【恒心】2015届河南省中原名校高三11月期中考试试题数学(理科)及参考答案【首发纯word版】
数学_2015年河南省八市重点高中高考数学模拟试卷(理科)(含答案)
2015年河南省八市重点高中高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知集合A＝{x||x+1|≤2}，B＝{x|y＝lg(x2−x−2)}，则A∩∁R B＝（）A [3, −1)B [3, −1]C [−1, 1]D (−1, 1]2. 如图所示的复平面上的点A，B分别对应复数z1，z2，则z2z1=()A −2iB 2iC 2D −23. 设函数f(x)，g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数且满足f(x)+g(x)＝x3−x2+1，则f(1)＝（）A −lB lC −2D 24. 已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为（）A y=±√2xB y=±√33x C y=±√22x D y=±√3x5. 某校为了提倡素质教育，丰富学生们的课外活动分别成立了绘画，象棋和篮球兴趣小组，现有甲，乙，丙、丁四名同学报名参加，每人仅参加一个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一人报名，则不同的报名方法有( )A 12种B 24种C 36种D 72种6. 已知某棱锥的三视图如图所示，俯视图为正方形，根据图中所给的数据，那么该棱锥外接球的体积是（）A 43π B 83π C 8√23π D 16√23π7. 执行如图的程序框图，当k的值为2015时，则输出的S值为（）A 20132014 B 20142015C 20152016D 201620178. 已知sin(α+π6)−cosα=13，则2sinαcos(α+π6)=()A −518B 518C −79D 799. 已知x ，y 满足区域 D:{x +y −3≤02x +y −2≥0x −y −1≤0 ，给出下面4个命题：p 1:∀x ，y ∈D ，2x −y ≥2 p 2:∃x ，y ∈D ，2x −y ≤2 p 3:∃x ，y ∈D ，y+1x+2<13p 4:∀x ，y ∈D ，y+1x+2≥13，其中真命题是（ ）A p 1，p 3B p 2，p 3C p 1，p 4D p 2，p 410. 已知抛物线y 2＝2px(p >0)的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，过点A 作准线l 的垂线，垂足为E ，当A 点坐标为 (3, y 0)时，△AEF 为正三角形，则此时△OAB 的面积为（ ） A4√33 B √3 C 2√33 D 5√3311. 已知函数 f(x)=ax +xlnx,g(x)=x 3−x 2−5，若对任意的 x 1,x 2∈[12,2]，都有f(x 1)−g(x 2)≥2成立，则a 的取值范围是（ ） A (0, +∞) B [1, +∞) C (−∞, 0) D (−∞, −1]12. 已知定义域为R 的连续函数 f(x)，若 f(x)满足对于∀x ∈R ，∃m ∈R(m ≠0)，都有 f(m +x)＝−mf(x)成立，则称函数 f(x)为“反m 倍函数”，给出下列“反m 倍函数”的结论： ①若 f(x)＝1是一个“反m 倍函数”，则 m ＝−1； ②f(x)＝sinπx 是一个“反1倍函数”； ③f(x)＝x 2是一个“反m 倍函数”；④若f(x)是一个“反2倍函数”，则f(x)至少有一个零点， 其中正确结论的个数是（ ） A l B 2 C 3 D 4二、填空题：（本太题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知 (√x +√x )6的展开式中含 x 2项的系数为12，则展开式的常数项为________． 14. 已知不等式 1+14<32,1+14+19<53,1+14+19+116<74,⋯，照此规律，总结出第 n(n ∈N ∗)个不等式为________．15. 如图，已知Rt △ABC 中，点O 为斜边BC 的中点，且AB ＝8，AC ＝6，点E 为边AC 上一点，且AE →=λAC →，若AO →⋅BE →=−20，则λ＝________．16. 已知△ABC的内角A、B、C对应的边分别为a，b，c，且关于x的方程2a2+2x2+b2＝2bx+2√2ax只有一个零点，(√2b+a)cosC+ccosA=0，S△ABC=√22sinA⋅sinB，则边c ＝________．三、解答题：（共4个小题，每1小题12分，共48分）17. 已知数列{a n}的前n项和为S n，对于任意的正整数n，直线x+y＝2n总是把圆(x−n)2+(y−√S n)2=2n2平均分为两部分，各项均为正数的等比数列{b n}中，b6＝b3b4，且b3和b5的等差中项是2a3．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若c n＝a n b n，求数列{c n}的前n项和T n．18. 某市在2015年2月份的高三期末考试中对数学成绩数据统计显示，全市10000名学生的成绩服从正态分布N (115, 25)，现某校随机抽取了50名学生的数学成绩分析，结果这50名同学的成绩全部介于80分到140分之间现将结果按如下方式分为6组，第一组[80, 90)，第二组[90, 100)，…第六组[130, 140]，得到如右图所示的频率分布直方图（1）试估计该校数学的平均成绩（同一维中的数据用该区间的中点值作代表）；（2）这50名学生中成绩在120分（含12以上的同学中任意抽取3人，该3人在全市前13名的人数记为X，求X的分布列和期望附：若X∼N(u, σ2)，则P(u−σ<X<u+σ)＝0.6826，P(u−2σ<X<u+2σ)＝0.9544，P(u−3σ<X<u+3σ)＝0.9974．19. 如图所示的多面体ABC−EFGH中，AB // EG，AC // EH，且△ABC与△EGH相似，AE⊥平面EFGH，EF＝FG=√2,GH=1,EH=√5,∠EGH=90，且AC=12EH，AE＝EG（1）求证，BF⊥EG；（2）求二面角F−BG−H的余弦值．20. 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分割为F1，F2，左右端点分别为曲A1，A2，抛物线y2＝4x与椭圆相交于A，B两点且其焦点与F2重合，AF2=53 (Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)过点(27,0)作直线l与椭圆相交于P，Q两点（不与A1，A2重合），求A2P→与A2Q→夹角的大小．21. 已知函数f(x)＝alnx−x+1，g(x)＝−x2+(a+1)x+1．（1）若对任意的x∈[1, e]，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；（2）若函数ℎ(x)在其定义城内存在实数x0，使得ℎ(x0+k)＝ℎ(x0)+ℎ(k)（k≠0且为常数）成立，则称函数ℎ(x)为保k阶函数，已知H(x)＝f(x)−(a−1)x+a−1为保a阶函数，求实数a的取值范围．四、选做题：【选修4－1：几何证明选讲】（共1小题，满分10分）22. 已知BC为圆O的直径，点A为圆周上一点，AD⊥BC于点D，过点A作圆O的切线交BC的延长线于点P，过点B作BE垂直PA的延长线于点E．求证：（1）PA⋅PD＝PE⋅PC；（2）AD＝AE．五、选做题：【选修4－4：坐标系与参数方程】（共1小题，满分0分）23. 已知曲线C的极坐标方程为：ρ2−2ρcosθ+4ρsinθ+1＝0，以极点为原点，极轴为xπ轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l经过点P(−1, 1)且倾斜角为23(Ⅰ)写出直线l的参数方程和曲线C的普通方程；(Ⅱ)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|⋅|PB|的值．六、选做题：【选修4－5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）24. 已知函数f(x)＝|x−2|+|x+1|(Ⅰ)解关于x的不等式f(x)≥4−x；(Ⅱ)a，b∈{y|y＝f(x)}，试比较2(a+b)与ab+4的大小．2015年河南省八市重点高中高考数学模拟试卷（理科）答案1. C2. A3. B4. D5. C6. C7. C8. B9. D10. A11. B12. C 13. 16014. 1+122+132+142+⋯+1(n+1)2<2n+1n+115. 23 16. 117. 由于x +y ＝2n 总是将圆 (x −n)2+(y −√S n )2=2n 2平均分为两部分， 所以n +√S n =2n ，即S n ＝n 2，所以a 1＝S 1＝1， 当n ≥2时a n =S n −S n−1=n 2−(n −1)2=2n −1， 经检验n ＝1时也成立，所以a n ＝2n −1；等比数列{b n }中由于b 6＝b 3b 4，即b 1q 5=b 1q 2⋅b 1q 3，故b 1＝1，设公比q >0，由b 3和b 5的等差中项是2a 3，及2a 3＝2×(2×3−1)＝10， 可知b 3+b 5＝20，所以q 2+q 4＝20，解得q ＝2，从而b n =2n−1； 若c n ＝a n b n ，则T n ＝a 1b 1+a 2b 2+...+a n b n ，所以T n ＝1+3×2+5×22+...+(2n −1)×2n−1， 2T n ＝2+3×22+5×23+...+(2n −1)×2n ，两式相减，得−T n =1+2(2+22+⋯+2n−1)−(2n −1)2n=1+2×2(1−2n−1)1−2−(2n −1)2n＝−3+2×2n −(2n −1)2n ＝−3+(3−2n)2n ，所以T n ＝3+(2n −3)2n ．18. 根据频率分布直方图，得； 成绩在[120, 130)的频率为1−(0.01×10+0.024×10+0.03×10+0.016×10+0.008×10)＝1−0.88＝0.12； 所以估计该校全体学生的数学平均成绩为85×0.1+95×0.24+105×0.3+115×0.16+125×0.12+135×0.08＝8.5+22.8+31.5+18.4+15+10.8＝107， 所以该校的数学平均成绩为107； 因为1310000=0.0013，根据正态分布：P(115−3×5<X <115+3×5)＝0.9974， 所以P(X ≥130)=1−0.99742，又0.0013×10000＝13，所以前13名的成绩全部在130分以上； 根据频率分布直方图得，这50人中成绩在130分以上（包括13的有0.08×50＝4人， 而在[120, 140]的学生共有0.12×50+0.08×50＝10， 所以X 的可能取值为0、1、2、3， 所以P(X ＝0)=C 63C 103=20120=16，P(X ＝1)=C 62⋅C41C 103=60120=12，P(X ＝2)=C 61⋅C42C 103=36120=310，P(X ＝3)=C 43C 103=4120=130；所以X 的分布列为数学期望值为EX ＝0×16+1×12+2×310+3×130=1.2． 19. 证明：∵ AB // EG ，且△ABC ∽△EGH ，AC =12EH ， ∴ AB =12EG ，取EG 的中点O ，连结OF 、OB ，∴ OB // AE ， 又∵ AE ⊥平面EFGH ，∴ OB ⊥平面EFGH ， 又∵ EG ⊂平面EFGH ，∴ OB ⊥EG ，又∵ EF ＝FG =√2，∴ OF ⊥EG ， ∵ OF ∩OB ＝O ，∴ EG ⊥平面OBF ， ∵ BF ⊂平面OBF ，∴ BF ⊥EG ； 由（1）知OF 、OG 、OB 两两垂直，如图，以O 为原点，以OF 、OG 、OB 所在直线的方向分别 为x 、y 、z 轴的正方向建立空间直角坐标系， ∵ GH ＝1，EH =√5，∠EGH ＝90∘， ∴ EG =√EH 2−1=2，∵ EF ＝FG =√2，∴ OF ＝1， ∵ AE ＝EG ，∴ OB ＝2，∴ F(1, 0, 0)，G(0, 1, 0)，B(0, 0, 2)，H(−1, 1, 0)， ∴ GF →=(1, −1, 0)，GB →=(0, −1, 2)，GH →=(−1, 0, 0)， 设平面GBF 的一个法向量为n →=(x 1, y 1, z 1)， 由{n →⋅GF →=0n →⋅GB →=0 ，得{x 1−y 1=0−y 1+2z 1=0 ， 令z 1＝1，得n →=(2, 2, 1)，设平面GBH 的一个法向量为m →=(x 2, y 2, z 2)， 同理可得m →=(0, 2, 1)， ∴ cos <m →,n →>=m →⋅n→|m →||n →|=√4+4+1⋅√4+1=√53，由图可知，二面角F −BG −H 为钝角， ∴ 其余弦值为−√53．20. （1）根据题意，设A(x 0, y 0)，(x 0>0, y 0>0)，抛物线y 2＝4x 与椭圆相交于A ，B 两点且其焦点与 F 2重合，而抛物线 y 2＝4x 的焦点为(1, 0)， 则C 2＝1，由题意可得AF 2＝x 0+p2=x 0+1=53，故x 0=23；所以y 02＝4×23=83，则y 0=2√63， 则A(23, 2√63)， 有49a 2+249(a 2−1)=1，解可得a 2＝4， 又由c 2＝1，则b 2＝3， 故椭圆的方程为x 24+y 23=1；（2）①当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x =27，由于{x 24+y 23=1x =27，可得y 23=1−149=4849，所以y ＝±127，所以P(27, 127)Q(27, −127)，因为A 2(2, 0)，所以k A 2P =−1，k A 2Q =1， 所以k A 2P ⋅k A 2Q =−1，所以所以A 2P 与A 2Q 垂直，②当直线l 的斜率存在且不为0时，设其斜率为k ，则直线的方程为y ＝k(x −27)；联立可得{3x 2+4y 2=12y =k(x −27)，⇒49(3+4k 2)x 2−112k 2x +16k 2−12×49＝0，设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，A 2(2, 0)， 则x 1+x 2=16k 27(3+4k 2)，x 1⋅x 2=16k 2−12×4949(3+4k 2)，k A 2P =y 1(x1−2)，k A 2Q =y 2(x 2−2)k A 2P ⋅k A 2Q =y 1y 2(x1−2)(x 2−2)=−1，所以A 2P 与A 2Q 垂直，综合可得所以A 2P →与A 2Q →夹角的大小为90∘．21. ∵ 对任意的 x ∈[1, e]，不等式 f(x)≥g(x)恒成立，即alnx −x +1≥−x 2+(a +1)x +1恒成立，a(x −lnx)≤x 2−2x 恒成立， ∵ x ∈[1, e]，∴ lnx ≤lne ＝1≤x ， ∵ 上式等号不能同时成立，∴ lnx <x ， 即x −lnx >0，∴ a ≤x 2−2x x−lnx恒成立．令F(x)=x 2−2x x−lnx，∴ a ≤F(x)min (x ∈[1, e])，由于F ′(x)=(x−1)(x+2−21nx)(x−lnx)2，由于1≤x ≤e ，∴ x −1>0，x +2−2lnx ＝x +2(1−lnx)>0， ∴ F′(x)>0． ∴ 函数F(x)=x 2−2x x−lnx在区间[1, e]上单调递增，∴ F(x)≥F(1)=12−21−ln1=−1．∴ a ≤−1；∵ H(x)＝f(x)−(a −1)x +a −1＝alnx −x +1−ax +x +a −1＝alnx −ax +a(x >0)， 根据保a 阶函数的概念，∴ 存在x 0>0，使得H(x 0+a)＝H(x 0)+H(a)，即a[ln(x 0+a)−(x 0+a)+1]＝a(lnx 0−x 0+1)+a(lna −a +1)＝a(lnx 0−x 0+1+lna −a +1)，∴ ln(x 0+a)−(x 0+a)+1＝lnx 0−x 0+1+lna −a +1， 即ln(x 0+a)＝lnx 0+lna +1，即ln(x 0+a ax 0)=1，∴ x 0+aax 0=e ．∴ a =1e−1x 0，∵ x 0>0，∴ a >1e． ∴ 实数a 的取值范围是a >1e ． 22. 因为AD ⊥BP ，BE ⊥AP ， 所以△APD ∽△BPE ， 所以AP BP=PD PE，所以AP ⋅PE ＝PD ⋅PB ，因为PA ，PB 分别为圆O 的切线与割线， 所以PA 2＝PB ⋅PC ， 所以APPE =PCPD ，所以PA ⋅PD ＝PE ⋅PC ； 连接AC ，DE ，因为BC 为圆O 的直径， 所以∠BAC ＝90∘， 所以AB ⊥AC ． 因为APPE =PCPD ，所以AC // DE ， 所以AB ⊥DE ，因为AD ⊥BP ，BE ⊥AP ，所以A ，D ，B ，E 四点共圆且AB 为直径， 因为AB ⊥DE ， 所以AD ＝AE ．23. （I ）∵ 直线 l 经过点P(−1, 1)且倾斜角为 23π，∴ 直线 l 的参数方程为{x =−1−12ty =1+√32t，（t 为参数）； 曲线C 的极坐标方程为：ρ2−2ρcosθ+4ρsinθ+1＝0，化为x 2+y 2−2x +4y +1＝0，即(x −1)2+(y +2)2＝4．(II)把直线 l 的参数方程代入曲线C 的普通方程可得：t 2+(2+3√3)t +9=0， ∴ t 1t 2＝9．∴ |PA|⋅|PB|＝|t 1t 2|＝9．24. （1）当x <−1时，f(x)＝1−2x ，f(x)≥4−x 即为1−2x ≥4−x ，解得x ≤−3，即为x ≤−3；当−1≤x ≤2时，f(x)＝3，f(x)≥4−x 即为3≥4−x ，解得x ≥1，即为1≤x ≤2； 当x >2时，f(x)＝2x −1，f(x)≥4−x 即为2x −1≥4−x ，解得x ≥53，即为x >2．综上可得，x ≥1或x ≤−3． 则解集为(−∞, −3]∪[1, +∞)；（2）由于f(x)≥3，则a ≥3，b ≥3，2(a +b)−(ab +4)＝2a −ab +2b −4＝(a −2)(2−b)， 由于a ≥3，b ≥3，则a −2>0，2−b <0， 即有(a −2)(2−b)<0， 则2(a +b)<ab +4．。
河南省八市重点高中2015届高三教学质量监测考试+数学(理)试题(解析版)
2015年河南省八市重点高中高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合A={x||x+1|≤2}，B={x|y=lg（x2﹣x﹣2）}，则A∩∁R B（）A．[3，﹣1）B．[3，﹣1] C．[﹣1，1] D．（﹣1，1]【考点】：交、并、补集的混合运算．【专题】：集合．【分析】：求出集合A，B的等价条件，即可得到结论．【解析】：解：A={x||x+1|≤2}={x|﹣3≤x≤1}，B={x|y=lg（x2﹣x﹣2）}={x|x2﹣x﹣2＞0}={x|x ＞2或x＜﹣1}，则∁R B={x|﹣1≤x≤2}，则A∩∁R B={x|﹣1≤x≤1}，故选：C【点评】：本题主要考查集合的基本运算，要求熟练掌握集合的交并补运算，比较基础．2．（5分）如图所示的复平面上的点A，B分别对应复数z1，z2，则=（）A．﹣2i B．2i C．2 D．﹣2【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：由图求出z1，z2，代入后利用复数代数形式的乘除运算化简求值．【解析】：解：由图可知，z1=﹣1+i，z2=2+2i，则．故选：A．【点评】：本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．（5分）设函数f（x），g（x）分别为定义在R上的奇函数和偶函数且满足f（x）+g（x）=x3﹣x2+1，则f（1）=（）A．﹣l B．l C．﹣2 D．2【考点】：函数奇偶性的性质．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：根据题意，计算出f（1）+g（1）、﹣f（1）+g（1）的值即可．【解析】：解：由题可知：f（1）+g（1）=1﹣1+1=1，f（﹣1）+g（﹣1）=﹣1﹣1+1=﹣1，由∵f（x），g（x）分别为定义在R上的奇函数和偶函数，∴﹣f（1）+g（1）=﹣1，所以f（1）=1，故选：B．【点评】：本题考查函数的奇偶性，属于基础题．4．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：根据题意，得双曲线的渐近线方程为y=±x，再由双曲线离心率为2，得到c=2a，由定义知b==a，代入即得此双曲线的渐近线方程．【解析】：解：∵双曲线C方程为：=1（a＞0，b＞0）∴双曲线的渐近线方程为y=±x又∵双曲线离心率为2，∴c=2a，可得b== a因此，双曲线的渐近线方程为y=±x故选：D．【点评】：本题给出双曲线的离心率，求双曲线的渐近线方程，着重考查了双曲线的标准方程与基本概念，属于基础题．5．（5分）某校为了提倡素质教育，丰富学生们的课外活动分别成立绘画，象棋和篮球兴趣小组，现有甲，乙，丙、丁四名同学报名参加，每人仅参加一个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一人报名，则不同的报名方法有（）A．12种B．24种C．36种D．72种【考点】：计数原理的应用．【专题】：计算题；概率与统计．【分析】：根据题意，分2步进行【分析】：①在4个人中任取2人，作为一个整体，②将这个整体与其他3人进行全排列，对应3个活动小组，分别计算这2步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解析】：解：根据题意，分析可得，4个人中有2个人分在同一个组，在4个人中任取2人，作为一个整体，有C42=6种情况，将这个整体与其他3人进行全排列，对应3个活动小组，有A33=6种情况，则共有6×6=36种不同的报名方法，故选：C．【点评】：本题考查分步计数原理的运用，关键是认真分析题意，确定计算的步骤．6．（5分）已知某棱锥的三视图如图所示，俯视图为正方形，根据图中所给的数据，那么该棱锥外接球的体积是（）A．B．C．D．【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：由该棱锥的三视图判断出该棱锥的几何特征，以及相关几何量的数据，再求出该棱锥外接球的半径和体积．【解析】：解：由该棱锥的三视图可知，该棱锥是以边长为的正方形为底面，高为2的四棱锥，做出其直观图所示：则PA=2，AC=2，PC=，PA⊥面ABCD，所以PC即为该棱锥的外接球的直径，则R=，即该棱锥外接球的体积V==，故选：C．【点评】：本题考查了由三视图求几何体的外接球的体积，解题的关键是根据三视图判断几何体的结构特征及相关几何量的数据．7．（5分）执行如图的程序框图，当k的值为2015时，则输出的S值为（）A．B．C．D．【考点】：程序框图．【专题】：图表型；算法和程序框图．【分析】：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=0+++…+的值，用裂项法即可求值．【解析】：解：模拟执行程序框图，可得第一次循环，S=0+，n=1＜2015；第二次循环，S=0++，n=2＜2015；第二次循环，S=0++，n=3＜2015；…当n=2015时，S=0+++…+=1﹣…+﹣=1﹣=，此时满足2015≥2015，退出循环，输出S的值为：．故选：C．【点评】：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型⇒③解模．8．（5分）已知，则=（）A．B．C．D．【考点】：两角和与差的正弦函数；三角函数中的恒等变换应用．【专题】：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】：首先对函数的关系式进行灵活的恒等变换，进一步利用诱导公式和2倍角公式进行变形，进一步求出结果．【解析】：解：===又由于===由==1﹣故原式=故选：B【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，诱导公式的应用，及相关的运算问题，主要考查学生对关系式的灵活变换能力．9．（5分）已知x，y满足区域D：，给出下面4个命题：p1：∀x，y∈D，2x﹣y≥2p2：∂x，y∈D，2x﹣y≤2p3：∂x，y∈D，p4：∀x，y∈D，，其中真命题是（）A．p1，p3 B．p2，p3 C．p1，p4 D．p2，p4【考点】：简单线性规划．【专题】：计算题；作图题；不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】：由题意作出其平面区域，令z=2x﹣y，由几何意义可知﹣6≤z≤3；再由表示区域内的点（x，y）与定点（﹣2，﹣1）的连线的斜率，从而确定答案即可．【解析】：解：由题意作出其平面区域，如图所示的阴影部分△ABC，令z=2x﹣y，则由图象可知，直线2x﹣y﹣z=0经过点C时，z取得最大值，经过点A时，z取得最小值；由于C（2，1），A（﹣1，4）；故﹣6≤z≤3；故p2：∂x，y∈D，2x﹣y≤2正确；而表示区域内的点（x，y）与定点（﹣2，﹣1）的连线的斜率，故结合图象可知，≤≤5，故p4：∀x，y∈D，正确；故选D．【点评】：本题考查了全称命题与特称命题的真假性的判断及简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．10．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过点F的直线交抛物线于A，B两点，过点A作准线l的垂线，垂足为E，当A点坐标为（3，y0）时，△AEF为正三角形，则此时△OAB的面积为（）A．B．C．D．【考点】：抛物线的简单性质．【专题】：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：过F作AE的垂线，垂足为H，则H为AE的中点，利用A点坐标为（3，y0），可求p，可得抛物线的方程，求出直线AF的方程，与抛物线方程联立求出A，B的坐标，即可求出△OAB的面积．【解析】：解：如图所示，过F作AE的垂线，垂足为H，则H为AE的中点，因为A点坐标为（3，y0），所以AE=3+，EH=p，所以2p=3+，所以p=2，所以y2=4x，此时A（3，2），k AF=，所以直线AF的方程为（x﹣1），代入抛物线方程可得3（x﹣1）2=4x，解得x=3或，所以y=2或﹣，所以△AOB的面积为=，故选：A．【点评】：本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，求出抛物线方程、直线AF的方程是解题的关键．11．（5分）已知函数f（x）=﹣5，若对任意的，都有f（x1）﹣g（x2）≥2成立，则a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，﹣1]【考点】：利用导数研究函数的单调性；抽象函数及其应用．【专题】：函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】：根据不等式恒成立，利用参数分类法进行转化为a≥x﹣x2lnx在≤x≤2上恒成立，构造函数h（x）=x﹣x2lnx，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系求出函数的最值即可．【解析】：解：函数g（x）的导数g′（x）=3x2﹣2x=x（3x﹣2），∴函数g（x）在[，]上递减，则[，2]上递增，g（[）=，g（2）=8﹣4﹣5=﹣1，若对任意的，都有f（x1）﹣g（x2）≥2成立，即当≤x≤2时，f（x）≥1恒成立，即恒成立，即a≥x﹣x2lnx在≤x≤2上恒成立，令h（x）=x﹣x2lnx，则h′（x）=1﹣2xlnx﹣x，h′′（x）=﹣3﹣2lnx，当在≤x≤2时，h′′（x）=﹣3﹣2lnx＜0，即h′（x）=1﹣2xlnx﹣x在≤x≤2上单调递减，由于h′（1）=0，∴当≤x≤1时，h′（x）＞0，当1≤x≤2时，h′（x）＜0，∴h（x）≤h（1）=1，∴a≥1．故选：B．【点评】：本题主要考查不等式恒成立问题，构造函数利用参数分离法结合函数单调性和导数之间的关系转化为求函数的最值是解决本题的关键．12．（5分）已知定义域为R的连续函数f（x），若f（x）满足对于∀x∈R，∂m∈R（m≠0），都有f（m+x）=﹣mf（x）成立，则称函数f（x）为“反m倍函数”，给出下列“反m倍函数”的结论：①若f（x）=1是一个“反m倍函数”，则m=﹣1；②f（x）=sinπx是一个“反1倍函数”；③f（x）=x2是一个“反m倍函数”；④若f（x）是一个“反2倍函数”，则f（x）至少有一个零点，其中正确结论的个数是（）A．l B．2 C． 3 D． 4【考点】：抽象函数及其应用．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：根据“反m倍函数”的定义分别进行判断即可．【解析】：解：根据“反m倍函数”的定义，∵∀x∈R，∂m∈R（m≠0），都有f（m+x）=﹣mf（x）成立，∴f（m+x）+mf（x）=0成立，①若f（x）=1，则f（x+m）+mf（x）=0，∴m+1=0，即m=﹣1，故①正确，②若f（x）=sinπx，则f（1+x）+f（x）=sinπ（x+1）+sinπx=﹣sinπx+sinπx=0，故②正确，③若f（x）=x2，则（x+m）2+mx2=0，即（m+1）x2+2mx+m2=0，则，此时方程无解，故不存在m，故③错误．④若f（x+2）+2f（x）=0，取x=0，若f（2），f（0）有一个为0即正确，若都不为0，则f （2），f（0）互为相反数，则f（2）f（0）＜0，∴在区间（0，2）内一定有零点，故④正确，故正确的是①②④，故选：C．【点评】：本题主要考查命题的真假判断，根据抽象函数的表达式结合“反m倍函数”的定义是解决本题的关键．二、填空题：（本太题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知的展开式中含x2项的系数为12，则展开式的常数项为160．【考点】：二项式系数的性质．【专题】：二项式定理．【分析】：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中含x2项的系数，再根据x2项的系数为12，求得a的值，即可求得展开式中的常数项的值．【解析】：解：由于的展开式的通项公式为T r+1=•a r•x3﹣r，令3﹣r=2，可得r=1，故展开式中含x2项的系数为6a=12，可得a=2．再令3﹣r=0，可得r=3，故展开式的常数项为•23=160，故答案为：160．【点评】：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．14．（5分）已知不等式，照此规律，总结出第n（n∈N*）个不等式为1+＜．【考点】：归纳推理．【专题】：推理和证明．【分析】：从已知的三个不等式分析，从左边各加数的分母以及右边分子与分母的关系入手得到规律．【解析】：解：由已知三个不等式可以写成1+，1+，1+，照此规律得到第n个不等式为1+＜；故答案为：1+＜（n∈N+）．【点评】：本题考查了归纳推理；关键是由已知的三个不等式发现与序号的关系，总结规律．15．（5分）如图，已知Rt△ABC中，点O为斜边BC的中点，且AB=8，AC=6，点E为边AC上一点，且，若，则λ=．【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】：平面向量及应用．【分析】：根据已知条件及图形得出：，，并且，所以由即可得到=﹣20，进行数量积的运算即可求得λ．【解析】：解：，；∵∠BAC=90°，∴；又；∴；∴．故答案为：．【点评】：考查向量加法的平行四边形法则，向量加法的几何意义，以及数量积的运算，两非零向量垂直的充要条件．16．（5分）巳知△ABC的内角A、B、C对应的边分别为a，b，c，且关于x的方程2a2+2x2+b2=2bx+2ax只有一个零点，，S△ABC=sinA•sinB，则边c=1．【考点】：余弦定理；正弦定理．【分析】：由关于x的方程的判别式等于零求得b=a；根据，求得cosC=﹣，C=；由正弦定理求得a=csinA，b=csinB，代入S△ABC=sinA•sinB，求得边c的值．【解析】：解：△ABC中，关于x的方程2a2+2x2+b2=2bx+2ax，即2x2﹣2bx﹣2ax+2a2+b2=0，根据此方程有唯一解，可得△=﹣8（2a2+b2）=0，∴b=a．又，∴3acosC+c•cosA=0，即3sinAcosC+sinCcosA=0，故2sinAcosC+sin（A+C）=0，即2acosC+b=0，即2acosC+a=0，∴cosC=﹣，C=．由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2ab•cosC=5a2，∴c=a．∵==，∴a=csinA，b=csinB，∴S△ABC=sinA•sinB=•sinC=csinA•csinB，∴c2=1，∴c=1．【点评】：本题主要考查二次函数的性质，正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．三、解答题：（共4个小题，每1小题12分，共48分）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，对于任意的正整数n，直线x+y=2n总是把圆平均分为两部分，各项均为正数的等比数列{b n}中，b6=b3b4，且b3和b5的等差中项是2a3．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】：数列的求和．【专题】：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】：（1）由直线与圆的位置关系可得S n=n2，所以a1=S1=1，所以a n=2n﹣1；由b6=b3b4，得b1=1，又b3和b5的等差中项是2a3，得q=2，从而；（2）根据T n=1+3×2+5×22+…+（2n﹣1）×2n﹣1，与2T n=2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）×2n，可得﹣T n，即得T n=3+（2n﹣3）2n．【解析】：解：（1）由于x+y=2n总是将圆平均分为两部分，所以，即S n=n2，所以a1=S1=1，当n≥2时=2n﹣1，经检验n=1时也成立，所以a n=2n﹣1；等比数列{b n}中由于b6=b3b4，即，故b1=1，设公比q＞0，由b3和b5的等差中项是2a3，及2a3=2×（2×3﹣1）=10，可知b3+b5=20，所以q2+q4=20，解得q=2，从而；（2）若c n=a n b n，则T n=a1b1+a2b2+…+a n b n，所以T n=1+3×2+5×22+…+（2n﹣1）×2n﹣1，2T n=2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）×2n，两式相减，得﹣（2n﹣1）2n==﹣3+2×2n﹣（2n﹣1）2n=﹣3+（3﹣2n）2n，所以T n=3+（2n﹣3）2n．【点评】：本题考查等比数列的通项公式、等差中项的应用、错位相减法求和，考查转化与化归思想、运算求解能力和数据处理能力，属于中档题．18．（12分）某市在2 015年2月份的高三期末考试中对数学成绩数据统计显示，全市10000名学生的成绩服从正态分布N （115，25），现某校随机抽取了50名学生的数学成绩分析，结果这50名同学的成绩全部介于80分到140分之间现将结果按如下方式分为6组，第一组[80，90），第二组[90，100），…第六组[130，140]，得到如右图所示的频率分布直方图（1）试估计该校数学的平均成绩（同一维中的数据用该区间的中点值作代表）；（2）这50名学生中成绩在120分（含120分）以上的同学中任意抽取3人，该3人在全市前13名的人数记为X，求X的分布列和期望附：若，则P（u﹣ς＜X＜u+ς）=0.6826，P（u﹣2ς＜X＜u+2ς）=0.9544，P（u﹣3ς＜X＜u+3ς）=0.9974．【考点】：频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差．【专题】：应用题；概率与统计．【分析】：（1）根据频率和为1，求出成绩在[120，130）的频率，再计算这组数据的平均数；（2）根据正态分布的特征，计算50人中成绩在130分以上以及[120，140]的学生数，得出X的可能取值，计算对应的概率，列出X的分布列，计算期望值．【解析】：解：（1）根据频率分布直方图，得；成绩在[120，130）的频率为1﹣（0.01×10+0.024×10+0.03×10+0.016×10+0.008×10）=1﹣0.88=0.12；所以估计该校全体学生的数学平均成绩为85×0.1+95×0.24+105×0.3+115×0.16+125×0.12+135×0.08=8.5+22.8+31.5+18.4+15+10.8=107，所以该校的数学平均成绩为107；（2）因为=0.0013，根据正态分布：P（115﹣3×5＜X＜115+3×5）=0.9974，所以P（X≥130）=，又0.0013×10000=13，所以前13名的成绩全部在130分以上；根据频率分布直方图得，这50人中成绩在130分以上（包括130分）的有0.08×50=4人，而在[120，140]的学生共有0.12×50+0.08×50=10，所以X的可能取值为0、1、2、3，所以P（X=0）===，P（X=1）===，P（X=2）===，P（X=3）===；所以X的分布列为数学期望值为EX=0×+1×+2×+3×=1.2．【点评】：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了正态分布的应用问题，考查了离散型随机变量的分布列与期望的计算问题，是综合性题目．19．（12分）如图所示的多面体ABC﹣EFGH中，AB∥EG，AC∥EH，且△ABC与△EGH相似，AE⊥平面EFGH，EF=FG=，且AC=EH，AE=EG（1）求证，BF⊥EG；（2）求二面角F﹣BG﹣H的余弦值．【考点】：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【专题】：空间位置关系与距离；空间角．【分析】：（1）取EG的中点O，连结OF、OB，通过线面垂直的判定定理及性质定理即得结论；（2）以O为原点，以OF、OG、OB所在直线的方向分别为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则所求值即为平面GBF的一个法向量与平面GBH的一个法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．【解析】：（1）证明：∵AB∥EG，且△ABC∽△EGH，AC=EH，∴AB=EG，取EG的中点O，连结OF、OB，∴OB∥AE，又∵AE⊥平面EFGH，∴OB⊥平面EFGH，又∵EG⊂平面EFGH，∴OB⊥EG，又∵EF=FG=，∴OF⊥EG，∵OF∩OB=O，∴EG⊥平面OBF，∵BF⊂平面OBF，∴BF⊥EG；（2）解：由（1）知OF、OG、OB两两垂直，如图，以O为原点，以OF、OG、OB所在直线的方向分别为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，∵GH=1，EH=，∠EGH=90°，∴EG==2，∵EF=FG=，∴OF=1，∵AE=EG，∴OB=2，∴F（1，0，0），G（0，1，0），B（0，0，2），H（﹣1，1，0），∴=（1，﹣1，0），=（0，﹣1，2），=（﹣1，0，0），设平面GBF的一个法向量为=（x1，y1，z1），由，得，令z1=1，得=（2，2，1），设平面GBH的一个法向量为=（x2，y2，z2），同理可得=（0，2，1），∴===，由图可知，二面角F﹣BG﹣H为钝角，∴其余弦值为．【点评】：本题考查空间线面位置关系的判断及求二面角，考查空间想象能力、运算求解能力及推理论证能力，注意解题方法的积累，属于中档题．20．（12分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的左右焦点分割为F1，F2，左右端点分别为曲A1，A2，抛物线y2=4x与椭圆相交于A，B两点且其焦点与F2重合，AF2=（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点作直线l与椭圆相交于P，Q两点（不与A1，A2重合），求与夹角的大小．【考点】：椭圆的简单性质．【专题】：计算题；压轴题；向量与圆锥曲线．【分析】：（Ⅰ）根据题意，设A（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），求出抛物线y2=4x的焦点坐标，可得c2=1，进而分析可得A的坐标，代入椭圆的方程可得有+=1，解可得a2=4，进而可得b2=3，即可得椭圆的方程；（Ⅱ）根据题意，分两种情况讨论：①当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=，②当直线l的斜率存在且不为0时，设其斜率为k，则直线的方程为y=k（x﹣）；每种情况下求出与的值，再求其乘积均可得•=﹣1，由向量数量积的性质分析可得答案．【解析】：解：（Ⅰ）根据题意，设A（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），抛物线y2=4x与椭圆相交于A，B两点且其焦点与F2重合，而抛物线y2=4x的焦点为（1，0），则C2=1，由题意可得AF2=x0+=x0+1=，故x0=；所以y02=4×=，则y0=，则A（，），有+=1，解可得a2=4，又由c2=1，则b2=3，故椭圆的方程为+=1；（Ⅱ）①当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=，由于，可得=1﹣=，所以y=±，所以P（，）Q（，﹣），因为A 2（2，0），所以=﹣1，=1，所以•=﹣1，所以所以A2P与A2Q垂直，②当直线l的斜率存在且不为0时，设其斜率为k，则直线的方程为y=k（x﹣）；联立可得，⇒49（3+4k2）x2﹣112k2x+16k2﹣12×49=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），A2（2，0），则x1+x2=，x1•x2=，=，═•==﹣1，所以A2P与A2Q垂直，综合可得所以与夹角的大小为90°．【点评】：本题考查直线与椭圆方程的综合运用，涉及抛物线的简单性质，解题注意圆锥曲线的方程的标准形式，本题求出抛物线的焦点是解题的突破点之一．21．（12分）已知函数f（x）=alnx﹣x+1，g（x）=﹣x2+（a+1）x+1．（1）若对任意的x∈[1，e]，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（2）若函数h（x）在其定义城内存在实数x0，使得h（x0+k）=h（x0）+h（k）（k≠0且为常数）成立，则称函数h（x）为保k阶函数，已知H（x）=f（x）﹣（a﹣1）x+a﹣1为保a阶函数，求实数a的取值范围．【考点】：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（1）把对任意的x∈[1，e]，不等式f（x）≥g（x）恒成立，转化为a（x﹣lnx）≤x2﹣2x恒成立，再由x﹣lnx＞0得恒成立．构造函数F（x）=，利用导数求其最小值得答案；（2）由H（x）=f（x）﹣（a﹣1）x+a﹣1=alnx﹣x+1﹣ax+x+a﹣1=alnx﹣ax+a（x＞0），根据保a阶函数的概念列式，整理得到ln（x0+a）﹣（x0+a）+1=lnx0﹣x0+1+lna﹣a+1，即ln（x0+a）=lnx0+lna+1，转化为，由x0＞0可得实数a的取值范围是．【解析】：解：（1）∵对任意的x∈[1，e]，不等式f（x）≥g（x）恒成立，即alnx﹣x+1≥﹣x2+（a+1）x+1恒成立，a（x﹣lnx）≤x2﹣2x恒成立，∵x∈[1，e]，∴lnx≤lne=1≤x，∵上式等号不能同时成立，∴lnx＜x，即x﹣lnx＞0，∴恒成立．令F（x）=，∴a≤F（x）min（x∈[1，e]），由于，由于1≤x≤e，∴x﹣1＞0，x+2﹣2lnx=x+2（1﹣lnx）＞0，∴F′（x）＞0．∴函数F（x）=在区间[1，e]上单调递增，∴F（x）≥F（1）=．∴a≤﹣1；（2）∵H（x）=f（x）﹣（a﹣1）x+a﹣1=alnx﹣x+1﹣ax+x+a﹣1=alnx﹣ax+a（x＞0），根据保a阶函数的概念，∴存在x0＞0，使得H（x0+a）=H（x0）+H（a），即a[ln（x0+a）﹣（x0+a）+1]=a（lnx0﹣x0+1）+a（lna﹣a+1）=a（lnx0﹣x0+1+lna﹣a+1），∴ln（x0+a）﹣（x0+a）+1=lnx0﹣x0+1+lna﹣a+1，即ln（x0+a）=lnx0+lna+1，即，∴．∴，∵x0＞0，∴a．∴实数a的取值范围是．【点评】：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，考查了数学转化与化归、分离参数等数学思想方法，着重考查恒成立问题的解法，难度较大．四、选做题：【选修4－1：几何证明选讲】（共1小题，满分10分）22．（10分）已知BC为圆O的直径，点A为圆周上一点，AD⊥BC于点D，过点A作圆O的切线交BC的延长线于点P，过点B作BE垂直PA的延长线于点E．求证：（1）PA•PD=PE•PC；（2）AD=AE．【考点】：与圆有关的比例线段．【专题】：选作题；推理和证明．【分析】：（1）证明△APD∽△BPE，可得AP•PE=PD•PB，因为PA，PB分别为圆O的切线与割线，所以PA2=PB•PC，两式相除，即可证明PA•PD=PE•PC；（2）连接AC，DE，证明A，D，B，E四点共圆且AB为直径，即可得出AD=AE．【解析】：证明：（1）因为AD⊥BP，BE⊥AP，所以△APD∽△BPE，所以，所以AP•PE=PD•PB，因为PA，PB分别为圆O的切线与割线，所以PA2=PB•PC，所以=，所以PA•PD=PE•PC；（2）连接AC，DE，因为BC为圆O的直径，所以∠BAC=90°，所以AB⊥AC．因为=，所以AC∥DE，所以AB⊥DE，因为AD⊥BP，BE⊥AP，所以A，D，B，E四点共圆且AB为直径，因为AB⊥DE，所以AD=AE．【点评】：本题考查三角形相似的判定与性质，考查四点共圆，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．五、选做题：【选修4－4：坐标系与参数方程】（共1小题，满分0分）23．已知曲线C的极坐标方程为：ρ2﹣2ρcosθ+4ρsinθ+1=0，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l经过点P（﹣1，1）且倾斜角为（Ⅰ）写出直线l的参数方程和曲线C的普通方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．【考点】：简单曲线的极坐标方程．【专题】：坐标系和参数方程．【分析】：（I）由直线l经过点P（﹣1，1）且倾斜角为，可得直线l的参数方程为，（t为参数）；把dr 曲线C的极坐标方程即可得到普通方程．（II）把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程可得：=0，利用|PA|•|PB|=|t1t2|即可得出．【解析】：解：（I）∵直线l经过点P（﹣1，1）且倾斜角为，∴直线l的参数方程为，（t为参数）；曲线C的极坐标方程为：ρ2﹣2ρcosθ+4ρsinθ+1=0，化为x2+y2﹣2x+4y+1=0，即（x﹣1）2+（y+2）2=4．（II）把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程可得：=0，∴t1t2=9．∴|PA|•|PB|=|t1t2|=9．【点评】：本题考查了直线的参数方程及其应用、极坐标方程化为直角坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．六、选做题：【选修4－5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）24．已知函数f（x）=|x﹣2|+|x+1|（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）≥4﹣x；（Ⅱ）a，b∈{y|y=f（x）}，试比较2（a+b）与ab+4的大小．【考点】：绝对值不等式的解法．【专题】：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】：（Ⅰ）对x讨论，当x＜﹣1时，当﹣1≤x≤2时，当x＞2时，去掉绝对值，解不等式，即可得到解集；（Ⅱ）由于f（x）≥3，则a≥3，b≥3，作差比较，注意分解因式，即可得到结论．【解析】：解：（Ⅰ）当x＜﹣1时，f（x）=1﹣2x，f（x）≥4﹣x即为1﹣2x≥4﹣x，解得x≤﹣3，即为x≤﹣3；当﹣1≤x≤2时，f（x）=3，f（x）≥4﹣x即为3≥4﹣x，解得x≥1，即为1≤x≤2；当x＞2时，f（x）=2x﹣1，f（x）≥4﹣x即为2x﹣1≥4﹣x，解得x≥，即为x＞2．综上可得，x≥1或x≤﹣3．则解集为（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）；（Ⅱ）由于f（x）≥3，则a≥3，b≥3，2（a+b）﹣（ab+4）=2a﹣ab+2b﹣4=（a﹣2）（2﹣b），由于a≥3，b≥3，则a﹣2＞0，2﹣b＜0，即有（a﹣2）（2﹣b）＜0，则2（a+b）＜ab+4．【点评】：本题考查绝对值不等式的解法，主要考查分类讨论的思想方法和作差法比较两数的大小，属于中档题．。
【Word版】河南省八市重点高中2015届高三教学质量监测考试数学(理)Word版含解析
河南省八市重点高中教学质量监测考试理科数学命题：汉文化百校联盟 审题：石家庄一中 石家庄二中 正定中学注意事项：1.本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第1卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题耳的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符台题目要求的.(1)已知集合 {}{}2|12,|lg(2)A x x B x y x x =+≤==--，则(A)[3,-1) (B)[3，-1] (C)[-1,1] (D)(-1,1](2)如图所示的复平面上的点A ，B 分别对应复数 12,z z ，则12z z = (A)-2i (B)2i(C)2 (D) -2(3)设函数()f x ，g(x)分别为定义在R 上的奇函数和偶函数且满足32()()1f x g x x x +=-+ 则 (1)f =(A)-l (B)l (C)-2 (D) 2 (4)已知双曲线 22221(0,0)x y a b a b-=>>的曲离心率为2，则双曲线的渐近线方程为(A) y =(B) 3y x =±(C) 2y x =±(D) y = (5)某校为了提倡素质教育，丰富学生们的课外活动分别成立绘画，象棋和篮球兴趣小组，现有甲，乙，丙、丁四名同学报名参加，每人仅参加一个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一人报名，则不同的报名方法有(A)12种 （B)24种 (C)36种 (D)72种(6)已知某棱锥的三视图如图所示，俯视图为正方形，根据图中所给的数据，那么该棱锥外接球的体积是 (A) 43π (B)83π(C) （D)(7)执行右面的程序框图，当k 的值为2015时，则输出的S 值为(A)20132014(B) 20142015(C) 20152016(D) 20162017 (8)已知 1sin()cos 63παα+-=，则 2sin cos()6πα+= (A) 518- (B) 518 (C ） 79- (D) 79 (9)已知x ，y 满足区域 30:22010x y D x y x y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，给出下面4个命题：1:,,22p x y D x y ∀∈-≥ 2:,,22p x y D x y ∃∈-≤311:,,23y p x y D x +∃∈<+ 411:,,23y p x y D x +∀∈≥+ 其中真命题是 (A) 13p p ， (B) 23p p ， (C) 14p p ， (D) 24p p ，(10)已知抛物线 22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为 l ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，过点A 作准线l 的垂线，垂足为E ，当A 点坐标为 0(3,)y 时，△AEF 为正三角形，则此时△OAB 的面积为(A)3 （B) (C)3(D) 3(11)已知函数 32()ln ,()5a f x x x g x x x x =+=--，若对任意的 121,,22x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有12()()2f x g x -≥ 成立，则a 的取值范围是(A) (0,)+∞ (B) [)1,+∞(c) (,0)-∞ (D) (],1-∞-(12)已知定义域为R 的连续函数 ()f x ，若 ()f x 满足对于 ,(0)x R m R m ∀∈∃∈≠，都有()()f m n mf x +=-成立，则称函数 ()f x 为“反m 倍函数”，给出下列“反m 倍函数”的结论：①若 ()1f x =是一个“反m 倍函数”，则 1m =-；②()sin f x x π=是一个“反1倍函数”；③ 2()f x x =是一个“反m 倍函数”；④若()f x 是一个“反2倍函数”，则()f x 至少有一个零点，其中正确结论的个数是(A)l (B)2 (C)3 (D)4 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
河南省郑州市郑州中学2025届高三上学期11月期中考试数学试题(解析)
2024-2025学年上学期高三年级期中考试数学试卷注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一、单选题1. 若集合{}4log 1A x x =≤，{}2230B x x x =--≤，则A B = （ ）A. []1,3-B. []1,4-C. (]0,4 D. (]0,3【答案】D 【解析】【分析】根据对数函数定义域和单调性解不等式，得到(]0,4A =，解一元二次不等式得到[]1,3B =-，由交集概念求出答案.【详解】集合{}(]4log 10,4A x x =≤=，{}[]22301,3B x x x =--≤=-，则(]0,3A B =I .故选：D.2. 若复数z 满足()1i 1i z -=+，则4z =（ ）A. 1 B. -1C. iD. 16【答案】A 【解析】【分析】利用复数的运算法则即可得出.【详解】解法一：设()i ,z a b a b =+∈R ，则()()()i 1i i 1i a b a b b a +-=++-=+，解得0,1a b ==，所以i z =，所以41z =，解法二：因为()1i 1i z -=+，所以()()241i (1i)2ii,11i 1i 1i 2z z ++=====--+，解法三：方程两边同时平方，有()22i 2i z ⋅-=，所以241,1z z =-=，故选:A.3. 已知命题p ：x ∀∈R ，|1|1x +>；命题q ：0x ∃>，3x x =，则（ ）A. p 和q 都是真命题 B. p ⌝和q 都是真命题C. p 和q ⌝都是真命题 D. p ⌝和q ⌝都是真命题【答案】B 【解析】【分析】对于两个命题而言，可分别取1x =-、1x =，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.【详解】对于p 而言，取1x =-，则有101x +=<，故p 是假命题，p ⌝是真命题，对于q 而言，取1x =，则有3311x x ===，故q 是真命题，q ⌝是假命题，综上，p ⌝和q 都是真命题.故选：B.4. 已知0.42x =，2lg 5y =，0.425z ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ）A. x y z << B. y z x <<C. z y x << D. z x y<<【答案】B 【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较x 、y 、z 三个数与0、1的大小关系，由此可得出x 、y 、z 三个数的大小关系.【详解】0.40221x =>= ，2lg lg105y =<=，0.421525z ⎛⎫<= ⎪⎝⎫⎭⎭⎛=⎪⎝，又0z >，即01z <<.因此，y z x <<.故选：B.【点睛】本题考查利用指数函数、对数函数的单调性比较指数式和对数式的大小关系，一般利用中间值法来比较，属于基础题.5. 已知函数()f x 的定义域为R ，且()21f x -为奇函数，()1f x +为偶函数，当[]1,1x ∈-时，()1f x ax =+，则()2025f =（ ）A. 0B. 1C. 2D. 2025【答案】C 【解析】【分析】由函数奇偶性，确定()f x 为周期函数，再结合()10f -=，求得a ，即可求解.【详解】因为()21f x -为奇函数，所以()f x 关于点()1,0-中心对称，又()1f x +为偶函数，所以()f x 关于直线1x =对称，所以()f x 为周期函数且周期()4118T =⨯--=，∴()()()20258253111f f f a =⨯+==+，∵()110f a -=-+=，∴1a =，∴()202512f a =+=.故选:C ．6. 若函数()2log 1,13(),3x x f x ax x x ⎧+-<≤⎪=⎨+>⎪⎩，在(1,)-+∞上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A. []3,9- B. [)3,∞-+C. []0,9 D. (],9-∞【答案】A 【解析】【分析】根据对数函数性质判断13x -<≤上()f x 的单调性和值域，结合其区间单调性及分式型函数的性质，讨论参数确定参数范围.【详解】当13x -<≤时，2log (1)y x =+单调递增且值域为(,2]-∞，而()f x 在(1,)-+∞上单调递增，则ay x x =+在(3,)+∞上单调递增，且3233a a +≥⇒≥-，当30a -≤≤时，ay x x =+在(3,)+∞上单调递增，满足题设；当0a >时，ay x x=+在)+∞3≤，即09a <≤；综上，39a -≤≤.故选：A7. 已知函数()2sin ,f x x ax a =-∈R ，若曲线()f x 在点ππ(,(22f 处的切线方程为0x y k ++=，则函数()f x 在(0,2π)内的单调递减区间是（ ）A. π5π[,33B. (0,π]C. [π,2π)D. π5(0,],[π,2π)33【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，利用导数的几何意义求出a ，再利用导数求出单调递减区间.【详解】函数()2sin f x x ax =-，求导得()2cos f x x a '=-，则ππ()2cos22f a a '=-=-，由曲线()f x 在点ππ(,(22f 处的切线方程为0x y k ++=，得π(12a f '-==-，解得1a =，于是()2cos 1f x x '=-，由()2cos 10f x x '=-<，得1cos 2x <，而(0,2π)x ∈，解得π5π33x <<，所以函数()f x 在(0,2π)内的单调递减区间是π5π[,]33.故选：A8. 已知函数()()sin 0f x x x ωωω=>，若方程()1f x =在[]0,π上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为（ ）．A. 523,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 239,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 523,26⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 239,62⎛⎤⎥⎝⎦【答案】B 【解析】【分析】将()f x 化简为π2sin 3x ω⎛⎫+⎪⎝⎭，根据方程可知ππ2π36x k ω+=+或π5π2π36x k ω+=+，根据π3x ω+整体的范围可知需满足ππ5π4ππ4π636ω+≤+<+，解不等式得到ω的取值范围.【详解】()πsin 2sin 3f x x x x ωωω⎛⎫==+⎪⎝⎭，令()1f x =，则π2sin 13x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π1sin 32x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，ππ2π36x k ω∴+=+或π5π2π36x k ω+=+，[]0,πx ∈ ，πππ,π333x ωω⎡⎤∴+∈+⎢⎥⎣⎦，()1f x = 在[]0,π上有且只有四个实数根，ππ5π4ππ4π636ω∴+≤+<+，解得：239,62ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故选：B.二、多选题9. 定义在R 上的偶函数()f x ，满足()()()21f x f x f +-=，则（ ）A. ()10f = B. ()()110f x f x -++=C. ()()1212f x f x +=- D.201()10i f i ==∑【答案】AC 【解析】【分析】利用特殊值及偶函数性质判断A ；根据已知条件得(2)()0f x f x +--=、(1)(1)0f x f x +--=判断B 、C ；根据函数的性质，举反例()0f x =判断D.【详解】由()()()21f x f x f +-=，令1x =-，则()()()0111(1)f f f f ⇒--==-，又()f x 为偶函数，则(1)(1)0f f =-=，A 对；由上，得()()0(2)()02f x f f x f x x ⇒=---+=+①，在①式，将1x -代换x ，得(1)(1)0f x f x +--=②，B 错；在②式，将2x 代换x ，得(21)(12)0(21)(12)f x f x f x f x +--=⇒+=-，C 对；由()()2f x f x +=且(1)(1)f x f x +=-，即()f x 周期为2且关于1x =对称，显然()0f x =是满足题设的一个函数，此时201()0i f i ==∑，D 错.故选：AC10. 函数()cos 2cos sin 2sin f x x x ϕϕ=-（π02ϕ<<）的图象的一个对称中心为 π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A. 直线5π12x =是函数()f x 的图象的一条对称轴B. 函数()f x 在ππ,612⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减C. 函数()f x 的图象向右平移π12个单位可得到cos2y x =的图象D. 函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1【答案】AC 【解析】【分析】根据两角和的余弦公式化简函数解析式，再根据对称中心可得ϕ，再根据三角函数性质分别判断各选项.【详解】由()()cos 2cos sin 2sin cos 2f x x x x ϕϕϕ=-=+，由π,06⎛⎫⎪⎝⎭是函数图象的一个对称中心，即πππ262k ϕ⨯+=+，Z k ∈，解得ππ6k ϕ=+，Z k ∈，又π02ϕ<<，所以π6ϕ=，所以()πcos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A 选项：令π2π6x k +=，Z k ∈，解得ππ122k x =-+，Z k ∈，当1k =时，5π12x =，即直线5π12x =是函数的一条对称轴，故A 选项正确；对于B 选项：令π2π2π2π6k x k ≤+≤+，Z k ∈，解得π5πππ1212k x k -+≤≤+，Z k ∈，即函数的单调递减区间为π5ππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈，当0k =时，函数在π5π,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减，所以函数在ππ,612⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，B 选项错误；对于C 选项：函数()f x 的图象向右平移π12个单位可得ππcos 2cos 2126y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，C 选项正确；对于D 选项：当π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，ππ7π2,666⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦x ，所以函数()πcos 26f x x ⎡⎛⎫=+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣，即最大D 选项错误；故选：AC.11. 下列结论正确的是（ ）A. 若2()1ax bf x x +=+是奇函数，则必有0a ≠且0b =B. 函数31x y x =-的单调递减区间是11,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. ()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，2(3)f x x x =+，则当0x <时，()f x =23x x -D. 若()f x 在R 上是增函数，且1a m =-，2b m =，则()()()()f a f b f a f b +-<-+【答案】CD 【解析】【分析】根据奇函数的性质判断A ，分离常数后结合反比例函数的单调性判断B ，根据奇函数性质求解析式判断C ，根据单调性比较大小即可判断D.【详解】对于A ，因为()f x 的定义域为R ，由奇函数性质知(0)0f b ==R a ∈，事实上当0a b ==时，()0f x =，即是奇函数也是偶函数，故A 错误.对于B ，因为11393y x =+-，所以函数31x y x =-的单调递减区间是1,3∞⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,3∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故B 错误.对于C ，当0x <时，0x ->，则2()()3()f x x x f x -=--=，即2()3f x x x =-，故C 正确.对于D ，因为22112b a m m m ⎛⎫-=-+=- ⎪⎝⎭304+>，所以b a >.又因为()f x 在R 上增函数，所以()()f a f b <，b a -<-，所以()f b -<()f a -，所以()()()()f b f a f a f b -+<-+，故D 正确故选：CD第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题12. tan20tan40tan40︒+︒+︒︒= ______【解析】【分析】利用602040︒=︒+︒，两角和的正切公式，进行变形，化为所求式子的值．【详解】因为tan 20tan 40tan 60tan(2040)1tan 20tan 40︒+︒︒=︒+︒==-︒︒20tan 40tan 20tan 40-︒︒=︒+︒，所以tan 20tan 40tan 20tan 40︒+︒+︒︒=是.。
河南省洛阳市2015届高三上学期期中考试数学(理)试题
中华资源库 ziyuanku〔Ⅱ〕设 A 〔 x 1， y 1〕， B 〔x 2， y 2〕，由得〔 3+4k 2〕 x 2+8mkx+4 〔 m 2﹣ 3〕 =0，2 2222 2．△=64m k ﹣ 16〔 3+4k 〕〔 m ﹣ 3〕＞ 0，化为 3+4k ＞ m ∴， ．y 1y 2=〔 kx 1+m 〕〔 kx 2+m 〕 ==．∵以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点D 〔2， 0〕，k AD ?k BD =﹣ 1，∴，∴y 1y 2+x 1x 2﹣ 2〔 x 1+x 2〕 +4=0 ，∴．化为 7m 22．+16mk+4k =0，解得 m 1=﹣ 2k ，，且满足 3+4k 2﹣ m 2＞ 0．当 m=﹣ 2k 时， l ： y=k 〔 x ﹣ 2〕，直线过定点〔 2，0〕与矛盾；当 m=﹣ 时， l ： y=k，直线过定点．综上可知，直线 l 过定点，定点坐标为．21．〔1〕解：〕∵f 〔x 〕 = 2﹣ 3 x 〔 x ﹣1〕，x ex +e2xxx+1 ﹣ex 〕，∴f ′〔 x 〕=﹣ ex +x+e 〔 x ﹣ 1〕+e =x 〔 e令 y=e x+1﹣ ex ，那么 y ′=ex ﹣ e ，y ′＞ 0，得 x ＞ 1，y ′＜ 0，得 x ＜ 1，那么 x=1 取极小， 也是最小，那么 y ≥1．即 e x+1﹣ ex ＞ 0 恒成立，那么 g ′〔 x 〕＞ 0 得 x ＞ 0； g ′〔 x 〕＜ 0 得 x ＜0．故 g 〔 x 〕的增区间为〔 0， +∞〕，减区间为〔﹣ ∞，0〕．（ 2〕证明：当 x ＞ 0 时， 1+lnx ﹣ f ′〔x 〕 =1+lnx+ex 2﹣ x ﹣ e xx ，令 h 〔 x 〕=1+lnx+ex 2﹣ x ﹣ e xx ，xxh ′〔 x 〕 = +2ex ﹣ 1﹣ e x ﹣ e ，当 x=1 时， h ′〔 x 〕 =0，由〔 1〕得， e x﹣ ex ≥0，当 x ＞ 1 时， h ′〔 x 〕＜ 0，当 0＜x ＜ 1 时， h ′〔 x 〕＞ 0， 故 x=1 为极大值，也为最大值，且为h 〔1〕 =0 ．故当 x ＞ 0 时， h 〔 x 〕 ≤h 〔 1〕，即有 h 〔x 〕 ≤0，故当 x ＞ 0 时， 1+lnx ﹣ f ′〔 x 〕 ≤0，即 f ′〔x 〕 ≥1+lnx ．中华资源库 ziyuanku22．（1〕证明：连结 OA ，在△ADE 中， AE ⊥CD 于点 E，∴∠DAE+ ∠ADE=90 °∵DA 平分∠BDC ．∴∠ADE= ∠BDA∵OA=OD∴∠BDA= ∠OAD∴∠OAD= ∠ADE∴∠DAE+ ∠OAD=90 °即： AE 是⊙O 的切线（2〕在△ADE 和△BDA 中，∵BD 是⊙O 的直径∴∠BAD=90 °由〔 1〕得：∠DAE= ∠ABD又∵∠BAD= ∠AED∵AB=2求得： BD=4 ，AD=2∴∠BDA= ∠ADE= ∠BDC=60 °进一步求得： CD=2故答案为：〔 1〕略（2〕 CD=223．解：〔1〕直线l的参数方程为〔t为参数〕，普通方程为y=x+2﹣2；圆ρ=4cosθ，等式两边同时乘以22222ρ得到ρ=4ρcosθ，即 x +y =4x，即〔 x﹣2〕 +y =4；2222，表示以〔 2， 0〕为圆心，半径等于 2 的圆．〔2〕 x +y =4x，即〔 x﹣ 2〕+y =4圆心到直线的距离为=1，∴|PQ|=2=2．24．解：〔Ⅰ〕函数 f〔 x〕=+=?+≤?=3 ，...中华资源库 ziyuanku22．（1〕证明：连结 OA ，在△ADE 中， AE ⊥CD 于点 E，∴∠DAE+ ∠ADE=90 °∵DA 平分∠BDC ．∴∠ADE= ∠BDA∵OA=OD∴∠BDA= ∠OAD∴∠OAD= ∠ADE∴∠DAE+ ∠OAD=90 °即： AE 是⊙O 的切线（2〕在△ADE 和△BDA 中，∵BD 是⊙O 的直径∴∠BAD=90 °由〔 1〕得：∠DAE= ∠ABD又∵∠BAD= ∠AED∵AB=2求得： BD=4 ，AD=2∴∠BDA= ∠ADE= ∠BDC=60 °进一步求得： CD=2故答案为：〔 1〕略（2〕 CD=223．解：〔1〕直线l的参数方程为〔t为参数〕，普通方程为y=x+2﹣2；圆ρ=4cosθ，等式两边同时乘以22222ρ得到ρ=4ρcosθ，即 x +y =4x，即〔 x﹣2〕 +y =4；2222，表示以〔 2， 0〕为圆心，半径等于 2 的圆．〔2〕 x +y =4x，即〔 x﹣ 2〕+y =4圆心到直线的距离为=1，∴|PQ|=2=2．24．解：〔Ⅰ〕函数 f〔 x〕=+=?+≤?=3 ，。
河南省洛阳市2015届高三上学期期中考试数学理试题 Word版含解析
2014-2015学年河南省洛阳市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合M={x|x2﹣2x＜0}，N={x||x|＜1}则M∩N=（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（0，2）考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：根据题意，由一元二次不等式的解法可得集合M，由绝对值不等式的解法可得集合N，进而有交集的意义可得答案．解答：解：集合M={x|x2﹣2x＜0}={x|0＜x＜2}，N={x||x|＜1}={x|﹣1＜x＜1}，则M∩N={x|0＜x＜1}=（0，1），故选B．点评：本题考查集合的交集运算，关键是求出集合M、N．2．已知（1+）2=a+bi（a，b∈R，i为虚数单位），则a+b=A．﹣4 B．4C．﹣7 D．7考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数相等，求出a，b的值，然后利用复数的几何意义即可得到结论．解答：解：由（1+）2=a+bi得1+﹣4=a+bi，即﹣3﹣4i=a+bi，则a=﹣3，b=﹣4，解得a=1，b=2，则a+b=﹣3﹣4=﹣7，故选：C点评：本题主要考查复数的基本运算，利用复数相等求出a，b是解决本题的关键，比较基础．3．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a6=18﹣a7，则S12=（）A．18 B．54 C．72 D．108考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解．解答：解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a6=18﹣a7，∴S12=（a1+a12）=6（a6+a7）=6×18=108．故选：D．点评：本题考查等差数列的前12项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．4．已知双曲线﹣=1的实轴长、虚轴长、焦距依次成等比数列，则其离心率为（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由实轴长、虚轴长、焦距成等比数列可得b2=ac再结合b2=c2﹣a2可得c2﹣a2=ac即e2﹣e﹣1=0则可求出e解答：解：∵双曲线﹣=1的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列∴（2b）2=（2a）•（2c）∴b2=ac又∵b2=c2﹣a2∴c2﹣a2=ac∴e2﹣e﹣1=0∴e=又在双曲线中e＞1∴e=故选A．点评：此题主要考查了求双曲线的离心率．关键是要利用题中的条件建立a，b，c的关系式再结合c2=a2+b2和两边同除ab即得到关于e的方程求解即可，但要注意双曲线中e＞1，椭圆中0＜e＜1这一隐含条件！5．已知向量=（2，0），向量=（2，2），向量=（cosα，sinα），则向量与向量的夹角范围为（）A．[0，]B．[，]C．[，]D．[，]考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：计算题；数形结合．分析：利用CA是常数，判断出A的轨迹为圆，作出A的轨迹；数形结合求出两个向量的夹角范围．解答：解：||=，∴A点在以C为圆心，为半径的圆上，当OA与圆相切时对应的位置是OA 与OB所成的角最大和最小的位置OC与x轴所成的角为；与切线所成的为所以两个向量所成的最小值为；最大值为故选D点评：本题考查圆的定义、数形结合求两个向量的夹角范围．6．执行如图所示的程序框图，若输出的S是127，则条件①可以为（）A．n≤5 B．n≤6 C．n≤7 D．n≤8考点：程序框图．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加2n的值到S并输出S．解答：解：循环前，S=1，n=1第一次循环：S=1+2=3，n=1+1=2，继续循环；第二次循环：S=3+22=7，n=2+1=3，继续循环；第三次循环：S=7+23=15，n=3+1=4，继续循环；第四次循环：S=15+24=31，n=4+1=5，继续循环；第五次循环：S=31+25=63，n=5+1=6，继续循环；第六次循环：S=63+26=127，n=6+1=7，停止循环，输出S=127．故选B．点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．7．已知p：≤2x≤，q：﹣≤x+≤﹣2，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：首先对p，q两个命题进行整理，得到关于x的范围，把两个条件对应的范围进行比较，得到前者的范围小于后者的范围，即属于前者一定属于后者，但是属于后者不一定属于前者，得到结论．解答：解：p：≤2x≤，即为﹣2≤x≤﹣1，q：﹣≤x+≤﹣2，即为﹣2≤x≤﹣∴属于前者一定属于后者，但是属于后者不一定属于前者，∴前者是后者的充分不必要条件，故选：A点评：本题考查必要条件，充分条件与充要条件的判断，本题解题的关键是对于所给的条件进行整理，得到两个条件对应的集合的范围的大小，本题是一个基础题8．已知x、y都是区间[0，]内任取的一个实数，则使得y≤sinx的取值的概率是（）A．B．C．D．考点：几何概型；定积分．专题：概率与统计．分析：根据几何概型的概率公式，结合积分的应用求出对应的面积即可得到结论．解答：解：此题为几何概型，事件A的度量为函数y=sinx的图象在内与x轴围成的图形的面积，即，则事件A的概率为，故选A点评：本题主要考查几何概型的概率计算以及利用积分求面积，要求熟练掌握几何概型的求解方法．9．的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）A．﹣40 B．﹣20 C．20 D．40考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：给x赋值1求出各项系数和，列出方程求出a；将问题转化为二项式的系数和；利用二项展开式的通项公式求出通项，求出特定项的系数．解答：解：令二项式中的x为1得到展开式的各项系数和为1+a∴1+a=2∴a=1∴==∴展开式中常数项为的的系数和∵展开式的通项为T r+1=（﹣1）r25﹣r C5r x5﹣2r令5﹣2r=1得r=2；令5﹣2r=﹣1得r=3展开式中常数项为8C52﹣4C53=40故选D点评：本题考查求系数和问题常用赋值法、考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．10．若f（x）=2cos（ωx+φ）+m，对任意实数t都有f（t+）=f（﹣t），且f（）=﹣1则实数m的值等于（）A．±1 B．﹣3或1 C．±3 D．﹣1或3考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题．分析：通过f（t+）=f（﹣t），判断函数的对称轴，就是函数取得最值的x值，结合f（）=﹣1，即可求出m的值．解答：解：因为f（x）=2cos（ωx+φ）+m，对任意实数t都有f（t+）=f（﹣t），所以函数的对称轴是x=，就是函数取得最值，又f（）=﹣1，所以﹣1=±2+m，所以m=1或﹣3．故选B．点评：本题是基础题，考查三角函数的对称轴的应用，不求解析式，直接判断字母的值的方法，考查学生灵活解答问题的能力．11．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若|AF|=3，则△AOF 的面积为（）A．B．C．D．2考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用抛物线的定义，求出A的坐标，再计算△AOF的面积．解答：解：抛物线y2=4x的准线l：x=﹣1．∵|AF|=3，∴点A到准线l：x=﹣1的距离为3∴1+x A=3∴x A=2，∴y A=±2，∴△AOF的面积为=．故选：B．点评：本题考查抛物线的定义，考查三角形的面积的计算，确定A的坐标是解题的关键．12．设f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f′（x），若f（x）+f′（x）＞1，f（0）=2015，则不等式e x f（x）＞e x+2014（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（2014，+∞）B．（﹣∞，0）∪（2014，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（0，+∞）考点：函数单调性的性质．专题：导数的综合应用．分析：构造函数g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值即可求解．解答：解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+2014，∴g（x）＞2014，又∵g（0）=e0f（0）﹣e0=2015﹣1=2014，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：D．点评：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键，属于中档题．二、填空题（每小题5分，共20分）13．若等比数列{a n}满足a2+a4=20，a3+a5=40．则a5+a7=160．考点：等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：设出等比数列的首项和公比，由已知列方程组求出首项和公比，即可求出a5+a7．解答：解：设等比数列的公比为q，∵a2+a4=20，a3+a5=40，∴a1q+a1q3=20，a1q2+a1q4=40，解得a1=q=2∴a n=a1q n﹣1=2n，∴a5+a7=160，故答案为：160．点评：本题考查的知识点是等比数列的前n项和，等比数列的通项公式，其中根据已知构造关于首项和公比的方程组，是解答的关键．14．（2014•嘉定区三模）若实数x，y满足如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣1，则实数m=5．考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：画出不等式组表示的平面区域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数m的方程组，消参后即可得到m的取值解答：解：画出x，y满足的可行域如下图：可得直线y=2x﹣1与直线x+y=m的交点使目标函数z=x﹣y取得最小值，由可得，代入x﹣y=﹣1得∴m=5故答案为：5点评：如果约束条件中含有参数，先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组），代入另一条直线方程，消去x，y后，即可求出参数的值．15．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体的体积为．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：三视图复原的几何体是四棱锥，利用几何体的数据求解几何体的体积即可．解答：解：由题意可知三视图复原的几何体是底面为边长为2的正方形，一条侧棱垂直底面正方形的顶点的四棱锥，并且棱锥的高为2，所以几何体的体积为：=．故答案为：．点评：本题考查三视图与几何体的直观图的关系，考查空间想象能力与计算能力．16．函数f（x）=的最大值与最小值之积等于﹣．考点：函数的最值及其几何意义．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：分类讨论，利用基本不等式，求出函数f（x）=的最大值与最小值，即可得出结论．解答：解：f（x）==，x=0时，f（0）=0，x≠0时，f（x）=，x＞0时，x+≥2，∴0＜f（x）≤，x＜0时，x+≤﹣2，∴﹣≤f（x）＜0，综上，∴﹣≤f（x）≤，∴函数f（x）=的最大值与最小值之积等于﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查函数的最值及其几何意义，考查基本不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且∠A满足：2cos2A﹣2sinAcosA=﹣1．（Ⅰ）若a=2，c=2，求△ABC的面积；（Ⅱ）求的值．考点：余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）已知等式左边利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式变形，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，进而得到sinA的值，再由a 与c的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积；（Ⅱ）原式分子分母利用正弦定理变形，再利用两角和与差的余弦函数公式化简，约分即可得到结果．解答：解：（Ⅰ）∵2cos2A﹣2sinAcosA=﹣1，∴1+cos2A﹣sin2A=1﹣2（sin2A﹣cos2A）=1﹣2sin（2A﹣）=﹣1，即sin（2A﹣）=1，∵A为三角形内角，即0＜A＜π，∴2A﹣∈（﹣，），∴2A﹣=，即A=，在△ABC中，由余弦定理得：cosA===，解得：b=4或b=﹣2（舍去），∴S△ABC=bcsinA=×4×2×=2；（Ⅱ）已知等式，利用正弦定理===2R，变形得：=====2．点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．（12分）某旅行社为3个旅游团提供甲、乙、丙、丁共4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条．（1）求恰有2条线路没有被选择的概率；（2）设选择甲旅行线路的旅游团数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）利用等可能事件概率计算公式能求出恰有两条线路没有被选择的概率．（Ⅱ）设选择甲线路旅游团数为ξ，则ξ=0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．解答：（Ⅰ）恰有两条线路没有被选择的概率为：P==．（Ⅱ）设选择甲线路旅游团数为ξ，则ξ=0，1，2，3，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==．∴ξ的分布列为：ξ0 1 2 3P∴期望Eξ=0×+1×+2×+3×=．点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题．19．（12分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．考点：与二面角有关的立体几何综合题；异面直线及其所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出异面直线A1B与C1D所成角的余弦值．（2）分别求出平面ABA1的法向量和平面ADC1的法向量，利用向量法能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的余弦值，再由三角函数知识能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．解答：解：（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，则由题意知A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，4），D（1，1，0），C1（0，2，4），∴，=（1，﹣1，﹣4），∴cos＜＞===，∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为．（2）是平面ABA1的一个法向量，设平面ADC1的法向量为，∵，∴，取z=1，得y=﹣2，x=2，∴平面ADC1的法向量为，设平面ADC1与ABA1所成二面角为θ，∴cosθ=|cos＜＞|=||=，∴sinθ==．∴平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值为．点评：本题考查两条异面直线所成角的余弦值的求法，考查平面与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．20．（12分）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）利用两点间的距离公式可得c，再利用椭圆的标准方程及其性质即可得出a，b；（Ⅱ）把直线l的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D，可得k AD•k BD=﹣1，即可得出m与k的关系，从而得出答案．解答：解：（Ⅰ）∵左焦点（﹣c，0）到点P（2，1）的距离为，∴，解得c=1．又，解得a=2，∴b2=a2﹣c2=3．∴所求椭圆C的方程为：．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣3）=0，△=64m2k2﹣16（3+4k2）（m2﹣3）＞0，化为3+4k2＞m2．∴，．y1y2=（kx1+m）（kx2+m）==．∵以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），k AD•k BD=﹣1，∴，∴y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）+4=0，∴．化为7m2+16mk+4k2=0，解得m1=﹣2k，．，且满足3+4k2﹣m2＞0．当m=﹣2k时，l：y=k（x﹣2），直线过定点（2，0）与已知矛盾；当m=﹣时，l：y=k，直线过定点．综上可知，直线l过定点，定点坐标为．点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、圆的性质、两点间的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．21．（12分）已知函数f（x）=x2﹣ex3+e x（x﹣1）（其中e为自然对数的底数），记f（x）的导函数为f′（x）．（1）求函数y=f（x）的单调区间；（2）求证：当x＞0时，不等式f′（x）≥1+lnx恒成立．考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）利用导数判断函数的单调性，求出单调区间；（2）当x＞0时，令h（x）=1+lnx+ex2﹣x﹣e x x，求出导数h′（x），当x=1时，h′（x）=0，由（1）得，e x﹣ex≥0，讨论当x＞1时，当0＜x＜1时，导数的符号，从而得到h（x）的最大值，即可得证．解答：（1）解：）∵f（x）=x2﹣ex3+e x（x﹣1），∴f′（x）=﹣ex2+x+e x（x﹣1）+e x=x（e x+1﹣ex），令y=e x+1﹣ex，则y′=ex﹣e，y′＞0，得x＞1，y′＜0，得x＜1，则x=1取极小，也是最小，则y≥1．即e x+1﹣ex＞0恒成立，则g′（x）＞0得x＞0；g′（x）＜0得x＜0．故g（x）的增区间为（0，+∞），减区间为（﹣∞，0）．（2）证明：当x＞0时，1+lnx﹣f′（x）=1+lnx+ex2﹣x﹣e x x，令h（x）=1+lnx+ex2﹣x﹣e x x，h′（x）=+2ex﹣1﹣e x x﹣e x，当x=1时，h′（x）=0，由（1）得，e x﹣ex≥0，当x＞1时，h′（x）＜0，当0＜x＜1时，h′（x）＞0，故x=1为极大值，也为最大值，且为h（1）=0．故当x＞0时，h（x）≤h（1），即有h（x）≤0，故当x＞0时，1+lnx﹣f′（x）≤0，即f′（x）≥1+lnx．点评：本题考查导数的应用：求单调区间、求极值，求最值，考查构造函数证明不等式恒成立问题，转化为求函数的最值问题，应用导数求解，本题属于中档题．下面的三个选作题，考生选择一个题作答【选修4—1】几何证明选讲22．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．（1）证明：AE是⊙O的切线；（2）如果AB=2，AE=，求CD．考点：与圆有关的比例线段．专题：几何证明．分析：（1）首先通过连接半径，进一步证明∠DAE+∠OAD=90°，得到结论．（2）利用第一步的结论，找到△ADE∽△BDA的条件，进一步利用勾股定理求的结果解答：（1）证明：连结OA，在△ADE中，AE⊥CD于点E，∴∠DAE+∠ADE=90°∵DA平分∠BDC．∴∠ADE=∠BDA∵OA=OD∴∠BDA=∠OAD∴∠OAD=∠ADE∴∠DAE+∠OAD=90°即：AE是⊙O的切线（2）在△ADE和△BDA中，∵BD是⊙O的直径∴∠BAD=90°由（1）得：∠DAE=∠ABD又∵∠BAD=∠AED∵AB=2求得：BD=4，AD=2∴∠BDA=∠ADE=∠BDC=60°进一步求得：CD=2故答案为：（1）略（2）CD=2点评：本题考查的知识点：证明切线的方法：连半径，证垂直．三角形相似的判定，勾股定理的应用．【选修4—4】坐标系参数方程23．已知直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半径为极轴）中，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（1）分别将直线l和曲线C的方程化为直角坐标系下的普通方程；（2）设直线l与曲线C交于P、Q两点，求|PQ|．考点：参数方程化成普通方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：选作题；坐标系和参数方程．分析：（1）消去参数，可得直线l的普通方程，圆ρ=4cosθ，等式两边同时乘以ρ，可得曲线C的方程化为直角坐标系下的普通方程；（2）求出圆心和半径，再求出圆心到直线的距离，即可求|PQ|．解答：解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），普通方程为y=x+2﹣2；圆ρ=4cosθ，等式两边同时乘以ρ得到ρ2=4ρcosθ，即x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4；（2）x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4，表示以（2，0）为圆心，半径等于2的圆．圆心到直线的距离为=1，∴|PQ|=2=2．点评：本题考查参数方程化成普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程，考查直线与圆的位置关系，比较基础．【选修4—5】不等式选讲24．设函数f（x）=+的最大值为M．（Ⅰ）求实数M的值；（Ⅱ）求关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M的解集．考点：二维形式的柯西不等式；绝对值不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）根据函数f（x）=+=•+≤•=3，求得实数M的值．（Ⅱ）关于x的不等式即|x﹣1|+|x+2|≤3，由绝对值三角不等式可得|x﹣1|+|x+2|≥3，可得|x﹣1|+|x+2|=3．根据绝对值的意义可得x的范围．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=+=•+≤•=3，当且仅当=，即x=4时，取等号，故实数M=3．（Ⅱ）关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M，即|x﹣1|+|x+2|≤3．由绝对值三角不等式可得|x﹣1|+|x+2|≥|（x﹣1）﹣（x+2）|=3，∴|x﹣1|+|x+2|=3．根据绝对值的意义可得，当且仅当﹣2≤x≤1时，|x﹣1|+|x+2|=3，故不等式的解集为[﹣2，1]．点评：本题主要考查二维形式的柯西不等式的应用，绝对值的意义，绝对值三角不等式，属于基础题．。
2015-2016学年河南省中原名校高三下期第一次联考 理科数学试题(扫描版)
中原名校2015-2016学年下期高三第一次联考理科数学答案第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．【答案】A 【解析】∵{}{}02016120152016B x x x x =≤-<=<≤，∴=A B I {}20152016x x <<，故选A ．2．【答案】B【解析】因为13()sin 2cos 2sin(2)223f x x x x π=+=+，所以最小正周期22T ππ==，故选B ．3．【答案】C【解析】由23123422i i i i +++=--， 得22(22)(2)62622(2)(2)555i i i i z i i i i ++-+=-=-=-=--++-，则z 的共轭复数是6255i -+，故选C ．4．【答案】B【解析】由题意知点(2,1)到直线340x y C ++=的距离为3等价于22|3241|334C ⨯+⨯+=+，解得5C =或25C =-，所以“5C =”是“点(2,1)到直线340x y C ++=的距离为3”的充分不必要条件，故选B ． 5．【答案】D【解析】由3737S S +=，得11(33)(721)37a d a d +++=，整理，得1102437a d +=，于是31119a a +＝11119(2)(10)2(1024)74a d a d a d +++=+=，故选D ．6．【答案】D【解析】由题意，得x c =代入b y x a =±，得交点(,),(,)bc bc A c B c a a -，则121323bc bc c a⨯⨯=，整理，得133c a =，故选D ． 7．【答案】D 【解析】该商场11月11日8时至22时的总销售额为()902000.1000.1252=+⨯万元，所以10时至12时的销售额为()2000.150260⨯⨯=万元，故选D ．8．【答案】C【解析】取AB 的中点G ，连结DG ，CG ，则D G B C ，所以12B C G D A D A G A D A B ==-=- ，∴21()332AE AB BE AB BC AB AD AB =+=+=+- ＝2233AB AD + ，于是BF AF AB =- ＝12AE AB - ＝12221()23333AB AD AB AB AD +-=-+ ，故选C ．9．【答案】C【解析】根据程序框图及条件可知2562x =>→82x =>→32x =>→2log 32x =<，所以2221log log 3log 3311()2223y -====，故选C ． 10．【答案】C【解析】5511()()ax bx a b+-+的展开式中含2x 项的系数为232232551110()()()b a C a C b a b ab --=，含3x 的项的系数为3233235511()()10()C a C b a b a b -=-，则由题意，得10()110()6b a ab a b -=-，即||6ab =，则2222||||2||12a b a b ab +=+≥=，故选C ． 11．【答案】D【解析】按如图所示作辅助线，O 为球心，设1OG x =，则12OB SO x ==-，同时由正方体的性质知1122B G =，则在11Rt OB G ∆中，2221111O B G B O G =+，即2222(2)()2x x -=+，解得78x =，所以球的半径198R OB ==，所以球的表面积为281416S R ππ==，故选D ．12．【答案】A【解析】由113,2n n a a a -==+，知0n a >，212n n a a -=+ ①，则有212n n a a +=+ ②．由②-①得2211n n n n a a a a +--=-，即111()()n n n n n n a a a a a a ++-+-=-．∵0n a >，∴1n n a a +-与1n n a a --同号．由21530a a -=-<，易知，10n n a a --<，即1n n a a -<，由此可知数列{}n a 单调递减，故选A ．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每小题5分，共20分）13．【答案】12- 【解析】由题意知()()(91)9(91)9x kx x kx f x f x ---=⇒+=+ 对于x ∈R 恒成立，则由2119991x kx x +=+，299kx x -=，即(21)91k x +=，于是由210k +=，得12k =-． 14．【答案】(,3)(0,)-∞-+∞【解析】因为直线与圆相切，所以 t t k k t 2111222+=⇒=++．又把直线方程代入抛物线方程并整理得0442=--t kx x ，于是由016)2(16161622>++=+=∆t t t t k ，得 0>t 或3-<t ．15．【答案】12【解析】作出满足不等式的平面区域，如图所示，当直线30x y M +-=经过点(1,2)A -时目标函数3M x y =+取得最小值－1．又由平面区域知13x -≤≤，则函数17()22x N =-在1x =-时，N 取得最大值32-，由此可知M N -的最小值为311()22---=． 16．【答案】1a =±【解析】由()0f x =，得c o s 2s i n x a x +=，即22s i n s i n 1=0x a x --．设2()2s i n s i n 1g x x a x =--，令sin t x =，则2()21g x t at =--．考察(0,2)x π∈的函数()g x 的零点个数，即如下图所示为sin t x =，(0,2)x π∈的图象，易知：（1）方程2210t at --=的一个根为1，另一个根为(1,0)-时，()g x 在(0,2)π内有三个零点，此时2211102(1)(1)10a a ⨯-⨯-=⎧⎨⨯--⨯-->⎩，解得1a =；（1）方程2210t at --=的一个根为－1，另一个根为(0,1)时，()g x 在(0,2)π内有三个零点，此时22(1)(1)1021110a a ⎧⨯--⨯--=⎨⨯-⨯->⎩，解得1a =-．综上可知当1a =±时，()cos 2sin f x x a x =+在(0,2)π内有3个解．再由933=可知，236n =⨯=．综上可知1a =±，6n =．三、解答题 （第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～24题为选考题，考生根据要求作答，本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．【答案】（1）120︒；（2）43(4,2]3+． 【解析】（1）由正弦定理，得cos sin cos 2sin sin A A C B C=-+， ∴2cos sin cos sin sin cos 0A B A C A C ++=，则2cos sin sin()0A B A C ++=． ∵A B C π++=，∴sin()sin A C B +=，∴2cos sin sin 0A B B +=．∵sin 0B ≠，∴1cos 2A =-，∴120A =︒．……………5分 （2）由正弦定理，得43sin sin sin 3b c a B C A ===，……………6分 ∴4343(sin sin )[sin sin(60)]33b c B C B B +=+=+︒- ＝43(sin sin 60cos cos60sin )3B B B +︒-︒……………8分 ＝431343(sin cos )sin(60)3223B B B +=+︒．……………9分 ∵120A =︒，∴(0,60)B ∈︒︒，∴60(60,120)B +︒∈︒︒，∴3sin(60)(,1]2B +︒∈， ∴43(2,]3b c +∈，故ABC ∆的周长43(4,2]3a b c ++∈+．……………12分 18．【答案】（1）121140；（2）分布列见解析；0.75． 【解析】（1）设i A 表示所抽取3名中有i 名新生儿评分不低于9分，至多有1名评分不低于9分记为事件A ，则3121241201331616121()=()()==140C C C P A P A P A C C ++．……………5分 （2）由表格数据知，从本本市年度新生儿中任选1名评分不低于9分的概率为41=164，………6分 则由题意知X 的可能取值为0，1，2，3．3327(=0)=()=464P X ； 11231327(=1)=C ()()=4464P X ； 2213139(=2)=C ()()=4464P X ； 33311(=3)=C ()=464P X ．……………9分 所以X 的分布列为 X 0 1 2 3P 2764 2764 964 164 ……………10分 由表格得272791(X)=0123=0.7564646464E ⨯+⨯+⨯+⨯． （或1(X)=3=0.754E ⨯）……………12分 19．【答案】（1）见解析；（2）22117． 【解析】（1）∵在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ， 又∵BC ⊂平面ABC ，∴1AA BC ⊥．……………………2分又∵AF ⊥平面1A DE ，DE ⊂平面ADE ，∴AF DE ⊥． 又∵,D E 分别为1BB 和1CC 的中点，∴DE BC ，∴A F B C ⊥．……………………4分而1AA ⊂平面11AA B B ，AF ⊂平面11AA B B ，且1AA AF A = ， ∴BC ⊥平面11AA B B ．又∵1A D ⊂平面11AA B B ，∴1BC A D ⊥．……………………5分（2）由（1）知BC ⊥平面11AA B B ，AB ⊂平面11AA B B ，从而BC AB ⊥，如图，以B 为原点建立空间直角坐标系xyz B -．……………………6分∵3AB BC ==，∴11113A B B C DE ===，则由111Rt A B D Rt C DE ∆≅∆，知113C D =，∴22112C E C D DE =-=， 则(0,0,2)D ，(3,0,2)E ，1(3,0,4)C ，1(0,3,4)A ，1(0,3,2)DA = ，1(3,0,2)DC = ，(3,0,0)DE = ．……………………7分设平面11A DC 的一个法向量),,(1z y x n =，则 由111100n DA n DC ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，得320320y z x z +=⎧⎨+=⎩，取3z =，可得1(2,2,3)n =-- ．……………………9分设平面1A DE 的一个法向量),,(2z y x n =，则由21200n DA n DE ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，得32030y z x +=⎧⎨=⎩，取3z =，可得2(0,2,3)n =- ，……………………11分 ∴121212221cos ,17n n n n n n ⋅== ， ∴二面角C B A P --1平面角的余弦值是22117．……………………12分 20．【答案】（1）22142x y +=；（2）[2,3]． 【解析】（1）因为(),0F c ，()0,Q b ，42,33b P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，(,)FQ c b =- ，42(,)33b FP c =- ， 由题设可知0FQ FP = ，则2242033b c c -+= ①……………………2分又点P 在椭圆C 上，∴22232199b a b+=，解得24a =，所以2224b c a +== ② ①②联立解得，22c =，22b =， 故所求椭圆的方程为22142x y +=．……………………5分 （2）设,,A B M 三点的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，00(,)x y ，由,A B 两点在椭圆C 上，则2211222224(1)24(2)x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，则 由（1）－（2），得12121212()()2()()0x x x x y y y y +-++-= （3）． 由线段OM 的中点与线段AB 的中点重合，则120120(4)(5)x x x y y y +=⎧⎨+=⎩． 又2121y y k x x -=-，即2121()y y k x x -=- （6）……………………8分 把（4）（5）（6）代入（3）整理，得002x ky =-，于是由002200224x ky x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得220042x y =-，202221y k =+， 所以222200022||4421OM x y y k =+=-=-+．……………………10分 因为2||2k ≤，所以21212k ≤+≤，有221221k ≤≤+， 所以22||3OM ≤≤，即||OM 的取值范围为[2,3]．……………………12分21．【答案】（1）e ；（2）见解析．【解析】（1）因 为2()x a f x x-'=，且[]1,x e ∈，则 ①当1a ≤时，()0f x '≥，函数()f x 单调递增，其最小值为(1)1f a =≤，这与函数在[]1,e 上的最小值是32相矛盾；②当1a e <<时，函数()f x 在[1,)a 上有()0f x '<，单调递减，在(,]a e 上有()0f x '>，单调递增，∴函数()f x 的最小值为3()ln 12f a a =+=，得a e =． ③当a e ≥时，()0f x '≤，函数()f x 在[]1,e 上单调递减，其最小值为()12a f e e =+≥，与最小值是32相矛盾． 综上所述，a 的值为e ．……………………5分（2）要证1()121x x F x e e xe -+>+，即证1()211x x F x e e xe ->++，……………………6分 当1a =时，1l n ()1l nx F x x x x=+++，222111ln ln ()x x x F x x x x x --'=-++=，…………7分 令)ln x x x ϕ=-（，则111x x x xϕ-'=-=（）， 当1x >时，()0x ϕ'>, ()x ϕ递增；当01x <<时，()0x ϕ'<, ()x ϕ递减， ∴()x ϕ在1x =处取得唯一的极小值，即为最小值，即()(1)10x ϕϕ≥=>，∴()0F x '>，∴()F x 在0+∞（，）上是增函数，∴当1x > 时，()F x 为增函数，…………9分故()(1)2F x F >=，故()211F x e e >++． 令=)(x h 121+-x x xe e ，则11122(1)(1)2(1)()2(1)(1)x x x x x x x x e xe xe e e e h x xe xe ---'+-+-'==++ ．…………10分∵1>x , ∴01<-x e ，∴0)(<'x h ，即)(x h 在），（∞+1上是减函数， ∴1>x 时，12)1()(+=<e h x h ，所以()2()11F x h x e e >>++，即1()211x x F x e e xe ->++， 所以1()121x x F x e e xe -+>+．……………………12分 请从下面所给的22 , 23 ,24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.22．【答案】（1）见解析；（2）AD=2．【解析】（1）由题意知AB 为圆的直径，则AC BC ⊥．又∵G 为BF 中点，∴GF GC =，GFC GCF ∠=∠．…………2分由CE AB ⊥，知2GCF CAE π∠=-∠，2ABC CAE π∠=-∠， ∴GCF ABC ∠=∠，则Rt ADF Rt ACB ∆∆ ，∴DAC BAC ∠=∠，∴ BCCD =，即BC CD =．……………………4分 （2）∵,,,A B C D 四点共圆，所以HDC ABC ∠=∠，又∵CH 为O 的切线，∴DCH DAC BAC ∠=∠=∠，…………6分∴Rt CDH RtABC ∆ ，∴2DHC π∠=，且BC AB DH CD=．…………7分 由（1）知BC CD =，且4AB =，1DH =， ∴2CD =，223CH CD DH =-=．…………8分由切割线定理，得2()HC HD AH HD AD DH ==+ ，2(3)1(1)AD =⨯+，解得2AD =．……………………10分23．【答案】（1）26cos 10sin 90ρρθρθ--+=；（2）52或15． 【解析】（1）直线l 的参数方程化为3cos 4sin 6=0ρθρθ++，则由cos x ρθ=，sin y ρθ=，得直线的直角坐标方程为346=0x y ++．…………………………2分由35cos ,55sin .x y αα=+⎧⎨=+⎩，消去参数α，得22(3)(5)25x y -+-=，即2261090x y x y +--+=（*）， 由222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，代入（*）可得曲线C 的极坐标方程为26cos 10sin 90ρρθρθ--+=．…………………………5分（2）设直线l '：34=0x y t ++与曲线C 相切．由（1）知曲线C 的圆心为(3,5)，半径为5，则22|3345|=534t ⨯+⨯++，解得=4t -或=54t -，…………………………7分所以l '的方程为344=0x y +-或3454=0x y +-，即314y x =-+或32742y x =-+． 又将直线l 的方程化为3342y x =--， 所以35=1()22m --=或273=()1522m --=．…………………………10分 24．【答案】（1）6；（2）(,4)-∞．【解析】（1）由()1g x ≥-，即21x m -+≥-，21x m +≤，所以1122m m x ---+≤≤．……2分 不等式的整数解为－3，则11322m m ---+≤-≤，解得57m ≤≤． 又不等式仅有一个整数解－3，∴6m =．……………………4分（2）因为()y f x =的图象恒在函数1()2y g x =的上方，故1()()02f xg x ->， 所以213a x x <-++对任意x ∈R 恒成立．……………………5分 设()213h x x x =-++，则313()531311x x h x xx x x ⎧--≤-⎪=--<≤⎨⎪+>⎩ ……………7分 作出()h x 图象得出当1x =时，()h x 取得最小值4，故4a <时，函数()y f x =的图象恒在函数1()2y g x =的上方， 即实数a 的取值范围是(,4)-∞．……………………10分。
数学_2015年河南省中原名校高考数学模拟试卷(理科)(含答案)
2015年河南省中原名校高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1. 已知①1⊆{1, 2, 3}；②{1}∈{1, 2, 3}；③{1, 2, 3}⊆{1, 2, 3}；④空集⌀⊆{1}，在上述四个关系中错误的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 42. 已知i 是虚数单位，m 和n 都是实数，且m(1+i)=√3+m ，则(m+nim−ni )2015=( ) A −1 B 1 C −i D i3. 已知tanα=2√2，且α∈(−π, 0)，则sinα−√2cosα的值是（ ） A √2 B −√2 C √23 D −√234. 设函数f(x)={1−lnx,x >0x +∫3a 0t 2dt ，x ≤0，若f （f(e)）=1（e 是自然对数的底数），则a 的值为（ ）A 1B 2C −1D −25. 某仓库失窃，四个保管员因涉嫌而被传讯，四人供述如下 甲：我们四人都没有作案； 乙：我们四人有人作案；丙：乙和丁至少有一个人没作案； 丁：我没有作案．如果四人中有两个人说的是真话，有两人说的是假话，则以下断定成立的是（ ）A 说真话的是甲和丁B 说真话的是乙和丙C 说真话的是甲和丙D 说真话的是乙和丁6. 在区间[1, 5]和[2, 4]分别取一个数，记为a ，b ，则方程x 2a 2+y 2b 2=1表示焦点在x 轴上且离心率小于√32的椭圆的概率为（ ） A 12B 1532C 1732D 31327. 执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出S 的值为（ ）A 4B 6C 7D 88. 若等边△ABC 的边长为2√3，平面内一点M 满足：CM →=16CB →+23CA →，则MA →⋅MB →=( )A −1B 2C −2D 39. 已知实数2、t 、8构成一个等比数列，则圆锥曲线x 2t +y 2=1的离心率为（ ） A √32 B √5 C √32或√5 D 34或510. 已知函数f(x)=ln exe−x ，若f(e2016)+f(2e2016)+...+f(2015e2016)=403(a +b)，a >0，b >0，则4a+1b 的最小值为（ ）A 5B 9C 2D 9511.如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是A 1A ，C 1D 1的中点，G 为正方形BCC 1B 1的中心，则四边形AEFG 在该正方体的各个面的投影不可能是（ ）A B C D12. 设函数f 1(x)＝x 3，f 2(x)={2x 2,x ∈[0,12]log 14x,x ∈(12,1] ，f 3(x)={31−2x ,x ∈[0,12]1,x ∈(12,1]，f 4(x)=14|sin(2πx)|，等差数列{a n }中，a 1＝0，a 2015＝1，b n ＝|f k (a n+1)−f k (a n )|(k ＝1, 2, 3, 4)，用p k 表示数列{b n }的前2014项的和，则（ ）A P 4<1＝P 1＝P 2<P 3＝2B P 1<1＝P 4＝P 2<P 3＝2C P 4＝1＝P 1＝P 2<P 3＝2D P 4＝1＝P 1<P 2<P 3＝2二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13. 若(ax 2+bx )6的展开式中x 3项的系数为20，则ab 的值为________．14. 设直线l 与球O 有且只有一个公共点P ，从直线l 出发的两个半平面α，β截球O 的两个截面圆的半径分别为1和√3，二面角α−l −β的平面角为π2，则球O 的表面积为________． 15. 定义方程f(x)=f′(x)的实数根x 0叫做函数f(x)的“萌点”，如果函数g(x)=x ，ℎ(x)=ln(x +1)，φ(x)=cosx(x ∈(π2, π)的“萌点”分别为a 、b 、c ，则a 、b 、c 的大小关系是________（从小到大排列） 16. 以下四个命题：①在等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，则S n ，S 2n −S n ，S 3n −S 2n 仍成等差数列； ②在等比数列{a n }中，S n 是其前n 项和，则S n ，S 2n −S n ，S 3n −S 2n 仍成等比数列； ③函数y =x 与y =sinx 在(−π2, π2)上的图象有3个不同的交点；④命题甲：x ≠2或y ≠3；命题乙：x +y ≠5，则甲是乙的必要不充分条件． 其中真命题的序号有________．三、解答题（共5小题，满分60分）17. 已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且acosC =(2b −c)cosA ． (1)求A 的大小；(2)若△ABC 的外接圆半径为√2，求△ABC 的面积S 的最大值．18. 在2014年11月4日宜宾市举办的四川省第十四届少数民族传统体育运动会的餐饮点上，某种茶饮料一天的销售量与该天的日平均气温（单位：∘C ）有关，若日平均气温不超过15∘C ，则日销售量为100瓶；若日平均气温超过15∘C 但不超过20∘C ，则日销售量为150 瓶；若日平均气温超过20∘C ，则日销售量为200瓶．据宜宾市气象部门预测，该地区在运动会期间每一天日平均气温不超过15∘C ，超过15∘C 但不超过20∘C ，超过20∘C 这三种情况发生的概率分别为P 1，P 2，P 3，又知P 1，P 2为方程5x 2−3x +a =0的两根，且P 2=P 3． （1）求P 1，P 2，P 3的值；（2）记ξ表示该茶饮料在运动会期间任意两天的销售量总和（单位：瓶），求ξ的分布列及数学期望．19. 如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB ＝3，AC ＝4，动点P 满足CP →=λCC 1→(λ>0)，当λ=12时，AB 1⊥BP ．（1）求棱CC 1的长；（2）若二面角B 1−AB −P 的大小为π3，求λ的值．20. 已知点P(1,−32)在椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上，椭圆C的左焦点为(−1, 0)（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 过点T(m, 0)交椭圆C 于M 、N 两点，AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，且MN // AB ，问是否存在正数m ，使|AB|2|MN|为定值？若存在，请求m 的值；若不存在，请说明理由．21. 已知函数f(x)=(2x+2)lnx+2ax2+5．（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）设a<−1，若对任意不相等的正数x1，x2，恒有|f(x1)−f(x2)x1−x2|≥8，求实数a的取值范围．本小题为选做题，有22、23、24三题供考生选择，请人选一题作答【选修4-1：几何证明选讲】22. 【选修4−1：几何证明选讲】如图，梯形ABCD内接于圆O，AD // BC，且AB=CD，过点B引圆O的切线分别交DA、CA 的延长线于点E、F．（1）求证：CD2=AE⋅BC；（2）已知BC=8，CD=5，AF=6，求EF的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】23. 在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线C:ρsin2θ=2acosθ(a>0)，过点P(−2, −4)的直线l的参数方程为{x=−2+√2ty=−4+√2t.（t为参数）．直线l与曲线C分别交于M、N．若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列，求实数a的值．【选修4-5：不等式选讲】24. 已知函数f(x)＝log2(|x+1|+|x−2|−m)．（1）当m＝7时，求函数f(x)的定义域；（2）若关于x的不等式f(x)≥2的解集是R，求m的取值范围．2015年河南省中原名校高考数学模拟试卷（理科）答案1. B2. C3. D4. A5. B6. B7. D8. C9. C 10. D 11. C 12. A 13. 1 14. 16π15. b <a <c 16. ①④17. 解：(1)acosC =(2b −c)cosA ， 即为acosC +ccosA =2bcosA ，由正弦定理可得sinAcosC +sinCcosA =2sinBcosA ， sin(A +C)=2sinBcosA , 即sinB =2sinBcosA ， ∵ B ∈(0, π), ∴ sinB ≠0, ∴ cosA =12.∵ A ∈(0, π), ∴ A =π3.(2)由于A =π3，则B +C =2π3，可设B =π3−α，C =π3+α，由正弦定理可得b =2√2sinB ，c =2√2sinC ， 则△ABC 的面积S =12bcsinA =4sinBsinC ⋅√32=2√3sin(π3−α)sin(π3+α)=2√3(√32cosα−12sinα)(√32cosα+12sinα)=2√3(34−sin 2α)≤2√3×34=3√32． 当sinα=0，即有B =C =π3，S 取得最大值，且为3√32． 18. 解：（1）由已知P 1，P 2为方程5x 2−3x +a =0的两根，∴ 得{P 1+P 2+P 3=1P 1+P 2=35P 2=P 3，解得：P 1=15，P 2=25，P 3=25．（2）ξ的可能取值为200，250，300，350，400 P(ξ=200)=15×15，P(ξ=250)=2×15×25=425，P(ξ=300)=2×15×25+25×25=825，P(ξ=350)=2×25×25=825， P(ξ=400)=25×25=425随机变量ξ的分布列为∴ 所求的数学期望为：Eξ=200×125+250×425+300×825+350×825+400×425=320(瓶)19. 以点A 为坐标原点，AB ，AC ，AA 1分别为x ，y ，z 轴， 建立空间直角坐标系，设CC 1＝m ，则B 1(3, 0, m)， B(3, 0, 0)，P(0, 4, λm)，所以AB 1→=(3,0,m)，PB →=(3,−4,−λm)，AB →=(3,0,0)，…2分 当λ=12时，有AB 1→⋅PB →=(3,0,m)⋅(3,−4,−12m)=0 解得m =3√2，即棱CC 1的长为3√2．…4分 设平面PAB 的一个法向量为n 1→=(x, y, z)， 则由{AB →⋅n 1→=0PB →⋅n 1→=0，得{3x =03x −4y −3√2λz =0 ，即{x =04y +3√2λz =0，令z ＝1，则y =−3√2λ4， 所以平面PAB 的一个法向量为n 1→=(0,−3√2λ4,1)，…6分 又平面ABB 1与y 轴垂直，所以平面ABB 1的一个法向量为n 2→=(0,1,0)， 因二面角B 1−AB −P 的平面角的大小为π3，所以|cos <n 1→,n 2→>|=12=−3√2λ4(3√2λ4)，结合λ>0，解得λ=2√69．…10分．20. 解：（1）椭圆C 的左焦点为(1, 0)，∴ c =1，椭圆C 的右焦点为(−1, 0) 可得2a =√(1+1)2+(−32)2+√(1−1)2+(−32)2=52+32=4，解得a =2，…∴ b 2=a 2−c 2=4−1=3， ∴ 椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1…（2）设直线l:y =k(x −m)，且M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，由{x 24+y 23=1y =k(x −m)得(3+4k 2)x 2−8k 2mx +4k 2m 2−12=0， ∴ x 1+x 2=8k 2m3+4k 2，x 1x 2=4k 2m 2−123+4k 2…∴ |MN|=3+4k 2˙…由{x 24+y 23=1y =kx得x 2=123+4k 2设A(x 3, y 3)，B(x 4, y 4) 得|AB|=√1+k 2|x 3−x 4|得|AB|2=48(1+k 2)3+4k 2…而64k 4m 2−16(3+4k 2)(k 2m 2−3)=16[(12−3m 2)k 2+9] ∴ 当12−3m 2=9即m =1时|AB|2|MM|=4为定值，当k 不存在时，定值也为4，∴ m =1… 21. 解：（1）f(x)的定义域为(0, +∞)， f′(x)=2a+2x+4ax =2(2ax 2+a+1)x，当a ≥0时，f′(x)>0，故f(x)在(0, +∞)单调递增， 当a ≤−1时，f′(x)<0， 故f(x)在(0, +∞)单调递减；当−1<a <0时，令f′(x)=0，解得x =√−a+12a．即x ∈(0, √−a+12a)时，f′(x)>0；x ∈(√−a+12a, +∞)时，f′(x)<0；故f(x)在(0, √−a+12a)单调递增，在(√−a+12a, +∞)单调递减；（2）不妨设x 1<x 2，而a <−1， 由（1）知f(x)在(0, +∞)单调递减， 从而对任意x 1、x 2∈(0, +∞)， 恒有|f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2|≥8，即|f(x 1)−fx 2|≥8|x 1−x 2| f(x 1)−f(x 2)≥8(x 2−x 1) f(x 1)+8x 1≥f(x 2)+8x 2 令g(x)=f(x)+8x ，则g′(x)=2a+2x+4ax +8原不等式等价于g(x)在(0, +∞)单调递减， 即a+1x+2ax +4≤0，从而a ≤−4x−12x 2+1=(2x−1)22x 2+1−2，故a 的取值范围为(−∞, −2]． 22. 解：（1）因为AD // BC ，所以∠EAB =∠ABC ． 又因为FB 与圆O 相切于点B ， 所以∠EBA =∠ACB ， 所以△EAB ∽△ABC ， 所以AE BA=AB BC，即AB 2=AE ⋅BC ，因为AB =CD ，所以CD 2=AE ⋅BC ．（2）因为AB 2=AE ⋅BC ，BC =8，CD =5，AF =6，AB =CD ， 所以AE =AB 2BC=258，因为AD // BC ，所以∠FAE =∠ACB ， 又因为∠EBA =∠ACB ，所以∠FAE =∠EBA ，∠F =∠F ， 所以△FEA ∽△FAB ， 所以AE AB=EF AF，所以EF =AEAB ⋅AF =154．23. 解：由曲线C:ρsin 2θ=2acosθ(a >0)，化为ρ2sin 2θ=2aρcosθ，可得直角坐标方程为y 2=2ax (a >0)，将直线l 的参数方程化为标准形式{x =−2+√22t′y =−4+√22t′.(t′为参数)，代入曲线C 的直角坐标方程得：12t′2−(4√2+√2a)t′+16+4a =0，∵ 直线与曲线交于两点，∴ △>0，即a>0或a<−4．设交点M，N对应的参数分别为t1′，t2′．则t1′+t2′=2(4√2+√2a)，t1′t2′=2(16+4a)．若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列，则|t1′−t2′|2=|t1′t2′|，解得a=1或a=−4（舍）所以满足条件的a=1．24. 由题设知：|x+1|+|x−2|>7，不等式的解集是以下不等式组解集的并集：{x≥2x+1+x−2>7，或{−1≤x<2x+1+2−x>7，或{x<1−x−1−x+2>7，解得函数f(x)的定义域为(−∞, −3)∪(4, +∞)．不等式f(x)≥2即|x+1|+|x−2|≥m+4，∵ x∈R时，恒有|x+1|+|x−2|≥|(x+1)−(x−2)|＝3，不等式|x+1|+|x−2|≥m+4解集是R，∴ m+4≤3，m的取值范围是(−∞, −1]．。
河南省中原名校高三数学上学期第二次联考试卷 理(含解析)
河南省中原名校2015届高三上学期第二次联考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分，每小题只有一个选项符合题意）1．（5分）已知i是虚数单位，使（1+i）n为实数的最小正整数n为（）A．2 B．4 C．6 D．82．（5分）设U=R，集合A={y|y=，x＞1}，B={﹣2，﹣1，1，2}，则下列结论正确的是（）A．A∩B={﹣2，﹣1} B．（∁U A）∪B=（﹣∞，0）C．A∪B=（0，+∞）D．（∁U A）∩B={﹣2，﹣1}3．（5分）在抽查某批产品尺寸的过程中，样本尺寸数据的频率分布表如下，则m等于（）A．10 B．20 C．30 D．404．（5分）已知α，β是两个不同的平面，l，m，n是不同的直线，则正确命题为（）A．若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥αB．若l∥m，m⊂α，则l∥αC．若α⊥β，α∩β=l，m⊂α，m⊥l，则m⊥βD．若α⊥β，l⊥α，则l∥β5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±2x B．y=±x C．±x D．y=±x6．（5分）在△ABC中，点P在BC上，且，点Q是AC的中点，若，，则=（）A．（﹣2，7）B．（﹣6，21）C．（2，﹣7）D．（6，﹣21）7．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．8．（5分）下列说法中，不正确的是（）A．“|x|=|y|”是“x=y”的必要不充分条件B．命题p：∀x∈R，sinx≤1，则￢p：∃x∈R，sinx＞1C．“λ≤2”是“数列a n=n2﹣λn+1（n∈N*）为递增数列”的充要条件D．命题p：所有有理数都是实数，q：正数的对数都是负数，则（￢p）∨（￢q）为真命题9．（5分）已知，则等于（）A．B．C．D．10．（5分）设x，y满足约束条件，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为7，则+的最小值为（）A．4 B．C．D．711．（5分）（1+ax+by）n展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243，不含y的项的系数绝对值的和为32，则a，b，n的值可能为（）A．a=2，b=﹣1，n=5 B．a=﹣2，b=﹣1，n=6C．a=﹣1，b=2，n=6 D．a=1，b=2，n=512．（5分）已知函数f（x）=1+x﹣+﹣+…+，g（x）=1﹣x+﹣+…﹣，设F（x）=f（x+3）•g（x﹣4），且函数F（x）的零点均在区间（a＜b，a，b∈Z）内，则b ﹣a的最小值（）A．8 B．9 C．10 D．11二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）某算法的程序框如图所示，若输出结果为，则输入的实数x的值是．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=”）14．（5分）过球的一条半径的中点作垂直于这条半径的球的截面，则此截面面积是球表面积的．15．（5分）在△ABC中，D为BC中点，若cos∠BAD=，cos∠CAD=，则=．16．（5分）如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在函数f（x）的定义域，就有f（a），f（b），f（c）也是某个三角形的三边长，则称f（x）为“Л型函数”．那么下列函数：①f（x）=；②h（x）=lnx，x∈，∴A∩B={1，2}，（∁U A）∪B=（﹣∞，0]∪{1，2}，A∪B={﹣2，﹣1}∪（0，+∞），（∁U A）∩B={﹣2，﹣1}，故选：D．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．3．（5分）在抽查某批产品尺寸的过程中，样本尺寸数据的频率分布表如下，则m等于（）A．10 B．20 C．30 D．40考点：频率分布直方图．专题：计算题．分析：根据图中各组的频率之和等于1及频率的计算公式，结合题意可得a值，再由频率的计算公式可得其频率，进而可得答案．解答：解：∵频率、频数的关系：频率=．∴∴a=0.1∵根据表中各组的频率之和等于1得，∴b=1﹣0.9=0.1，∴m=20．故选B．点评：本题考查读频数分布表的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，同时考查频率、频数的关系：频率=．4．（5分）已知α，β是两个不同的平面，l，m，n是不同的直线，则正确命题为（）A．若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥αB．若l∥m，m⊂α，则l∥αC．若α⊥β，α∩β=l，m⊂α，m⊥l，则m⊥βD．若α⊥β，l⊥α，则l∥β考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：由线面位置关系，逐个选项验证可得．解答：解：A选项，当l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α时，需保证m和n相交时才有l⊥α，故A不正确；B选项，若l∥m，m⊂α，则l∥α或l⊂α，故B不正确；C选项，当α⊥β，α∩β=l，m⊂α，m⊥l，必有m⊥β，为平面与平面垂直的性质，故C 正确；D选项，当α⊥β，l⊥α，则l∥β或l⊂β，故D不正确．故选：C点评：本题考查空间中的线面位置关系，属基础题．5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±2x B．y=±x C．±x D．y=±x考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线的离心率求出c与a的关系，再根据a、b、c的关系求出的值即得渐近线的方程．解答：解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，即=，∴c=a；又∵c2=a2+b2，∴a2=a2+b2，∴a2=b2，∴=；∴双曲线的渐近线方程为y=±x．故选：B．点评：本题考查了双曲线的几何性质的应用问题，解题时应灵活利用双曲线的离心率、a、b、c的关系以及渐近线的方程，是基础题．6．（5分）在△ABC中，点P在BC上，且，点Q是AC的中点，若，，则=（）A．（﹣2，7）B．（﹣6，21）C．（2，﹣7）D．（6，﹣21）考点：数量积的坐标表达式．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的坐标形式的运算法则求出，利用向量共线的充要条件求出，利用向量共线的充要条件求出解答：解：=（﹣3，2）∵点Q是AC的中点∴∵=（﹣6，21）故选B点评：本题考查向量的运算法则、向量共线的充要条件：⇔7．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图可知该几何体，是过一正三棱柱的上底面一边作截面，截去的部分为三棱锥，利用间接法求出其体积．解答：解：由三视图可知该几何体，是过一正三棱柱的上底面一边作截面，截去的部分为三棱锥，而得到的几何体．原正三棱锥的底面边长为2，高为2，体积V1=Sh=×2=2．截去的三棱锥的高为1，体积V2=×1=故所求体积为V=V1﹣V2=故选A．点评：本题考查三视图求几何体的体积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解题的关键8．（5分）下列说法中，不正确的是（）A．“|x|=|y|”是“x=y”的必要不充分条件B．命题p：∀x∈R，sinx≤1，则￢p：∃x∈R，sinx＞1C．“λ≤2”是“数列a n=n2﹣λn+1（n∈N*）为递增数列”的充要条件D．命题p：所有有理数都是实数，q：正数的对数都是负数，则（￢p）∨（￢q）为真命题考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：A，C两个选项是判断充要性的问题，一看能否由已知推出结论，二看能否逆推回来，然后综合判断条件是结论的什么条件．对于B，是全称命题的否定，一是变量词，二是否结论；对于D，先判断命题p，q的真假，然后再判断结论中“或命题”的真假．解答：解：对于A．若|x|=|y|则x=±y，所以前者是后者的不充分条件，反之若x=y，则|x|=|y|，所以前者是后者的必要条件．故A为真命题；对于B．根据全称命题的否定方法可知，B为真命题；对于C．若数列a n=n2﹣λn+1（n∈N*）为递增数列，则只要，即λ≤3，就可以使数列{a n}为递增数列，此时不一定有λ≤2成立，故C为假命题；对于D．因为p为真，q为假，则￢p为假，￢q为真，根据或命题的真假规律方法可知（￢p）∨（￢q）为真命题，故D为真命题．故选C．点评：本题考查了全称命题的否定、简单复合命题的真假判断以及条件的充分必要性的判断方法，属于基础题．9．（5分）已知，则等于（）A．B．C．D．考点：同角三角函数基本关系的运用．分析：先将sin（）用两角和正弦公式化开，然后与sinα合并后用辅角公式化成一个三角函数，最后再由三角函数的诱导公式可得答案．解答：解：∵sin（）+sinα=sinα++sinα==﹣∴∴sin（）=﹣∵cos（α+）=cos（）=﹣sin（）=故选D．点评：本题主要考查两角和的正弦公式和三角函数的诱导公式．三角函数部分公式比较多，容易记混，对公式一定要强化记忆．10．（5分）设x，y满足约束条件，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为7，则+的最小值为（）A．4 B．C．D．7考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=ax+by对应的直线进行平移，可得当x=3，y=4时，z最大值为3a+4b=7．然后利用常数代换结合基本不等式，可得当且仅当a=b=1时，+的最小值为7．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，0），B（0，1），C（3，4）设z=F（x，y）=ax+by（a＞0，b＞0），将直线l：z=ax+by进行平移，当l经过点C时，目标函数z达到最大值∴z最大值=F（3，4）=3a+4b=7，可得（3a+4b）=1因此，+=（3a+4b）（+）=（25+）∵≥2=24∴（25+24）≥×49=7，即当且仅当a=b=1时，+的最小值为7故选：D点评：本题给出二元一次不等式组，在已知目标函数z=ax+by最大值为7的情况下求+的最小值．着重考查了运用基本不等式求最值和简单的线性规划等知识，属于中档题．11．（5分）（1+ax+by）n展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243，不含y的项的系数绝对值的和为32，则a，b，n的值可能为（）A．a=2，b=﹣1，n=5 B．a=﹣2，b=﹣1，n=6C．a=﹣1，b=2，n=6 D．a=1，b=2，n=5考点：二项式系数的性质．分析：据（1+ax+by）n展开式中不含x的项是n个（1+ax+by）都不出ax即（1+ax+by）n 展开式中不含x的项的系数绝对值的和就是（1+by）n展开式中系数绝对值的和，同样的道理能得不含y的项的系数绝对值的和，列出方程解得．解答：解：不含x的项的系数的绝对值为（1+|b|）n=243=35，不含y的项的系数的绝对值为（1+|a|）n=32=25，∴n=5，，将各选项的参数取值代入验证知，a=1，b=2，n=5故选D．点评：利用分步乘法原理得展开式中各项的情况．12．（5分）已知函数f（x）=1+x﹣+﹣+…+，g（x）=1﹣x+﹣+…﹣，设F（x）=f（x+3）•g（x﹣4），且函数F（x）的零点均在区间（a＜b，a，b∈Z）内，则b ﹣a的最小值（）A．8 B．9 C．10 D．11考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：利用导数分别求出函数f（x）、g（x）的零点所在的区间，然后要求F（x）=f（x+3）•g（x﹣4）的零点所在区间，即求f（x+3）的零点和g（x﹣4）的零点所在区间，根据图象平移即可求得结果．解答：解∵f（0）=1＞0，f（﹣1）=1﹣1﹣﹣…﹣＜0，∴函数f（x）在区间（﹣1，0）内有零点；当x∈（﹣1，0）时，f′（x）=＞0，∴函数f（x）在区间（﹣1，0）上单调递增，故函数f（x）有唯一零点x∈（﹣1，0）；∵g（1）=1﹣1+﹣+…﹣＞0，g（2）=1﹣2+﹣+…+﹣＜0．当x∈（1，2）时，f′（x）=﹣1+x﹣x2+x3﹣…+x2013﹣x2014=＞0，∴函数g（x）在区间（1，2）上单调递增，故函数g（x）有唯一零点x∈（1，2）；∵F（x）=f（x+3）•g（x﹣4），且函数F（x）的零点均在区间（a＜b，a，b∈Z）内，∴f（x+3）的零点在（﹣4，﹣3）内，g（x﹣4）的零点在（5，6）内，因此F（x）=f（x+3）•g（x﹣3）的零点均在区间内，∴b﹣a的最小值为10．故选：C点评：本题考查函数零点判定定理和利用导数研究函数的单调性以及数列求和问题以及函数图象的平移，体现了分类讨论的思想，以及学生灵活应用知识分析解决问题的能力．属于中档题二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）某算法的程序框如图所示，若输出结果为，则输入的实数x的值是．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=”）考点：选择结构．专题：阅读型．分析：本题考查条件结构，先根据算法语句写出分段函数，然后讨论x与1的大小选择相应的解析式，根据函数值求出自变量即可．解答：解：根据条件语句可知是计算y=，当x＞1，时log2x=，解得：x=，当x≤1，时x﹣1=，解得：无解，故答案为：．点评：本题主要考查了条件结构，以及分段函数和根据函数值求出自变量的问题，，如果将程序摆在我们的面前时，我们要从识别逐个语句，整体把握，概括程序的功能，同时考查了分类讨论的思想，属于基础题．14．（5分）过球的一条半径的中点作垂直于这条半径的球的截面，则此截面面积是球表面积的．考点：球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：利用球的半径，球心与截面圆的圆心的距离，求出截面圆的半径，截面面积和球的表面积，即可得到选项．解答：解：设球的半径为2，则球心与截面圆的圆心的距离为1；截面圆的半径为；所以截面圆的面积为3π；球的表面积为16π，所以截面面积是球表面积的．故答案为：点评：本题考查球的表面积，截面圆的面积，考查学生的计算能力，空间想象能力，属于常考题．15．（5分）在△ABC中，D为BC中点，若cos∠BAD=，cos∠CAD=，则=．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：由cos∠BAD与cos∠CAD的值求出sin∠BAD与sin∠CAD的值，利用两角和与差的余弦函数公式求出cos∠BAC的值，确定出∠BAC的度数，由D为BC的中点，利用等底同高的两个三角形面积相等得到三角形ABD与三角形ACD面积相等，利用三角形面积公式列出关系式，整理得到AC=AB，在三角形ABC中，利用余弦定理列出关系式，整理得到AB=BC，即三角形ABC为等腰直角三角形，进而求出AC与AD的长，即可求出所求之比．解答：解：∵cos∠BAD=，cos∠CAD=，∴sin∠BAD=，sin∠CAD=，∴cos∠BAC=cos（∠BAD+∠CAD）=cos∠BADcos∠CAD﹣sin∠BADsin∠CAD=×﹣×=，∴∠BAC=45°，由D为BC的中点，得到S△ABD=S△ACD，即AB•ADsin∠BAD=AC•ADsin∠CAD，整理得：AC=AB，在△A BC中，利用余弦定理得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcos∠BAC=AB2+2AB2﹣2AB2，即BC=AB，∴△ABC为等腰直角三角形，即∠ABC=90°，设AB=BC=2，则有BD=CD=1，AD=，AC=2，则==，故答案为：点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．16．（5分）如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在函数f（x）的定义域，就有f（a），f（b），f（c）也是某个三角形的三边长，则称f（x）为“Л型函数”．那么下列函数：①f（x）=；②h（x）=lnx，x∈分析：利用定义能判断①②为“Л型函数”，通过举反例能推导出③④不为为“Л型函数”．解答：解：在①中，任给三角形，设它的三边长分别为a，b，c，则a+b＞c，不妨假设a≤c，b≤c，由于＞，所以f（x）=为“Л型函数”，故①正确；在②中，任给三角形，设它的三边长分别为a，b，c，则a+b＞c，不妨假设a≤c，b≤c，由于lna+lab=ln（ab）＞lnc，所以h（x）=lnx，x∈；所以，随机变量X的分布列为：其数学期望．点评：求离散型随机变量期望的步骤：①确定离散型随机变量的取值．②写出分布列，并检查分布列的正确与否．③求出期望．19．（12分）如图，正方形ABCD所在平面与圆O所在平面相交于CD，线段CD为圆O的弦，AE垂直于圆O所在平面，垂足E是圆O上异于C、D的点，AE=3，圆O的直径为9．（1）求证：平面ABCD⊥平面ADE；（2）求二面角D﹣BC﹣E的平面角的正切值．考点：平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．专题：计算题；证明题．分析：（1）欲证平面ABCD⊥平面ADE，根据面面垂直的判定定理可知在平面ABCD内一直线与平面ADE垂直，易证CD⊥平面ADE，从而得到结论；（2）过点E作EF⊥AD于点F，作FG∥AB交BC于点G，连接GE，根据二面角平面角的定义可知∠FGE是二面角D﹣BC﹣E的平面角，在Rt△EFG中，求出此角的正切值即可．解答：（1）证明：∵AE垂直于圆O所在平面，CD在圆O所在平面上，∴AE⊥CD．在正方形ABCD中，CD⊥AD，∵AD∩AE=A，∴CD⊥平面ADE．∵CD⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面ADE．（2）∵CD⊥平面ADE，DE⊂平面ADE，∴CD⊥DE．∴CE为圆O的直径，即CE=9．设正方形ABCD的边长为a，在Rt△CDE中，DE2=CE2﹣CD2=81﹣a2，在Rt△ADE中，DE2=AD2﹣AE2=a2﹣9，由81﹣a2=a2﹣9，解得，．∴．过点E作EF⊥AD于点F，作FG∥AB交BC于点G，连接GE，由于AB⊥平面ADE，EF⊂平面ADE，∴EF⊥AB．∵AD∩AB=A，∴EF⊥平面ABCD．∵BC⊂平面ABCD，∴BC⊥EF．∵BC⊥FG，EF∩FG=F，∴BC⊥平面EFG．∵EG⊂平面EFG，∴BC⊥EG．∴∠FGE是二面角D﹣BC﹣E的平面角．在Rt△ADE中，，AE=3，DE=6，∵AD•EF=AE•DE，∴．在Rt△EFG中，，∴．故二面角D﹣BC﹣E的平面角的正切值为．点评：本小题主要考查空间线面关系、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．20．（12分）设Q是直线y=﹣1上的一个动点，O为坐标原点，过Q作x轴的垂线l，过O 作直线OQ的垂线交直线l于P．（1）求点P的轨迹C的方程．（2）过点A（﹣2，4）作圆B：x2+（y﹣2）2=1的两条切线交曲线C于M、N两点，试判断直线MN与圆B的位置关系．考点：圆与圆锥曲线的综合；轨迹方程；直线与圆的位置关系．专题：综合题．分析：（1）设P（x，y），则Q（x，﹣1），由OP⊥OQ得，由此能得到P点的轨迹C的方程．（2）设过点A（﹣2，4）的直线为y=k（x+2）+4，把直线方程y=k（x+2）+4代入抛物线方程y=x2得x2﹣kx﹣2k﹣4=0可得另一个根为x'=k+2，由相切知3k2+8k+3=0．由根与系数的关系能导出直线MN的方程为4x﹣3y+1=0，由此知直线MN与圆B相切．解答：解：（1）设P（x，y），则Q（x，﹣1），由OP⊥OQ，得，由此能得到P点的轨迹C的方程为x2=y．（2）：设过点A（﹣2，4）的直线为y=k（x+2）+4，把直线方程y=k（x+2）+4代入抛物线方程y=x2．得x2﹣kx﹣2k﹣4=0，可得另一个根为x'=k+2，由相切知3k2+8k+3=0．设k1，k2是方程的两个根，由根与系数的关系能导出直线MN的方程为4x﹣3y+1=0，由此知直线MN与圆B相切．点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，解题时要注意公式的合理运用．21．（12分）已知函数f（x）=（2ax﹣x2）e ax，其中a为常数，且a≥0．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值点；（Ⅱ）若函数f（x）在区间上单调递减，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．专题：综合题；压轴题；转化思想．分析：（I）由题意把a代入，先使得函数解析式具体，再利用函数在定义域下导函数随自变量x的范围不同其正负符号也不同，得到函数f（x）的单调性的判断，从而零用极值的定义得到函数的极值；（II）由题意等价转化为函数在区间上恒成立问题，最终归结为求函数在定义域下求最值．解答：解法一：（Ⅰ）依题意得f（x）=（2x﹣x2）e x，所以f'（x）=（2﹣x2）e x，令f′（x）=0，得x=±，当时，f′（x）＜0，函数f（x）在此区间单调递减；当x∈时，f′（x）＞0，函数f（x）在此区间上单调递增；当x∈时，f′（x）＜0，函数f（x）在此区间上单调递减；由上可知，x=﹣是函数f（x）的极小值点，x=是函数f（x）的极大值点．（Ⅱ）f'（x）=e ax，由函数f（x）在区间上单调递减可知：f′（x）≤0对任意恒成立，当a=0时，f′（x）=﹣2x，显然f'（x）≤0对任意恒成立；当a＞0时，f′（x）≤0等价于ax2﹣（2a2﹣2）x﹣2a≥0，因为，不等式ax2﹣（2a2﹣2）x﹣2a≥0等价于x﹣令g（x）=x﹣则g'（x）=1+，在上显然有g′（x）＞0恒成立，所以函数g（x）在单调递增，所以g（x）在上的最小值为由于f′（x）≤0对任意恒成立等价于x﹣对任意恒成立，需且只需g（x）min≥，即0≥，解得﹣1≤a≤1，因为a＞0，所以0＜a≤1．综合上述，若函数f（x）在区间上单调递减，则实数a的取值范围为0≤a≤1．点评：（I）此题考查了利用导函数求其函数的单调增减区间，还考查了求解一元二次不等式；（II）此题首先考查了数学常考的等价转化的数学思想，还考查了函数在定义域下恒成立问题的实质为求函数在定义域下的最值．请考生在22,23,24题中任选一题作答，如果多做，则按22题计分。
2015-2016学年河南郑州高三上学期期中联考试卷及答案
2015—2016学年上学期期中联考高中三年级数学（理）注意事项：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分。
考生首先阅读答题卷上的文字信息, 然后在机读卡上作答第Ⅰ卷、答题卷上作答第Ⅱ卷，在试题卷上作答无效。
交卷时只交机读卡和答题卷。
第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{|A x y==，且A B B=，则集合B可能是（A）{1,2,3}（B）{|11}x x-<<（C）{2,2}-（D）R（2）如图所示，在复平面内，点A对应的复数为z，则复数2z=（A）34i--（B）54i+（C）54i-（D）34i-（3）已知命题1:0,2p x xx∀>+≥，则p⌝为（A）10,2x xx∀>+<（B）10,2x xx∀≤+<（C）10,2x xx∃≤+<（D）10,2x xx∃>+<（4）函数)(xf的导数为)(xf'.命题P: 若函数)(xf在区间),(ba内无极值点,则)(xf'在区间),(ba内无零点. 命题P的逆命题,否命题,逆否命题中,正确的个数是（A）0 （B）1 （C）2 （D）3（5）由曲线1=xy，直线3,==yxy所围成的平面图形的面积为（A）4－ln 3 （B）2－ln 3 （C）4＋ln 3 （D）329（6）数列{}n a的前n项和为n S，11a=，23a=，且21n n na a a++=-（*∈Nn），则2015S=（A）1342 （B）1344 （C）1346 （D）1348（7）下列函数中,既是奇函数又在区间]2,2[-上单调递增的是（A）xxf sin)(=（B）)1,0(,)(≠>+=-aaaaxf xx（C）xxxf-+=33ln)(（D）)1,0(,)(≠>-=-aaaaxf xx（8）设α是第三象限角，53sin)sin(cos)cos(-=+-+ββαββα，则=2tanα（A）-3 （B）-2 （C）2 （D）3（9）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,并且对任意的正整数n 成立243n n S S +=+,则2a = （A ）2（B ）6 （C ）2或6 （D ）2或6-（10）设,a b是两个非零的平面向量，给出下列说法①若0=∙b a ，则有||||a b a b +=-；②||||||=∙；③若存在实数λ，使得a b λ= ，则||||||a b a b +=+ ；④若||||||a b a b +=+，则存在实数λ，使得a b λ= .其中说法正确的个数是（A ） 1（B ） 2 （C ）3（D ） 4（11）设2log ,3.0log ,5.0log 3.025===c b a ，则 （A ）b a c <<（B ）b c a <<（C ）c b a <<（D ）a b c <<（12已知方程sin x k x=在(0,)+∞有两个不同的解,αβ（αβ<），则下面结论正确的是（A ）1tan()41πααα++=- （B ）1tan()41πααα-+=+（C ）1tan()41πβββ++=- （D ）1tan()41πβββ-+=+ 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
河南省八市重点高中2024-2025学年高一上学期11月期中质量检测数学答案
2025 届高三10 月诊断性测试数学 参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对但不全的得3分，有错选的得0分．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．a n =4n13． 14．2四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）解：（1）由余弦定理知：()225214cos b c bc A +=+，又3,cos 4b c A ==，代入等式中可得：10213bc bc =+，即得3bc =，所以b c == ······································································· 4分所以ABC ∆的面积为13sin 2248bc A =⨯=············································· 5分 （2）因为D 为线段BC 的中点，所以()12AD AB AC =+ ，两边平方得：()22212cos 4x b c bc A =++，由余弦定理可得：2222cos bc A b c a =+−， 代入上式得：()22221224x b c a =+−， 再由()2222321a b c ++=，可得221267a x =−，222837b c x +=+ ·················· 10分因为A 为钝角，所以222a b c >+，可得221286377x x −>+，解得0x <<．所以，x的取值范围为010x x ⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭····················································· 13分 16．（15分）解：（1）因为AD ⊥平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以AD AB ⊥，由2,1,AC BC AB ===222AC AB BC =+，所以BC AB ⊥， 所以在平面四边形ABCD 中，由,AD AB BC AB ⊥⊥，可得AD BC ，因为AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， 所以AD平面PBC ·················································································· 6分（2）【方法一】因为PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂底面ABCD ，所以PA CD ⊥，因为,AD CD PAAD A ⊥=，所以CD ⊥平面PAD ，可得CD PD ⊥，即90PDC ∠=︒．以直线DA 为x 轴，直线DC 为y 轴，过点D 且垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示： ························································ 8分 设,AD a DC b ==，则()()()()0,0,0,,0,0,0,,0,,0,2D A a C b P a ，在坐标平面xDz 中，直线DP 的法向量就是平面PDC 的法向量，可得其中一个法向量为()12,0,n a =−．设平面PAC 的一个法向量为()2,,n x y z =，则220n AP n CP ⋅=⋅=， 而()()0,0,2,,,2AP CP a b ==−，可得0,0z ax by =−=．令x b =，则y a =，得()2,,0n b a = ··························································· 12分所以12cos ,n n <>=依题可知，12cos ,3n n <>=()()22224134b a b a =++， 因为2224a b AC +==，所以22183b b =−，解得22b =，则22a =，得AD = ············································································ 15分x【方法二】设点A 到平面PCD 的距离为1d ，点A 到直线PC 的距离为2d ，二面角A CP D −−的平面角为θ，则由二面角的平面角定义知12sin d d θ=．由题意计算可得2d =3=1d = 由等体积公式可得11133ACD PCD S PA S d ∆∆⋅⋅=⋅⋅，即3AD CD PD CD ⋅=⋅，得PD =．因为222222,PC PD CD CD AC AD =+=−， 所以22834AD AD =+−，得AD =17．（15分） 解：（1）由离心率为12，11,BF a OF c ==，可得1112OF BF =则160BFO ∠=︒，可得12BF F ∆若直线l 垂直1BF ，则直线l 垂直平分线段1BF BDE ∆与1F DE ∆全等，那么1F DE ∆的周长为8．由椭圆定义可知：12122,EF EF a DF DF +=+=所以1F DE ∆的周长为4a ，可得48a =，即2a =所以1c =，可得b =，则椭圆C 的方程为2243x y +（2）设l 的方程为1x my =+，则()22,G x y −可得直线DG 的方程为y −因为11221,x my x my =+=将它们代入直线方程中， 可得直线DG 的方程为：12y 可整理得：()()()121212122y y x my y y y y m y y +−−+=− （*） ···································· 10分联立方程22143x y ⎧+=⎪⎨⎪ ，得：()2234690m y my ++−=，则12122269,3434m y y y y m m −+=−=++， 可得121223y y m y y +=，()121223my y y y =+， 将其代入（*）式中，可得直线DG 的方程为：()()()1212124y y x y y y m y y +−+=−()()()2126434x m y y −=−+−， 可见直线DG 过定点()4,0，所以直线DG 过定点，定点坐标为()4,0 ······················································· 15分18．（17分）解：（1）若1a =−，则()sin f x x x =−+，得()1cos 0f x x '=−+≤，可知()f x 在[]0,π单调递减，可得()()0f x f ≤，而()00f =，所以()0f x ≤ ········································································ 3分 （2）依题意，必须()0f π≤，即0a π≤，可得0a ≤，求导得()cos f x a x '=+．若1a ≤−，则()0f x '≤，得()f x 在[]0,π单调递减，则()()0f x f ≤，而()00f =，则()0f x ≤成立 ············································ 5分 若10a −<≤，由于()f x '在[]0,π单调递减，而()010f a '=+>，()10f a 'π=−<， 可知()f x '在[]0,π内有唯一零点，记为1x ，当10x x ≤<时，()0f x '>，可知()f x 在[)10,x 单调递增，可得()()100f x f >=， 这与()0f x ≤对任意[]0,x ∈π恒成立矛盾，所以10a −<≤不能成立，综上，实数a 的取值范围为(],1−∞− ······························································ 8分 （3）有()()[]1sin ln 1,0,g x x x x x a=+−+∈π， 观察知：()00g =，可见0x =是()g x 的一个零点．下面我们考虑()g x 在(]0,π内的零点情况 ······················································· 9分当(]0,x ∈π时，若0a >，则1sin 0x a ≥，可得1sin x x x a+≥， 令()()(]ln 1,0,F x x x x =−+∈π，则()01xF x x '=>+，得()F x 在(]0,π单调递增，可得()()00F x F >=，即()ln 1x x >+， 那么()1sin ln 1x x x a+>+，即()0g x >，故当0a >时，函数()g x 在(]0,π内无零点 ··················································· 12分若0a <，则()111cos 1g x x a x '=+−+， ①当,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦时，cos 0x <，则1cos 0x a >，而1101x −>+，可得()0g x '>；②当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()()211sin 01g x x ax ''=−+>+，可得()g x '在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦单调递增，因为()1200,1022g g a π⎛⎫''=<=−> ⎪π+⎝⎭， 所以()g x '在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦内有唯一零点，记为2x ，当20x x <<时，()0g x '<；当22x x π<≤时，()0g x '>，综合①②，()g x 在()20,x 单调递减，在(]2,x π单调递增．因为()00g =，所以()20g x <，又由()ln 1x x >+可得()()ln 10g π=π−π+>， 所以()g x 在(]0,π内恰有1个零点．综上所述，当0a >时，()g x 有1个零点；当0a <时，()g x 有2个零点 ·········· 17分19．（17分）解：（1）据题中条件，列出赛制和甲获胜情况列联表如下：由计算公式得：()222220.080.1821.70.351m m mmK m m m m−==⨯⨯⨯， 若2 6.63551m≥，即169.1925m ≥，故若170m ≥时，根据小概率值0.010α=的2K 独立 性检验，推断赛制对甲获胜的场数有影响，此推断犯错误的概率小于0.010．若170m <，根据小概率值0.010α=的2K 独立性检验，没有证据认为赛制对甲获胜的场数有影响，此时赛制对甲获胜的场数没有影响 ·················································· 4分（2）依题意()()()2322223411P A p p C p p p C p p =+⋅−+⋅−()()33325433161261510p p p p p p p p p =+−+−+=−+，又有()()()()2334455555111P B C p p C p p C p p =−+−+−()()234510151p p p p p =−+−+54345510201055p p p p p p =−++−+54361510p p p =−+所以()()P A P B = ·········································································· 7分 （3）考虑赛满21n +局的情况，以赛完21n −局为第一阶段，第二阶段为最后2局．设“赛满21n +局甲获胜”为事件C ，结合第一阶段的结果，要使事件C 发生，有两种情况：第一阶段甲获胜，记为1A ；第一阶段乙获胜，且甲恰好胜了1n −局，记为2A ， 则12C AC A C =+，得：()()()12P C P AC P A C =+．若第一阶段甲获胜，即赛满21n −局甲至少胜n 局，有两类情况：甲至少胜1n +局和甲恰好胜n 局．第一类情况，无论第二阶段的2局结果如何，最终甲获胜；第二类情况，有可能甲不能获胜，这种情况是第二阶段的2局比赛甲均失败，其概率值为：()()122111n n nn C p p p −−−−，所以()()()()1212111n n nn P AC P n C p p p −−=−−−．若第一阶段乙获胜，且甲恰好胜了1n −局，那么要使甲最终获胜，第二阶段的2局比赛甲必须全部取胜，可得：()()()()112222211nn n n P A C P A P C A C pp p −−−==−，所以()()()()()()1211221211111n nn nn n n n P n P C P n C p p p C pp p −−−−−+==−−−+− ······················································ 14分可得()()()()()1211221211111nn n n n nn n P n P n C pp p C p p p −−−−−+−=−−−−()()11212111nn n n n n n n C pp C p p ++−−=−−−()()()2111nn n n C p p p p −=−−−()211212n n n n C p p p −⎛⎫=−− ⎪⎝⎭因为12p >，所以()2112102n n nn C p p p −⎛⎫−−> ⎪⎝⎭，可得()()1P n P n +>，综上：()()1P n P n +> ·································································· 17分。
河南省中原名校高三数学下学期第一次联考试卷 理(含解析)-人教版高三全册数学试题
中原名校2015-2016学年下期高三第一联考数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合{|20152016},{20161}A x x B x x =-≤≤=-<，则AB =（ ）A ．(2015,2016)B ．(2015,2016]C ．[2015,2016)D ．(2016,2015)- 2、函数()11sin 2tan cos 2223f x x x π=+的最小正周期为（ ） A ．2πB ．πC ．2πD ．4π 3、已知复数z 满足23(2)1234(i z i i i i +=+++为虚数单位），则z 的共轭复数是（ ） A ．6255i + B ．6255i - C ．6255i -+ D ．6255i -- 4、“5C =”是“点(2,1)到直线340x y C ++=的距离为3”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3737S S +=，则31119a a +=（ ） A ．47 B ．73 C ．37 D ．746、过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于,A B 两点，若OAB ∆的面积为133bc，则双曲线的离心率为（ ） A ．52 B ．53 C 13 D 13 7、某市中心购物商场在“双11”开展的“买三免一”促销 活动异常火爆，对当日8时至22时的销售额进行统计，以 组距为2小时的频率分布直方图如图所示，已知12:00时至16:00时的销售额为90万元，则10时至12时销售 为（ ）A ．120万元B ．100万元C ．80万元D ．60万元8、如图，在直角梯形ABCD 中，22,AB AD DC E ==为BC 边上一点，3,BC EC F =为AE 中点，则BF =（ ）A ．2133AB AD - B ．1233AB AD - C ．2133AB AD -+ D ．1233AB AD -+9、运行如图所示的程序，若输入x 的值为256， 则输出的y 值是（ ） A ．3 B ．-3C ．13 D ．13- 10、已知5511()()ax bx a b+-+的展开式中含2x 与3x 的项的系数的绝对值之比为1:6，则22a b +的最小值为（ ） A ．6 B ．9 C ．12 D ．1811、如图，1111ABCD A B C D -是边长为1的正方体，S ABCD -是高为1的正四棱锥，若点1111,,,,S A B C D 在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A ．916π B ．2516π C ．4916π D ．8116π 12、在数列{}n a 中，113,2n n a a a -==+ ） A ．数列{}n a 单调递减 B ．数列{}n a 单调递增 C ．数列{}n a 先递减后递增 D ．数列{}n a 先递增后递减第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
河南省顶级名校2015届高三入学定位考试数学(理)试题Word版含答案
河南省顶级名校2015届高三年级入学定位考试 理科数学试卷（时间：120分钟 满分：150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1、已知集合{}{}Rx y y N x x x M x ∈==≥=,2,2，则MN =（A ）(]0,1 （B ） ()0,1 （C ） [)0,1 （D ）[]0,12、 已知复数123+=i i z ，则z 的虚部是 （A ） 51 （B ） 51- （C ） i 51- （D ） 52-3、某学生在一门功课的22次考试中，所得分数如下茎叶 图所示，则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为 （A ）117 （B ）118 （C ） 118．5 （D ）119．54、已知双曲线221()my x m R -=∈与椭圆2215y x +=有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为 （A）y = （B）y x = （C ）13y x =± （D ）3y x =±5、有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）346、在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若112(2)m m m a a a m +-⋅=≥，数列{}n a 的前n 项积为n T ，若21512m T -=，则m 的值为（A ）4（B ）5（C ） 6（D ） 77、设偶函数)sin()(ϕω+=x A x f （,0>A )0,0πϕω<<>的部分图象如图所示， KLM ∆为等腰直角三角形，90KLM ∠=，1KL =，则1()6f 的值为（A ）43-（B ） 14- （C ）12-（D ） 438、执行如图中的程序框图，若输出的结果为21,则判断框中应填9、如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是 （A ）54 （B ）27 （C ）18（D ） 9（第8题图） （第9题图）10、抛物线24y x =的焦点为F ，点,A B 在抛物线上，且120AFB ∠=，弦AB 中点M 在其准线上的射影为N ，则MN AB的最大值为（A（B（C ）（D11、四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的表面上，⊥AB 平面BCD ，△BCD 是边长为3的等边三角形.若2=AB ，则球O 的表面积为（A ）322π（B ） π12 （C ） π16 （D ）π3212、 函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤++=)0(.)0(,132)(23x e x x x x f ax在]2,2[-上的最大值为2，则a 的取值范围是（A ）),2ln 21[+∞ （B ）]2ln 21,0[ （C ）)0,(-∞ （D ）]2ln 21,(-∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13、若点(,)P x y 满足线性约束条件20220,0x y x y y -<⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则 z x y =-的取值范围是 ． 14、若22()nx x -二项展开式中的第5项是常数项，则中间项的系数为 ． 15、设O 是ABC ∆的三边中垂线的交点,,,a b c 分别为角,,A B C 对应的边,已知2220b b c -+=,则BC AO ⋅uu u r uuu r的范围是___________．1212n n a a a a a a ⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+，就称A 为“复活集”，给出下列结论：①集合是“复活集”；②{}1212,,,a a R a a ∈若且是“复活集”，则124a a >；③{}*1212,,,a a N a a ∈若则不可能是“复活集”；④若*i a N ∈，则“复活集”A 有且只有一个，且3n =.其中正确的结论是___________________．（填上你认为所有正确的结论序号）三、解答题：本大题共6小题，共70 分，解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤． 17、 (本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 对的边分别为,,a b c ，已知2a =.（Ⅰ）若3A π=，求b c +的取值范围；（Ⅱ）若1AB AC ⋅=，求ABC ∆面积的最大值. 18、（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形， 60BAD ∠=，Q 是AD 的中点.（Ⅰ）若PA PD =，求证：PQB PAD ⊥平面平面；（Ⅱ）若平面APD ABCD ⊥平面，且2,PA PD AD ===点M 在线段PC上，试确定点M 的位置，使二面角M BQ C --的大小为60，并求出PMPC 的值.19、（本小题满分12分）生产A ，B 两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽（Ⅰ）试分别估计元件A 、元件B 为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件A ，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件元件B ，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元，在（Ⅰ）的前提下（i ）求生产5件元件B 所获得的利润不少于300元的概率；20、(本小题满分12分）椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，离心率为12，左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当AB F 2∆的面积为7212时，求直线的方程.21、（本小题满分12分）已知()1,()ln kxf x axeg x x kx =-=+ （Ⅰ）当1a =时，若()f x 在(1,)+∞上为减函数，()g x 在(0,1)上是增函数，求k 值； （Ⅱ）对任意0,0,()()k x f x g x >>>恒成立，求a 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22、（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 已知，在ABC ∆中，D 是AB 上一点，ACD ∆的外接圆交BC 于E ，2AB BE =．（Ⅰ）求证：2BC BD =；（Ⅱ）若CD 平分ACB ∠，且2,1AC EC ==，求BD 的长. 23、（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线()2:sin 2cos 0C a a ρθθ=>，已知过点()2,4P --的直线的参数方程为：()24x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩是参数，直线与曲线C 分别交于,M N ．（Ⅰ）写出曲线C 和直线的普通方程； （Ⅱ）若,,PM MN PN成等比数列，求a 的值．24、(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知函数()|1|f x x =-.(Ⅰ)解不等式:()(1)2f x f x +-≤；答题卷一、选择题二、填空题13.______________ 14.______________ 15.________________ 16.______________参考答案 一、选择题1-5 ABBAA 6-12 BDCCA CD二、填空题13、 [)2,0- 14、 160- 15、 1,24⎡⎫-⎪⎢⎣⎭16、 ①③④三、解答题17、 解：（1）2,,23sin a aA R A π==∴== ………（ 2分）2sin 2sin )32cos 4sin()6b c R B R C B C B B B B B ππ∴+=+=+=++=+=+2250333666A B C B B ππππππ=∴+=∴<<∴<+<1sin()(,1]62B π∴+∈.(2,4]b c ∴+∈ ………（ 6分）（2）1cos 1cos 0sin AB AC bc A A A bc ⋅==∴=>∴=……… （8分）22222222211sin 22ABCS bc A bc ∆∴===≤=当且仅当b c ==,ABC ∆. ……… （12分）18、 解：（1） PD PA =，Q 为AD 的中点，AD PQ ⊥∴， 又 底面ABCD 为菱形，︒=∠60BAD ，AD BQ ⊥∴ , 又Q BQ PQ = ∴⊥AD 平面PQB ，又 ⊂AD 平面PAD ,∴平面⊥PQB 平面PAD ;----------------6分（2） 平面⊥PAD 平面ABCD ,平面 PAD 平面AD ABCD =,AD PQ ⊥⊥∴PQ 平面ABCD .以Q 为坐标原点，分别以QP QB QA ,,为z y x ,,轴建立空间直角坐标系如图. 则)0,3,2(),0,3,0(),3,0,0(),0,0,0(-C B P Q , 设−→−−→−=PC PM λ(10<<λ),所以))1(3,3,2(λλλ--M ，平面CBQ 的一个法向量是1(0,0,1)n =，设平面MQB 的一个法向量为2n =),,(z y x ，所以2200QM n QB n −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩取2n =)3,0,233(λλ-，-----------------------------------------9分由二面角C BQ M --大小为︒60，可得：1212||12||||n n n n ⋅=，解得31=λ，此时31=PC PM --------------------------------12分19、解：（I ）由题可知元件A 为正品的概率为45，元件B 为正品的概率为34………（2分）（II ）（i ）设生产的5件元件B 中正品数为x ，则有次品5x -件，由题意知,,10020(5)300x x --≥,解得4,5x =，设“生产的5件元件B 所获得的利润不少于300元”为事件C ，45（ii ）随机变量X 的所有取值为150,90,30，-30 则433133411111(150),(90),(30),(30)54554205455420P X P X P X P X ==⨯===⨯===⨯==-=⨯= 所以随机变量X 的分布列为：所以，随机变量X 的期望为：3311()1509030(30)108520520E X =⨯+⨯+⨯+-⨯=……（12分）20、解：（1）因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以221914a b +=①，又因为离心率为12，所以12c a =，所以2234b a =②，解①②得224, 3.a b ==所以椭圆的方程为：22143x y +=……… （4分）（2）①当直线的倾斜角为2π时，33(1,),(1,),22A B --- 2121132322ABF S AB F F ∆=⨯=⨯⨯=≠……… （6分）②当直线的倾斜角不为2π时，设直线方程:(1)l y k x =+，代入22143x y +=得：2222(43)84120k x k x k +++-=………（7分） 设1122(,)(,)A x yB x y，则221212228412,,4343k k x x x x k k --+==++2121211122ABF S AB F F y y F ∆∴=⨯=-⨯==4221718011k k k k ∴+-=∴=∴=±，所以直线方程为：10x y -+=或10x y ++=……… （12分）21、解：（Ⅰ）当1a =时， ()1,kx f x xe =-1()(1),().kx f x kx e g x k x ''=+=+()f x 在(1,)+∞上为减函数，则1(1,),()0x f x k x '∀∈+∞≤⇔≤-，1k ∴≤-()g x 在(0,1)上是增函数，则1(0,1),()01x f x k k x '∀∈≥⇔≥-∴≥-1k ∴=- ……(6分)（Ⅱ）设()()()ln 1(0)kx h x f x g x axe x kx x =-=---> 则1()(1)()kx h x kx ae x '=+-，设1(),kx u x ae x =-则21()kx u x ake x '=+ （1）当0a ≤时，()0,()0u x h x '<<，所以()h x 在(0,)+∞上是减函数，()0h x >在(0,)+∞不恒成立； （2）当0a >时，21()0kx u x ake x '=+>，所以()u x 在(0,)+∞上是增函数，()u x 的函数值由负到正，必有00(0,),()0,x u x ∈+∞=即001kx ae x =，两边取自然对数得，00ln ln a kx x +=-， 所以，()h x 在0(0,)x 上是减函数，0(,)x +∞上是增函数，所以，0min 00000000()()1ln 11ln ln ln kx h x h x ax e x kx x kx x kx a ==---=---=--= 因此，ln 0a >，即a 的取值范围是(1,)+∞. ……(12分)22、解：（Ⅰ）连接DE ，∵四边形ACED 是圆的内接四边形，∴BDE BCA ∠=∠，又DBE CBA ∠=∠，∴DBE ∆∽CBA ∆， ∴BE BD AB BC =，又2AB BE =，∴2BC BD = ………………………(5分)（Ⅱ）由（Ⅰ）DBE ∆∽CBA ∆，知BE ED AB AC =，又2AB BE =，∴2AC DE =，∵2AC =，∴1DE =，而CD 是ACB ∠的平分线∴1DA =，设BD x =，根据割线定理得BD BA BE BC ⋅=⋅即()()()11111122x x x x ⎡⎤+=+++⎢⎥⎣⎦，解得1x =，即1BD = …………(10分)23、解：（Ⅰ）2,22-==x y ax y …………………(4分) （Ⅱ）直线的参数方程为（t 为参数）,代入ax y 22=得到 0)4(8)4(222=+++-a t a t , 则有)4(8),4(222121a t t a t t +=⋅+=+， 因为2MN PM PN=，所以 ()21212t t t t -=，即()212125t t t t += ，即()()284404a a +=+ 解得1=a …………………10分24、解:(Ⅰ)原不等式等价于:当1x ≤时,232x -+≤,即112x ≤≤；当12x <≤时,12≤,即12x <≤ ； 当2x >时,232x -≤,即522x <≤. 综上所述,原不等式的解集为15{|}22x x ≤≤.…………（5分）(Ⅱ)当0a >时, ()()|1||1|f ax af x ax a x -=--- =|1|||ax a ax ---≤|1||1|ax a ax a -+-=- 所以23|1|a a -≥-2a ∴≥ ……………（10分）。
20河南省三门峡市、信阳市2015届高三阶段(11月)联考
2014-2015学年度高三阶段性考试理科数学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中。
只有一项理符合题目要求的。
)1.设集合{}|ln(1)M x y x ==-，集合{}2|N y y x ==，则M N 等于A ．[)0,1B ．[]0,1C ．(],1-∞D ．(),1-∞ 2.函数cos(2)2x y x =+的图象的一条对称轴方程是 A ．2x π=-B ．4x π=-C ．8x π=D ．x π=3.下列函数中.既是偶函数.又在区间(1，2)内是增函数的为 A ．cos 2,y x x R =∈ B ． 2log ,0y x x R x =∈≠且C ． ,2x xe e y x R --=∈ D ． 31,y x x R =+∈ 4.由函数,x y e y e ==及直线所围成的图形的面积为 A ．12e B ．1 C ．e D ．2“tan 3x =”是“2()6x k k Z ππ=+∈”成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.将函数的图象左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是 A ．22cos y x = B ． 22sin y x = C ． 1sin(2)4y x π=++D ． cos 2y x =7.幂函数()y f x =的图象经过点1(4,)2，则1()4f 的值为 A ．1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 8.函数()sin xxy e e x -=-⋅的图象大致是9.函数()s i n ()(0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，若12,(,)63x x ππ∈-，且1212()()()f x f x x x =≠，则12()f x x +A ．1B ．12 C ． 2 D ． 210.已知函数()1,()2,()ln x f x x g x x h x x x ==+=+的零点分别为123,,x x x ，则 A ． 123x x x << B ． 213x x x << C ． 312x x x << D ． 231x x x << 11.已知21()ln(1),()()2f x xg x x m =+=-，若[][]120,3,1,2x x ∀∈∈，使得12()()f x g x ≥，则实数m 的取值范围是A ． 1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ． 1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ． 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ． 1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 12..给出定义:若1122m x m -<≤+，（其中m.为整数），则m 叫做离实效x 最近的整数。
【恒心】2015年河南项城三高高考全真模拟考试数学(理科)试题及参考答案【word版】
项城三高 2015 届高三全真模拟试卷
理 科 数 学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,其中第Ⅱ卷第 22～24 题为选考题,其它 题为必考题。考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效.考试结束后,将本试卷和答题卡 一并交回。 注意事项： 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的姓名、准考 证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号;非选择题答案使 用 0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损。 5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
2 13.若命题 P : x R, x0 2x0 3 0 ，则命题 P 的否定 P 是
.
14.一个几何体的正视图和俯视图如图所示,其中俯视图 是一个圆内切于一个正三角形 ,则该几何体的侧视图的 面积为 ____ .
2 2 3
1 2 n n 1 15.计算 Cn 2 Cn 2 n Cn 2 n(1 2)n 1 ,可以采用以下方法：
5 ，则球 O 的表面积是（ 4
） D．544
B．16
C．
32 3
x2 y 2 右焦点分别为 F1 , F2 ,过点 F1 作直线 l x 轴交双 1(a 0, b 0) 的左、 a 2 b2
曲线 C 的渐近线于点 A, B ． 若以 AB 为直径的圆恰过点 F2 ， 则该双曲线的离心率为 （ A． 2 B． 3 C．2 D． 5
2015年河南省信阳市高三上学期期中数学试卷含解析答案(理科)
2014-2015学年河南省信阳市高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合A={x|y=ln（1﹣x）}，集合B={y|y=x2}，则A∩B=（）A．[0，1]B．[0，1） C．（﹣∞，1]D．（﹣∞，1）2．（5分）函数y=cos（2x+）的图象的一条对称轴方程是（）A．x=﹣B．x=﹣C．x=D．x=π3．（5分）下列函数中，既是奇函数，又在区间（1，2）内是增函数的是（）A．y=cos2x，x∈R B．y=x2+1，x∈RC．y=，x∈R D．y=log2|x|，x∈R且x≠04．（5分）由函数y=e x，y=e及直线x=0所围成的图形的面积为（）A．1 B． e C．e D．25．（5分）“tanx=”是“x=2kπ+）（k∈Z）”成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（）A．y=2cos2x B．y=2sin2x C．D．y=cos2x7．（5分）幂函数y=f（x）的图象经过点（4，），则f（）的值为（）A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）函数y=（e x﹣e﹣x）•sinx的图象大致是（）A．B．C．D．9．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，若，且f（x1）=f（x2）（x1≠x2），则f（x1+x2）=（）A．1 B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）=x﹣﹣1，g（x）=x+2x，h（x）=x+lnx，零点分别为x1，x2，x3，则（）A．x1＜x2＜x3B．x2＜x1＜x3C．x3＜x1＜x2D．x2＜x3＜x111．（5分）已知f（x）=ln（x2+1），g（x）=（）x﹣m，若∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是（）A．[，+∞）B．（﹣∞，]C．[，+∞）D．（﹣∞，﹣]12．（5分）给出定义：若m﹣（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=x﹣{x}的四个命题：①y=f（x）的定义域是R，值域是（﹣]；②点（k，0）是y=f（x）的图象的对称中心，其中k∈Z；③函数y=f（x）的最小正周期为1；④函数y=f（x）在（﹣，]上是增函数．则上述命题中真命题的序号是（）A．①④B．①③C．②③D．②④二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设函数f（x）=，则满足f（x）=的x值为．14．（5分）设sin（+θ）=，则sin2θ=．15．（5分）已知R上可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0的解集为16．（5分）某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45°距离为10海里的C处，此时的值，该渔船演北偏东105°方向，一每小时9海里的速度向一小岛靠近，舰艇时速21海里，则舰艇到达渔船的最短时间是分钟．三、j解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤17．（10分）已知函数f（x）=2x2﹣2ax+b，当x=﹣1时，f（x）取最小值﹣8，记集合A={x|f（x）＞0}，B={x||x﹣t|≤1}（Ⅰ）当t=1时，求（∁R A）∪B；（Ⅱ）设命题P：A∩B≠∅，若￢P为真命题，求实数t的取值范围．18．（12分）如图，设A是单位圆和x轴正半轴的交点，P，Q是单位圆上两点，O是坐标原点，且，∠AOQ=α，α∈[0，π）．（Ⅰ）若点Q的坐标是，求的值；（Ⅱ）设函数，求f（α）的值域．19．（12分）已知函数f（x）=在x=1处取得极值2．（1）求函数f（x）的表达式；（2）当m满足什么条件时，函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增？20．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a、b、c且=（Ⅰ）求sinB（Ⅱ）若b=4，求△ABC周长的最大值．21．（12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在AB的延长线上，N在AD的延长线上，且对角线MN过C点．已知AB=3米，AD=2米．（I）设AN=x（单位：米），要使花坛AMPN的面积大于32平方米，求x的取值范围；（Ⅱ）若x∈[3，4）（单位：米），则当AM，AN的长度分别是多少时，花坛AMPN 的面积最大？并求出最大面积．22．（12分）已知函数g（x）=lnx+ax2+bx，函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴（Ⅰ）确定a与b的关系（Ⅱ）试讨论函数g（x）的单调性（Ⅲ）证明：对任意n∈N*，都有ln（1+n）＞++…+成立．2014-2015学年河南省信阳市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合A={x|y=ln（1﹣x）}，集合B={y|y=x2}，则A∩B=（）A．[0，1]B．[0，1） C．（﹣∞，1]D．（﹣∞，1）【解答】解：∵A={x|y=ln（1﹣x）}={x|x＜1}，B={y|y=x2}={y|y≥0}，∴A∩B=[0，1）．故选：B．2．（5分）函数y=cos（2x+）的图象的一条对称轴方程是（）A．x=﹣B．x=﹣C．x=D．x=π【解答】解：此函数的对称轴方程为，当k=0时，．故选：B．3．（5分）下列函数中，既是奇函数，又在区间（1，2）内是增函数的是（）A．y=cos2x，x∈R B．y=x2+1，x∈RC．y=，x∈R D．y=log2|x|，x∈R且x≠0【解答】解：对于A．y=cos2x，有f（﹣x）=cos（﹣2x）=f（x），是偶函数，但在（1，）上是减函数，故A错；对于B．y=x2+1，定义域为R，f（﹣x）=（﹣x）2+1=f（x），为偶函数，且在（1，2）递增，故B错；对于C．定义域为R，f（﹣x）==﹣f（x），是奇函数，且e x递增，e﹣x递减，故（1，2）递增，故C对；对于D．定义域关于原点对称，f（﹣x）=log2|﹣x|=f（x），为偶函数，且在（1，2）递增，故D错．4．（5分）由函数y=e x，y=e及直线x=0所围成的图形的面积为（）A．1 B． e C．e D．2【解答】解：由题意得到函数y=e x，y=e的图象交点为坐标是（1，e），故由直线y=e，y轴以及曲线y=e x围成的图形的面积为：∫01（e﹣e x）dx=（ex﹣e x）=1．故选：A．5．（5分）“tanx=”是“x=2kπ+）（k∈Z）”成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若tanx=”成立，如，推不出“x=2kπ+）（k∈Z）”成立，若“x=2kπ+）（k∈Z）”成立，所以，所以“tanx=”是“x=2kπ+）（k∈Z）”成立的必要不充分条件，故选：B．6．（5分）将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（）A．y=2cos2x B．y=2sin2x C．D．y=cos2x【解答】解：将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，得到函数=cos2x的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y=1+cos2x=2cos2x，故选：A．7．（5分）幂函数y=f（x）的图象经过点（4，），则f（）的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：设幂函数为：y=xα∵幂函数的图象经过点（4，），∴=4α∴α=﹣∴y=则f（）的值为：．故选：B．8．（5分）函数y=（e x﹣e﹣x）•sinx的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（﹣x）=（e﹣x﹣e x）（﹣sinx）=（e x﹣e﹣x）sinx=f（x），∴函数f（x）=（e x+e﹣x）sinx是偶函数，排除B、C；当0＜x＜π时，f（x）＞0，排除D．∴A满足题意．故选：A．9．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，若，且f（x1）=f（x2）（x1≠x2），则f（x1+x2）=（）A．1 B．C．D．【解答】解：由图象可得A=1，=，解得ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ），代入点（，0）可得sin（+φ）=0∴+φ=kπ，∴φ=kπ﹣，k∈Z又|φ|＜，∴φ=，∴f（x）=sin（2x+），∴sin（2×+）=1，即图中点的坐标为（，1），又，且f（x1）=f（x2）（x1≠x2），∴x1+x2=×2=，∴f（x1+x2）=sin（2×+）=，故选：D．10．（5分）已知函数f（x）=x﹣﹣1，g（x）=x+2x，h（x）=x+lnx，零点分别为x1，x2，x3，则（）A．x1＜x2＜x3B．x2＜x1＜x3C．x3＜x1＜x2D．x2＜x3＜x1【解答】解：∵f（x）=x﹣﹣1的零点为＞1，g（x）=x+2x的零点必定小于零，h（x）=x+lnx的零点必位于（0，1）内，∴x2＜x3＜x1．故选：D．11．（5分）已知f（x）=ln（x2+1），g（x）=（）x﹣m，若∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是（）A．[，+∞）B．（﹣∞，]C．[，+∞）D．（﹣∞，﹣]【解答】解：因为x1∈[0，3]时，f（x1）∈[0，ln10]；x2∈[1，2]时，g（x2）∈[﹣m，﹣m]．故只需0≥﹣m⇒m≥．故选：A．12．（5分）给出定义：若m﹣（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=x﹣{x}的四个命题：①y=f（x）的定义域是R，值域是（﹣]；②点（k，0）是y=f（x）的图象的对称中心，其中k∈Z；③函数y=f（x）的最小正周期为1；④函数y=f（x）在（﹣，]上是增函数．则上述命题中真命题的序号是（）A．①④B．①③C．②③D．②④【解答】解：由题意知，{x}﹣{x}+，则得到f（x）=x﹣{x}∈（﹣]，故①对；由于k∈Z，f（k）=k﹣{k}=k﹣k=0，但由于f（x）=x﹣{x}∈（﹣]，故函数图象不是中心对称图形，故②错；由题意知函数f（x）=x﹣{x}∈（﹣]的最小正周期为1，故③对；由于{x}﹣{x}+则得f（x）=x﹣{x}为分段函数，且在上是增函数，但在区间（﹣上不是增函数，故命题④错．所以正确的命题为①③故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设函数f（x）=，则满足f（x）=的x值为．【解答】解：∵函数f（x）=，满足f（x）=，∴当x≤1时，，解得x=2，不成立；当x＞1时，log41x=，解得x=．故答案为：．14．（5分）设sin（+θ）=，则sin2θ=﹣．【解答】解：∵sin（+θ）=，即+=，平方可得+sin2θ=，解得sin2θ=﹣，故答案为﹣．15．（5分）已知R上可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞）【解答】解：由函数图象可知f′（x）＞0的解集为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），f′（x）＜0的解集为：（﹣1，1）．由（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0，得①或②解①得：x＜﹣1或x＞3；解②得：﹣1＜x＜1．∴不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0的解集为：（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞）．16．（5分）某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45°距离为10海里的C处，此时的值，该渔船演北偏东105°方向，一每小时9海里的速度向一小岛靠近，舰艇时速21海里，则舰艇到达渔船的最短时间是40分钟．【解答】解：设两船在B点碰头，由题设作出图形，设舰艇到达渔船的最短时间是x小时，则AC=10，AB=21x，BC=9x，∠ACB=120°，由余弦定理，知（21x）2=100+（9x）2﹣2×10×9x×cos120°，整理，得36x2﹣9x﹣10=0，解得x=，或x=﹣12（舍）．即舰艇到达渔船的最短时间是40分钟．故答案为：40．三、j解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤17．（10分）已知函数f（x）=2x2﹣2ax+b，当x=﹣1时，f（x）取最小值﹣8，记集合A={x|f（x）＞0}，B={x||x﹣t|≤1}（Ⅰ）当t=1时，求（∁R A）∪B；（Ⅱ）设命题P：A∩B≠∅，若￢P为真命题，求实数t的取值范围．【解答】解：由题意（﹣1，﹣8）为二次函数的顶点，∴f（x）=2（x+1）2﹣8=2（x2+2x﹣3）．A={x|x＜﹣3或x＞1}．（Ⅰ）B={x||x﹣1|≤1}={x|0≤x≤2}．∴（C R A）∪B={x|﹣3≤x≤1}∪{x|0≤x≤2}={x|﹣3≤x≤2}．∴（C R A）∪B={x|﹣3≤x≤2}．（Ⅱ）∵B={x|t﹣1≤x≤t+1}．且由题意知：命题P：A∩B≠空集为假命题，所以必有：，解得t∈[﹣2，0]．∴实数t的取值范围是[﹣2，0]．18．（12分）如图，设A是单位圆和x轴正半轴的交点，P，Q是单位圆上两点，O是坐标原点，且，∠AOQ=α，α∈[0，π）．（Ⅰ）若点Q的坐标是，求的值；（Ⅱ）设函数，求f（α）的值域．【解答】解：（Ⅰ）∵点Q的坐标是，∴．∴=．（Ⅱ）===．∵α∈[0，π），则，∴．故f（α）的值域是．19．（12分）已知函数f（x）=在x=1处取得极值2．（1）求函数f（x）的表达式；（2）当m满足什么条件时，函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增？【解答】解：（1）因为f′（x）=，而函数f（x）=在x=1处取得极值2，所以，即，解得．故f（x）=即为所求．（2）由（1）知f′（x）=，令f′（x）＞0，得﹣1＜x＜1，∴f（x）的单调增区间为[﹣1，1]．由已知得，解得﹣1＜m≤0．故当m∈（﹣1，0]时，函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增．20．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a、b、c且=（Ⅰ）求sinB（Ⅱ）若b=4，求△ABC周长的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵=，∴=∴sinBcosC+cosBsinC=3sinAcosB，∴sin（B+C）=3sinAcosB，∴sinA=3sinAcosB，∴cosB=，∴sinB=；（Ⅱ）∵b=4，∴由余弦定理可得32=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣ac≥（a+c）2﹣=（a+c）2，∴（a+c）2≤96，当且仅当a=c时，等号成立，故a+c≤4，∴△ABC周长的最大值为4+4．21．（12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在AB的延长线上，N在AD的延长线上，且对角线MN过C点．已知AB=3米，AD=2米．（I）设AN=x（单位：米），要使花坛AMPN的面积大于32平方米，求x的取值范围；（Ⅱ）若x∈[3，4）（单位：米），则当AM，AN的长度分别是多少时，花坛AMPN 的面积最大？并求出最大面积．【解答】解：由于，则AM=故S AMPN=AN•AM=（4分）（1）由S AMPN＞32得＞32，因为x＞2，所以3x2﹣32x+64＞0，即（3x﹣8）（x﹣8）＞0从而即AN长的取值范围是（8分）（2）令y=，则y′=（10分）因为当x∈[3，4）时，y′＜0，所以函数y=在[3，4）上为单调递减函数，从而当x=3时y=取得最大值，即花坛AMPN的面积最大27平方米，此时AN=3米，AM=9米22．（12分）已知函数g（x）=lnx+ax2+bx，函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴（Ⅰ）确定a与b的关系（Ⅱ）试讨论函数g（x）的单调性（Ⅲ）证明：对任意n∈N*，都有ln（1+n）＞++…+成立．【解答】解：（Ⅰ）g（x）=lnx+ax2+bx，则g′（x）=+2ax+b，由函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴，得g′（1）=1+2a+b=0，则b=﹣2a﹣1；（Ⅱ）由（Ⅰ）得g′（x）=，∵函数g（x）的定义域为（0，+∞），∴①当a≤0时，2ax﹣1＜0在（0，+∞）上恒成立，由g′（x）＞0得0＜x＜1，由g′（x）＜0得x＞1，即函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减；②当a＞0时，令g′（x）=0得x=1或x=，若＜1，即a＞时，由g′（x）＞0得x＞1或0＜x＜，由g′（x）＜0得＜x ＜1，即函数g （x ）在（0，），（1，+∞）上单调递增，在（，1）单调递减；若＞1，即0＜a ＜时，由g′（x ）＞0得x ＞或0＜x ＜1，由g′（x ）＜0得1＜x ＜，即函数g （x ）在（0，1），（，+∞）上单调递增，在（1，）单调递减；若=1，即a=时，在（0，+∞）上恒有g′（x ）≥0，即函数g （x ）在（0，+∞）上单调递增，综上得：当a ≤0时，函数g （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减；当0＜a ＜时，函数g （x ）在（0，1）单调递增，在（1，）单调递减；在（，+∞）上单调递增；当a=时，函数g （x ）在（0，+∞）上单调递增， 当a ＞时，函数g （x ）在（0，）上单调递增，在（，1）单调递减；在（1，+∞）上单调递增；（Ⅲ）由（Ⅱ）知当a=1时，函数g （x ）=lnx +x 2﹣3x 在（1，+∞）单调递增， ∴lnx +x 2﹣3x ≥g （1）=﹣2，即lnx ≥﹣x 2+3x ﹣2=﹣（x ﹣1）（x ﹣2）， 令x=1+，则ln （1+）＞﹣，∴ln （1+1）+ln （1+）+…+ln （1+）＞1﹣+﹣+…+﹣，∴ln （1+n ）＞+++…+．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n 是偶数时，正数a 的正的n表示，负的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,mm m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a NaN =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：lo glo g (0,1)logbab N N b b a =>≠且 【2.2.2】对数函数及其性质定义域 (0,)+∞值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<变化对图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x O(1,0)xO (1,0)。
河南省名校高三上学期期中——数学(理)数学(理)
河南省名校2015届高三上学期期中考试数学（理）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题纸的相应位置.1．在复平面内，复数对应的点位于 （ ）A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限 2．已知集合，，则（ ）A ．{x |10＜x ＜1}B ．{x |x ＞1}C ．{x |x ≥2}D ．{x |1＜x ＜2} 3．已知sin2α＝－，α∈（－，0），则sin α＋cos α＝（ ）A ．－B ．C ．－D ．4．设f （x ）是定义在R 上的奇函数，当时，f （x ）＝x （e 为自然对数的底数），则的值为（ ）A ．ln6＋6B ． ln6－6C ． －ln6＋6D ．－ln6－65．已知向量，，则a 与b 夹角的余弦值为（ ） A ． B ． C ． D ． 6．执行右图所示的程序框图，会输出一列数，则这个数列的第3项是 ( ) A ．870 B ．30 C ．6 D ．37．函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象向左平移个单位后关于原点对称，则函数f (x )在上的最小值为（ ） A ． B ． C ． D ． 8．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是（ ）A ．2B ．C ．D ．39. 已知数列为等差数列，为等比数列，且满足：，，则（ ）A.1B.C.D.10．如图，把周长为1的圆的圆心C 放在y 轴上，顶点A （0，1），一动点M 从A 开始逆时针绕圆运动一周，记弧AM=x ，直线AM 与x 轴交于点N （t ，0），则函数的图像大致为（ ）11( )A ．（1，2014）B ．（1，2015）C ．（2，2015）D ．[2，2015]12. 已知定义的R 上的函数满足且在上是增函数，不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.第II 卷(共90分) 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，满分20分.请把答案填在答题纸的相应位置. 13．已知，则22sin sin cos 2cos 3θθθθ+-+的值为14. 图中阴影部分的面积等于 ．15．设正实数x 、y 、z 满足，则当取得最大值时，的最大值为16.设是定义在R 上的偶函数，且对于恒有，已知当时，则（1）的周期是2； （2）在（1，2）上递减，在（2，3）上递增； （3）的最大值是1，最小值是0；（4）当时， 其中正确的命题的序号是 .三、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分） 设函数24()cos(2)2cos .3f x x x π=-+ (1)求的最大值，并写出使取最大值时x 的集合；(2)已知中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若，求a 的最小值. 18．（本小题满分12分） 已知数列的前项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）设，＝，记数列的前项和.若对， 恒成立，求实数的取值范围． 19．（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱中，是的中点，⊥平面，，. （Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值.20.（本小题满分12分）A BCO A 1B 1C 1设椭圆22221(0)x y a b a b+=>> 的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B .已知|AB |＝32|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率；(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，经过原点O 的直线l 与该圆相切，求直线l 的斜率．21. （本小题满分12分）已知函数)ln ()(2x x a x x f ++=，，是常数． （1）求函数的图象在点处的切线方程；（2）若函数图象上的点都在第一象限，试求常数的取值范围； （3）证明：，存在，使．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第22题计分． 22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，已知圆上的，过C 点的圆的切 线与BA 的延长线交于E 点． （Ⅰ）求证：∠ACE ＝∠BCD ； （Ⅱ）若BE ＝9，CD ＝1，求BC 的长．23．（本小题满分10分） 选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l ：（t 为参数）恒经过椭圆C ： （ϕ为参数）的右焦点F ． （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求|FA|·|FB|的最大值与最小值．24. （本小题满分10分） 已知函数()|21||23|.f x x x =++- （1）求不等式的解集；（2）若关于x 的不等式的解集非空，求实数的取值范围.参考答案的最大值为………………………………………4分 要使取最大值，)(232,1)32cos(Z k k x x ∈=+=+πππ故的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k x x ,6ππ………6分 （2）由题意，231]3)(2cos[)(=+++=+πC B C B f ，即.21)322cos(=+-ππA 化简得……………………………………………………8分 ，)35,3(32πππ-∈-∴A ，只有，………9分在中，由余弦定理，bc c b bc c b a 3)(3cos22222-+=-+=π………10分由知，即，………………………………11分 当时，取最小值…………………………………12分18.解： （1）当时，，当时，)22(2211---=-=--n n n n n a a S S a即：，数列为以2为公比的等比数列 （2）由b n ＝log 2a n 得b n ＝log 22n ＝n ，则c n ＝＝＝－，T n ＝1－＋－＋…＋－＝1－＝. ∵≤k(n ＋4)，∴k≥21454n n n n n n ＝(＋)(＋)＋＋＝145n n＋＋.∵n ＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当n ＝，即n ＝2时等号成立， ∴145n n＋＋≤，因此k≥，故实数k 的取值范围为19.（Ⅰ）因为⊥平面，所以.又， 所以平面，所以.因为，所以四边形是菱形，所以. 所以平面，所以. ……………………5分 （Ⅱ）以为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，.，，设是面的一个法向量，则，即，令，取.同理面的一个法向量为. ……………………10分因为.所以二面角的余弦值. …………………………12分20. 解：(1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c ，0)．由|AB |＝32|F 1F 2|，可得a 2＋b 2＝3c 2. 又b 2＝a 2－c 2，则c 2a 2＝12，所以椭圆的离心率e ＝22. 4分(2)由(1)知a 2＝2c 2，b 2＝c 2. 故椭圆方程为x 22c 2＋y 2c 2＝1.设P (x 0，y 0)．由F 1(－c ，0)，B (0，c )，有F 1P →＝(x 0＋c ，y 0)，F 1B →＝(c ，c )．由已知，有F 1P →·F 1B →＝0，即(x 0＋c )c ＋y 0c ＝0. 又c ≠0，故有x 0＋y 0＋c ＝0.①又因为点P 在椭圆上， 所以x 202c 2＋y 20c2＝1.②由①和②可得3x 20＋4cx 0＝0.而点P 不是椭圆的顶点，故x 0＝－43c .代入①得y 0＝c 3，即点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－4c 3，c 3. 设圆的圆心为T (x 1，y 1)，则x 1＝－43c ＋02＝－23c ，y 1＝c 3＋c 2＝23c ，进而圆的半径r ＝（x 1－0）2＋（y 1－c ）2＝53c . 设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为y ＝kx .由l 与圆相切，可得|kx 1－y 1|k 2＋1＝r ，即⎪⎪⎪⎪k ⎝⎛⎭⎫－2c 3－2c 3k 2＋1＝53c ，整理得k 2－8k ＋1＝0，解得k ＝4±15， 所以直线l 的斜率为4＋15或4－15. 21解：（1）函数的定义域为,)11(2)(/xa x x f ++= ，函数的图象在点处的切线为)1)(22()1(-+=+-x a a y ，即…………………………4分（2）①时，，因为，所以点在第一象限，依题意，0)ln ()(2>++=x x a x x f ②时，由对数函数性质知，时，，，从而“，0)ln ()(2>++=x x a x x f ”不成立 ③时，由0)ln ()(2>++=x x a x x f 得，设)ln 11()(2x x x x g +-=，x xx x x g ln 21)(33/+-=，从而1)ln (12-<+-<x xx a ， 综上所述，常数的取值范围…………………………8分（3）计算知111)1()(-+++=--e aa e e f e f 设函数1)1(21)1()()()(/--++-=---=e ax a e x e f e f x f x g 1)1()2(11)1(2----=--+-=e e e a e a a e g ，)1()1(11)(2---=--+-=e e a e e e a e a e e g 当或时，222)1(])1(][)1()2([)()1(-------=e e e e a e e a e g g ， 因为的图象是一条连续不断的曲线，所以存在，使，即，使；当22)1(2)1(-≤≤--e e a e e 时，、，而且、之中至少一个为正，由均值不等式知，1122)(2--+-≥e e a a x g ，等号当且仅当时成立，所以有最小值1)1(2)1(2112222----+-=--+-=e e a e a e e a a m ，且01)3)(1()]1(2[1)1(2)1(222<---+---=----+-=e e e e a e e a e a m ，此时存在（或），使综上所述，，存在，使………………12分 （22）解：（Ⅰ）,AC BD ABC BCD =∴∠=∠．………………（2分）又为圆的切线，．……………（5分） （Ⅱ）为圆的切线，∴，由（Ⅰ）可得，……………………………………（7分） ∴△∽△，∴，∴=3．……………………（10分） （23）解：（Ⅰ）椭圆的参数方程化为普通方程，得， 则点的坐标为.直线经过点.…………………………………（4分） （Ⅱ）将直线的参数方程代入椭圆的普通方程，并整理得：222(9cos 25sin )72cos 810t t ααα++-=.设点在直线参数方程中对应的参数分别为，则 =2228181.9cos 25sin 916sin ααα=++………………（8分） 当时，取最大值；当时，取最小值………………………（10分）24. （Ⅰ）原不等式等价于313222(21)(23)6(21)(23)6x x x x x x ⎧⎧>-≤≤⎪⎪⎨⎨⎪⎪++-≤+--≤⎩⎩或或12(21)(23)6x x x ⎧<-⎪⎨⎪-+--≤⎩----3分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2014～2015学年第一学期期中考试试题高三数学(理科)试卷满分：150分 考试时间：120分钟 第I 卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题纸的相应位置.1．在复平面内，复数201523Z i i =+-对应的点位于 （ ） A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限 2．已知集合1|lg x M x y x -⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，{}2|23N y y x x ==++，则()M N =R ð（ ）A ．{x|10＜x ＜1}B ．{x|x ＞1}C ．{x|x≥2}D ．{x|1＜x ＜2}3．已知sin2α＝－2425，α∈（－4π，0），则sin α＋cos α＝（ ） A ．－15 B ．15 C ．－75 D ．754．设f （x ）是定义在R 上的奇函数，当0<x 时，f （x ）＝x xe --（e 为自然对数的底数），则(ln 6)f 的值为 （ ） A ．ln6＋6 B ． ln6－6 C ． －ln6＋6 D ．－ln6－6 5．已知向量()82-+=，a b ，()816-=-，a b ，则a 与b 夹角的余弦值为（ ）A ．6365B ．6365-C ．6365±D ．5136．执行右图所示的程序框图，会输出一列数，则这 个数列的第3项是( ) A ．870 B ．30 C ．6 D ．37．函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象向左平移6π 个单位后关于原点对称，则函数f(x)在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 上的最小值为（ ） A ．B ．12-C ．12D 8．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是（ ）侧视俯视图xA ．2B ．92C ．32D ．39. 已知数列{}n a 为等差数列，{}n b为等比数列，且满足：10031013a a π+=，692b b ⋅=，则1201578tan1a a b b +=+（ ）A.1B.1-D.10．如图，把周长为1的圆的圆心C 放在y 轴上，顶点A （0，1），一动点M 从A 开始逆时针绕圆运动一周，记弧AM=x ，直线AM 与x 轴交于点N （t ，0），则函数()t f x =的图像大致为（ ）11．已知函数若c b a 、、互不相等，且c b a ++的取值范围是( )A ．（1，2014）B ．（1，2015）C ．（2，2015） D ．[2，2015] 12. 已知定义的R 上的函数()f x 满足)1()1(x f x f -=+且在),1[+∞上是增函数，不等式)1()2(-≤+x f ax f 对任意1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.[]3,1-- B.[]2,0- C. []5,1-- D. []2,1-第II 卷(共90分)二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，满分20分.请把答案填在答题纸的相应位置.13．已知tan()2θπ-=，则22sin sin cos 2cos 3θθθθ+-+的值为14. 图中阴影部分的面积等于 ．)()()(c f b f a f ==()2014sin (01)(),log 1x x f x x x π⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩15．设正实数x 、y 、z 满足22340x xy y z -+-=，则当xy z 取得最大值时，212x y z +-的最大值为16. 设()f x 是定义在R 上的偶函数，且对于x ∀∈R 恒有()()11f x f x +=-，已知当[]0,1x ∈时，()112xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭则（1）()f x 的周期是2； （2）()f x 在（1，2）上递减，在（2，3）上递增；（3）()f x 的最大值是1，最小值是0；（4）当()3,4x ∈时，()312x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭其中正确的命题的序号是 .三、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）设函数24()cos(2)2cos .3f x x x π=-+ (1)求)(x f 的最大值，并写出使)(x f 取最大值时x 的集合；(2)已知ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若3(),22f B C b c +=+=，求a 的最小值.18．（本小题满分12分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，22n n S a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log nn b a =，n c ＝11n n b b +，记数列{}n c 的前n 项和n T .若对n N *∈，()4n T k n ≤+ 恒成立，求实数k 的取值范围．19．（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱111C B A ABC -中，O 是AC 的中点，O A 1⊥平面ABC ，︒=∠90BCA ，BC AC AA ==1.ABCO A BC（Ⅰ）求证：11AC B A ⊥；（Ⅱ）求二面角C BB A --1的余弦值. 20.（本小题满分12分）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>> 的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A ，上顶点为B.已知|AB|＝32|F1F2|. (1)求椭圆的离心率；(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F1，经过原点O 的直线l 与该圆相切，求直线l 的斜率．21. （本小题满分12分）已知函数)ln ()(2x x a x x f ++=，0>x ，R a ∈是常数． （1）求函数)(x f y =的图象在点()()1 , 1f 处的切线方程；（2）若函数)(x f y =图象上的点都在第一象限，试求常数a 的取值范围；（3）证明：R a ∈∀，存在) , 1(e ∈ξ，使'()(1)()1f e f f e ξ-=-．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第22题计分． 22．（本小题满分10分） 选修4－1：几何证明选讲如图，已知圆上的AC BD =，过C 点的圆的切 线与BA 的延长线交于E 点． （Ⅰ）求证：∠ACE ＝∠BCD ； （Ⅱ）若BE ＝9，CD ＝1，求BC 的长． 23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l ：cos sin x t y t αα⎧⎨⎩＝＋m＝（t 为参数）恒经过椭圆C ：⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 5y x （ϕ为参数）的右焦点F ．（Ⅰ）求m 的值； （Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求|FA|·|FB|的最大值与最小值．24. （本小题满分10分）已知函数()|21||23|.f x x x =++- （1）求不等式()6f x ≤的解集；（2）若关于x 的不等式|1|)(-<a x f 的解集非空，求实数a 的取值范围. 高三理科数学参考答案1-12 ACBAB BADDD CB13．195 14 .1 15. 1 16. (1),(2),(4).17.解：（1）)2cos 1()34sin 2sin 34cos 2(cos cos 2)342cos()(2x x x x x x f +++=+-=πππ1)32cos(12sin 232cos 21++=+-=πx x x ……………3分)(x f 的最大值为2 ………………………………………4分要使)(x f 取最大值，)(232,1)32cos(Z k k x x ∈=+=+πππ故x 的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k x x ,6ππ………6分 （2）由题意，231]3)(2cos[)(=+++=+πC B C B f ，即.21)322cos(=+-ππA化简得21)32cos(=-πA ……………………………………………………8分()0A π∈Q ，，)35,3(32πππ-∈-∴A ，只有332ππ=-A ，.3π=A ………9分在ABC ∆中，由余弦定理，bcc b bc c b a 3)(3cos22222-+=-+=π………10分由2=+c b 知1)2(2=+≤c b bc ，即12≥a ，………………………………11分当1==c b 时，a 取最小值.1…………………………………12分18.解： （1）当1=n 时，21=a ，当2≥n 时，)22(2211---=-=--n n n n n a a S S a即：21=-n na a ，∴数列{}n a 为以2为公比的等比数列 nn a 2=∴（2）由bn ＝log2an 得bn ＝log22n ＝n ，则cn ＝11n n b b +＝()11n n +＝1n －11n +，Tn ＝1－12＋12－13＋…＋1n －11n +＝1－11n +＝1nn +.∵1n n +≤k(n ＋4)，∴k≥21454n n n n n n ＝(＋)(＋)＋＋＝145n n ＋＋.∵n ＋4n ＋＋5＝9，当且仅当n ＝4n ，即n ＝2时等号成立， ∴145n n ＋＋≤19，因此k≥19，故实数k 的取值范围为1,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭19.（Ⅰ）因为⊥平面，所以.又，所以平面，所以. 因为，所以四边形是菱形，所以.所以平面，所以. ……………………5分（Ⅱ）以为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，.，，设是面的一个法向量，则，即，令，取.同理面的一个法向量为. ……………………10分因为.所以二面角的余弦值. …………………………12分20. 解：(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c ，0)． 由|AB|＝32|F1F2|，可得a2＋b2＝3c2. 又b2＝a2－c2，则c2a2＝12， 所以椭圆的离心率e ＝22.4分(2)由(1)知a2＝2c2，b2＝c2. 故椭圆方程为x22c2＋y2c2＝1. 设P(x0，y0)．由F1(－c ，0)，B(0，c)，有F1P →＝(x0＋c ，y0)，F1B →＝(c ，c)． 由已知，有F1P →·F1B →＝0，即(x0＋c)c ＋y0c ＝0. 又c≠0，故有x0＋y0＋c ＝0.① 又因为点P 在椭圆上， 所以x202c2＋y20c2＝1.②由①和②可得3x20＋4cx0＝0.而点P 不是椭圆的顶点，故x0＝－43c.代入①得y0＝c3，即点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－4c 3，c3. 设圆的圆心为T(x1，y1)，则x1＝－43c ＋02＝－23c ，y1＝c3＋c 2＝23c ，进而圆的半径r ＝（x1－0）2＋（y1－c ）2＝53c. 设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为y ＝kx.由l 与圆相切，可得|kx1－y1|k2＋1＝r ，即⎪⎪⎪⎪k ⎝⎛⎭⎫－2c 3－2c 3k2＋1＝53c ，整理得k2－8k ＋1＝0，解得k ＝4±15， 所以直线l 的斜率为4＋15或4－15. 21解：（1）函数的定义域为{}0|>x x ,)11(2)(/x a x x f ++= a f +=1)1(，a f 22)1(/+=函数)(x f y =的图象在点))1( , 1(f 处的切线为)1)(22()1(-+=+-x a a y ， 即)12)(1(-+=x a y …………………………4分（2）①0=a 时，2)(x x f =，因为0>x ，所以点) , (2x x 在第一象限，依题意，0)ln ()(2>++=x x a x x f②0>a 时，由对数函数性质知，)1 , 0(∈x 时，)0 , (ln -∞∈x ，)0 , (ln -∞∈x a ，从而“0>∀x ，0)ln ()(2>++=x x a x x f ”不成立 ③0<a 时，由0)ln ()(2>++=x x a x x f 得)ln 11(12x x x a +-<，设)ln 11()(2x x x x g +-=，xx x x x g ln 21)(33/+-=1)1()(-=≥g x g ，从而1)ln 11(12-<+-<x x x a ，01<<-a综上所述，常数a 的取值范围01≤<-a …………………………8分（3）计算知111)1()(-+++=--e aa e e f e f 设函数1)1(21)1()()()(/--++-=---=e ax a e x e f e f x f x g1)1()2(11)1(2----=--+-=e e e a e a a e g ，)1()1(11)(2---=--+-=e e a e e e a e a e e g 当2)1(->e e a 或2)1(2--<e e a 时， 222)1(])1(][)1()2([)()1(-------=e e e e a e e a e g g 0<，因为)(x g y =的图象是一条连续不断的曲线，所以存在) , 1(e ∈ξ，使0)(=ξg ，即) , 1(e ∈ξ，使1)1()()(/--=e f e f f ξ；当22)1(2)1(-≤≤--e e a e e 时，)1(g 、0)(≥e g ，而且)1(g 、)(e g 之中至少一个为正，由均值不等式知，1122)(2--+-≥e e a a x g ，等号当且仅当) , 1(2e ax ∈=时成立，所以)(x g 有最小值1)1(2)1(2112222----+-=--+-=e e a e a e e a a m ，且 01)3)(1()]1(2[1)1(2)1(222<---+---=----+-=e e e e a e e a e a m ，此时存在) , 1(e ∈ξ（)2, 1(a ∈ξ或) , 2(e a∈ξ），使0)(=ξg综上所述，R a ∈∀，存在) , 1(e ∈ξ，使1)1()()(/--=e f e f f ξ………………12分（22）解：（Ⅰ）,AC BD ABC BCD =∴∠=∠．………………（2分）又EC 为圆的切线，,ACE ABC ∴∠=∠∴ACE BCD ∠=∠．……………（5分）（Ⅱ）EC 为圆的切线，∴CDB BCE ∠=∠，由（Ⅰ）可得BCD ABC ∠=∠，……………………………………（7分）∴△BEC ∽△CBD ，∴CD BCBC EB =，∴BC =3．……………………（10分）解：（Ⅰ）椭圆的参数方程化为普通方程，得221259x y +=，5,3,4,a b c ∴===则点F 的坐标为(4,0).直线经过点(,0),4m m ∴=.…………………………………（4分） （Ⅱ）将直线的参数方程代入椭圆C 的普通方程，并整理得：222(9cos 25sin )72cos 810t t ααα++-=.设点,A B 在直线参数方程中对应的参数分别为12,t t ，则12||||||FA FB t t ⋅==2228181.9cos 25sin 916sin ααα=++………………（8分）当sin 0α=时，||||FA FB ⋅取最大值9；当sin 1α=±时，||||FA FB ⋅取最小值81.25………………………（10分）24. （Ⅰ）原不等式等价于313222(21)(23)6(21)(23)6x x x x x x ⎧⎧>-≤≤⎪⎪⎨⎨⎪⎪++-≤+--≤⎩⎩或或12(21)(23)6x x x ⎧<-⎪⎨⎪-+--≤⎩----3分解，得3131212222x x x <≤-≤≤-≤<-或或 即不等式的解集为}21|{≤≤-x x -------------------------------5分 （Ⅱ）4|)32()12(||32||12|=--+≥-++x x x x ------------------8分4|1|>-∴a 5,3>-<∴a a 或------10分。