（x）在区间[1，4]上的最大值，解f（x）max≤3即可求得实数a的取值范围．【解答】解：依题意知，当x1，x2∈[1，4]时，f（x1）max≤g（x2）min，由“对勾'函数单调性知，=2x+=2（x+）在区间[1，4]上单调递增，∴g（x2）min=g（1）=3；∵=2ax2+2x，当a=0时，f（x）=2x在区间[1，4]上单调递增，∴f（x）max=f（4）=8≤3不成立，故a≠0；∴f（x）=2ax2+2x为二次函数，其对称轴方程为：x=﹣，当a＞0时，f（x）在区间[1，4]上单调递增，f（x）max=f（4）=8≤3不成立，故a＞0不成立；当a＜0时，1°若﹣≤1，即a≤﹣时，f（x）在区间[1，4]上单调递减，f（x）max=f（1）=2a+2≤3恒成立，即a≤﹣时满足题意；2°若1＜﹣＜4，即﹣＜a＜﹣时，f（x）max=f（﹣）=﹣≤3，解得：﹣＜a≤﹣；3°若﹣≥4，即﹣≤a＜0时，f（x）在区间[1，4]上单调递增，f（x）max=f（4）=32a+8≤3，解得a≤﹣∉（﹣，0），故不成立，综合1°2°3°知，实数a的取值范围是：（﹣∞，﹣]．故答案为：．二、选择题（本大题共有4题，满分20分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．若x∈R，则“x＞1”是“”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：由x＞1，一定能得到得到＜1，但当＜1时，不能推出x＞1 （如x=﹣1时），故x＞1是＜1 的充分不必要条件，故选：A．14．关于直线l，m及平面α，β，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，α∩β=m，则l∥m B．若l∥α，m∥α，则l∥mC．若l⊥α，m∥α，则l⊥m D．若l∥α，m⊥l，则m⊥α【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A中，l与m平行或异面；在B中，l与m相交、平行或异面；在C 中，由线面垂直的性质定理得l⊥m；在D中，m与α相交、平行或m⊂α．【解答】解：由直线l，m及平面α，β，知：在A中，若l∥α，α∩β=m，则l与m平行或异面，故A错误；在B中，若l∥α，m∥α，则l与m相交、平行或异面，故B错误；在C中，若l⊥α，m∥α，则由线面垂直的性质定理得l⊥m，故C正确；在D中，若l∥α，m⊥l，则m与α相交、平行或m⊂α，故D错误．故选：C．15．在直角坐标平面内，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（1，0），则满足tan ∠PAB•tan∠PBA=m（m为非零常数）的点P的轨迹方程是（）A．B．C．D．【考点】轨迹方程．【分析】设P（x，y），则由题意，（m≠0），化简可得结论．【解答】解：设P（x，y），则由题意，（m≠0），化简可得，故选C．16．若函数y=f（x）在区间I上是增函数，且函数在区间I上是减函数，则称函数f（x）是区间I上的“H函数”．对于命题：①函数是（0，1）上的“H函数”；②函数是（0，1）上的“H函数”．下列判断正确的是（）A．①和②均为真命题B．①为真命题，②为假命题C．①为假命题，②为真命题D．①和②均为假命题【考点】命题的真假判断与应用．【分析】对函数，G（x）=在（0，1）上的单调性进行判断，得命题①是真命题．对函数=，H（x）=在（0，1）上单调性进行判断，得命题②是假命题．【解答】解：对于命题①：令t=，函数=﹣t2+2t，∵t=在（0，1）上是增函数，函数y=﹣t2+2t在（0，1）上是增函数，∴在（0，1）上是增函数；G（x）=在（0，1）上是减函数，∴函数是（0，1）上的“H函数“，故命题①是真命题．对于命题②，函数=是（0，1）上的增函数，H（x）=是（0，1）上的增函数，故命题②是假命题；故选：B．三、解答题（本大题共有5题，满分76分．）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．在三棱锥P﹣ABC中，底面ABC是边长为6的正三角形，PA⊥底面ABC，且PB与底面ABC所成的角为．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）若M是BC的中点，求异面直线PM与AB所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【分析】（1）在Rt△PAB中计算PA，再代入棱锥的体积公式计算；（2）取棱AC的中点N，连接MN，NP，分别求出△PMN的三边长，利用余弦定理计算cos∠PMN即可．【解答】解：（1）∵PA⊥平面ABC，∴∠PBA为PB与平面ABC所成的角，即，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，又AB=6，∴，∴．（2）取棱AC的中点N，连接MN，NP，∵M，N分别是棱BC，AC的中点，∴MN∥BA，∴∠PMN为异面直线PM与AB所成的角．∵PA⊥平面ABC，所以PA⊥AM，PA⊥AN，又，AN=AC=3，BM=BC=3，∴AM==3，，，所以，故异面直线PM与AB所成的角为．18．已知双曲线C以F1（﹣2，0）、F2（2，0）为焦点，且过点P（7，12）．（1）求双曲线C与其渐近线的方程；（2）若斜率为1的直线l与双曲线C相交于A，B两点，且（O为坐标原点）．求直线l的方程．【考点】直线与双曲线的位置关系；双曲线的标准方程．【分析】（1）设出双曲线C方程，利用已知条件求出c，a，解得b，即可求出双曲线方程与渐近线的方程；（2）设直线l的方程为y=x+t，将其代入方程，通过△＞0，求出t的范围，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理，通过x1x2+y1y2=0，求解t即可得到直线方程．【解答】解：（1）设双曲线C的方程为，半焦距为c，则c=2，，a=1，…所以b2=c2﹣a2=3，故双曲线C的方程为．…双曲线C的渐近线方程为．…（2）设直线l的方程为y=x+t，将其代入方程，可得2x2﹣2tx﹣t2﹣3=0（*）…△=4t2+8（t2+3）=12t2+24＞0，若设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程（*）的两个根，所以，又由，可知x1x2+y1y2=0，…即x1x2+（x1+t）（x2+t）=0，可得，故﹣（t2+3）+t2+t2=0，解得，所以直线l方程为．…19．现有半径为R、圆心角（∠AOB）为90°的扇形材料，要裁剪出一个五边形工件OECDF，如图所示．其中E，F分别在OA，OB上，C，D在上，且OE=OF，EC=FD，∠ECD=∠CDF=90°．记∠COD=2θ，五边形OECDF的面积为S．（1）试求S关于θ的函数关系式；（2）求S的最大值．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）设M是CD中点，连OM，推出∠COM=∠DOM=，MD=Rsinθ，利用△CEO≌△DFO，转化求解∠DFO=，在△DFO中，利用正弦定理+S ODF+S OCE=S△COD+2S ODF的解析式即可．，求解S=S△COD（2）利用S的解析式，通过三角函数的最值求解即可．【解答】解：（1）设M是CD中点，连OM，由OC=OD，可知OM⊥CD，∠COM=∠DOM=，，MD=Rsinθ，又OE=OF，EC=FD，OC=OD，可得△CEO≌△DFO，故∠EOC=∠DOF，可知，…又DF⊥CD，OM⊥CD，所以MO∥DF，故∠DFO=，在△DFO中，有，可得…所以S=S+S ODF+S OCE=S△COD+2S ODF=△COD=…（2）…=（其中）…当，即时，sin（2θ+φ）取最大值1．又，所以S的最大值为．…20．已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域内存在实数t，使得f（t+2）=f（t）+f（2）．（1）判断f（x）=3x+2是否属于集合M，并说明理由；（2）若属于集合M，求实数a的取值范围；（3）若f（x）=2x+bx2，求证：对任意实数b，都有f（x）∈M．【考点】抽象函数及其应用．【分析】（1）利用f（x）=3x+2，通过f（t+2）=f（t）+f（2）推出方程无解，说明f（x）=3x+2不属于集合M．（2）由属于集合M，推出有实解，即（a﹣6）x2+4ax+6（a﹣2）=0有实解，若a=6时，若a≠6时，利用判断式求解即可．（3）当f（x）=2x+bx2时，方程f（x+2）=f（x）+f（2）⇔3×2x+4bx﹣4=0，令g （x）=3×2x+4bx﹣4，则g（x）在R上的图象是连续的，当b≥0时，当b＜0时，判断函数是否有零点，证明对任意实数b，都有f（x）∈M．【解答】解：（1）当f（x）=3x+2时，方程f（t+2）=f（t）+f（2）⇔3t+8=3t+10…此方程无解，所以不存在实数t，使得f（t+2）=f（t）+f（2），故f（x）=3x+2不属于集合M．…（2）由属于集合M，可得方程有实解⇔a[（x+2）2+2]=6（x2+2）有实解⇔（a ﹣6）x2+4ax+6（a﹣2）=0有实解，…若a=6时，上述方程有实解；若a≠6时，有△=16a2﹣24（a﹣6）（a﹣2）≥0，解得，故所求a的取值范围是．…（3）当f（x）=2x+bx2时，方程f（x+2）=f（x）+f（2）⇔2x+2+b（x+2）2=2x+bx2+4+4b ⇔3×2x+4bx﹣4=0，…令g（x）=3×2x+4bx﹣4，则g（x）在R上的图象是连续的，当b≥0时，g（0）=﹣1＜0，g（1）=2+4b＞0，故g（x）在（0，1）内至少有一个零点；当b＜0时，g（0）=﹣1＜0，，故g（x）在内至少有一个零点；故对任意的实数b，g（x）在R上都有零点，即方程f（x+2）=f（x）+f（2）总有解，所以对任意实数b，都有f（x）∈M．…21．已知数列{a n}，{b n}满足b n=a n+1﹣a n（n=1，2，3，…）．（1）若b n=10﹣n，求a16﹣a5的值；（2）若且a1=1，则数列{a2n+1}中第几项最小？请说明理由；（3）若c n=a n+2a n+1（n=1，2，3，…），求证：“数列{a n}为等差数列”的充分必要条件是“数列{c n}为等差数列且b n≤b n+1（n=1，2，3，…）”．【考点】数列与函数的综合；数列的应用；数列递推式．【分析】（1）判断{b n}是等差数列．然后化简a16﹣a5=（a16﹣a15）+（a15﹣a14）+（a14﹣a13）+…+（a6﹣a5）利用等差数列的性质求和即可．（2）利用a2n+3﹣a2n+1=22n+1﹣231﹣2n，判断a2n+3＜a2n+1，求出n＜7.5，a2n+3＞a2n+1求出n＞7.5，带带数列{a2n+1}中a17最小，即第8项最小．．法二：化简，求出a2n+1=a1+b1+b2+b3+…+b2n=，利用基本不等式求出最小值得到数列{a2n+1}中的第8项最小．（3）若数列{a n}为等差数列，设其公差为d，说明数列{c n}为等差数列．由b n=a n+1﹣a n=d（n=1，2，3，…），推出b n≤b n+1，若数列{c n}为等差数列且b n≤b n+1（n=1，2，3，…），设{c n}的公差为D，转化推出b n+1=b n（n=1，2，3，…），说明数列{a n}为等差数列．得到结果．【解答】解：（1）由b n=10﹣n，可得b n+1﹣b n=（9﹣n）﹣（10﹣n）=﹣1，故{b n}是等差数列．所以a16﹣a5=（a16﹣a15）+（a15﹣a14）+（a14﹣a13）+…+（a6﹣a5）=…（2）a2n+3﹣a2n+1=（a2n+3﹣a2n+2）+（a2n+2﹣a2n+1）=b2n+2+b2n+1=（22n+2+231﹣2n）﹣（22n+1+232﹣2n）=22n+1﹣231﹣2n…由a2n+3＜a2n+1⇔22n+1﹣231﹣2n＜0⇔n＜7.5，a2n+3＞a2n+1⇔22n+1﹣231﹣2n＞0⇔n＞7.5，…故有a3＞a5＞a7＞…＞a15＞a17＜a19＜a20＜…，所以数列{a2n+1}中a17最小，即第8项最小．…法二：由，…可知a2n+1=a1+b1+b2+b3+…+b2n==…（当且仅当22n+1=233﹣2n，即n=8时取等号）所以数列{a2n+1}中的第8项最小．…（3）若数列{a n}为等差数列，设其公差为d，则c n+1﹣c n=（a n+1﹣a n）+2（a n+2﹣a n+1）=d+2d=3d为常数，所以数列{c n}为等差数列．…由b n=a n+1﹣a n=d（n=1，2，3，…），可知b n≤b n+1（n=1，2，3，…）．…若数列{c n}为等差数列且b n≤b n+1（n=1，2，3，…），设{c n}的公差为D，则c n+1﹣c n=（a n+1﹣a n）+2（a n+2﹣a n+1）=b n+2b n+1=D（n=1，2，3，…），…又b n+1+2b n+2=D，故（b n+1﹣b n）+2（b n+2﹣b n+1）=D﹣D=0，又b n+1﹣b n≥0，b n+2﹣b n+1≥0，故b n+1﹣b n=b n+2﹣b n+1=0（n=1，2，3，…），…所以b n+1=b n（n=1，2，3，…），故有b n=b1，所以a n+1﹣a n=b1为常数．故数列{a n}为等差数列．综上可得，“数列{a n}为等差数列”的充分必要条件是“数列{c n}为等差数列且b n ≤b n+1（n=1，2，3，…）”．…2017年2月18日。

上海市奉贤区高考数学一模试卷Word版含解析

2017年上海市奉贤区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．已知集合A={﹣2，﹣1}，B={﹣1，2，3}，则A∩B=．2．已知复数z满足z•（1﹣i）=2，其中i为虚数单位，则z=．3．方程lg（x﹣3）+lgx=1的解x=．4．已知f（x）=log a x（a＞0，a≠1），且f﹣1（﹣1）=2，则f﹣1（x）=．5．若对任意正实数a，不等式x2≤1+a恒成立，则实数x的最小值为．6．若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则p=．7．中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为．8．如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边成为1，那么这个几何体的表面积是．9．已知互异复数mn≠0，集合{m，n}={m2，n2}，则m+n=．10．已知等比数列{a n}的公比q，前n项的和S n，对任意的n∈N*，S n＞0恒成立，则公比q的取值范围是．11．参数方程，θ∈[0，2π）表示的曲线的普通方程是．12．已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，若函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数y=f（x）的图象关于直线x=ω对称，则ω的值为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件14．若方程f（x）﹣2=0在（﹣∞，0）内有解，则y=f（x）的图象是（）A．B．C．D．15．已知函数（α∈[0，2π））是奇函数，则α=（）A．0 B．C．πD．16．若正方体A1A2A3A4﹣B1B2B3B4的棱长为1，则集合{x|x=•，i∈{1，2，3，4}，j∈1，2，3，4}}中元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．已知圆锥母线长为5，底面圆半径长为4，点M是母线PA的中点，AB是底面圆的直径，点C是弧AB的中点；（1）求三棱锥P﹣ACO的体积；（2）求异面直线MC与PO所成的角．18．已知函数（a＞0），且f（1）=2；（1）求a和f（x）的单调区间；（2）f（x+1）﹣f（x）＞2．19．一艘轮船在江中向正东方向航行，在点P观测到灯塔A、B在一直线上，并与航线成角α（0°＜α＜90°），轮船沿航线前进b米到达C处，此时观测到灯塔A 在北偏西45°方向，灯塔B在北偏东β（0°＜β＜90°）方向，0°＜α+β＜90°，求CB；（结果用α，β，b表示）20．过双曲线的右支上的一点P作一直线l与两渐近线交于A、B两点，其中P是AB的中点；（1）求双曲线的渐近线方程；（2）当P坐标为（x0，2）时，求直线l的方程；（3）求证：|OA|•|OB|是一个定值．21．设数列{a n}的前n项和为S n，若（n∈N*），则称{a n}是“紧密数列”；（1）若a1=1，，a3=x，a4=4，求x的取值范围；（2）若{a n}为等差数列，首项a1，公差d，且0＜d≤a1，判断{a n}是否为“紧密数列”；（3）设数列{a n}是公比为q的等比数列，若数列{a n}与{S n}都是“紧密数列”，求q的取值范围．2017年上海市奉贤区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．已知集合A={﹣2，﹣1}，B={﹣1，2，3}，则A∩B={﹣1} ．【考点】交集及其运算．【分析】利用交集的定义求解．【解答】解：∵集合A={﹣2，﹣1}，B={﹣1，2，3}，∴A∩B={﹣1}．故答案为：{﹣1}．2．已知复数z满足z•（1﹣i）=2，其中i为虚数单位，则z=1+i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】复数方程两边同乘1﹣i的共轭复数，然后化简即可．【解答】解：由z•（1﹣i）=2，可得z•（1﹣i）（1+i）=2（1+i），所以2z=2（1+i），z=1+i．故答案为：1+i．3．方程lg（x﹣3）+lgx=1的解x=5．【考点】对数的运算性质．【分析】在保证对数式的真数大于0的前提下由对数的和等于乘积的对数去掉对数符号，求解一元二次方程得答案．【解答】解：由lg（x﹣3）+lgx=1，得：，即，解得：x=5．故答案为：5．4．已知f（x）=log a x（a＞0，a≠1），且f﹣1（﹣1）=2，则f﹣1（x）=．【考点】对数函数图象与性质的综合应用．【分析】由题意可得f（2）=log a2=﹣1；从而得到a=；再写反函数即可．【解答】解：由题意，∵f﹣1（﹣1）=2，∴f（2）=log a2=﹣1；故a=；故f﹣1（x）=；故答案为：．5．若对任意正实数a，不等式x2≤1+a恒成立，则实数x的最小值为﹣1．【考点】二次函数的性质．【分析】由恒成立转化为最值问题，由此得到二次函数不等式，结合图象得到x 的取值范围．【解答】解：∵对任意正实数a，不等式x2≤1+a恒成立，∴等价于a≥x2﹣1，∴a≥（x2﹣1）max0≥（x2﹣1）max﹣1≤x≤1∴实数x的最小值为﹣1．6．若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则p=4．【考点】椭圆的简单性质；抛物线的简单性质．【分析】求出椭圆的右焦点，得到抛物线的焦点坐标，然后求解p即可．【解答】解：椭圆的右焦点（2，0），抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，可得：，解得p=4．故答案为：4．7．中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为5．【考点】等差数列．【分析】由题意可得首项的方程，解方程可得．【解答】解：设该等差数列的首项为a，由题意和等差数列的性质可得2015+a=1010×2解得a=5故答案为：58．如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边成为1，那么这个几何体的表面积是．【考点】由三视图求面积、体积；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意可知三视图复原的几何体是三棱锥，正方体的一个角，根据三视图的数据，求出三棱锥的表面积即可．【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是三棱锥，正方体的一个角，所以几何体的表面积为：3个等腰直角三角形与一个等边三角形的面积的和，即：3×=．故答案为：．9．已知互异复数mn≠0，集合{m，n}={m2，n2}，则m+n=﹣1．【考点】复数相等的充要条件．【分析】互异复数mn≠0，集合{m，n}={m2，n2}，可得：m=m2，n=n2；n=m2，m=n2，mn≠0，m≠n．解出即可得出．【解答】解：互异复数mn≠0，集合{m，n}={m2，n2}，∴m=m2，n=n2，或n=m2，m=n2，mn≠0，m≠n．由m=m2，n=n2，mn≠0，m≠n，无解．由n=m2，m=n2，mn≠0，m≠n．可得n﹣m=m2﹣n2，解得m+n=﹣1．故答案为：﹣1．10．已知等比数列{a n}的公比q，前n项的和S n，对任意的n∈N*，S n＞0恒成立，则公比q的取值范围是（﹣1，0）∪（0，+∞）．【考点】等比数列的前n项和．【分析】q≠1时，由S n＞0，知a1＞0，从而＞0恒成立，由此利用分类讨论思想能求出公比q的取值范围．【解答】解：q≠1时，有S n=，∵S n＞0，∴a1＞0，则＞0恒成立，①当q＞1时，1﹣q n＜0恒成立，即q n＞1恒成立，由q＞1，知q n＞1成立；②当q=1时，只要a1＞0，S n＞0就一定成立；③当q＜1时，需1﹣q n＞0恒成立，当0＜q＜1时，1﹣q n＞0恒成立，当﹣1＜q＜0时，1﹣q n＞0也恒成立，当q＜﹣1时，当n为偶数时，1﹣q n＞0不成立，当q=﹣1时，1﹣q n＞0也不可能恒成立，所以q的取值范围为（﹣1，0）∪（0，+∞）．故答案为：（﹣1，0）∪（0，+∞）．11．参数方程，θ∈[0，2π）表示的曲线的普通方程是 x 2=y（0≤x ≤，0≤y ≤2）．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】把上面一个式子平方，得到x 2=1+sinθ，代入第二个参数方程得到x 2=y ，根据所给的角的范围，写出两个变量的取值范围，得到普通方程．【解答】解：∵∵θ∈[0，2π），∴|cos+sin|=|sin （+）|∈[0，]1+sinθ=（cos+sin）2∈[0，2]故答案为：x 2=y （0≤x ≤，0≤y ≤2）12．已知函数f （x ）=sinωx +cosωx （ω＞0），x ∈R ，若函数f （x ）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数y=f （x ）的图象关于直线x =ω对称，则ω的值为．【考点】由y=Asin （ωx +φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由两角和的正弦函数公式化简解析式可得f （x ）=sin （ωx +），由2kπ﹣≤ωx +≤2kπ+，k ∈Z 可解得函数f （x ）的单调递增区间，结合已知可得：﹣ω≥①，ω≤②，k ∈Z ，从而解得k=0，又由ωx +=kπ+，可解得函数f （x ）的对称轴为：x=，k ∈Z ，结合已知可得：ω2=，从而可求ω的值．【解答】解：∵f （x ）=sinωx +cosωx=sin （ωx +），∵函数f （x ）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，ω＞0∴2kπ﹣≤ωx+≤2kπ+，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间为：[，]，k∈Z，∴可得：﹣ω≥①，ω≤②，k∈Z，∴解得：0＜ω2≤且0＜ω2≤2k，k∈Z，解得：﹣，k∈Z，∴可解得：k=0，又∵由ωx+=kπ+，可解得函数f（x）的对称轴为：x=，k∈Z，∴由函数y=f（x）的图象关于直线x=ω对称，可得：ω2=，可解得：ω=．故答案为：．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【考点】双曲线的简单性质；充要条件．【分析】先证明充分性，把方程化为+=1，由“mn＜0”，可得、异号，可得方程表示双曲线，由此可得“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的充分条件；再证必要性，先把方程化为+=1，由双曲线方程的形式可得、异号，进而可得mn＜0，由此可得“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的必要条件；综合可得答案．【解答】解：若“mn＜0”，则m、n均不为0，方程mx2+ny2=1，可化为+=1，若“mn ＜0”，、异号，方程+=1中，两个分母异号，则其表示双曲线，故“mn ＜0”是方程“mx 2+ny 2=1表示双曲线”的充分条件；反之，若mx 2+ny 2=1表示双曲线，则其方程可化为+=1，此时有、异号，则必有mn ＜0，故“mn ＜0”是方程“mx 2+ny 2=1表示双曲线”的必要条件；综合可得：“mn ＜0”是方程“mx 2+ny 2=1表示双曲线”的充要条件；故选C ．14．若方程f （x ）﹣2=0在（﹣∞，0）内有解，则y=f （x ）的图象是（）A ．B ．C ．D ．【考点】函数的图象与图象变化．【分析】根据方程f （x ）﹣2=0在（﹣∞，0）内有解，转化为函数f （x ）的图象和直线y=2在（﹣∞，0）上有交点．【解答】解：A ：与直线y=2的交点是（0，2），不符合题意，故不正确； B ：与直线y=2的无交点，不符合题意，故不正确；C ：与直线y=2的在区间（0，+∞）上有交点，不符合题意，故不正确；D ：与直线y=2在（﹣∞，0）上有交点，故正确．故选D ．15．已知函数（α∈[0，2π））是奇函数，则α=（）A．0 B．C．πD．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据奇函数的性质建立关系式求解．【解答】解：由题意可知，函数f（x）是奇函数，即f（﹣x）+f（x）=0，不妨设x＜0，则﹣x＞0．则有：f（x）=﹣x2+cos（x+α），f（﹣x）=x2﹣sinx那么：﹣x2+cos（x+α）+x2﹣sinx=0解得：（k∈Z）∵α∈[0，2π）∴α=故选：D．16．若正方体A1A2A3A4﹣B1B2B3B4的棱长为1，则集合{x|x=•，i∈{1，2，3，4}，j∈1，2，3，4}}中元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】子集与真子集．【分析】⊥，⊥，i，j∈{1，2，3，4}，由此能求出集合{x|x=•，i∈{1，2，3，4}，j∈1，2，3，4}}中元素的个数．【解答】解：∵正方体A1A2A3A4﹣B1B2B3B4的棱长为1，⊥，⊥，i，j∈{1，2，3，4}，∴•=•（++）=•++=1．∴集合{x|x=•，i∈{1，2，3，4}，j∈1，2，3，4}}中元素的个数为1．故选：A．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．已知圆锥母线长为5，底面圆半径长为4，点M是母线PA的中点，AB是底面圆的直径，点C是弧AB的中点；（1）求三棱锥P﹣ACO的体积；（2）求异面直线MC与PO所成的角．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【分析】（1）由已知得AB=8，OC=4，OC⊥AB，PO=3，由此能出三棱锥P﹣ACO的体积．（2）以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线MC与PO所成的角．【解答】解：（1）∵圆锥母线长为5，底面圆半径长为4，点M是母线PA的中点，AB是底面圆的直径，点C是弧AB的中点，∴AB=8，OC=4，OC⊥AB，∴PO===3，=∴三棱锥P﹣ACO的体积V P﹣ACO==8．（2）以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，﹣4，0），P（0，0，3），M（0，﹣2，），C（4，0，0），O（0，0，0），=（4，2，﹣），=（0，0，﹣3），设异面直线MC与PO所成的角为θ，cosθ===，故异面直线MC与PO所成的角为arccos．18．已知函数（a＞0），且f（1）=2；（1）求a和f（x）的单调区间；（2）f（x+1）﹣f（x）＞2．【考点】指数式与对数式的互化．【分析】（1）代值计算并根据复合函数的单调性求出单调区间，注意函数的定义域，（2）根据函数的单调性得到关于x 的不等式，解得即可．【解答】解：（1）函数（a＞0），且f（1）=2，∴log2（a2+a﹣2）=2=log24，∴，解得a=2，∴f（x）=log2（22x+2x﹣2），设t=22x+2x﹣2＞0，解得x＞0，∴f（x）的递增区间（0，+∞）；（2）f（x+1）﹣f（x）＞2，∴log2（22x+2+2x+1﹣2）﹣log2（22x+2x﹣2）＞2=log24，∴22x+2+2x+1﹣2＞4（22x+2x﹣2），∴2x＜3，∴x＜log23，∵x＞0∴0＜x＜log23∴不等式的解集为（0，＜log23）19．一艘轮船在江中向正东方向航行，在点P观测到灯塔A、B在一直线上，并与航线成角α（0°＜α＜90°），轮船沿航线前进b米到达C处，此时观测到灯塔A 在北偏西45°方向，灯塔B在北偏东β（0°＜β＜90°）方向，0°＜α+β＜90°，求CB；（结果用α，β，b表示）【考点】解三角形的实际应用．【分析】由题意，∠B=90°﹣（α+β），△PBC中，运用正弦定理可得结论．【解答】解：由题意，∠B=90°﹣（α+β），△PBC中，PC=b，由正弦定理可得．20．过双曲线的右支上的一点P作一直线l与两渐近线交于A、B两点，其中P是AB的中点；（1）求双曲线的渐近线方程；（2）当P坐标为（x0，2）时，求直线l的方程；（3）求证：|OA|•|OB|是一个定值．【考点】直线与双曲线的位置关系；双曲线的简单性质．【分析】（1）求出双曲线的a ，b ，由双曲线的渐近线方程为y=±x ，即可得到所求；（2）令y=2代入双曲线的方程可得P 的坐标，再由中点坐标公式，设A （m ，2m ），B （n ，﹣2n ），可得A ，B 的坐标，运用点斜式方程，即可得到所求直线方程；（3）设P （x 0，y 0），A （m ，2m ），B （n ，﹣2n ），代入双曲线的方程，运用中点坐标公式，求得m ，n ，运用两点的距离公式，即可得到定值．【解答】解：（1）双曲线的a=1，b=2，可得双曲线的渐近线方程为y=±x ，即为y=±2x ；（2）令y=2可得x 02=1+=2，解得x 0=，（负的舍去），设A （m ，2m ），B （n ，﹣2n ），由P 为AB 的中点，可得m +n=2，2m ﹣2n=4，解得m=+1，n=﹣1，即有A （+1，2+2），可得PA 的斜率为k==2，则直线l 的方程为y ﹣2=2（x ﹣），即为y=2x ﹣2；（3）证明：设P （x 0，y 0），即有x 02﹣=1，设A （m ，2m ），B （n ，﹣2n ），由P 为AB 的中点，可得m +n=2x 0，2m ﹣2n=2y 0，解得m=x 0+y 0，n=x 0﹣y 0，则|OA |•|OB |=|m |•|n |=5|mn |=5|（x 0+y 0）（x 0﹣y 0）|=5|x 02﹣|=5为定值．21．设数列{a n}的前n项和为S n，若（n∈N*），则称{a n}是“紧密数列”；（1）若a1=1，，a3=x，a4=4，求x的取值范围；（2）若{a n}为等差数列，首项a1，公差d，且0＜d≤a1，判断{a n}是否为“紧密数列”；（3）设数列{a n}是公比为q的等比数列，若数列{a n}与{S n}都是“紧密数列”，求q的取值范围．【考点】数列的应用．【分析】（1）由题意，且，即可求出x的取值范围；（2）由题意，a n=a1+（n﹣1）d，==1+，根据“紧密数列”的定义即可证明结论；（3）先设公比是q并判断出q≠1，由等比数列的通项公式、前n项和公式化简，，根据“紧密数列”的定义列出不等式组，再求出公比q的取值范围．【解答】解：（1）由题意，且，∴2≤x≤3，∴x的取值范围是[2，3]；（2）由题意，a n=a1+（n﹣1）d，∴==1+，随着n的增大而减小，所以当n=1时，取得最大值，∴≤2，∴{a n}是“紧密数列”；（3）由题意得，等比数列{a n}的公比q当q≠1时，所以a n=a1q n﹣1，S n=，=，因为数列{a n}与{S n}都是“紧密数列”，所以，≤2，解得，当q=1时，a n=a1，S n=na1，则=1，=1+∈（1，]，符合题意，∴q的取值范围是．2017年4月3日。

2017年上海市高考数学模拟试卷 Word版含解析

2017年上海市高考数学模拟试卷一、填空题（本大题满分54分，1-6每小题4分，7-12每小题4分）1．计算：=．2．设函数f（x）=的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（4）=．3．已知复数（i为虚数单位），则|z|=．4．函数，若存在锐角θ满足f（θ）=2，则θ=．5．已知球的半径为R，若球面上两点A，B的球面距离为，则这两点A，B 间的距离为．6．若（2+x）n的二项展开式中，所有二项式的系数和为256，则正整数n=．7．设k为常数，且，则用k表示sin2α的式子为sin2α=．8．设椭圆的两个焦点为F1，F2，M是椭圆上任一动点，则的取值范围为．9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，sinC=2 sinB，则A角大小为．10．设f（x）=lgx，若f（1﹣a）﹣f（a）＞0，则实数a的取值范围为．11．已知数列{a n}满足：a1=1，a n+a n=（）n，n∈N*，则=．+112．已知△ABC的面积为360，点P是三角形所在平面内一点，且，则△PAB的面积为．二、选择题（本大题满分20分）13．已知集合A={x|x＞﹣1}，则下列选项正确的是（）A．0⊆A B．{0}⊆A C．∅∈A D．{0}∈A14．设x，y∈R，则“|x|+|y|＞1”的一个充分条件是（）A．|x|≥1 B．|x+y|≥1 C．y≤﹣2 D．且15．图中曲线的方程可以是（）A．（x+y﹣1）•（x2+y2﹣1）=0 B．C．D．16．已知非空集合M满足：对任意x∈M，总有x2∉M且，若M⊆{0，1，2，3，4，5}，则满足条件M的个数是（）A．11 B．12 C．15 D．16三、解答题（本大题满分76分）17．已知A是圆锥的顶点，BD是圆锥底面的直径，C是底面圆周上一点，BD=2，BC=1，AC与底面所成角的大小为，过点A作截面ABC，ACD，截去部分后的几何体如图所示．（1）求原来圆锥的侧面积；（2）求该几何体的体积．18．已知双曲线Γ：（a＞0，b＞0），直线l：x+y﹣2=0，F1，F2为双曲线Γ的两个焦点，l与双曲线Γ的一条渐近线平行且过其中一个焦点．（1）求双曲线Γ的方程；（2）设Γ与l的交点为P，求∠F1PF2的角平分线所在直线的方程．19．某租车公司给出的财务报表如下：1014年（1﹣121015年（1﹣121016年（1﹣11月）月）月）接单量（单）144632724012512550331996油费（元）214301962591305364653214963平均每单油费t（元）14.8214.49平均每单里程k（公里）1515每公里油耗a（元）0.70.70.7有投资者在研究上述报表时，发现租车公司有空驶情况，并给出空驶率的计算公式为．（1）分别计算2014，2015年该公司的空驶率的值（精确到0.01%）；（2）2016年该公司加强了流程管理，利用租车软件，降低了空驶率并提高了平均每单里程，核算截止到11月30日，空驶率在2015年的基础上降低了20个百分点，问2016年前11个月的平均每单油费和平均每单里程分别为多少？（分别精确到0.01元和0.01公里）20．已知数列{a n}，{b n}与函数f（x），{a n}是首项a1=15，公差d≠0的等差数列，{b n}满足：b n=f（a n）．（1）若a4，a7，a8成等比数列，求d的值；（2）若d=2，f（x）=|x﹣21|，求{b n}的前n项和S n；（3）若d=﹣1，f（x）=e x，T n=b1•b2•b3…b n，问n为何值时，T n的值最大？21．对于函数f（x），若存在实数m，使得f（x+m）﹣f（m）为R上的奇函数，则称f（x）是位差值为m的“位差奇函数”．（1）判断函数f（x）=2x+1和g（x）=2x是否为位差奇函数？说明理由；（2）若f（x）=sin（x+φ）是位差值为的位差奇函数，求φ的值；（3）若f（x）=x3+bx2+cx对任意属于区间中的m都不是位差奇函数，求实数b，c满足的条件．2017年上海市高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分54分，1-6每小题4分，7-12每小题4分）1．计算：=﹣2．【考点】二阶矩阵．【分析】利用二阶行列式对角线法则直接求解．【解答】解：=4×1﹣3×2=﹣2．故答案为：﹣2．2．设函数f（x）=的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（4）=16．【考点】反函数．【分析】先求出x=y2，y≥0，互换x，y，得f﹣1（x）=x2，x≥0，由此能求出f﹣1（4）．【解答】解：∵函数f（x）=y=的反函数是f﹣1（x），∴x=y2，y≥0，互换x，y，得f﹣1（x）=x2，x≥0，∴f﹣1（4）=42=16．故答案为：16．3．已知复数（i为虚数单位），则|z|=2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数模的计算公式即可得出．【解答】解：复数（i为虚数单位），则|z|==2．故答案为：2、4．函数，若存在锐角θ满足f（θ）=2，则θ=．【考点】三角函数的化简求值．【分析】运用两角和的正弦公式和特殊角的正弦函数值，计算即可得到所求值．【解答】解：函数=2（sinx+cosx）=2sin（x+），由若存在锐角θ满足f（θ）=2，即有2sin（θ+）=2，解得θ=﹣=．故答案为：．5．已知球的半径为R，若球面上两点A，B的球面距离为，则这两点A，B 间的距离为R．【考点】球面距离及相关计算．【分析】两点A、B间的球面距离为，可得∠AOB=，即可求出两点A，B 间的距离．【解答】解：两点A、B间的球面距离为，∴∠AOB=．∴两点A，B间的距离为R，故答案为：R．6．若（2+x）n的二项展开式中，所有二项式的系数和为256，则正整数n=8．【考点】二项式系数的性质．【分析】由题意可得：2n=256，解得n．【解答】解：由题意可得：2n=256，解得n=8．故答案为：8．7．设k为常数，且，则用k表示sin2α的式子为sin2α=2k2﹣1．【考点】二倍角的正弦．【分析】利用两角差的余弦函数公式化简已知等式，进而两边平方利用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式即可求解．【解答】解：∵，∴（cosα+sinα）=k，可得：cosα+sinα=k，∴两边平方可得：cos2α+sin2α+2cosαsinα=2k2，可得：1+sin2α=2k2，∴sin2α=2k2﹣1．故答案为：sin2α=2k2﹣1．8．设椭圆的两个焦点为F1，F2，M是椭圆上任一动点，则的取值范围为[﹣2，1] ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可知：焦点坐标为F1（﹣，0），F2（，0），设点M坐标为M（x，y），可得y2=1﹣，=（﹣﹣x，﹣y）•（﹣x，﹣y）=x2﹣3+1﹣=﹣2，则x2∈[0，4]，的取值范围为[﹣2，1]．【解答】解：如下图所示，在直角坐标系中作出椭圆：由椭圆，a=2，b=1，c=，则焦点坐标为F1（﹣，0），F2（，0），设点M坐标为M（x，y），由，可得y2=1﹣；=（﹣﹣x，﹣y），﹣=（﹣x，﹣y）；=（﹣﹣x，﹣y）•（﹣x，﹣y）=x2﹣3+1﹣=﹣2，由题意可知：x∈[﹣2，2]，则x2∈[0，4]，∴的取值范围为[﹣2，1]．故答案为：[﹣2，1]．9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，sinC=2 sinB，则A角大小为．【考点】余弦定理；同角三角函数基本关系的运用．【分析】先利用正弦定理化简sinC=2sinB，得到c与b的关系式，代入中得到a2与b2的关系式，然后利用余弦定理表示出cosA，把表示出的关系式分别代入即可求出cosA的值，根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的值．【解答】解：由sinC=2sinB得：c=2b，所以=•2b2，即a2=7b2，则cosA===，又A∈（0，π），所以A=．故答案为：10．设f（x）=lgx，若f（1﹣a）﹣f（a）＞0，则实数a的取值范围为．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】由题意，f（x）=lgx在（0，+∞）上单调递增，利用f（﹣a）﹣f（a）＞0，可得﹣a＞a＞0，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：由题意，f（x）=lgx在（0，+∞）上单调递增，∵f（1﹣a）﹣f（a）＞0，∴1﹣a＞a＞0，∴a∈，故答案为11．已知数列{a n}满足：a1=1，a n+a n=（）n，n∈N*，则=﹣．+1【考点】极限及其运算．【分析】由已知推导出S2n=（1﹣），S2n﹣1=1+，从而a2n=S2n =﹣[1+（1﹣）]，由此能求出．﹣S2n﹣1【解答】解：∵数列{a n}满足：a1=1，，n∈N*，∴（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2n﹣1+a2n）===（1﹣）=（1﹣），∴S2n=（1﹣），a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a2n+a2n﹣1）﹣2=1+=1+=1+，=1+，∴S2n﹣1∴a2n=S2n﹣S2n﹣1=﹣[1+（1﹣）]，∴=﹣[1+（1﹣）]==﹣．故答案为：．12．已知△ABC的面积为360，点P是三角形所在平面内一点，且，则△PAB的面积为90．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】取AB的中点D，AC的中点E，则P为DE的中点，利用相似比，可得结论．【解答】解：取AB的中点D，AC的中点E，则P为DE的中点，∵△ABC的面积为360，∴△PAB的面积=△ADE的面积==90．故答案为90．二、选择题（本大题满分20分）13．已知集合A={x|x＞﹣1}，则下列选项正确的是（）A．0⊆A B．{0}⊆A C．∅∈A D．{0}∈A【考点】元素与集合关系的判断．【分析】根据元素与集合的关系，用∈，集合与集合的关系，用⊆，可得结论．【解答】解：根据元素与集合的关系，用∈，集合与集合的关系，用⊆，可知B 正确．故选B．14．设x，y∈R，则“|x|+|y|＞1”的一个充分条件是（）A．|x|≥1 B．|x+y|≥1 C．y≤﹣2 D．且【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：A．当x=1，y=0时，满足|x|≥1时，但|x|+|y|=1＞1不成立，不满足条件．B．当x=1，y=0时，满足|x+y|≥1时，但|x|+|y|=1＞1不成立，不满足条件．C．当y≤﹣2时，|y|≥2，则|x|+|y|＞1成立，即充分性成立，满足条件．D．当且，则|x|+|y|≥1，等取等号时，不等式不成立，即充分性不成立，不满足条件．故选：C．15．图中曲线的方程可以是（）A．（x+y﹣1）•（x2+y2﹣1）=0 B．C．D．【考点】曲线与方程．【分析】由图象可知曲线的方程可以是x2+y2=1或x+y﹣1=0（x2+y2≥1），即可得出结论．【解答】解：由图象可知曲线的方程可以是x2+y2=1或x+y﹣1=0（x2+y2≥1），故选C．16．已知非空集合M满足：对任意x∈M，总有x2∉M且，若M⊆{0，1，2，3，4，5}，则满足条件M的个数是（）A．11 B．12 C．15 D．16【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】由题意M是集合{2，3，4，5}的非空子集，且2，4不同时出现，同时出现有4个，即可得出结论．【解答】解：由题意M是集合{2，3，4，5}的非空子集，有15个，且2，4不同时出现，同时出现有4个，故满足题意的M有11个，故选：A．三、解答题（本大题满分76分）17．已知A是圆锥的顶点，BD是圆锥底面的直径，C是底面圆周上一点，BD=2，BC=1，AC与底面所成角的大小为，过点A作截面ABC，ACD，截去部分后的几何体如图所示．（1）求原来圆锥的侧面积；（2）求该几何体的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】（1）设BD 的中点为O ，连结OA ，OC ，则OA ⊥平面BCD ．由经能求出S 圆锥侧．（2）该几何体的体积V=（S △BCD +S 半圆）•AO ，由此能求出结果．【解答】解：（1）设BD 的中点为O ，连结OA ，OC ， ∵A 是圆锥的顶点，BD 是圆锥底面的直径， ∴OA ⊥平面BCD ．∵BD=2，BC=1，AC 与底面所成角的大小为，过点A 作截面ABC ，ACD ，∴在Rt △AOC 中，OC=1，，AC=2，AO=，∴S 圆锥侧=πrl==2π．（2）该几何体为三棱锥与半个圆锥的组合体， ∵AO=，∠BCD=90°，∴CD=，该几何体的体积V=（S △BCD +S 半圆）•AO ==．18．已知双曲线Γ：（a＞0，b＞0），直线l：x+y﹣2=0，F1，F2为双曲线Γ的两个焦点，l与双曲线Γ的一条渐近线平行且过其中一个焦点．（1）求双曲线Γ的方程；（2）设Γ与l的交点为P，求∠F1PF2的角平分线所在直线的方程．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）依题意，双曲线的渐近线方程为y=±x，焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0），即可求双曲线Γ的方程；（2）设Γ与l的交点为P，求出P的坐标，利用夹角公式，即可求∠F1PF2的角平分线所在直线的方程．【解答】解：（1）依题意，双曲线的渐近线方程为y=±x，焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0），∴双曲线方程为x2﹣y2=2；（2），显然∠F1PF2的角平分线所在直线斜率k存在，且k＞0，，，于是．∴为所求．19．某租车公司给出的财务报表如下：1014年（1﹣12月）1015年（1﹣12月）1016年（1﹣11月）接单量（单）144632724012512550331996油费（元）214301962591305364653214963平均每单油费t（元）14.8214.49平均每单里程k（公里）1515每公里油耗a（元）0.70.70.7有投资者在研究上述报表时，发现租车公司有空驶情况，并给出空驶率的计算公式为．（1）分别计算2014，2015年该公司的空驶率的值（精确到0.01%）；（2）2016年该公司加强了流程管理，利用租车软件，降低了空驶率并提高了平均每单里程，核算截止到11月30日，空驶率在2015年的基础上降低了20个百分点，问2016年前11个月的平均每单油费和平均每单里程分别为多少？（分别精确到0.01元和0.01公里）【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）根据空驶率的计算公式为，带入计算即可；（2）根据T2016的值，求出k的值，从而求出2016年前11个月的平均每单油费和平均每单里程．【解答】解：（1），，∴2014、2015年，该公司空驶率分别为41.14%和38.00%．（2），T2016=38%﹣20%=18%．由，∴2016年前11个月的平均每单油费为12.98元，平均每单里程为15.71km．20．已知数列{a n}，{b n}与函数f（x），{a n}是首项a1=15，公差d≠0的等差数列，{b n}满足：b n=f（a n）．（1）若a4，a7，a8成等比数列，求d的值；（2）若d=2，f（x）=|x﹣21|，求{b n}的前n项和S n；（3）若d=﹣1，f（x）=e x，T n=b1•b2•b3…b n，问n为何值时，T n的值最大？【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由a4，a7，a8成等比数列，可得=a4•a8，可得（15+6d）2=（15+3d）（15+7d），化简解出即可得出．．（2）依题意，a n=15+2（n﹣1）=2n+13，b n=|2n﹣8|，对n分类讨论，利用等差数列的求和公式即可得出．（3）依题意，a n=15﹣（n﹣1）=16﹣n，，利用指数运算性质、等差数列的求和公式及其二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）∵a4，a7，a8成等比数列，∴=a4•a8，∴（15+6d）2=（15+3d）（15+7d），化为：d2+2d=0，∵d≠0，∴d=﹣2．（2）依题意，a n=15+2（n﹣1）=2n+13，b n=|2n﹣8|，∴，∴．（3）依题意，a n=15﹣（n﹣1）=16﹣n，，，∴当n=15或16时，T n最大．21．对于函数f（x），若存在实数m，使得f（x+m）﹣f（m）为R上的奇函数，则称f（x）是位差值为m的“位差奇函数”．（1）判断函数f（x）=2x+1和g（x）=2x是否为位差奇函数？说明理由；（2）若f（x）=sin（x+φ）是位差值为的位差奇函数，求φ的值；（3）若f（x）=x3+bx2+cx对任意属于区间中的m都不是位差奇函数，求实数b，c满足的条件．【考点】抽象函数及其应用；函数奇偶性的性质．【分析】（1）根据“位差奇函数”的定义．考查h（x）=g（x+m）﹣g（m）=2x+m ﹣2m=2m（2x﹣1）即可，（2）依题意，是奇函数，求出φ；（3）记h（x）=f（x+m）﹣f（m）=（x+m）3+b（x+m）2+c（x+m）﹣m3﹣bm2﹣cm=x3+（3m+b）x2+（3m2+2bm+c）x．假设h（x）是奇函数，则3m+b=0，此时．故要使h（x）不是奇函数，必须且只需．【解答】解：（1）对于f（x）=2x+1，f（x+m）﹣f（m）=2（x+m）+1﹣（2m+1）=2x，∴对任意实数m，f（x+m）﹣f（m）是奇函数，即f（x）是位差值为任意实数m的“位差奇函数”；对于g（x）=2x，记h（x）=g（x+m）﹣g（m）=2x+m﹣2m=2m（2x﹣1），由h（x）+h（﹣x）=2m（2x﹣1）+2m（2﹣x﹣1）=0，当且仅当x=0等式成立，∴对任意实数m，g（x+m）﹣g（m）都不是奇函数，则g（x）不是“位差奇函数”；（2）依题意，是奇函数，∴（k∈Z）．（3）记h（x）=f（x+m）﹣f（m）=（x+m）3+b（x+m）2+c（x+m）﹣m3﹣bm2﹣cm=x3+（3m+b）x2+（3m2+2bm+c）x．依题意，h（x）对任意都不是奇函数，若h（x）是奇函数，则3m+b=0，此时．故要使h（x）不是奇函数，必须且只需，且c∈R．2017年2月1日。

2017年上海市七宝中学高考数学模拟试卷(5月份)+Word版含解析

2017年上海市七宝中学高考数学模拟试卷（5月份）一.填空题1．已知定义在[﹣1，1]上的函数f（x）值域为[﹣2，0]，则y=f（cosx）的值域为．2．5051﹣1被7除后的余数为．3．已知直线l的参数方程是（t为参数），则它的普通方程是．4．一名工人维护3台独立的游戏机，一天内3台需要维护的概率分别为0.9、0.8和0.85，则一天内至少有一台游戏机不需要维护的概率为（结果用小数表示）5．地球的半径为R，在北纬45°东经30°有一座城市A，在北纬45°西经60°有一座城市B，则坐飞机从A城市飞到B城市的最短距离是．（飞机的飞行高度忽略不计）6．如果复数z满足|z+i|+|z﹣i|=2（i是虚数单位），则|z|的最大值为．7．已知定义在R上的增函数y=f（x）满足f（x）+f（4﹣x）=0，若实数a、b满足不等式f（a）+f（b）≥0，则a2+b2的最小值是．8．已知点P是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点（包括边界），则的取值范围是．9．椭圆（a＞0）的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，则△FAB的周长的最大值是．10．已知函数，（a＞0），若对任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[0，2]，使g（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是．11．在直角坐标平面上，已知点A（0，2），B（0，1），D（t，0）（t＞0）．点M 是线段AD上的动点，如果|AM|≤2|BM|恒成立，则正实数t的最小值是．12．设ω为正实数，若存在a，b（π≤a＜b≤2π），使得cosωa+cosωb=2，则ω的取值范围是．二.选择题13．若z∈C，i为虚数单位，且，则复数z等于（）A．B．C．D．14．设M={a|a=x2﹣y2，x，y∈Z}，则对任意的整数n，形如4n，4n+1，4n+2，4n+3的数中，不是集合M中的元素是（）A．4n B．4n+1 C．4n+2 D．4n+315．直线l在平面α内，直线m平行于平面α，且与直线l异面，动点P在平面α上，且到直线l、m距离相等，则点P的轨迹为（）A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线16．设集合A=[0，），B=[，1]，函数f （x）=，若x0∈A，且f[f （x0）]∈A，则x0的取值范围是（）A．（0，]B．[，] C．（，）D．[0，]三.简答题17．如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，O是BD的中点，E是棱CC1上任意一点．（1）证明：BD⊥A1E；（2）如果AB=2，，OE⊥A1E，求AA1的长．18．如图，某污水处理厂要在一个矩形ABCD的池底水平铺设污水净化管道（直角△EFG，E是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好，设计要求管道的接口E是AB的中点，F、G分别落在AD、BC上，且AB=20m，，设∠GEB=θ．（1）试将污水管道的长度l表示成θ的函数，并写出定义域；（2）当θ为何值时，污水净化效果最好，并求此时管道的长度．19．若函数y=f（x）对定义域的每一个值x1，在其定义域均存在唯一的x2，满足f（x1）f（x2）=1，则称该函数为“依赖函数”．（1）判断，y=2x是否为“依赖函数”；（2）若函数y=a+sinx（a＞1），为依赖函数，求a的值，并给出证明．20．已知椭圆（a＞b＞0）长轴的两顶点为A、B，左右焦点分别为F1、F2，焦距为2c且a=2c，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为3．（1）求椭圆C的方程；（2）在双曲线上取点Q（异于顶点），直线OQ与椭圆C交于点P，若直线AP、BP、AQ、BQ的斜率分别为k1、k2、k3、k4，试证明：k1+k2+k3+k4为定值；（3）在椭圆C外的抛物线K：y2=4x上取一点E，若EF1、EF2的斜率分别为、，求的取值范围．21．设T n为数列{a n}的前n项的积，即T n=a1•a2…•a n．（1）若T n=n2，求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}满足T n=（1﹣a n）（n∈N*），证明数列{}为等差数列，并求{a n}的通项公式；（3）数列{a n}共有100项，且满足以下条件：①a1•a2…•a100=2；②a1•a2…•a k+a k+1•a k+2…a100=k+2（1≤k≤99，k∈N*）．（Ⅰ）求a5的值；（Ⅱ）试问符合条件的数列共有多少个？为什么？2017年上海市七宝中学高考数学模拟试卷（5月份）参考答案与试题解析一.填空题1．已知定义在[﹣1，1]上的函数f（x）值域为[﹣2，0]，则y=f（cosx）的值域为[﹣2，0] ．【考点】33：函数的定义域及其求法．【分析】判断出cosx∈[﹣1，1]，从而求出f（cosx）的值域即可．【解答】解：∵f（x）的定义域是[﹣1，1]，值域是[﹣2，0]，而cosx∈[﹣1，1]，故f（cosx）的值域是[﹣2，0]，故答案为：[﹣2，0]．2．5051﹣1被7除后的余数为0．【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】根据5051﹣1=（49+1）51﹣1，按照二项式定理展开，可得它除以7的余数．【解答】解：5051﹣1=（49+1）51﹣1=•4951+•4950+•4949+…+•49+﹣1，显然，除了最后两项外，其余的各项都能被7整除，故它除以7的余数为﹣1=0，故答案为：0．3．已知直线l的参数方程是（t为参数），则它的普通方程是3x﹣4y+5=0．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】利用参数方程与普通方程的互化，消去参数求解即可．【解答】解：直线l的参数方程是（t为参数），可得，可得3x﹣4y+5=0．故答案为：3x﹣4y+5=0．4．一名工人维护3台独立的游戏机，一天内3台需要维护的概率分别为0.9、0.8和0.85，则一天内至少有一台游戏机不需要维护的概率为0.388（结果用小数表示）【考点】C9：相互独立事件的概率乘法公式．【分析】一天内至少有一台游戏机不需要维护的对立事件是三台都需要维护，由此利用对立事件概率计算公式能求出一天内至少有一台游戏机不需要维护的概率．【解答】解：一天内至少有一台游戏机不需要维护的对立事件是三台都需要维护，∴一天内至少有一台游戏机不需要维护的概率：p=1﹣0.9×0.8×0.85=0.388．故答案为：0.388．5．地球的半径为R，在北纬45°东经30°有一座城市A，在北纬45°西经60°有一座城市B，则坐飞机从A城市飞到B城市的最短距离是．（飞机的飞行高度忽略不计）【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】欲求坐飞机从A城市飞到B城市的最短距离，即求出地球上这两点间的球面距离即可．A、B两地在同一纬度圈上，计算经度差，求出AB弦长，以及球心角，然后求出球面距离．即可得到答案．【解答】解：由已知地球半径为R，则北纬45°的纬线圈半径为R，又∵两座城市的经度分别为东经30°和西经60°，故连接两座城市的弦长L=R=R，则A，B两地与地球球心O连线的夹角∠AOB=，则A、B两地之间的距离是．故答案为：．6．如果复数z满足|z+i|+|z﹣i|=2（i是虚数单位），则|z|的最大值为1．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义；A8：复数求模．【分析】直接利用复数的几何意义，直接求解即可．【解答】解：复数z满足|z+i|+|z﹣i|=2（i是虚数单位），复数z的几何意义是到虚轴上的点到（0，1），（0，﹣1）的距离之和，|z|的最大值为：1，故答案为：1．7．已知定义在R上的增函数y=f（x）满足f（x）+f（4﹣x）=0，若实数a、b满足不等式f（a）+f（b）≥0，则a2+b2的最小值是8．【考点】3F：函数单调性的性质．【分析】根据函数的单调性将不等式组进行转化，结合线性规划的知识进行求解即可．【解答】解：∵f（x）=﹣f（4﹣x），∴﹣f（x）=f（4﹣x），∴f（a）+f（b）≥0可化为f（a）≥﹣f（b）=f（4﹣b），又∵f（x）在R上单调递增，∴a≥4﹣b，即a+b﹣4≥0，a2+b2表示点（0，0）到点（a，b）的距离平方，∴a2+b2的最小值是点（0，0）到直线a+b﹣4＞0的距离平方．故答案为：88．已知点P是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点（包括边界），则的取值范围是．【考点】M6：空间向量的数量积运算．【分析】如图所示，建立空间直角坐标系．设P（x，y，0），（x，y∈[0，1]）．可得=﹣x（1﹣x）﹣y（1﹣y）+1=++=f（x，y）．即可得出．【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系．A1（0，0，0），A（0，0，1），C（1，1，1），设P（x，y，0），（x，y∈[0，1]）．=（﹣x，﹣y，1），=（1﹣x，1﹣y，1），∴=﹣x（1﹣x）﹣y（1﹣y）+1=++=f（x，y）．当x=，y=时，f（x，y）取得最小值．当点P取（0，0，0），（1，0，0），（0，1，0），（1，1，0），f（x，y）取得最大值1．∴f（x，y）∈．故答案为：．9．椭圆（a＞0）的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，则△FAB的周长的最大值是8a．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】设椭圆的右焦点为M，则△FAB的周长AF+FB+AB≤FA+AM+FB+BM=8a 即可．【解答】解：如图，设椭圆的右焦点为M，由椭圆的方程得椭圆的长轴为2×2a=4a，△FAB的周长AF+FB+AB≤FA+AM+FB+BM=2×2a+2×2a=8a，故答案为：8a10．已知函数，（a＞0），若对任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[0，2]，使g（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是．【考点】2H：全称命题．【分析】求出x2∈[0，2]时f（x2）的值域，x1∈[0，2]时g（x1）的值域；根据题意得出关于a的不等式组，求出a的取值范围．【解答】解：函数=﹣4+，（a＞0），x2∈[0，2]，x2+1∈[1，3]，∴∈[3，9]，∴﹣4+∈[﹣1，5]，即f（x2）∈[﹣1，5]；又x1∈[0，2]，x1∈[0，]，sin（x1）∈[0，1]，∴g（x）=asin（x1）+2a∈[a，3a]；对任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[0，2]，使g（x1）=f（x2）成立，等价于，解得﹣1≤a≤；又a＞0，∴实数a的取值范围是0＜a≤．故答案为：（0，]．11．在直角坐标平面上，已知点A（0，2），B（0，1），D（t，0）（t＞0）．点M 是线段AD上的动点，如果|AM|≤2|BM|恒成立，则正实数t的最小值是．【考点】IR：两点间的距离公式；7F：基本不等式．【分析】设M（x，y），由题意可得y=，代入距离公式可得x2+（y﹣2）2≤4[x2+（y﹣1）2]，消掉y可得（3t2+12）x2﹣16tx+4t2≥0恒成立，进而可得其△≤0，解此不等式可得t的范围，进而可得最小值．【解答】解：设M（x，y），则由A、M、D三点共线可得，整理可得y=，由两点间的距离公式，结合|AM|≤2|BM|恒成立可得x2+（y﹣2）2≤4[x2+（y ﹣1）2]，整理可得3x2+3y2﹣4y≥0，代入y=化简可得（3t2+12）x2﹣16tx+4t2≥0恒成立，∵3t2+12＞0，由二次函数的性质可得△=（﹣16t）2﹣4（3t2+12）•4t2≤0，整理可得3t4﹣4t2≥0，即，解得t≥，或t≤（因为t＞0，故舍去）故正实数t的最小值是：故答案为：12．设ω为正实数，若存在a，b（π≤a＜b≤2π），使得cosωa+cosωb=2，则ω的取值范围是{2}∪[3，+∞）．【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【分析】运用三角函数的有界性，结合三角函数的周期性，分析得到答案．【解答】解：要cosωa+cosωb=2，则有cosωa=cosωb=1；余弦函数y=cosx图象如下：可知，当x=2kπ时，cosx=1，∵cosωa+cosωb=2，π≤a＜b≤2π），∴必有ωa=2kπ，ωb=2kπ+nπ，（k，n∈N+∴），得到k+1≤ω≤2k（k∈N+①k=1时，ω=2，②k=2时，3≤ω≤4，③k=3时，4≤ω≤6，④k=4时，5≤ω≤8，…可得ω的取值范围为{2}∪[3，+∞）．二.选择题13．若z∈C，i为虚数单位，且，则复数z等于（）A．B．C．D．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】设z=a+bi（a，b∈R），且，可得+i=﹣i，因此=，=﹣，解出即可得出．【解答】解：设z=a+bi（a，b∈R），且，则+i=﹣i，∴=，=﹣，联立解得a=，b=﹣．∴z=﹣i ，故选：B ．14．设M={a |a=x 2﹣y 2，x ，y ∈Z }，则对任意的整数n ，形如4n ，4n +1，4n +2，4n +3的数中，不是集合M 中的元素是（） A ．4n B ．4n +1C ．4n +2D ．4n +3【考点】12：元素与集合关系的判断．【分析】根据平方差公式凑数判断．【解答】解：∵4n=（n +1）2﹣（n ﹣1）2，∴4n ∈M ， ∵4n +1=（2n +1）2﹣（2n ）2，∴4n +1∈M ， ∵4n +3=（2n +2）2﹣（2n +1）2，∴4n +3∈M ，若4n +2∈M ，则存在x ，y ∈Z 使得x 2﹣y 2=4n +2， ∴4n +2=（x +y ）（x ﹣y ）， ∵x +y 和x ﹣y 的奇偶性相同，若x +y 和x ﹣y 都是奇数，则（x +y ）（x ﹣y ）为奇数，而4n +2是偶数；若x +y 和x ﹣y 都是偶数，则（x +y ）（x ﹣y ）能被4整除，而4n +2不能被4整除，∴4n +2∉M ．故选C ．15．直线l 在平面α内，直线m 平行于平面α，且与直线l 异面，动点P 在平面α上，且到直线l 、m 距离相等，则点P 的轨迹为（） A ．直线B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线【考点】LP ：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】作出直线m 在平面α内的射影直线n ，假设l 与n 垂直，建立坐标系，求出P 点轨迹即可得出答案．【解答】解：设直线m 在平面α的射影为直线n ，则l 与n 相交，不妨设l 与n 垂直，设直线m 与平面α的距离为d ，在平面α内，以l ，n 为x 轴，y 轴建立平面坐标系，则P到直线l的距离为|y|，P到直线n的距离为|x|，∴P到直线m的距离为，∴|y|=，即y2﹣x2=d2，∴P点轨迹为双曲线．故选：D．16．设集合A=[0，），B=[，1]，函数f （x）=，若x0∈A，且f[f （x0）]∈A，则x0的取值范围是（）A．（0，]B．[，] C．（，）D．[0，]【考点】3T：函数的值；12：元素与集合关系的判断．【分析】利用当x0∈A时，f[f （x0）]∈A，列出不等式，解出x0的取值范围．【解答】解：∵0≤x0＜，∴f（x0）=x0 +∈[，1]⊆B，∴f[f（x0）]=2（1﹣f（x0））=2[1﹣（x0+）]=2（﹣x0）．∵f[f（x0）]∈A，∴0≤2（﹣x0）＜，∴＜x0≤．又∵0≤x0＜，∴＜x0＜．故选C．三.简答题17．如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，O是BD的中点，E是棱CC1上任意一点．（1）证明：BD⊥A1E；（2）如果AB=2，，OE⊥A1E，求AA1的长．【考点】L2：棱柱的结构特征．【分析】（1）连结AC，A1C1，证明BD⊥平面ACC1A1得出BD⊥A1E；（2）设AA1=a，求出△A1OE的边长，利用勾股定理列方程解出a．【解答】解：（1）证明：连结AC，A1C1，∵AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴AA1⊥BD，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，又AC∩AA1=A，AC⊂平面ACC1A1，AA1⊂平面ACC1A1，∴BD⊥平面ACC1A1，又A1E⊂平面ACC1A1，∴BD⊥A1E．（2）∵AB=2，∴AO=CO=，A1C1=2，设AA1=a，则C1E=a﹣，∴OE2=2，A1O2=a2+2，A1E2=（a﹣）2+8=a2﹣2a+10，∵OE⊥A1E，∴A1O2=OE2+A1E2，即a2+2=2+a2﹣2a+10，解得a=．∴AA1=．18．如图，某污水处理厂要在一个矩形ABCD的池底水平铺设污水净化管道（直角△EFG，E是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好，设计要求管道的接口E是AB的中点，F、G分别落在AD、BC上，且AB=20m，，设∠GEB=θ．（1）试将污水管道的长度l表示成θ的函数，并写出定义域；（2）当θ为何值时，污水净化效果最好，并求此时管道的长度．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）利用三角函数定义表示出EG和FE的长度，利用勾股定理可得长度FG．三边之和可得污水管道的长度l．（2）根据（1）中的关系式利用三角函数公式化简，利用三角函数的有界限可得l的最大值，即污水净化效果最好．【解答】解：（1）由题意，∠GEB=θ．∠GEF=90°．则∠AEF=90°﹣θ，E是AB的中点，AB=20m，，∴EG=，EF==．FG==则定义域：；（2）由（1）可知则，；化简可得l=，令t=sinθ+cosθ=sin（）．∵；∴∈[，]，可得sin（）∈[，1]则：t∈[，]可得：sinθcosθ=，且t≠1．那么：l===．当t=时，长度l取得最大值为；此时：t=sin（）=，即=或∴或，故得或时，污水净化效果最好，此时管道的长度为；19．若函数y=f（x）对定义域的每一个值x1，在其定义域均存在唯一的x2，满足f（x1）f（x2）=1，则称该函数为“依赖函数”．（1）判断，y=2x是否为“依赖函数”；（2）若函数y=a+sinx（a＞1），为依赖函数，求a的值，并给出证明．【考点】57：函数与方程的综合运用；3T：函数的值．【分析】（1）根据“依赖函数”的定义进行判断即可，（2）函数y=a+sinx（a＞1）为增函数，且函数关于（0，a）对称，若函数y=a+sinx（a＞1），为依赖函数，则只需要函数的最大值和最小值满足f （x1）f（x2）=1即可，建立方程关系进行求解即可．【解答】解：（1）函数，由f（x1）f（x2）=1，得=1，即x12x22=1，对应的x1、x2不唯一，所以，x﹣2不是“依赖函数”；对于函数y=2x，由f（x1）f（x2）=1，得2=1，得x1+x2=0，所以x2=﹣x1，可得定义域内的每一个值x1，都存在唯一的值x2满足条件，故函数y=2x是“依赖函数”．（2）当时，函数y=a+sinx（a＞1）为增函数，且函数关于（0，a）对称，若函数y=a+sinx（a＞1），为依赖函数，则只需要函数的最大值和最小值满足f（x1）f（x2）=1即可，则函数的最大值为a+1，最小值为a﹣1，则由（a+1）（a﹣1）=1得a2﹣1=1，得a2=2，得a=．20．已知椭圆（a＞b＞0）长轴的两顶点为A、B，左右焦点分别为F1、F2，焦距为2c且a=2c，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为3．（1）求椭圆C的方程；（2）在双曲线上取点Q（异于顶点），直线OQ与椭圆C交于点P，若直线AP、BP、AQ、BQ的斜率分别为k1、k2、k3、k4，试证明：k1+k2+k3+k4为定值；（3）在椭圆C外的抛物线K：y2=4x上取一点E，若EF1、EF2的斜率分别为、，求的取值范围．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由椭圆的通径公式及a=2c，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程方程；（2）根据直线的斜率公式，求得k1+k2=﹣，k3+k4=，由与共线，则=，即可求得k1+k2+k3+k4=0；（3）EF1的斜率=，（y2＞且y≠﹣2），EF2的斜率=，（y2＞且y≠2），则=，（y2＞且y≠±2），根据函数单调性即可求得的取值范围．【解答】解：（1）由题意a=2c，椭圆的通径丨AB丨==3，a2=b2+c2，则a=2，b=，c=1，∴椭圆的标准方程：；（2）由（1）可知：A（﹣2，0），B（2，0），F1（﹣1，0），F2（1，0），设P（x1，y1），则，则x12﹣4=﹣，k1+k2=+===﹣，设Q（x2，y2），则，则x12﹣4=，则k3+k4=+===，又与共线，∴x1=λx2，y1=λy2，∴=，k1+k2+k3+k4=（﹣+）=0；（3）设E（，y），由，解得：，由E在椭圆C外的抛物线K：y2=4x上一点，则y2＞，则EF1的斜率=，（y2＞且y≠﹣2），EF2的斜率=，（y2＞且y≠2）则=×==，（y2＞且y≠±2）则=，（y2＞且y≠±2）令t=y2，（t＞且t≠4，）设f（t）==﹣，（t＞且t≠4，），求导f′（t）=+＞0∴f（t）在（，4），（4，+∞）上单调递增，∴f（t）的取值范围（﹣，0）∪（0，+∞）∴的取值范围．21．设T n为数列{a n}的前n项的积，即T n=a1•a2…•a n．（1）若T n=n2，求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}满足T n=（1﹣a n）（n∈N*），证明数列{}为等差数列，并求{a n}的通项公式；（3）数列{a n}共有100项，且满足以下条件：①a1•a2…•a100=2；②a1•a2…•a k+a k+1•a k+2…a100=k+2（1≤k≤99，k∈N*）．（Ⅰ）求a5的值；（Ⅱ）试问符合条件的数列共有多少个？为什么？【考点】8E：数列的求和．【分析】（1）利用作商法求a n；（2）利用等差数列的定义证明数列{}为等差数列，并求得{a n}的通项公式；（3）（Ⅰ）由题意联立方程组求得T4，T5，则a5=即得；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得T k是方程x2﹣（k+2）x+2=0的一个实根（△＞0），当数列前k（2≤k≤98）项确定后，其前k项积T k确定，由T k+1可得到两个a k+1，即得符合条件的数列共有299个．【解答】解：（1）当n=1时，a1=T1=1；当n≥2时，a n==，∴a n=…（2）当n=1时，a1=T1=（1﹣a1），所以a1=，当n≥2时，2T n=1﹣a n=1﹣，所以﹣=2，数列{}为等差数列…=3+2（n﹣1）=2n+1，T n=，a n=1﹣2T n=…（3）（Ⅰ）由a1•a2…•a100=2，a1•a2…•a4+a5•a6…a100=6；可得T4=3±，由a1•a2…•a100=2，a1•a2…a5+a6•a7…a100=7，可得T5=，所以a5==或a5=．…（Ⅱ）a1+a2…•a100=3，所以a1=1或2T k是方程x2﹣（k+2）x+2=0的一个实根（△＞0），当数列前k（2≤k≤98）项确定后，其前k项积T k确定，由T k+1可得到两个a k+1所以符合条件的数列共有299个．…2017年6月18日。

2017年上海市奉贤区高考数学一模试卷含详解

2017年上海市奉贤区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）已知集合A={﹣2，﹣1}，B={﹣1，2，3}，则A∩B=．2．（4分）已知复数z满足z•（1﹣i）=2，其中i为虚数单位，则z=．3．（4分）方程lg（x﹣3）+lgx=1的解x=．4．（4分）已知f（x）=log a x（a＞0，a≠1），且f﹣1（﹣1）=2，则f﹣1（x）=．5．（4分）若对任意正实数a，不等式x2≤1+a恒成立，则实数x的最小值为．6．（4分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则p=．7．（5分）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为．8．（5分）如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边成为1，那么这个几何体的表面积是．9．（5分）已知互异复数mn≠0，集合{m，n}={m2，n2}，则m+n=．10．（5分）已知等比数列{a n}的公比q，前n项的和S n，对任意的n∈N*，S n＞0恒成立，则公比q的取值范围是．11．（5分）参数方程，θ∈[0，2π）表示的曲线的普通方程是．12．（5分）已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，若函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数y=f（x）的图象关于直线x=ω对称，则ω的值为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件14．（5分）若方程f（x）﹣2=0在（﹣∞，0）内有解，则y=f（x）的图象是（）A．B．C．D．15．（5分）已知函数（α∈[0，2π））是奇函数，则α=（）A．0B．C．πD．16．（5分）若正方体A1A2A3A4﹣B1B2B3B4的棱长为1，则集合{x|x=•，i∈{1，2，3，4}，j∈1，2，3，4}}中元素的个数为（）A．1B．2C．3D．4三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）已知圆锥母线长为5，底面圆半径长为4，点M是母线PA的中点，AB是底面圆的直径，点C是弧AB的中点；（1）求三棱锥P﹣ACO的体积；（2）求异面直线MC与PO所成的角．18．（14分）已知函数（a＞0），且f（1）=2；（1）求a和f（x）的单调区间；（2）f（x+1）﹣f（x）＞2．19．（14分）一艘轮船在江中向正东方向航行，在点P观测到灯塔A、B在一直线上，并与航线成角α（0°＜α＜90°），轮船沿航线前进b米到达C处，此时观测到灯塔A在北偏西45°方向，灯塔B在北偏东β（0°＜β＜90°）方向，0°＜α+β＜90°，求CB；（结果用α，β，b表示）20．（16分）过双曲线的右支上的一点P作一直线l与两渐近线交于A、B两点，其中P是AB的中点；（1）求双曲线的渐近线方程；（2）当P坐标为（x0，2）时，求直线l的方程；（3）求证：|OA|•|OB|是一个定值．21．（18分）设数列{a n}的前n项和为S n，若（n∈N*），则称{a n}是“紧密数列”；（1）若a1=1，，a3=x，a4=4，求x的取值范围；（2）若{a n}为等差数列，首项a1，公差d，且0＜d≤a1，判断{a n}是否为“紧密数列”；（3）设数列{a n}是公比为q的等比数列，若数列{a n}与{S n}都是“紧密数列”，求q的取值范围．2017年上海市奉贤区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）已知集合A={﹣2，﹣1}，B={﹣1，2，3}，则A∩B={﹣1} ．【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】利用交集的定义求解．【解答】解：∵集合A={﹣2，﹣1}，B={﹣1，2，3}，∴A∩B={﹣1}．故答案为：{﹣1}．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题．2．（4分）已知复数z满足z•（1﹣i）=2，其中i为虚数单位，则z=1+i．【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】复数方程两边同乘1﹣i的共轭复数，然后化简即可．【解答】解：由z•（1﹣i）=2，可得z•（1﹣i）（1+i）=2（1+i），所以2z=2（1+i），z=1+i．故答案为：1+i．【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型．3．（4分）方程lg（x﹣3）+lgx=1的解x=5．【考点】4H：对数的运算性质．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】在保证对数式的真数大于0的前提下由对数的和等于乘积的对数去掉对数符号，求解一元二次方程得答案．【解答】解：由lg（x﹣3）+lgx=1，得：，即，解得：x=5．故答案为：5．【点评】本题考查了对数的运算性质，关键是注意对数式本身有意义，是基础题．4．（4分）已知f（x）=log a x（a＞0，a≠1），且f﹣1（﹣1）=2，则f﹣1（x）=．【考点】4T：对数函数图象与性质的综合应用．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】由题意可得f（2）=log a2=﹣1；从而得到a=；再写反函数即可．【解答】解：由题意，∵f﹣1（﹣1）=2，∴f（2）=log a2=﹣1；故a=；故f﹣1（x）=；故答案为：．【点评】本题考查了反函数的应用及指数对数函数的应用，属于基础题．5．（4分）若对任意正实数a，不等式x2≤1+a恒成立，则实数x的最小值为﹣1．【考点】3V：二次函数的性质与图象．【专题】31：数形结合；44：数形结合法；51：函数的性质及应用．【分析】由恒成立转化为最值问题，由此得到二次函数不等式，结合图象得到x 的取值范围．【解答】解：∵对任意正实数a，不等式x2≤1+a恒成立，∴等价于a≥x2﹣1，∴a≥（x2﹣1）max0≥（x2﹣1）max﹣1≤x≤1∴实数x的最小值为﹣1．【点评】本题考查恒成立转化为最值问题，二次函数不等式，数形结合，像得到x的取值范围．6．（4分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则p=4．【考点】K4：椭圆的性质；K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出椭圆的右焦点，得到抛物线的焦点坐标，然后求解p即可．【解答】解：椭圆的右焦点（2，0），抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，可得：，解得p=4．故答案为：4．【点评】本题考查椭圆的简单性质与抛物线的简单性质的应用没开车计算能力．7．（5分）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为5．【考点】83：等差数列的性质．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】由题意可得首项的方程，解方程可得．【解答】解：设该等差数列的首项为a，由题意和等差数列的性质可得2015+a=1010×2解得a=5故答案为：5【点评】本题考查等差数列的基本性质，涉及中位数，属基础题．8．（5分）如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边成为1，那么这个几何体的表面积是．【考点】L!：由三视图求面积、体积；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】27：图表型．【分析】由题意可知三视图复原的几何体是三棱锥，正方体的一个角，根据三视图的数据，求出三棱锥的表面积即可．【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是三棱锥，正方体的一个角，所以几何体的表面积为：3个等腰直角三角形与一个等边三角形的面积的和，即：3×=．故答案为：．【点评】本题考查由三视图求几何体的表面积，考查由三视图还原直观图形，考查四棱锥的表面积，本题是一个基础题．9．（5分）已知互异复数mn≠0，集合{m，n}={m2，n2}，则m+n=﹣1．【考点】A1：虚数单位i、复数．【专题】34：方程思想；5J：集合；5N：数系的扩充和复数．【分析】互异复数mn≠0，集合{m，n}={m2，n2}，可得：m=m2，n=n2；n=m2，m=n2，mn≠0，m≠n．解出即可得出．【解答】解：互异复数mn≠0，集合{m，n}={m2，n2}，∴m=m2，n=n2，或n=m2，m=n2，mn≠0，m≠n．由m=m2，n=n2，mn≠0，m≠n，无解．由n=m2，m=n2，mn≠0，m≠n．可得n﹣m=m2﹣n2，解得m+n=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了复数的相等、集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（5分）已知等比数列{a n}的公比q，前n项的和S n，对任意的n∈N*，S n＞0恒成立，则公比q的取值范围是（﹣1，0）∪（0，+∞）．【考点】89：等比数列的前n项和．【专题】11：计算题；32：分类讨论；4C：分类法；54：等差数列与等比数列．【分析】q≠1时，由S n＞0，知a1＞0，从而＞0恒成立，由此利用分类讨论思想能求出公比q的取值范围．【解答】解：q≠1时，有S n=，∵S n＞0，∴a1＞0，则＞0恒成立，①当q＞1时，1﹣q n＜0恒成立，即q n＞1恒成立，由q＞1，知q n＞1成立；②当q=1时，只要a1＞0，S n＞0就一定成立；③当q＜1时，需1﹣q n＞0恒成立，当0＜q＜1时，1﹣q n＞0恒成立，当﹣1＜q＜0时，1﹣q n＞0也恒成立，当q＜﹣1时，当n为偶数时，1﹣q n＞0不成立，当q=﹣1时，1﹣q n＞0也不可能恒成立，所以q的取值范围为（﹣1，0）∪（0，+∞）．故答案为：（﹣1，0）∪（0，+∞）．【点评】本题考查等比数列的公比的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．11．（5分）参数方程，θ∈[0，2π）表示的曲线的普通方程是x2=y（0≤x≤，0≤y≤2）．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【专题】35：转化思想；4R：转化法；5S：坐标系和参数方程．【分析】把上面一个式子平方，得到x2=1+sinθ，代入第二个参数方程得到x2=y，根据所给的角的范围，写出两个变量的取值范围，得到普通方程．【解答】解：∵∵θ∈[0，2π），∴|cos+sin|=|sin（+）|∈[0，]1+sinθ=（cos+sin）2∈[0，2]故答案为：x2=y（0≤x≤，0≤y≤2）【点评】本题考查参数方程化为普通方程，本题解题的关键是看出怎么应用三角函数的恒等变换得到结果，注意题目中变量的取值范围不要漏掉．12．（5分）已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，若函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数y=f（x）的图象关于直线x=ω对称，则ω的值为．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】26：开放型；57：三角函数的图像与性质．【分析】由两角和的正弦函数公式化简解析式可得f（x）=sin（ωx+），由2kπ﹣≤ωx+≤2kπ+，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间，结合已知可得：﹣ω≥①，ω≤②，k∈Z，从而解得k=0，又由ωx+=kπ+，可解得函数f（x）的对称轴为：x=，k∈Z，结合已知可得：ω2=，从而可求ω的值．【解答】解：∵f（x）=sinωx+cosωx=sin（ωx+），∵函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，ω＞0∴2kπ﹣≤ωx+≤2kπ+，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间为：[，]，k∈Z，∴可得：﹣ω≥①，ω≤②，k∈Z，∴解得：0＜ω2≤且0＜ω2≤2k，k∈Z，解得：﹣，k∈Z，∴可解得：k=0，又∵由ωx+=kπ+，可解得函数f（x）的对称轴为：x=，k∈Z，∴由函数y=f（x）的图象关于直线x=ω对称，可得：ω2=，可解得：ω=．故答案为：．【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，正确确定k的值是解题的关键，属于中档题．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题．【分析】先证明充分性，把方程化为+=1，由“mn＜0”，可得、异号，可得方程表示双曲线，由此可得“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的充分条件；再证必要性，先把方程化为+=1，由双曲线方程的形式可得、异号，进而可得mn＜0，由此可得“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的必要条件；综合可得答案．【解答】解：若“mn＜0”，则m、n均不为0，方程mx2+ny2=1，可化为+=1，若“mn＜0”，、异号，方程+=1中，两个分母异号，则其表示双曲线，故“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的充分条件；反之，若mx2+ny2=1表示双曲线，则其方程可化为+=1，此时有、异号，则必有mn＜0，故“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的必要条件；综合可得：“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的充要条件；故选：C．【点评】本题考查双曲线的方程形式与充分必要条件的判断，关键在于掌握二元二次方程mx2+ny2=1表示双曲线条件．14．（5分）若方程f（x）﹣2=0在（﹣∞，0）内有解，则y=f（x）的图象是（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】13：作图题；31：数形结合；35：转化思想．【分析】根据方程f（x）﹣2=0在（﹣∞，0）内有解，转化为函数f（x）的图象和直线y=2在（﹣∞，0）上有交点．【解答】解：A：与直线y=2的交点是（0，2），不符合题意，故不正确；B：与直线y=2的无交点，不符合题意，故不正确；C：与直线y=2的在区间（0，+∞）上有交点，不符合题意，故不正确；D：与直线y=2在（﹣∞，0）上有交点，故正确．故选：D．【点评】考查了识图的能力，体现了数形结合的思想，由方程的零点问题转化为函数图象的交点问题，体现了转化的思想方法，属中档题．15．（5分）已知函数（α∈[0，2π））是奇函数，则α=（）A．0B．C．πD．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】根据奇函数的性质建立关系式求解．【解答】解：由题意可知，函数f（x）是奇函数，即f（﹣x）+f（x）=0，不妨设x＜0，则﹣x＞0．则有：f（x）=﹣x2+cos（x+α），f（﹣x）=x2﹣sinx那么：﹣x2+cos（x+α）+x2﹣sinx=0解得：（k∈Z）∵α∈[0，2π）∴α=故选：D．【点评】本题考查了函数的奇偶性的性质和诱导公式进行对三角函数的化简的能力．属于中档题．16．（5分）若正方体A1A2A3A4﹣B1B2B3B4的棱长为1，则集合{x|x=•，i∈{1，2，3，4}，j∈1，2，3，4}}中元素的个数为（）A．1B．2C．3D．4【考点】16：子集与真子集．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5A：平面向量及应用；5J：集合．【分析】⊥，⊥，i，j∈{1，2，3，4}，由此能求出集合{x|x=•，i∈{1，2，3，4}，j∈1，2，3，4}}中元素的个数．【解答】解：∵正方体A1A2A3A4﹣B1B2B3B4的棱长为1，⊥，⊥，i，j∈{1，2，3，4}，∴•=•（++）=•++=1．∴集合{x|x=•，i∈{1，2，3，4}，j∈1，2，3，4}}中元素的个数为1．故选：A．【点评】本题考查的知识点是集合中元素个数的求法，向量数量积的应用，难度不大，属于中档题．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）已知圆锥母线长为5，底面圆半径长为4，点M是母线PA的中点，AB是底面圆的直径，点C是弧AB的中点；（1）求三棱锥P﹣ACO的体积；（2）求异面直线MC与PO所成的角．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）由已知得AB=8，OC=4，OC⊥AB，PO=3，由此能出三棱锥P﹣ACO 的体积．（2）以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线MC与PO所成的角．【解答】解：（1）∵圆锥母线长为5，底面圆半径长为4，点M是母线PA的中点，AB是底面圆的直径，点C是弧AB的中点，∴AB=8，OC=4，OC⊥AB，∴PO===3，∴三棱锥P﹣ACO的体积V P=﹣ACO==8．（2）以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，﹣4，0），P（0，0，3），M（0，﹣2，），C（4，0，0），O（0，0，0），=（4，2，﹣），=（0，0，﹣3），设异面直线MC与PO所成的角为θ，cosθ===，故异面直线MC与PO所成的角为arccos．【点评】本题考查柱、锥、台体的体积的求法，考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力与计算能力，是中档题．18．（14分）已知函数（a＞0），且f（1）=2；（1）求a和f（x）的单调区间；（2）f（x+1）﹣f（x）＞2．【考点】4G：指数式与对数式的互化．【专题】11：计算题；33：函数思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）代值计算并根据复合函数的单调性求出单调区间，注意函数的定义域，（2）根据函数的单调性得到关于x 的不等式，解得即可．【解答】解：（1）函数（a＞0），且f（1）=2，∴log2（a2+a﹣2）=2=log24，∴，解得a=2，∴f（x）=log2（22x+2x﹣2），设t=22x+2x﹣2＞0，解得x＞0，∴f（x）的递增区间（0，+∞）；（2）f（x+1）﹣f（x）＞2，∴log2（22x+2+2x+1﹣2）﹣log2（22x+2x﹣2）＞2=log24，∴22x+2+2x+1﹣2＞4（22x+2x﹣2），∴2x＜3，∴x＜log23，∵x＞0∴0＜x＜log23∴不等式的解集为（0，log23）【点评】本题考查了对数函数的定义和性质以及复合函数的单调性和不等式的解的问题，属于中档题19．（14分）一艘轮船在江中向正东方向航行，在点P观测到灯塔A、B在一直线上，并与航线成角α（0°＜α＜90°），轮船沿航线前进b米到达C处，此时观测到灯塔A在北偏西45°方向，灯塔B在北偏东β（0°＜β＜90°）方向，0°＜α+β＜90°，求CB；（结果用α，β，b表示）【考点】HU：解三角形．【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；58：解三角形．【分析】由题意，∠B=90°﹣（α+β），△PBC中，运用正弦定理可得结论．【解答】解：由题意，∠B=90°﹣（α+β），△PBC中，PC=b，由正弦定理可得．【点评】本题考查正弦定理的运用，考查学生的计算能力，比较基础．20．（16分）过双曲线的右支上的一点P作一直线l与两渐近线交于A、B两点，其中P是AB的中点；（1）求双曲线的渐近线方程；（2）当P坐标为（x0，2）时，求直线l的方程；（3）求证：|OA|•|OB|是一个定值．【考点】KC：双曲线的性质；KM：直线与双曲线的综合．【专题】34：方程思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）求出双曲线的a，b，由双曲线的渐近线方程为y=±x，即可得到所求；（2）令y=2代入双曲线的方程可得P的坐标，再由中点坐标公式，设A（m，2m），B（n，﹣2n），可得A，B的坐标，运用点斜式方程，即可得到所求直线方程；（3）设P（x0，y0），A（m，2m），B（n，﹣2n），代入双曲线的方程，运用中点坐标公式，求得m，n，运用两点的距离公式，即可得到定值．【解答】解：（1）双曲线的a=1，b=2，可得双曲线的渐近线方程为y=±x，即为y=±2x；（2）令y=2可得x02=1+=2，解得x0=，（负的舍去），设A（m，2m），B（n，﹣2n），由P为AB的中点，可得m+n=2，2m﹣2n=4，解得m=+1，n=﹣1，即有A（+1，2+2），可得PA的斜率为k==2，则直线l的方程为y﹣2=2（x﹣），即为y=2x﹣2；（3）证明：设P（x0，y0），即有x02﹣=1，设A（m，2m），B（n，﹣2n），由P为AB的中点，可得m+n=2x0，2m﹣2n=2y0，解得m=x0+y0，n=x0﹣y0，则|OA|•|OB|=|m|•|n|=5|mn|=5|（x0+y0）（x0﹣y0）|=5|x02﹣|=5为定值．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，同时考查直线方程的运用，以及中点坐标公式的运用，属于中档题．21．（18分）设数列{a n}的前n项和为S n，若（n∈N*），则称{a n}是“紧密数列”；（1）若a1=1，，a3=x，a4=4，求x的取值范围；（2）若{a n}为等差数列，首项a1，公差d，且0＜d≤a1，判断{a n}是否为“紧密数列”；（3）设数列{a n}是公比为q的等比数列，若数列{a n}与{S n}都是“紧密数列”，求q的取值范围．【考点】8B：数列的应用．【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；55：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（1）由题意，且，即可求出x的取值范围；（2）由题意，a n=a1+（n﹣1）d，==1+，根据“紧密数列”的定义即可证明结论；（3）先设公比是q并判断出q≠1，由等比数列的通项公式、前n项和公式化简，，根据“紧密数列”的定义列出不等式组，再求出公比q的取值范围．【解答】解：（1）由题意，且，∴2≤x≤3，∴x的取值范围是[2，3]；（2）由题意，a n=a1+（n﹣1）d，∴==1+，随着n的增大而减小，所以当n=1时，取得最大值，∴≤2，∴{a n}是“紧密数列”；（3）由题意得，等比数列{a n}的公比q当q≠1时，所以a n=a1q n﹣1，S n=，=，因为数列{a n}与{S n}都是“紧密数列”，所以，≤2，解得，当q=1时，a n=a1，S n=na1，则=1，=1+∈（1，]，符合题意，∴q的取值范围是．【点评】本题是新定义题，考查数列的a n与S n的关系式，等比数列的通项公式、前n项和公式，解题的关键是正确理解新定义并会应用．。

上海市奉贤区高考数学一模试卷含答案解析

2017年上海市奉贤区高考数学一模试卷含答案解析-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One12017年上海市奉贤区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．已知集合A={﹣2，﹣1}，B={﹣1，2，3}，则A∩B=．2．已知复数z满足z•（1﹣i）=2，其中i为虚数单位，则z=．3．方程lg（x﹣3）+lgx=1的解x=．4．已知f（x）=log a x（a＞0，a≠1），且f﹣1（﹣1）=2，则f﹣1（x）=．5．若对任意正实数a，不等式x2≤1+a恒成立，则实数x的最小值为．6．若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则p=．7．中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为．8．如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边成为1，那么这个几何体的表面积是．9．已知互异复数mn≠0，集合{m，n}={m2，n2}，则m+n=．10．已知等比数列{a n}的公比q，前n项的和S n，对任意的n∈N*，S n＞0恒成立，则公比q的取值范围是．11．参数方程，θ∈[0，2π）表示的曲线的普通方程是．12．已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，若函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数y=f（x）的图象关于直线x=ω对称，则ω的值为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件14．若方程f（x）﹣2=0在（﹣∞，0）内有解，则y=f（x）的图象是（）A．B．C．D．15．已知函数（α∈[0，2π））是奇函数，则α=（）A．0 B．C．πD．16．若正方体A1A2A3A4﹣B1B2B3B4的棱长为1，则集合{x|x=•，i∈{1，2，3，4}，j∈1，2，3，4}}中元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．已知圆锥母线长为5，底面圆半径长为4，点M是母线PA的中点，AB是底面圆的直径，点C是弧AB的中点；（1）求三棱锥P﹣ACO的体积；（2）求异面直线MC与PO所成的角．18．已知函数（a＞0），且f（1）=2；（1）求a和f（x）的单调区间；（2）f（x+1）﹣f（x）＞2．19．一艘轮船在江中向正东方向航行，在点P观测到灯塔A、B在一直线上，并与航线成角α（0°＜α＜90°），轮船沿航线前进b米到达C处，此时观测到灯塔A在北偏西45°方向，灯塔B在北偏东β（0°＜β＜90°）方向，0°＜α+β＜90°，求CB；（结果用α，β，b表示）20．过双曲线的右支上的一点P作一直线l与两渐近线交于A、B两点，其中P是AB的中点；（1）求双曲线的渐近线方程；（2）当P坐标为（x0，2）时，求直线l的方程；（3）求证：|OA|•|OB|是一个定值．21．设数列{a n}的前n项和为S n，若（n∈N*），则称{a n}是“紧密数列”；（1）若a1=1，，a3=x，a4=4，求x的取值范围；（2）若{a n}为等差数列，首项a1，公差d，且0＜d≤a1，判断{a n}是否为“紧密数列”；（3）设数列{a n}是公比为q的等比数列，若数列{a n}与{S n}都是“紧密数列”，求q的取值范围．2017年上海市奉贤区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．已知集合A={﹣2，﹣1}，B={﹣1，2，3}，则A∩B={﹣1}．【考点】交集及其运算．【分析】利用交集的定义求解．【解答】解：∵集合A={﹣2，﹣1}，B={﹣1，2，3}，∴A∩B={﹣1}．故答案为：{﹣1}．2．已知复数z满足z•（1﹣i）=2，其中i为虚数单位，则z=1+i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】复数方程两边同乘1﹣i的共轭复数，然后化简即可．【解答】解：由z•（1﹣i）=2，可得z•（1﹣i）（1+i）=2（1+i），所以2z=2（1+i），z=1+i．故答案为：1+i．3．方程lg（x﹣3）+lgx=1的解x=5．【考点】对数的运算性质．【分析】在保证对数式的真数大于0的前提下由对数的和等于乘积的对数去掉对数符号，求解一元二次方程得答案．【解答】解：由lg（x﹣3）+lgx=1，得：，即，解得：x=5．故答案为：5．4．已知f（x）=log a x（a＞0，a≠1），且f﹣1（﹣1）=2，则f﹣1（x）=．【考点】对数函数图象与性质的综合应用．【分析】由题意可得f（2）=log a2=﹣1；从而得到a=；再写反函数即可．【解答】解：由题意，∵f﹣1（﹣1）=2，∴f（2）=log a2=﹣1；故a=；故f﹣1（x）=；故答案为：．5．若对任意正实数a，不等式x2≤1+a恒成立，则实数x的最小值为﹣1．【考点】二次函数的性质．【分析】由恒成立转化为最值问题，由此得到二次函数不等式，结合图象得到x的取值范围．【解答】解：∵对任意正实数a，不等式x2≤1+a恒成立，∴等价于a≥x2﹣1，∴a≥（x2﹣1）max0≥（x2﹣1）max﹣1≤x≤1∴实数x的最小值为﹣1．6．若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则p=4．【考点】椭圆的简单性质；抛物线的简单性质．【分析】求出椭圆的右焦点，得到抛物线的焦点坐标，然后求解p即可．【解答】解：椭圆的右焦点（2，0），抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，可得：，解得p=4．故答案为：4．7．中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为5．【考点】等差数列．【分析】由题意可得首项的方程，解方程可得．【解答】解：设该等差数列的首项为a，由题意和等差数列的性质可得2015+a=1010×2解得a=5故答案为：58．如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边成为1，那么这个几何体的表面积是．【考点】由三视图求面积、体积；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意可知三视图复原的几何体是三棱锥，正方体的一个角，根据三视图的数据，求出三棱锥的表面积即可．【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是三棱锥，正方体的一个角，所以几何体的表面积为：3个等腰直角三角形与一个等边三角形的面积的和，即：3×=．故答案为：．9．已知互异复数mn≠0，集合{m，n}={m2，n2}，则m+n=﹣1．【考点】复数相等的充要条件．【分析】互异复数mn≠0，集合{m，n}={m2，n2}，可得：m=m2，n=n2；n=m2，m=n2，mn≠0，m≠n．解出即可得出．【解答】解：互异复数mn≠0，集合{m，n}={m2，n2}，∴m=m2，n=n2，或n=m2，m=n2，mn≠0，m≠n．由m=m2，n=n2，mn≠0，m≠n，无解．由n=m2，m=n2，mn≠0，m≠n．可得n﹣m=m2﹣n2，解得m+n=﹣1．故答案为：﹣1．10．已知等比数列{a n}的公比q，前n项的和S n，对任意的n∈N*，S n＞0恒成立，则公比q的取值范围是（﹣1，0）∪（0，+∞）．【考点】等比数列的前n项和．【分析】q≠1时，由S n＞0，知a1＞0，从而＞0恒成立，由此利用分类讨论思想能求出公比q的取值范围．【解答】解：q≠1时，有S n=，∵S n＞0，∴a1＞0，则＞0恒成立，①当q＞1时，1﹣q n＜0恒成立，即q n＞1恒成立，由q＞1，知q n＞1成立；②当q=1时，只要a1＞0，S n＞0就一定成立；③当q＜1时，需1﹣q n＞0恒成立，当0＜q＜1时，1﹣q n＞0恒成立，当﹣1＜q＜0时，1﹣q n＞0也恒成立，当q＜﹣1时，当n为偶数时，1﹣q n＞0不成立，当q=﹣1时，1﹣q n＞0也不可能恒成立，所以q的取值范围为（﹣1，0）∪（0，+∞）．故答案为：（﹣1，0）∪（0，+∞）．11．参数方程，θ∈[0，2π）表示的曲线的普通方程是x2=y（0≤x≤，0≤y≤2）．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】把上面一个式子平方，得到x2=1+sinθ，代入第二个参数方程得到x2=y，根据所给的角的范围，写出两个变量的取值范围，得到普通方程．【解答】解：∵∵θ∈[0，2π），∴|cos+sin|=|sin（+）|∈[0，]1+sinθ=（cos+sin）2∈[0，2]故答案为：x2=y（0≤x≤，0≤y≤2）12．已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，若函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数y=f（x）的图象关于直线x=ω对称，则ω的值为．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由两角和的正弦函数公式化简解析式可得f（x）=sin（ωx+），由2kπ﹣≤ωx+≤2kπ+，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间，结合已知可得：﹣ω≥①，ω≤②，k∈Z，从而解得k=0，又由ωx+=kπ+，可解得函数f（x）的对称轴为：x=，k∈Z，结合已知可得：ω2=，从而可求ω的值．【解答】解：∵f（x）=sinωx+cosωx=sin（ωx+），∵函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，ω＞0∴2kπ﹣≤ωx+≤2kπ+，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间为：[，]，k∈Z，∴可得：﹣ω≥①，ω≤②，k∈Z，∴解得：0＜ω2≤且0＜ω2≤2k，k∈Z，解得：﹣，k∈Z，∴可解得：k=0，又∵由ωx+=kπ+，可解得函数f（x）的对称轴为：x=，k∈Z，∴由函数y=f（x）的图象关于直线x=ω对称，可得：ω2=，可解得：ω=．故答案为：．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【考点】双曲线的简单性质；充要条件．【分析】先证明充分性，把方程化为+=1，由“mn＜0”，可得、异号，可得方程表示双曲线，由此可得“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的充分条件；再证必要性，先把方程化为+=1，由双曲线方程的形式可得、异号，进而可得mn＜0，由此可得“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的必要条件；综合可得答案．【解答】解：若“mn＜0”，则m、n均不为0，方程mx2+ny2=1，可化为+=1，若“mn＜0”，、异号，方程+=1中，两个分母异号，则其表示双曲线，故“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的充分条件；反之，若mx2+ny2=1表示双曲线，则其方程可化为+=1，此时有、异号，则必有mn＜0，故“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的必要条件；综合可得：“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的充要条件；故选C．14．若方程f（x）﹣2=0在（﹣∞，0）内有解，则y=f（x）的图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象与图象变化．【分析】根据方程f（x）﹣2=0在（﹣∞，0）内有解，转化为函数f（x）的图象和直线y=2在（﹣∞，0）上有交点．【解答】解：A：与直线y=2的交点是（0，2），不符合题意，故不正确；B：与直线y=2的无交点，不符合题意，故不正确；C：与直线y=2的在区间（0，+∞）上有交点，不符合题意，故不正确；D：与直线y=2在（﹣∞，0）上有交点，故正确．故选D．15．已知函数（α∈[0，2π））是奇函数，则α=（）A．0 B．C．πD．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据奇函数的性质建立关系式求解．【解答】解：由题意可知，函数f（x）是奇函数，即f（﹣x）+f（x）=0，不妨设x＜0，则﹣x＞0．则有：f（x）=﹣x2+cos（x+α），f（﹣x）=x2﹣sinx那么：﹣x2+cos（x+α）+x2﹣sinx=0解得：（k∈Z）∵α∈[0，2π）∴α=故选：D．16．若正方体A1A2A3A4﹣B1B2B3B4的棱长为1，则集合{x|x=•，i∈{1，2，3，4}，j∈1，2，3，4}}中元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】子集与真子集．【分析】⊥，⊥，i，j∈{1，2，3，4}，由此能求出集合{x|x=•，i∈{1，2，3，4}，j∈1，2，3，4}}中元素的个数．【解答】解：∵正方体A1A2A3A4﹣B1B2B3B4的棱长为1，⊥，⊥，i，j∈{1，2，3，4}，∴•=•（++）=•++=1．∴集合{x|x=•，i∈{1，2，3，4}，j∈1，2，3，4}}中元素的个数为1．故选：A．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．已知圆锥母线长为5，底面圆半径长为4，点M是母线PA的中点，AB是底面圆的直径，点C是弧AB的中点；（1）求三棱锥P﹣ACO的体积；（2）求异面直线MC与PO所成的角．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【分析】（1）由已知得AB=8，OC=4，OC⊥AB，PO=3，由此能出三棱锥P﹣ACO的体积．（2）以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线MC与PO所成的角．【解答】解：（1）∵圆锥母线长为5，底面圆半径长为4，点M是母线PA的中点，AB是底面圆的直径，点C是弧AB的中点，∴AB=8，OC=4，OC⊥AB，∴PO===3，∴三棱锥P﹣ACO的体积V P﹣ACO===8．（2）以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，﹣4，0），P（0，0，3），M（0，﹣2，），C（4，0，0），O（0，0，0），=（4，2，﹣），=（0，0，﹣3），设异面直线MC与PO所成的角为θ，cosθ===，故异面直线MC与PO所成的角为arccos．18．已知函数（a＞0），且f（1）=2；（1）求a和f（x）的单调区间；（2）f（x+1）﹣f（x）＞2．【考点】指数式与对数式的互化．【分析】（1）代值计算并根据复合函数的单调性求出单调区间，注意函数的定义域，（2）根据函数的单调性得到关于x 的不等式，解得即可．【解答】解：（1）函数（a＞0），且f（1）=2，∴log2（a2+a﹣2）=2=log24，∴，解得a=2，∴f（x）=log2（22x+2x﹣2），设t=22x+2x﹣2＞0，解得x＞0，∴f（x）的递增区间（0，+∞）；（2）f（x+1）﹣f（x）＞2，∴log2（22x+2+2x+1﹣2）﹣log2（22x+2x﹣2）＞2=log24，∴22x+2+2x+1﹣2＞4（22x+2x﹣2），∴2x＜3，∴x＜log23，∵x＞0∴0＜x＜log23∴不等式的解集为（0，＜log23）19．一艘轮船在江中向正东方向航行，在点P观测到灯塔A、B在一直线上，并与航线成角α（0°＜α＜90°），轮船沿航线前进b米到达C处，此时观测到灯塔A在北偏西45°方向，灯塔B在北偏东β（0°＜β＜90°）方向，0°＜α+β＜90°，求CB；（结果用α，β，b表示）【考点】解三角形的实际应用．【分析】由题意，∠B=90°﹣（α+β），△PBC中，运用正弦定理可得结论．【解答】解：由题意，∠B=90°﹣（α+β），△PBC中，PC=b，由正弦定理可得．20．过双曲线的右支上的一点P作一直线l与两渐近线交于A、B两点，其中P是AB的中点；（1）求双曲线的渐近线方程；（2）当P坐标为（x0，2）时，求直线l的方程；（3）求证：|OA|•|OB|是一个定值．【考点】直线与双曲线的位置关系；双曲线的简单性质．【分析】（1）求出双曲线的a，b，由双曲线的渐近线方程为y=±x，即可得到所求；（2）令y=2代入双曲线的方程可得P的坐标，再由中点坐标公式，设A（m，2m），B（n，﹣2n），可得A，B的坐标，运用点斜式方程，即可得到所求直线方程；（3）设P（x0，y0），A（m，2m），B（n，﹣2n），代入双曲线的方程，运用中点坐标公式，求得m，n，运用两点的距离公式，即可得到定值．【解答】解：（1）双曲线的a=1，b=2，可得双曲线的渐近线方程为y=±x，即为y=±2x；（2）令y=2可得x02=1+=2，解得x0=，（负的舍去），设A（m，2m），B（n，﹣2n），由P为AB的中点，可得m+n=2，2m﹣2n=4，解得m=+1，n=﹣1，即有A（+1，2+2），可得PA的斜率为k==2，则直线l的方程为y﹣2=2（x﹣），即为y=2x﹣2；（3）证明：设P（x0，y0），即有x02﹣=1，设A（m，2m），B（n，﹣2n），由P为AB的中点，可得m+n=2x0，2m﹣2n=2y0，解得m=x0+y0，n=x0﹣y0，则|OA|•|OB|=|m|•|n|=5|mn|=5|（x0+y0）（x0﹣y0）|=5|x02﹣|=5为定值．21．设数列{a n}的前n项和为S n，若（n∈N*），则称{a n}是“紧密数列”；（1）若a1=1，，a3=x，a4=4，求x的取值范围；（2）若{a n}为等差数列，首项a1，公差d，且0＜d≤a1，判断{a n}是否为“紧密数列”；（3）设数列{a n}是公比为q的等比数列，若数列{a n}与{S n}都是“紧密数列”，求q的取值范围．【考点】数列的应用．【分析】（1）由题意，且，即可求出x的取值范围；（2）由题意，a n=a1+（n﹣1）d， ==1+，根据“紧密数列”的定义即可证明结论；（3）先设公比是q并判断出q≠1，由等比数列的通项公式、前n项和公式化简，，根据“紧密数列”的定义列出不等式组，再求出公比q的取值范围．【解答】解：（1）由题意，且，∴2≤x≤3，∴x的取值范围是[2，3]；（2）由题意，a n=a1+（n﹣1）d，∴==1+，随着n的增大而减小，所以当n=1时，取得最大值，∴≤2，∴{a n}是“紧密数列”；（3）由题意得，等比数列{a n}的公比q当q≠1时，所以a n=a1q n﹣1，S n=， =，因为数列{a n}与{S n}都是“紧密数列”，所以，≤2，解得，当q=1时，a n=a1，S n=na1，则=1， =1+∈（1，]，符合题意，∴q的取值范围是．2017年4月3日。

2017年上海市青浦区高考数学一模试卷(含答案)(推荐文档)

上海市青浦区2017届高三一模数学试卷2016.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 已知复数2z i =+（i 为虚数单位），则2z =2. 已知集合1{|216}2x A x =≤<，22{|log (9)}B x y x ==-，则A B = 3. 在二项式62()x x +的展开式中，常数项是4. 等轴双曲线222x y a -=与抛物线216y x =的准线交于A 、B 两点，且||AB = 则该双曲线的实轴长等于5. 若由矩阵2222a x a a y a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭表示x 、y的二元一次方程组无解，则实数a = 6. 执行如图所示的程序框图，若输入1n =，则输出S =7. 若圆锥侧面积为20π，且母线与底面所成角为4arccos5，则该圆锥的体积为 8. 已知数列{}n a 的通项公式为2n a n bn =+，若数列{}n a 是单调递增数列，则实数b 的取值范围是9. 将边长为10的正三角形ABC ，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为△A B C '''，则△A B C '''中最短边的边长为（精确到0.01）10. 已知点A 是圆22:4O x y +=上的一个定点，点B 是圆O 上的一个动点，若满足 ||||AO BO AO BO +=-，则AO AB ⋅=11. 若定义域均为D 的三个函数()f x 、()g x 、()h x 满足条件：对任意x D ∈，点(,())x g x 与点(,())x h x 都关于点(,())x f x 对称，则称()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数”，已知()g x =()2f x x b =+，()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数”，且()()h x g x ≥ 恒成立，则实数b 的取值范围是12. 已知数列{}n a 满足：对任意的*n N ∈均有133n n a ka k +=+-，其中k 为不等于0与1的常数，若{678,78,3,22,222,2222}i a ∈---，2,3,4,5i =，则满足条件的1a 所有可能值的和为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 已知()sin 3f x x π=，{1,2,3,4,5,6,7,8}A =，现从集合A 中任取两个不同元素s 、t ，则使得()()0f s f t ⋅=的可能情况为（） A. 12种 B. 13种 C. 14种 D. 15种14. 已知空间两条直线m 、n ，两个平面α、β，给出下面四个命题：①m ∥n ，m n αα⊥⇒⊥；②α∥β，m α，n β⇒m ∥n ；③m ∥n ，m ∥αn ⇒∥α；④α∥β，m ∥n ，m α⊥n β⇒⊥；其中正确的序号是（）A. ①④B. ②③C. ①②④D. ①③④15. 如图，有一直角坡角，两边的长度足够长，若P 处有一棵树与两坡的距离分别是4m 和 am （012a <<），不考虑树的粗细，现用16m 长的篱笆，借助坡角围成一个矩形花圃 ABCD ，设此矩形花圃的最大面积为M ，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数()M f a = （单位2m ）的图像大致是（）A. B. C. D.16. 已知集合{(,)|()}M x y y f x ==，若对于任意实数对11(,)x y M ∈，存在22(,)x y M ∈，使12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”，给出下列四个集合： ①21{(,)|}M x y y x==； ②2{(,)|log }M x y y x ==； ③{(,)|22}x M x y y ==-； ④{(,)|sin 1}M x y y x ==+；其中是“垂直对点集”的序号是（）A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图所示，三棱柱111ABC A B C -的侧面11ABB A 是圆柱的轴截面，C 是圆柱底面圆周上不与A 、B 重合的一个点；（1）若圆柱的轴截面是正方形，当点C 是弧AB 的中点时，求异面直线1A C 与AB 的所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）当点C 是弧AB 的中点时，求四棱锥111A BCC B -与圆柱的体积比；18. 已知函数22()cos ()4f x x x π=+-（x R ∈）；（1）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值；（2）在ABC ∆中，若A B <，且1()()2f A f B ==，求BC AB 的值；19. 如图，1F 、2F 分别是椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左、右焦点，且焦距为，动弦AB 平行于x 轴，且11||||4F A F B +=；（1）求椭圆C 的方程；（2）若点P 是椭圆C 上异于点A 、B 的任意一点，且直线PA 、PB 分别与y 轴交于点M 、 N ，若2MF 、2NF 的斜率分别为1k 、2k ，求证：12k k ⋅是定值；20. 如图，已知曲线12:1x C y x =+（0x >）及曲线21:3C y x =（0x >），1C 上的点1P 的横坐标为1a （1102a <<），从1C 上的点n P （*n N ∈）作直线平行于x 轴，交曲线2C 于n Q 点，再从2C 上的点n Q （*n N ∈）作直线平行于y 轴，交曲线1C 于1n P +点，点n P（1,2,3,n =⋅⋅⋅）的横坐标构成数列{}n a ；（1）求曲线1C 和曲线2C 的交点坐标；（2）试求1n a +与n a 之间的关系；（3）证明：21212n n a a -<；21. 已知函数2()2f x x ax =-（0a >）；（1）当2a =时，解关于x 的不等式3()5f x -<<；（2）函数()y f x =在[,2]t t +的最大值为0，最小值是4-，求实数a 和t 的值；（3）对于给定的正数a ，有一个最大的正数()M a ，使得在整个区间[0,()]M a 上，不等式|()|5f x ≤恒成立，求出()M a 的解析式；参考答案一. 填空题1. 34i -2. [1,3)-3. 1604. 45. 2-6. 3log 197. 16π8. 3b >-9. 3.62 10. 411. )+∞ 12. 220103二. 选择题13. C 14. A 15. B 16. C三. 解答题17.（1）（2）23π； 18.（1）1；（2；19.（1）22142x y +=；（2）121k k =； 20.（1）12(,)23；（2）116n n n a a a ++=；（3）略； 21.（1）(1,1)(3,5)-；（2）0t =或2，2a =；（3）当0a <≤()M a a =a >()M a a =。

上海市2017-2018学年高考数学模拟试卷(含解析).pdf

2017-2018学年上海市高考数学模拟试卷一.填空题最新试卷十年寒窗苦，踏上高考路，心态放平和，信心要十足，面对考试卷，下笔如有神，短信送祝福，愿你能高中，马到功自成，金榜定题名。

1．函数f（x）=lnx+的定义域为．2．若双曲线x2﹣y2=a2（a＞0）的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则a= ．3．某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出55人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为．4．若方程x2+x+p=0有两个虚根α、β，且|α﹣β|=3，则实数p的值是．5．盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为．6．将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度，得到的函数y=f（x）在区间上单调递减，则m的最小值为．7．若的展开式中含有常数项，则当正整数n取得最小值时，常数项的值为．8．若关于x，y，z的三元一次方程组有唯一解，则θ的取值的集合是．9．若实数x，y满足不等式组则z=|x|+2y的最大值是．10．如图，在△ABC中，AB=AC=3，cos∠BAC=， =2，则?的值为．11．已知f（x）=的最大值和最小值分别是M和m，则M+m= ．12．已知四数a1，a2，a3，a4依次成等比数列，且公比q不为1．将此数列删去一个数后得到的数列（按原来的顺序）是等差数列，则正数q的取值集合是．二.选择题13．直线（t为参数）的倾角是（）A．B．arctan（﹣2）C．D．π﹣arctan214．“x＞0，y＞0”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件15．若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（）A．B．C．2+D．1+16．对数列{a n}，如果?k∈N*及λ1，λ2，…，λk∈R，使a n+k=λ1a n+k﹣1+λ2a n+k﹣2+…+λk a n 成立，其中n∈N*，则称{a n}为k阶递归数列．给出下列三个结论：①若{a n}是等比数列，则{a n}为1阶递归数列；②若{a n}是等差数列，则{a n}为2阶递归数列；③若数列{a n}的通项公式为，则{a n}为3阶递归数列．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3三.简答题17．若向量，在函数的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为，且当的最大值为1．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．18．如图，O为总信号源点，A，B，C是三个居民区，已知A，B都在O的正东方向上，OA=10km，OB=20km，C在O的北偏西45°方向上，CO=5km．（1）求居民区A与C的距离；（2）现要经过点O铺设一条总光缆直线EF（E在直线OA的上方），并从A，B，C分别铺设三条最短分光缆连接到总光缆EF．假设铺设每条分光缆的费用与其长度的平方成正比，比例系数为m（m为常数）．设∠AOE=θ（0≤θ＜π），铺设三条分光缆的总费用为w（元）．①求w关于θ的函数表达式；②求w的最小值及此时tanθ的值．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥平面ABCD，E为AD的中点，BE∥CD，BE⊥AD，PA=AE=BE=2，CD=1；（1）求二面角C﹣PB﹣E的余弦值；（2）在线段PE上是否存在点M，使得DM∥平面PBC？若存在，求出点M的位置，若不存在，说明理由．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，设点M（x0，y0）是椭圆C： +y2=1上一点，从原点O向圆M：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=r2作两条切线分别与椭圆C交于点P，Q．直线OP，OQ 的斜率分别记为k1，k2（1）若圆M与x轴相切于椭圆C的右焦点，求圆M的方程；（2）若r=，①求证：k1k2=﹣；②求OP?O Q的最大值．21．已知m是一个给定的正整数，m≥3，设数列{a n}共有m项，记该数列前i项a1，a2，…，a i中的最大项为A i，该数列后m﹣i项a i+1，a i+2，…，a m中的最小项为B i，r i=A i﹣B i（i=1，2，3，…，m﹣1）；（1）若数列{a n}的通项公式为（n=1，2，…，m），求数列{r i}的通项公式；（2）若数列{a n}满足a1=1，r1=﹣2（i=1，2，…，m﹣1），求数列{a n}的通项公式；（3）试构造项数为m的数列{a n}，满足a n=b n+c n，其中{b n}是公差不为零的等差数列，{c n}是等比数列，使数列{r i}是单调递增的，并说明理由．2017年上海市复旦附中高考数学模拟试卷（5月份）参考答案与试题解析一.填空题1．函数f（x）=lnx+的定义域为{x|0＜x≤1} ．【考点】33：函数的定义域及其求法．【分析】根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，从而求出f（x）的定义域．【解答】解：∵函数f（x）=lnx+，∴，解得0＜x≤1；∴函数f（x）的定义域为{x|0＜x≤1}．故答案为：{x|0＜x≤1}．2．若双曲线x2﹣y2=a2（a＞0）的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则a= ．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线y2=4x的方程求出焦点坐标，得到双曲线的c值，进而根据双曲线的性质得到答案．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），故双曲线x2﹣y2=a2（a＞0）的右焦点坐标为（1，0），故c=1，由双曲线x2﹣y2=a2的标准方程为：，故2a2=1，又由a＞0，∴a=．故答案为：。

【上海中学年】2017学年高考模拟数学年试题(二)

上海中学2017年高考模拟数学试卷（二）答案一、选择题： 1~4．BAAC 二、填空题： 5． 6．16 7．②③8．，（） 9． 10．711．12．13． 14． 15． 16三、解答题：17．解：（Ⅰ）∵侧棱与底面相邻两边、都成角，∴三棱柱的三个侧面中，四边形和是有一个角是45︒，相邻两边长分别为，的平行四边形，第三个侧面是边长分别为，的矩形．∴（Ⅱ）过作垂直于底面，交底面于点，作，交于点，连接，由题意，则，，∴， ∴ 11(1,)(,2)22-⋃1log3x y -=13x ≤＜3p≤322i±21222n rn r n r C ----⨯b c a+-32(⋃AA 'AB AC 45ABBA ACCA a b a b 2sin 451)S ab ab ab =+=侧1A 1A O ABC ABC O 1A D AB ⊥AB D DO AD =1A D =AO =1A O =21124V a b ==18．解：（Ⅰ）由得，即；整理得解得（舍）或60C =︒ 因为，60C =︒（Ⅱ）因为由正弦定理和余弦定理可得，，，代入上式得又因为，故所以19．解：（Ⅰ）设（，），又，且为实数，∴，解得． ∴， ∵为实数，∴，解得． ∴42z i =-．（Ⅱ）∵复数，∴，解得．即实数的取值范围是．20．解：（1）由已知，且，解得，， ∴函数的解析式是；（2）在（1）的条件下，，即在区间上恒成立，由于函数在区间上是减函数，且其最小值为1， ∴的取值范围为；0m n =222cos 2sin ()02CA B -+=21cos 2(1cos )0C C +--=22cos cos 10C C +-=cos 1C =-0πC ＜＜sin()sin cos sin cos A B A B B A -=-sinA 2a R =sin 2bB R =222cos 2a c b B ac +-=222cos 2b c a A bc +-=222222222()sin()22224a a c b b b c a a b A B R ac R bc cR+-+---=-=22212a b c -=21sin()sin 442c c A B C cR R -====sin()A B -=z x yi =+x y ∈R 2(2)z i x y i +=++20y +=2y =-2(2)(2)(22)(4)22(2)(2)5z x i x i i x x i i i i i --+++-===---+2zi -405x -=4x =2222()[4(2)i]16(2)8(2)(124)(816)z ai a a a i a a a i +=+-=--+-=+-+-212408160a a a ⎧+-⎨-⎩＞＞26a ＜＜a 2,6（）10a b -+=12ba-=-1a =2b =()f x 2()21f x x x =++()f x x k +＞21k x x ++＜[3,1]--21y x x =++[3,1]--k (,1)-∞（3）∵是偶函数，∴，∴，由知、异号，不妨设，则，又由得，，得，又，得，∴的值为正． 21．解：（1）∵，（其中为正实常数）， ∴∴当时即，∴ （2）∵，且对任意的正整数，均有 ∴∴关于是一个单调递减的函数，最大值为． 22．解：（1）设，则过的圆的切线方程为，代入，得由即整理可得∴∵ ∴ （当且仅当∴()f x 0b =2()1f x ax =+0mn ＜m n 0m ＞0n ＜0m n +＞0m n -＞＞2222()F()()()1(1)()F m n f m f n am an a m n +=-=+-+=-0m n -＞＞22m n ＞0a ＞()()0F m F n +＞()()F m F n +n n n n S k a kS k a k+-=-+k (2)n n S a n =-≥2n ≥11n n n n n a S S a a --=-=-+112n n a a -=212a =-11(),221,1n n n a n -⎧-⎪=⎨⎪=⎩≥()n n n n S k a k f n k S k a k+-=+-+11111(1)n n n n n n n n n n S k a k S a k a q kf n k k S k a k S a k a q k++++++-++-+=+=+-++-+10a ＞01q ＜＜n 0n S k -＞11(1)()0n n n n n n n n n n S a k a q k S k a kf n f n k k S a k a q k S k a k++++-+-+-=+-++-+-+＜()f n n 1111a k a kk a k a k+-+-+00(,)A x y A 200x x y y r +=22221x y a b+=2222242222002220002()0a x a r x a r b x x a b y y y +-+-==0△2222242222002220002()4()()a r x a x a r b a b y y y =+-2222222002)()a b x x y y a b r r-+-=+--（()f x =b x a ＜＜22222a b x ab x +=≥()f x a b -x =()f x =b x a ＜＜的最大值为()f x a b上海中学2017年高考模拟数学试卷（二）解析一、选择题：1．B 根据复数的几何意义可知圆为以原点为圆心、2为半径的圆，设对应的点为，把整理出最简形式，根据复数是一个纯虚数，得到复数的实部等于0，虚部不等于0，据此可知点轨迹．解：由可知圆为以原点为圆心、2为半径的圆，设对应的点为，则， ∵是纯虚数， ∴，且，∴点的轨迹为以原点为圆心、1为半径的圆，除掉点， ∴复数的对应点必在圆内部，故选B ．2．A 由关系式得到的数列满足，根据点与直线之间的位置关系，我们不难得到，的图象在上方．逐一分析不难得到正确的答案．解：由知：的图象在上方．故选：A ．3．A 我们先论证命题：，是整数成立时，命题：有且仅有整数解是否成立，即命题命题的真假，再论证命题：有且仅有整数解时，命题：，是整数成立时是否成立，即判断命题命题的真假，然后根据弃要条件的定义易得到答案．解：，是整数时，不一定有整数解，即命题命题为假命题，若有且仅有整数解，由韦达定理（一元二次方程根与系数的关系）我们易判断，是整数．即命题命题为真命题，故是的充分不必要条件故选：A ．4．C 根据题设，用一张正方形的包装纸将其完全包住，近似于将正四棱锥的表面展开图重新折回．因此，首先要将四棱锥的四个侧面沿底面展开，观察展开的图形易得出包装纸的对角线处在什么位置是，包装纸面积最小，进而获得问题的解答．C 1z (x,y)1111z z -+P ||2z =C 1z (,)x y 2212211(1)[(1)][(1)]12=1(1)[(1)][(1)](1)z x yi x yi x yi x y yiz x yi x yi x yi x y --+-++-+-+==++++++-++1111(1)1z z z -≠-+2210x y +-=0y ≠P (1,0)±1z P 1()n n a f a +={}n a 1n n a a +＞*n ∈N ()f x y x =1()n n n a f a a +=＞()f x y x =q a b p 20x ax b ++=p ⇒p p 20x ax b ++=q a b p ⇒q a b 20x ax b ++=p ⇒q 20x ax b ++=a b p ⇒q p q解：将正四棱锥沿底面将侧面都展开如图所示：当以为正方形的对角线时，所需正方形的包装纸的面积最小，此时边长最小．设此时的正方形边长为则：，又因为， ∴，解得：．二、填空题：5．由椭圆的标准方程可以确定的范围．∵表示椭圆， ∴， ∴或． 6．根据的展开式中二项式系数之和为512，，得到，求出了的值，求出二项展开式的通项，令的指数为3求出的值代入通项求出展开式中的系数，解出字母的值，得到结果．解：因为的展开式中二项式系数之和为512，所以解得所以的展开式的通项为令得所以展开式中的系数为所以所以7．利用二倍角公式，和角的三角函数公式分别化简，再利用周期公式可求．解：对于①，∴； PP 'x 22()2PP x '=()2PP a a '=+=22()2a x=x =a 22121x y a a +=-+201021a a a a -⎧⎪+⎨⎪-≠+⎩＞＞112a -＜＜122a ＜＜na x（2512n =n x r 3xa na x（2512n =9n=9a x（399219(r rrr r T aC x--+=3932r-=8r =3x 916a 9916a =16a =cos 2πy x =2π12πT ==对于②，∴；对于③；对于④，∴． 8．本题考查反函数的概念、求反函数的方法、指数式与对数式的互化，求函数的值域；将看做方程解出，然后由原函数的值域确定反函数的定义域即可，注意原函数的定义域为．解：由解得 ∵，∴∴函数（）的反函数是（）故答案为：，（）9．由题意，由，可得，再由，，分，两类解出参数的取值范围即可得到答案解：由，可得又，若，即得，显然符合题意若，即有得，时，有解得，故有综上知，实数的取值范围是10．取的中点，由题意可得，，或，由余弦定理，运算求得结果．解：取的中点，则由、分别是三棱锥的棱、的中点，，，与PC 所成的角为可得，，或．中，当时，由余弦定理可得，当时，．11．设，，求得、以及，再根据条件求得的值，可得的值，再利用复数三角形式的运算法则求得的值．ππ)4y x =+2π1πT ==π2π2T =1sin 2π2y x =2π12πT ==13x y +=x 0x x -＜≤13x y +=1log3x x =-+10x -≤＜13x ≤＜13x y +=0x x -＜≤1log3x y =-+13x ≤＜1log3x y -=13x ≤＜A B ⋃B A ⊆{|25}A x x =-＜＜{|121}B x p x p =+-＜＜B =∅B ≠∅p A B A ⋃=B A ⊆{|25}A x x =-＜＜{|121}B x p x p =+-＜＜B =∅121p p +-≥2p ≤B ≠∅121p p +-＜2p ＞12215p p +-⎧⎨-⎩≥≤33p -≤≤23p ＜≤p 3p ≤PB H 3EH =5HF =60EHF ∠=120EF =PB H E F P ABC -AP BC 10PC =6AB =AB 603EH =5HF =60EHF ∠=120EHF △60EHF ∠=EF120EHF ∠=7EF 15(cos sin )z i αα=+22(cos sin )z i ββ=+1z 2z 12z z -cos()αβ+sin()αβ+12z z解：由题意得，可设，，，，．再由，化简可得．再由同角三角函数的基本关系可得．故12．根据题意，一共抽了根，这么多次抽取动作中，有次都是操作在A 盒上，次操作在B 盒上，且最后一次一定操作在A 盒所有的抽法共有种，用完一盒时另一盒还有根的抽法有种由古典概型的概率公式求出概率．解：根据题意，一共抽了根，这么多次抽取动作中，有次都是操作在A 盒上次操作在B 盒上，且最后一次一定操作在A 盒所以，所有的抽法共有种，用完一盒时另一盒还有根的抽法有种由古典概型的概率公式得他发现用完一盒时另一盒还有根（）的概率为13．先画图，理解题意，再根据向量的加法法则和减法法则，将所表示向量用已知向量表示，即可得到结论．解：故答案为：14．先作出的图象斜率为1，在曲线上方的直线部分为不等式的解集，利用图象，即可求的最小值．解：先作出的图象斜率为1，在曲线上方的直线部分为不等式的解集 ∵解集为（取不到等号） ∴只能是过点斜率为1的直线把点的坐标代入得再将与（舍）或15(cos sin )z i αα=+22(cos sin )z i ββ=+15[cos isin ]5[cos()sin()]z i αααα=-=-+-22(cos sin )2[cos()sin()]z i i ββββ=-=-+-12(5cos 2cos )(5sin 2sin )z z i αβαβ-=-++12||z z -23(5cos 2cos )(5sin 2sin )13αβαβ-++=4cos(0=5αβ+3sin()5αβ+=±125[cos()sin()]555433[cos()][cos()sin()]=[]22(cos sin )222552z i i i i z i αααβαβαβββ-+-==⨯--=⨯+-+⨯±=±+2n r -n n r -22n r -r 212n rn r C ---2n r -n n r -22n r -r 212n rn r C ---r 1r n ≤≤21222n rn r n r C ----⨯1111BD BD DD BD CC BD AC AC b c a =+=+=+-=+-b c a +-y y x a =+m y =y x a =+x m ＞A A y x a =+0.5a =0.5y x =+y 0.5x =- 1.5即求出了交点由数形结合可知最小值为．15．先设点的坐标为，然后由点到、轴的距离之比为2得一元一次方程，再由点到点、距离之差为，满足双曲线定义，则得其标准方程，最后处理方程组通过求得的取值范围．解：设点的坐标为，依题设得，即，因此，点、、三点不共线，得 ∵ ∴因此，点在以、为焦点，实轴长为的双曲线上，故将代入，并解得，因为，所以，解得即的取值范围为． 16．先判断出椭圆（为参数）表示中心在直线上，长轴长和短轴长分别为4，2的一族椭圆，判断出符和条件的直线需要与直线平行，设出直线方程，先利用一个特殊的椭圆与直线方程联立求出直线的方程，在证明对于所以的椭圆都满足条件．解：椭圆（为参数）可化为，(1.5,2)C m 32P (,y)x P x y P (1,0)-(1,0)2m 2x m P (,)x y ||2||y x =2y x =±0x ≠(,)P x y (1,0)M -(1,0)N ||||||||2PM PN MN -=＜||||||2||0PM PN m -=＞0||1m ＜＜P M N 2||m 222211x y m m -=-2y =±222211x y m m -=-2222(1)015m m x m -=-≥210m -＞2150m -＞0||m ＜m (⋃222484840x y kx ky k +--+-=k 2y x =2y x =222484840x y kx ky k +--+-=k所以表示中心在直线上，长轴长和短轴长分别为4，2的一组椭圆，而所求的直线与这组椭圆种的任意椭圆都相交，若所求的直线与直线不平行，则必定存在椭圆与直线l 不相交，于是，设所求直线的方程为与椭圆由得得即解得设直线与圆（为参数），相交所得的弦长为d ，则由得所以所以直线与椭圆（同理可证，对任意，椭圆（为参数）与直线相交所得弦三、解答题：17．解：（Ⅰ）先判断斜三棱柱的三个侧面的形状，分别求出面积再相加，即为斜三棱柱的侧面积．∵侧棱与底面相邻两边、都成角，∴三棱柱的三个侧面中，四边形和是有一个角是，相邻两边长分别为，的平行四边形，第三个侧面是边长分别为，的矩形．∴（Ⅱ）斜三棱柱的体积等于底面积乘高，因为底面三角形是边长为的正三角形，面积易求，所以只需求出高即可，利用所给线线角的大小即可求出．222484840x y kx ky k +--+-=2y x =l 2y x =2y x b =+2y x b =+2214y x +=22214y x b y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩228440x by b ++-=21212[()4]55x x x x +-=2244()41]88b b ---⨯=2b =±22y x =+222484840x y kx ky k +--+-=k 22248484022x y kx ky k y x ⎧+--+-=⎨=+⎩228(816)880x k x k k +-+-=22221212[()4]55[(21)4(8)]5d x x x x k k k =+-=---=22y x =+222484840x y kx ky k +--+-=k k ∈R 222484840x y kx ky k +--+-=k 22y x =-ABC A B C '''-AA 'AB AC 45ABBA ACCA 45a b a b 2sin 451)S ab ab ab =+=侧a过作垂直于底面，交底面于点，作，交于点，连接，由题意，则，，∴， ∴ 18．（Ⅰ）先根据两向量互相垂直等价于二者的数量积等于0，可得到关于的方程，进而得到答案．解：由得，即；整理得解得（舍）或因为，（Ⅱ）先表示出的表达式，再由正弦和余弦定理将角的关系转化为边的关系后代入即得答案．解：因为由正弦定理和余弦定理可得，，，代入上式得又因为，故所以． 19．（Ⅰ）利用复数的运算法则和复数为实数的充要条件即可得出．解：设（，），又，且为实数，∴，解得．∴，∵为实数，∴，解得．（Ⅱ）利用复数的运算法则和几何意义即可得出．解：∵复数，1A 1A O ABC ABC O 1A D AB ⊥AB DDO AD=1A D=AO=1A O=21124V a b ==cos C 0m n =222cos 2sin ()02C A B -+=21cos 2(1cos )0C C +--=22cos cos 10C C +-=cos 1C =-60C =0πC ＜＜60C =sin()A B -sin()sin cos sin cos A B A B B A -=-sinA 2a R =sin 2b B R =222cos 2a c b B ac +-=222cos 2b c a A bc +-=222222222()sin()22224a a c b b b c a a b A BR ac R bc cR +-+---=-=22212a b c-=21sin()sin 442c c A B C cR R -====sin()A B -=z x yi =+x y ∈R 2(2)z i x y i +=++20y +=2y =-2(2)(2)(22)(4)22(2)(2)5z x i x i i x x i i i i i --+++-===---+2z i -405x -=4x =2222()[4(2)i]16(2)8(2)(124)(816)z ai a a a i a a a i +=+-=--+-=+-+-∴，解得．即实数的取值范围是．20．（1）由已知，且，解二者联立的方程求出，的值即可得到函数的解析式．解：由已知，且，解得，， ∴函数的解析式是；（2）将，在区间上恒成立，转化成在区间上恒成立，问题变为求在区间上的最小值问题，求出其最小值，令小于其最小值即可解出所求的范围．解：在（1）的条件下，，即在区间上恒成立，由于函数在区间上是减函数，且其最小值为1， ∴的取值范围为；（3）是偶函数，可得，求得，由，，可得、异号，设，则，故可得，代入，化简成关于，的代数式，由上述条件判断其符号即可．解：∵是偶函数，∴，∴，由知、异号，不妨设，则，又由得，，得，又，得， ∴的值为正．21．（1）先根据，（其中为正实常数），求出，然后利用进行求解，注意验证首项；解：∵，（其中为正实常数）， ∴∴当时即， ∴212408160a a a ⎧+-⎨-⎩＞＞26a ＜＜a 2,6（）10a b -+=12b a -=-a b 10a b -+=12b a-=-1a =2b =()f x 2()21f x x x =++()f x x k +＞[3,1]--21k x x ++＜[3,1]--21x x ++[3,1]--k ()f x x k +＞21k x x ++＜[3,1]--21y x x =++[3,1]--k (,1)-∞()f x 0b =2()1f x ax =+0mn ＜0m n +＞m n 0m ＞0n ＜0m n -＞＞()()F m F n +m n ()f x 0b =2()1f x ax =+0mn ＜m n 0m ＞0n ＜0m n +＞0m n -＞＞2222()F()()()1(1)()F m n f m f n am an a m n +=-=+-+=-0m n -＞＞22m n ＞0a ＞()()0F m F n +＞()()F m F n +n n n n S k a k S k a k+-=-+k (2)n n S a n =-≥1n n n a S S -=-n n n n S k a k S k a k+-=-+k (2)n n S a n =-≥2n ≥11n n n n n a S S a a --=-=-+112n n a a -=212a =-11(),221,1n n n a n -⎧-⎪=⎨⎪=⎩≥（2）先求出，然后根据条件判定的符号，从而确定的单调性，从而求出最大值．解： ∵，且对任意的正整数，均有∴ ∴关于是一个单调递减的函数，最大值为． 22．先设，则过的圆的切线方程为，将其与椭圆方程联立，得一一元二次方程，由，整理后即可得，求最大值时使用均值定理，注意等号成立的条件．解：设，则过的圆的切线方程为，代入，得由即整理可得 ∴∵ ∴（当且仅当∴的最大值为(1)f n +(1)()f n f n +-()f n ()n n n n S k a k f n k S k a k +-=+-+11111(1)n n n n nn n n n n S k a k S a k a q k f n k k S k a k S a k a q k++++++-++-+=+=+-++-+10a ＞01q ＜＜n 0n S k -＞11(1)()0n n n n n n n n n n S a k a q k S k a k f n f n k k S a k a q k S k a k ++++-+-+-=+-++-+-+＜()f n n 1111a k a k k a k a k+-+-+00(,)A x y A 200x x y y r +==0△||()AB f r =()f x 00(,)A x y A 200x x y y r +=22221x y a b +=2222242222002220002()0a x a r x a r b x x a b y y y +-+-==0△2222242222002220002()4()()a r x a x a r b a b y y y =+-2222222002)()a b x x y y a b r r -+-=+--（()f x =b x a ＜＜22222a b x ab x +=≥()f x a b -x =()f x =b x a ＜＜()f x a b -。

上海市闵行区2017年高考数学一模试卷 Word版含解析

上海市闵行区2017年高考数学一模试卷(解析版)一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．方程lg（3x+4）=1的解x=．2．若关于x的不等式（a，b∈R）的解集为（﹣∞，1）∪（4，+∞），则a+b=．3．已知数列{a n}的前n项和为，则此数列的通项公式为．4．函数的反函数是．5．6展开式中x3项的系数为（用数字作答）6．如图，已知正方形ABCD﹣A1B1C1D1，AA1=2，E为棱CC1的中点，则三棱锥D1﹣ADE的体积为．7．从单词“shadow”中任意选取4个不同的字母排成一排，则其中含有“a”的共有种排法（用数字作答）8．集合{x|cos（πcosx）=0，x∈[0，π]}=（用列举法表示）9．如图，已知半径为1的扇形AOB，∠AOB=60°，P为弧上的一个动点，则取值范围是．10．已知x、y满足曲线方程，则x2+y2的取值范围是．11．已知两个不相等的非零向量和，向量组和均由2个和2个排列而成，记，那么S的所有可能取值中的最小值是（用向量、表示）=a n，数列{b n}满足12．已知无穷数列{a n}，a1=1，a2=2，对任意n∈N*，有a n+2b n﹣b n=a n（n∈N*），若数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数+1次，则满足要求的b1的值为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．若a、b为实数，则“a＜1”是“”的（）条件．A．充要B．充分不必要C．必要不充分D．既不充分也不必要14．若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．215．函数f（x）=|x2﹣a|在区间[﹣1，1]上的最大值是a，那么实数a的取值范围是（）A．[0，+∞）B．[，1]C．[，+∞）D．[1，+∞）16．曲线C1：y=sinx，曲线（r＞0），它们交点的个数（）A．恒为偶数B．恒为奇数C．不超过2017 D．可超过2017三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，在Rt△AOB中，，斜边AB=4，D是AB中点，现将Rt△AOB以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上一点，且∠BOC=90°，（1）求圆锥的侧面积；（2）求直线CD与平面BOC所成的角的大小；（用反三角函数表示）18．（14分）已知，，A、B、C是△ABC的内角；（1）当时，求的值；（2）若，|AB|=3，当取最大值时，求A的大小及边BC的长．19．（14分）如图所示，沿河有A、B两城镇，它们相距20千米，以前，两城镇的污水直接排入河里，现为保护环境，污水需经处理才能排放，两城镇可以单独建污水处理厂，或者联合建污水处理厂（在两城镇之间或其中一城镇建厂，用管道将污水从各城镇向污水处理厂输送），依据经验公式，建厂的费用为f（m）=25•m0.7（万元），m表示污水流量，铺设管道的费用（包括管道费）（万元），x表示输送污水管道的长度（千米）；已知城镇A和城镇B的污水流量分别为m1=3、m2=5，A、B两城镇连接污水处理厂的管道总长为20千米；假定：经管道运输的污水流量不发生改变，污水经处理后直接排入河中；请解答下列问题（结果精确到0.1）（1）若在城镇A和城镇B单独建厂，共需多少总费用？（2）考虑联合建厂可能节约总投资，设城镇A到拟建厂的距离为x千米，求联合建厂的总费用y与x的函数关系式，并求y的取值范围．20．（16分）如图，椭圆x2+=1的左、右顶点分别为A、B，双曲线Γ以A、B 为顶点，焦距为2，点P是Γ上在第一象限内的动点，直线AP与椭圆相交于另一点Q，线段AQ的中点为M，记直线AP的斜率为k，O为坐标原点．（1）求双曲线Γ的方程；（2）求点M的纵坐标y M的取值范围；（3）是否存在定直线l，使得直线BP与直线OM关于直线l对称？若存在，求直线l方程，若不存在，请说明理由．21．（18分）在平面直角坐标系上，有一点列P0，P1，P2，P3，…，P n，P n，﹣1设点P k的坐标（x k，y k）（k∈N，k≤n），其中x k、y k∈Z，记△x k=x k﹣x k﹣1，△y k=y k﹣y k，且满足|△x k|•|△y k|=2（k∈N*，k≤n）；﹣1（1）已知点P0（0，1），点P1满足△y1＞△x1＞0，求P1的坐标；（2）已知点P0（0，1），△x k=1（k∈N*，k≤n），且{y k}（k∈N，k≤n）是递增数列，点P n在直线l：y=3x﹣8上，求n；（3）若点P0的坐标为（0，0），y2016=100，求x0+x1+x2+…+x2016的最大值．2017年上海市闵行区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．方程lg（3x+4）=1的解x=2．【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】根据对数概念求解．【解答】解：∵lg（3x+4）=1，∴3x+4=10，x=2，∵故答案为：2．【点评】本题简单的考查了对数的概念，关键是把对数式化为指数式子，属于简单题目．2．若关于x的不等式（a，b∈R）的解集为（﹣∞，1）∪（4，+∞），则a+b=5．【考点】其他不等式的解法．【分析】求出a，b的值，从而求出a+b即可．【解答】解：若关于x的不等式（a，b∈R）的解集为（﹣∞，1）∪（4，+∞），则a=1，b=4或a=4，b=1，则a+b=5，故答案为：5．【点评】本题考查了不等式的解集问题，是一道基础题．3．已知数列{a n}的前n项和为，则此数列的通项公式为a n=2n﹣1．【考点】数列的求和．【分析】根据题意和公式，化简后求出数列的通项公式【解答】解：当n=1时，a1=S1=2﹣1=1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣1﹣（2n﹣1﹣1）=2n﹣1，又21﹣1=1，所以a n=2n﹣1，故答案为：a n=2n﹣1．【点评】本题考查了a n、S n的关系式：的应用，注意验证n=1是否成立．4．函数的反函数是f﹣1（x）=（x﹣1）2（x≥0）．【考点】反函数．【分析】根据反函数的定义，求出x关系y的函数，把x与y互换，可得反函数的解析式．【解答】解：函数，其定义域为{x|x≥0}．解得：x=（y﹣1）2．把x与y互换可得y=（x﹣1）2．∴函数的反函数位：f﹣1（x）=（x﹣1）2．故答案为：f﹣1（x）=（x﹣1）2．（x≥0）【点评】本题考查了反函数的求法，属于基础题．5．（1+2x）6展开式中x3项的系数为160（用数字作答）【考点】二项式定理的应用．【分析】利用通项公式即可得出．==2r，令r=3，【解答】解：通项公式T r+1可得：（1+2x）6展开式中x3项的系数==160．故答案为：160．【点评】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．如图，已知正方形ABCD﹣A1B1C1D1，AA1=2，E为棱CC1的中点，则三棱锥D1﹣ADE的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知求出△DED1的面积，然后利用等体积法求得三棱锥D1﹣ADE的体积．【解答】解：如图，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AA1=2，E为棱CC1的中点，∴，∴．故答案为：．【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积的求法，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．7．从单词“shadow”中任意选取4个不同的字母排成一排，则其中含有“a”的共有240种排法（用数字作答）【考点】排列、组合的实际应用．【分析】由题意知本题是一个分步计数问题，当选取4个字母时从其它5个字母中选3个，再与“a“全排列，有C53A44种结果．【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，当选取4个字母时从其它5个字母中选3个，再与“a“全排列，C53A44=240，即含有“a”的共有240种．故答案为240．【点评】本题考查分步计数问题，本题解题的关键是看出要选出三个字母同所给的字母进行排列，本题是一个基础题．8．集合{x|cos（πcosx）=0，x∈[0，π]}={， } （用列举法表示）【考点】三角方程．【分析】由已知得，或，由此能求出结果．【解答】解：∵集合{x|cos（πcosx）=0，x∈[0，π]}，∴，或，∴cosx=或cosx=﹣，∴x=或x=，∴集合{x|cos（πcosx）=0，x∈[0，π]}={， }．故答案为：{， }．【点评】本题考查集合的表示，是基础题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理运用．9．如图，已知半径为1的扇形AOB，∠AOB=60°，P为弧上的一个动点，则取值范围是[，] ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】结合图形，将代入进行数量积的运算，并代入∠BOP=60°﹣∠AOP 进行化简即可得出，这样，根据0°≤∠AOP ≤60°即可求出sin （∠AOP ﹣30°）的范围，即求出的取值范围．【解答】解：==cos ∠BOP ﹣cos ∠AOP=cos （60°﹣∠AOP ）﹣cos ∠AOP===sin （∠AOP ﹣30°）； 0°≤∠AOP ≤60°；∴﹣30°≤∠AOP ﹣30°≤30°；∴；∴的取值范围为．故答案为：[]．【点评】考查向量减法的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，两角和差的正余弦公式，以及不等式的性质，熟悉正弦函数的图象．10．已知x 、y 满足曲线方程，则x 2+y 2的取值范围是 [，+∞）．【考点】基本不等式．【分析】先求出y 2的范围，再令y 2=t ，t ≥，则f （t ）=2+t ﹣，根据函数的单调性即可求出范围．【解答】解：，则x 2+y 2=2﹣+y 2，∵∴y2≥设y2=t，t≥，则f（t）=2+t﹣，∴f′（t）=1+＞0，∴f（t）在[，+∞）为增函数，∴f（t）≥f（）=2+﹣2=，故则x2+y2的取值范围是为[，+∞），故答案为：[，+∞）【点评】本题考查了导数和函数的单调性的关系，属于中档题．11．已知两个不相等的非零向量和，向量组和均由2个和2个排列而成，记，那么S的所有可能取值中的最小值是（用向量、表示）【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意即可求出S的所有可能的取值，然后根据不等式a2+b2≥2ab及数量积的计算公式即可比较这些值的大小，从而找出最小值．【解答】解：根据条件得，S所有可能取值为：，，∴S的所有可能取值中的最小值为．故答案为：．【点评】考查数量积的计算公式，余弦函数的值域，以及不等式a2+b2≥2ab的运用．=a n，数列{b n}满足12．已知无穷数列{a n}，a1=1，a2=2，对任意n∈N*，有a n+2b n+1﹣b n=a n（n∈N*），若数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则满足要求的b1的值为2．【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】依题意数列{a n}是周期数咧，则可写出数列{a n}的通项，由数列{b n}满足b n+1﹣b n=a n（n∈N*），可推出b n+1﹣b n=a n=⇒，，，，…要使数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则b2=b6=b10=…=b2n﹣1，b4=b8=b12=…=b4n，可得b8=b4=3即可，【解答】解：a1=1，a2=2，对任意n∈N*，有a n+2=a n，∴a3=a1=1，a4=a2=2，a5=a3=a1=1，∴a n=∴b n+1﹣b n=a n=，∴b2n+2﹣b2n+1=a2n+1=1，b2n+1﹣b2n=a2n=2，∴b2n+2﹣b2n=3，b2n+1﹣b2n﹣1=3∴b3﹣b1=b5﹣b3=…=b2n+1﹣b2n﹣1=3，b4﹣b2=b6﹣b4=b8﹣b6=…=b2n﹣b2n﹣2=3，b2﹣b1=1，，，，，…，=b4n﹣2，，∵数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，∴b2=b6=b10=…=b2n﹣1，b4=b8=b12=…=b4n，解得b8=b4=3，b2=3，∵b2﹣b1=1，∴b1=2，故答案为：2【点评】本题考查了数列的推理与证明，属于难题．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．若a、b为实数，则“a＜1”是“”的（）条件．A．充要B．充分不必要C．必要不充分D．既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：由＞1，解得：0＜a＜1，故“a＜1”是“”的必要不充分条件，故选：C．【点评】本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，是一道基础题．14．若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】复数相等的充要条件．【分析】首先将坐标展开，然后利用复数相等解之．【解答】解：因为（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，所以4a+（a2﹣4）i=﹣4i，4a=0，并且a2﹣4=﹣4，所以a=0；故选：B．【点评】本题考查了复数的运算以及复数相等的条件，熟记运算法则以及复数相等的条件是关键．15．函数f（x）=|x2﹣a|在区间[﹣1，1]上的最大值是a，那么实数a的取值范围是（）A．[0，+∞）B．[，1]C．[，+∞）D．[1，+∞）【考点】分段函数的应用．【分析】对a讨论，分a≤0，a＞0，可得a＞0成立，由|x2﹣a|=a，可得x=0或±，由≥1，即可得到所求范围．【解答】解：若a≤0，则f（x）=x2﹣a，f（x）在[﹣1，1]的最大值为1﹣a，即有1﹣a=a，可得a=，不成立；则a＞0，由|x2﹣a|=a，可得x=0或±，由图象结合在区间[﹣1，1]上的最大值是a，可得≥1，解得a≥．故选：C．【点评】本题考查函数的最值的判断，考查分类讨论思想方法，数形结合思想，以及运算能力，属于中档题．16．曲线C1：y=sinx，曲线（r＞0），它们交点的个数（）A．恒为偶数B．恒为奇数C．不超过2017 D．可超过2017【考点】函数与方程的综合运用．【分析】根据两个曲线的图象特征，可得这两个曲线一定有一个交点是原点，但由于圆的半径不确定，故这两个曲线的交点个数不确定．【解答】解：由于圆C2：x2+（y+r﹣）2=r2（r＞0）．圆心为（0，﹣r），在横轴上，半径等于r，正弦曲线C1：y=sinx也过原点，故这两个曲线一定有交点．但由于圆的半径不确定，故这两个曲线的交点个数不确定．故选D．【点评】本题主要考查圆的标准方程、正弦函数的图象，属于基础题．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）（2017•闵行区一模）如图，在Rt△AOB中，，斜边AB=4，D是AB中点，现将Rt△AOB以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上一点，且∠BOC=90°，（1）求圆锥的侧面积；（2）求直线CD与平面BOC所成的角的大小；（用反三角函数表示）【考点】直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】（1）由圆锥的侧面积S侧=πrl，能求出结果．（2）取OB的中点E，连结DE、CE，则DE∥AO，∴DE⊥平面BOC，∠DCE是直线CD与平面BOC所成的角，由此能求出直线CD与平面BOC所成角的大小．【解答】解：（1）∵在Rt△AOB中，，斜边AB=4，D是AB中点，将Rt△AOB以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上一点，且∠BOC=90°，4×π=8π．∴圆锥的侧面积S侧=πrl=2×（2）取OB的中点E，连结DE、CE，则DE∥AO，∴DE⊥平面BOC，∴∠DCE是直线CD与平面BOC所成的角，在Rt△DEC中，CE=，DE=，tan=，∴．∴直线CD与平面BOC所成角的大小为arctan．【点评】本题考查圆锥的侧面积的求法，考查直线与平面所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．18．（14分）（2017•闵行区一模）已知，，A、B、C是△ABC的内角；（1）当时，求的值；（2）若，|AB|=3，当取最大值时，求A的大小及边BC的长．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（1）由即可求出向量的坐标，从而得出的值；（2）进行数量积的坐标运算并化简即可得出，从而看出A=时，取最大值，这样在△ABC中，根据正弦定理即可求出边BC的长．【解答】解：（1）时，；∴；（2）==；取最大值时，；又；∴在△ABC中，由正弦定理得：；即；∴．【点评】考查三角函数求值，根据向量坐标求向量长度的方法，数量积的坐标运算，以及二倍角的余弦公式，两角和的正弦公式，正弦定理．19．（14分）（2017•闵行区一模）如图所示，沿河有A、B两城镇，它们相距20千米，以前，两城镇的污水直接排入河里，现为保护环境，污水需经处理才能排放，两城镇可以单独建污水处理厂，或者联合建污水处理厂（在两城镇之间或其中一城镇建厂，用管道将污水从各城镇向污水处理厂输送），依据经验公式，建厂的费用为f（m）=25•m0.7（万元），m表示污水流量，铺设管道的费用（包括管道费）（万元），x表示输送污水管道的长度（千米）；已知城镇A和城镇B的污水流量分别为m1=3、m2=5，A、B两城镇连接污水处理厂的管道总长为20千米；假定：经管道运输的污水流量不发生改变，污水经处理后直接排入河中；请解答下列问题（结果精确到0.1）（1）若在城镇A和城镇B单独建厂，共需多少总费用？（2）考虑联合建厂可能节约总投资，设城镇A到拟建厂的距离为x千米，求联合建厂的总费用y与x的函数关系式，并求y的取值范围．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）利用已知条件直接求解在城镇A和城镇B单独建厂，共需总费用．（2）列出函数的解析式，利用平方，转化通过二次函数的最值求解即可．【解答】解：（1）分别单独建厂，共需总费用：y1=25×30.7+25×50.7≈131.1万元．（2）联合建厂，共需总费用y=25×（3+5）0.7+（0≤x≤20）令h（x）=（0≤x≤20），可得h2（x）=20+2=20+2∈[20，40]，121.5≈25×≤y≤≈127.4，y的取值范围：[121.5，127.4]．【点评】本题考查函数的实际应用，二次函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．20．（16分）（2017•闵行区一模）如图，椭圆x2+=1的左、右顶点分别为A、B，双曲线Γ以A、B为顶点，焦距为2，点P是Γ上在第一象限内的动点，直线AP与椭圆相交于另一点Q，线段AQ的中点为M，记直线AP的斜率为k，O为坐标原点．（1）求双曲线Γ的方程；（2）求点M的纵坐标y M的取值范围；（3）是否存在定直线l，使得直线BP与直线OM关于直线l对称？若存在，求直线l方程，若不存在，请说明理由．【考点】圆锥曲线的轨迹问题．【分析】（1）求由题意，a=1，c=，b=2，即可双曲线Γ的方程；（2）y M==在（0，2）上单调递增，即可求点M的纵坐标y M的取值范围；（3）求出k OM+k BP=0，可得直线BP与OM关于直线x=对称【解答】解：（1）由题意，a=1，c=，b=2，∴双曲线Γ的方程=1；（2）由题意，设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线AP的方程y=k（x+1）（0＜k＜2），代入椭圆方程，整理得（4+k2）x2+2k2x+k2﹣4=0∴x=﹣1或x2=，∴Q（，），M（﹣，）∴y M==在（0，2）上单调递增，∴y M∈（0，1）（3）由题意，k AP•k BP==4，同理k AP•k OM=﹣4，∴k OM+k BP=0，设直线OM：y=k′x，则直线BP：y=﹣k′（x﹣1），解得x=，∵k OM+k BP=0，∴直线BP与OM关于直线x=对称．【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查斜率的计算，属于中档题．21．（18分）（2017•闵行区一模）在平面直角坐标系上，有一点列P0，P1，P2，P3，…，P n，P n，设点P k的坐标（x k，y k）（k∈N，k≤n），其中x k、y k∈Z，﹣1记△x k=x k﹣x k﹣1，△y k=y k﹣y k﹣1，且满足|△x k|•|△y k|=2（k∈N*，k≤n）；（1）已知点P0（0，1），点P1满足△y1＞△x1＞0，求P1的坐标；（2）已知点P0（0，1），△x k=1（k∈N*，k≤n），且{y k}（k∈N，k≤n）是递增数列，点P n在直线l：y=3x﹣8上，求n；（3）若点P0的坐标为（0，0），y2016=100，求x0+x1+x2+…+x2016的最大值．【考点】数列与解析几何的综合．【分析】（1）由已知得|△x1|•|△y1|=2，0＜△x1＜△y1，，由此能示出P1的坐标．（2）求出p n（n，1+2n），将P n（n，1+2n）代入y=3x﹣8，能求出n．（3）y2016=△y1+△y2+…+△y2016=100，设T n=x0+x1+x2+…+x n=n△x1+（n﹣1）△x2+…+2 +△x n，由此能求出x0+x1+x2+…+x2016的最大值．△x n﹣1【解答】解：（1）∵x k∈Z，y k∈Z，∴△x k，△y k∈Z，又∵|△x1|•|△y1|=2，0＜△x1＜△y1，∴，∴x1=x0+△x1=0+1=1，y1=y0+△y1=1+2=3，∴P1的坐标为（1，3）．（2）∵，∴x n=x0+△x1+△x2+…+△x n=n，又|△x k|•|△y k|=2，△x k=1，∴△y k=±2，（k∈N*，k≤n），∵y k=y0+△y1+△y2+△y3+…+△y n，{y k}（k∈N，k≤n）是增数列，∴，∴y k=y0+△y1+△y2+△y3+…+△y n=1+2n，∴p n（n，1+2n），将P n（n，1+2n）代入y=3x﹣8，得1+2n=3n﹣8，解得n=9．（3）∵y k=y0+△y1+△y2+△y3+…+△y n，∴y2016=△y1+△y2+…+△y2016=100，设T n=x0+x1+x2+…+x n=x0+（x0+△x1）+（x0+△x1+△x2）+…+（x0+△x1+△x2+…+△x n）=n△x1+（n﹣1）△x2+…+2△x n+△x n，﹣1∵n=2016是偶数，n＞100，T n=n△x1+（n﹣1）△x2+…+2△x n+△x n≤2[n+（n﹣1）+…+2+1]=n2+n，﹣1当△y1=△y2=△y3=…=△y100=1，△y101=﹣1，…，△y n﹣1=1，△y n=﹣1，△x1=△x2=△x3=…=△x n=2时，（取法不唯一）（T n）max=n2+n，∴x0+x1+x2+…+x2016的最大值（T2016）max=20162+2016=4066272．【点评】本题考查点的坐标的求法，考查实数值的求法，考查数列的前2017项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质及构造法的合理运用．。

【上海中学】2017年高考模拟数学试卷(六)(附答案与解析)

上海中学2017年高考模拟数学试卷（六）一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12小题,每题4分. 1．函数11x y x +=-在区间[]2,5的值域是________. 2．等比数列{}n a 的首项为1a a =,公比1q ≠,则12231111n n a a a a a a ++++=…________. 3．如果奇函数()(0)y f x x =≠,当(0)x ∈+∞，时,()1f x x =-,则使(1)0f x ﹣＜的x 的取值范围是________. 4．抛物线2124y x x =+的准线方程为________. 5．34354320193111212312318⨯⨯⨯⨯⨯⨯++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯……________.6．现有甲乙两船,其中甲船在某岛B 的正南方A 处,A 与B 相距7公里,甲船自A 处以4公里/小时的速度向北方向航行,同时乙船以6公里/小时的速度自B 岛出发,向北60西方向航行,问________分钟后两船相距最近.7．有六根细木棒,,其余四根木棒长均为a ,请你用它们搭成一个三棱锥,其中较长的两条棱所在直线所成角的余弦值为________.8．若首项为1a ,公比为(1)q q ≠的等比数列{}n a 满足lim n →∞21123()=2n a q a a -+,则1a 的取值范围是________. 9．某甲A 篮球队的12名队员（含2名外援）中有5名主力队员（含一名外援）,主教练要从12名队员中选5人首发上场,则主力队员不少于4人,且有一名外援上场的概率是________.10．设复数z x yi x y =+∈R （，）且|||42|zi z =+﹣,则24x y +的最小值为________. 11．如图是正方体的展开图,其中直线AB 与CD 在原正方体中所成角的大小是________. 12．集合{}1,2,3,4,5,6S =,A 是S 的一个子集,当x A ∈时,若1xA ∉﹣,1x A +∉,则称x 为A 的一个“孤立元素”,那么S 中无“孤立元素”的4元子集的个数是________. 二、选择题（本题满分16分）本大题4小题,每题4分13．已知向量c }n {os si a αα=，,c }n {os si b ββ=，,那么（） A ．a b ⊥B ．a b ∥C ．a b a b +-⊥D ．a 与b 的夹角为αβ+14．设函数ππsin()(00)22f x A x n A ωϕωφ=+（）＞，＞，-＜＜的图象关于直线2π3x =对称,它的周期是π,则以下命题错误的是（）A ．f x （）的图象过点1(0,)2B ．f x （）在5π2π[,]123上是减函数 C ．f x （）的一个对称中心是点5π(,0)12D ．f x （）的最大值为A15．设x ,y R +∈,且1xy x y -+=（）,则（）A ．2x y +≥B ．1xyC ．21x y +）D ．2xy ≥16．已知函数1()(01)x f x a a a-=≠＞，,在同一坐标系中,1()y f x =﹣与|1|x y a =﹣的图象可能是（） A ． B ． C ． D ．三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题17．在ABC △中,角A 、B 、C 的对应边分别为a 、b 、c,若lg lg lgcos lgcos a b B A -=-. （1）判断ABC △的形状；（2）若a 、b 满足：函数3y ax =+的图象与函数13y x b =-的图象关于直线y x =对称,求边长c ． 18．已知正三棱柱111ABC A B C ﹣,底面边长2AB =,11AB BC ⊥,点O 、1O 分别是边AC ,11AC 的中点,建立如图所示的空间直角坐标系. （1）求正三棱柱的侧棱长；（2）若M 为1BC 的中点,试用基向量1AA 、AB 、AC 表示向量AM ；（3）求异面直线AM 与BC 所成角.19．双曲线2231x y =﹣与直线10axy +=﹣相交于A 、B 两点. （1）求a 的取值范围；（2）a 为何值时,90AOB ∠︒＞（其中O 为原点）.20.设()M k 是满足不等式12525log log (2625)21k x x k +⨯﹣﹣≥﹣的正整数X 的个数,记(1)(2)()S M M M n n N =++⋯+∈.（1）求S ；（2）设22552()n n t n n N -+=++-∈,试比较S 与t 的大小.21．程先生买了一套总价为80万元住房,首付30万元,其余50万元向银行申请贷款,贷款月利率0.5%,从贷款后的第一个月后开始还款,每月还款数额相等,30年还清.问程先生每月应还款多少元（精确到0.01元）. （注：如果上个月欠银行贷款a 元,则一个月后,程先生应还给银行固定数额x 元,此时贷款余额为(10.5%)a x +-元）22．如果实系数1a 、1b 、1c 和2a 、2b 、2c 都是非零常数.（1）设不等式21110a x b x c ++＞和22220a x b x c ++＞的解集分别是A 、B,试问111222a b c a b c ==是A B =的什么条件？并说明理由.（2）在实数集中,方程21110a x b x c ++=和22220a x b x c ++=的解集分别为A 和B ,试问111222a b c a b c ==是A B =的什么条件？并说明理由.（3）在复数集中,方程21110a x b x c ++=和22220a x b x c ++=的解集分别为A 和B ,证明：111222a b c a b c ==是A B =的充要条件.上海中学2017年高考模拟数学试卷（六）答案一、填空题 1．3[2,3]2．22221()n n n q a q q q ---3．,01,2∞（﹣）（） 4．5y =- 5．1330 6．30.7．3 8．33(0,)(,3)229．1339610．11．60° 12．6 二、选择题 13-16．CAAC 三、解答题： 17．解：（1）由cosB lglg cos a b A =，得cosB sin cos sin a Ab A B==，于是sin2sin2A B = 所以三角形ABC 为等腰三角形或直角三角形．（2）因为3y ax =+的反函数13y x a a =-与函数13y x b =-重合，所以3,1a b == 由（1）可知ABC △ 直角三角形，从而c =．18．解：（1）设侧棱长为b ，则11,(0,10),0,)00)(01),,,,A B b B C b ﹣,，11,{3,}AB b =，1{ }1,BC b =，∵11AB BC ⊥∴2310b -++=，b = （2）∵M 为1BC 的中点，∴1111()()22AM AC AB AA AB AC =+=++（3）设异面直线AM 与BC 所成角为α，33233(3,1,0),(,,),0022222BC AM BC AM =-==-++=，∴90α=︒19．解：（1）把直线方程1y ax =+代入双曲线方程得22(320)2a x ax ---=，22440a =->∴(a ∈≠且a （2）因为90AOB ∠>︒，所以原点在以AB 为直径的圆内，AB 中点223(,)33a a a--，圆方程为222222223244()()(1+)334(3)a a x y a a a a --+-=--- ∴222222223244()()(1+)334(3)a a a a a a -+>--- 即 2224(9)(24)(41)a a a +>+﹣ 得213a <<所以(1)(1,3)a ∈-20．解：（1）化简得21212625250k k x x +-≤﹣﹣ ∴12525k k x ≤≤﹣∴1()25251k k M k -=+﹣10211(25251)(25251)+(25252511)n n n S n -=-++-++-=++-…（2）要22626151()(25)02525555n n n n S t -+=---=> 只要525n >或5125n <即：2n >或2n <-∴当2n >时s t >；当2n =时s t =；当1n =时s t <．21．解：设程先生在第n 个月时还欠银行贷款n a 万元，每月固定还款x 万元，则110.5%)(n n a a x =+-﹣，050a =11.005()n n a k a k +=+﹣，11.0050.005n n a a k =+﹣所以200k x =-，200{}n a x -是公比为1.005的等比数列即0200(200)1.005n n a x a x =--．由3600a =得3600200(50200)1.005x x -=﹣．利用计算器可以求得0.299775x =万元，即每月还款2997.75元． 22．解：（1）若1a b c ===，1111a b c ===-，则A B ≠ 若A B ==Φ，则两个不等式的系数之间没有关系．111222a b c a b c ==是A B =的既不充分也不必要条件．（2）若A B ==Φ，则两个方程的系数之间没有关系．由于两个方程的系数对应成比例，所以两个方程式同解方程．111222a b c a b c ==是A B =的充分不必要条件．（3）111222a b c a b c ==是A B =的充要条件．由于两个方程的系数对应成比例，所以两个方程是同解方程．充分性得证．由韦达定理可以证明必要性．上海中学2017年高考模拟数学试卷（六）解析一、填空题1．【考点】34：函数的值域．【分析】由题意，求此函数的值域要先研究函数的单调性，可先对函数的解析式利用分离常数法进行恒等变形，解析式可变为y=+1，可以观察出此函数在区间[2，5]上是减函数，值域易求【解答】解：由题意y==+1，此函数在区间[2，5]上是减函数，所以有≤y≤3函数的值域是[，3]故答案为[，3]2．【考点】8E：数列的求和．【分析】先求出数列的首项和公式，然后根据等比数列的前n项和进行求解，化简即可得到结论．【解答】解：是首项为=，公比为∴==故答案为：．3．【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】由题意，可先研究出奇函数y=f（x）（x≠0）的图象的情况，解出其函数值为负的自变量的取值范围来，再解f（x﹣1）＜0得到答案【解答】解：由题意x∈（0，+∞）时，f（x）=x﹣1，可得x＞1时，函数值为正，0＜x＜1时，函数值为负又奇函数y=f（x）（x≠0），由奇函数的性质知，当x＜﹣1时，函数值为负，当﹣1＜x＜0时函数值为正综上，当x＜﹣1时0＜x＜1时，函数值为负∵f（x﹣1）＜0∴x﹣1＜﹣1或0＜x﹣1＜1，即x＜0，或1＜x＜2故答案为（﹣∞，0）∪（1，2）4．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】先把抛物线方程化为顶点式，掌握平移规律，利用标准方程的准线方程可求解．【解答】解：由题意，y=x2+2x=由于的准线方程为y=﹣1，抛物线y=x2+2x是由的图象向左平移4个单位，再向下平移4个单位∴抛物线y=x2+2x的准线方程为y=﹣5故答案为y=﹣55．【考点】8E：数列的求和．【分析】本题考查的知识点是数列求和及组合数公式，根据已知中，我们可得=C n+12，由组合数性质公式，我们可求出最终结果．【解答】解：原式=；记，数列{a n}的前19项和即为所求．记数列{a n}的前n项和为S n；注意到=C n+12，∴S19=C22+C32+C42+…+C202=C213=1330；故答案为：13306．【考点】HO：已知三角函数模型的应用问题．【分析】设经过x小时距离最小，然后分别表示出甲乙距离B岛的距离，再由余弦定理表示出两船的距离，最后根据二次函数求最值的方法可得到答案．【解答】解：假设经过x小时两船相距最近，甲乙分别行至C，D如图示可知BC=7﹣4x，BD=6x，∠CBD=120°CD2=BC2+BD2﹣2BC×BD×cosCBD=（7﹣4x）2+36x2+2×（7﹣4x）×6x×=28x2﹣28x+49，当x=小时即30分钟时距离最小故答案为：30．7．【考点】HR：余弦定理．【分析】当较长的两条棱所在直线相交时，不妨设AB=a，BC=a，AC=a，可得较长的两条棱所在直线所成角为∠ABC，再由解三角形的有关知识得到答案．当较长的两条棱所在直线异面时，无法构成满足条件的四面体．【解答】解：当较长的两条棱所在直线相交时，如图所示：不妨设AB=a，BC=a，AC=a，所以较长的两条棱所在直线所成角为∠ABC，由勾股定理可得：∠ACB=90°，所以cos∠ABC=，所以此时较长的两条棱所在直线所成角的余弦值为．当较长的两条棱所在直线异面时，无法构成满足条件的四面体．故答案为：8．【考点】6F：极限及其运算；8G：等比数列的性质．【分析】由题意可得|q|＜1且q≠0，即﹣1＜q＜1 且q≠0，=，化简可得a1=，由不等式的性质可得a1的取值范围．【解答】解：由题意可得=，=0．故有﹣1＜q＜1 且q≠0，=．化简可得a1=，故有0＜a1＜3 且a1≠，故答案为：．9．【考点】C7：等可能事件的概率．【分析】由题意可得：基本事件总数为C125=792，主力队员不少于4人，即5名队员中有主力队员4人或者5人，并且其选法分别为25种、1种，进而根据等可能事件的概率公式可得答案．【解答】解：由题意可得：主教练要从12名队员中选5人首发上场不同的选法有：C125=792种．因为主力队员不少于4人，所以5名队员中有主力队员4人或者5人，当从12名队员中选5人首发上场其中主力队员为4人并且有一名外援上场时，不同的选法共有1+C43C61=25种；当从12名队员中选5人首发上场其中主力队员为5人并且有一名外援上场时，不同的选法共有1种，所以主力队员不少于4人，且有一名外援上场的选法共有26种，所以主力队员不少于4人，且有一名外援上场的概率为：．故答案为：．10．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】根据复数的几何意义可得：|复数对应的点的轨迹方程为：x+2y﹣3=0，结合题中的条件与均值不等式可得：2x+4y=2x+22y≥2．故答案为：．【解答】解：根据复数的几何意义可得：|z﹣4i|=|z+2|表示平面内一点A到（0，4）的距离与到（﹣2，0）的距离相等，所以点A的轨迹方程为：x+2y﹣3=0．2x+4y=2x+22y≥2=2=4．故答案为：．11．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】如图：由于AB∥MC 且AB=MC，故直线AB与CD成的角等于CD与CM成的角，根据由△CMD为等边三角形，可得∠MCD=60°即为所求．【解答】解：原正方体如图所示：由于AB∥MC 且AB=MC，故直线AB与CD成的角等于CD与CM成的角．由△CMD为等边三角形，∴∠MCD=60°，故直线AB与CD在原正方体中所成角的大小是60°．故答案为：60°．12．【考点】12：元素与集合关系的判断．【分析】由S={1，2，3，4，5，6}，结合x∈A时，若有x﹣1∉A，且x+1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，我们用列举法列出满足条件的所有集合，即可得到答案．【解答】解：∵S={1，2，3，4，5，6}，其中不含“孤立元”的集合4个元素必须是：共有{1，2，5，6}，{2，3，5，6}，{3，4，5，6}，{1，2，3，4}，{1，2，4，5}，{2，3，4，5}共6个那么S中无“孤立元素”的4个元素的子集A的个数是6个．故答案为6．二、选择题13．【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】根据向量的模的计算公式可知与都是单位向量，方向任意，可判定B、D的真假，根据向量数量积可判定选项A、D的真假．【解答】解：∵=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），∴•=cosαcosβ+sinαsinβ=cos（α﹣β），•不一定为0，故选项A不正确；与都是单位向量，方向任意，故选项B不正确；=0，故选项C正确；与的夹角任意，故选项D不正确．故选C．14．【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】由周期求出ω，由函数的图象的对称性求出φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的周期是π，∴=π，∴ω=2．再根据函数的图象关于直线x=对称，可得2•+φ=kπ+，k∈Z，∴φ=，∴函数f（x）=Asin（2x+）．由于A不确定，故不能确定f（x）的图象过点，故A错误；在上，2x+∈[π，]，故f（x）在上是减函数，故B正确；令x=，求得f（x）=0，可得f（x）的一个对称中心是点，故C正确；显然，f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的最大值为A，故D正确，故选：A．15．【考点】7F：基本不等式．【分析】先根据均值不等式可知xy≤，代入xy=1+x+y中，转化为关于x+y的一元二次不等式，进而求得x+y的最小值，同理求得xy的最小值，即可得到答案．【解答】解：∵x，y∈R+，∴xy≤（当且仅当x=y时成立）．∵xy=1+x+y，∴1+x+y≤，解得x+y≥2+2或x+y≤2﹣2（舍），A符合题意，可排除C；同理，由xy=1+x+y，得xy﹣1=x+y≥2（当且仅当x=y时成立），解得≥1+或≤1﹣（舍），即xy≥3+2从而排除B，D．故选A．16．【考点】4A：指数函数的图象变换．【分析】先求出f﹣1（x）=ax+1，图象为斜率为a，在y轴上截距为1的直线，可排除A和D，B、C中由直线可知a＞1，对函数y=a|x﹣1|，分x≥1和x＜1讨论去绝对值，可选出图象．【解答】解：f﹣1（x）=ax+1，在y轴上的截距为1，排除D；又因为a≠1，排除A；B、C中由直线可知a＞1，y=a|x﹣1|，当x≥1时变为y=a x﹣1，在[1，+∞）上为增函数，故选C三、解答题17．【考点】GZ：三角形的形状判断；4R：反函数．【分析】（1）由lg及正弦定理得，则可得sin2A=sin2B，结合三角函数的性质可判断（2）由题意可得y=ax+3的反函数与函数重合，可求a，b，解答（1）的直角三角形利用勾股定理可求c18．【考点】MP：用空间向量求直线间的夹角、距离；MK：点、线、面间的距离计算．【分析】（1）利用坐标表示点，进而表示向量，借助于AB1⊥BC1，可建立方程，从而可求正三棱柱的侧棱长；（2）利用M为BC1的中点，可得，从而可解；（3）先求的坐标，利用其数量积，可求异面直线AM与BC所成角．19．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】（1）把直线方程y=ax+1代入双曲线方程得（3﹣a2）x2﹣2ax﹣2=0，利用交于A、B 两点，可知判别式大于0，故可求；（2）因为∠AOB＞900，所以原点在以AB为直径的圆外，先求圆的方程，进而可解．20．【考点】4T：对数函数图象与性质的综合应用．【分析】（1）先将原不等式化简得x2﹣26•25k﹣1x+252k﹣1≤0，利用换元法解出x的范围，从而得出正整数x的个数M（k）=25k﹣25k﹣1+1 再利用等比数列的求和公式求得S=++…+（25n﹣25n﹣1+1）即可；（2）因S﹣t=（52n﹣，只要5n＞25或5n＜，求得其等价的条件，从而得出S与t的大小与相应的n的值．21．【考点】8B：数列的应用．【分析】设程先生在第n 个月时还欠银行贷款a n万元，每月固定还款x万元，然后根据题意建立递推关系，构造新数列为等比数列，求出通项公式，根据a360=0建立方程，求出x即可得到所求．22．【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】（1）通过举反例判断出推不出A=B，反之A=B也推不出，根据充要条件的有关定义得到结论．（2）通过举反例判断出A=B，推不出两个方程的系数之间有关系，反之当两个方程的系数对应成比例，两个方程式同解方程，利用充要条件的有关定义得到结结论．（3）两个方程的系数对应成比例，所以两个方程是同解方程．充分性得证；由韦达定理可以证明必要性．。

【上海中学年】2017学年高考模拟数学年试题(一)

上海中学2017年高考模拟数学试卷（一）答案一、填空题 1．0 2．0 3．5 4．4 5．()(24)a a a a ---，，6．837．1924 8．129．11()0)({}-∞-+∞，，10．11．24 12．8.413．cos cos (2||||OB OC AB B AC COP AB AC +=++二、选择题 14-17．DDAB 三、解答题18．解：（1）∵2223cos π()cos ()sin 11sin(2)26x f x x x x x x =-∈∈=+-=-+R R ，．由于它的最小正周期为π，故2ππ=，∴1=．故π1sin(2(6))f x x -+=．（2）∵]π[0x ∈，， ∴ππ13π2[]6x +∈，．列表如下：如图：19．解：（1）设i z a b =+（a ，b R ∈且0b ≠）则i z a b =-∵||21510|z z +=+∴|()|2152i (+10)i|a b a b ++-∴2275a b +==∴||z =（2）设i z c b =+（c ，b ∈R 且0b ≠）假设存在实数a 使z aa z+∈R 则有2222()R z a c ac b ab a z a c b a c b +=++-∈++ ∴220b ab a c b-=+ ∵0b ≠∴a =由（1=∴a =±20．解：（1）11B C C A ⊥证明如下：在平面1BA 内，过1B 作1B D AB ⊥于D ， ∵1BA ABC ⊥侧面平面，∴1B D ABC ⊥平面，1B BA ∠是1BB 与平面ABC 所成的角， ∴1π2ππ33B BA ∠=-=，连接1BC ， ∵11BB CC 是菱形，∴11BC B C ⊥，1CD A B ⊥平面，1B D AB ⊥， ∴1B C AB ⊥， ∴11B C ABC ⊥平面， ∴11B C C A ⊥．（2）解：由题意及图，11111222423B ACC A B A AC A ABC V V V ---===⨯答：四棱锥11B ACC A -的体积为221．解：（1）210110%0.(1)2.8y n n n n n =+++∈N*，（2）由20.2 1.810 1.1%n n n p +≤⨯，得0.2 1.8%10 1.1n n p +≥⨯，令0.2 1.810 1.1n nn a +=⨯，由11n n nn a a a a +-≥⎧⎨≥⎩，得12n ≤≤， ∴122%11p a a ≥==， ∴20011p ≥． 22．解：（1）∵当2b =，4m =-时，()()f x g x ≥恒成立，∴2225804||28()30x x x c x x x x x ⎧-+-≥⎪≥=⎨---<⎪⎩，---，，由二次函数的性质得74c ≥-．（2）2()||32x b x --=-，即2(||)1b x x -=+有四个不同的解，∴2()(1)0x b x x =+≥﹣有两个不同解以及2()(1)0x b x x +=+<也有两个不同解，由根的分布得1b ≥且514b <<， ∴514b <<． 23．解：（1）22222220000001()201ax by aby a x x ax x a by ax x b y ⎧+=⎪⇒+-+-=⎨+=⎪⎩ 即220020ax ax x ax -+= ∴222200440a x a x ∆=-= ∴l 与椭圆C 相切．（2）逆命题：若直线l ：001ax x by y +=与椭圆C 相交，则点00()N x y ，在椭圆C 的外部．是真命题．联立方程得222220000210()aby a x x ax x by ++=﹣﹣则22222000044()0(1)a x a by ax by =+>△﹣﹣ ∴22242220000000ax by b y ax abx y -+-+> ∴22001by ax +>∴00()N x y ，在椭圆C 的外部．（3）同理可得此时l 与椭圆相离，设11()M x y ，，()A x y ，则101110111x x x y y y +⎧=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩代入椭圆C ：221ax by +=，利用M 在l 上，即01011ax x by y +=，整理得12222001112()10ax by ax by +-++-=同理得关于2的方程，类似．即1、2是222200211(0)1ax by ax by +-++-=的两根∴120+=λλ．上海中学2017年高考模拟数学试卷（一）解析一、填空题1．【考点】3Q ：函数的周期性；3L ：函数奇偶性的性质．【分析】根据()f x 是奇函数可得()()f x f x -=-，又根据()f x 是以2为周期的周期函数得()()2f x f x +=，取1x =-可求出()1f 的值．【解答】解：∵()f x 是以2为周期的周期函数， ∴1(1)()f f =-，又函数()f x 是奇函数， ∴()(111)()f f f -=-=， ∴()(0)11f f =-= 故答案为：02．【考点】A2：复数的基本概念；A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成复数的代数标准形式，根据实部和虚部互为相反数，得到实部和虚部和为0，得到结果．【解答】解：∵1(1)(1)1(1)111(1)(1)222bi bi i b b i b b i i i i ++-++-+-===+++-， ∵实部和虚部互为相反数， ∴11022b b +-+=， ∴202b=， ∴0b =，故答案为：03．【考点】DC ：二项式定理的应用．【分析】由题意可得(122)Tr Cnr x r rCnrxr +==分别令3r =，1r =可得含3x ，x 项的系数，从而可求【解答】解：由题意可得二项展开式的通项，(122)Tr Cnr x r rCnrxr +== 令3r =可得含3x 项的系数为：38Cn ，令1r =可得含x 项的系数为12Cn ∴31882Cn Cn =⨯ ∴5n = 故答案为：54．【考点】7C ：简单线性规划．【分析】先根据条件画出可行域，设2z x y =+，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y 轴上的截距，只需求出直线2z x y =+，过可行域内的点2(1)A ，时的最小值，从而得到z 最小值即可．【解答】解：设变量x 、y 满足约束条件126x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，在坐标系中画出可行域三角形，A （1，2），（4，2），C （1，5），则目标函数2z x y =+的最小值为4．故答案为：4．5．【考点】R2：绝对值不等式．【分析】把不等式转化为0||3x a a <+<-，利用绝对值不等式的几何意义，即可求出不等式的解集．【解答】解：因为0a <，则关于x 的不等式3||1ax a>+，所以不等式0||3x a a <+<-，根据绝对值不等式的几何意义：数轴上的点到a -的距离大于0并且小于3a -，可知不等式的解集为：()()24a a a a -⋃--，，．故答案为：()()24a a a a -⋃--，，． 6．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】由椭圆的定义可知12||10||PF PF +=，根据椭圆方程求得焦距，利用内切圆的性质把三角形PF 1F 2分成三个三角形分别求出面积，再利用面积相等建立等式求得P 点纵坐标．【解答】解：根据椭圆的定义可知12||10||PF PF +=，12||6F F =，令内切圆圆心为O则1212121212|||1(2|||)PF F POF POF OF F PF r PF r S S S S F F r =++++=△△△△=1212||||11(||)28PF PF F F +⋅=+=又∵12121||23PF F F F yP yP S ⋅==△．所以38yp =，83yp =．故答案为83．7．【考点】8E ：数列的求和；6F ：极限及其运算．【分析】先分奇数与偶数分别求前n 项和记为S n ，再求它们的极限．【解答】解：当2n k =时，221111[1()][1()]9924111149nnSn --=+--当21n k =+时，1221111[1()][1()]9924111149nn Sn +--=+-- ∴lim21193824n n S −−→∞=+=故答案为1924． 8．【考点】C7：等可能事件的概率．【分析】把城市A 被选中的情况和城市A 未被选中的情况都找出来，即可得到城市A 被选中的概率．【解答】解：从这八个中小城市中选取三个城市，但要求没有任何两个城市相邻，则城市A 被选中的情况有：ACE ACF ACG ACH ADF ADG ADH AEG AEH AFH 、、、、、、、、、，共10种．则城市A 未被选中的情况有：BDF BDG BDH BEG BEH BFH CEG CEH CFH DFH 、、、、、、、、、，共10种．故城市A 被选中的概率为：101=10+102，故答案为：12． 9．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】据题意设1y =22y kx =-+，画出函数1y =k 的取值范围．【解答】解：根据题意设1y =22y kx =-+，当0k =时，方程只有一个解0x =，满足题意；当0k ≠时，根据题意画出图象，如图所示：根据图象可知，当1k ->或1k -<-时，直线2y kx =-+与y = 综上，满足题意k 的取值范围为0k =或1k >或1k <-．故答案为：11()0)({}-∞-⋃+∞⋃，，．10．【考点】9S ：数量积表示两个向量的夹角；93：向量的模；HP ：正弦定理．【分析】由题意可得：|||AC BC ，设△ABC 三边分别为2，a ，三角形面积为S ，根据海仑公式得：22422162416(12128)S a a a =-+-=--+，再结合二次函数的性质求出答案即可．【解答】解：由题意可得：|||AC BC =，设△ABC 三边分别为2，a ，三角形面积为S ，所以设22a p +=所以根据海仑公式得：S 所以22422162416(12128)S a a a =-+-=--+，当212a =时，即当a =ABC 的面积有最大值，并且最大值为故答案为11．【考点】L3：棱锥的结构特征；L2：棱柱的结构特征．【分析】先把判断几何体的形状，把展开图沿虚线折叠，得到一个四棱锥，求出体积，再计算棱长为12的正方体的体积，让正方体的体积除以四棱锥的体积，结果是几，就需要几个四棱锥．【解答】解：把该几何体沿图中虚线将其折叠，使P Q R S ，，，四点重合，所得几何体为下图中的四棱锥，且底面四边形ABCD 为边长是6的正方形，侧棱PD ABCD ⊥平面，6PD =∴1666723P ABCD V =⨯⨯⨯=四棱锥﹣∵棱长为12的正方体体积为1212121728⨯⨯= ∵17282472=， ∴需要24个这样的几何体，就可以拼成一个棱长为12的正方体．故答案为2412．【考点】4R ：反函数．【分析】根据题意画出图形，如图，设()A x ax ，，函数(1)y ax a =>和它的反函数的图象与函数1y x=的图象关于直线0x y -=对称，得出点A 到直线y x =的距离为AB 的一半，利用点到直线的距离公式及()A x ax ，在函数1y x=的图象上得到18.4a =≈即可．【解答】解：根据题意画出图形，如图，设()A x ax ，，∵函数(1)y ax a =>和它的反函数的图象与函数1y x=的图象关于直线0x y -=对称，∴||AB =，⇒点A 到直线y x =x=2ax x =﹣，①又()A x ax ，在函数1y x=的图象上，⇒1ax x =，②由①②得：12x x -=⇒1x x=，∴11)2-=，⇒18.4a =≈ 故答案为：8.4．13．【考点】F3：类比推理；LL ：空间图形的公理．【分析】由题意可得：cos cos (0||||AB B AC C BC AB AC ⋅+=，即BC 与cos cos (||||AB B AC CAB AC +垂直，设D 为BC 的中点，则2OB OC OD +=，可得cos cos (||||AB B AC CDP AB AC +=λ，即可得到0BC DP ⋅=，进而得到点P 在BC 的垂直平分线上，即可得到答案．【解答】解：由题意可得：cos cos (||||0||||AB B AC CBC BC BC AB AC ⋅+=-+=∴BC 与cos cos (||||AB B AC CAB AC +垂直设D 为BC 的中点，则2OB OCOD +=，所以cos cos (2||||OB OC AB B AC COP AB AC +=++，所以cos cos (||||AB B AC C DP AB AC +=，因为BC 与cos cos (||||AB B AC CAB AC +垂直所以0BC DP ⋅=，又∵点D 为BC 的中点，∴点P 在BC 的垂直平分线上，即P 的轨迹会通过△ABC 的外心．故答案为：cos cos (2||||OB OC AB B AC COP AB AC +=++．二．选择题14．【考点】H5：正弦函数的单调性；HA ：余弦函数的单调性．【分析】可把A B C D ，，，四个选项中的值分别代入题设中进行验证，只有D 项的符合题意．【解答】解：cos2y x =在区间π[0]2，上是减函数，πsin )6π([0]3y x =+，上单调增，在ππ[]32，上单调减，故排除A ．πsin )4π([0]4y x =+，在π[0]4，单调增，在ππ[]42，上单调减，故排除B ．πsin )3π([0]6y x =+，在π[0]6，单调增，在ππ[]62，上单调减，故排除C ．(πsin )2y x =+在区间π[0]2，上也是减函数，故选D ．15．【考点】HP ：正弦定理．【分析】根据正弦定理分别求得AC 和AB ，最后三边相加整理即可得到答案．【解答】解：根据正弦定理sin sin BC AC A B =，sin sin(120)BC AB A B =- ∴sin sin BC AC B BA ==，sin(120)s 3cos inB AC B B AB B =-=∴△ABC的周长为π3cos 36sin 3)6(B B B B ++=++ 故选D ．16．【考点】IH ：直线的一般式方程与直线的性质．【分析】先根据点M 、N 在直线上，则点坐标适合直线方程，通过消元法可求得a 与c 的关系，从而可判定点)(1P c a，，1()Q b c ，和l 的关系，选出正确选项．【解答】解：∵点)(1M a b，和)(1N b c ，都在直线l ：1x y +=上 ∴11a b +=，11b c += 则11b a =-即1111a c+=- 化简得11c a += ∴点)(1P c a，在直线l 上而11b c+= 则1()Q b c，在直线l 上故选A ．17．【考点】8H ：数列递推式；8E ：数列的求和．【分析】1223111n n n a a a a a a na a ++⋯++=+，①；12231()11212n n n n n a a a a a a a a n a a ++⋯+++++=++，②；①-②，得11()12112n n n n a a na a n a a -++=+++﹣，1214n n n n a a +++-=，同理，得114n n n n a a ++-=，整理，得12211n n n a a a ++=+，1{}an是等差数列．由此能求出1297111...a a a ++．【解答】解：1223111n n n a a a a a a na a ++⋯++=+，①12231()11212n n n n n a a a a a a a a n a a ++⋯+++++=++，②①-②，得11()12112n n n n a a na a n a a -++=+++﹣，∴1214n n n n a a +++-=，同理，得114n n n n a a ++-=， ∴12111n n n n n n n n a a a a ++++--=-，整理，得12211n n n a a a ++=+， ∴1{}an是等差数列． ∵114a =，215a =， ∴等差数列1{}an 的首项是114a =，公差2111541d a a =-=-=， 14(1)13nn n a =+-⨯=+． ∴12971119796 (974150442)a a a ⨯++=⨯+⨯=．故选B ．18．【考点】HK ：由(n )si y A x =+的部分图象确定其解析式．【分析】（1）利用三角函数的恒等变换化简函数π1sin(2())6f x x =-+，再由它的周期等于π求出1=，故π1sin(2(6))f x x =-+．（2）由]π[0x ∈，，可得ππ13π2[]666x +∈，，列表作图即得所求． 19．【考点】A8：复数求模．【分析】（1）设z a bi =+(a ，b R ∈且0b ≠)则z a bi =-代入条件||21510|z z +=+然后根据复数的运||z 的值（2）对于此种题型可假设存在实数a 使z a R a z +∈根据复数的运算法则设（z c bi =+（c ，b R ∈且0b ≠））可得2222()z a c ac b ab R a z a c b a c b +=++-∈++即220b ab a c b -=+再结合0b ≠和（1）的结论即可求解． 20．【考点】MI ：直线与平面所成的角；LF ：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）判断知，B 1C 与C 1A 垂直，可在平面BA 1内，过B 1作1B D AB ⊥于D ，证明11B C ABC ⊥平面，再由线面垂直的定义得出线线垂直；（2）由图形知，111122B ACC A B A AC A ABC V V V ---==，变换棱锥的底与高后，求出它的体积即可；21．【考点】8B ：数列的应用．【分析】（1）210110%0.2( 1.8)N*y n n n n n =+++∈，（2）由20.2 1.8101.1%n n n n p +≤⋅，得0.2 1.8%10 1.1nn p +≥⨯，令0.2 1.810 1.1n n n a +=⨯，由此能求出p 的最小值． 22．【考点】3R ：函数恒成立问题．【分析】（1）将2b =，4m =-代入函数解析式，根据()()f x g x ≥恒成立将c 分离出来，研究不等式另一侧函数的最大值即可求出c 的取值范围；（2）将3c =-，2m =-代入函数解析式得2()||1x b x =+﹣有四个不同的解，然后转化成2()(1)0x b x x =+≥﹣有两个不同解以及2()(1)0x b x x +=+<也有两个不同解，最后根据根的分布建立关系式，求出b 的取值范围．23．【考点】KG ：直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）22222220000001()201ax by aby a x x ax x a by ax x b y ⎧+=⎪⇒+-+-=⎨+=⎪⎩，由根的差别式能得到l 与椭圆C 相切．（2）逆命题：若直线l ：001ax x by y +=与椭圆C 相交，则点)00(N x y ，在椭圆C 的外部．是真命题．联立方程得222220000210()aby a x x ax x by ++=﹣﹣．由22222000044()0(1)a x a by ax by =+>△﹣﹣，能求出00()N x y ，在椭圆C 的外部．（3）此时l 与椭圆相离，设11()M x y ，，()A x y ，则101110111x x x y y y +⎧=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩代入椭圆C ：221ax by +=，利用M 在l上，得222220011111()0ax by ax by +-++-=．由此能求出120+=．。

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2017年上海中学高考数学模拟试卷（6）一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12小题，每题4分．1．函数y=在区间[2，5]上的值域是．2．等比数列{a n}的首项为a1=a，公比q≠1，则=．3．如果奇函数y=f（x）（x≠0），当x∈（0，+∞）时，f（x）=x﹣1，则使f （x﹣1）＜0的x的取值范围是．4．抛物线y=x2+2x的准线方程为．5．=．6．现有甲乙两船，其中甲船在某岛B的正南方A处，A与B相距7公里，甲船自A处以4公里/小时的速度向北方向航行，同时乙船以6公里/小时的速度自B 岛出发，向北60°西方向航行，问分钟后两船相距最近．7．有六根细木棒，其中较长的两条木棒长分别为a、a，其余四根木棒长均为a，请你用它们搭成一个三棱锥，其中较长的两条棱所在直线所成角的余弦值为．8．若首项为a1，公比为q（q≠1）的等比数列{a n}满足（﹣q n）=，则a1的取值范围是．9．某甲A篮球队的12名队员（含2名外援）中有5名主力队员（含一名外援），主教练要从12名队员中选5人首发上场，则主力队员不少于4人，且有一名外援上场的概率是．10．设复数z=x+yi（x，y∈R）且|z﹣4i|=|z+2|，则2x+4y的最小值为．11．如图是正方体的展开图，其中直线AB与CD在原正方体中所成角的大小是．12．集合S={1，2，3，4，5，6}，A是S的一个子集，当x∈A时，若x﹣1∉A，x+1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，那么S中无“孤立元素”的4元子集的个数是．二、选择题（本题满分16分）本大题4小题，每题4分13．已知向量={cosα，sinα}，={cosβ，sinβ}，那么（）A．B．C．D．与的夹角为α+β14．设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的图象关于直线x=对称，它的周期是π，则以下命题错误的是（）A．f（x）的图象过点B．f（x）在上是减函数C．f（x）的一个对称中心是点D．f（x）的最大值为A15．设x，y∈R+，且xy﹣（x+y）=1，则（）A．x+y≥2+2 B．xy≤+1 C．x+y≤（+1）2 D．xy≥2+216．已知函数f（x）=（a＞0，a≠1），在同一坐标系中，y=f﹣1（x）与y=a|x ﹣1|的图象可能是（）A．B．C．D．三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题17．在△ABC中，角A、B、C的对应边分别为a、b、c，若lga﹣lgb=lgcosB﹣lgcosA．（1）判断△ABC的形状；（2）若a、b满足：函数y=ax+3的图象与函数y=x﹣b的图象关于直线y=x对称，求边长c．18．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1，底面边长AB=2，AB1⊥BC1，点O、O1分别是边AC，A1C1的中点，建立如图所示的空间直角坐标系．（1）求正三棱柱的侧棱长；（2）若M为BC1的中点，试用基向量、、表示向量；（3）求异面直线AM与BC所成角．19．双曲线3x2﹣y2=1与直线ax﹣y+1=0相交于A、B两点．（1）求a的取值范围；（2）a为何值时，∠AOB＞90°（其中O为原点）．20．设M（k）是满足不等式log25x+log25（26×25k﹣1﹣x）≥2k﹣1的正整数x的个数，记S=M（1）+M（2）+…+M（n）n∈N．（1）求S；（2）设t=5n﹣2+5n+2+n﹣2 （n∈N），试比较S与t的大小．21．程先生买了一套总价为80万元住房，首付30万元，其余50万元向银行申请贷款，贷款月利率0.5%，从贷款后的第一个月后开始还款，每月还款数额相等，30年还清．问程先生每月应还款多少元（精确到0.01元）．（注：如果上个月欠银行贷款a元，则一个月后，程先生应还给银行固定数额x 元，此时贷款余额为a（1+0.5%）﹣x元）22．如果实系数a1、b1、c1和a2、b2、c2都是非零常数．（1）设不等式a1x2+b1x+c1＞0和a2x2+b2x+c2＞0的解集分别是A、B，试问是A=B的什么条件？并说明理由．（2）在实数集中，方程a1x2+b1x+c1=0和a2x2+b2x+c2=0的解集分别为A和B，试问是A=B的什么条件？并说明理由．（3）在复数集中，方程a1x2+b1x+c1=0和a2x2+b2x+c2=0的解集分别为A和B，证明：是A=B的充要条件．2017年上海中学高考数学模拟试卷（6）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12小题，每题4分．1．函数y=在区间[2，5]上的值域是[，3] ．【考点】34：函数的值域．【分析】由题意，求此函数的值域要先研究函数的单调性，可先对函数的解析式利用分离常数法进行恒等变形，解析式可变为y=+1，可以观察出此函数在区间[2，5]上是减函数，值域易求【解答】解：由题意y==+1，此函数在区间[2，5]上是减函数，所以有≤y≤3函数的值域是[，3]故答案为[，3]2．等比数列{a n}的首项为a1=a，公比q≠1，则=．【考点】8E：数列的求和．【分析】先求出数列的首项和公式，然后根据等比数列的前n项和进行求解，化简即可得到结论．【解答】解：是首项为=，公比为∴==故答案为：．3．如果奇函数y=f（x）（x≠0），当x∈（0，+∞）时，f（x）=x﹣1，则使f （x﹣1）＜0的x的取值范围是（﹣∞，0）∪（1，2）．【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】由题意，可先研究出奇函数y=f（x）（x≠0）的图象的情况，解出其函数值为负的自变量的取值范围来，再解f（x﹣1）＜0得到答案【解答】解：由题意x∈（0，+∞）时，f（x）=x﹣1，可得x＞1时，函数值为正，0＜x＜1时，函数值为负又奇函数y=f（x）（x≠0），由奇函数的性质知，当x＜﹣1时，函数值为负，当﹣1＜x＜0时函数值为正综上，当x＜﹣1时0＜x＜1时，函数值为负∵f（x﹣1）＜0∴x﹣1＜﹣1或0＜x﹣1＜1，即x＜0，或1＜x＜2故答案为（﹣∞，0）∪（1，2）4．抛物线y=x2+2x的准线方程为y=﹣5．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】先把抛物线方程化为顶点式，掌握平移规律，利用标准方程的准线方程可求解．【解答】解：由题意，y=x2+2x=由于的准线方程为y=﹣1，抛物线y=x2+2x是由的图象向左平移4个单位，再向下平移4个单位∴抛物线y=x2+2x的准线方程为y=﹣5故答案为y=﹣55．=1330．【考点】8E：数列的求和．【分析】本题考查的知识点是数列求和及组合数公式，根据已知中2，由组合，我们可得=C n+1数性质公式，我们可求出最终结果．【解答】解：原式=；记，数列{a n}的前19项和即为所求．记数列{a n}的前n项和为S n；2，注意到=C n+1∴S19=C22+C32+C42+…+C202=C213=1330；故答案为：13306．现有甲乙两船，其中甲船在某岛B的正南方A处，A与B相距7公里，甲船自A处以4公里/小时的速度向北方向航行，同时乙船以6公里/小时的速度自B 岛出发，向北60°西方向航行，问30分钟后两船相距最近．【考点】HO：已知三角函数模型的应用问题．【分析】设经过x小时距离最小，然后分别表示出甲乙距离B岛的距离，再由余弦定理表示出两船的距离，最后根据二次函数求最值的方法可得到答案．【解答】解：假设经过x小时两船相距最近，甲乙分别行至C，D如图示可知BC=7﹣4x，BD=6x，∠CBD=120°CD2=BC2+BD2﹣2BC×BD×cosCBD=（7﹣4x）2+36x2+2×（7﹣4x）×6x×=28x2﹣28x+49，当x=小时即30分钟时距离最小故答案为：30．7．有六根细木棒，其中较长的两条木棒长分别为a、a，其余四根木棒长均为a，请你用它们搭成一个三棱锥，其中较长的两条棱所在直线所成角的余弦值为．【考点】HR：余弦定理．【分析】当较长的两条棱所在直线相交时，不妨设AB=a，BC=a，AC=a，可得较长的两条棱所在直线所成角为∠ABC，再由解三角形的有关知识得到答案．当较长的两条棱所在直线异面时，无法构成满足条件的四面体．【解答】解：当较长的两条棱所在直线相交时，如图所示：不妨设AB=a，BC=a，AC=a，所以较长的两条棱所在直线所成角为∠ABC，由勾股定理可得：∠ACB=90°，所以cos∠ABC=，所以此时较长的两条棱所在直线所成角的余弦值为．当较长的两条棱所在直线异面时，无法构成满足条件的四面体．故答案为：8．若首项为a1，公比为q（q≠1）的等比数列{a n}满足（﹣q n）=，则a1的取值范围是（0，）∪（，3）．【考点】6F：极限及其运算；8G：等比数列的性质．【分析】由题意可得|q|＜1且q≠0，即﹣1＜q＜1 且q≠0，=，化简可得a1=，由不等式的性质可得a1的取值范围．【解答】解：由题意可得=，=0．故有﹣1＜q＜1 且q≠0，=．化简可得a1=，故有0＜a1＜3 且a1≠，故答案为：．9．某甲A篮球队的12名队员（含2名外援）中有5名主力队员（含一名外援），主教练要从12名队员中选5人首发上场，则主力队员不少于4人，且有一名外援上场的概率是．【考点】C7：等可能事件的概率．【分析】由题意可得：基本事件总数为C125=792，主力队员不少于4人，即5名队员中有主力队员4人或者5人，并且其选法分别为25种、1种，进而根据等可能事件的概率公式可得答案．【解答】解：由题意可得：主教练要从12名队员中选5人首发上场不同的选法有：C125=792种．因为主力队员不少于4人，所以5名队员中有主力队员4人或者5人，当从12名队员中选5人首发上场其中主力队员为4人并且有一名外援上场时，不同的选法共有1+C43C61=25种；当从12名队员中选5人首发上场其中主力队员为5人并且有一名外援上场时，不同的选法共有1种，所以主力队员不少于4人，且有一名外援上场的选法共有26种，所以主力队员不少于4人，且有一名外援上场的概率为：．故答案为：．10．设复数z=x+yi（x，y∈R）且|z﹣4i|=|z+2|，则2x+4y的最小值为．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】根据复数的几何意义可得：|复数对应的点的轨迹方程为：x+2y﹣3=0，结合题中的条件与均值不等式可得：2x+4y=2x+22y≥2．故答案为：．【解答】解：根据复数的几何意义可得：|z﹣4i|=|z+2|表示平面内一点A到（0，4）的距离与到（﹣2，0）的距离相等，所以点A的轨迹方程为：x+2y﹣3=0．2x+4y=2x+22y≥2=2=4．故答案为：．11．如图是正方体的展开图，其中直线AB与CD在原正方体中所成角的大小是60°．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】如图：由于AB∥MC 且AB=MC，故直线AB与CD成的角等于CD与CM 成的角，根据由△CMD为等边三角形，可得∠MCD=60°即为所求．【解答】解：原正方体如图所示：由于AB∥MC 且AB=MC，故直线AB与CD成的角等于CD与CM成的角．由△CMD为等边三角形，∴∠MCD=60°，故直线AB与CD在原正方体中所成角的大小是60°．故答案为：60°．12．集合S={1，2，3，4，5，6}，A是S的一个子集，当x∈A时，若x﹣1∉A，x+1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，那么S中无“孤立元素”的4元子集的个数是6．【考点】12：元素与集合关系的判断．【分析】由S={1，2，3，4，5，6}，结合x∈A时，若有x﹣1∉A，且x+1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，我们用列举法列出满足条件的所有集合，即可得到答案．【解答】解：∵S={1，2，3，4，5，6}，其中不含“孤立元”的集合4个元素必须是：共有{1，2，5，6}，{2，3，5，6}，{3，4，5，6}，{1，2，3，4}，{1，2，4，5}，{2，3，4，5}共6个那么S中无“孤立元素”的4个元素的子集A的个数是6个．故答案为6．二、选择题（本题满分16分）本大题4小题，每题4分13．已知向量={cosα，sinα}，={cosβ，sinβ}，那么（）A．B．C．D．与的夹角为α+β【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】根据向量的模的计算公式可知与都是单位向量，方向任意，可判定B、D的真假，根据向量数量积可判定选项A、D的真假．【解答】解：∵=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），∴•=cosαcosβ+sinαsinβ=cos（α﹣β），•不一定为0，故选项A不正确；与都是单位向量，方向任意，故选项B不正确；=0，故选项C正确；与的夹角任意，故选项D不正确．故选C．14．设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的图象关于直线x=对称，它的周期是π，则以下命题错误的是（）A．f（x）的图象过点B．f（x）在上是减函数C．f（x）的一个对称中心是点D．f（x）的最大值为A【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】由周期求出ω，由函数的图象的对称性求出φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的周期是π，∴=π，∴ω=2．再根据函数的图象关于直线x=对称，可得2•+φ=kπ+，k∈Z，∴φ=，∴函数f（x）=Asin（2x+）．由于A不确定，故不能确定f（x）的图象过点，故A错误；在上，2x+∈[π，]，故f（x）在上是减函数，故B正确；令x=，求得f（x）=0，可得f（x）的一个对称中心是点，故C正确；显然，f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的最大值为A，故D 正确，故选：A．15．设x，y∈R+，且xy﹣（x+y）=1，则（）A．x+y≥2+2 B．xy≤+1 C．x+y≤（+1）2 D．xy≥2+2【考点】7F：基本不等式．【分析】先根据均值不等式可知xy≤，代入xy=1+x+y中，转化为关于x+y的一元二次不等式，进而求得x+y的最小值，同理求得xy的最小值，即可得到答案．【解答】解：∵x，y∈R+，∴xy≤（当且仅当x=y时成立）．∵xy=1+x+y，∴1+x+y≤，解得x+y≥2+2或x+y≤2﹣2（舍），A符合题意，可排除C；同理，由xy=1+x+y，得xy﹣1=x+y≥2（当且仅当x=y时成立），解得≥1+或≤1﹣（舍），即xy≥3+2从而排除B，D．故选A．16．已知函数f（x）=（a＞0，a≠1），在同一坐标系中，y=f﹣1（x）与y=a|x ﹣1|的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】4A：指数函数的图象变换．【分析】先求出f﹣1（x）=ax+1，图象为斜率为a，在y轴上截距为1的直线，可排除A和D，B、C中由直线可知a＞1，对函数y=a|x﹣1|，分x≥1和x＜1讨论去绝对值，可选出图象．【解答】解：f﹣1（x）=ax+1，在y轴上的截距为1，排除D；又因为a≠1，排除A；B、C中由直线可知a＞1，y=a|x﹣1|，当x≥1时变为y=a x﹣1，在[1，+∞）上为增函数，故选C三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题17．在△ABC中，角A、B、C的对应边分别为a、b、c，若lga﹣lgb=lgcosB﹣lgcosA．（1）判断△ABC的形状；（2）若a、b满足：函数y=ax+3的图象与函数y=x﹣b的图象关于直线y=x对称，求边长c．【考点】GZ：三角形的形状判断；4R：反函数．【分析】（1）由lg及正弦定理得，则可得sin2A=sin2B，结合三角函数的性质可判断（2）由题意可得y=ax+3的反函数与函数重合，可求a，b，解答（1）的直角三角形利用勾股定理可求c【解答】解：（1）由lg得，于是sin2A=sin2B …所以三角形ABC为等腰三角形或直角三角形．…（2）因为y=ax+3的反函数与函数重合，所以a=3，b=1 …由（1）可知△ABC为直角三角形从而…18．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1，底面边长AB=2，AB1⊥BC1，点O、O1分别是边AC，A1C1的中点，建立如图所示的空间直角坐标系．（1）求正三棱柱的侧棱长；（2）若M为BC1的中点，试用基向量、、表示向量；（3）求异面直线AM与BC所成角．【考点】MP：用空间向量求直线间的夹角、距离；MK：点、线、面间的距离计算．【分析】（1）利用坐标表示点，进而表示向量，借助于AB1⊥BC1，可建立方程，从而可求正三棱柱的侧棱长；（2）利用M为BC1的中点，可得，从而可解；（3）先求的坐标，利用其数量积，可求异面直线AM与BC所成角．【解答】解：（1）设侧棱长为b，则A（0，﹣1，0），B1（，0，b），B（，0，0），C1（0，1，b）={，1，b}，={﹣，1，b}…3 分∵AB1⊥BC1∴﹣3+1+b2=0，b=…（2）∵M为BC1的中点，∴…（3）设异面直线AM与BC所成角为α，，…，∴α=90°…19．双曲线3x2﹣y2=1与直线ax﹣y+1=0相交于A、B两点．（1）求a的取值范围；（2）a为何值时，∠AOB＞90°（其中O为原点）．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】（1）把直线方程y=ax+1代入双曲线方程得（3﹣a2）x2﹣2ax﹣2=0，利用交于A、B两点，可知判别式大于0，故可求；（2）因为∠AOB＞900，所以原点在以AB为直径的圆外，先求圆的方程，进而可解．【解答】解：（1）把直线方程y=ax+1代入双曲线方程得（3﹣a2）x2﹣2ax﹣2=0△=24﹣4a2＞0∴a∈（…（2）因为∠AOB＞90°，所以原点在以AB为直径的圆内，AB中点（圆方程为…∴（1+a2）即4（a2+9）＞（24﹣4a2）（1+a2）…得1＜a2＜3所以…20．设M（k）是满足不等式log25x+log25（26×25k﹣1﹣x）≥2k﹣1的正整数x的个数，记S=M（1）+M（2）+…+M（n）n∈N．（1）求S；（2）设t=5n﹣2+5n+2+n﹣2 （n∈N），试比较S与t的大小．【考点】4T：对数函数图象与性质的综合应用．【分析】（1）先将原不等式化简得x2﹣26•25k﹣1x+252k﹣1≤0，利用换元法解出x 的范围，从而得出正整数x的个数M（k）=25k﹣25k﹣1+1 再利用等比数列的求和公式求得S=++…+（25n﹣25n﹣1+1）即可；（2）因S﹣t=（52n﹣，只要5n＞25或5n＜，求得其等价的条件，从而得出S与t的大小与相应的n的值．【解答】解：（1）化简得x2﹣26•25k﹣1x+252k﹣1≤0∴25k﹣1≤x≤25k…∴M（k）=25k﹣25k﹣1+1 …S=++…+（25n﹣25n﹣1+1）=25n+n﹣1…（2）要S﹣t=（52n﹣…只要5n＞25或5n＜即：n＞2或n＜﹣2 …∴当n＞2 时s＞t；当n=2时s=t；当n=1时s＜t …21．程先生买了一套总价为80万元住房，首付30万元，其余50万元向银行申请贷款，贷款月利率0.5%，从贷款后的第一个月后开始还款，每月还款数额相等，30年还清．问程先生每月应还款多少元（精确到0.01元）．（注：如果上个月欠银行贷款a元，则一个月后，程先生应还给银行固定数额x 元，此时贷款余额为a（1+0.5%）﹣x元）【考点】8B：数列的应用．【分析】设程先生在第n 个月时还欠银行贷款a n万元，每月固定还款x万元，然后根据题意建立递推关系，构造新数列为等比数列，求出通项公式，根据a360=0建立方程，求出x即可得到所求．【解答】解：设程先生在第n 个月时还欠银行贷款a n万元，每月固定还款x万元，则a n=a n（1+0.5%）﹣x，a0=50 …﹣1a n+k=1.005（a n+k）﹣1a n=1.005a n+0.005k﹣1所以k=﹣200x，{ a n﹣200x }是公比为1.005的等比数列…即a n﹣200x=（a0﹣200x）•1.005n．由a360=0得0﹣200x=（50﹣200x）•1.005360．…利用计算器可以求得x=0.299775万元，即每月还款2997.75元…22．如果实系数a1、b1、c1和a2、b2、c2都是非零常数．（1）设不等式a1x2+b1x+c1＞0和a2x2+b2x+c2＞0的解集分别是A、B，试问是A=B的什么条件？并说明理由．（2）在实数集中，方程a1x2+b1x+c1=0和a2x2+b2x+c2=0的解集分别为A和B，试问是A=B的什么条件？并说明理由．（3）在复数集中，方程a1x2+b1x+c1=0和a2x2+b2x+c2=0的解集分别为A和B，证明：是A=B的充要条件．【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】（1）通过举反例判断出推不出A=B，反之A=B也推不出，根据充要条件的有关定义得到结论．（2）通过举反例判断出A=B，推不出两个方程的系数之间有关系，反之当两个方程的系数对应成比例，两个方程式同解方程，利用充要条件的有关定义得到结结论．（3）两个方程的系数对应成比例，所以两个方程是同解方程．充分性得证；由韦达定理可以证明必要性．【解答】解：（1）若a=b=c=1，a1=b1=c1=﹣1，则A≠B …若A=B=Φ，则两个不等式的系数之间没有关系．…是A=B的既不充分也不必要条件．…（2）若A=B=Φ，则两个方程的系数之间没有关系．…由于两个方程的系数对应成比例，所以两个方程式同解方程． (10)是A=B的充分不必要条件…（3）是A=B的充要条件…由于两个方程的系数对应成比例，所以两个方程是同解方程．充分性得证．…由韦达定理可以证明必要性．…2017年7月5日。