运筹学教材编写组《运筹学》课后习题(第1章 运筹学概论——第3章 对偶理论与灵敏度分析)【圣才出品】

无界解还是无可行解?
（1） max z x1 3x2
5x1 10x2 50
x1 x2 1
x2
4
x1, x2 0
解：如图 2-1 所示，该问题的可行域为有界域。目标函数 z x1 3x2 在点 A3 处取得最
大值，求解方程组
5x2x1410x2
50
可得
A3
的坐标为（2，4），所以
X*
www.100xuexi.com
2x1 3x2 x3 4x4 8
x1
2x2
6x3
7 x4
3
x1
,
x2 ,
x3 ,
x4
0
解：在第二个约束条件两边同时乘以-1，得到该线性规划问题的系数矩阵
A
P1,
P2
,
P3 ,
P4
2 1
3 2
1 6
4
7
①因为 P1 、 P2 线性无关，故有
2x1 3x2 8 x3 4x4 x1 2x2 3 6x3 7x4
4 / 58
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
www.100xuexi.com
（1） min z 3x1 4x2 2x3 5x4
4x1 x2 2x3 x4 2
x1
x2
3x3
x4
14
2x1 3x2 x3 2x4 2
x1, x2 , x3 0, x4无约束
14 13
，故
X
(2)
45 13
, 0, 14 13
T
,
0
，不是
可行解。
③因为 P1 、 P4 线性无关，故有
2x1 4x4 8 3x2 x3 x1 7x4 3 2x2 6x3
令非基变量
x2
x3
0 ，解得
x1
34 , 5
x4
7 5
，故有基可行解
X
(3)
34 , 0, 0, 5
7 5
T
，
z3
117 5
。
④因为 P2 、 P3 线性无关，故有
32xx22
x3 8 6x3
2 3
x1 x1
4x4 7 x4
令非基变量
x1
x4
0 ，解得
x2
45 , 16
x3
7 16
，故有基可行解
X
(4)
0,
45 16
,
7 16
,
0
T
，
7 / 58
圣才电子书
www.100xuexi.com
4x1 x2 2x3 x4 ' x4 '' x5 2
x1
x2
3x3
x4
'
x4
''
x6
14
2x1 3x2 x3 2x4 ' 2x4 '' x7 x8 2
x1, x2 , x3, x4 ', x4 '', x5, x6, x7 , x8 0
其中，M 为充分大的正数，对应的初始单纯形表如表 2-1 所示：
取得最小值，求解方程组
x1
x1
3x2 3 x2 2
得
A
点的坐标为 3
/
2,1 /
2
，所以
X
*
3
/
2,1 /
2
，
z* 9 / 4 ，该问题具有惟一最优解。
图 2-2
（3） max z 2x1 2x2
x1 x2 1 0.5x1 x2 2
x1
,
x2
0
解：如图 2-3 所示，该问题的可行域无界。目标函数可以增加到无穷大，因此该问题
令非基变量 x3 x4 0 ，解得 x1 1, x2 2 ，故有基可行解 X (1) 1, 2, 0, 0T ，z1 8 。
②因为 P1 、 P3 线性无关，故有
2x1 x3 8 3x2 4x4 x1 6x3 3 2x2 7x4
令非基变量
x2
x4
0
，解得
x1
45 13
,
x3
规划的标准型
5 / 58
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
www.100xuexi.com
max
s 1 pk
nm
aik xik Mx1 Mx2
i1 k 1
Mxn
s.t
xi
m k 1
xik
1
(i 1, 2,
, n)
xik 0, xi 0 (i 1, 2, , n; k 1, 2, , m)
具有无界解。
3 / 58
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
www.100xuexi.com
图 2-3
（4） max z x1 x2 x1 x2 0 3x1 x2 3 x1, x2 0
解：如图 2-4 所示，该问题的可行域为空集，因此该线性规划无可行解。
图 2-4 2.2 将下列线性规划问题变换成标准型，并列出初始单纯形表。
圣才电子书
www.100xuexi.com
十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
第 1 章 运筹学概论
本章无课后习题。
1 / 58
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
www.100xuexi.com
第 2 章 线性规划与目标规划
2.1 用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题是具有惟一最优解、无穷多最优解、
其中，M 为充分大的正数。对应的初始单纯形表如表 2-2 所示：
表 2-2
2.3 在下面的线性规划问题中找出满足约束条件的所有基解，指出哪些是基可行解，并 代入目标函数，确定哪一个是最优解。
（1） max z 2x1 3x2 4x3 7x4
6 / 58
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
z4
163 16
。
十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
⑤因 P2 、 P4 线性无关，故有
解：令 x4 x4 ' x4 ''，且 x4 ', x4 '' 0 ；在第一个约束条件两边同时乘以-1 后引入人工
变量 x5 ，在第二个约束条件右端加上松弛变量 x6 ；在第三个约束条件右端减去剩余变量 x7 ，
同时加入人工变量 x8 ，将目标函数最小化变换为最大化，得该线性规划的标准型
max z ' 3x1 4x2 2x3 5 x4 ' x4 '' Mx5 Mx8
表 2-1
（2） max s zk / pk
zk
n
m
aik xik
i1 k 1
m
xik 1 (i 1, 2, , n)
k 1
xik
Leabharlann Baidu
0
(i 1, 2,? , n; k 1, 2,
, m)
解：在上述约束条件两边同时乘以-1，然后分别引入人工变量 x1, x2,…, xn ，得该线性
(2, 4)T , z*
14 ，该线性规划
问题具有惟一最优解。
图 2-1
（2） min z x1 1.5x2
2 / 58
圣才电子书
www.100xuexi.com
x1 3x2 3
x1
x2
2
x1
,
x2
0
十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
解：如图 2-2 所示，该线性规划问题的可行域无界。目标函数 z x1 1.5x2 在点 A 处