数值分析——求π
推导过程圆周率的计算方法
推导过程圆周率的计算方法圆周率，又称π，是数学中一个非常重要的数。
它的计算一直以来都备受关注和探索。
本文将介绍三种经典的计算圆周率的方法，分别是蒙特卡洛方法、无穷级数法和中学几何法。
一、蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法是一种基于随机抽样的计算方法，其原理是通过随机点在一个区域内的分布状况来估计该区域的属性。
这个方法也可以被用于计算圆周率。
假设我们有一个边长为2的正方形，围绕它画一个内切圆。
通过随机投点，我们可以计算正方形内与圆相交的点和总点数的比例，从而估算圆周率。
通过重复进行投点实验，随着实验次数的增加，计算结果会逐渐逼近真实值。
这是因为随机点的分布越来越接近整个区域的均匀分布。
二、无穷级数法无穷级数法是一种通过无穷级数进行逼近计算的方法，其中一个著名的无穷级数就是莱布尼茨级数。
莱布尼茨级数的公式是：π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + ...我们可以通过将级数的前n项相加来逼近π的值。
随着级数项数的增加，逼近结果会越来越接近π。
此外，还有其他一些无穷级数，如马青公式和阿基米德公式等，它们也可以被用于计算圆周率。
三、中学几何法中学几何法是一种通过几何形状和关系计算圆周率的方法。
一个著名的中学几何法是通过正多边形的内接和外接圆来逼近圆周率。
首先，我们可以构建一个正多边形，然后通过计算多边形的周长和直径的比例来逼近圆周率。
当多边形的边数不断增加时，逼近结果会越来越接近π。
此外，还有其他形状和关系，如圆的面积和周长的关系等，也可以被用于计算圆周率。
综上所述，我们介绍了三种经典的计算圆周率的方法，包括蒙特卡洛方法、无穷级数法和中学几何法。
这些方法都是基于不同原理和数学概念的，并且在实际应用中具有一定的价值。
无论是使用蒙特卡洛方法的随机模拟，还是通过无穷级数的逼近计算，或者是通过几何形状的关系，计算圆周率的方法都追溯到了数学领域的深入探索和发展。
它们的推导过程和运用都有着独特的数学魅力，能够帮助我们更好地理解和应用圆周率的概念。
圆周率π的近似计算方法
圆周率π的近似计算方法圆周率π是一个无理数，它的精确值无法用有限的分数或小数表示。
然而，通过数学方法和计算技术，我们可以使用一些近似计算方法来得到π的近似值。
下面将介绍一些常见的计算π的方法。
1.随机法（蒙特卡洛方法）：随机法是一种通过随机事件的频率来近似计算π的方法。
它的原理基于以下思想：在一个正方形区域内，有一个内切圆。
通过随机生成大量的点并统计落入圆内的点的比例，可以估计圆的面积与正方形面积的比例，从而近似计算出π的值。
2. 雷马势数法（Leibniz series）：雷马势数法是一种使用级数展开来近似计算π的方法。
它基于以下公式：π/4=1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+...通过对该级数进行截断，可以得到π的近似值。
截断级数的项数越多，近似值越准确。
3. 阿基米德法（Archimedes's method）：阿基米德法是一种使用多边形逼近圆的方法来计算π的近似值。
它的基本思想是：将一个正多边形逐步扩展，使其接近一个圆，通过计算多边形的周长和半径，可以得到π的逼近值。
随着多边形边数的增加，逼近值会越来越接近π。
4. 飞镖法（Buffon's needle problem）：飞镖法是一种使用投掷飞镖来近似计算π的方法。
假设有一条平行线的间距为d，并且在这条线上放置一根长度为L的针。
通过投掷大量的针并统计与线相交的次数，可以推导出π的近似值。
这些是计算π近似值的一些常见方法，当然还有其他更精确的方法，如使用数学公式或使用超级计算机算法等。
计算π的近似值是数学和计算机领域的研究课题之一，有时也涉及到数值计算的算法和技术。
圆周率π的近似计算方法
圆周率π的近似计算方法圆周率π是一个无理数，精确值是无法完全计算的，然而可以使用不同的方法来近似计算π。
下面将介绍一些常见的计算π的方法。
1.随机投掷法（蒙特卡洛法）：该方法通过随机投掷点在一个正方形区域内，然后计算落在正方形内且在一个给定圆形内的点的比例。
根据几何原理，圆的面积与正方形的面积之比等于π/4、通过对大量的随机点进行投掷和计数，可以估计π的值。
2.利用级数公式：许多级数公式都可以用来计算π的近似值。
其中最知名的是勾股定理的泰勒级数展开式：π/4=1-1/3+1/5-1/7+1/9-...通过计算级数中的前n项和，可以获得π的近似值。
然而，这种方法需要计算大量的级数项才能获得较高的精确度。
3.利用几何图形：利用几何图形的特性，可以近似计算π的值。
例如，可以使用正多边形逼近圆，然后通过对正多边形的边数进行增加，计算出逼近圆的周长。
随着边数的增加，逼近圆周长的值将越来越接近π的值。
4.首位公式：首位公式是由印度数学家 Srinivasa Ramanujan 提出的方法，通过将π 表示为一个无穷级数来计算。
该方法利用一种连分数的性质，可以将π 的近似值计算到高精度。
5.利用计算机算法：随着计算机性能的提升，可以使用各种数值计算算法来计算π 的近似值。
其中最有名的算法是Bailey-Borwein-Plouffe算法（BBP算法），它可以通过级数计算出π 的各个十六进制位数。
虽然上面提到了一些常见的方法，但是计算π的精确值仍然是一个开放的问题。
现代数学家不断提出新的计算方法和算法，以改进π的计算精度。
总之，圆周率π的近似计算方法有很多种，每种方法都有不同的优缺点和适用场景。
无论哪种方法，都需要通过对数学公式和几何特性的推导，以及大量的计算和迭代，来获得更精确的π近似值。
求圆周率的方法
求圆周率的方法
圆周率是一个重要的数学常数，它代表圆的周长与直径的比值，通常用希腊字母π表示。
但是，圆周率的精确值是无限小数，无法被完全表示或计算出来。
因此，人们通过不同的方法来近似计算圆周率的值。
以下是几种常见的求圆周率的方法：
1. 随机撒点法
这种方法利用大量随机的点来模拟圆的内外部分布，然后根据点的数量和位置来计算圆周率的近似值。
随着点数的增加，近似值会越来越接近真实值。
2. Machin公式
这是一种基于三角函数的公式，可以用来计算圆周率的近似值。
Machin公式的形式为：
π/4 = 4 arctan(1/5) - arctan(1/239)
通过计算这个公式，可以得到π的近似值。
3. Buffon针实验
这个实验是利用一个长针在平面上随机投掷，然后根据针的长度和投掷的次数来计算圆周率的近似值。
这种方法需要一定的实验技巧和设备，但它可以帮助人们更好地理解圆周率的概念和计算方法。
除了以上这些方法外，还有许多其他的方法可以用来求圆周率的值。
无论采用哪种方法，都需要注意精度和计算误差，以确保得到的结果是可靠和准确的。
π 的计算方法
π 的计算方法嘿，你知道π吗？那可是个神奇的数字呀！好多人都想知道它到底是怎么算出来的呢。
咱先来说说最常见的方法——用圆的周长除以直径。
这就好像你量量一个圆滚滚的大皮球的一圈有多长，再除以它中间那条直直的线的长度，得出来的结果就很接近π啦！不过，要精确地算出π可没那么容易哦。
想象一下，要是你随便画个圆就说这就是π，那可不行呀！得仔细测量，而且测量得越精确，算出来的π就越准呢。
就像你走路，一步一步走得稳稳的，才能走到你想去的地方。
还有一种方法呢，是用一些数学公式来算。
就像是有一把神奇的钥匙，能打开π的秘密大门。
比如说莱布尼茨公式，那一连串的数字和符号组合起来，就能慢慢算出π来啦。
这可真神奇，不是吗？再说说蒙特卡罗方法吧。
这就像是在一个大广场上扔豆子，通过统计豆子落在不同区域的情况来推算π。
是不是很有意思呀？就好像你在玩一个特别的游戏，在游戏中不知不觉就把π给算出来了。
你说π有啥用呀？那用处可大了去了！盖房子、造汽车、做蛋糕，好多好多地方都要用到它呢。
没有π，那些漂亮的建筑怎么能建得那么完美，那些厉害的机器怎么能转得那么顺畅呀！那怎么才能算得更准呢？这可得下功夫呀！就像练功一样，要天天练，不断提高自己的本事。
科学家们一直在努力，用更高级的方法，更厉害的工具，就是为了让我们对π的了解更多一些。
你看，π虽然只是一个数字，但它背后藏着多少秘密和努力呀！它就像一个神秘的宝藏，等着我们去挖掘，去发现。
所以呀，别小看了这个小小的π，它可有着大大的能量呢！我们也可以试着去算算π呀，感受一下数学的魅力，说不定你还能发现新的计算方法呢！这不就是探索的乐趣吗？总之，计算π的方法多种多样，每一种都有着独特的魅力和价值。
我们在探索π的过程中，也在不断拓展着我们对数学、对世界的认识。
让我们一起投入到这个有趣的数学之旅中吧！。
如何计算π的值
1、蒙特卡罗（Monte Carlo ）法思想：取一正方形A ，以A 的一个顶点为圆心，A 的边长为半径画圆，取四分之一圆（正方形内的四分之一圆）为扇形B 。
已知A 的面积，只要求出B 的面积与A 的面积之比B AS k S =，就能得出B S ，再由B 的面积为圆面积的四分之一，利用公式2=S R π圆即可求出π的值。
因此，我们的目的就是要找出k 的值。
可以把A 和B 看成是由无限多个点组成，而B 内的所有点都在A 内。
随机产生n 个点，若落在B 内的有m 个点（假定A 的边长为1，以扇形圆心为坐标系原点。
则只要使随机产生横纵坐标x 、y 满足221x y +≤的点，就是落在B 内的点），则可近似得出k 的值，即m k n =，由此就可以求出π的值。
程序（1）：i=1;m=0;n=1000;for i=1:na=rand(1,2);if a(1)^2+a(2)^2<=1m=m+1;endendp=vpa(4*m/n,30)程序运行结果：p =2、泰勒级数法思想：反正切函数arctan x 的泰勒级数展开式为：35211arctan (1)3521k k x x x x x k --=-+-⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅- 将1x =代入上式有1111arctan11(1)43521n n π-==-+-⋅⋅⋅+--. 利用这个式子就可以求出π的值了。
程序（2）：i=1;n=1000;s=0;for i=1:ns=s+(-1)^(i-1)/(2*i-1);endp=vpa(4*s,30)程序运行结果：p =当取n 的值为10000时，就会花费很长时间，而且精度也不是很高。
原因是1x =时，arctan1的展开式收敛太慢。
因此就需要找出一个x 使得arctan x 收敛更快。
若取12x =，则我们只有找出α与4π的关系，才能求出π的值。
令1arctan 2α=，4πβα=-， 根据公式tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-有1tan 3β=，则有11arctan arctan 423π=+。
Pi值的计算(mathematica数学实验报告)
arctan x x x3 x5 (1)k1 x 2k1
35
2k 1
来计算 。 从反正切函数的泰勒级数，进行如下编程来计算 ，实验运行如下：
从实验过程可以看出，这种方法花费的时间很长。原因是当 x=1 时得到的 arctan1的
展开式收敛太慢。要使泰勒级数收敛得快，容易想到，应当使 x 的绝对值小于 1，最好
实验基本理论和方法：
1、Mathematica中常用绘图函数Plot在绘制高次函数时的方法；
2、计算圆周率 的数值积分法、泰勒级数法、蒙特卡罗法，并且利用特定的公式来
计算圆周率 。
实验内容和步骤：
（1）数值积分法计算
半径为 1 的圆称为单位圆，它的面积等于 。只要计算出单位圆的面积，就算出了 。 在坐标轴上画出以圆点为圆心，以 1 为半径的单位圆（如下图），则这个单位圆在第一 象限的部分是一个扇形，而且面积是单位圆的 1/4，于是，我们只要算出此扇形的面积， 便可以计算出 。
0
4
利用 Mathematics 编程计算上式，过程如下：
从而得到 的近似值为 3.14159265358979323846264338328，可以看出，用这种方法 计算所得到的 值是相当精确的。n 越大，计算出来的扇形面积的近似值就越接近 的 准确值。
（2）泰勒级数法计算 利用反正切函数的泰勒级数
只要计算出单位圆的面积就算出了为半径的单位圆如下图则这个单位圆在第一象限的部分是一个扇形而且面积是单位圆的14于是我们只要算出此扇形的面积便可以计算出在计算扇形面积时很容易想到使用数学分析中积分的方法第一象限中的扇形由曲线及两条坐标轴围成实际操作中我们不能准确地计算它的面积于是就通过分割的方法将其划分为许多小的梯形通过利用梯形的面积近似于扇形面积来计算利用mathematics编程计算上式过程如下
求π的方法
求π的方法(一)古典方法用圆内接正多边形和圆外切正多边形来逼近源代码：format longdisp('利用圆的正内接外切多边形的周长来逼近圆的周长');sym n;n=input('n= ');for i=1:nk=3.*2^i;%正多边形的边数njb=2*sind (180./k);zc1 = k.*njb;yuanzhoulv1=zc1./2;wqb=2*tand(180./k);zc2=k.*wqb;yuanzhoulv2=zc2./2;i,k,yuanzhoulv1,yuanzhoulv2end运行结果：%当输入n=5时利用圆的正内接外切多边形的周长来逼近圆的周长n= 5i =1k =6yuanzhoulv1 = 6边形 12边形24边形 圆3.00000000000000 yuanzhoulv2 =3.46410161513775i =2k =12yuanzhoulv1 =3.10582854123025 yuanzhoulv2 =3.21539030917347i =3k =24yuanzhoulv1 =3.13262861328124yuanzhoulv2 =3.15965994209750i =4k =48yuanzhoulv1 =3.13935020304687 yuanzhoulv2 =3.14608621513143i =5k =96yuanzhoulv1 =3.14103195089051 yuanzhoulv2 =3.14271459964537（二）分析方法用分析方法来求π的近似值，其中应用的主要工具是收敛的无穷乘积 和无穷级数。
1.利用walis 方法证明：∏∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅-⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅=112212227656543432122k k k k k π源代码： function PI=wallis( )k=input('n=');PI=2;for i=1:kPI=PI*(2*i/(2*i-1)*2*i/(2*i+1));end运行结果：输入n=20ans =3.10351696153923输入n=10ans =3.067703806643502.利用泰勒展开求π12)1(53a r c t a n 12053+-=-+-=+∞=∑k x x x x x k k k当x=1时， 121)1(5131140+-=-+-=∑∞=k k k π即121)1(*4)51311(*40+-=-+-=∑∞=k k k π源代码：function PI=taylor()k=input ('k=');sn=1;for i=1:ksn=sn+((-1)^i)*(1/(2*i+1));endPI=4*sn;运行结果：k=20ans =3.18918478227760k=10ans =3.23231580940559k=40ans =3.16597927284322k=100ans =3.15149340107099k=200ans =3.14656774718296k=400ans =3.14408641529876分析：觉得taylor 级数展开收敛性不太好，收敛速度很慢。
π值算法分析
关于“π”值计算的算法分析研究许辉2012029010008一、简介圆周率，一般以π来表示，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数。
它定义为圆形之周长与直径之比。
它也等于圆形之面积与半径平方之比。
是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。
在分析学里，π可以严格地定义为满足sin x = 0的最小正实数x。
π在很多数学领域里都有很大的作用：Leibniz定理：概率论：设我们有一个以平行且等距木纹铺成地板，随意抛一支长度比木纹之间距离小的针，求针和其中一条木纹相交的概率。
这就是布丰投针问题。
1777 年布丰自己解决了这个问题——这个概率值是1/π。
定义圆周率不一定要用到几何概念，比如，我们可以定义π为满足sin x = 0的最小正实数x。
这里的正弦函数定义为幂级数从而，从古到今，计算π的值成为了一个流行于世界数学界的问题。
现在利用计算机可以将π值计算到小数点后数亿位。
学完算法分析与设计后，觉得可以用几种不同的算法来计算的值。
二、具体算法及C语言实现1.Leibniz定理：C代码为：Define N 10000000#include<stdio.h>int main(){int j;double i,pai=1;for(i=3,j=-1;i<N;i=i+2,j*=-1){pai+=1/i*j;}printf("π=%lf",4*pai);return 0;}运行结果：3.141592，发现N=10000000时才能与真实值温和到7位，N=1000000，则结果为3.141591。
2.级数算法C代码:(这是我在网上看到的代码，算到了800位，觉得很神奇后面有我自己对这个算法的一点分析)#include<stdio.h>long a=10000,b,c=28000,d,e,f[28010],g;void main(){for(;b-c;) f[b++]=a/5;for(;d=0,g=c*2;c-=14,printf("%.4d",e+d/a),e=d%a)for(b=c;d+=f[b]*a,f[b]=d%--g,d/=g--,--b;d*=b);}结果为：因为是网上看到的算法，看了半天才懂，觉得很妙，下面给出几点分析：一、算法1、这个算法用到的π的计算公式（级数中的一种0π/2=1+1!/3!!+2!/5!!+3!/7!!+...+k!/(2*k+1)!!+...2、公式的程序实现（数组存储余数）把上面的公式做一下展开和调整π/2 = 1 + 1!/3!! + 2!/5!! + 3!/7!! + ... + k!/(2*k+1)!!= 1 + 1/3 + (1*2)/(3*5) + (1*2*3)/(3*5*7) + ... + (1*2*...*k)/(3* 5*...*(2k+1))= 1 + 1/3 + (1/3)*(2/5) + (1/3)*(2/5)*(3/7) + ... + (1/3)*(2/5)*... *(k/(2k+1))= (1/3)*(2/5)*...*(k/(2k+1)) + ... + (1/3)*(2/5)*(3/7) + (1/3)*(2/5 ) + 1/3 + 1= (k/(2k+1))*...*(2/5)*(1/3) + ... + (3/7)*(2/5)*(1/3) + (2/5)*(1/3 ) + 1/3 + 1= (((((k/(2k+1)+1)*((k-1)/(2(k-1)+1)+1)*...)*3/7+1)*2/5+1)*1/3 +1)/1= (((((1/(2k+1)*k+1)/(2(k-1)+1)*(k-1)+1)/...)/7*3+1)/5*2+1)/3* 1+1)/1我们要做的就是做除法、做乘法、加1，做除法、做乘法、加1，...，这样直到做除法除以1。
圆周率计算方法
圆周率计算方法圆周率，是一个无理数，通常用希腊字母π表示，它是一个数学常数，代表的是圆的周长与直径的比值。
圆周率的精确值是一个无限不循环小数，截至2021年，已经被计算到了小数点后的数百万位。
圆周率的计算一直是数学领域的一个重要课题，也是一个极具挑战性的问题。
本文将介绍一些常见的圆周率计算方法，希望能够对读者有所帮助。
1. 几何法。
最早的圆周率计算方法之一就是几何法。
古希腊数学家阿基米德就是利用几何法，利用正多边形的内接外接圆来逼近圆周率的值。
他首先构造出一个正六边形，然后不断增加边数，最终得到了圆周率的一个较为精确的逼近值。
几何法虽然古老，但在一定程度上仍然具有一定的实用性，特别是在教学和科普方面。
2. 蒙特卡洛方法。
蒙特卡洛方法是一种随机模拟的方法，通过随机投点的方式来估计圆周率的值。
具体做法是在一个正方形内部随机投点，然后统计落在圆内的点的比例。
根据几何概率的知识，可以得到一个近似的圆周率值。
蒙特卡洛方法的优点是简单易行，且可以通过增加投点的数量来提高精度。
3. 数学级数法。
数学级数法是利用数学级数来计算圆周率的方法。
其中最著名的是利用无穷级数来计算圆周率，如利用莱布尼茨级数或欧拉级数来逼近圆周率的值。
这种方法需要一定的数学知识作为基础，但可以得到非常精确的结果。
4. 数值逼近法。
数值逼近法是利用计算机进行数值计算来逼近圆周率的值。
通过利用数值计算软件，可以进行大量的计算，得到非常精确的圆周率值。
这种方法在现代科学技术中得到了广泛的应用，尤其是在计算机领域。
总结。
圆周率的计算是一个充满挑战的数学问题，不同的方法都有各自的优缺点。
在实际应用中，我们可以根据具体的情况选择合适的方法来计算圆周率的值。
希望本文介绍的方法对读者有所启发，也希望在未来的科学研究中能够有更多的突破，为圆周率的计算提供新的思路和方法。
求π的方法
求π的方法一割圆术我国古代数学经典《九章算术》第一章“方田”中有我们现在所熟悉圆面积公式“半周半径相乘得积步”．魏晋时期数学家刘徽为证明这个公式，于公元263 年撰写《九章算术注》，在这一公式后面写了一篇长约1800 余字的注记——“割圆术”．“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣！觚面之外，犹有余径，以面乘余径，则幂出弧表．若夫觚之细者，与圆合体，则表无余径．表无余径，则幂不外出矣．以一面乘半径，觚而裁之，每辄自倍，故以半周乘半径而为圆幂．”刘徽在证明这个圆面积公式的时候有两个重要思想,一个就是我们现在所讲的极限思想；第二个是无穷小分割思想. 如图：设圆面积为0s，半径为r，圆内接正n边形边长为nl，周长为nL，面积为nS.将边数加倍后，得到圆内接正2n边形，其边长、周长、面积分别为2nl，2nL，2nS. 刘徽从圆内接正六边形开始割圆，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体，而无所失矣.”也就是说将圆内接正多边形的边数不断加倍，则它们与圆面积的差就越来越小，而当边数不能再加的时候，圆内接正多边形的面积的极限就是圆面积. 刘徽考察了内接多边形的面积，也就是它的“幂”，同时提出了“差幂”的概念.“差幂”是后一次与前一次割圆的差值.同时，它与两个小三角形的面积和相等.刘徽指出，在用圆内接正多边形逼近圆面积的过程中，圆半径在正多边形与圆之间有一段余径.以余径乘正多边形的边长，即2倍的“差幂”，加到这个正多边形上，其面积则大于圆面积.这是圆面积的一个上界序列.刘徽认为，当圆内接正多边形与圆是合体的极限状态时，“则表无余径.表无余径，则幂不外出矣.”就是说，余径消失了，余径的长方形也就不存在了.因而，圆面积的这个上界序列的极限也是圆面积.于是内外两侧序列都趋向于同一数值，即，圆面积. 即：222222211()*()+22nnnlADACCDlrrl==+=+−− 知道了内接正n边形的周长nL，又可求得正2n边形的面积：211222nnnlrSnABODnLr =⋅=⋅=⋅二投针法教材提到了“投针实验”求圆周率的方法。
圆周率π的近似计算方法
圆周率π的近似计算方法班级学号姓名众所周知，圆周率π是平面上圆的周长与直径之比，它等于3.141 592 6…。
古代人把3作为它的近似值。
π是一个非常重要的常数.一位德国数学家评论道:"历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度,可以做为衡量这个这家当时数学发展水平的重要标志."古今中外很多数学家都孜孜不倦地寻求过π值的计算方法.古人计算圆周率，一般是用割圆法（不断地利用勾股定理，来计算正N边形的边长）。
即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长。
公元263年，刘徽通过提出著名的割圆术，得出π ＝3.14，通常称为"徽率"，他指出这是不足近似值。
割圆术用内接正多边形就确定出了圆周率的上、下界，他将割到192边形的几个粗糙的近似值通过简单的加权平均，竟然获得具有4位有效数字的圆周率π ＝3927/1250 ＝3.1416。
而这一结果，正如刘徽本人指出的，如果通过割圆计算得出这个结果，需要割到3072边形。
后来祖冲之通过割圆法求得圆周率3.1415926 ＜π ＜ 3.1415927 ，得到π 的两个近似分数即：约率为22／7；密率为355／113。
他算出的π 的8位可靠数字，不但在当时是最精密的圆周率，而且保持世界记录九百多年。
以致于有数学史家提议将这一结果命名为“祖率”。
我们再回头看一下国外取得的成果。
1150年，印度数学家婆什迦罗第二计算出π= 3927/1250 = 3.1416。
1424年，中亚细亚地区的天文学家、数学家卡西著《圆周论》，计算了3×228＝805,306,368边内接与外切正多边形的周长，求出π 值，他的结果是：π＝3.14159265358979325 有十七位准确数字。
这是国外第一次打破祖冲之的记录。
在日本，十七世纪关孝和重要著作《括要算法》卷四中求圆周率时创立零约术，其实质就是用加成法来求近似分数的方法。
他以3、4作为母近似值，连续加成六次得到祖冲之约率，加成一百十二次得到密率。
求圆周率的方法
求圆周率的方法
圆周率是一个数学常数，通常表示为π。
它是圆的周长与直径之比，也可以表示为半径与周长之比的两倍。
有很多方法可以求圆周率，其中最著名的方法是利用无穷级数来逼近圆周率。
其中一种无穷级数被称为莱布尼茨级数，它是一个交错级数，可以用来计算π/4：
1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + ...
每加一项，就可以逼近π/4，如果加到足够多的项，就可以得到比较准确的π的值。
还有一种方法是利用蒙特卡罗方法来估算圆周率。
蒙特卡罗方法是一种基于随机抽样的模拟方法，可以用来求解复杂的问题。
在求解圆周率时，我们可以在一个正方形内随机生成很多个点，然后统计出落在圆内的点的个数和总点数的比例，这个比例乘以4就是π的近似值。
此外，还有其他一些方法可以求圆周率，如使用连分数逼近、使用振荡积分等等。
不同的方法有不同的适用场景和精度，可以根据具体的需求来选择合适的方法。
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pi的计算 数值分析论文
古人计算圆周率，一般是用割圆法。
即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长。
Archimedes用正96边形得到圆周率小数点后3位的精度；刘徽用正3072边形得到5位精度；Ludolph Van Ceulen用正262边形得到了35位精度。
这种基于几何的算法计算量大，速度慢，吃力不讨好。
随着数学的发展，数学家们在进行数学研究时有意无意地发现了许多计算圆周率的公式。
下面挑选一些经典的常用公式加以介绍。
除了这些经典公式外，还有很多其它公式和由这些经典公式衍生出来的公式，就不一一列举了。
1、 Machin公式[这个公式由英国天文学教授John Machin于1706年发现。
他利用这个公式计算到了100位的圆周率。
Machin公式每计算一项可以得到1.4位的十进制精度。
因为它的计算过程中被乘数和被除数都不大于长整数，所以可以很容易地在计算机上编程实现。
Machin.c 源程序还有很多类似于Machin公式的反正切公式。
在所有这些公式中，Machin公式似乎是最快的了。
虽然如此，如果要计算更多的位数，比如几千万位，Machin公式就力不从心了。
下面介绍的算法，在PC机上计算大约一天时间，就可以得到圆周率的过亿位的精度。
这些算法用程序实现起来比较复杂。
因为计算过程中涉及两个大数的乘除运算，要用FFT(Fast Fourier Transform)算法。
FFT可以将两个大数的乘除运算时间由O(n2)缩短为O(nlog(n))。
2、 Ramanujan公式1914年，印度数学家Srinivasa Ramanujan在他的论文里发表了一系列共14条圆周率的计算公式，这是其中之一。
这个公式每计算一项可以得到8位的十进制精度。
1985年Gosper用这个公式计算到了圆周率的17,500,000位。
1989年，David & Gregory Chudnovsky兄弟将Ramanujan公式改良成为：这个公式被称为Chudnovsky公式，每计算一项可以得到15位的十进制精度。
π的计算公式简单方法
π的计算公式简单方法π是一个著名的数学常数，它代表圆的周长与直径的比值，也被称为圆周率。
在数学中，π是一个重要的数，它出现在许多公式中，如圆的面积公式、弧长公式、三角函数公式等。
因此，计算π的方法一直备受关注。
在过去，人们采用的是几何方法和机械方法来计算π，这些方法比较繁琐且耗时。
随着计算机技术的发展，人们开始使用计算机来计算π，但这仍然需要很高的计算能力和时间。
如今，有许多简单的方法可以用来计算π，这篇文章将介绍其中一种简单的方法。
该方法是由印度数学家拉马努金提出的，其基本思想是使用无穷级数来计算π。
这个级数是著名的莱布尼茨级数，它的形式如下：π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + ...在这个级数中，每个项都是相继加或减的奇数分数，随着项数的增加，级数的和越来越接近π/4。
因此，我们可以通过计算这个级数来得到π的近似值。
下面是通过计算前几项级数得到的π的近似值：1项：π/4 ≈ 12项：π/4 ≈ 1 - 1/3 = 2/33项：π/4 ≈ 1 - 1/3 + 1/5 = 8/154项：π/4 ≈ 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 = 16/355项：π/4 ≈ 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 = 128/315 可以看出，随着项数的增加，计算得到的π的近似值越来越接近π的真实值。
当项数无限增加时，级数的和将趋近于π/4，因此，我们可以通过计算足够多的项数来得到更精确的π的近似值。
这个方法虽然简单易行，但也存在一些缺点。
首先，计算出足够多的项数需要一定的时间和计算能力。
其次，级数的收敛速度相对较慢，因此需要计算大量的项数才能达到较高的精度。
总之，计算π的方法虽然多种多样，但采用简单的无穷级数法仍然是一种非常实用的方法。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择不同的计算方法来计算π，以达到更好的效果。
求兀的方法
求兀的方法嘿，咱今儿就来说说求兀的方法。
你说兀这玩意儿，就像个调皮的小精灵，藏在数学的世界里，得咱想办法把它给揪出来。
你看啊，最简单直接的办法就是用圆的周长除以直径。
这就好比你要抓住一只调皮的小猫，你得先知道它喜欢在哪个角落出没。
圆的周长和直径就是找到兀的关键线索。
咱可以想象一下，一个圆滚滚的东西，它的周长那可是绕了它一圈的长度呢，而直径呢，就是从这头到那头直直的一条线。
用周长除以直径，就能把兀给算出来啦。
还有一种方法呢，是用蒙特卡罗方法。
这名字听起来是不是挺高大上的？其实啊，就是通过随机的方式来求。
就好像你在一个大广场上撒一把豆子，然后看看有多少豆子落在了某个特定的区域里。
通过大量的这种随机试验，也能慢慢接近兀的值。
你说神奇不神奇？数学的世界就是这么奇妙，小小的兀竟然有这么多种方法可以去找到它。
那有人可能会问啦，知道这些求兀的方法有啥用呢？哎呀呀，用处可大啦！它可是在好多地方都能派上用场呢。
比如在建筑设计里，要设计一个圆形的建筑，那不得知道兀的值才能精确计算嘛。
在科学研究里，很多公式里都有兀的身影呢。
而且啊，求兀的过程本身也很有趣呀！就像是一场冒险，你不断地尝试不同的方法，去探索那个神秘的数字。
咱平时生活中也能随时想到兀呢。
你看那圆圆的盘子，那圆圆的车轮，它们可都和兀有关系呀。
说不定哪天你看着这些东西，就会突然想起求兀的方法，然后心里还会有点小得意呢。
总之呢，求兀的方法多种多样，每一种都有它独特的魅力和用处。
咱可以根据自己的喜好和需求去选择合适的方法。
这就像是在一个大宝藏里寻宝，每找到一种方法，就像是找到了一颗闪亮的宝石，让人开心不已。
怎么样，是不是觉得兀变得更加有趣啦？。
pi 的计算公式
pi 的计算公式
π的计算公式有很多种，以下是一些例子：
1.π=sin(180°÷n)×n：通过角度和n的变换来计算π的值。
2.利用无穷级数求解π：利用无穷级数展开式，通过计算每一项的值来
逼近π的值。
3.利用连分数求解π：通过连分数的展开式来求解π的值。
4.利用数值积分求解π：通过数值积分的方法，将π定义为某个函数的
积分值，然后利用数值方法求解该积分值。
5.利用阿基米德方法求解π：通过阿基米德的方法，利用圆内接正多边
形的面积来逼近圆的面积，从而求出π的值。
需要注意的是，由于π是一个无理数，因此无法用有限的公式来精确计算它的值，只能通过近似计算来得到它的近似值。
PI的计算算法范文
PI的计算算法范文PI（圆周率）的计算是一个非常复杂的数学问题，历史上出现了许多不同的算法。
在本文中，我将介绍几种常见的PI计算算法。
1.级数法（无穷级数法）：级数法是最早也是最简单的一种计算PI的方法之一、其中最著名的方法是Leibniz公式和Nilakantha公式。
Leibniz公式：PI/4=1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+...Nilakantha公式：PI=3+(4/2*3*4)-(4/4*5*6)+(4/6*7*8)-(4/8*9*10)+...这些方法是通过计算一个无穷级数的和来近似求解PI。
2.蒙特卡罗方法：蒙特卡罗方法是一种通过随机采样和统计分析得到数值结果的方法。
对于PI的计算，可以随机在一个单位正方形内生成大量的点，然后统计落入一个单位圆内的点的比例。
通过重复实验，可以得到越来越精确的PI的估计值。
3. 高斯-勒让德算法（Gauss-Legendre algorithm）：高斯-勒让德算法是一种通过计算一系列递推公式来求解PI的方法。
该算法需要逐步逼近PI的值，通过反复迭代，精度可以不断提高。
这个算法的基本思想是利用一个递推过程求得下一次迭代的估计值，直到满足所需精度为止。
4.连分数法：连分数法是通过逐步计算连分数（Continued Fraction）的形式来求解PI的方法。
连分数是一种可以无穷逼近一个实数的表示方式。
连分数法通常需要计算无数的连分数项来逼近PI，每增加一项，逼近结果的精度就会提高。
这些是一些比较常见的PI计算算法，每种算法都有自己的特点和适用范围。
在实际应用中，可以根据需求和计算资源的限制选择最合适的算法来求解PI的近似值。
数学课题 求π
找一个半径为r的球体，并找一个能放进该球的以矩形为底的容器，在容器中装入一定量的水，然后将球放入该容器内。测量谁上升的高度，进而求出球的体积。然后根据公式V=4/3πr3求出π得大小。
求π得方法
方法一
可采取多次重复试验的方法，即找一个半径为r的圆柱，用绳子量出其圆的周长。并于半径r求其比值，再取另外的圆柱，同样求比值。多次重复试验求其平均值，即可求出π的值。
方法二
不妨设圆的半径是1，以圆心为原点建立坐标系，可知圆的方程为 。可对园进行无限分割，如在第一象限，分割后的小角为α。求出每一小段的弧长，然后用积分
的方法求出圆的周长，从而算出径，并在圆上做一点作为标记，已标记点先触地，进行滚动，量出其滚动n圈所行进的距离，然后平均到圆的周长，从而算出π的大小。
方法四
制作一个以r为半径的圆形纸板，在园纸板的边上装上细线，然后用小刀对纸板沿直径开始切割，达到一定数量后将其沿某一条直径切开成两个半圆并展开，然后将圆弧拉直，让两半圆如图拼接，计算出拼接后的面积，然后根据圆的面积公式求出π的大小。
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怎么计算π的值：
用莱布尼兹公式、韦达公式和斯特林公式分别迭代，当结果与π确切值之间误差小于0.005时结束迭代，通过分析三个公式的迭代次数得出最优的迭代公式。
1、莱布尼兹公式： (7)
1-5131-14++=π 根据数列得出：∑∞=---=111
21)1(4n n n π 通过程序实现如下（laibulizi.m ）：
for n=1:1000
n
a(n)=(-1).^(n-1)./(2*n-1);
%y=vpa(4*sum(a),30)
%error=vpa(y-pi,30)
y=4*sum(a)
error=y-pi
if (error<=0.005&&error>=-0.005)
break ;
end
end ;
运行结果为：
2、韦达公式：⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++=2
222222222π 通过分析公式可知：)2
(cos 22221+=⋅⋅⋅+++i π 则：∏∞=+=11)2
cos(2i i ππ
通过程序实现如下（weida.m ）：
clear;
x=1;
for i=1:100;
i
x=x*cos(pi/2^(i+1));
pai=2/x
error=pai-pi
if (error<=0.005&&error>=-0.005)
break ;
end
end
运行结果为：
3、斯特林公式：π2!lim =⋅∞→n
n n e n n n 程序实现如下（sitelin.m ）：
for n=1:150
n
a=exp(n);
b=factorial(n);
c=sqrt(n);
d=(a*b)/((n^n)*c);
p=(d^2)/2
err=p-pi
if err<=0.005
break ;
end
end
分析：通过运行结果进行分析，当误差小于0.05时，使用莱布尼兹公式迭代了200次，得到的结果为3.1366，通过韦达公式迭代了5次，结果为3.1403，通过斯特林公式迭代了105次，结果为3.1466。
通过比较得出韦达公式最快。
注：使用误差为0.005是因为在计算斯特林公式时计算到143项时结果就变成了无穷，所以选择了一个比较大的误差进行判断，其他两个公式（高斯公式和拉马努金公式）由于编程计算失败，故没有进行比较。