材料力学第五章 弯曲应力
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x
F F d F 0 N 2 N 1 S
将FN2、FN1和dFS′的表达式带入上式，可得
* M M d M * S S b d x 0 z z
I z I z
简化后可得
dM S z* dx I z b
dM F S ，代入上式得 由公式（4－2）， dx
* 式中 S z
A1
y1dA ，是横截面距中性轴为 y 的横线 pq 以下的面积对中性轴的静矩。同理，
可以求得左侧面 rn 上的内力系的合力 FN 1 为
M * FN 1 S z Iz
在顶面rp上，与顶面相切的内力系的合力是
d F b d x S
根据水平方向的静平衡方程
F 0 ，可得
综上所述，对于各横截面剪力相同的梁和剪力不相同的
细长梁（l>5h），在纯弯曲情况下推导的弯曲正应力公式 （5－2）仍然适用。
例5－1
图5－10(a)所示悬臂梁，受集中力F与集中力
偶Me作用，其中F＝5kN，Me＝7.5kN· m，试求梁上B点左邻 面1－1上的最大弯曲正应力、该截面K点处正应力及全梁的 最大弯曲正应力。
第五章 弯曲应力
5.1 弯曲正应力 5.2 弯曲切应力简介 5.3 弯曲强度条件及其应用 5.4 提高梁弯曲强度的主要措施
5.1 弯曲正应力
上一章研究表明，一般情况下，梁横截面上同时存在
剪力FS和弯矩M。由于只有切向微内力τ dA才可能构成剪力， 也只有法向微内力σdA才可能构成弯矩，如图5－1（a)所示。 因此，在梁的横截面上将同时存在正应力σ和切应力τ（见图 5－1(b)）。梁弯曲时横截面上的正应力与切应力分别称为 弯曲正应力与弯曲切应力。
式（b）表示了纯弯曲时梁横截面上的正应力分布规律。
由此式可知，横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴 的距离成正比，距中性轴等远的同一横线上各点处的正应 力相等，中性轴上各点处的正应力均为零。正应力分布形 式如图5-6a所示，一般可用图5-6b简便地表示。
3.静力学关系
上面虽已得到正应力分布规律，但还不能用式（b）直 接计算梁纯弯曲时横截面上的正应力。至此有两个问题尚未 解决：一是中性层的曲率半径ρ未知；二是中性轴位置未知， 故式（b）中的y还无法确定。要解决这两个问题，需从静平 衡关系入手。
图5－10
解（1）内力分析。作出该梁的弯矩图如图5－10(b)所
示，由弯矩图可知，截面1－1的弯矩为
M1=5×1-7.5=-2.5kN· m
全梁最大弯矩在梁固定端截面A处，即
M 5 3 7 . 5 7 . 5 kN m max
（2）计算弯曲正应力。截面1－1上，图示K点弯曲正
将式（b）代入式（c）得
（c） （d）
E E AydA 0 A ydA
图5－7
E 由于 0 故
A
y dA 0
（e）
式（e）中左边的积分代表横截面对z轴的静矩Sz（见附
录A）。由附录A知，只有当z轴通过横截面形心时，静矩Sz 才为零。由此可见，中性轴通过横截面的形心。 将式（b）代入式（d
图5－3
根据上述现象，提出以下假设：
（1）平面假设:变形后，横截面仍保持平面，且仍与变 形后的轴线正交。在变形过程中，横截面只不过发生了“刚 性”转动。 （2）单向受力假设:梁的纵向“纤维”仅发生轴向伸长 或缩短，即只承受轴向拉力或压力。也就是说，纵向“纤维” 之间无挤压作用。
图5－4
上述假设已被众多实验和理论分析所证实。
max
M Wz
（5-5）
式(5－5)表明，最大弯曲正应力与弯矩成正比，与抗弯 截面模量成反比。抗弯截面模量Wz综合地反映了横截面形
状和尺寸对最大弯曲正应力的影响。
由附录A知，矩形截面、圆形截面及空心圆截面（见图 5－8(a)、(b)、(c)）对z轴的惯性矩分别为
13 4 4 4 I bh , I d , I D d z z z 12 64 64
在图5－2(a)中，简支梁上的两个外力F对称地作用于梁 的纵向对称面内，其剪力图、弯矩图如图5－2(b)、(c)所示。 从图中可以看出，在AC、DB梁段内，横截面上既有剪力又 有弯矩，因而既有切应力又有正应力，这种弯曲称为横力弯
曲或剪切弯曲；在CD段内梁横截面上的剪力为零，弯矩为
常量，因而横截面上只有正应力而无切应力，这种弯曲称为 纯弯曲。研究梁的弯曲正应力，必须从试验现象分析入手，
应力为
6 M 12 M y 12 2 . 5 10 30 1 1K y 3 44 M Pa K K 3 I bh 40 80 z 计算时，只取绝对值计算，由于该截面弯矩为负，中 性轴以下部分受压，故K点为压应力。 截面1－1上最大弯曲正应力为
6 M 6 M 6 2 . 5 10 1 1 58 . 6 MPa 1 m ax 2 2 W bh 40 80 z
设横截面的纵向对称轴为y轴，中性轴为z轴，梁轴线为
x轴，绕点（y,z）取一微面积dA，作用在其上的法向微内力 为σdA（见图5－7），横截面上各点的法向微内力σdA组成 一空间平行力系，而且横截面上不存在轴力，仅存在位于x －y平面内的弯矩M，根据静平衡关系有
dA F 0 N A
ydA M A
根据平面假设，梁弯曲时上面部分纵向“纤维”伸长， 下面部分纵向“纤维”缩短，由变形连续性假设可知，从伸 长区到缩短区，其间必存在一层既不伸长也不缩短的过渡层， 将这层长度不变的“纤维”层称为中性层。中性层与横截面 的交线称为中性轴（见图5－4）。平面弯曲时，梁的变形对 称于纵向对称面，故中性轴必然垂直于截面的纵向对称轴。 因此，梁纯弯曲的特征为：保持平面的横截面绕中性轴 作相对转动，且正交于变形后的梁轴线;纵向“纤维”均处 于单向受力状态。
现在根据式（5－9）讨论弯曲切应力在横截面上沿高度
y的分布形式。 距中性轴为y处横线以下部分截面对中性轴z的静矩为 S*z（见图5－13），其值为
2 h 1 h b h * 2 S b ( y ) ( y ) ( y ) z 2 2 2 24
M y Iz
此式为弯曲正应力的一般公式。
（5-2）
5.1.3 最大弯曲正应力
工程中最感兴趣的是横截面上的最大正应力，也就是横 截面上距中性轴最远各点处的正应力。将y＝ymax代入式（5 －2），可得 令
max
M ymax Iz
（5－3） （5-4）
Iz Wz y max
Wz称为抗弯截面模量，此值仅与截面的形状和尺寸有关。于 是，最大弯曲正应力为
F S S z* I zb
FS S z* ( y ) I zb
（5－9）
式中，FS为梁横截面上的剪力；Iz为整个横截面对中性轴z
的惯性矩；S*z为y处横线一侧部分的截面对z轴的静矩（见
附录A），b代表所求点处的截面宽度。这就是矩形截面梁 弯曲切应力的计算公式。此式亦为弯曲切应力的一般计算 公式。
5.1.2 弯曲正应力的一般公式
推导纯弯曲梁横截面的正应力公式，需从几何关系、物 1.几何关系 纯弯曲时梁的纵向“纤维”由直线变为圆弧，相距dx的 两横截面1′－1′和2′－2′绕各自中性轴发生相对转动，如图5 －5所示。横截面1′－1′和2′－2′的延长线相交于O点，O即为 中性层的曲率中心。设中性层的曲率半径为ρ，此两横截面 夹角为dθ，则距中性层为y处的纵向“纤维”原始长度为ab， 变形后长度为a′b′。该纤维的正应变为
此梁为等截面直梁，故全梁最大弯曲正应力在最大弯矩 所在截面上，其值为
6 M 6 M 6 7 . 5 10 max max 175 MPa max 2 2 W bh 40 80 z
5.2
弯曲切应力简介
5.2.1 矩形截面梁的弯曲切应力 矩形截面梁的任意横截面上，剪力FS皆与横截面的对称 轴y重合（见图5－11(b)）。设横截面的高度为h，宽度为b， 现研究弯曲切应力在横截面上的分布规律。 首先对弯曲切应力的分布作如下假定： （1）横截面各点处的切应力均平行于剪力或截面侧边。 （2）切应力沿截面宽度方向均匀分布（见图5－11(b)）。
a b Biblioteka ab ( y ) d d y ab d
（a）
图5－5
实际上，由于距中性层等远处各纵向“纤维”的变形相 同，因此，上述正应变ε即代表距中性层为y的任一纵向“纤
维”的正应变。
图5－6
2.物理关系
根据纵向纤维假设，各纵向“纤维”处于单向拉伸或压 缩状态，因此，当正应力不超过材料的比例极限时，胡克定 律成立，由此得横截面上距中性层y处的正应力为 y E E （b）
图5－9
但是，如果两截面间没有载荷作用时，两截面的剪力相同，
应力分布形式也相同，则横截面的翘曲程度也相同，由弯矩 所引起的纵向纤维的线应变将不受剪力的影响，所以弯曲正 应力公式（5－2）仍然适用。当梁承受分布载荷作用时，两 截面上的剪力不同，因而翘曲程度也不相同，而且此时纵向 纤维还受到分布载荷的挤压或拉伸作用，但精确理论分析表 明，如果所研究的梁为细长梁（l>5h），这种翘曲对弯曲正 应力的影响很小，应用式（5－2）计算弯曲正应力仍然是相 当精确的。
E2 E 2 E ydA ydA I M z A A
即
1 M EI z
（5-1）
上式表明，中性层的曲率1/ρ与弯矩M成正比，与抗弯
刚度成反比。惯性矩Iz综合地反映了横截面的形状与尺寸对 弯曲变形的影响。 将式（5－1）代入式（b），可得纯弯曲时梁横截面上 的正应力计算公式为
由式（5－4）可知，矩形截面、圆形截面及空心圆截面
的抗弯截面模量分别为
1 2 Wz bh 6
Wz
（5－6）
32
d3
（5－7）
3 4 W D ( 1 ) z 32
（5－8）
式中:α=d/D,为内、外径之比。
图5－8
5.1.4 弯曲正应力公式的适用范围
弯曲正应力公式是在纯弯曲情况下推出的。当梁受到 横向力作用时，一般横截面上既有弯矩又有剪力，这种弯曲 称为横力弯曲。剪力会在横截面上引起切应力τ，从而存在 切应变γ=τ/G。由于切应力沿梁截面高度变化（见下一节）， 故切应变γ沿梁截面高度也是非均匀的。因此，横力弯曲时， 5－9中的1 －1截面变形后成为1′－1′截面。既然如此，以平面假设为基 础推导的弯曲正应力公式，在横力弯曲时就不能适用。
图5－11
图5－12
用 mn 和 mn 横截面从图 5-11a 中切取长为 dx 的微段，设截面 mn 和 m1n1 上的弯矩分 别为 M 和 M+dM， 再以平行于中性层且距中性层为 y 的 pr 平面从微段中切取一部分 prnn1 ， 则在这一截出部分的左侧面 rn 上，作用着由弯矩 M 引起的正应力；右侧面 pn1 上，作用着 由弯矩 M+dM 引起的正应力；在顶面 pr 上，作用着切应力 。以上这三种应力都平行于 x 轴（图 5-12a） 。在右侧面 pn1 上（图 5-12b） ，由微内力dA 组成的内力系的合力是
综合考虑几何、物理与静力学三方面因素。
图5－1
图5－2
5.1.1 试验与假设
首先观察梁的变形。研究具有纵向对称截面的梁（如矩 形截面梁），在梁表面画出平行于轴线的纵线ab、cd以及垂 直于轴线的横线1－1、2－2（见图5－3(a)），然后在梁纵 向对称面内加载，使梁处于纯弯曲状态，其弯矩为M（见图 5－3(b)），可观察到以下现象： (1）梁表面的横线仍为直线，仍与纵线正交，只是各横 线作相对转动。 （2）纵线由直线弯成同心圆弧线，靠近梁底面的纵线伸 长，靠近梁顶面的纵线缩短。 （3）原来的矩形截面，下部变窄，上部变宽。
FN 2 dA
A 1
式中A1为右侧面pn1的面积，正应力 可按弯曲正应力公式算出，
于是
M d M y M d M M d M * 1 F d A d A y d A S N 2 1 z A A A 1 1 1 I I I z z z
F F d F 0 N 2 N 1 S
将FN2、FN1和dFS′的表达式带入上式，可得
* M M d M * S S b d x 0 z z
I z I z
简化后可得
dM S z* dx I z b
dM F S ，代入上式得 由公式（4－2）， dx
* 式中 S z
A1
y1dA ，是横截面距中性轴为 y 的横线 pq 以下的面积对中性轴的静矩。同理，
可以求得左侧面 rn 上的内力系的合力 FN 1 为
M * FN 1 S z Iz
在顶面rp上，与顶面相切的内力系的合力是
d F b d x S
根据水平方向的静平衡方程
F 0 ，可得
综上所述，对于各横截面剪力相同的梁和剪力不相同的
细长梁（l>5h），在纯弯曲情况下推导的弯曲正应力公式 （5－2）仍然适用。
例5－1
图5－10(a)所示悬臂梁，受集中力F与集中力
偶Me作用，其中F＝5kN，Me＝7.5kN· m，试求梁上B点左邻 面1－1上的最大弯曲正应力、该截面K点处正应力及全梁的 最大弯曲正应力。
第五章 弯曲应力
5.1 弯曲正应力 5.2 弯曲切应力简介 5.3 弯曲强度条件及其应用 5.4 提高梁弯曲强度的主要措施
5.1 弯曲正应力
上一章研究表明，一般情况下，梁横截面上同时存在
剪力FS和弯矩M。由于只有切向微内力τ dA才可能构成剪力， 也只有法向微内力σdA才可能构成弯矩，如图5－1（a)所示。 因此，在梁的横截面上将同时存在正应力σ和切应力τ（见图 5－1(b)）。梁弯曲时横截面上的正应力与切应力分别称为 弯曲正应力与弯曲切应力。
式（b）表示了纯弯曲时梁横截面上的正应力分布规律。
由此式可知，横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴 的距离成正比，距中性轴等远的同一横线上各点处的正应 力相等，中性轴上各点处的正应力均为零。正应力分布形 式如图5-6a所示，一般可用图5-6b简便地表示。
3.静力学关系
上面虽已得到正应力分布规律，但还不能用式（b）直 接计算梁纯弯曲时横截面上的正应力。至此有两个问题尚未 解决：一是中性层的曲率半径ρ未知；二是中性轴位置未知， 故式（b）中的y还无法确定。要解决这两个问题，需从静平 衡关系入手。
图5－10
解（1）内力分析。作出该梁的弯矩图如图5－10(b)所
示，由弯矩图可知，截面1－1的弯矩为
M1=5×1-7.5=-2.5kN· m
全梁最大弯矩在梁固定端截面A处，即
M 5 3 7 . 5 7 . 5 kN m max
（2）计算弯曲正应力。截面1－1上，图示K点弯曲正
将式（b）代入式（c）得
（c） （d）
E E AydA 0 A ydA
图5－7
E 由于 0 故
A
y dA 0
（e）
式（e）中左边的积分代表横截面对z轴的静矩Sz（见附
录A）。由附录A知，只有当z轴通过横截面形心时，静矩Sz 才为零。由此可见，中性轴通过横截面的形心。 将式（b）代入式（d
图5－3
根据上述现象，提出以下假设：
（1）平面假设:变形后，横截面仍保持平面，且仍与变 形后的轴线正交。在变形过程中，横截面只不过发生了“刚 性”转动。 （2）单向受力假设:梁的纵向“纤维”仅发生轴向伸长 或缩短，即只承受轴向拉力或压力。也就是说，纵向“纤维” 之间无挤压作用。
图5－4
上述假设已被众多实验和理论分析所证实。
max
M Wz
（5-5）
式(5－5)表明，最大弯曲正应力与弯矩成正比，与抗弯 截面模量成反比。抗弯截面模量Wz综合地反映了横截面形
状和尺寸对最大弯曲正应力的影响。
由附录A知，矩形截面、圆形截面及空心圆截面（见图 5－8(a)、(b)、(c)）对z轴的惯性矩分别为
13 4 4 4 I bh , I d , I D d z z z 12 64 64
在图5－2(a)中，简支梁上的两个外力F对称地作用于梁 的纵向对称面内，其剪力图、弯矩图如图5－2(b)、(c)所示。 从图中可以看出，在AC、DB梁段内，横截面上既有剪力又 有弯矩，因而既有切应力又有正应力，这种弯曲称为横力弯
曲或剪切弯曲；在CD段内梁横截面上的剪力为零，弯矩为
常量，因而横截面上只有正应力而无切应力，这种弯曲称为 纯弯曲。研究梁的弯曲正应力，必须从试验现象分析入手，
应力为
6 M 12 M y 12 2 . 5 10 30 1 1K y 3 44 M Pa K K 3 I bh 40 80 z 计算时，只取绝对值计算，由于该截面弯矩为负，中 性轴以下部分受压，故K点为压应力。 截面1－1上最大弯曲正应力为
6 M 6 M 6 2 . 5 10 1 1 58 . 6 MPa 1 m ax 2 2 W bh 40 80 z
设横截面的纵向对称轴为y轴，中性轴为z轴，梁轴线为
x轴，绕点（y,z）取一微面积dA，作用在其上的法向微内力 为σdA（见图5－7），横截面上各点的法向微内力σdA组成 一空间平行力系，而且横截面上不存在轴力，仅存在位于x －y平面内的弯矩M，根据静平衡关系有
dA F 0 N A
ydA M A
根据平面假设，梁弯曲时上面部分纵向“纤维”伸长， 下面部分纵向“纤维”缩短，由变形连续性假设可知，从伸 长区到缩短区，其间必存在一层既不伸长也不缩短的过渡层， 将这层长度不变的“纤维”层称为中性层。中性层与横截面 的交线称为中性轴（见图5－4）。平面弯曲时，梁的变形对 称于纵向对称面，故中性轴必然垂直于截面的纵向对称轴。 因此，梁纯弯曲的特征为：保持平面的横截面绕中性轴 作相对转动，且正交于变形后的梁轴线;纵向“纤维”均处 于单向受力状态。
现在根据式（5－9）讨论弯曲切应力在横截面上沿高度
y的分布形式。 距中性轴为y处横线以下部分截面对中性轴z的静矩为 S*z（见图5－13），其值为
2 h 1 h b h * 2 S b ( y ) ( y ) ( y ) z 2 2 2 24
M y Iz
此式为弯曲正应力的一般公式。
（5-2）
5.1.3 最大弯曲正应力
工程中最感兴趣的是横截面上的最大正应力，也就是横 截面上距中性轴最远各点处的正应力。将y＝ymax代入式（5 －2），可得 令
max
M ymax Iz
（5－3） （5-4）
Iz Wz y max
Wz称为抗弯截面模量，此值仅与截面的形状和尺寸有关。于 是，最大弯曲正应力为
F S S z* I zb
FS S z* ( y ) I zb
（5－9）
式中，FS为梁横截面上的剪力；Iz为整个横截面对中性轴z
的惯性矩；S*z为y处横线一侧部分的截面对z轴的静矩（见
附录A），b代表所求点处的截面宽度。这就是矩形截面梁 弯曲切应力的计算公式。此式亦为弯曲切应力的一般计算 公式。
5.1.2 弯曲正应力的一般公式
推导纯弯曲梁横截面的正应力公式，需从几何关系、物 1.几何关系 纯弯曲时梁的纵向“纤维”由直线变为圆弧，相距dx的 两横截面1′－1′和2′－2′绕各自中性轴发生相对转动，如图5 －5所示。横截面1′－1′和2′－2′的延长线相交于O点，O即为 中性层的曲率中心。设中性层的曲率半径为ρ，此两横截面 夹角为dθ，则距中性层为y处的纵向“纤维”原始长度为ab， 变形后长度为a′b′。该纤维的正应变为
此梁为等截面直梁，故全梁最大弯曲正应力在最大弯矩 所在截面上，其值为
6 M 6 M 6 7 . 5 10 max max 175 MPa max 2 2 W bh 40 80 z
5.2
弯曲切应力简介
5.2.1 矩形截面梁的弯曲切应力 矩形截面梁的任意横截面上，剪力FS皆与横截面的对称 轴y重合（见图5－11(b)）。设横截面的高度为h，宽度为b， 现研究弯曲切应力在横截面上的分布规律。 首先对弯曲切应力的分布作如下假定： （1）横截面各点处的切应力均平行于剪力或截面侧边。 （2）切应力沿截面宽度方向均匀分布（见图5－11(b)）。
a b Biblioteka ab ( y ) d d y ab d
（a）
图5－5
实际上，由于距中性层等远处各纵向“纤维”的变形相 同，因此，上述正应变ε即代表距中性层为y的任一纵向“纤
维”的正应变。
图5－6
2.物理关系
根据纵向纤维假设，各纵向“纤维”处于单向拉伸或压 缩状态，因此，当正应力不超过材料的比例极限时，胡克定 律成立，由此得横截面上距中性层y处的正应力为 y E E （b）
图5－9
但是，如果两截面间没有载荷作用时，两截面的剪力相同，
应力分布形式也相同，则横截面的翘曲程度也相同，由弯矩 所引起的纵向纤维的线应变将不受剪力的影响，所以弯曲正 应力公式（5－2）仍然适用。当梁承受分布载荷作用时，两 截面上的剪力不同，因而翘曲程度也不相同，而且此时纵向 纤维还受到分布载荷的挤压或拉伸作用，但精确理论分析表 明，如果所研究的梁为细长梁（l>5h），这种翘曲对弯曲正 应力的影响很小，应用式（5－2）计算弯曲正应力仍然是相 当精确的。
E2 E 2 E ydA ydA I M z A A
即
1 M EI z
（5-1）
上式表明，中性层的曲率1/ρ与弯矩M成正比，与抗弯
刚度成反比。惯性矩Iz综合地反映了横截面的形状与尺寸对 弯曲变形的影响。 将式（5－1）代入式（b），可得纯弯曲时梁横截面上 的正应力计算公式为
由式（5－4）可知，矩形截面、圆形截面及空心圆截面
的抗弯截面模量分别为
1 2 Wz bh 6
Wz
（5－6）
32
d3
（5－7）
3 4 W D ( 1 ) z 32
（5－8）
式中:α=d/D,为内、外径之比。
图5－8
5.1.4 弯曲正应力公式的适用范围
弯曲正应力公式是在纯弯曲情况下推出的。当梁受到 横向力作用时，一般横截面上既有弯矩又有剪力，这种弯曲 称为横力弯曲。剪力会在横截面上引起切应力τ，从而存在 切应变γ=τ/G。由于切应力沿梁截面高度变化（见下一节）， 故切应变γ沿梁截面高度也是非均匀的。因此，横力弯曲时， 5－9中的1 －1截面变形后成为1′－1′截面。既然如此，以平面假设为基 础推导的弯曲正应力公式，在横力弯曲时就不能适用。
图5－11
图5－12
用 mn 和 mn 横截面从图 5-11a 中切取长为 dx 的微段，设截面 mn 和 m1n1 上的弯矩分 别为 M 和 M+dM， 再以平行于中性层且距中性层为 y 的 pr 平面从微段中切取一部分 prnn1 ， 则在这一截出部分的左侧面 rn 上，作用着由弯矩 M 引起的正应力；右侧面 pn1 上，作用着 由弯矩 M+dM 引起的正应力；在顶面 pr 上，作用着切应力 。以上这三种应力都平行于 x 轴（图 5-12a） 。在右侧面 pn1 上（图 5-12b） ，由微内力dA 组成的内力系的合力是
综合考虑几何、物理与静力学三方面因素。
图5－1
图5－2
5.1.1 试验与假设
首先观察梁的变形。研究具有纵向对称截面的梁（如矩 形截面梁），在梁表面画出平行于轴线的纵线ab、cd以及垂 直于轴线的横线1－1、2－2（见图5－3(a)），然后在梁纵 向对称面内加载，使梁处于纯弯曲状态，其弯矩为M（见图 5－3(b)），可观察到以下现象： (1）梁表面的横线仍为直线，仍与纵线正交，只是各横 线作相对转动。 （2）纵线由直线弯成同心圆弧线，靠近梁底面的纵线伸 长，靠近梁顶面的纵线缩短。 （3）原来的矩形截面，下部变窄，上部变宽。
FN 2 dA
A 1
式中A1为右侧面pn1的面积，正应力 可按弯曲正应力公式算出，
于是
M d M y M d M M d M * 1 F d A d A y d A S N 2 1 z A A A 1 1 1 I I I z z z