【高职高考】【代数】第一章预备知识
高等代数知识点总结
f : A B, a f (a).
如果 f (a) b B ，则 b 称为 a 在 f 下的像， a 称为 b 在 f 下的原像。 A 的所有元素
称为矩阵的行（列）初等变换。
定义（齐次线性方程组） 数域 K 上常数项都为零的线性方程组称为数域 K 上的齐次
线性方程组。 这类方程组的一般形式是
a11x1 a12 x2 a1n xn 0, a12 x1 a22 x2 a2n xn 0, ...... am1x1 am2 x2 amn xn 0.
f (x) a0 (x 1 )(x 2 )......(x n ) 证明 利用高等代数基本定理和命题 1.3，对 n 作数学归纳法。
2．高等代数基本定理的另一种表述方式
定义 设 K 是一个数域， x 是一个未知量，则等式
a0 x n a1 x n1 ...... an1 x an 0
命题 变元个数大于方程个数的齐次线性方程组必有非零解； 证明 对变元个数作归纳。 说明 线性方程组的解的存在性与数域的变化无关（这不同于高次代数方程）。事实上， 在（通过矩阵的初等变换）用消元法解线性方程组时，只进行加、减、乘、除的运算。如果
所给的是数域 K 上的线性方程组，那么做初等变换后仍为 K 上的线性方程组，所求出的解 也都是数域 K 中的元素。因此，对 K 上线性方程组的全部讨论都可以限制在数域 K 中进行。
命题 n 次代数方程在复数域C内有且恰有 n 个根（可以重复）。
命题（高等代数基本定理的另一种表述形式）给定C上两个n次、m次多项式
高等代数知识点总结精编版
第一章 代数学的经典课题
§1 若干准备知识
1.1.1 代数系统的概念 一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算，这些运算满足一定的运算法则，
则称这样的一个体系为一个代数系统。 1.1.2 数域的定义
定义（数域） 设 K 是某些复数所组成的集合。如果K中至少包含两个不同的复数，且 K 对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的，即对 K 内任意两个数 a 、b（ a 可以等于 b ）， 必有 a b K，ab K，且当 b 0时，a / b K ，则称K为一个数域。 例 1.1 典型的数域举例： 复数域 C；实数域 R；有理数域 Q；Gauss 数域：Q (i) = { a b i | a,b ∈Q}，其中 i = 1 。
第一学期第四次课
第二章 向量空间与矩阵
第一节 m 维向量空间
2.1.1 向量和m维向量空间的定义及性质
定义（向量）设 K 是一个数域。 K 中 m 个数 a1 , a2 ,......, am 所组成的一个 m 元有序数
证明 由已知，
a0 n a1 n1 ...... an1 an 0 . 两边取复共轭，又由于 a0 , a1 ,......, an R，所以
a0 n a1 n1 ...... an1 an 0 .
推论 实数域上的奇数次一元代数方程至少有一个实根。
证明 因为它的复根（非实根）必成对出现，已知它在 C 内有奇数个根，故其中必有一
在 f 下的像构成的 B 的子集称为 A 在 f 下的像，记做 f ( A) ，即 f ( A) f (a) | a A。
若 a a' A, 都有 f (a) f (a'), 则称 f 为单射。若 b B, 都存在 a A ，使得 f (a) b ，则称 f 为满射。如果 f 既是单射又是满射，则称 f 为双射，或称一一对应。
《高数》课件讲解第一章第一节《预备知识》
左邻域
M OM () M
右邻域
O 例 解不等式 x 2 x 1，并用区间表示该不等 式的解集.
解 方法一 不等式两边同时平方
x 22 x 12 .
方法二 几何意义 待解不等式要求的点 x 的集合为：
到 2 的距离小于它到1 的距离. 当x 1 时 , x 到 2 的距离小于 x 到1 的距离.
三、区间与邻域
1. 常用数集的表示法: 自然数集 (非负整数集) N {0, 1, 2, , n, }; 整数集 Z { , n, , 2, 1, 0, 1, 2,, n, };
有理数集
Q
p
q
pZ, qN,q
0,
且
p 与q 互质;
实数集 R; 复数集 C; 正整数集 N ;
排除了零的实数集 R*;
端点为无限的区间表示及其含义： [a, ) {x a x } {x x a} ;
Oa
x
无
(,a) {x x a} {x x a} ;
限 区
Oa x
间
(, ) R {x x } .
4. 邻域:
(1) x0 的 邻域:
O (x0 ) (x0 , x0 ) x x x0 , 0
1 O 1 2 P x
二、实数的绝对值及其基本性质
定义1.1 设 x 是一个实数，则 x 的绝对值定义为
x
x, 当x x，当x
0时 0时
注1：绝对值 x 的几何意义是：
x 表示点x 到O的距离, 而 x y 则表示点x 与点 y
之间的距离 . 注2：设a 0 , 不等式 x a 表示点 x 到原点的距离小
由性质 3 可得 x x x， y y y
因此
高数一基础知识
高数（一）的预备知识第一部份 代数部份 （一）、基础知识：1．自然数：0和正整数（由计数产生的）。
2．绝对值：aa a ⎧=⎨-⎩00a a ≥∠3．乘法公式（）()22(±)22±22 a 33=()(a 22)a 33=()(a 22)4.一元二次方程（1）标准形式：a 20(2)解的判定：2240,40,0,b ac b ac ⎧∆=-〉⎪∆=-=⎨⎪∆〈⎩有两个不同的实数根有两个相同的实数根无实数根（3）一元二次根和系数的关系：（在简化二次方程中） 标准形式：x2设X1、X2为x2(x)0的两个根，则；1212pqx x x x +=-⎧⎨⋅=⎩ （4）十字相乘法： （二）指数和对数1．零指数与负指数：0(1)0,1;1(2)nna a x x -⎧≠=⎪⎨=⎪⎩则 2．根式与分数指数：（1）1na= （2）m na=3．指数的运算（a>0>0,() ∈R ）;(1)x yx ya a a+⋅= (2)()m n m n a a ⋅=(3)x y x y a a a -÷=(4)()n n n a b a b ⋅=⋅4．对数：设,xa N X N =则称为以a 为底的对数, 记作：, ，;5．对数的性质(1)· (2) loglog log a a MM N N=- (3)log log xa a N x N=⋅(4)换底公式：log log log a b a NN b=（5）log ln ,aN x a N e x =⇒= （三）不等式1．不等式组的解法：（1）分别解出两个不等式，例2153241X XX X -<-⎧⎨->-⎩（2）求交集 2、绝对值不等式（1）;X a a X a ≤⇒-≤≤（2）;X a X a X a ≥⇒≥≤-或3、1元2次不等式的解法：（1）标准形式：200ax bx c ++≥≤（或）（2）解法：00122⎧⎪⎨⎪⎩ 解对应的一元次方程判解：0a a ⎧⎪⎨⎪∆⎩①若与不等式同号，解取根外；②若与不等式异号，解取根内；③若无根（＜），则a 与不等式同号； 例：（1）2560;x x -+≥ （2）2320;x x -+＜ （四）函数1、正、反比例函数：y kx = ， 1y x=2、1元2次函数：2y ax bx c =++ （a ≠0）顶点：2424b ac b a a -（-,）； 对称轴：2b x a=- ； 最值：244ac b y a -=；图像：（1）a ＞0,开口向上；（2）a ＜0,开口向下； 3、幂函数：n y x = （1,2,3）；4、指数函数：x y a = （xe ）；5、对数函数： x第二部分 三角（一）角的概念 1、正角、负角2、角度与弧度的关系：0180π= 01180π=4、锐角的三角函数关系：222a b c += s i n b a c =cos a a c = b a ab5、任意角的三角函数sin y r α=αx r αyxαx y α1c o s α α1s i n α6、三角函数符号7．特殊角的三角函数值：00 300 450600900 1800 2700α0 1/2/2 21-1α 1/2/21/2 0 -10 α 0/3 1∞∞α∞13 0∞(二)三角变换1．倒数关系α·α1 α·α1α·α1α1cos αα1sin αα1tan α2. 平方关系的22sin cos 1αα+=22tan 1s ee αα+=22cot 1csc αα+=；3．诱导公式：（1）同名函数的：—α，1800±α，3600±α，K ·360+α的三角函数值等于角α的三角函数值；符号采用把X 当作锐角时原角所在象限原函数的符号。
高等数学一预备知识PPT课件
x a 0 x a 0 b x 0 或 b x 0
故 axb ,即函数的定义域为 [a,b]
.
29
2.2函数表示法
常用的表示方法有: 表格法、图示法、解析法(也叫公式法).
用解析法表示的函数可以由一个数学式子
给出, 也可以在其定义域的不同部分用不同的 数学式子表示,用这种方式表示的函数称为 分段函数.
为了使表达式有意义,常遇到的四种情况是: (1)分式中的分母不能为零; (2)偶次方根号下的表达式不能为负值; (3)对数的真数必须大于零; (4)反正弦、反余弦后面的表达式的绝对值小于
等于1.
.
26
例1 已知函数 yf(x) 3 1x2
,求 f (1), f (1) x
解 f(1) 3 3, 1(1)2 2
.
15
1.2 区间与邻域
(1) 实数集的构成
(2) 实数的点的表示
数轴：
b
a
X
O1
1.2 区间与邻域 (3) 区间 是指介于某两个实数之间的全体实数.
这两个实数叫做区间的端点. 设 a, b ∈R , 且 a ＜ b.
集合 {xaxb} 称为开区间, 记作 (a,b)
oa
b
x
集合 {xaxb} 称为闭区间, 记作 [a,b]
总收益函数和总成本函数之差 L (x)R (x)C (x)
称为总利润函数.
.
35
例10 某民营企业的固定成本为12000元，每单位产出 的可变成本为10元，产品的售价为每单位30元，求 （1）固定成本函数；（2）可变成本函数；（3）总 成本函数；（4）总收益函数；（5）总利润函数。
(完整版)职高数学各章节知识点汇总
p q ， p 是 q 的充要条件， q 是 p 的充要条件。
第二章 不等式
一、不等式的基本性质： 1、加法法则： 2、乘法法则： 3、传递性： 4、移项： 二、一元二次不等式的解法
b2 4ac
二次函数
y ax2 bx c (a 0)的图象
0
y
x1 o x2 x
0
y
0
y
o x1=x2 x
2
2
2
九、三角函数性质： 函数
定义域
值域 周期 奇偶性
ｙ＝sinx
Ｒ
【－１,１】
2
奇函数
y=cosx
Ｒ
【－１,１】
2
偶函数
y=tanx
( k , k )
2
2
Ｒ
奇函数
6
单调性 最值
[ 2k , 2k ],增函数
2
2
[ 2k , 3 2k ],减函数
2
2
当 x 2k 时取最大值１ 2
o
x
1
一元二次方程
ax2 bx c 0 (a 0)的根
ax2 bx c 0 (a 0)的解集
ax2 bx c 0 (a 0)的解集
有两个不等的实根
x1, x2 (x1 x2 )
x | x x1或x x2
有两个相等的实根
x1
x2
b 2a
x |xb ax | x1 x x2
当 x 2k 时取最小值-１ 2
[ 2k ,2k ], 增函数
[2k , 2k ], 减函数
当 x 2k 时取最大值１ 当 x 2k 时取最小值-
１
( k , k )
2
2
上是增函数
有关线性代数的预备知识
集合常用的运算
• 交 由属于集A又属于集B的元构成的集，
• • 称A与B的交集，记 A∩B
• 并 由属于集A或属于集B的元构成的集，
称A与B的并集，记
A∪B
• 补 • 笛卡儿积
定义1 映射 定义2 单映射 满映射 定义3 双射
1.2 数域
定义1 封闭 定义2 数域 定理 任何数域都包含有理数域。
1.3 排列与对换
定义1 由n个数码1,2，...，n作成的排列， 称为n级排列 排列 在任一个n级排列中，总有较大的数码 排在较小的数码前面，此时称为这两个 数码构成一个逆序 逆序。排列中逆序的总数 逆序 称该排列的逆序数 逆序数。 逆序数
定义2 逆序数为偶数的排列成偶排列 偶排列，逆 偶排列 序数为奇数的排列称奇排列 奇排列。 奇排列 定理1.3.1 任一个n级排列都可经一系列对 换与n级自然排列互变。 推论 任何两个n级排列都可经一系列对换 n 互变。 定理1.3.2 每次对换都改变排列的奇偶性。 推论 在所有n级排列中，奇排列的个数与 偶排列的个数相等。
第一章 预备知识
集合与映射
集合是一个描述性的概念，一些事物的总体称为集 集合 合或集，称事物为元素或元。 若集A的任意元都是集B的元，则称A包含于B，或称 A是B的子集，记为 A ⊆ B 当A ⊆ B且A ⊇ B 时就称A与B相等 相等 不含任何元的集称为空集 空集，记为 空集
φ
本教材常用的符号有： N 表示自然数集 Z 表示整数集 Q 表示有理数集 R 表示实数集 C 表示复数集
1.4 有理系数多项式的有理根
所要了解的内容： • 有理多项式 • 相等 • 因式分解 • 定理证明及应用
新教材高中数学第一章预备知识1.3第2课时全集与补集课件北师大版必修第一册
[跟踪训练]
1．设集合 U＝R ，M＝{x|x＞2 或 x＜－2}，则∁UM＝
A．{x|－2≤x≤2} C．{x|x＜－2 或 x＞2}
B．{x|－2＜x＜2} D．{x|x≤－2 或 x≥2}
()
解析：如图，在数轴上表示出集合 M，可知∁UM＝{x|－2≤x≤2}．
答案：A
2．设集合 M＝{x|－1≤x<2}，N＝{x|x－k≤0}，若∁R M⊇∁R N，则 k 的取值范围是 ________． 解析：由∁R M⊇∁R N，可知 M⊆N，则 k 的取值范围为 k≥2. 答案：{k|k≥2}
2．某市场调查公司为了解某市市民在阅读报纸方面的取向，抽样调查了 500 位市民， 调查结果显示：订阅日报的有 334 人，订阅晚报的有 297 人，其中两种都订的 有 150 人(假定只有这两种报纸)．试问： (1)只订日报不订晚报的有多少人？ (2)只订晚报不订日报的有多少人？ (3)至少订一种报纸的有多少人？ (4)有多少人不订报纸？
A．{0}
B．{1}
C．∅
D．{0，1}
答案：D
2．设全集为 U，M＝{0，2，4}，∁UM＝{6}，则 U＝
A．{0，2，4，6}
B．
答案：A
() ()
补集的简单运算
[例 1] (链接教科书第 10 页例 7)(1)设集合 U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{2，4}，
交集、并集、补集的综合运算
[例 2] (链接教科书第 10 页例 8)已知全集 U＝{x|x≤4}，集合 A＝{x|－2＜x＜ 3}，B＝{x|－3≤x≤2}．
(1)求 A∩B，(∁UA)∪B，A∩(∁UB)； (2)求∁U(A∪B)和∁U(A∩B)． [解] (1)A∩B＝{x|－2＜x≤2}， (∁UA)∪B＝{x|x≤2 或 3≤x≤4}， A∩(∁UB)＝{x|2＜x＜3}． (2)∁U(A∪B)＝{x|x＜－3 或 3≤x≤4}． ∁U(A∩B)＝{x|x≤－2 或 2＜x≤4}．
_新教材高中数学第一章预备知识1
1 2＋
3＝（
2＋
3－ 2 3）（ 3－
2）＝
3－
2＜5，
所以1a∈A.
答案：ACD
2．用∈，∉填空： 已知集合 A 中的元素 x 是被 3 除余 2 的整数，则有：17________A， －5________A.
解析：由题意可设 x＝3k＋2，k∈Z ，
令 3k＋2＝17，得 k＝5∈Z .所以 17∈A. 令 3k＋2＝－5，得 k＝－73∉Z .所以－5∉A. 答案：∈ ∉
第一
章
预备知识
§1 集合 1．1 集合的概念与表示
新课程标准解读
核心素养
1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于 数学抽象、逻辑推理
关系
2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上， 用符号语言刻画集合
数学抽象
第 1 课时 集合的概念
中国共产党第十九届中央委员会第五次全体会议，于 2020 年 10 月 26 至 29 日在北京召开．
解析：A 不正确．反例：a＝1∈N ，1a＝1∈N . 答案：BCD
()
4．已知集合 A 中含有两个元素 a－3 和 2a－1，若－3∈A，则实数 a 的值为 ________． 解析：若－3＝a－3，则 a＝0，此时集合 A 中含有两个元素－3，－1，符 合题意；若－3＝2a－1，则 a＝－1，此时集合 A 中含有两个元素－4，－3， 符合题意．综上所述，实数 a 的值为 0 或－1. 答案：0 或－1
B．π的近似数
C．大于 1 的实数
D．参加建党 100 周年表彰大会的代表 解析：任给一个实数，要么大于 1，要么不大于 1，具有确定性，故 C 中的对
象可以组成集合，而 A、B 中的对象不具有确定性，不能构成集合．D 中的对
中职高考数第一章 预备知识
.#$,/ ./$,() .)&$,$$& .## , .$*
.!$,)' .)-$,)-.)'$,$&' .!# , .'!
.&$,$& .))$,)$) .)*$,$(/ .&# , .)$&
.'$,#' .)$$,)!! .$&$,'$& .'# , .$)'
+ 5 #-#*#'*#< *#
6
第一章 预备知识
! " ! # $ % & ' !
("# #$
$
%
&
'
)
*
#% " #$
+'
& $'
& $
%
& $
#
%
"
,
#$
& ($
'
& ($
%
& ($
#% " #$
- %
&, $
%
& ($
!""# #$
$%
&'
& $
,(
& $
# ( #) # . % & ' ) * &%#) + ' &'&'&%&&a# $ % & ' &
(
(*+#,$#
.
高职高考数学主要知识点最新版
高职高考数学主要知识点最新版第一部分：基础知识1.数与代数-基本运算：加减乘除、整数求模运算-数的性质：整数的奇偶性、有理数的判断、实数的比较-代数式的基本性质：代数式的化简、代数式的乘除法、分配率2.函数与方程-函数的概念与性质：定义域、值域、图像、奇偶性、单调性、周期性-函数的运算：加减乘除、复合函数、反函数-方程与不等式：一元一次方程、一元一次不等式、一元一次方程组第二部分：几何知识1.平面几何-直线与角：垂直、平行、相交、同位角、对顶角、内错角-三角形：三角形的性质、三角形的判定、三角形的相似、三角形的面积-圆与圆周角：圆的性质、圆周角、弧长、扇形、内切圆、外接圆-四边形：四边形的性质、平行四边形、矩形、菱形、正方形-空间几何：点、线、面的关系、平行线与平面的判定、正交线、点到平面的距离2.立体几何-平面与直线的位置关系：直线与平面的位置关系、两平面的位置关系、直线的投影-空间图形的计算：点、线、面的坐标、距离、角度-空间几何体的计算：立方体、长方体、棱柱、棱锥、棱台、圆锥、圆柱、球体第三部分：数据与概率1.数据统计-数据的收集与整理：频率、频数、频率分布表、直方图、折线图-数据的描述：均值、中位数、众数、极差、四分位数、箱线图-数据的分析：相关性、回归分析、变量的独立性2.概率与统计-概率的概念：样本空间、事件、概率计算、事件的相互关系-随机变量与概率分布：离散型随机变量、连续型随机变量、期望与方差、正态分布、泊松分布第四部分：应用题1.可视化问题：图形的绘制与解读、统计图表的分析与应用2.实际问题求解：题型包括比例问题、利润与成本问题、人工与时间问题、利息与折旧问题、工程应用问题等3.数学建模：问题的数学描述、建立数学模型、求解模型、评价模型的合理性以上是高职高考数学主要知识点的最新整理，希望对你的学习有所帮助。
不同学校和地区的课程设置可能有所不同，建议根据自己的学校教材和考试大纲进行学习和复习。
高等数学预备知识
第一章 预备知识高等数学是研究变量的科学，恩格斯曾说过：“数学中转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学。
有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了。
”变量与变量之间的联系就是函数关系。
本章从集合、映射的概念出发引出函数、反函数的概念，接着介绍三角函数、反三角函数等重要函数的概念与性质，最后简单介绍极坐标系、二阶及三阶行列式的有关内容。
第一节 函数世界是普遍联系的，数学则是揭示事物之间数量联系的工具。
例如：水的沸点随海拔的增高而变化，圆的面积与其半径有关等等。
这些现象、规律都是变量与变量之间函数关系的反映。
函数的概念是建立在集合、映射上的。
下面介绍集合、映射的概念。
一、函数的概念1. 集合概念集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A , B , C ….等表示.元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a 是集合M 的元素表示为a ∈M .集合的表示可采用列举法或描述法。
所谓列举法是把把集合的全体元素一一列举出来. A ={a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n }；而描述法是指若集合M 是由元素具有某种性质P 的元素x 的全体所组成, 则M 可表示为M ={x | x 具有性质P }.例如圆心在原点的单位圆上的点构成的集合表示为：{(x , y )| x , y 为实数, x 2+y 2=1}. 下面是高等数学中常用的几个数集:N 表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集.N ={0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n , ⋅ ⋅ ⋅}. N +={1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n , ⋅ ⋅ ⋅}. R 表示所有实数构成的集合, 称为实数集. Z 表示所有整数构成的集合, 称为整数集. Z ={⋅ ⋅ ⋅, -n , ⋅ ⋅ ⋅, -2, -1, 0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n , ⋅ ⋅ ⋅}.Q 表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集. 2. 映射的概念映射： 设,X Y 是两个非空集合, 如果存在一个法则f , 使得对X 中每个元素x , 按法则f , 在Y 中有唯一确定的元素y 与之对应, 则称f 为从X 到Y 的映射, 记作:f X Y →其中y 称为元素x (在映射f 下)的像, 并记作()f x , 即()y f x =, 而元素x 称为元素y (在映射f 下)的一个原像; 集合X 称为映射f 的定义域, 记作f D , 即f D X = X 中所有元素的像所组成的集合称为映射f 的值域, 记为f R , 或()f x , 即 (){()|}f R f X f x x X ==∈需要注意的问题:(1)构成一个映射必须具备以下三个要素: 集合X , 即定义域f D X =; 集合Y , 即值域的范围: f R Y ⊂; 对应法则f , 使对每个x X ∈, 有唯一确定的()y f x =与之对应. (2)对每个x X ∈, 元素x 的像y 是唯一的; 而对每个f y R ∈, 元素y 的原像不一定是唯一的; 映射f 的值域f R 是Y 的一个子集, 即Rf Y ⊂, 不一定f R Y = . 例1设:f R R →, 对每个x R ∈,()f x x =.显然, f 是一个映射f D R =, 值域{|0}f R y y =≥, 它是R 的一个真子集. 对于f R 中的元素y , 除0y =外, 它的原像不是唯一的. 如1y =的原像就有1x =和1x =-两个. 满射、单射和双射:设f 是从集合X 到集合Y 的映射, 若f R Y =, 即Y 中任一元素y 都是X 中某元素的像, 则称f为X 到Y 上的映射或满射; 若对X 中任意两个不同元素12x x ≠, 它们的像12()()f x f x ≠, 则称f 为X 到Y 的单射; 若映射f 既是单射, 又是满射, 则称f 为一一映射(或双射).图1-1清楚地表明单射、满射、双射之间的关系.双射（单射与满射） 单射但非满射 满射但非单射 非满射非单射图1-1 逆映射与复合映射 设f为X 到Y 的单射, 则由定义, 对每个f y R ∈ , 有唯一的x X ∈, 适合()f x y =,于是, 我们可定义一个从Rf 到X 的新映射g , 即:f g R X →对每个f y R ∈, 规定()g y x =, 这x 满足()f x y =. 这个映射g 称为f 的逆映射, 记作1f-, 其定义域1g f D R -=, 值域1f R X -= .按上述定义, 只有单射才存在逆映射. 设有两个映射 12:,:g X Y f Y Z →→，其中12Y Y ⊂.则由映射g 和f 可以定出一个从X 到Z 的对应法则，它将每个x X ∈映成[()]f g x Z ∈.显然，这个对应法则确定了一个从X 到Z 的映射，这个映射称为映射g 和f 构成的复合映射，记作f g ，即 :f g X Z → ，()()[()],f g x f g x x X =∈如图1-2所示。
新教材高考数学一轮复习第1章预备知识第1节集合课件新人教A版
D 解析：因为 2 2不是自然数，所以 a A．
4．已知集合 A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|0<x≤4}，则 A∪B＝( )
A．[－1,4]
B．(0,3]
C．(－1,0]∪(1,4]
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱD．(－1,0]∪(1,4]
A 解析：A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，所以 A∪B＝ {x|－1≤x≤4}．
命题解读 考查形式：一般为一个选择题或两个选择题． 考查内容：集合的概念及集合的运算、充分必要条件的判定、一元 二次不等式的解法． 备考策略：(1)熟练掌握集合的基本运算，以及相关不等式的解法． (2)重视基础知识的复习，熟悉在不同知识背景下对充分必要条件的 判定． (3)注意对利用基本不等式求最值方法的总结和归纳． 核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算.
符号语言
集合 A 是集合 B 的子集，且集 真子
合 B 中至少有一个元素不在集 _A__B__(或___B__A__) 集
合A中
集合 集合 A，B 中的元素相同或集合 相等 A，B 互为子集
_A_＝__B__
Venn 图
与子集有关的性质 (1)若有限集 A 中有 n 个元素，则 A 的子集有 2n 个，真子集有(2n －1)个，非空真子集有(2n－2)个． (2)子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C. (3)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅.
3．若集合 A＝{x∈N|x≤ 10}，a＝2 2，则下面结论中正确的是( )
A．{a}⊆A
B．a⊆A
C．{a}∈A
D．a A
D 解析：因为 2 2不是自然数，所以 a A．
3．若集合 A＝{x∈N|x≤ 10}，a＝2 2，则下面结论中正确的是( )
2023职教高考数学代数知识点
代数知识点汇总一、集合之间的关系：元素∈∉集合集合⊆= 集合子集：真子集概念集合子集的个数：2n真子集的个数 2n-1写出集合A={a，b，c}的子集、真子集。
空集：∅{0} 两者关系区别空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
二、集合的运算交∩：找共同的部分并∪：涉及到的范围补∁U A：在全集中去掉A中的元素剩余的遇见范围的题目，画数轴。
数轴左小右大，有等于实心，没等于空心以上考1个题目三、充要条件1、充分条件：p⇒q，如果p，那么q是正确的。
2、必要条件：p⇒q，如果q，那么p是正确的。
3、充要条件：p⇒q，如果p，那么q是正确的，如果q，那么p也是正确的。
4、既不充分也不必要注：小范围推出大范围以上考1个题目四、逻辑用语⌝任意∀存在∃∧且∨或非都满足满足一个即可相反所有都满足有一个即可以上考1个题目五、一元二次方程公式法：配方法：①将x2的系数化为1（同除x2系数a②带x的项放一侧，数放一侧③等式两边加x系数一半的平方④写成平方（x+b/2）2⑤（）2直接去掉，数开平方取正负⑥计算出x1和x2六、不等式的性质1、不等式两边同时加上减去同一个数，不等号不变2、不等式两边同时乘以或者除以一个正数，不等号不变3、不等式两边同时乘以或者除以一个负数，不等号改变注意：平方、开方，取倒数等（正负数问题）七、不等式的解法不等式组的解法：解各个不等式，结果求交集绝对值不等式解法：|x|≤m -m≤x≤m|x|≥m x≥m或x≤-m把绝对值号里面的看成一个整体例如：|x+2| 用x+2代替x一元二次不等式的解：1、x放一侧，数放一侧2、x配方例如（x+3）2≦93、平方变绝对值|x+3|，另外一侧开方取正3 变为|x+3|≦34、解绝对值不等式以上考1-2个题目八、函数的概念及其表示（定义域，法则，值域，函数求值问题）1.函数三要素：定义域、法则，值域2函数表示：解析法，列表法，图像法3.函数定义域（求定义域：分母，偶次根号，真数）4.分段函数（求值问题）九、函数的性质（定义域，值域，增减函数，增减区间，奇偶函数）1给定区间求值域，或者求最值问题2函数的单调性：（增减区间单调区间，函数值的比较大小，证明函数单调性）①取值，在给定区间上任取两个不相等的变量x1x2，则△x=x1-x2②计算△y=y1-y2③判断△y△x的符号，大于0增函数，小于0减函数3函数的奇偶性：（判断证明函数的奇偶，已知函数是奇或偶函数运用齐性质）①定义域是否对称（不对称非奇非偶）②求f（-x）与f（x）相等是偶函数，互为相反数为奇函数以上考1-2个题目十、二次函数（图像，性质，求解析式）数形结合，增减区间，最值，偶函数，顶点，与x轴y轴交点以上考1个题目（简答题概率比较大）十一、指对函数的运算（指对函数转换运算，定义域，）基本运算：a0=1；a-n=1/a n; a mn=√a mn指数运算：a m*a n=a m+n; a ma n=a m−n; (a m)n=a mn; (ab)m=a m b m;(a b )n=a nb n;(ab)n=(ba)−n对数的基本运算：log a1=0；log a a=1 a b=N⇔log a N=b 对数运算：log a M+log a N=log a MN; log a M−log a N=log a M Nlog a M N=Nlog a M; log a m b n=nmlog a b换底公式：log a b=log c blog c a。
_新教材高中数学第一章预备知识4
一元二次不等式及其解法新课程标准解读核心素养1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实数数学抽象、直观想象、逻辑推理根的存在性及实数根的个数2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求数学抽象、数学运算解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相直观想象、数学建模应函数、方程的联系城市人口的急剧增加使车辆日益增多，需要通过修建立交桥和高架道路，以提高车速和通过能力．城市环线和高速公路网的连结也必须通过大型互通式立交桥进行分流和引导，保证交通的畅通．城市立交桥已成为现代化城市的重要标志．为了保证安全，交通部门规定，在立交桥的某地段的运行汽车的车距d正比于速度v的平方与车身长(单位：m)的积，且车距不得少于半个车身，假定车身长均为l(单位：m)，当车速为60(单位：km/h)时，车距为1.44个车身长．[问题] 在交通繁忙时，应规定怎样的车速，才能使此处的车流量最大？知识点一一元二次不等式的概念1．定义：形如ax2＋bx＋c>0，或ax2＋bx＋c<0，或ax2＋bx＋c≥0，或ax2＋bx＋c≤0(其中x为未知数，a，b，c均为常数，且a≠0)的不等式叫作一元二次不等式．2．解集：使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集．一元二次不等式概念中的关键词(1)一元，即只含一个未知数，其他元素均为常数(或参数)；(2)二次，即未知数的最高次数必须为2，且其系数不能为0.下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4<0；②x2＋mx－1>0；③ax2＋4x－7>0；④x2<0.其中一定为一元二次不等式的有________．(填序号)答案：②④知识点二一元二次不等式的求解方法函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与方程ax2＋bx＋c＝0的实数根、不等式ax2＋bx＋c ＞0和ax2＋bx＋c＜0的解集之间的关系：y ＝ax2＋bx＋c(a＞0)方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0方程ax2＋bx＋c＝0的实数根x1，2＝－b ±b2－4ac2a(x1<x2)x1＝x2＝－b2a无实数根函数y＝ax2＋bx＋c的图象不等式ax2＋bx＋c>0的解集{x|x<x1，或x>x2}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪⎪x≠－b2aR不等式ax2＋bx＋c<0的解集{x|x1<x<x2}∅∅从两个角度看三个“二次”之间的内在联系(1)函数的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0表示一元二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0，图象在x轴的上方；一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集即一元二次函数图象在x轴上方部分的自变量的取值范围；(2)方程的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．当Δ＝0时，不等式ax2＋bx＋c≥0(a>0)与ax2＋bx＋c≤0(a>0)的解集分别是什么？提示：R ，⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝－b 2a .1．不等式3＋5x －2x 2≤0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＞3，或x ＜－12B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12≤x ≤3 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≥3，或x ≤－12D ．R 答案：C2．不等式3x 2－2x ＋1＞0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1＜x ＜13B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪13＜x ＜1 C ．∅ D ．R答案：D3．不等式x 2－2x －5＞2x 的解集是________． 答案：{x |x ＞5或x ＜－1}不含参数的一元二次不等式的解法(1)2x 2＋7x ＋3＞0； (2)－4x 2＋18x －814≥0；(3)－2x 2＋3x －2＜0.[解] (1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，所以方程2x 2＋7x ＋3＝0有两个不等实根x 1＝－3，x 2＝－12.又一元二次函数y ＝2x 2＋7x ＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＞－12，或x ＜－3.(2)原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －922≤0，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝94.(3)原不等式可化为2x 2－3x ＋2＞0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x 2－3x ＋2＝0无实根，又一元二次函数y ＝2x 2－3x ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)化标准：通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，二次项系数为正；(2)判别式：对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式；(3)求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根；(4)画草图：根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图；(5)写解集：根据图象写出不等式的解集．[跟踪训练]1．不等式x(x－9)＜x－21的解集为( )A．(3，7) B．(－∞，3)∪(7，＋∞)C．(－7，－3) D．(－∞，－7)∪(－3，＋∞)解析：选A x(x－9)＜x－21，即x2－10x＋21＜0，即(x－3)(x－7)＜0，解得3＜x＜7.故选A.2．下列四个不等式中解集为R的是( )A．－x2＋x＋1≥0 B．x2－25x＋5＞0C．x2＋6x＋10＞0 D．2x2－3x＋4＜0解析：选C 利用“Δ”判断，在不等式x2＋6x＋10＞0中，Δ＝62－40＜0，∴不等式x2＋6x＋10＞0的解集为R，其他可类似判断．故选C.含参数的一元二次不等式的解法x x2ax a [解] 因为Δ＝4a2－8，当Δ＜0，即－2＜a＜2时，原不等式对应的方程无实根．又一元二次函数y＝x2－2ax＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅.当Δ＝0，即a＝±2时，原不等式对应的方程有两个相等实根．x|x＝2；当a＝2时，原不等式的解集为{}x|x＝－2.当a＝－2时，原不等式的解集为{}当Δ＞0，即a＞2或a＜－2时，原不等式对应的方程有两个不等实根，分别为x1＝a－a2－2，x2＝a＋a2－2，且x1＜x2，所以原不等式的解集为{x|a－a2－2≤x≤a＋a2－2}．综上所述，当－2＜a＜2时，原不等式的解集为∅；当a＝2时，原不等式的解集为{x|x＝2}；当a＝－2时，原不等式的解集为{x|x＝－2}；当a＞2或a＜－2时，原不等式的解集为{x|a－a2－2≤x≤a＋a2－2}．含参一元二次不等式的解法[跟踪训练]解关于x 的不等式：ax 2－2≥2x －ax (a ＜0)．解：原不等式移项得ax 2＋(a －2)x －2≥0，化简为(x ＋1)(ax －2)≥0.∵a ＜0，∴(x ＋1)⎝⎛⎭⎪⎫x －2a ≤0.当－2＜a ＜0时，2a≤x ≤－1；当a ＝－2时，x ＝－1； 当a ＜－2时，－1≤x ≤2a.综上所述，当－2＜a ＜0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2a ≤x ≤－1； 当a ＝－2时，原不等式的解集为{x |x ＝－1}；当a ＜－2时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤2a .一元二次不等式解集的逆向应用cx 2＋bx ＋a ＜0的解集．[解] 法一：由不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}可知，a ＜0，且2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系可知ba ＝－5，c a ＝6.由a ＜0知c ＜0，bc ＝－56，故不等式cx 2＋bx ＋a ＜0，即x 2＋b c x ＋a c ＞0，即x 2－56x ＋16＞0，解得x ＜13或x ＞12，所以不等式cx 2＋bx ＋a ＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜13，或x ＞12.法二：由不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}可知，a ＜0，且2和3是方程ax2＋bx ＋c ＝0的两根，所以ax 2＋bx ＋c ＝a (x －2)(x －3)＝ax 2－5ax ＋6a ⇒b ＝－5a ，c ＝6a ，故不等式cx 2＋bx ＋a ＜0，即6ax 2－5ax ＋a ＜0⇒6a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＜0，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜13，或x ＞12.[母题探究]1．(变设问)本例中的条件不变，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a ＞0的解集． 解：由根与系数的关系知ba ＝－5，c a＝6且a ＜0.∴c ＜0，b c ＝－56，故不等式cx 2－bx ＋a ＞0，即x 2－b c x ＋a c ＜0，即x 2＋56x ＋16＜0.解得－12<x <－13，所以不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜－13.2．(变条件)若将本例中的条件“关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}”变为“关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－13≤x ≤2”．求不等式cx 2＋bx ＋a＜0的解集．解：由ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－13≤x ≤2知a ＜0.又⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×2＝c a ＜0，则c ＞0.∵－13，2为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，∴－b a ＝53，∴b a ＝－53.又c a ＝－23，∴b ＝－53a ，c ＝－23a ， ∴不等式变为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－53a x ＋a ＜0，即2ax 2＋5ax －3a ＞0.∵a ＜0，∴2x 2＋5x －3＜0，解得－3<x <12.所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－3＜x ＜12.一元二次不等式解集逆向应用问题的解法及步骤(1)求解方法：由已知不等式的解可转化为一元二次方程的两根，从而由根与系数的关系，找出系数a ，b ，c 之间的关系，写出不等式的解集．(2)求解步骤：第一步：审结论——明确解题方向如要解ax 2＋bx ＋c <0，首先确定a 的符号，最好能确定a ，b ，c 的值． 第二步：审条件——挖掘题目信息利用一元二次方程的根与一元二次不等式的解集的关系列出关于a ，b ，c 的方程组，用c 表示a ，b .第三步：建联系——找解题突破口由给定不等式的解集形式→确定关于a ，b ，c 的方程组→用c 表示a ，b →代入所求不等式→求解ax 2＋bx ＋c <0的解集．[跟踪训练]关于x 的不等式ax －b ＞0的解集是{x |x ＞1}，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)＞0的解集是( )A ．{x |－1＜x ＜3}B ．{x |1＜x ＜3}C ．{x |x ＜1或x ＞3}D ．{x |x ＜－1或x ＞3}解析：选D 因为不等式ax －b ＞0的解集是{x |x ＞1}，所以a ＞0，b a＝1，所以(ax ＋b )(x －3)＞0等价于a (x ＋1)(x －3)＞0，其解集应为{x |x ＞3或x ＜－1}，故选D.1．(多选)下列不等式是一元二次不等式的是( ) A ．x 2＋2x ＜－1 B ．x 2＋x ＋1＜0 C ．x 2＋3x＋1＜0D ．x 2＋1＜0解析：选AD 由于x 2＋x ＋1＜0，x 2＋3x＋1＜0不符合一元二次不等式的定义，只有x 2＋2x ＜－1，x 2＋1＜0是一元二次不等式，故选A 、D2．不等式(x －1)2＜x ＋5的解集为( ) A ．{x |1＜x ＜4} B ．{x |－1＜x ＜4} C ．{x |－4＜x ＜1}D ．{x |－1＜x ＜3}解析：选B 原不等式可化为x 2－3x －4＜0，即(x ＋1)(x －4)＜0，故其解集为{x |－1＜x ＜4}．故选B.3．设m ＋n ＞0，则关于x 的不等式(m －x )(n ＋x )＞0的解集是( ) A ．(－∞，－n )∪(m ，＋∞) B ．(－n ，m )C ．(－∞，－m )∪(n ，＋∞)D ．(－m ，n )解析：选B 方程(m －x )(n ＋x )＝0的两根为m ，－n .∵m ＋n ＞0，∴m ＞－n .结合函数y ＝(m －x )(n ＋x )的图象(图略)，得原不等式的解集是(－n ，m )．故选B.4．若关于x 的不等式mx 2＋8mx ＋28＜0的解集是{x |－7＜x ＜－1}，则实数m 的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D 因为关于x 的不等式mx 2＋8mx ＋28＜0的解集为{x |－7＜x ＜－1}，所以方程mx 2＋8mx ＋28＝0的两根为－7，－1，且m >0.由根与系数的关系得(－7)×(－1)＝28m，－7＋(－1)＝－8mm，解得m ＝4，故选D.5．已知一元二次不等式x 2＋px ＋q ＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜13，求不等式qx 2＋px ＋1＞0的解集．解：因为x 2＋px ＋q ＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜13，所以x 1＝－12与x 2＝13是方程x 2＋px ＋q ＝0的两个实数根，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧13－12＝－p ，13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝q ，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝16，q ＝－16 .所以不等式qx 2＋px ＋1＞0即为－16x 2＋16x ＋1＞0，整理得x 2－x －6＜0，解得－2＜x ＜3.即不等式qx 2＋px ＋1＞0的解集为{x |－2＜x ＜3}．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解：
原方程的解为
例6当 是什么值时，一元二次方程
（1）有两个不相等的实数根
（2）有两个相等的实数根
（3）没有实数根
解：
（1）由 ，所以 ，
又 ，得
即当 且 时，原方程有两个不相等的实数根
（2）由 ，得
所以当 原方程有两个相等的实数根
（3）由 ，得
所以当 原方程没有实数根
一元二次方程根与系数的关系
解：由 得
把 代人 得
，即 ，
解得
把 代人 得
把 代人 得
所以方程组的解为
专项练习
一、选择题
1.方程 的解是（ ）
A. B. C. D.
2.方程 的解是（ ）
A. B.
C. D.
3.方程 的根为（ ）
A. B.
C. D.
4.关于 的方程 是一元二次方程的条件是（ ）
A. B.
C. 或 D. 或
5.关于 的方程 有两个不相等的实数根，则 的取值是（ ）
三、解答题
11.解方程
12.解方程组
13.解方程组
14.解方程组
§1.2指数
1.基本概念
（1）正整数的指数幂
其中 叫做底数， 叫做指数， 叫做幂.
（2）零指数幂
当 时，
没有意义
（3）负整数指数幂
如
（2）分数指数幂
正分数指数幂
如
负分数指数幂
2.幂的运算法则
当
3.根式
次方根
如果 ，那么 叫做 的 次方根.正数的偶次方根有两个，它们互为相反数；负数没有偶次方根；零的偶次方根是零.正数的奇次方根是一个正数；负数的奇次方根是一个负数；零的奇次方根是零.
二元一次方程组的一般形式
二元一次方程组常用的解法有代人消元法和加减消元法
例11解方程组
解：用代入消元法
由方程 得 ，把 代人 得
所以 ，
即方程组的解为
例12解方程组
解：用加减消元法
把方程 两边都乘以 ，把方程 两边都乘以
可变为
方程 方程 得
同样可把 变为
方程 方程 得 ，
即方程组的解为
二元二次方程组
对数式 中， .
特别地，以 为底的对数叫做常用对数，通常记 为 .
2.性质
（1）零与负数没有对数.
（2）底的对数等于 ，即
（3） 的对数等于 , 即
（4）
（5）当底数 时，若真数 则对数大于零，即 ，若真数 则对数小于零，即 ；
当底数 时，若真数 则对数小于零，即 ，若真数 则对数大于零，即
2.对数的运算法则
即
得
若上述方法都不容易做，就用公式法
一元二次方程 的求根公式是
叫做一元二次方程 的根的判别式
（1）当 时，一元二次方程 有两个不相等的实数根，反之，当一元二次方程有两个不相等的实数根时，
（2）当 时，一元二次方程 有两个相等的实数根，反之，当一元二次方程有两个相等的实数根时，
（3） 时，一元二次方程 没有实数根，反之，当一元二次方程没有实数根时，
4.若 则 （ ）
A. B. C. D.
5.设 ，则 （ ）
A. B.9C. D.
6. （ ）
A. B. C. D.
7. （ ）
A. B. C. D.
8.若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
9.若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
10.对任意实数 ，下列等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
11.已知 ，则 ___________
12. ___________
13. ___________， ___________
14. ___________，
15.若 ，则 ___________
三、解答题
16.
17.计算
18.设 ，求 的值
§1.3对数
1.定义
如果 ，那么 叫做以 为底 的对数，记作 ，其中 叫做底数， 叫做真数.
设 是方程 的两个根，则
例7已知方程 的两个根为 ，不解方程
（1）求
（2）求
解：由一元二次方程根与系数的关系得
（1）
（2）
一元三次方程
形如 一元三次方程的解法
的解为
例8解方程
解：由 得
解得
形如 或 的解法
把 或 变为
或 再求解
例9解方程
解：由 得
即
例10解方程
解：由
得
即
解得
方程组
二元一次方程组
概念
由几个一次方程组成并且含有两个未知的方程组叫做二元一次方程组
由 得 ， 所以
由 解得 所以
选B
历年试题
(2007年试题)
下列计算正确的是
A. B.
C. D.
解析： ，
选C
(2008年试题)
设 ，则 _____________
解析：
专项练习
一、选择题
1. （ ）
A. B. C. D.
2.下列各式正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. （ ）
A. B. C. D.
算数根：正数 的正的 次方根叫做 的 次算数方根.
如果 是一个根式，则
(1)
(2)当 为奇数时，
(3)当 为偶数时，
如 ， ， ， ，
注意：
例1计算
解：
例2计算
解析：
例3如果 ，求 的值
解析：
例4若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
解析：
选D
例5若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
解析：由 得 ，所以 ；
A. B.
C. D. 或
6.已知方程 的两根互为相反数，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
7.方程 的根是___________
8.一元二次方程 的实数根为___________
9.若关于 的方程 的两根倒数之和为 ，则 的值等于___________
10.关于 的方程 的一个根为 ，那么 ___________
第一章预备知识
§1.1方程与方程组
方程
含有未知数的等式叫方程
使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解
一元一次方程
形如 的方程叫一元一次方程
的解是
一元一次方程求解
例1解方程
解：由 得
一元二次方程
形如 的方程叫一元二次方程
一元二次方程求解
例2解方程
解:由 得
例3解方程
解:由
得
例4解方程
解：可由十字相乘法得
若 ，则 _________
解析:
由 ，得
即 ， ，所以
填
（2008年试题）
算式 （ ）
A. B. C. D.
解析：
选C
专项练习
一、选择题
1. （ ）
A. B. C. D.
2. （ ）
A. B. C. D.
3. （ ）
A. B. C. D.1
4. （ ）
A. B. C. D.
5. =（ ）
A. B. C. D.
6.设 ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
7.若 ，则
A. B. C. D.
8.如果 ，则 （ ）
A.D.
10.若 ，则下列各式正确的是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
11． =___________
12. ，则 ___________
13. ，则 ___________
14.若 ，则 ___________
15. __________
三、解答题
16.计算
17.设 ，求
18.
19.
20.
3.换底公式
由换底公式可得
，即
例1计算
解：
例2
解:
例3求 的值
解：
例4求值：
解：
例5求值：
解：
例6已知 则 （ ）
A. B. C. D.
解析： .
选B
例7设 ，求 的值
解析：由 得 ，由 得 所以，
历年试题
（2011年试题）
下列等式中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
解析：因为：
所以选C
（2010年试题）
含有二元二次方程的方程组，叫做二元二次方程组
解二元二次方程组的方法是化二元为一元，化二次为一次，具体办法是根据方程组的特点采用代人消元法、消去二次项、消去一个未知数等.转化为解一个一元二次方程.
例13解二元二次方程组
解：由 得 ，把 代人 得
所以
把 代人 得 ，
把 代人 得 ，
所以方程组的解为
例14解二元二次方程组