3-3曲线的凹凸性与拐点
曲线的凹凸性与拐点【一元分析学经典讲义】
上页
返回
下页
例1 判断曲线 y = x 3 的凹凸性 . 解 ∵ y′ = 3 x 2 , y′′ = 6x ,
当x < 0时， y′′ < 0,
∴ 曲线 在(−∞ ,0]为上凸的； −∞ 为上凸的；
当x > 0时， y′′ > 0, ∴曲线 在[0,+∞ )为凸的；
注意到, 注意到 点( 0,0 )是曲线由凹变凸的分界 点.
则 f ′′( x ) = [ f ′( x )]′在x0两边变号 ,
∴ f ′( x )在x0取得极值 ,由可导函数取得极值的 条件,
∴ f ′′( x0 ) = 0.
方法1: 方法1:设函数 f ( x )在x0的邻域内二阶可导 , 且f ′′( x0 ) = 0,
(1) x0两近旁 f ′′( x )变号,点( x0 , f ( x0 ))即为拐点; ( 2) x0两近旁 f ′′( x )不变号,点( x0 , f ( x0 ))不是拐点.
x2 x
o
x1
x2
x
图形上任意弧段位 于所张弦的下方
上页 返回
图形上任意弧段位 于所张弦的上方
下页
I , 定义 设f ( x)在区间 上有定义 若∀x1 , x2 ∈ I和∀λ ∈(0,1) 恒有 f (λx1 + (1 − λ)x2 ) ≤ λf ( x1 ) + (1 − λ) f ( x2 ), 那末称 f ( x)为I上的下凸函数 简称凸函数 ; ，
( 理2 定 2 如 f (x)在 x0 − δ , x0 + δ )内 在 阶 理 果 存 二 导
( x0 , f ( x0 ))是拐点的必要条件是f "( x0 ) = 0. 数则 , 点
高数课件-曲线的凹凸性与拐点
4.5.1 曲线的凹凸性 4.5.2 拐点
17-<#>
2021-10-3
前面讨论了函数的单调性和极值．从几何上讲，单调性 反映的是曲线的升降，极值反映的曲线的“峰值”或“谷底”．
单从单调性和极值来研究曲线是不够的．
比如当函数 f x 在某区间单调增加时，其方式是多样的
(见图4-4-6)．具体表现在曲线弯曲的方向不同，有凸有凹．曲 线的这种性态称为凹凸性．
设 f ( x)在(a, b)内二阶可导，且 f ( x0 ) 0 ， 其中 x0 (a, b)，则( x0 , f ( x0 ))是否一定为 曲线 f ( x)的拐点？举例说明.
f
(x0 )
f (1)(x1
x0 )
f (xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ )
1 2
(
x2
x1) f (1) ，
f
(x2 )
f
(x0 )
f
(2 )(x2
x0 )
f
(x0 )
1 2 (x2
x1)
f
(2 ) ．
17-1
续证
2021-10-3
两式相加，从而有
f
(x1)
f
( x2 )
2f
(x0)
x2
2
x1 [
故 0，f 0是曲线 y f x的拐点.选（C）.
17-1
例
f x x x n 假定 ( )在 = 0處具有直到 階的連續導數，且
f ( x0 ) f ( x0 ) f (n1)( x0 ) 0,但 f (n)( x0 ) 0
n 這裏 為奇數>3，
则( x0 , f ( x0 ))是拐点
《曲线凹凸与拐点》课件
曲线凹凸的计算方法
定义法
通过定义凹凸性，利用二阶导数正负来判断。如果二阶导数大于0，则曲线在相 应区间内是凹的；如果二阶导数小于0，则曲线在相应区间内是凸的。
切线法
通过切线斜率判断。在某点处做切线，如果切线斜率在相邻两点之间由负变正， 则该点为拐点。
拐点的计算方法
定义法
根据拐点的定义，即函数在某点的左 右极限不相等，来确定拐点。
具体应用
在气候学中，通过研究气候数据的曲线凹凸性，可以更好地理解气候变化的规律和趋势 。在金融学中，通过研究股票价格的拐点，可以更好地把握股票市场的变化和趋势。
导数符号变化法
通过判断函数在某点附近左右两 侧导数的符号变化来确定是否为
拐点。
二阶导数测试法
通过判断二阶导数的符号变化来确 定是否为拐点。如果二阶导数在某 点处从正变为负或从负变为正，则 该点为拐点。
切线方向变化法
通过观察曲线在某点处的切线方向 是否发生变化来确定是否为拐点。 如果切线方向发生改变，则该点为 拐点。
导数法
通过求函数的二阶导数，并令其为0 ，解出相应的x值，再判断该点是否为 拐点。
曲线凹凸与拐点计算中的注意事项
初始判断
在计算前应先大致判断 函数的形态，以便选择
合适的计算方法。
精确度要求
对于实际应用，应考虑 计算结果的精确度，选 择合适的数学工具和算
法。
拐点判断
在确定拐点时，应同时 考虑左右极限，避免误
拐点是曲线上的一个点，在该点处曲线的切线方向发变符号
在拐点处，曲线的导数由正变负或由 负变正。
拐点处凹凸性改变
拐点处切线方向变化
在拐点处，曲线的切线方向发生变化 ，由上升变为下降或由下降变为上升 。
曲线的凹凸性与拐点
一、曲线凹凸的定义
观察：
y y
o
x
o
x
都是上升的曲线，但是上升的方式不一样； 红色曲线上升的速度在增加，蓝色曲线上升速度减少； 呈现出来的不同的弯曲方式。
一、曲线凹凸的定义
观察：
y y
o
凹
x
o
x
弦在曲线上方
凸
弦在曲线下方
一、曲线凹凸的定义
凹
y f ( x1 )
凸
f ( x)
y
f ( x)
f ( x2 )
f ( x1 )
f ( x2 )
x1 x 2 x x 2 2
o
x1 x1 x 2 2
x2 x
o
x1
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f( ) 2 2
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f( ) 2 2
一、曲线凹凸的定义
对 I 上任意两点x1 , x2， 定义1：若函数 f ( x)在区间 I上连续，
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) （1）如果恒有 f ( 2 ) 2 那么称 f ( x)在 I 上的图形是凸的。
_
（2）如果恒有 那么称
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f( ) 2 2
f ( x )的极值点. 拐点：
凹
f ( x) 0
凸
f ( x) 0
f ( x )
f ( x )
拐点可能是二阶导数等于0的点，和二阶导数不存在的 点.
四、计算凹凸区间与拐点的步骤
1）求函数的定义域； 2）求 f ( x)； 3）求出 f ( x) 0的点，和 f ( x) 不存在的点；
曲线的凹凸性与拐点
曲线的凹凸性与拐点在数学中，曲线的凹凸性以及拐点对于研究曲线的性质和变化具有重要的意义。
凹凸性可以帮助我们理解曲线的弯曲程度以及变化趋势，而拐点则是曲线上的一个特殊点，表示曲线在该处发生方向的变化。
本文将介绍曲线的凹凸性与拐点的概念，以及它们在数学和其他实际应用中的重要性。
一、凹凸性的定义与判断凹凸性是描述曲线在某一区间上的弯曲程度的性质。
我们有以下两个定义来判断曲线的凹凸性：1. 凹曲线：如果曲线上的任意两点连线的下方部分都在曲线上方，则称该曲线为凹曲线。
换句话说，如果对于曲线上的任意两点A和B，A和B连线的下方不与曲线相交，则该曲线为凹曲线。
2. 凸曲线：如果曲线上的任意两点连线的下方部分都在曲线下方，则称该曲线为凸曲线。
换句话说，如果对于曲线上的任意两点A和B，A和B连线的下方不与曲线相交，则该曲线为凸曲线。
凹凸性的判断可以通过曲线的二阶导数来进行。
如果曲线的二阶导数大于0，则曲线为凹曲线；如果二阶导数小于0，则曲线为凸曲线。
而当二阶导数恰好为0时，需要考虑其他方法。
二、拐点的定义与判断拐点是曲线上的一个特殊点，表示曲线在该点处方向发生改变。
我们有以下定义来判断曲线是否存在拐点：1. 拐点：如果曲线在某一点处既没有切线也没有二阶切线（即曲线在该点处没有明确的方向），则称该点为拐点。
判断曲线是否存在拐点可以通过曲线的三阶导数来进行。
如果曲线的三阶导数存在不连续的点，则该点即为拐点。
值得注意的是，如果曲线的三阶导数的符号在该点的左右两侧不同，也可以判断该点为拐点。
三、凹凸性与拐点的应用与意义凹凸性和拐点不仅仅在数学领域中有重要性，还被广泛应用于其他学科和实际问题中，如物理学、经济学等。
在物理学中，凹凸性可以帮助解释某一物体的形状和弯曲程度，例如在光学中，曲率半径越小的曲面会导致光线的弯曲程度越大。
因此，通过研究光线在曲面上的传播可以利用凹凸性来分析光的折射和反射现象。
在经济学中，凹凸性可以用来描述供需曲线的变化趋势。
曲线的凹凸性与拐点
·复习 函数的单调性的定义，函数的极值。
·引入 由函数的单调性我们可知道曲线上升与下降的情况，还应知道它的弯曲方向以及不同弯曲方向的分界点，这就是曲线的凹向与拐点。
·讲解新课曲线的凹凸性与拐点1 曲线的凹凸定义及判定法定义1 如果曲线位于其每一点切线的上方，那么称曲线弧是凹的（如图（1）所示），如果曲线位于其每一点切线的下方，那么称曲线弧是凸的（如图（2））．yOx xyO y f x =()（2）是描述一阶导数的单调性的。
从上图可以看出，如果曲线是凹的，切线的倾斜角随x 的增大而增大，由导数的几何意义知()f x '随x 的增大而增大，即函数的一阶导数是单调增加的，所以()0f x ''>；同样，如果曲线是凸的，切线的倾斜角随x 的增加而减少，就是()f x '随x 的增大而减少，即函数的一阶导数是单调减少的，所以()0f x ''<。
反之结论是否成立呢？下面给出曲线凹凸性的判定定理。
定理1 设函数)(x f y =在[,]a b 内连续，在),(b a 内具有一阶和二阶导数，那么 （1）若在),(b a 内，0)(>''x f ，则曲线曲线)(x f y =在[,]a b 上是凹的. （2）若在),(b a 内，0)(<''x f ，则曲线曲线)(x f y =在[,]a b 上是凸的．例1 判定曲线x y ln =的凹凸性．解：函数x y ln =的定义域为),0(+∞，且21)(,1)(xx f x x f -=''='． 因为在),0(+∞上)(x f ''恒为负， 所以曲线x y ln =在其定义域内是凸的． 例2 判定曲线xy 1=的凹凸性． 解：函数x y 1=的定义域为),0()0,(+∞-∞ ， 且322,1xy x y =''-='．因为当0<x 时，0<''y ；当0>x 时0>''y ， 所以曲线在)0,(-∞内是凸的，在),0(+∞内是凹的， 2 曲线的拐点及其求法定义2 把连续曲线凹凸部分的分界点叫做曲线的拐点．定理2 （拐点的必要条件）若函数)(x f y =在0x 处的二阶导数0()f x ''存在，且点00(,())x f x 为曲线)(x f y =的拐点，则0()0f x ''=。
经济数学3.3曲线的凹向与拐点
ESC
二. 曲线凹凸与拐点的求法
例5 与拐点. 求曲线 y 2 ( x 4) 的凹凸区间
1 3
， 解 函数的连续区间为（， ） 2 5 1 2 ( x 4) 3 ( x 4) 3 y y 3 9 y 在 (,) 内恒不为零，但 x 4 时， y 不存在． x 在4的左侧邻近时， y 0 ； 在4的右 侧邻近时， y 0 .即 y在 x 4两侧异号，所 以 (4,2)是曲线的拐点. ESC
二. 曲线凹凸与拐点的求法
4） （， 曲线的凹区间是（ ， ，凸区间是 4 ）
练习：
1、求曲线
y (x 1)31 的拐点。
2、 确定曲线
y x x 的凹凸区间与拐点.
3
ESC
内容小结
本节重点讲了： 一. 曲线凹凸与拐点的定义 二.曲线凹凸与拐点的求法 求拐点的一般步骤： ①求函数定义域； ②求函数的二阶导数 f (x) ； ③令 f ( x) 0，解出全部根，并求出所 有二阶导数不存在的点；
二. 曲线凹凸与拐点的求法
例2 (续)
结论: 在区间 (0, b)内,曲线凹; 2 在区间 ( b ,) 内, 曲线凸; 2 曲线的拐点是 ( b , Ae2).
设一消费品的需求 Q 是消费者的收入 x 的函数
Q Ae
b x
(A 0, b 0).
Q
试讨论该需求收入曲线的凹凸区间与拐点.
(3)判定:在各个部分区间内讨论导 数 (x) 的符号:设, b) I 的一个 是 f (a 部分区间,当 (a, b) 时,若(x) 0, x f (2)求二阶导数 (a (1)确定 f (x), 解方程 求其 则曲线在区间, b) 内凹;若 函数的 f (a 根.(x) 0, 其根将 (x) 0, 则曲线在区间, b) 内凸 f 连续区间; 又假设 I, 且有(x ) 0, 若在 x0 f 0 函数连续区间 分成 I 点 的左右邻近(x) 的符号相反, f 0 若干个部分区间; 则曲线上的点, f (x0)) 是曲线的拐 (x0 点; 若在点 的左右邻近(x) 的符 f 0 号相同,则在 处,曲线没有拐点. 0 ESC
曲线的凹凸性和拐点
9节曲窝族畝拐点 I 忖一曲线百四的定义/H\ \二曲线凹凸：的判定「、三曲线的驾蛙姜护-一、曲线凹凸的定义如何研究曲线的弯曲方向?位于所张弦的下方问题图形上任意弧段位于所张弦的上方上—页卞一页返叵定义设/'（X）在（sZ＞）内连续，如果对S上）内任意两点r严“恒2 2 那末称/（乂）在（6巧内的图形是凹的；如果恒有八巴上2）＞八&）+八兀2）2那末称/（X）在@,巧内的图形是凸的。
上—页下—夷E?凹弧：曲线上任意一点切线都在曲线弧的下方。
凸弧：曲线上任意一点切线都在曲线弧的上方。
上—页下—夷I& E?曲线凹凸的判定X, +X,3畐eg __ ),2, ,X, +X, ―X. +X, — X,/(")-/(— )=广(刍)(兀- ')=厂(£)— -2 2 2X, +X.3^2 €( " 2 ),2X, +x\ X,十*. X, -X.定理1如果/•(*)在0上］上连续，在("0)内具有二阶导数，若在仗上)内(1)/"(x)>0,则八工)在|«,A1上的图形是凹的,(2)/^7x)<0,则八丄)在B上］上的图形是凸的。
上—页下—页证明：(1)分析:即证任取两点兀］宀(" < 兀2)要证八2 — 2X, + X予X. + X.————)1 >«2 2—X上—页下—页返叵/(©)-/(—)=厂©)(*2---—2 厂©)—-2 2 2上—页下页逅叵上—页 下—页 返叵两式相加为:X, X- + 七 X, —X, 1/(和-/( ~)]+[/(©)-[/烷)-/("】 ~-2 22即证；厂（务）一厂（£）＞o V V 务）事实上：（冬一気）同理可证明（2）上—页.•・曲线在【U,y ＞）为凹的; 而 厂(G>0 ••・/'(§) 一厂(G>0（纟 ＜塩）例1判断曲线y = 的凹凸性解.•・• = 3厂，y" = 6x,当XV 0时，y"vO,・•・曲线在（-00,0］为凸的当x>0时，y">0,注意，点（0,0）是曲线由凸变凹的分界点。
三曲线凹凸与拐点
二、曲线凹凸的判定
y
y f (x) B
y y f (x)
B
A A
oa
bx
f ( x) 递增 y 0
oa
bx
f ( x) 递减 y 0
定理1 如果 f ( x) 在 [a,b] 上连续,在 (a,b) 内具有
二阶导数 ,若在 (a,b) 内
(1) f ( x) 0,则 f ( x) 在 [a,b] 上的图形是凹的 ;
f ( x0 ) f ( x0 ) f (n1)( x0 ) 0,但 f (n)( x0 ) 0
这里n为奇数≥3， 则( x0 , f ( x0 ))是拐点
证 记 g( x) f ( x) 则 g(n3)( x0 ) f (n)( x0 ) 0 由高阶导数判定极值的方法知 g( x)在x0处取得极值 不妨设为极小值
一、曲线凹凸的定义 y
C
B
问题:如何研究曲线的弯曲方向?
A
o
x
y
y f (x)
yy f (x)源自o x1x2 x图形上任意弧段位
于所张弦的下方
o x1
x2 x
图形上任意弧段位
于所张弦的上方
定义 设f ( x)在(a,b)内连续, 如果对(a,b)内任意
两点 x1, x2 ,
恒有
f ( x1 x2 ) 2
注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界点.
三、曲线的拐点及其求法
1.定义 连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点. 注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. 2.拐点的求法
定理 2 如果 f ( x)在( x0 , x0 )内存在二阶导
数,则点x0 , f ( x0 )是拐点的必要条件是 f "( x0 ) 0.
曲线的凹凸性与拐点
y
a<0
o
b 3a
x
二、曲线的拐点及其求法
定义2 连续曲线的凹段与凸段的分界点叫做曲线 的拐点.
注意: 由于拐点是曲线凹凸的分界点, 所以拐点左右两侧
近旁f ( x )必然异号.因此, 曲线拐点( x0 , f ( x0 ))的横坐标x0 , 只可能是使f ( x ) 0的点或f ( x )不存在的点.
当a>0时, y 0 ,抛物线开口向上,曲线是凹的. 当a<0时, y 0 ,抛物线开口向下,曲线是凸的. y
a>0
o x
y o
a<0 x
例2 讨论三次函数 y ax3 bx2 cx d 在定义域内的凹凸性. 解：函数的定义域为 (,)
2
b y 3ax 2bx c y 6ax 2b 6a x 3a b 令 y 0 ，得 x 3a 当a>0时,如下表
一阶和二阶导数 , 若在 (a , b) 内 (1) f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在[a , b] 上的图形是凹的 ; ( 2) f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在[a , b] 上的图形是凸的 .
说明：（1）曲线凹凸的判定图形解释
y
y f (x )
A
B
y
y f ( x)
B
A
o
a
b
x
o
a
f ( x ) 递增
y 0
f ( x ) 递减
b x y 0
（2）为熟练掌握凹凸性的判定，介绍淋雨法则： +
y Βιβλιοθήκη 0, >y 0,
例1 利用二阶导数验证二次函数 y ax bx c
《曲线的凹凸与拐点》课件
contents
目录
• 曲线凹凸的定义与性质 • 判断曲线凹凸的方法 • 曲线的拐点及其性质 • 曲线凹凸与拐点的应用 • 总结与思考
01
曲线凹凸的定义与性质
凹凸的定义
凹函数
对于曲线上的任意两点$x_1$和 $x_2$（$x_1 < x_2$），如果函 数值$f(x_1) > f(x_2)$，则称该函 数为凹函数。
通过学习更多的函数曲线，加深对 凹凸性和拐点的理解。
探索应用领域
了解曲线凹凸性和拐点在实际问题 中的应用，如物理学、工程学等。
对实际应用的展望
工程设计
在工程设计中，了解曲线的凹凸 性和拐点有助于优化设计，如桥 梁、建筑等结构的稳定性分析。
数据分析
在数据分析中，可以利用曲线凹 凸性和拐点的知识，对数据进行
凸函数
对于曲线上的任意两点$x_1$和 $x_2$（$x_1 < x_2$），如果函 数值$f(x_1) < f(x_2)$，则称该函 数为凸函数。
凹凸的性质
01
凹函数的图像呈下凹状，凸函数 的图像呈上凸状。
02
在凹函数中，中点的函数值小于 两端点的函数值；在凸函数中， 中点的函数值大于两端点的函数 值。
凸函数的定义
对于函数$f(x)$在区间$[a,b]$上，如果对任意$x_1, x_2$（$x_1 < x_2$）都有 $f(x_1) - f(x_2) > frac{f(x_1) + f(x_2)}{2} (x_1 - x_2)$，则称$f(x)$在区间 $[a,b]$上为凸函数。
凹凸的判断方法
计算二阶导数
拐点的连续性判定
若函数在拐点处的一阶导 数存在且二阶导数改变符 号，则该点为拐点的充分 必要条件是该点连续。
曲线的凹凸与拐点概述课件
对于凹函数，其图像在任何一点处切线的斜率都大于0；对于凸函数，其图像在任何一点 处切线的斜率都小于0。
应用
在经济学、生物学、工程学等领域中，凹函数和凸函数都有广泛的应用。例如，在经济学 中，凹函数可以描述成本、收益等经济变量的变化规律；在生物学中，凸函数可以描述种 群数量、资源分配等生物变量的变化规律。
凸
对于给定曲线y = f(x)，如果在区间(a,b)内，对于任意 x1<x2<x3，都有f(x2) > f(x1) + (x2 - x1) * (x3 - x2) / (x3 x1)，则称f(x)在区间(a,b)内是凸函数。
拐点的定义
• 拐点：对于给定曲线y = f(x)，如果存在点x0，使得f'(x0) = 0，且在x0的左侧和右侧，f'(x)的符号相反，则称x0为拐点。
二次函数
在极值点处有拐点，因为极值点 处函数的单调性发生改变。
三角函数
在正弦函数和余弦函数的周期性 变化过程中，每一个周期内都有
两个拐点。
拐点的应用
经济预测
利用拐点预测经济周期的转换点。
科学计算
在求解函数的极值点和最值点时，拐点是一个重 要的参考指标。
工程设计
在机械工程中，拐点被用来确定机构的临界状态 和设计参数。
04 曲线凹凸与拐点的实际意义
CHAPTER
经济中的应用
股价走势分析
通过分析股票价格的拐点，可以 判断股票价格的未来趋势，为投 资者提供参考。
经济学模型
拐点在经济学模型中可以用于描 述经济变量的转折点或变化趋势 的转折点。
自然科学中的应用
生态学
拐点可以描述生态系统中的转折点， 如气候变化对生物多样性的影响等。
曲线的凹凸性与拐点
(2)若在(a,b)内 f (x)< 0 ,则曲线 y = f (x)在区间(a,b) 内是凸的。
例1 判断曲 y线 x3的凹凸 . 性
解 y3x2, y6x, 当x0时，y 0,
曲线 在( ,0]为凸的； 当x0时， y 0,
例2 求曲线 f(x)x44x32x5的凹凸区间及拐点． 解 (1) 函数的定义域为 (,)
f(x)4x31x 2 22 f(x ) 1x 2 2 2x 4 1x (2 x 2 )
(2) 令 f ( x ) 0 ,得 x 1 0 ,x 2 2 (3) 列表考察函数的凹凸区间及拐点:
第四节 导数的应用
曲线的凹凸性与拐点
一、曲线的凹凸性与拐点
观察下列两图的特点：
yf(x)
y
B
A
y
yf(x)
A
B
o
x
o
x
１.曲线凹凸性的定义
y
yf(x) B
yf(x)
y
B
A A
oa
bx
oa
bx
定义2.6 若在某区间(a,b)内曲线段总位于其上任意一点处切
线的上方，则称该曲线段在(a,b)内是凹的, (a,b) 为曲线的凹 区间；若曲线段总位于其上任一点处切线的下方，则称该曲 线段在(a,b)内是凸的,(a,b)为曲线的凸区间.
从而有 06a2b 即
( 1 )
3 a b 0
(1)式和(2)式联立解得:
a3,b 9 22
( 2 )
3、小结
所以: 拐点
凹凸性分界点
f (x)单调性分界点
《曲线的凹向与拐点》课件
课程目标
掌握曲线的凹向与拐点的定义和 判定方法。 理解曲线的凹向与拐点在函数极 值问题中的应用。 能够运用曲线的凹向与拐点解决 一些实际问题。
02
曲线的凹向
凹向的定义
凹向
在平面曲线上，任意两点的连线 段位于曲线弧的下方，则称该曲 线为凹曲线。
凹向的曲线在一定区域内具有下凹的趋势 ，即随着自变量的增加，函数值会减小。
对于连续的凹函数，其图像是连续下降的 。
03
曲线的拐点
拐点的定义
01
拐点是函数图像上凹凸性发生改 变的点，即二阶导数等于零的点 。
02
在数学上，拐点是曲线在某点的 切线斜率由正变负或由负变正的 点。
拐点的判断方法
首先求函数的二阶导数，然后 找出二阶导数等于零的点。
的变化趋势。
在物理中的应用
振动分析
在物理学中，曲线的凹向和拐点可以用于 分析振动的周期、幅度和相位。
光学分析
在光学中，利用曲线的凹向和拐点可以分 析光的折射、反射和干涉现象。
力学分析
在力学中，利用曲线的凹向和拐点可以分 析物体的运动轨迹和受力情况。
在经济中的应用
供需分析
风险管理
在经济分析中，利用曲线的凹向和拐 点可以分析供需关系，预测市场价格 变化。
检查二阶导数在零点左右的符 号变化，如果由正变负或由负 变正，那么这个点就是拐点。
另一种方法是利用泰勒展开式 来判断，在拐点附近，函数可 以展开为两个线性项，且斜率 发生改变。
拐点的性质
拐点是局部性质，只影响曲线在 该点的附近凹凸性，不影响整体
形状。
不是所有的函数都有拐点，例如 单调函数就没有拐点。
数学分析第四节曲线的凹凸性与拐点
0
(0, )
－ 凸
0 拐点
+ 凹
不存在 非拐点
+ 凹
曲线在(,1 / 5) 为凸的. 在 (1 / 5,) 内为凹的.
拐点为点(1 / 5, f (1 / 5)) (1 / 5,1.2 25 ).
1 3
凹曲线在切线的上侧随着x的增大切线斜率随之增大即凸曲线在切线的下侧随着x的增大切线斜率随之增大即定理曲线凹凸性的判定法设函数yf若在ab内则曲线弧yf若在ab内则曲线弧yf定理结论可由函数进行验证
第四节 曲线的凹凸性与拐点
一、曲线凹凸性与拐点的定义
二、曲线凹凸性的判别
返回
第四节 曲线的凹凸性与拐点
2
故 y x arctan x 在 (, ) 内为凹的.
例 判定曲线弧 y x 的凹凸性.
3
解 所给曲线在 (, ) 内为连续曲线弧.由于
2 y ( x ) 3x , y (3x ) 6 x. 3 y 0 y x 当x<0时， ,可知 为凸的.
y 0 , y x 为凹的. 当x>0时， 2 5 1 3 2 3 y x , y x . y在x 0处不存在. 3 9 y 0 ,曲线 y 3 x 为凹的. 当x<0时，
3
o x
y 0 ,曲线 y 3 x 为凸的. 当x>0时，
2 定理结论可由函数 y ax 进行验证. y ,曲线为凸的.
例 判定曲线弧 y x arctan x 的凹凸性. 解 所给曲线在 (, ) 内为连续曲线弧.由于 x y arctan x , 2 1 x
1 (1 x ) x 2 x 2 y 0, 2 2 2 2 2 1 x (1 x ) (1 x )
高等数学 上下册3_5 曲线的凹凸性和拐点-PPT精选文档
42 1 . y x 2 x 例 判 断 曲 线 的 凹 凸 性 3 2 y 4 x 4 x , y 1 2 x 4 解 4 2 y 0 y x 2 x , 显 然 ， 在 上 恒 有 ， 故 曲 线 在 , 上 是 凹 的 2 . y l n x 例 判 断 曲 线 的 凹 凸 性 1 1 y y 解 ， 2 x x y 0 . y l n x x 0 , 0 , 当 时 ， ， 故 曲 线 在 上 凸 的 3 3 . y x 例 判 断 曲 线 的 凹 凸 性 2 y 6 x y 3 x 解 ， 3 x 0 y 0 ,0 y x 当 时 ， ， 故 曲 线 在 是 凸 的 ； 上 3 x 0 y 0 0 , y x . 当 时 ， ， 故 曲 线 在 是 凹 的 上 3 3 0 ,0 y x y x 点 曲 线 凹 凸 弧 的 分 界 点 ， 称 为 曲 线 的 拐 为 . 点
第五节
曲线的凸凹性与拐点
在讨论函数的图形时，只知道它的增减性是不够 的，例如，图 3-8 中，函数 y x 2 与 y x ，当 x 0 时都 是单调增加的，但它们曲线的弯曲方向是不同的，因此 有必要讨论曲线的凹凸性. 观察 y x 2 的图形，它是一条沿 y x 轴正向上升且向上弯曲的曲线， 曲线总位于切线的上方，切线斜 率 y 2 x 是单调函数. y x 的图形， 它是一条沿 x 轴正向上升的且向下弯 曲的曲线，曲线总位于切线的下方， O x 1 图3-8 切线斜率 y 是单调函数. 2 x
, 解D f 1 2 y y ， 3 2 3 2 3x 9 x x 不 y x 0 , 当 时 ， 存 在 ， 它 将 成 两 个 区 间 . 分 列 表 讨 论 ：
掌握曲线的凹凸性和拐点的判定方法
掌握曲线的凹凸性和拐点的判定方法
在数学和物理学中，我们经常需要分析曲线的性质，如凹凸性
和拐点。
掌握这些判定方法可以帮助我们更好地理解曲线的行为和
特征。
本文将介绍一些常用的方法来判断曲线的凹凸性和拐点。
凹凸性的判定方法
一阶导数的方法
曲线的凹凸性与一阶导数的正负相关。
若曲线上任意一点处的
一阶导数大于零，则曲线在该点上是凸的；若一阶导数小于零，则
曲线在该点上是凹的。
二阶导数的方法
曲线的凹凸性也可以通过二阶导数来判断。
求曲线的二阶导数，然后观察二阶导数的正负性。
若二阶导数恒大于零，则曲线是凸的；若二阶导数恒小于零，则曲线是凹的。
切线的方法
通过画出曲线上某一点的切线，观察切线与曲线相交的情况可以判断凹凸性。
如果曲线上的切线位于曲线下方，那么曲线在该点是凹的；如果切线位于曲线上方，曲线在该点是凸的。
拐点的判定方法
拐点是曲线上的特殊点，曲线在该点上发生凹凸性的变化。
下面介绍一些常用的方法来判断拐点。
二阶导数的方法
寻找曲线上的拐点可以通过观察二阶导数的零点来判断。
如果二阶导数在某一点处为零并且两侧符号不同，那么该点就是曲线的拐点。
曲率的方法
曲线上某一点的曲率表示了曲线在该点上的弯曲程度。
拐点处的曲率会发生突变。
因此，通过计算曲线在不同点处的曲率，并观察曲率的变化情况，可以确定曲线上的拐点。
总结
通过使用一阶导数、二阶导数和曲率等方法，我们可以判断曲线的凹凸性和拐点。
这些方法在数学和物理学的分析中是常用的，能够帮助我们更全面地了解曲线的特性。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
5 3
5 3
从 知 (0,0)为 线 = x 的 点 而 点 曲 y 拐 .
由上两例可知，二阶导数等于零和不存在的点都有可 由上两例可知，二阶导数等于零和不存在的点都有可 的点都有 能是拐点 能是拐点. 拐点
5 3
判断曲线拐点的步骤： 判断曲线拐点的步骤： (1) 求出 求出f(x)的定义域及二阶导数 f ′′(x) ； 的定义域及二阶导数
的凹凸性，并求其拐点. 例3 讨论曲线 y = (x −1 3 x2 的凹凸性，并求其拐点 ) 解 所给函数 在−∞+∞ 内为连续函数 ( , )内为连续函数.
y′ =[(x −1 3 x2 ]′ = (x − x ) )
5 3 2 3
y′′ =
10 2 x + x 9 9
−1 3
−4 3
3 1 −4 10 3 1 10( x + 5 ) = x (x + )= 3 4 . 9 5 9 x
(1) 若在 若在(a,b)内 f ′ (x) >0，则曲线 则曲线y=f(x)在[a,b]上为凹的 上为凹的. 内 ′ 在 上为凹的 (2) 若在 若在(a,b)内 f ′(x) <0 ，则曲线 则曲线y=f(x)在[a,b]上为凸的 上为凸的. 内 ′ 在 上为凸的 例1 判定曲线 y= x3的凹凸性并求其拐点 的凹凸性并求其拐点. 解 所给曲线在 (−∞ +∞)内为连续曲线 由于 , 内为连续曲线.由于
§3.3曲线的凹凸性与拐点 3.3曲线的凹凸性与拐点
教学目标及要求
1、了解凹凸、拐点等概念； 了解凹凸、拐点等概念； 掌握用二阶导数判别曲线凹凸的方法， 2、掌握用二阶导数判别曲线凹凸的方法，会 求曲线的拐点* 求曲线的拐点* .
若函数f(x) 在(a,b)内，曲线总在它每一点切线 内 定义 若函数 ∪ 的上方，则称曲线在( 记为“ )内为凹 的上方，则称曲线在(a,b)内为凹的（记为“ ”） ； 若曲线f(x)总在它每一点切线的下方，则称此曲线在 总在它每一点切线的下方， 若曲线 总在它每一点切线的下方 记为“ （a,b）内为凸的（记为“ ”）； ）内为凸 ∩ 凹与凸的分界点称为曲线的拐点 凹与凸的分界点称为曲线的拐点. 拐点 y y
, 解 所给曲线在 (−∞ +∞)内为连续曲线 由于 内为连续曲线.由于 x , y′ = arctan x + 2 1+ x
x
(−∞1 ,)
+ ∪
1 0 拐点 (1,－ (1,－3)
( 1,2) － ∩
2 0 拐点 (2,6)
(2,+∞)
+ ∪
′ y′
y
为凸的. 可知所给曲线在(−∞1 与2,+∞ 内为凹的，在(1,2)为凸的 为凸的 ,) ( )内为凹的， 拐点为点 (1,－3)与点 (2,6). － 与点
练习2 判定曲线y=xarctan x的凹凸性 练习 判定曲线 的凹凸性. 的凹凸性
2 1 − 5 2 = x3 − x 3, ′
3
1 ′ = 0 可 x = − . 当 = 0 , y′不 在 ′ ， 得 令 y x 时 ′ 存 . 5 1 1 1 (0,+ ) ∞ ∞ (− ,0) 0 x (− ,− ) − 5 5 5 ′ y′ － + 0 不存在 + 拐点 ∪ 非拐点 1 6 ∩ ∪ y (− ,− 3 )
′ 不存在的点 ； ′ (2) 求出二阶导数 f ′(x) 为零及 f ′(x)
（3）判定上述点两侧， ′(x)是否异号 如果 f ′(x)在 x 的 ）判定上述点两侧， ′ 是否异号.如果 ′ f 两侧异号，则 (x, f (x)) 为曲线 为曲线y=f(x)的拐点 如果 f ′(x) 在 的拐点.如果 ′ 两侧异号， 的拐点 的两侧同号， 不为曲线 的拐点. 的拐点 x的两侧同号，则 (x, f (x)) 不为曲线y=f(x)的拐点 拐点是平面中的点，有两个坐标； 注 意 ⑴拐点是平面中的点，有两个坐标； ⑵并非所有满足二阶导数等于零和不存在的点都是拐 还要验证相应点左右两边二阶导数的符号. 点，还要验证相应点左右两边二阶导数的符号
−π π
O
x
O
x
除了用定义判断曲线凹凸性外，还可用导数判断 观 除了用定义判断曲线凹凸性外，还可用导数判断.观 切线斜率随x变大逐渐增大 变大逐渐增大， 察到曲线f(x)在(a,b)内为凹时， 内为凹时， 察到曲线 在 内为凹时 切线斜率随 变大逐渐增大， 为凸时随x变大切线斜率逐渐变小 变大切线斜率逐渐变小. 为凸时随 变大切线斜率逐渐变小
试判定点M(0,0)是否为 曲线 y = x 是否为 例2 试判定点 解
5 的拐点. 3 的拐点
所 函 为−∞ +∞内 连 函 . 给 数 ( , ) 的 续 数
5 2 10 − 1 10 ′ = x3 , y ′′ = x 3 = y , y′′在x = 0处不y = x 为凸的. x< 时y′′
5 5 25
的凹凸性， 讨论曲线 y = x4 −6x3 +12x2 −10的凹凸性，并 练习1 练习 求其拐点. 求其拐点 解 所给函数 y = x4 −6x3 +12x2 −10在−∞ +∞内连续 ( , ) 内连续. y′ = 4x3 −18x2 +24x,
′ y′ =12x2 −36x +24 =12(x −1 x −2), )( ′ ( , ) 连 ， y y′在−∞+∞内 续 令 ′′ = 0 得 =1 x = 2. ， x ,
∪
∩ −
′ ′ =(x3)′ =3x2, y′ =(3x2)′ =6x. y
因此当x<0时， ′ <0 ，可知曲线 y= x3为凸的 时 y′ 为凸的. 因此当
y′ >0 ，可知曲线 y= x3 为凹的. 当x>0时， ′ 时 为凹的
故 知 点 可 ， (0,0)为 线 = x3的 点. 曲 y 拐
故若y=f(x)在(a,b)内二阶可导，可利用二阶导数的符 在 内二阶可导， 故若 内二阶可导 号来判定曲线的凹凸性. 号来判定曲线的凹凸性 曲线凹凸性判定定理) 定理 (曲线凹凸性判定定理 设函数 曲线凹凸性判定定理 设函数y=f(x)在[a,b]上连 在 上连 内二阶可导. 续，在(a,b)内二阶可导 内二阶可导 +