场论与张量运算简介PPT课件

张量乘的阶数
乘法符号 无 x . :
结果的阶数 Σ
Σ-1 Σ-2 Σ-4
例子
v，vw
v×w, uv×uw v ·w, uv ·wv
uv : wv
标量—0阶张量； 矢量— 1阶张量； 张量—本课通指2阶张量
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标量、矢量和张量乘结果的表示
标量、矢量和张量乘结果的表示
括号类型 （） [] {}
结果类型 标量 矢量 张量
三维：
f(x,y,z)f(x0,y0,z0)1 1!(xx0) fx(yy0) fy(zz0) fz(x0,y0,z0)
j 21 j!(xx0)x(yy0)y(zz0)zj f(x0,y0,z0)
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流体力学基本概念
欧拉方法表达加速度
lim dv v(M ,t t)v(M ,t)
dt t 0
t
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矢量乘法——点乘
两个矢量标量积（点乘、点积）
(v•w)vw covsw
交换率（OK）： u ● v = v ● u 结合率（NA）： ( u ● v ) w ≠ u ( w ● v ) 分配率（OK）： u ● {v + w} = u ● v + u ● w
v ● v = ? 几何意义？
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欧拉方法
着眼点：寻求空间中每个点上描述 流体运动随时间的变化状态
vv(r,t)
M
M’
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流体力学基本概念
泰勒展开(Taylor Series)
一维：
f( x ) f( x 0 ) 1 1 ! ( x x 0 ) d d f x x x 0 2 1 ! ( x x 0 ) 2 d d 2 x f 2 3 1 ! ( x x 0 ) 3 d d 3 x f 3 ...
lim lim d v v ( M ,t t) v ( M ,t) v ( M ,t) v ( M ,t)
d t t 0
t
t 0 t
v 泰勒展开： v(M ,t)v(M xvxt,Myvyt,M zvzt,t) v(M x,My,M z,t) v xvxt v yvyt v zvzt
矢量乘法——叉乘
两个矢量矢量积（叉乘、叉积）
[vw ]{vs wiv n} w n vw
几何意义？
交换率（NA）： [vw][wv] 结合率（NA）： [u [v w ] ][u [ v ] w ] 分配率（OK）： [u { v } w ] [u v ] [v w ]
[vv]?
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张量乘的阶数计算
定态场（不随时间改变） 非定态场
无源场（管式场）——散度为零 无旋场（势场）—— 旋度为零
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场论——标量、矢量和张量表示
s =标量（不加黑的斜体字母） v =矢量（加黑的斜体字母）
τ =张量（加黑的希腊字母）
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矢量的定义
矢量定义：具有一定的量值和方向的量
v v
矢量相等：量值相等、方向相同（可以是 非共线、非同一作用原点)
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矢量加减法
矢量加减法
交换率 v + w = w + v 结合率 ( v + w )+u = v + ( w +u )
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矢量乘法——矢量和标量
矢量和标量的乘法 交换率（OK）： sv = vs 结合率（OK）： r (s v ) = ( r s ) v 分配率（OK）： ( q + r + s ) v = q v + r v + s v
标量、矢量、n 阶张量的关系
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一点的应力状态——应力张量
压力张量
1. 面力 2. 各向同性
p 0 0 0 p 0 pE 0 0 p
p 0 0 nx pxn 压力： pn 0 p 0•nypynpn
0 0 p nz pzn
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一点的应力状态——应力张量
剪应力张量
xx xy xz xx xy xz
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流体力学基本概念
流体速度分解定律
vv01 2rov trS•r
S：变形速度张量
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流体力学基本概念
涡量
Ω
Ω =rot v
M L
v
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流体力学基本概念
体力 —— 单位体积流体上受到的力
ρg
g—矢量
面力 —— 流体单位面积上受到的力
与面有关，张量描述
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一点的应力状态——应力张量
张量的物理概念（Tensor) 1. 是矢量 2. 是面力，与作用面有关
a v d d v t v t v x v x v y v y v z v z t v t ( v • ) v
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流体力学基本概念
流体速度分解定律——速度类型
1. 平移速度 2. 旋转速度 3. 变形速度
例子： A. 速度均匀的平移流动 B. 平行剪流 C. 简单的环形流动 D. 流线是圆形的无旋流动
τyx yy yzxy yy yz
zx
zy
z
z
xz
Fra Baidu bibliotek
yz
zz
τxy:剪应力的 y 分量作用于 x 面上的力
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场论
定义： 设在空间中的某个区域内定义标量函数或矢量 函数，则称定义在此空间内的函数为场
B
A
A
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场论——场的分类
标量场（温度场、密度场） 矢量场（力场、电磁场、速度场）
均匀场 不均匀场
——传递过程原理
第3章 场论与张量运算简介
2009年9月
本章内容
1. 流体力学基本概念 2. 一点的应力状态——应力张量 3. 场论 4. 二阶张量运算 5. 流体力学本构方程 6. 小结
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流体力学基本概念
连续介质假设和微团
真实流体所占有的空间可近似看作是由“流体质点”连续地无 空隙地充满着的。
1. 空间尺度（microscope, mesoscope, macroscope)
2. 时间尺度（飞秒、皮秒 、纳秒、微秒、毫秒、秒）
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流体力学基本概念
拉格朗日方法
着眼点：寻求质点位置变化规律
rr(x,y,z,t)
v r(x, y, z,t) t
avvt 2r(x,ty2,z,t)
4
流体力学基本概念
例子 ( v ·w ) [v×w] { uv + wv }
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流体力学基本概念
流体速度分解定律——刚体运动
vv0ωr rovt2ω
vv0
1rovtr 2
v0 : 平移速度
rotv : 旋度
ω：角速度
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流体力学基本概念
流体速度分解定律——旋度
旋度物理意义：刚体旋转时的2倍旋转角速度
旋度几何意义：设想一向量场,每一点都有一个向量,则在有旋度的点 处周围很小的空间里,会有向量绕成一个闭合的平面旋涡状,像水的旋 涡, 这一点的很小的一个空间里的平均的向量旋转角速度称为旋度。