计量经济学

§3.4模型的离差形式和决定系数
其中b1为截距（intercept）,b2为斜率（slope coefficient） 则 Y X1b1 X2b2 e 而 X1 i Ai 0 所以 AY AX2b2 e （*） （*）为模型的离差形式 （*）两端同时乘以X2T 则 X2T AY X2T AX2b2 X2Te
H0 : i 0
H1 : i 0
§3.5 参数估计的分布性质
ti

bi i 2aii
b i
S aii
nkS2 2 n k
t n k
式中 aii 为 X T X 1 主对角线上的第 i 个元素。
t 统计量要求分子分母相互独立，上式用到 S 2 与 b 分布独立的性质，见教材 p58-59。
§3.5 参数估计的分布性质
如果 R 0, 0 1, 0 0
H0 为 i 0
如果 R 0,1, 1, 0 0
H0 为 2 3 0
r0 r0
§3.5 参数估计的分布性质
对于H0: Rr检验利用F分布
RbrT
F
R
X1X 1RT1Rbr
XT AX 2AX X
aTX a,a为列向量 X
残差向量eY- Xb，b为的估计，则残差平方和：
et2 eTeY- XbT Y- Xb
YTY-YT Xb-bT XTY bT XT Xb
YTY -2bT XTY bT XT Xb
§3.2最小二乘估计
trE M U U T trM E U U T
trM 2I
§3.4模型的离差形式和决定系数
M I X X ' X 1 X '
tr M trI tr X X ' X 1 X ' n tr X ' X 1 X ' X
一元模型： Yt X t ut Yˆt a b X t e t Y t Yˆt Y t Yˆt e t a b X t e t 离差形式：
Y t Y a b X t e t a b X 0 b X t X et
§3.5 参数估计的分布性质
生产函数Y AK L
道格拉斯生产函数考虑 1 时的情况。 Y 1 2 X 2 k X k u 假设线性约束 H0 : R r
式中 R 已知 q k 矩阵，r 已知 q 1已知矩阵, 且 r R q 。
“ 上 式 中 交 叉 项 部 分 =0?
利用性质
Ae

e和
X
T 2
e

0
§3.4模型的离差形式和决定系数
定义决定系数
R2
b2T X2T AX2b2 YT AY

AX2b2 T AX2b2 YT AY
b2T X2T AY YT AY
AY AX2b2 e
在一元模型中有ESS bSXY
式中C是一等幂矩阵，且存在一正交变换矩阵P
使
1





PTCP

1 0




0
§3.5 参数估计的分布性质
令Z PTU
对U作一正交变换，则Z 为正态分布，且
EZ0 E ZZT 2I
则
eTeZT I PT PI Z ZT I Z
XT X 1 XT X X T X 1 2I
2I XT X
2 XT X 1
假设d AY是的任意线形无偏估计，A是一k n的常数矩阵。
有效性即：vard -varb 0
§3.3最小二乘估计的性质
由无偏性 则 AX I
vard= AvarY AT
A 2I AT
2 AAT
讨论下面的矩阵是否半正定？
AAT XT X 1
AAT A A A
A A A
T

A A
A A T A A T
§3.4模型的离差形式和决定系数
上式称为离差形式的正规方程，和一般形式的正规方程类似。
XTX bXTY
利用b2求b1：
k
b1 Y biXi i2
其中Xi为X2中k1个列向量每一列的算术平均。
§3.4模型的离差形式和决定系数
这是因为
iTY iT Xb e
nn
Y 1, X 2 , X 3
称为调整（修正）后的决定系数。见教材p63-64
§3.4模型的离差形式和决定系数
R2 1 k n 1 R2 nk nk
1 n 1 1 R2 nk 有 R2 ≥ R2
类似一元模型，多元模型中误差项方差的估计量为：
S 2
et2
nk
且 E S 2 2
第三章:多元线性回归模型
§3.1 §3.2 §3.3 §3.4 §3.5 §3.6
模型的假定 最小二乘估计 最小二乘估计的性质 模型的离差形式和决定系数 参数估计的分布性质 多重共线性
§3.1 模型的假定
模 型 ： Y t 1 2 t X 2 t k X k t u t
§3.6 多重共线性
一、多重共线性存在的后果
Y X u
rX k
若 rX k 则称作严格的多重共线关系。
讨论模型 Y 1 2 X 2 3X 3 u
假设
X2 X3
则
Y 1 2 3 X 3 u
重点讨论不是严格多重共线的情形。
§3.4模型的离差形式和决定系数
多元模型： Y X U e Y Yˆ Yˆ X b Y Yˆ e X b e
§3.4模型的离差形式和决定系数
1
设
A I 1 iiT n
i



1 n1
Y1 Y


则
AY

Y2
nk
§3.5 参数估计的分布性质
b X T X 1 X T Y
b N , 2 X 1 X 1
又
e I X X T X 1 X T U
I C U P I P TU P I Z
§3.5 参数估计的分布性质
Y

Yn Y
Ai 0 Ae e AT A A2 A
§3.4模型的离差形式和决定系数
对于 Y Xbe
令 X X1, X2
其中：X1为X的第一列，X2为剩余的(k 1)列构成的矩阵
1
X1




i
1
令：b


b1 b2
eTe 2XTY 2XT Xb0 b 上式为正规方程，包含k个方程式 则最小二乘估计
b XT X 1 XTY
由假设条件可以证明XT X是正定的，即XT X 0
§3.3最小二乘估计的性质
1 .线 形 特 性 ： b X T X 1 X T Y
2 .无 偏 性 ： E b
多元模型对应有ESS=b2T X2T AY
§3.4模型的离差形式和决定系数
考虑两个模型
(I) Y 1 2X2 3X3 u (II) Y 1 2X2 3X3 4X4 u
则有：RSSI RSSII
定义
R2
1
eTe n YT AY
k n 1
则
e M X U
MU
上式给出残差和误差的关系。

e
2 t

eT e

M U
T
M U

U TMU
E eT e E U T M U
§3.4模型的离差形式和决定系数
E U T M U E t r U T M U
E tr M U U T
§3.4模型的离差形式和决定系数
证明：由残差定义
e Y Xb
Y X
X 'X
1
X 'Y
I X X ' X 1 X ' Y
MY
其 中 M I X
X 'X
1
X'
有性质：M ' M M TM M
MX 0
§3.4模型的离差形式和决定系数
矩 阵 形 式 ： Y X U
Y1 1 1 X21 其 中 ： YY22X1 X22

Yn k 1 X2n
Xk1 u1 Xk2Uu2
Xkn un
§3.1 模型的假定
模型假设：
Zk21 Zn2
§3.5 参数估计的分布性质
显然
Zi N 0,1

∴ eTe 2 2 n k
即
RSS
2
2 nk
分析：U N 0, 2I
PTU N 0, 2PT P 而 PT P I
§3.5 参数估计的分布性质
单一系数的显著性检验
Yt 1 2 X 2t k X kt ut
E u1
（
1）
E
U


0



即
对
每
一
个
元
素
取
期
望

E

u
n


（ 2） E UU T 2 I 协 方 差 矩 阵
（ 3） X 为 一 确 定 性 变 量
（ 4） r X k k n
（ 5） U N 0, 2 I
§3.2最小二乘估计
F ESS k 1 RSS nk R2 k 1
=1R2 nk
§3.5 参数估计的分布性质
上次作业讲评
Y X U 要证X Te 0
由正规方程
X T X b X TY X T Xb e
有 XTe 0
§3.6 多重共线性
一、多重共线性存在的后果 二、多重共线性的判别尺度 三、多重共线性的解决方法
eTenk
q
Fq,nk

§3.5 参数估计的分布性质
考虑如下的约束
H0 : 2 3 k 0
0 1 0
R


0
Leabharlann Baidu
0
1

0
0
0
0


0 k 1k
1




k
r0
§3.5 参数估计的分布性质
可以证明 变成
§3.4模型的离差形式和决定系数
解
释
变
量
与
残
差
变
量
垂
直
，
即
X
T 2
e

0
作业
证明
X
T 2
e

0
则得到：
X
T 2
AY

X
T 2
A
X
2b2
X
T 2
A 2Y

X
T 2
A
2
X
2b2

X
T 2
AT
AY

X
T 2
AT
A
X
2b2
AX 2 T AY AX 2 T AX 2 b2
§3.4模型的离差形式和决定系数
b


T

b X T X 1 X T Y
X T X 1 X T X U
X T X 1 X T U
§3.3最小二乘估计的性质
var
b

E

XT X
1 X TUUT X
XT X
1
XT X 1 XT E UUT X XT X 1
E b
E

X TX
1
X
TY


E

X TX
1
X
T
X

U


X T X 1 X T E X U

X TX
1
X
TX


0

§3.3最小二乘估计的性质
3 .有 效 性 ：
var
b

E


b


§3.6 多重共线性
由上机实验数据表1、2
表1
Yˆ 1.190.446X2 0.00305X3
总离差平方和：
b1
X
k



b k
§3.4模型的离差形式和决定系数
T SS Yt Y 2
A Y T A Y Y T A Y

b
T 2
X
T 2
A

eT
A X 2b2 e

b
T 2
X
T 2
AX
2b2

eTe
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