线性时不变系统的描述
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1离散时间信号与系统2
通过一个频率特性为
Ω1 ≤ Ω ≤ Ωh 其他
的理想带通滤波器时,可恢复原来的频谱
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25
带通信号的抽样
2、带通信号的最高频率 h不为带宽 的整数倍时
即： h M • 如果 h不是的整数倍，可将人为地向频率的
低端或高端进行扩展，使 h 成为扩展后的带宽的整
数倍。 如果将带宽向频率的低端扩展到Ω0 ，扩展后Ωh 是 新的带宽 Ω1 = Ωh -Ω0的整数倍。再按Ωs = 2Ωh/M 选择M进行抽样。如令M=3，则有：
1
§3 线性时不变系统的描述
差分方程的重要特点是： 系统当前的输出（即在n时刻的输出）y(n)，不 仅与激励有关，而且与系统过去的输出 y(n-1), y(n-2), y(n-N) 有关，即系统具有记忆功能。
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2
差分方程的求解
递推法
经典解法 时域解法
详见《信号与系统》的相关章节
号，即产生了“混叠失真”，如上页图c所示。
抽样定理 要想连续带限信号抽样后能够不失真地还原出原信号，
则抽样频率必须大于或等于两倍原信号频谱的最高频率
(Ωh≤ Ωs/2)，这就是奈奎斯特抽样定理。
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12
抽样定理与A/D转换器
A/D转换器的基本原理 任何A/D转换器必须包括以下三个基本功能： 抽样、抽样保持、量化与编码
∴
h(n)= anu(n) 为因果系统
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3
例 2 经典解法
描述某线性时不变离散系统的差分方程为： y(n) 3y(n 1) 2y(n 2) 2nu(n)
试求：当初始状态为 y(-1)=0, y(-2)= ½时，求全响应。
线性时不变系统描述和系统响应
(1)n{u[n
]
u[n
2]}
2 3
2n{[u[n]
u[n
2]}
1. 冲激响应h[n]的求解
？
信号 系统 响应
h[n]的求解过程： (1)求出激励信号为δ[n]时对应的冲激响应h1[n]
a)求出特征根； •根据n<0时，h[n]=0,迭代出h1[n]中的待定系数 (2)根据线性时不变系统的线性性和非时变性，求出激 励信号为其他信号时对应的hi[n]，h[n]= h1[n]+... hi[n]
所以：1 1, 2 2,
则：h1[n] A1[1]n A2 2n 由系统为因果系统，所以n时，h[n] 0,
得：n 0时，h1[0]- h1[-1]- 2h1[-2] [0] 1,即h1[0] 1, n 1时，h1[1]- h1[0]- 2h1[-1] [1] 0,即h[1] 1,
所以：A1 2，A2 3， 所以：h[n] (2 2n 3 3n )u[n]＝(3n＋1－2n＋1)u[n]
？
信号 系统 响应
考虑：激励信号由多项组成，h(n)如何求解？
例2：一LTI离散时间因果系统的差分方程为: y[n]-y[n-1]-2y[n-2]=f[n]- f[n-2] ，求h[n]=?
？
信号 系统 响应
解：设y[n] An，代入差分方程同时令激励信号为0， 则：An 2＋An 1＋An＝0， 即特征方程为；2＋3＋2＝0， 特征根：1 1,2 2, 则：y zi[n] A1(1)n A2(2)n
由初始条件：
yzi[0] A1(1)0 A2 (2)0＝0 yzi[1] A1(1)1 A2 (2)1＝1， 得：A1 2，A2 2 所以：yzi[n] [2(1)n 2(2)n ]u[n]
系统的时域分析 线性时不变系统的描述及特点 连续时间LTI系统的响应
s1 2，s2 3
y x (t ) K1e 2t K 2 e 3t
y(0)=yx(0)=K1+K2=1 y' (0)= y'x(0)= 2K13K2 =3
解得 K1= 6，K2= 5
y x (t ) 6e 2t 5e 3t , t 0
18
[例] 已知某线性时不变系统的动态方程式为: y" (t)+4y ' (t) +4y (t) = 2f ' (t )+3f(t), t>0 系统的初始状态为y(0) = 2，y'(0) = 1， 求系统的零输入响应yx(t)。 解: 系统的特征方程为 系统的特征根为
2t
Be
4t
1 y (0) A B 1 3 解得 A=5/2，B= 11/6 1 y ' (0) 2 A 4 B 2 3
5 2t 11 4t 1 t y(t ) e e e , t 0 2 6 3
12
1 t e 3
系统的几个概念：
9
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y" (t ) 6 y' (t ) 8 y(t ) f (t ), t 0
初始条件y(0)=1, y '(0)=2, 输入信号f (t)=et u(t)， 求系统的完全响应y(t)。
解:
(1) 求齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t) = 0的齐次解yh(t)
11
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y" (t ) 6 y' (t ) 8 y(t ) f (t ), t 0
y x (t ) K1e 2t K 2 e 3t
y(0)=yx(0)=K1+K2=1 y' (0)= y'x(0)= 2K13K2 =3
解得 K1= 6，K2= 5
y x (t ) 6e 2t 5e 3t , t 0
18
[例] 已知某线性时不变系统的动态方程式为: y" (t)+4y ' (t) +4y (t) = 2f ' (t )+3f(t), t>0 系统的初始状态为y(0) = 2，y'(0) = 1， 求系统的零输入响应yx(t)。 解: 系统的特征方程为 系统的特征根为
2t
Be
4t
1 y (0) A B 1 3 解得 A=5/2，B= 11/6 1 y ' (0) 2 A 4 B 2 3
5 2t 11 4t 1 t y(t ) e e e , t 0 2 6 3
12
1 t e 3
系统的几个概念：
9
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y" (t ) 6 y' (t ) 8 y(t ) f (t ), t 0
初始条件y(0)=1, y '(0)=2, 输入信号f (t)=et u(t)， 求系统的完全响应y(t)。
解:
(1) 求齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t) = 0的齐次解yh(t)
11
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y" (t ) 6 y' (t ) 8 y(t ) f (t ), t 0
线性时不变系统
x(k∆τ).∆τ.h(t −k∆τ)
则系统对输入x(t)的总响应为所有冲激响应之和： 则系统对输入x(t)的总响应为所有冲激响应之和： x(t)的总响应为所有冲激响应之和
yf (t) ≈ ∑x(k∆τ).∆τ.h(t −k∆τ)
当：
∞
∆τ →dτ,k∆τ →τ
∞ −∞
∞
k=−∞
求和符号改为积分符号
x1 (t ) = e −t 和x2 (t ) = 5e −t 求分别输入
时的输出y(t)。 。 时的输出
解：
y1 (t ) = (e −2t + e − t )u (t )
y2 (t ) = (−3e
−2 t
+ 5e )u (t )
−t
2.2 单位冲激响应
单位冲激响应： 单位冲激响应：线性时不变系统在单位冲激信 的激励下产生的零状态响应。 表示。 号 δ (t ) 的激励下产生的零状态响应。用h(t)表示。 表示 即：
x(t) = ∫ x(τ )δ (t −τ )dτ
−∞
y f (t) = ∫ x(τ )h(t −τ )dτ
上述积分是x(t)与h(t)之间的一种二元运算， 上述积分是x(t)与h(t)之间的一种二元运算，用 x(t) 之间的一种二元运算 y(t)=x(t)*h(t)表示 表示。 y(t)=x(t)*h(t)表示。即
第二章 线性时不变系统 （LTI：Linear Time Invarient) ：
重点： 重点： 理解并掌握卷积积分与卷积和的概念与相关性质； 理解并掌握卷积积分与卷积和的概念与相关性质； 掌握LTI系统的性质； 系统的性质； 掌握 系统的性质 难点： 难点： 深刻理解卷积积分与卷积和的概念； 深刻理解卷积积分与卷积和的概念；
描述线性时不变系统的方法
描述线性时不变系统的方法
线性时不变系统的方法包括：
Laplace变换：使用Laplace变换可以将时域的系统转换为频域的系统，从而可以更加容易地求解线性时不变系统的输出。
卷积定理：卷积定理可以用来求解线性时不变系统的输出，而不需要考虑系统的时域表达式。
状态空间：状态空间方法可以用来求解线性时不变系统的输出，而不需要考虑系统的时域表达式。
零状态响应：零状态响应可以用来求解线性时不变系统的输出，而不需要考虑系统的时域表达式。
第2章 线性时不变系统
y(t ) x( )h(t )d h( ) x(t )d
0 t
2.4 LTI系统的性质
举例：累加系统（accumulator）
y[n]
k
x[k ]
n
它是LTI系统，其单位脉冲响应为
h[n] u[n]
h[n] k [n] Memory h[n] 0, n 0 Causal
2.4 LTI系统的性质
从以上推导得出以下结论： DT LTI 系统的单位阶跃响应是其单位脉冲响应的求和函数； DT LTI 系统的单位脉冲响应是其单位阶跃响应的一次差分 同理，对于CT LTI 系统： 单位阶跃响应是其单位冲激响应的积分函数
s(t ) h( )d
t
单位冲激响应是其单位阶跃响应的一阶导数
2.7小结
2.1概述
（1）线性与时不变性（Linearity and Time-Invariance）： 很多物理过程都具有这两个性质 这些物理过程能用LTI系统表征 可以对LTI系统进行详细的分析：
能够将LTI系统的输入用一组基本信号的线性组合表示 根据该系统对基本信号的响应，利用叠加性质求得整个系统的输出
2.4 LTI系统的性质
离散时间LTI系统用 卷积和表示
连续时间LTI系统用 卷积积分表示
LTI系统的特性可以 完全由其单位冲激响 应决定
2.4 LTI系统的性质
卷积的交换律性质 The Commutative Property of Convolution
2.4 LTI系统的性质
卷积的三个代数性质：交换律、结合律、分配律 Three algebraic properties of convolution
0 t
2.4 LTI系统的性质
举例：累加系统（accumulator）
y[n]
k
x[k ]
n
它是LTI系统，其单位脉冲响应为
h[n] u[n]
h[n] k [n] Memory h[n] 0, n 0 Causal
2.4 LTI系统的性质
从以上推导得出以下结论： DT LTI 系统的单位阶跃响应是其单位脉冲响应的求和函数； DT LTI 系统的单位脉冲响应是其单位阶跃响应的一次差分 同理，对于CT LTI 系统： 单位阶跃响应是其单位冲激响应的积分函数
s(t ) h( )d
t
单位冲激响应是其单位阶跃响应的一阶导数
2.7小结
2.1概述
（1）线性与时不变性（Linearity and Time-Invariance）： 很多物理过程都具有这两个性质 这些物理过程能用LTI系统表征 可以对LTI系统进行详细的分析：
能够将LTI系统的输入用一组基本信号的线性组合表示 根据该系统对基本信号的响应，利用叠加性质求得整个系统的输出
2.4 LTI系统的性质
离散时间LTI系统用 卷积和表示
连续时间LTI系统用 卷积积分表示
LTI系统的特性可以 完全由其单位冲激响 应决定
2.4 LTI系统的性质
卷积的交换律性质 The Commutative Property of Convolution
2.4 LTI系统的性质
卷积的三个代数性质：交换律、结合律、分配律 Three algebraic properties of convolution
信号与系统列写四种常用的系统分类方式
一、根据系统的线性特性分类在信号与系统的研究中，线性系统是一个重要的概念。
线性系统具有加性和齐次性质，即当输入信号发生变化时，输出信号也按比例变化。
根据系统的线性特性可以将系统分为以下四种常用的分类方式：1.1、时不变系统：时不变系统是指系统的参数在时间上不随时间变化，即系统的输出只取决于输入的当前值，而与输入的时间点无关。
时不变系统具有很好的稳定性和预测性，能够准确地描述系统的响应特性。
1.2、线性时不变系统：线性时不变系统是指系统同时具有线性和时不变的特性。
线性时不变系统具有简单的数学描述和分析方法，是信号与系统理论中的重要研究对象。
1.3、因果系统：因果系统是指系统的输出只取决于过去和当前的输入值，而与未来的输入值无关。
因果系统具有因果传递性和因果去极限性，能够较好地模拟真实世界的物理过程。
1.4、稳定系统：稳定系统是指系统的输出在有限时间内始终保持在有界范围内，不会发散或趋向无穷大。
稳定系统具有很好的可控性和可观测性，是工程实际中常用的系统类型。
二、根据系统的频率特性分类除了根据系统的线性特性分类外，还可以根据系统的频率特性进行分类，常见的分类方式包括：2.1、时变系统：时变系统是指系统的参数随时间或输入信号的频率变化而变化。
时变系统具有较复杂的动态特性和数学描述，需要使用高级的数学工具进行分析和求解。
2.2、全通系统：全通系统是指系统对所有频率的信号都具有相同的增益和相位延迟，不对信号的频率进行衰减或增强。
全通系统能够保持输入信号的各个频率成分的相对比例，具有较好的频率响应特性。
2.3、低通系统：低通系统是指系统只允许低于一定频率的信号通过，而高于该频率的信号则被衰减或阻塞。
低通系统广泛应用于滤波器和调制解调器中，用于去除高频噪声和保留低频信号。
2.4、高通系统：高通系统是指系统只允许高于一定频率的信号通过，而低于该频率的信号则被衰减或阻塞。
高通系统在通信系统和音频处理中具有重要应用，用于去除低频噪声和保留高频信号。
LTI系统描述
dt 2
dt
y(0) y '(0) 0
解: 齐次方程为
d2 dt 2
y(t) 6 d dt
y(t) 5y(t)
0
特征方程：
2 6 5 0
特征根：
1 5，2 1
该方程的齐次解为： yh (t) C1e5t C2et
激励函数中a = -1，与微分方程的一个特征根相同，因此特解为：
系统传输算子：
令 A(P) P2 a1P a0 , B(P) b2P2 b1P b0
则 A(P) y(t) B(P) f (t) , y(t) B(P) f (t) H (P) f (t) A(P)
H (P)
B(P) A(P)
b2P2 b1P b0 P2 a1P a0
u
1 pC
i
i
u R
i
1u pL
i pC u
4．RLC微分算子方程的建立：
（1） R、L、C元件的算子模型：
R：
算子模型：
U (t) Ri(t)
U (t) Ri(t)
L：
算子模型：
U (t) L d i(t) dt
C：
算子模型：
U (t) pLi(t)
U (t)
1
t
i( )d
C
U (t) 1 i(t) pC
例1：Pf (t) d f (t)
dt
Pn
f
(t )
dn dt n
f (t )
1 f (t) t f ( )d
P
例2： y(t) 3y(t) 2y(t) 2 f (t) 5 f (t)
[工学] 第3章1 LTI系统的描述及特点_连续LTI系统响应
![[工学] 第3章1 LTI系统的描述及特点_连续LTI系统响应](https://img.taocdn.com/s3/m/7c4dc7193968011ca30091ad.png)
2、冲激平衡法 求系统的单位冲激响应
h ( n ) (t ) an1h ( n1) (t ) a1h' (t ) a0 h(t ) bm ( m) (t ) bm1 ( m1) (t ) b1 ' (t ) b0 (t )
由于t >0+后, 方程右端为零, 故 n>m 时
求解系统的零状态响应yzs (t)方法：
1) 直接求解初始状态为零的微分方程。
2) 卷积法：
利用信号分解和线性时不变系统的特性求解。
卷积法求解系统零状态响应yzs(t)的思路
1) 将任意信号分解为单位冲激信号的线性组合
2) 求出单位冲激信号作用在系统上的响应 —— 冲激响应 3) 利用线性时不变系统的特性，即可求出任意 信号f(t)激励下系统的零状态响应yzs (t) 。
?线性时不变系统的描述及特点?连续时间lti系统的响应连续时间系统的冲激响应卷积积分及其性质连续时间系统的冲激响应卷积积分及其性质?离散时间lti系统的响应离散时间系统的单位脉冲响应卷积和及其性质系统的响应离散时间系统的单位脉冲响应卷积和及其性质?冲激响应表示的系统特性第第3章系统的时域分析lti系统分析方法概述一系统理论中的主要问题
§3.1 线性时不变系统的描述及特点
例1 求并联电路的端电压 vt 与激励 is t 间的关系。
解
1 电阻 iR t vt R
iR
iL
L C
电感
d vt 电容 iC t C dt iR t iL t iC t iS t 根据KCL
s1 2，s2 3
y x (t ) K1e 2t K 2 e 3t
y(0)=yx(0)=K1+K2=1
信号处理与系统分析 第2章线性时不变系统
从波形的角度来观察离散时间信号，它可以 看成是由许多加权了的单位冲激信号组合 而成的
x[n] x[1] [n 1] x[0] [n] x[2] [n 2]
对于任意的离散时间信号：
累加序号 自变量
加权值 移位的冲激信号
x[n]
k
x[k ] [n k ]
n
卷积公式是无穷多项求和，而我们实际遇到的常 常是有限长度序列，特别是在计算机离线处理的场 合，因为计算机不可能处理无穷多的信息。 在进行有限长度的序列的卷积时候，长度为N和M 的2个序列作卷积时，反转序列从左到右进入重叠 直至移出重叠，只有存在重叠项时，卷积和才可能 非零。 卷积序列的长度为M+N-1。
求解系统响应的卷积方法是系统分析的重要工具。
单位冲激响应h[n]完全描述了线性时不变系统的变换 规律。不同的系统输入，都在h[n]的作用下产生相应的 响应，因此，给定了一个LTI系统的单位冲激响应h[n]就 等于给定了该系统。
从计算某一个特定点的角度来看
yy [n [n 0]
k k
第2章 线性时不变系统
线性时不变（简称LTI，Linear， Time-invariant）系统
为什么引入LTI ？
如果不对系统的性质加以限制，那么分析 一个系统将是十分困难的。 给系统加上线性和时不变性的限制，那么 系统的分析将变得十分简便。 LTI系统的分析还为非线性系统的分析方法 提供了思路。例如，线性时不变系统可以 用冲激响应来表达，非线性系统可以用 Volterra级数来表达。
上式应该理解为许多以为n自变量的函数的相 加，而不是数值相加。
许多移了位的冲激信号的加权和，构成了x[n] 。
特别地，我们有
第二章线性时不变系统(LTI)(1)
，其中 H ( z ) =
∞
z
n
称为特征函数
k = −∞
h[k ]z − k ∑
37
∞
2011-3-28
信号与系统－第二章 线性时不变系统LTI）
x(n ) = ∑ ak zk
k
n
n y (n ) = ∑ ak H (z k )z k
离散时间LTI 离散时间
k
H (zk ) =
k = −∞
∑ h[k ]zk
y[n]
x(t )
2011-3-28
h(t)
LTI
y (t )
x(t )
x(t)
LTI
y (t )
22
信号与系统－第二章 线性时不变系统LTI）
2011-3-28
23
信号与系统－第二章 线性时不变系统LTI）
2011-3-28
24
非线性系统
信号与系统－第二章 线性时不变系统LTI）
注意： 注意： 对非LTI系统输出与级联次序有关 对非 系统输出与级联次序有关
方程改写为： 方程改写为：
1 1 1 1 + a1 + a2 2 y[n] = b0 + b1 x[n] E E E
2011-3-28
45
信号与系统－第二章 线性时不变系统LTI）
1 1 y[n] = x[n] 1 + a1 + a2 2 1 E E b0 + b1 E
2011-3-28 2
信号与系统－第二章 线性时不变系统LTI）
2.1 连续时间 系统 卷积积分 连续时间LTI系统 系统:卷积积分
2011-3-28
∞
z
n
称为特征函数
k = −∞
h[k ]z − k ∑
37
∞
2011-3-28
信号与系统－第二章 线性时不变系统LTI）
x(n ) = ∑ ak zk
k
n
n y (n ) = ∑ ak H (z k )z k
离散时间LTI 离散时间
k
H (zk ) =
k = −∞
∑ h[k ]zk
y[n]
x(t )
2011-3-28
h(t)
LTI
y (t )
x(t )
x(t)
LTI
y (t )
22
信号与系统－第二章 线性时不变系统LTI）
2011-3-28
23
信号与系统－第二章 线性时不变系统LTI）
2011-3-28
24
非线性系统
信号与系统－第二章 线性时不变系统LTI）
注意： 注意： 对非LTI系统输出与级联次序有关 对非 系统输出与级联次序有关
方程改写为： 方程改写为：
1 1 1 1 + a1 + a2 2 y[n] = b0 + b1 x[n] E E E
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45
信号与系统－第二章 线性时不变系统LTI）
1 1 y[n] = x[n] 1 + a1 + a2 2 1 E E b0 + b1 E
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信号与系统－第二章 线性时不变系统LTI）
2.1 连续时间 系统 卷积积分 连续时间LTI系统 系统:卷积积分
2011-3-28
第二章线性时不变系统
引 言
2.0
分析LTI系统时，问题的实质是什么？
1）研究信号的分解：即以什么样的信号作为构成任意 信号的基本信号单元，如何用基本信号单元的线性组合来 构成任意信号； 引 言 2.0 3 2）研究如何得到LTI系统对基本单元信号的响应。
基本单元的信号应满足以下要求是什么？
1）尽可能简单，并且用它的线性组合能够表示尽可能 广泛的其他信号； 2）LTI系统对这种信号的响应易于求的。
h( )
2T
1 x(t )
0
2T
t T
0
t
① 当
t0
时，
y (t ) 0
② 当 0 t T 时，
③ 当 T t 2T时，
连 续 时 间 系 统 ： 卷 积 积 分 19 LTI
④ 当 2T t 3T时，
⑤ 当 t 3T 时，
1 2 y(t ) d t 0 2 t 1 2 y(t ) d Tt T t T 2 2T 1 2 y(t ) d 2T (t T ) 2 t T 2 y (t ) 0
对应点相乘，再把乘积的各点值累加，得到 n 时刻的 y n
x n nu n 例1 已知 h n u n
0 1 ，求LTI系统对输
入信号的响应 y n 。
解：采用图解法
y n
k
x k h n k
上式表明： LTI系统可以完全由它的单位脉冲响应 h(t )来表征。这种求得系统响 应的运算关系称为卷积积分（The convolution integral）。
三．卷积积分的计算（分5步移动法） 卷积积分与卷积和类似，求解的方法有图解法、解析法 和数值解法。
第2章__线性时不变系统
dg (t ) h(t ) dt
g (t ) u(t ) h(t ) h()d
求系统零状态响应举例：如图所示系统， hD (t ) (t 1 ) hG (t ) u(t ) u(t 3) ， ，输入 x(t ) u(t ) u (t 1)，求零状态响应y（t）
k
h[k ]x[n k ]
2、分配律
x[n] (h1[n] h2 [n]) x[n] h1[n] x[n] h2 [n]
x(t ) (h1 (t ) h2 (t )) x(t ) h1 (t ) x(t ) h2 (t )
物理意义： （1）LTI系统对两个输入的和的响应等于对 单个输入响应的和
y[n]
k
x[k ]h [n]
k
• 若该线性系统又是时不变的 ，则有
hk [n] h[n k ]
其中h[n]是系统输入为δ[n]时的零状态响应, 称为单位脉冲(样本)(序列)响应 y[n] x[k ]h[n k ] 所以对LTI系统,有 ： k 对照卷积的定义，有： y[n] x[n] h[n] 称为卷积和
通信中的编码器都是可逆的 例： y(t ) 2 x(t ) w(t ) 1 y(t )
2
y[n]
k
x[k ]
n
w[n] y[n] y[n 1]
不可逆：
y[n] c
y(t ) x (t )
2
2.2.3 因果性
因果系统 ：系统在任何时刻的输出只决定于现在 的输入以及过去的输入
y (t )
因此当 h(t ) dt 时，输出为有界-充分性 亦可证必要性 h(t ) dt 连续时间LTI系统的稳定性 离散时间LTI系统的稳定性 h[n]
g (t ) u(t ) h(t ) h()d
求系统零状态响应举例：如图所示系统， hD (t ) (t 1 ) hG (t ) u(t ) u(t 3) ， ，输入 x(t ) u(t ) u (t 1)，求零状态响应y（t）
k
h[k ]x[n k ]
2、分配律
x[n] (h1[n] h2 [n]) x[n] h1[n] x[n] h2 [n]
x(t ) (h1 (t ) h2 (t )) x(t ) h1 (t ) x(t ) h2 (t )
物理意义： （1）LTI系统对两个输入的和的响应等于对 单个输入响应的和
y[n]
k
x[k ]h [n]
k
• 若该线性系统又是时不变的 ，则有
hk [n] h[n k ]
其中h[n]是系统输入为δ[n]时的零状态响应, 称为单位脉冲(样本)(序列)响应 y[n] x[k ]h[n k ] 所以对LTI系统,有 ： k 对照卷积的定义，有： y[n] x[n] h[n] 称为卷积和
通信中的编码器都是可逆的 例： y(t ) 2 x(t ) w(t ) 1 y(t )
2
y[n]
k
x[k ]
n
w[n] y[n] y[n 1]
不可逆：
y[n] c
y(t ) x (t )
2
2.2.3 因果性
因果系统 ：系统在任何时刻的输出只决定于现在 的输入以及过去的输入
y (t )
因此当 h(t ) dt 时，输出为有界-充分性 亦可证必要性 h(t ) dt 连续时间LTI系统的稳定性 离散时间LTI系统的稳定性 h[n]
2.2 线性不变系统
为了检验是不是线性不变系统，只要输入一个余弦信号， 为了检验是不是线性不变系统，只要输入一个余弦信号， 然后检验它的输出中是否包含其他的频率成分。 然后检验它的输出中是否包含其他的频率成分。
输入一个单 一频率的余 弦信号 系统 输出
只有输入频率的余弦信号，则是线性不变系统； 只有输入频率的余弦信号，则是线性不变系统； 还含有其他的频率，则不是线性不变系统！ 还含有其他的频率，则不是线性不变系统！
g (t ) = K1 A2 sin ω1 (t − t0 ) + K 2 AB cos ω 2 (t − t0 ) = K1 g1 (t ) + K 2 g 2 (t )
从上式看出，此滤波器具有均匀性和叠加性， 从上式看出，此滤波器具有均匀性和叠加性，因此是一个 线性滤波器。 线性滤波器。
即
τ ' f 1 (t ) = A sin ω 1 (t − τ ) = f 1 (t − τ )
即：
{
}
g (x, y ) = f ( x, y ) * h( x, y )
输出函数 = 输入函数 * 单位脉冲响应
说明：系统的输出函数等于输入函数与系统的单位 说明：系统的输出函数等于输入函数与系统的单位 输出函数等于输入函数与系统的 脉冲响应的卷积 的卷积。 脉冲响应的卷积。
（二）线性不变系统的传递函数
如果例子中的输入有一个时间延迟
则输出响应可以表示成： 则输出响应可以表示成：
g '1 (t ) = A 2 sin ω 1 (t − τ − t 0 ) = g 1 (t − τ )
即输出响应同样有一个延迟 ， 因此这个理想的滤波器是一个线性时间不变滤波器。 线性时间不变滤波器 因此这个理想的滤波器是一个线性时间不变滤波器。
输入一个单 一频率的余 弦信号 系统 输出
只有输入频率的余弦信号，则是线性不变系统； 只有输入频率的余弦信号，则是线性不变系统； 还含有其他的频率，则不是线性不变系统！ 还含有其他的频率，则不是线性不变系统！
g (t ) = K1 A2 sin ω1 (t − t0 ) + K 2 AB cos ω 2 (t − t0 ) = K1 g1 (t ) + K 2 g 2 (t )
从上式看出，此滤波器具有均匀性和叠加性， 从上式看出，此滤波器具有均匀性和叠加性，因此是一个 线性滤波器。 线性滤波器。
即
τ ' f 1 (t ) = A sin ω 1 (t − τ ) = f 1 (t − τ )
即：
{
}
g (x, y ) = f ( x, y ) * h( x, y )
输出函数 = 输入函数 * 单位脉冲响应
说明：系统的输出函数等于输入函数与系统的单位 说明：系统的输出函数等于输入函数与系统的单位 输出函数等于输入函数与系统的 脉冲响应的卷积 的卷积。 脉冲响应的卷积。
（二）线性不变系统的传递函数
如果例子中的输入有一个时间延迟
则输出响应可以表示成： 则输出响应可以表示成：
g '1 (t ) = A 2 sin ω 1 (t − τ − t 0 ) = g 1 (t − τ )
即输出响应同样有一个延迟 ， 因此这个理想的滤波器是一个线性时间不变滤波器。 线性时间不变滤波器 因此这个理想的滤波器是一个线性时间不变滤波器。
第四章 线性时不变离散时间系统
4.1 线性时不变(LTI)系统的性质
x(n)和 y(n) 分别表示输入和输出序列，则系统的输入输出
关系可记为：
y(n) T[x(n)]
其中，T 表示将输入信号转换为输出信号，系统的一般
输入输出关系图为：
x(n)
y(n)
h(n)
系统的输入输出关系图
4.1 线性时不变(LTI)系统的性质
系统的举例
线性
线性系统基本特征就是满足叠加原理。假设系统的输 入分别为 x1(n) 和 x2 (n) ，相应的输出分别为 y1(n) 和 y2 (n) ， 即：
y1(n) T [x1(n)]
y2(n) T[x2(n)]
则当且仅当
T[ x1(n) x2(n)] T[x1(n)] T[x2(n)]
y1(n) y2(n)
s (n)
1 M
M 1
x(n
l 0
l)
1 M
M
1
x
(n
l0
l)
x(n
M)
x(n
M
)
1 M
M l1
x(n
l)
x(n)
x(n
M )
1 M
M
1
x(n
l0
1 l)
x(n)
x(n
M )
M 1 s (n 1) 1 x(n) x(n M )
M
M
4.1 线性时不变(LTI)系统的性质
假设输入信号经过m 步移位得到 x(n m) ，送入同一系
统，若系统的输出为 y(n m) ，用公式表示就是:
时，系统为线性系统，其中, 为任意常数。
4.1 线性时不变(LTI)系统的性质
举例
第二章 线性时不变系统
1
hh[nn − k ) = α ( −k]
n−k
k
0
k
n−6
0
4
n
13
x[n]
h[n]
h[n-k]0 1 2 3 4
1.
0 123456
n<0
0≤n≤4
y[n] = 0
y[n] = ∑ a n − k
k =0 n
n-6 n n-6 n
0
2.
3. n > 4
n−6 < 0 y[n] = ∑ a n − k
( ] h[n)
( ] 因此，只要得到了LTI LTI系统对 因此，只要得到了LTI系统对 δ [n)
的响应
单位脉冲响应(impulse response)， 单位脉冲响应(impulse response)，
就可以得到LTI系统对任何输入信号 就可以得到LTI系统对任何输入信号 LTI 响应： 响应：
−∞ 0
宽度的区段， 对一般信号 x (t ) ，可以分成很多 ∆ 宽度的区段， 用一个阶梯信号 x ∆ (t ) 近似表示 x (t ) .当 ∆ → 0 时，
x∆ (t ) → x(t )
17
于是： 于是：
x(t) = ∫ x(τ )δ (t −τ )dτ
−∞
∞
表明： 任何连续时间信号 x(t ) 都可以被分解为移位 表明： 加权的单位冲激信号的线性组合。 加权的单位冲激信号的线性组合。
y[n] =
若系统具有时不变性， 若系统具有时不变性，即：
k = −∞
∑ x[k ] h [n]
k
∞
[]
∞
[ ] h[ ] 则 若 δ (n) → h( n) ， :
hh[nn − k ) = α ( −k]
n−k
k
0
k
n−6
0
4
n
13
x[n]
h[n]
h[n-k]0 1 2 3 4
1.
0 123456
n<0
0≤n≤4
y[n] = 0
y[n] = ∑ a n − k
k =0 n
n-6 n n-6 n
0
2.
3. n > 4
n−6 < 0 y[n] = ∑ a n − k
( ] h[n)
( ] 因此，只要得到了LTI LTI系统对 因此，只要得到了LTI系统对 δ [n)
的响应
单位脉冲响应(impulse response)， 单位脉冲响应(impulse response)，
就可以得到LTI系统对任何输入信号 就可以得到LTI系统对任何输入信号 LTI 响应： 响应：
−∞ 0
宽度的区段， 对一般信号 x (t ) ，可以分成很多 ∆ 宽度的区段， 用一个阶梯信号 x ∆ (t ) 近似表示 x (t ) .当 ∆ → 0 时，
x∆ (t ) → x(t )
17
于是： 于是：
x(t) = ∫ x(τ )δ (t −τ )dτ
−∞
∞
表明： 任何连续时间信号 x(t ) 都可以被分解为移位 表明： 加权的单位冲激信号的线性组合。 加权的单位冲激信号的线性组合。
y[n] =
若系统具有时不变性， 若系统具有时不变性，即：
k = −∞
∑ x[k ] h [n]
k
∞
[]
∞
[ ] h[ ] 则 若 δ (n) → h( n) ， :
连续线性时不变系统的描述
4
1.连续时间系统的数学模型
信号通过系统如何求响应？
dv2 t
dt
1 RC
v 2t
1 v t
RC
1
ht
O
t
4
例1
请列出描述此系统 的微分方程。
解：
元件的约束特性（关联参考方向）：
电容：iC
t
C
dvC t
dt
电感：vL
t
L
diL t
dt
5
例1
网络拓扑特性：
KVL :
e t vL (t ) vC (t )
第一章 信号与系统分析导论
1.10 线性时不变系统的描述
1
主要内容
•连续系统：微分方程，方框图 •离散系统：差分方程，方框图
1.连续时间系统的数学模型
•微分方程 • 根据实际系统的物理特性列写系统 的微分方程。 • 给定激励条件和初始状态，求响应。 • 经数学解析后再回到物理实际。
•结构图，例如方框图和信号流图。
e
t
L
d
vC (t R
)
C dt
d
vC (t dt
)
vC
(t)
d2 vC (t ) dt2
1 d vC (t) RC d t
1 LC vC (t)
1 e t
LC
8
例1
d2 vC (t ) dt2
1 d vC (t ) RC d t
1 LC vC (t)
1 e t
LC
方程中没有相乘等非线性项——线性系统
方程的系数均为常数——时不变系统 微分方程的阶次就是系统的阶次
9
2.连续时间系统的框图表示
(1) 加法器
1.连续时间系统的数学模型
信号通过系统如何求响应？
dv2 t
dt
1 RC
v 2t
1 v t
RC
1
ht
O
t
4
例1
请列出描述此系统 的微分方程。
解：
元件的约束特性（关联参考方向）：
电容：iC
t
C
dvC t
dt
电感：vL
t
L
diL t
dt
5
例1
网络拓扑特性：
KVL :
e t vL (t ) vC (t )
第一章 信号与系统分析导论
1.10 线性时不变系统的描述
1
主要内容
•连续系统：微分方程，方框图 •离散系统：差分方程，方框图
1.连续时间系统的数学模型
•微分方程 • 根据实际系统的物理特性列写系统 的微分方程。 • 给定激励条件和初始状态，求响应。 • 经数学解析后再回到物理实际。
•结构图，例如方框图和信号流图。
e
t
L
d
vC (t R
)
C dt
d
vC (t dt
)
vC
(t)
d2 vC (t ) dt2
1 d vC (t) RC d t
1 LC vC (t)
1 e t
LC
8
例1
d2 vC (t ) dt2
1 d vC (t ) RC d t
1 LC vC (t)
1 e t
LC
方程中没有相乘等非线性项——线性系统
方程的系数均为常数——时不变系统 微分方程的阶次就是系统的阶次
9
2.连续时间系统的框图表示
(1) 加法器
线性时不变系统模型
线性时不变系统模型
ARMAX模型 模型
• 重新整理（4.14），在两边同时加上[1-C(q)] y(t|θ)
ˆ ˆ y (t | θ ) = B(q)u (t ) + [1 − A(q)] y (t ) + [C (q) − 1][ y (t ) − y (t | θ )]
（4.15）
• 在（4.15）中我们可以看出，历史的预测误差被 考虑了进来
线性时不变系统模型
ARX模型 模型
• 这样（4.6）就可以用一种更加简洁的方法表达
ˆ y (t | θ ) = θ T ϕ (t ) = ϕ T (t )θ
（4.7）
• 向量φ(t)是系统的输入和输出的历史数据，是已 知的 • θ是需要估计的参数，是未知的 • 这样的模型叫做线性自回归(linear regression),其中φ(t)是回归向量(regression vector) • 如何使用数学工具来估计参数向量θ，是我们系 统辨识的一项重要研究内容
（4.13） （4.14）
ˆ C (q) y (t | θ ) = B (q)u (t ) + [C (q) − A(q)] y (t )
• 由（4.14）可以看出，不同于ARX模型，如果要 计算ARMAX模型的一步预测值，我们不但要知 道系统输入u(t)和系统输出y(t)的历史值，我们还 要知道预测的历史值y(t|θ)的历史值
线性时不变系统模型
线性时不变系统模型组
• 对于y(t)的一步预测值，我们可以重写(3.6)
ˆ y (t | θ ) = H −1 (q, θ )G (q )u (t ) + [1 − H −1 (q, θ )] y (t ) （4.3）
• 与（4.2）是一个概率模型组不同的是，（4.3） 是一个预测模型组 • （4.3）里面包含了模型结构的信息，下面将使用 几种数学形式来描述（4.3）的模型结构
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yp
(n)
C1(1)n
C2 (2)n
1 3
(2)n
将初始条件代入上式，得：
y(1)
C1
பைடு நூலகம்C2 2
1 6
0
y(2)
C1
C2 4
1 12
1 2
解得：
C1
2 3
C2 1
故，全响应为： y(n) 2 (1)n (2)n 1 (2)n
n0
3
3
自由响应
强迫响应
5
§1.5 连续时间信号的数字处理
对连续（模拟）信号实施数字处理的典型框图
典型例题
例 1 递推法
试求一阶差分方程 y(n)= ay(n-1) +x(n)的单位脉冲响应。设初 始条件为y(n)=0(n<0)。
解：令 x(n)=δ(n),则y(n)=h(n), 上式可变为:
h(n)=ah(n-1)+ δ(n)
h(0)=1 h(1)=ah(0)+ 0=a
h(2)=ah(1)+ 0=a2 … h(n)=ah(n-1)+ 0= an
频谱不混叠最小抽样频率(Nyquist rate)
频谱不混叠最大抽样间隔
16
连续信号频谱X(jw)与理想抽样信 号频谱Xs(jw)的关系
F[ xs (t)] F[ x(t) T (t)]
1 F[ x(t )] F[T (t )] 2p
∴
h(n)= anu(n) 为因果系统
3
例 2 经典解法
描述某线性时不变离散系统的差分方程为： y(n) 3y(n 1) 2y(n 2) 2nu(n)
试求：当初始状态为 y(-1)=0, y(-2)= ½时，求全响应。
解：(1)求齐次解，特征根为：1 1, 2 2 yh (n) C1(1)n C2 (2)n
在图1.5.3中，设xa(t)是带限信号，最 高 截 止 频 率 为 Ωc ， 其 频 谱 Xa(jΩ) 如 图 1.5.3(a)所示。
14
Xa(jΩ )
（a ） （b ）
－ Ωc
0
Ωc
P (jΩ )
δ
－ Ωs
0
Ωs
＾Xa(jΩ )
（c）
－ Ωs s 2
0
s 2 Ω s
＾Xa(jΩ )
（d ）
1 2p
2p T
X a ( j ) ( ks )d
k
1 T
k
Xa(
j)
(
ks
)d
1 T
X a ( j
k
jks )
(1.5.5)
13
上式表明采样信号的频谱是原模拟信号 的频谱沿频率轴，每间隔采样角频率Ωs 重复出现一次，或者说采样信号的频谱 是原模拟信号的频谱以Ωs为周期，进行 周期性延拓而成的。
(2)求特解：设特解为：yp (n) P(2)n
将yp(n)代入原差分方程，得：
P(2)n 3P(2)n1 2P(2)n2 2n
P(2)n 3 P(2)n 2 P(2)n 2n
2
4
y
p
(n)
1 3
(2)n
解得：P 1
3
4
例 2 经典解法
(3)用初始值求常数：
全响应为： y(n)
yh (n)
P ( j) 2p ak ( ks )
k
(1.5.3)
12
式中，Ωs=2π/T，称为采样角频率， 单位是弧度/秒，
ak
1 T
T / 2 (t )e jks dt 1
T / 2
T
(1.5.4)
P (
j)
2p
T
( ks )
k
X a ( j)
1
2p
X a ( j) P ( j)
式中，x (n), y(n)分别不含为它激们励的与相响乘项应。。前向差分方程
多用于状态变量分析法。
n阶后向差分方程
y(n k) an1 y(n k 1) a1 y(n 1) a0 y(n) bm x(n m) bm1x(n m 1) b1x(n 1) b0 x(n)
后向差分方程多用于因果系统与数字滤波器的分析。
9
图1.5.2 对模拟信号进行采样 10
P (t) (t nT )
n
冲击函数串
(1.5.1)
xa (t) xa (t) P (t) xa (t) (t nT )
n
上式中δ(t)是单位冲激信号，在上式中
只有当t=nT时，才可能有非零值，因此
抽样信号写成下式：
xa (t)
xa (T ) (t nT ) (1.5.2)
n
11
在傅里叶变换中，两信号在时域相乘的傅里叶 变换等于两个信号分别的傅里叶变换的卷积， 按照(1.5.2)式，推导如下：
设
X a ( j) FT [xa (t)]
xa ( j) FT [xa (t)]
P ( j) FT [P (t)]
按照(1.5.1)式，
1
§1.4 线性时不变系统的描述
差分方程的重要特点是： 系统当前的输出（即在n时刻的输出）y(n)，不 仅与激励有关，而且与系统过去的输出 y(n-1), y(n-2), y(n-N) 有关，即系统具有记忆功能。
2
差分方程的求解
递推法
经典解法 时域解法
详见《数字信号处理》的相关章节
Z域分析法
－ Ωs
0
Ω cΩ s
s
2
图1.5.3 采样信号的频谱
Ω Ω Ω Ω
15
时域抽样定理
设x(t)是带限实信号，则抽样后信号频谱不 混叠的(充分)条件为：
抽样频率fs满足：
fsam 2fm （或wsam 2 wm）
或抽样间隔T 满足
fsam = 2fm T=1/(2fm)
T p/wm=1/(2fm)
(s)
抽样角频率 ws =2p/T (rad/s)
T
抽样频率
fs =1/T (Hz)
X ( jw) X (e j )
8
理想抽样
x(t) 0 T 2T
T(t)
0 T 2T xs(t)
0 T 2T
t
t t
xs (t ) x(t )T (t ) x(t )k (t kT )
k x[k ] (t kT )
6
*1.5信号的抽样（难点及重点）
连续信号频谱与抽样信号频谱的关系 时域抽样定理 抗混叠滤波 信号的重建 连续信号的离散处理
7
1.5.1抽样过程的数学模型
x(t)
点抽样
t
0 T 2T
x[k]
k 012
x[k ] x(t ) t kT
x(t)
A/D
x[k]=x(kT) 抽样间隔(周期) T
§1.4 线性时不变系统的描述
n阶前向差分方(程m系=1数,…ak(,kM=)1均、为2…常、数N。) ， bm
y(n
k
)
ak
1
y(n
k 1) bm x(n m)
a高1差线by阶m(分性n1与x指方(1最n)方程低m程的a阶0中阶y之1(仅数)n差)有指。y方(n程b-1 xk中()n的y(一n1-) 次k)b幂的0 x项最(n，)