整式的乘法与因式分解知识点

整式乘除与因式分解

专项复习

一．知识点 （重点）

幂的运算性质：

a m ·a n ＝a m ＋n （m 、n 为正整数）

同底数幂相乘，底数不变，指数相加．

例1：(－2a )2(－3a 2)3=________.

2．()n m a ＝ a mn （m 、n 为正整数）

幂的乘方，底数不变，指数相乘．

例2： (－a 5)5=____________.

3．

()n n n b a ab = （n 为正整数） 积的乘方等于各因式乘方的积．

例3：(－a 2b )3=___________.

练习：

（1）y x x 2325⋅ （2）)4(32b ab -⋅- （3）a ab 23⋅

（4）222z y yz ⋅ （5）)4()2(232xy y x -⋅

4．n m a a ÷＝ a m －n （a ≠0，m 、n 都是正整数，且m ＞n ）

同底数幂相除，底数不变，指数相减．

例：（1）x 8÷x 2 （2）a 4÷a （3）（a b ）5÷（a b ）2

（4）（-a ）7÷（-a ）5

5．零指数幂的概念：

a 0＝1 （a ≠0）

任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l ．

例4：若1)32(0=-b a 成立，则b a ,满足什么条件？

6．负指数幂的概念： a －p ＝p a 1

（a ≠0，p 是正整数）

任何一个不等于零的数的－p （p 是正整数）指数幂，等于这个数的p 指数幂的倒数． 也可表示为：p

p n m m n ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-（m ≠0，n ≠0，p 为正整数） 7．单项式的乘法法则：

单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

例5：（1）223123abc abc b a ⋅⋅ （2

423)2()n m n -⋅

8．单项式与多项式的乘法法则：

单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．

例6：（1）)35(222b a ab ab + （2）ab ab ab 2

1)232(2⋅-

9．多项式与多项式的乘法法则：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．

例7：（1）

)6.0(1x x --）（ （2）))(2(y x y x -+ （3）2)2n m +-（

练习：

1．计算2x 3·(－2xy)(－12

xy) 3的结果是

2．(3×10 8)×(－4×10 4)＝ 3．若n 为正整数，且x 2n ＝3，则(3x 3n ) 2的值为

10．单项式的除法法则：

单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 例8：（1）28x 4y 2÷7x 3y （2）-5a 5b 3c ÷15a 4b

11．多项式除以单项式的法则：

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．

例9：

练习：

（1）223247173y x z y x ÷-； （2）()⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷-2232232y x y x ；

易错点：1、在幂的运算中，由于法则掌握不准出现错误；

2、有关多项式的乘法计算出现错误；

3、误用同底数幂的除法法则；

4、用单项式除以单项式法则或多项式除以单项式法则出错；

5、乘除混合运算顺序出错。

12．乘法公式：

①平方差公式：（a ＋b ）（a －b ）＝a 2－b 2

文字语言叙述：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． ②完全平方公式：（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2

（a －b ）2＝a 2－2ab ＋b 2

文字语言叙述：两个数的和（或差）的平方等于这两个数的平方和加上（或xy xy y x 6)63()1(2÷-)

5()15105()2(3223ab ab b a b a -÷--

减去）这两个数的积的2倍．

例10：（1）(7+6x)(7−6x)；（2）(3y ＋x)(x−3y)；（3）(−m＋2n)(−m−2n)．例11：(1) (x+6)2 (2) (y-5)2 (3) (-2x+5)2

易错点：错误的运用平方差公式和完全平方公式。

13．因式分解（难点）

一．因式分解的定义．

把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．

掌握其定义应注意以下几点：

（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；

（2）因式分解必须是恒等变形；

（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．

弄清因式分解与整式乘法的内在的关系．

因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．

二．重点掌握因式分解的两种常用方法，并且了解其余两种方法：十字相乘法和分组分解法。

1、提公因式法

（1）掌握提公因式法的概念；

（2）提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三部分：①系数一各项系数的最大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次数；

（3）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．