基本不等式原理及其变通

a +b a+b 2 ³ ( ) 2 2
2
2
它反映了两个实数的平方和与它们的 和的平方的不等关系，称为平方平均 不等式，其数学意义是：两个实数的 平方的算术平均数不小于它们的算术 平均数的平方.
ab ³
2 1 1 + a b
思考3:将不等式 a b 2 ab (a 0, b 0) 两 边同乘以 ab ，可变通出一些什么结论？
a
a+b 2
a+b 思考7：我们称 和 ab 分别为a， 2
b的算术平均数和几何平均数，如何用 文字语言表述基本不等式？ 两个正数的算术平均数不小于它们的 几何平均数.
a+b 2
思考8：如图，在直角三角形ABC中，CD 为斜边上的高， CO为斜边上中线，你能 利用这个图形对基本不等式作出几何解 C 释吗？
思考5：特别地，如果a＞0，b＞0，我们 用 a 、 b 分别代替a、b ，可得什么不 等式?
a b 2 ab
a
ab ab (a >0, b>0) 2
当且仅当a＝b时等号成立.
ab 思考6：不等式 ab (a >0, b>0) 2
称为基本不等式，它沟通了两个正数的 和与积的不等关系，在实际问题中有广 泛的应用，你能用分析法证明吗？
ab 2
ab
2.基本不等式有多种形式，应用时具有 很大的灵活性，既可直接应用也可变式 应用.一般地，遇到和与积，平方和与积， 平方和与和的平方等不等式问题时，常 利用基本不等式处理
3.当a、b都是正数时，有不等式链
a +b a+ b 吵 2 2
2 2
ab
2 1 1 + a b
作业： P100习题3.4 A组：1，2.
2ab ab ³ a+b
ab ³ 2 1 1 + a b
理论迁移
例1 已知x、y都是正数，求证： 2 2 3 3 3 3 (x＋y)(x ＋y )(x ＋y )≥８x y
Æ
例2 已知 a2＋b2＋c2＝1， 3 求证：(a＋b＋c) ≤3.
小结作业
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1.不等式a2＋b2≥2ab与
都是基本不等式，它们成立的条件不同， 前者a、b可为任意实数，后者要求a、b 都是正数，但二者等号成立的条件相同.
2 2 sin x + 匙2 sin x = 2 2 sin x sin x
，得函数
思考6：利用基本不等式求两个变量的和 的最小值(或积的最大值)，应具备哪些 基本条件？ 一正二定三相等
探究（二）基本不等式求最值的实际应用
【背景材料】在农村，为防止家畜家禽 对菜地的破坏，常用篱笆围成一个菜园. 如果菜园的面积一定，为节省材料，就 应考虑所用篱笆最短的问题；如果所用 篱笆的长度一定，为了充分利用材料， 就用考虑所围菜园面积最大的问题
3.4
基本不等式 第二课时
ab ab 2
问题提出
1.基本不等式有哪几种基本形式？ （1） a2＋b2≥2ab（a，b∈R），当且 仅当a＝b时等号成立； （2）a b 2 ab(a＞0，b＞0)，当且仅 当a＝b时等号成立；
a 2 + b2 a+b 2 （3） 2 ³ ( 2 ) (a＞0，b＞0)，当且
仅当a＝b时等号成立；
2.函数的最大值和最小值的含义分别 是什么？ 最大值:f(x)≤M，且等号成立; 最小值:f(x)≥m，且等号成立. 3.在一定条件下，利用基本不等式可 以求出变量的极端值，因此，利用基本 不等式求最值就成为一种重要的数学方 法.
探究（一）：基本不等式与最值原理
思考1：在基本不等式 a b 2 ab
3.4
基本不等式 第一课时
ab ab 2
问题提出
1.不等式有许多基本性质，同时还有一 些显而易见的结论，如a2≥0，|a|≥0， |a|≥a等，这些性质都是研究不等式问 题的理论依据.在实际应用中，我们还需 要有相应的不等式原理.
2.如图是在北京召开的第24界国际数 学家大会的会标，它是根据中国古代数 学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使 它看上去象一个风车，代表中国人民热 情好客.在这个图案中既有一些相等关系， 也有一些不等关系， 对这 些等与不等的关系， 我们作些相应研究.
A
O
D
B
探究（二）：基本不等式的变通
ab ab 思考1：将基本不等式 2
两边平方可得什么结论？它与不等式 a2＋b2≥2ab有什么内在联系？
a+ b 2 ( ) ³ ab 2
思考2：在不等式a2＋b2≥2ab两边同加 上a2＋b2可得什么结论？所得不等式有 什么特色？
2 a x0 x , bx x2 )c y1 ax 2 ( x1
a2＋b2≥2ab
A
G H
F E B
C
思考3：从图形分析,上述不等式在什么 情况下取等号？
当直角三角形为等腰直角三角形，即 a＝b时， a2＋b2＝2ab.
思考4：在上面的图形背景中，a，b都是 正数，那么当a，b∈R时，不等式 a2＋b2≥2ab成立吗？为什么？ D
A G H
F
E B
C
一般地，对于任意实数a，b，有: a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立.
探究（一）:基本不等式的原理
思考1：将图中的“风车” 抽象成如图，在正方形 ABCD中有4个全等的直角 三角形.设直角三角形的 两条直角边长为a，b那么 正方形ABCD和EFGH的边长 分别为多少？
a 2 b2
D G H F E B C
A
a b
2
2
|a－b |
思考2：图中正方形ABCD的面积与4个直 角三角形的面积之和有什么不等关系？ 由此可得到一个什么不等式？ D
思考3：能否由
1 得函数 y = x + 的最小值是2吗？ x
1 1 x + 匙2 x = 2 x x
思考4：当x≥4时,能否由
1 得函数 y = x + 的最小值是4吗？ x
2
1 2 1 x + 匙2 x = 2 x x x
2
4
思考5：当x∈(0，π )时，能否由
2 的最小值是 2 2 吗？ y = sin x + sin x
(a＞0，b＞0)中，如果a· b＝P为定值， 能得到什么原理？ 原理一：若两个正数的积为定值，则当 这两个正数相等时它们的和取最小值.
思考2：在基本不等式 a b 2 ab
(a＞0，b＞0)中，如果a＋b＝S为定值， 又能得到什么原理？
原理二：若两个正数的和为定值，则当 这两个正数相等时它们的积取最大值 .