基本不等式原理及其变通
基本不等式ppt课件
梳理 (1)重要不等式 定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2 ≥ 2ab，当且仅当 a＝b 时，等号成立. (2)基本不等式
a＋b ①定理 2：如果 a，b＞0，那么 2 ≥ ab ，当且仅当 a＝b 时，等号成立 .
②定理2的应用：对两个正实数x，y， (ⅰ)如果它们的和S是定值，则当且仅当 x＝y 时，它们的积P取得最大 值； (ⅱ)如果它们的积P是定值，则当且仅当 x＝y 时，它们的和S取得最 小 值.
题型探究
类型一 不等式的证明 例1 已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1. 求证：1a＋1b＋1c≥9.
证明
跟踪训练1 已知a，b，c，d∈R＋，求证：(ab＋cd)·(ac＋bd)≥4abcd； 证明 ∵a，b，c，d，∈R＋， ∴ab＋cd≥2 abcd，ac＋bd≥2 acbd， ∴(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd. 当且仅当a＝d且b＝c时取等号.
解答
(2)若 x＜0，求 f(x)＝1x2＋3x 的最大值. 解 ∵x＜0，∴－x＞0, 故 f(x)＝－－12x＋3－x≤－2 36＝－12， 当且仅当－1x2＝－3x，即 x＝－2 时，等号成立， ∴f(x)的最大值是－12.
解答
跟踪训练 2 若实数 a，b 满足1a＋2b＝ ab，则 ab 的最小值为
证明
类型二 利用基本不等式求最值 例 2 (1)设 x＞0，y＞0 且 2x＋y＝1，求1x＋2y的最小值； 解 1x＋2y＝1x＋2y×1＝1x＋2y(2x＋y)＝4＋4yx＋yx≥4＋2 4yx·xy＝4＋4＝8， 当且仅当4yx＝yx，即 x＝14，y＝12时，等号成立， ∴1x＋2y的最小值是 8.
A.0 B.1 C.2 D.3
√
解析 答案
基本不等式方法总结
基本不等式方法总结基本不等式方法是数学中的一种重要解题思路，它通过对不等式进行变形、加减运算、取平方等操作，来推导出新的不等式关系，从而解决问题。
本文将介绍基本不等式方法的基本原理和应用技巧。
一、基本不等式的原理基本不等式是指那些在不等式中常用到的基本关系式，它们可以用来推导出其他更复杂的不等式。
常见的基本不等式包括三角不等式、算术平均-几何平均不等式、柯西-施瓦茨不等式、均值不等式等。
1. 三角不等式：对于任意实数a和b，有|a + b| ≤ |a| + |b|。
它表明两个数的绝对值之和不大于这两个数的绝对值之和。
2. 算术平均-几何平均不等式（AM-GM不等式）：对于任意非负实数a1、a2、...、an，有(a1 + a2 + ... + an)/n ≥ √(a1 * a2 * ... * an)。
它表明n个非负实数的算术平均值大于等于它们的几何平均值。
3. 柯西-施瓦茨不等式：对于任意实数a1、a2、...、an和b1、b2、...、bn，有|(a1 * b1 + a2 * b2 + ... + an * bn)| ≤ √(a1^2 + a2^2 + ... + an^2) * √(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)。
它用于描述向量的内积的性质。
4. 均值不等式：对于任意非负实数a1、a2、...、an，有算术平均≥几何平均≥ ... ≥ 平方平均。
它表明一组非负实数的各种平均值之间的大小关系。
二、基本不等式的应用技巧在解决实际问题时，我们可以根据具体情况选择合适的基本不等式进行推导和变形。
以下是几个常见的应用技巧：1. 利用不等式的性质：不等式具有保序性，即如果a ≤ b，那么对于任意c，有a + c ≤ b + c。
利用这个性质，我们可以对不等式进行加减运算，从而得到新的不等式。
2. 利用不等式的平方性质：如果a ≥ 0，那么a^2 ≥ 0。
利用这个性质，我们可以对不等式进行平方操作，从而得到更简洁的形式。
基本不等式课件(共43张PPT)
02
基本不等式的证明方法
综合法证明基本不等式
利用已知的基本不等式推导
01
通过已知的不等式关系，结合不等式的性质（如传递性、可加
性等），推导出目标不等式。
构造辅助函数
02
根据不等式的特点，构造一个辅助函数，通过对辅助函数的分
析来证明原不等式。
利用数学归纳法
03
对于涉及自然数n的不等式，可以考虑使用数学归纳法进行证明。
分析法证明基本不等式
寻找反例
通过寻找反例来证明某个不等式不成 立，从而推导出原不等式。
利数，可以利用中间值定理 来证明存在某个点使得函数值满足给 定的不等式。
通过分析不等式在极限情况下的性质， 来证明原不等式。
归纳法证明基本不等式
第一数学归纳法
通过对n=1和n=k+1时的情况进行归纳假设和推导，来证 明对于所有正整数n，原不等式都成立。
拓展公式及其应用
要点一
幂平均不等式
对于正实数$a, b$和实数$p, q$，且$p < q$，有 $left(frac{a^p + b^p}{2}right)^{1/p} leq left(frac{a^q + b^q}{2}right)^{1/q}$，用于比较不同幂次的平均值大小。
要点二
切比雪夫不等式
算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$，有 $frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$，用于求解最值问题。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$，有 $left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$，用于证明与内积有关的不等式问题。
基本不等式 课件
[解析] (1)因为 a>2，所以 a－2>0，又因为 m＝a＋a－1 2＝
(a－2)＋a－1 2＋2，所以 m≥2 a－2·a－1 2＋2＝4，由 b≠0， 得 b2≠0，所以 2－b2<2，n＝22－b2<4，综上可知 m>n.
(2)因为 a>b>1，所以 lg a>lg b>0， 所以 Q＝12(lg a＋lg b)> lg a·lg b＝P； Q＝12(lg a＋lg b)＝lg a＋lg b＝lg ab<lg a＋2 b＝R. 所以 P<Q<R. [答案] (1)A (2)P<Q<R
∴xy＋9yx＋10≥2 xy·9yx＋10＝16， 当且仅当3x， 由1x＋9y＝1，
得xy＝＝142，，
即当 x＝4，y＝12 时，x＋y 取得最小值 16.
(1)应用基本不等式需注意三个条件：即一正、二定、三相 等．在具体的题目中，“正数”条件往往易从题设中获得解决，“相 等”条件也易验证确定，而要获得“定值”条件却常常被设计为一 个难点，它需要一定的灵活性和变形技巧．因此，“定值”条件决 定着基本不等式应用的可行性，这是解题成败的关键．
2 时，等号成立．
(3)变形：ab≤a＋2 b2≤a2＋2 b2，a＋b≥2 ab(其中 a＞0，b ＞0，当且仅当 a＝b 时等号成立)．
[点睛] 基本不等式成立的条件：a＞0 且 b＞0；其中等
号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号，即若 a≠b 时，
则 ab≠a＋2 b，即只能有 ab＜a＋2 b.
求实际问题中最值的解题 4 步骤 (1)先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式． (2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题． (3)在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑 基本不等式，当基本不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数 的单调性． (4)正确写出答案．
基本不等式的原理应用
基本不等式的原理应用一、不等式的基本概念不等式是数学中一种重要的表达方式，它比等式多了大小的概念。
在数学中，我们常常会用到各种各样的不等式来解决问题，包括一元不等式、二元不等式等等。
不等式在实际应用中有着广泛的用途，特别是在优化问题、约束条件等方面。
二、一元不等式的原理一元不等式是指只含有一个未知数的不等式。
我们可以通过以下原理来解决一元不等式问题：1.若两不等式同时改为等号，则原不等式的解集不变。
2.若不等式两边同时加上（或减去）同一个数，则原不等式的解集不变。
3.若不等式两边都乘（或除）以同一个正数（或负数），则原不等式的解集不变。
如果乘（或除）以负数，则不等号方向发生改变。
三、一元不等式的应用举例下面通过几个具体的例子来说明一元不等式的应用：例1: 求解不等式2x−3>5解: 我们可以将不等式转化为等价的形式，即2x−3−5>0。
然后，我们可以通过移项和整理得出2x−8>0，再进一步化简为x>4。
因此，不等式2x−3>5的解集为x>4。
例2: 求解不等式 $\\frac{3}{2}x + \\frac{1}{3} < \\frac{1}{6}$解: 首先，我们可以将不等式中的分数进行通分，得到不等式9x+2<1。
接下来，我们可以继续通过移项和整理将不等式简化为9x<−1。
由于系数为正数，所以不等号的方向不变。
最后，我们可以将不等式化简为 $x < -\\frac{1}{9}$。
因此，不等式 $\\frac{3}{2}x + \\frac{1}{3} < \\frac{1}{6}$ 的解集为 $x < -\\frac{1}{9}$。
例3: 求解不等式 $\\frac{x-3}{2} \\geq \\frac{1}{3}x - 1$解：首先，我们可以将不等式中的分数进行通分，得到不等式 $3(x-3) \\geq2(1x-3)$。
基本不等式知识点
基本不等式知识点1、不等式的基本性质①对称性a b b a >⇔>②传递性,a b b c a c >>⇒>③可加性a b a c b c >⇔+>+同向可加性d b c a d c b a +>+⇒>>,异向可减性d b c a d c b a ->-⇒<>,④可积性bc ac c b a >⇒>>0,bc ac c b a <⇒<>0,⑤同向正数可乘性0,0a b c d ac bd >>>>⇒> 异向正数可除性0,0a b a b c d c d >><<⇒>⑥平方法则0(,1)n n a b a b n N n >>⇒>∈>且⑦开方法则0,1)a b n N n >>⇒∈>且 ⑧倒数法则b a b a b a b a 110;110>⇒<<<⇒>>2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,当且仅当a b =时取""=号. 变形公式：22.2a b ab +≤②基本不等式2a b +≥ ()a b R +∈，,当且仅当a b =时取到等号.变形公式：a b +≥2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭ 用基本不等式求最值时积定和最小,和定积最大,要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③三个正数的算术—几何平均不等式3a b c ++≥()a b c R +∈、、当且仅当a b c ==时取到等号.④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈，当且仅当a b c ==时取到等号.⑤3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> 当且仅当a b c ==时取到等号. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则当仅当a=b 时取等号0,2b a ab a b <+≤-若则当仅当a=b 时取等号 ⑦b a n b n a ma mb a b <++<<++<1,其中000)a b m n >>>>，， 规律：小于1同加则变大,大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>⇔>⇔<->当时，或22.x a x a a x a <⇔<⇔-<< ⑨绝对值三角不等式.a b a b a b -≤±≤+3、几个著名不等式①平均不等式：1122a b a b --+≤≤≤+,,a b R +∈,当且仅当a b =时取""=号.即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均.变形公式：222;22a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭ 222().2a b a b ++≥ ②幂平均不等式：222212121...(...).n n a a a a a a n +++≥+++③二维形式的三角不等式：≥1122(,,,).x y x y R ∈④二维形式的柯西不等式：22222()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈当且仅当ad bc =时,等号成立. ⑤三维形式的柯西不等式：2222222123123112233()()().a a a b b b a b a b a b ++++≥++⑥一般形式的柯西不等式：2222221212(...)(...)n n a a a b b b ++++++21122(...).n n a b a b a b ≥+++⑦向量形式的柯西不等式： 设,αβ是两个向量,则,αβαβ⋅≤当且仅当β是零向量,或存在实数k ,使k αβ=时,等号成立.⑧排序不等式排序原理：设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤为两组实数.12,,...,n c c c 是12,,...,n b b b 的任一排列,则12111122......n n n n n a b a b a b a c a c a c -+++≤+++1122....n n a b a b a b ≤+++反序和≤乱序和≤顺序和,当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时,反序和等于顺序和.⑨琴生不等式:特例:凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数()f x ,对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称fx 为凸或凹函数.4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法作差,作商法、综合法、分析法； 其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法,函数单调性法,数学归纳法等.常见不等式的放缩方法：①舍去或加上一些项,如22131()();242a a ++>+ ②将分子或分母放大缩小,如211,(1)k k k <- 211,(1)k kk >+=⇒<*,1)k N k >∈>等.5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或 2(0,40)a b ac ≠∆=->解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时,小于取中间,大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式,把根标在数轴上,从右上方依次往下穿奇穿偶切,结合原式不等号的方向,写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化,则()0()()0()()()0()0()0()f x f x g x g x f x g x f x g x g x >⇔⋅>⋅≥⎧≥⇔⎨≠⎩ <≤“或”时同理规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解⑴2()0(0)()f x a a f x a ≥⎧>>⇔⎨>⎩⑵2()0(0)()f x a a f x a ≥⎧<>⇔⎨<⎩⑶2()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x >⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或⑷2()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩⑸()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩ 规律：把无理不等式等价转化为有理不等式,诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：⑴当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>⑵当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔< 规律：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解法⑴当1a >时, ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩⑵当01a <<时, ()0log ()log ()()0.()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法： ⑴定义法：(0).(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ⑵平方法：22()()()().f x g x f x g x ≤⇔≤⑶同解变形法,其同解定理有： ①(0);x a a x a a ≤⇔-≤≤≥ ②(0);x a x a x a a ≥⇔≥≤-≥或 ③()()()()()(()0)f xg x g x f x g x g x ≤⇔-≤≤≥ ④()()()()()()(()0)f x g x f x g x f x g x g x ≥⇔≥≤-≥或规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个或两个以上绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集,最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法解形如20ax bx c ++>且含参数的不等式时,要对参数进行分类讨论,分类讨论的标准有： ⑴讨论a 与0的大小；⑵讨论∆与0的大小；⑶讨论两根的大小.14、恒成立问题⑴不等式20ax bx c ++>的解集是全体实数或恒成立的条件是：①当0a =时 0,0;b c ⇒=> ②当0a ≠时00.a >⎧⇒⎨∆<⎩ ⑵不等式20ax bx c ++<的解集是全体实数或恒成立的条件是：①当0a =时0,0;b c ⇒=<②当0a ≠时00.a <⎧⇒⎨∆<⎩ ⑶()f x a <恒成立max ();f x a ⇔<()f x a ≤恒成立max ();f x a ⇔≤⑷()f x a >恒成立min ();f x a ⇔>()f x a ≥恒成立min ().f x a ⇔≥15、线性规划问题常见的目标函数的类型：①“截距”型：;z Ax By =+ ②“斜率”型：y z x =或;y b z x a -=-③“距离”型：22z x y =+或z = 22()()z x a y b =-+-或z =在求该“三型”的目标函数的最值时,可结合线性规划与代数式的几何意义求解,从而使问题简单化.。
不等式的同解变形原理和方程的通解变向原理的异同
不等式的同解变形原理和方程的通解变形原理的基本原理不等式的同解变形原理和方程的通解变形原理都是数学中常用的工具，用于解决不等式和方程的问题。
它们的基本原理有一些相似之处，也有一些不同之处。
不等式的同解变形原理不等式的同解变形原理是指对一个不等式进行等价变形，得到的新不等式与原不等式有相同的解集。
具体而言，对于一个不等式，可以通过加减乘除等运算，将不等式的两边进行相同的变形，得到一个新的不等式，这个新的不等式与原不等式有相同的解集。
例如，对于不等式x+2>5，我们可以将其两边都减去2，得到x>3。
这样得到的新不等式与原不等式有相同的解集，都是x大于3的实数。
不等式的同解变形原理的基本思想是保持不等式两边的大小关系不变，通过变形使得不等式更加简化，更容易求解。
不等式的同解变形原理可以用于解决不等式的求解问题，以及证明不等式的性质等。
方程的通解变形原理方程的通解变形原理是指对一个方程进行等价变形，得到的新方程与原方程有相同的解集。
具体而言，对于一个方程，可以通过加减乘除等运算，将方程的两边进行相同的变形，得到一个新的方程，这个新的方程与原方程有相同的解集。
例如，对于方程x+2=5，我们可以将其两边都减去2，得到x=3。
这样得到的新方程与原方程有相同的解集，都是x等于3。
方程的通解变形原理的基本思想是保持方程的解不变，通过变形使得方程更加简化，更容易求解。
方程的通解变形原理可以用于解决方程的求解问题，以及证明方程的性质等。
不等式的同解变形原理和方程的通解变形原理的异同不等式的同解变形原理和方程的通解变形原理有一些相似之处，也有一些不同之处。
相似之处： 1. 基本思想相同：不等式的同解变形原理和方程的通解变形原理都是通过等价变形，得到与原不等式或方程有相同解集的新不等式或方程。
2. 变形方式相同：不等式和方程的变形都可以通过加减乘除等运算来进行。
不同之处： 1. 解的性质不同：不等式的解是一个区间，而方程的解是一个具体的数值。
基本不等式2024新版
系数化为1
02
03
求解未知数
将不等式两边同时除以未知数的 系数，使系数化为1。
根据不等式的性质，求解未知数 的取值范围。
一元一次不等式组解法
分别求解
分别求出每个不等式的解集。
求交集
找出所有不等式解集的交集，即为不等式组的解集。
判断无解情况
若不等式组中的某个不等式的解集为空集，则整个不 等式组无解。
AM-GM不等式在解决最值问题、 证明不等式等方面有广泛应用。
加权平均值不等式
对于所有非负实数 $a_1, a_2, ldots, a_n$ 和正实数 $w_1, w_2, ldots, w_n$，有
$frac{w_1a_1 + w_2a_2 + cdots + w_na_n}{w_1 + w_2 + cdots + w_n} geq sqrt[n]{a_1^{w_1}a_2^{w_2}cdots a_n^{w_n}}$当且仅当 $a_1 = a_2 = ldots = a_n$ 时取等号。
03
一元二次不等式
一元二次不等式解法
配方法
将一元二次不等式化为完全平方的形式，再利 用平方根的性质进行求解。
公式法
利用一元二次方程的求根公式，将不等式转化 为关于根的不等式进行求解。
因式分解法
将一元二次不等式因式分解，然后利用不等式的性质进行求解。
一元二次不等式组解法
分别求解法
分别求出每个不等式的解集，然 后取它们的交集作为不等式组的 解集。
典型例题分析
例题1
解不等式 $2x - 1 > 3$。
分析
首先移项，得到 $2x > 4$，然后系数化为1，得到 $x > 2$。
为什么叫“基本不等式”
为什么把2b a +≥ab （a ，b ＞0）叫做“基本不等式” 1．从“数及其运算”的角度看，2b a +是两个正数a ，b 的“平均数”；从定量几何的角度看，ab 是长为a 、宽为b 的矩形面积，ab 就叫做两个非负数a ，b 的“几何平均”。
因此，不等式中涉及的是代数、几何中的“基本量”。
2．有多种等价形式：代数——涉及两个正数的运算，也就是通过加、减、乘、除、乘方、开方等运算而产生的变化。
在对运算结果之间的大小关系比较中就可以得到各种表现形式；几何——周长相等的矩形中，正方形的面积最大；或者，以a +b为斜边的直角三角形中，等腰直角三角形的高最长；或者，更直观地，等圆中，弦长不大于直径；……函数——本质上是函数凹凸性的反映。
例如，可以直接通过函数xy 1=，x y =，2x y =等学生最熟悉的函数的凹凸性导出公式；或者，利用函数图像的切线（本质上是“以直代曲”），例如，过点(1,1)作曲线x y =的切线，切线方程为()121+=x y ，曲线x y =总位于切线的下方，故有，x ≤()121+x 。
令ba x =，代入化简即得重要不等式。
也可以这样考虑：在一个平面内固定一条直线x +y =2A ，考察曲线族xy =c （这里c 是参数），画个图就可以看出，和给定直线有公共点，且使c 取最大值的曲线，是和直线相切于（A ，A ）的那条曲线，这时c =A 2，于是xy ≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x 。
3．证明方法的多样性从上所述已经表明，“基本不等式”确是与重要的数学概念和性质相关，体现基础知识的联系性，表述形式简洁、流畅且好懂，而且从上述联系性中，事实上也已经给出了证明的各种思路，这些思路与数学的基本概念相关，不涉及太多的技巧。
我们还可以从“平均数”的角度来构造性地证明：设A =2b a +。
引进一个量d =2b a -，则a =A +d ，b =A －d 。
于是 a b =A 2－d 2=222d b a -⎪⎭⎫ ⎝⎛+，由d ≥0容易得到ab ≤2b a +。
基本不等式(很全面)
基本不等式【知识框架】1、基本不等式原始形式（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ （2）若R b a ∈,，则222b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+3、基本不等式的两个重要变形（1）若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论（1）若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2)2(222b a b a ab +≤+≤ （5）若*,R b a ∈，则2211122b a b a ab+≤+≤≤+ 6、柯西不等式（1）若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+（2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++（3）设1212,,,,,,n n a a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与b 是两组实数，则有22212(n a a a ++⋅⋅⋅+)22212)n b b b ++⋅⋅⋅+(21122()n n a b a b a b ≥++⋅⋅⋅+【题型归纳】题型一：利用基本不等式证明不等式题目1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ba 112+题目2、已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：cabc ab c b a ++>++222题目3、已知1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥题目4、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：abc c b a 8)1)(1)(1(≥---题目5、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：1111118⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪题目6、（新课标Ⅱ卷数学（理）设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明: (Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a ++≥.题型二：利用不等式求函数值域题目1、求下列函数的值域（1）22213x x y += （2）)4(x x y -=（3）)0(1>+=x x x y （4）)0(1<+=x x x y题型三：利用不等式求最值 （一）（凑项）1、已知2>x ，求函数42442-+-=x x y 的最小值；变式1：已知2>x ，求函数4242-+=x x y 的最小值；变式2：已知2<x ，求函数4242-+=x x y 的最大值；变式3：已知2<x ，求函数4224xy x x =+-的最大值；练习：1、已知54x >，求函数14245y x x =-+-的最小值；题目2、已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值；题型四：利用不等式求最值 （二）（凑系数）题目1、当时，求(82)y x x =-的最大值；变式1：当时，求4(82)y x x =-的最大值；变式2：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
基本不等式教学课件
基本不等式教学课件pptxx年xx月xx日•基本不等式简介•基本不等式的证明方法•基本不等式的应用•基本不等式的扩展目•基本不等式的实际应用案例•基本不等式教学设计建议与展望未来发展录01基本不等式简介$x + y \over 2$基本不等式的定义算术平均数$\sqrt{xy}$几何平均数$x + y \geq 2\sqrt{xy}$基本不等式基本不等式的性质等号成立条件当且仅当$x = y$时，基本不等式取等号。
单调性若$x_1 \leq x_2, y_1 \leq y_2$，则$\sqrt{x_1y_1} \leq \sqrt{x_2y_2}$。
范围限制当$x > 0, y > 0$时，基本不等式才能成立。
1基本不等式的历史背景23基本不等式是数学中的一个基本概念，其历史可以追溯到古代数学。
起源在欧几里得几何、牛顿力学等数学领域中，基本不等式得到了广泛应用。
发展基本不等式在经济学、工程学、物理学等领域也有广泛的应用。
应用02基本不等式的证明方法总结词简洁明了，易于理解详细描述利用导数来证明基本不等式是一种简洁且易于理解的方法。
首先，我们需要引入导数的概念和性质。
然后，通过构造一个函数，我们可以找到这个函数的最小值，从而证明基本不等式。
利用导数证明基本不等式总结词抽象复杂，需要一定的数学基础详细描述利用矩阵相等的条件来证明基本不等式是一种比较抽象的方法，需要学生具备一定的数学基础。
首先，我们需要引入矩阵的概念和性质。
然后，通过矩阵相等的条件，我们可以证明基本不等式。
利用矩阵相等的条件证明基本不等式利用微积分基本定理证明基本不等式总结词直观易懂，需要掌握微积分基本定理详细描述利用微积分基本定理来证明基本不等式是一种直观且容易理解的方法。
首先，我们需要引入微积分基本定理的概念和性质。
然后，通过微积分基本定理，我们可以证明基本不等式。
这种方法需要学生熟练掌握微积分基本定理。
03基本不等式的应用利用基本不等式可以求解函数的最值问题。
基本不等式(很全面)
基本不等式(很全面).(精选)知识框架】1、基本不等式原始形式若a,b∈R，则a2+b2≥2ab2）若a,b∈R，则ab≤(a+b)2/42、基本不等式一般形式（均值不等式）若a,b∈R*，则a+b≥2ab3、基本不等式的两个重要变形1）若a,b∈R*，则a+b/2≥√(ab)2）若a,b∈R，则ab≤(a2+b2)/2总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。
特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论1）若x>1，则x+1/x≥2(当且仅当x=1时取“=”）2）若x<1，则x+1/x≤-2(当且仅当x=-1时取“=”）3）若ab>0，则a+b/2≥√(ab)(当且仅当a=b时取“=”）4）若a,b∈R，则ab≤(a2+b2)/25）若a,b∈R*，则a+b/2≤√(ab)≤(a+b)/2≤√(a2+b2)/26、柯西不等式1）若a,b,c,d∈R，则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)22）若a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R，则有：(a12+a22+a32)(b12+b22+b32)≥(a1b1+a2b2+a3b3)23）设a1,a2,…,an与b1,b2,…,bn是两组实数，则有(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2题型归纳】题型一：利用基本不等式证明不等式题目1、设a,b均为正数，证明不等式:ab≥(a+b)2/4题目2、已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2+b2+c2>ab+bc+ca题目3、已知a+b+c=1，求证：a2+b2+c2≥1/3题目4、已知a,b,c∈R+，且a+b+c=1，求证：(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc题目5、已知a,b,c∈R+，且a+b+c=1，求证：(1-a)(1-b)(1-c)≤abc/8题目6：设$a,b,c$均为正数，且$a+b+c=1$，证明：frac{1}{a^2b^2c^2}\geq\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\geq \frac{1}{3abc}$$ 题型二：利用不等式求函数值域题目1：求下列函数的值域1）$y=3x^2+\frac{1}{2x^2}$2）$y=x(4-x)$3）$y=x+\frac{11}{x}$，其中$x>0$4）$y=x+\frac{1}{x}$，其中$x\neq 0$题型三：利用不等式求最值（一）（凑项）1、已知$x>2$，求函数$y=2x-4+\frac{4}{x}$的最小值；变式1：已知$x>2$，求函数$y=2x+\frac{4}{x}$的最小值；变式2：已知$x<2$，求函数$y=2x+\frac{4}{x}$的最大值；变式3：已知$x<2$，求函数$y=2x+\frac{4x}{2-x}$的最大值；练：1、已知$x>\frac{5}{4}$，求函数$y=4x-2+\frac{4}{4x-5}$的最小值；题目2、已知$x<\frac{5}{4}$，求函数$y=4x-2+\frac{4}{4x-5}$的最大值；题型四：利用不等式求最值（二）（凑系数）题目1：当$0<x<4$时，求$y=x(8-2x)$的最大值；变式1：当$0<x<4$时，求$y=4x(8-2x)$的最大值；变式2：设$0<x<\frac{3}{2}$，求函数$y=4x(3-2x)$的最大值。
基本不等式 课件
跟踪训练1 (1)已知x>0，求f(x)＝12＋3x的最小值； x
∵x>0，∴f(x)＝1x2＋3x≥2 1x2·3x＝12， 当且仅当 3x＝1x2，即 x＝2 时取等号， ∴f(x)的最小值为 12.
(2)已知x<3，求f(x)＝ x－4 3＋x的最大值；
∵x<3，∴x－3<0， ∴f(x)＝x－4 3＋x＝x－4 3＋x－3＋3 ＝－3－4 x＋3－x＋3≤－2 3－4 x·3－x＋3＝－1， 当且仅当3－4 x＝3－x，即 x＝1 时取等号. ∴f(x)的最大值为－1.
(3)设x>0，y>0，且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值.
类型二 基本不等式在实际问题中的应用
命题角度1 几何问题的最值 例2 (1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽 各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？
设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 则xy＝100，篱笆的长为2(x＋y) m. 由x＋2 y≥ xy ，可得x＋y≥ 2 100 ，2(x＋y)≥40. 当且仅当x＝y＝10时等号成立. 所以这个矩形的长、宽都为10 m时，所用篱笆最短，最短篱笆为40 m.
∵0<x<32，
∴3－2x>0， ∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)] ≤22x＋32－2x2＝92. 当且仅当 2x＝3－2x，即 x＝34时，等号成立.
∵34∈0，32.
∴函数 y＝4x(3－2x)(0<x<32)的最大值为92.
4 (3)已知x>2，求x＋ x－2 的最小值；
∵x>2，∴x－2>0， ∴x＋x－4 2＝x－2＋x－4 2＋2≥2
梳理
《基本不等式》课件教学课件
柯西不等式
推广了算术平均数和平方的平均数的比较 不等式，$\left(\sum_{i=1}^n |x_i|^p\right)^{\frac{2}{p}} \le \left(\sum_{i=1}^n |x_i|\right)^2$
利用基本不等式求极值
利用基本不等式求极值的条件
满足基本不等式的条件，即等号成立的条件
基本不等式可以用于解决一些实际问题。
详细描述
在解决一些最优化问题时，可以利用基本不等式来求解。例如，在解决一些投资 组合优化问题时，可以利用基本不等式来求解最优投资组合比例。
05
基本不等式的扩展与推广
基本不等式的推广形式
平方平均不等式
推广了算术平均数和几何平均数不等式， $|\sum_{i=1}^n x_i|^2 \le \sum_{i=1}^n |x_i|^2$
3
中世纪欧洲
欧洲中世纪时期，数学家们逐渐开始研究不等 式的性质和应用。
基本不等式的发展
19世纪数学
19世纪数学家开始研究函数和微积分，基本不等式开始得到 更广泛的应用和发展。
现代数学
基本不等式在现代数学中有着广泛的应用，是数学学习和研 究中不可或缺的一部分。
基本不等式的应用
数学解题
基本不等式在数学解题中有着广泛的应用，可以帮助解决各种不等式问题。
教学手段
利用多媒体教学设备，结合板书，通过问题引导、小组讨论、实例分析等多种形 式进行教学，使学生更好地理解和掌握基本不等式的内容。
02
基本不等式的历史背景
基本不等式的起源
1 2
早期文明
在古代文明中，人们已经有了不等关系的意识 ，并开始使用一些简单的比较方法来比较数值 大小。
基本不等式的变形公式推导
基本不等式的变形公式推导【原创实用版】目录一、引言二、基本不等式的定义和性质三、基本不等式的变形公式四、变形公式的推导过程五、结论正文一、引言在数学中，基本不等式是一个非常重要的概念，它在各个领域的数学问题中都有着广泛的应用。
了解基本不等式的性质和变形公式，对于我们解决实际问题有着重要的意义。
本文将介绍基本不等式的变形公式推导过程。
二、基本不等式的定义和性质基本不等式，又称柯西不等式，是指对于任意的实数 a1, a2, b1, b2，都有 (a1b1 + a2b2)^2 ≤ (a1^2 + a2^2)(b1^2 + b2^2) 成立。
这个不等式在数学中有着非常广泛的应用，是许多其他不等式的基础。
三、基本不等式的变形公式基本不等式的变形公式是指将基本不等式的形式进行改变，得到其他形式的不等式。
常见的变形公式有：1.(a1b1 + a2b2)^2 ≥ 4a1a2b1b2，当且仅当 a1/a2 = b1/b2时取等号。
2.(a1b1 + a2b2)^2 ≤ 4(a1^2 + a2^2)(b1^2 + b2^2)，当且仅当 a1b1= a2b2 时取等号。
3.(a1b1 + a2b2)^2 ≥ 4a1a2b1b2，当且仅当 a1/a2 = b1/b2且a1b1 = a2b2 时取等号。
四、变形公式的推导过程以第一个变形公式为例，我们来看其推导过程：(a1b1 + a2b2)^2 - 4a1a2b1b2 = (a1b1 - 2a1a2b1b2 + a2b2)(a1b1 - 2a1a2b1b2 + a2b2)= [(a1 - 2a2b1)(b1 - 2b2a2)]^2因为 a1, a2, b1, b2 是任意实数，所以 (a1 - 2a2b1)(b1 - 2b2a2) 也是实数。
因此，[(a1 - 2a2b1)(b1 - 2b2a2)]^2 >= 0。
所以，(a1b1 + a2b2)^2 >= 4a1a2b1b2。
高中数学：基本不等式
基本不等式1、基本不等式√ab≤a+b2(a>0,b>0)，当且仅当a=b时取等号其中，a+b2为正数a,b的算数平均数，√ab为正数a,b的几何平均数2、基本不等式的变形（1）a2+b2≥2ab(a,b∈R)，当且仅当a=b时取等号（2）a+b≥2√ab(a>0,b>0)，当且仅当a=b时取等号（3）ab≤(a+b2)2(a,b∈R)，当且仅当a=b时取等号（4）a+1a ≥2(a>0)，当且仅当a=1时取等号；a+1a≤−2(a<0)，当且仅当a=−1时取等号（5）ba +ab≥2(a,b同号)，当且仅当a=b时取等号（6）2aba+b 为正数a,b的调和平均数，√a2+b22为正数a,b的平方平均数则：2aba+b ≤√ab≤a+b2≤√a2+b22(a>0,b>0)注意：运用基本不等式及其变形时，一定要验证等号是否成立。
3、基本不等式与最值已知x>0,y>0（1）如果xy是定值p，那么当且仅当x=y时，x+y有最小值2√p（简记：积定和最小）（2）如果x+y是定值s，那么当且仅当x=y时，xy有最大值s 24（简记：和定积最大）注意：①一正二定三相等②连续使用基本不等式时，等号要同时成立题型一、基本不等式的性质1、下列不等式中正确的是（）A.a2+b2≥4abB.a+4a≥4C.a2+2+1a2+2≥4 D.a2+4a2≥42、若正实数a,b满足a+b=1，则（）A.1a +1b有最大值4 B.ab有最小值14C.√a+√b有最大值√2D.a2+b2有最小值√22题型二、代数式最值的求解方法——拼凑法1、已知8a+2b=1(a>0,b>0)，则ab的最大值为____________2、已知f(x)=x 2+3x+6x+1(x>0)，则f(x)的最小值是______________3、若a、b∈R,ab>0，则a 4+4b4+1ab的最小值为________________4、中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术"，即已知三角形三边长求三角形面积的公式:设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S=√p(p−a)(p−b)(p−c)求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a=6, b+c =8，则此三角形面积的最大值为_____________题型三、条件最值的求解方法——常数代换法1、若正实数x,y满足x+y=1，则4x +9y的最小值为_____________2、已知x>0,y>0,z>0，且9y+z +1x=1，则x+y+z的最小值为________________3、若正实数x,y满足x+y=1，则4x+1+1y的最小值为_____________4、若正实数x,y满足x+4y−xy=0，则3x+y的最大值为________________5、已知a、b都是正数，且ab=1，则12a +12b+8a+b的最小值为______________6、已知a、b都是正数，且ab+a+b=3，则ab的最大值是________________；a+2b的最小值是______________7、已知5x2y2+y4=1(x,y∈R)，则x2+y2的最小值是_____________8、已知ab=12，a,b∈(0,1)，那么11−a+21−b的最小值为_______________题型四、应用题1、某果农种植一种水果，每年施肥和灌溉等需投人4万元为了提高产量同时改善水果口味以赢得市场，计划在今年投入x万元用于改良品种。
基本不等式 课件
1．已知a、b、c是不全相等的正数，求证：a(b2＋c2)＋
b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)>6abc.
证明：∵b2＋c2≥2bc，a＞0，
∴a(b2＋c2)≥2abc.
①
同理b(c2＋a2)≥2abc，
②
c(a2＋b2)≥2abc.
③
因为a、b、c不全相等，所以①②③式中至少有一个式
子不能取“＝”．
7.围建一个面积为360 m2的矩形场 地，要求矩形场地的一面利用 旧墙(利用旧墙需维修)，其他三 面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2 m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元 /m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x (单位：元)． (1)将y表示为x的函数； (2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并 求出最小总费用．
≥
ab 成
立．两个不等式中等号成立的充要条件都是 a＝b .
2．由基本不等式可推出以下几种常见的变形形式 (1)a2＋b2≥a＋2 b2； (2)ab≤a2＋2 b2； (3)ab≤(a＋2 b)2； (4)(a＋2 b)2≤a2＋2 b2； (5)(a＋b)2≥4ab.
[例 1] 已知 a、b、c∈R＋，且 a＋b＋c＝1. 求证：1a＋1b＋1c≥9.
解：(1)如题图所示，设矩形的另一边长为a m. 则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360.
由已知xa＝360，得a＝36x0 所以y＝225x＋36x02－360(x＞0)． (2)∵x>0， ∴225x＋36x02≥2 225×3602＝10 800. ∴y＝225x＋36x02－360≥10 440， 当且仅当225 x＝36x02时，等号成立． 即当x＝24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费 用是10 440元．
基本不等式
一正;二定;三相等.有一个条件达不 到就不能取得最值.
1.基本不等式及其常用变式
(1)a2 b2 2ab (a, b R)
(2) a b ab (a, b R ) 2
(3) a b 2(ab 0) x 1 （ 2 x 0）
（x+y+z）3 27
xyz，
即（x+y+z）3 27xyz
例２: (1)当0 x 1时,求函数y x2 (1 x)的最大值.
解: 0 x 1, 1 x 0,
y x2 (1 x) 4 x x (1 2
)3
4
3
27
构造三 个数相
加等于 定值.
那么当x
=
y时,xy有最大值
S2 4
.
a b c 3 abc,当且仅当a b c时， 3
等号成立。
a3 b3 c3 3abc
(a b)3 3a3b 3ab2 c3 3abc
(a b)3 c3 3a3b 3ab2 3abc
(a b c) (a b)2 (a b)c c2 3ab(a b c)
2.基本不等式：
a1 a2 an n
≥
n a1a2 an n N * , ai R ,1 i n
语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们
的几何平均数，当且仅当ａ1＝a2＝…=an时， 等号成立．
例1、已知x，y，z R+，求证：
（x+y+z）3 27xyz。
证明：因为 x y z 3 xyz，所以 3
若a,b.c R , 那么 a b c 3 abc, 3
当且仅当a b c时，等号成立。
基本不等式的公式及变形
基本不等式的公式及变形1. 引言大家好，今天我们要聊聊一个有趣又实用的数学话题——基本不等式。
听起来是不是有点严肃？别担心，我们会让这个话题轻松愉快。
你知道吗？在生活中，这种不等式其实无处不在，就像你每天的早餐一样，虽然看似简单，但背后却有不少道道！我们一起来深入探讨一下吧。
2. 什么是基本不等式？2.1 基本不等式的定义简单来说，基本不等式就是在某些条件下，两个数学表达式之间的关系。
比如，给你两个非负数 ( a ) 和 ( b )，那么 ( frac{a + b{2 geq sqrt{ab )。
这句话听上去好像挺高深的，但实际上就像朋友之间的关系一样，互相之间的支撑和帮助，可以让大家都过得更好！2.2 日常生活中的例子想象一下，你和你的朋友一起去吃饭，你们点了两道菜，一个是酸辣汤，一个是米饭。
你们两个人分着吃，就像不等式里的 ( a ) 和 ( b )，最后的分数（也就是你们的快乐）肯定是超过了单独吃的。
就像这个不等式，团队合作总能让事情变得更好，这可不是空话哦！3. 基本不等式的应用3.1 在数学中的应用除了生活中的小例子，基本不等式在数学里可是大显身手的。
比如在解决一些优化问题时，基本不等式就像一个万能钥匙，能帮助我们打开各种大门。
无论是代数、几何，还是微积分，基本不等式的身影都能随处可见，简直是数学界的小明星。
3.2 在其他领域的应用而且，它的魅力还不止于此。
比如在经济学中，基本不等式能够帮助我们分析资源分配问题，确保每个人都能吃到“蛋糕”。
在物理学里，它也能帮助我们理解能量守恒，真是一举多得。
就像那句老话，“不怕一万，就怕万一”，把不等式应用到生活的每一个角落，能够让我们的决策更加明智。
4. 基本不等式的变形4.1 变形的乐趣说到变形，那可是数学中最有趣的部分之一！基本不等式就像变魔术一样，你可以用不同的方式来表达它，而得到的结果依旧成立。
这就像我们的生活，时常需要调整和改变，才能找到最适合自己的方式。
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仅当a＝b时等号成立；
2.函数的最大值和最小值的含义分别 是什么？ 最大值:f(x)≤M，且等号成立; 最小值:f(x)≥m，且等号成立. 3.在一定条件下，利用基本不等式可 以求出变量的极端值，因此，利用基本 不等式求最值就成为一种重要的数学方 法.
探究（一）：基本不等式与最值原理
思考1：在基本不等式 a b 2 ab
2 2 sin x + 匙2 sin x = 2 2 sin x sin x
，得函数
思考6：利用基本不等式求两个变量的和 的最小值(或积的最大值)，应具备哪些 基本条件？ 一正二定三相等
探究（二）基本不等式求最值的实际应用
【背景材料】在农村，为防止家畜家禽 对菜地的破坏，常用篱笆围成一个菜园. 如果菜园的面积一定，为节省材料，就 应考虑所用篱笆最短的问题；如果所用 篱笆的长度一定，为了充分利用材料， 就用考虑所围菜园面积最大的问题
3.4
基本不等式 第一课时
ab ab 2
问题提出
1.不等式有许多基本性质，同时还有一 些显而易见的结论，如a2≥0，|a|≥0， |a|≥a等，这些性质都是研究不等式问 题的理论依据.在实际应用中，我们还需 要有相应的不等式原理.
2.如图是在北京召开的第24界国际数 学家大会的会标，它是根据中国古代数 学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使 它看上去象一个风车，代表中国人民热 情好客.在这个图案中既有一些相等关系， 也有一些不等关系， 对这 些等与不等的关系， 我们作些相应研究.
探究（一）:基本不等式的原理
思考1：将图中的“风车” 抽象成如图，在正方形 ABCD中有4个全等的直角 三角形.设直角三角形的 两条直角边长为a，b那么 正方形ABCD和EFGH的边长 分别为多少？
a 2 b2
D G H F E B C
A
a b
2
2
|a－b |
思考2：图中正方形ABCD的面积与4个直 角三角形的面积之和有什么不等关系？ 由此可得到一个什么不等式？ D
2ab ab ³ a+b
ab ³ 2 1 1 + a b
理论迁移
例1 已知x、y都是正数，求证： 2 2 3 3 3 3 (x＋y)(x ＋y )(x ＋y )≥８x y
Æ
例2 已知 a2＋b2＋c2＝1， 3 求证：(a＋b＋c) ≤3.
小结作业
1.不等式a2＋b2≥2ab与
都是基本不等式，它们成立的条件不同， 前者a、b可为任意实数，后者要求a、b 都是正数，但二者等号成立的条件相同.
a2＋b2≥2ab
A
G H
F E B
C
思考3：从图形分析,上述不等式在什么 情况下取等号？
当直角三角形为等腰直角三角形，即 a＝b时， a2＋b2＝2ab.
思考4：在上面的图形背景中，a，b都是 正数，那么当a，b∈R时，不等式 a2＋b2≥2ab成立吗？为什么？ D
A G H
F
E BCΒιβλιοθήκη 一般地，对于任意实数a，b，有: a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立.
ab 2
ab
2.基本不等式有多种形式，应用时具有 很大的灵活性，既可直接应用也可变式 应用.一般地，遇到和与积，平方和与积， 平方和与和的平方等不等式问题时，常 利用基本不等式处理
3.当a、b都是正数时，有不等式链
a +b a+ b 吵 2 2
2 2
ab
2 1 1 + a b
作业： P100习题3.4 A组：1，2.
3.4
基本不等式 第二课时
ab ab 2
问题提出
1.基本不等式有哪几种基本形式？ （1） a2＋b2≥2ab（a，b∈R），当且 仅当a＝b时等号成立； （2）a b 2 ab(a＞0，b＞0)，当且仅 当a＝b时等号成立；
a 2 + b2 a+b 2 （3） 2 ³ ( 2 ) (a＞0，b＞0)，当且
A
O
D
B
探究（二）：基本不等式的变通
ab ab 思考1：将基本不等式 2
两边平方可得什么结论？它与不等式 a2＋b2≥2ab有什么内在联系？
a+ b 2 ( ) ³ ab 2
思考2：在不等式a2＋b2≥2ab两边同加 上a2＋b2可得什么结论？所得不等式有 什么特色？
2 a x0 x , bx x2 )c y1 ax 2 ( x1
(a＞0，b＞0)中，如果a· b＝P为定值， 能得到什么原理？ 原理一：若两个正数的积为定值，则当 这两个正数相等时它们的和取最小值.
思考2：在基本不等式 a b 2 ab
(a＞0，b＞0)中，如果a＋b＝S为定值， 又能得到什么原理？
原理二：若两个正数的和为定值，则当 这两个正数相等时它们的积取最大值 .
思考3：能否由
1 得函数 y = x + 的最小值是2吗？ x
1 1 x + 匙2 x = 2 x x
思考4：当x≥4时,能否由
1 得函数 y = x + 的最小值是4吗？ x
2
1 2 1 x + 匙2 x = 2 x x x
2
4
思考5：当x∈(0，π )时，能否由
2 的最小值是 2 2 吗？ y = sin x + sin x
思考5：特别地，如果a＞0，b＞0，我们 用 a 、 b 分别代替a、b ，可得什么不 等式?
a b 2 ab
a
ab ab (a >0, b>0) 2
当且仅当a＝b时等号成立.
ab 思考6：不等式 ab (a >0, b>0) 2
称为基本不等式，它沟通了两个正数的 和与积的不等关系，在实际问题中有广 泛的应用，你能用分析法证明吗？
a
a+b 2
a+b 思考7：我们称 和 ab 分别为a， 2
b的算术平均数和几何平均数，如何用 文字语言表述基本不等式？ 两个正数的算术平均数不小于它们的 几何平均数.
a+b 2
思考8：如图，在直角三角形ABC中，CD 为斜边上的高， CO为斜边上中线，你能 利用这个图形对基本不等式作出几何解 C 释吗？
a +b a+b 2 ³ ( ) 2 2
2
2
它反映了两个实数的平方和与它们的 和的平方的不等关系，称为平方平均 不等式，其数学意义是：两个实数的 平方的算术平均数不小于它们的算术 平均数的平方.
ab ³
2 1 1 + a b
思考3:将不等式 a b 2 ab (a 0, b 0) 两 边同乘以 ab ，可变通出一些什么结论？