概率习题及答案第二章第二章习题

第二章 随机变量及其分布练习题
1. 设X 为随机变量，且k
k X P 2
1)(==( ,2,1=k ), 则 （1）判断上面的式子是否为X 的概率分布； （2）若是，试求）为偶数X P (和)5(≥X P .
2.设随机变量X 的概率分布为λλ-==e k C k X P k
!
)(( ,2,1=k ), 且0>λ，求常数C .
3. 设一次试验成功的概率为)10(<<p p ，不断进行重复试验，直到首次成功为止。

用随机变量X 表示试验的次数，求X 的概率分布。

4. 设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p =0.1，当生产过程中出现废品时立即进行调整，X 代表在两次调整之间生产的合格品数，试求
（1）X 的概率分布； （2）)5(≥X P 。

5. 一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中有1个答案是正确的。

求某学生靠猜测能答对至少4道题的概率是多少？
6. 为了保证设备正常工作，需要配备适当数量的维修人员。

根据经验每台设备发生故障的概率为0.01，各台设备工作情况相互独立。

（1）若由1人负责维修20台设备，求设备发生故障后不能及时维修的概率；
（2）设有设备100台，1台发生故障由1人处理，问至少需配备多少维修人员，才能保证设备发生故障而不能及时维修的概率不超过0.01？
7. 设随机变量X 服从参数为λ的Poisson(泊松)分布，且2
1)0(==X P ，求
（1）λ； （2）)1(>X P .
8. 设书籍上每页的印刷错误的个数X 服从Poisson(泊松)分布。

经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率。

9. 在长度为的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数服从参数为的Poisson 分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计），求
（1）某一天从中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率； （2）某一天从中午12时至下午5时收到1次紧急呼救的概率； 10. 已知X 的概率分布为：
X
-2 -1
0 1 2 3 P
2a
10
1 3a
a
a
2a
试求（1）a ； （2）12-=X Y 的概率分布。

11. 设连续型随机变量X 的概率密度曲线如图1.3.8所示.
试求:（1）t 的值； （2）X 的概率密度； （3）)22(≤<-X P . 12. 设连续型随机变量X 的概率密度为
⎩
⎨
⎧≤≤=其他,00,sin )(a
x x x f 试确定常数a 并求)6
(π>X P .
13. 乘以什么常数将使x x e +-2变成概率密度函数?
14. 随机变量),(~2
σμN X ，其概率密度函数为
6
4
4261)(+--=
x x e x f π
(+∞<<∞-x )
试求2
,σμ；若已知
⎰
⎰
∞
-+∞
=C C
dx x f dx x f )()(，求C .
15. 设连续型随机变量X 的概率密度为
⎩⎨
⎧≤≤=其他,
01
0,2)(x x x f 以Y 表示对X 的三次独立重复试验中“2
1≤X ”出现的次数，试求概率)2(=Y P .
16. 设随机变量X 服从[1,5]上的均匀分布，试求)(21x X x P <<. 如果 （1）5121<<<x x ； （2）2151x x <<<.
17. 设顾客排队等待服务的时间X （以分计）服从5
1=λ的指数分布。

某顾客等待服
务，若超过10分钟，他就离开。

他一个月要去等待服务5次，以Y 表示一个月内他未等到服务而离开的次数，试求Y 的概率分布和)1(≥Y P .
18. 已知随机变量X 的概率分布为2.0)1(==X P ，3.0)2(==X P ，5.0)3(==X P ，试求X 的分布函数；)25.0(≤≤X P ；画出)(x F 的曲线。

f (x )
图1.3.8
x
t
o
1
2
3
0.5
19. 设连续型随机变量X 的分布函数为
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥<≤<≤--<=331111,1,8.0,4.0,
0)(x x x x x F 试求:（1）X 的概率分布； （2）)1|2(≠<X X P .
20. 从家到学校的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的概率是相互独立
的，且概率均是0.4，设X 为途中遇到红灯的次数，试求（1）X 的概率分布； （2） X 的分布函数。

21. 设连续型随机变量X 的概率密度曲线如图1.3.8所示.
试求X 的分布函数，并画出)(x F 的曲线。

22. 设连续型随机变量X 的分布函数为
⎩⎨
⎧≤>+=-0
0,0,
)(2x x Be A x F x
试求:（1）B A ,的值； （2）)11(<<-X P ； （3）概率密度函数)(x f . 23. 设X 为连续型随机变量，其分布函数为
⎪⎩
⎪
⎨⎧
>≤≤++<=.,;1,ln ;1,)(e x d e x d cx x bx x a x F
试确定)(x F 中的d c b a ,,,的值。

24. 设随机变量X 的概率密度函数为)
1()(2x a x f +=
π，试确定a 的值并求)(x F 和
)1(<X P .
25. 假设某地在任何长为t (年)的时间间隔内发生地震的次数)(t N 服从参数为
f (x )
x
t
o 1
2
3
0.5
1.0=λ的Poisson(泊松)分布，X 表示连续两次地震之间相隔的时间（单位：年）
，试求: （1）证明X 服从指数分布并求出X 的分布函数； （2）今后3年内再次发生地震的概率；
（3）今后3年到5年内再次发生地震的概率。

26. 设)16,1(~-N X ，试计算（1）)44.2(<X P ； （2）)5.1(->X P ；
（3）)4(<X P ； （4）)11(>-X P .
27. 某科统考成绩X 近似服从正态分布)10,70(2
N ，第100名的成绩为60分，问第20名的成绩约为多少分？
28. 设随机变量X 和Y 均服从正态分布，)4,(~2
μN X ，)5,(~2
μN Y ，而
)4(1-≤=μX P p ，)5(2+≥=μY P p ，试证明 21p p =.
29. 设随机变量X 服从[a,b ]上的均匀分布，令d cX Y +=()0≠c ，试求随机变量Y 的密度函数。