巧思妙解题
一元一次方程之巧思妙解
一元一次方程之巧思妙解
解一元一次方程的通常步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、把系数化为1.但是对于有些具备特殊性的一元一次方程，我们完全可以打破常规，灵活、巧妙地变通解题步骤，避繁就简，使解题过程简捷明了. 下面介绍几种技巧，供同学们参考.
一、巧去括号
分析：如果按例1使括号前的系数依次相乘，解题过程会变得非常复杂.这时要充分利用方程特点，将方程两边同乘以或除以某数，是括号前的系数变成1，从而去掉括号.
解：方程两边同乘以3，去掉大括号，然后
二、巧拆项
分析：观察方程的特点，可先将每个含有分母的多项式拆开，分类合并，可简化过程.
分析：观察各项未知数的系数和常数
三、巧换元
分析：将（x-1）看成一个整体，用换元法，可大大简化运算.
四、巧用分式的基本性质
分析：若直接去分母较繁，观察本题可先用分数的基本性质，使化分数和去分母一次到位，从而避免了繁杂的运算.
五、巧分组通分
分析：观察四个分母的数字特点，采用移项后分组通分，即将分母是21和14的两项放在一组，另外两项成一组，可巧解方程.
分析：注意到左边的第一项和右边的第二项中的分母有公约数3，左边的第二项和右边的第一项中的分母有公约数4，移项局部通分，可简化解题过程.。
巧思妙解
巧思妙解
在“图形变换”这一单元里，我们利用旋转图形，绘制出了很多很美的图案，让我们赏心悦目。
其实，在解决一些比较难的题时，利用旋转的知识，将图形进行变换，会使很复杂的题，变得非常容易。
【趣题点击】
用一张斜边长为29的红色直角三角形纸片，
一张斜边长为49的蓝色直角三角形纸片，
一张黄色的正方形纸片，如图所示拼成一个
直角三角形。
问红、蓝两张三角形纸片面积
之和是多少
【解题锦囊】
这道题乍一看好像缺少条件，每个三角形只告诉一个条件是绝对不能求出它的面积的。
但是，只要我们认真分析这道题的问题，它为什么要我们求蓝色与红色的和呢？是不是蓝色的面积与红色的面积有什么联系？想想它为什么要告诉我们黄色的是正方形，于是，我们很快就能找到
蓝色的与红色的它们的联系，就是它们分别有一
条直角边是一样长的。
然后，利用我们学过的旋
转知识，将红色的三角形绕A 点旋转，如右图，
这时，蓝色与红色三角形的面积之和就是一个大
三角形了，它的面积是：29×49÷2＝710.5
知道了利用旋转解题很重要吧。
那就试试。
两个边长为2cm 的正方形，其中一个的顶点在另一个的中心上如下图，求这两个正方形不重合部分的面积和。
（提示：图中两个阴影部分的面积相等。
）
49 29。
巧联想妙解题
方法点击巧联想 妙解题江苏 孙洲一、由角平分线联想到距离相等例1 如图1，在△ABC 中，∠BCA 的平分线与AB 边的垂直平分线DG 相交于点D ，DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，求证：AE=BF .图1分析：由DC 是∠BCA 的平分线，可得DE=DF.要证AE=BF ，只需连接AD ，BD ，根据线段垂直平分线的性质定理得到AD=BD ，证明Rt △ADE ≌Rt △BDF ．证明：如图1，连接AD ，BD.因为CD 平分∠BCA ，DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，所以DE=DF .因为DG 是AB 的垂直平分线，所以DA=DB.在Rt △ADE 和Rt △BDF 中，DA=DB ，DE=DF ，所以Rt △ADE ≌Rt △BDF .所以AE=BF .二、由距离相等联想到角平分线例2 如图2，在△ABC 中，∠ACB=60°，D 为AC 的中点，延长BC 至E ，使CE=CD ，以DE 为边作等边三角形EDF ，连接AF ，求证：AF ∥BC.F E DC BA图2分析：由∠ACB=60°，CE=CD ，根据三角形内角和定理的推论及等腰三角形的性质求出∠CED=∠CDE=30°.再结合等边三角形的性质得到FD ⊥AC ，FE ⊥CE.由已知FD=FE ，则联想到CF 是∠ACE 的平分线.连接CF ，得∠FCA=60°.要使AF ∥BC ，只需∠FAC=60°.由FD 垂直平分AC ，根据线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质得到∠FAC=∠FCA= 60°.证明：连接CF.因为∠ACB=60°，CE=CD ，所以CED=∠CDE=30°.因为△EDF 是等边三角形，所以DE=EF=DF ，∠FDE=∠DEF=∠EFD=60°.所以∠CDF=∠CEF=90°，即FD ⊥AC ，FE ⊥CE.所以CF 平分∠ACE.所以∠DCF=21∠ACE=21（180°-∠ACB ）=60°. 因为D 为AC 的中点，所以AD=CD.又FD ⊥AC ，所以FA=FC.所以∠FAD=∠FCD=60°.所以∠FAC=∠ACB.所以AF ∥BC.。
第十一届海门之窗杯“巧思妙解”玩数学竞赛四年级试题含答案
第十一届海门之窗杯“巧思妙解”玩数学竞赛四年级试题含答案work Information Technology Company.2020YEAR第十一届海门之窗杯“巧思妙解”玩数学竞赛四年级模拟试题准考证号码姓名得分指导老师一、填空题：(每空3分，12小空，共36分）1.按规律填上适当的数。
5，2，8，4，12，8，17，16，（），（）。
2.几个同学交流自己家的门牌号，前六位同学家的门牌号分别是301，402，607，113，736，223。
小梅发现她家的门牌号与前面每个门牌号恰好在同一数位有一个相同的数字。
你知道小梅家的门牌号是（）。
3. 在一个减法算式里，被减数、减数与差的和是180，而差比减数少8.如果被减数不变，减数减少16，差应变（）。
4.小明在计算两位数乘两位数时，把一个因数的个位数6错写成9，结果得936，实际应为864。
这两个因数各是（）和（）。
5.小刚五次考试的平均成绩为93分（满分为100分），那么他每次考试的分数不得低于（）分。
6. 小明做错题时，把被减数百位上的3错写成8，把减数十位上的9错写成6，这样算得的差是806.正确答案是（）。
7. 一个等差数列的第5项是21，第8项是63，那么它的第14项是（）。
8.如图，已知大正方形的边长为4，小正方形的边长为3，那么阴影部分的面积为（）。
9.二进制数10110改写为十进制数为（）。
10.在四年级的100个学生中，68人订阅了《小学生数学报》，76人订阅了《小学生语文报》，其中仅订《小学生数学报》的有10人，则这100个学生中仅订《小学生语文报》的有（）人。
二、选择题：(每小题3分，5小题，共15分）1. 有两袋糖，一袋有71粒，另一袋有39粒，每次从多的一袋中拿出4粒放入少的一袋里，拿（）次才能使两袋糖数目同样多。
A. 36B.8C. 6D.42. 有一位工人把长18米的圆钢锯成了3米长的小段，锯断一次需4分钟，共需要（）分钟。
名师指点：巧思妙解二元一次方程组，掌握此方法，考试永不怕！
三．轮换法
四．反复加减法
五．整体叠加法
六、消常法
本题使用换元法虽然并不比直接解简单但它体现了一种方法揭示了一种思想在今后的解方程组中应用十分广泛同学们也应掌握好
名师指点ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ巧思妙解二元一次方程组，掌握此方法，考试永不怕！
一．整体代入法
二．换元法
所谓换元法，就是把一个数学式子或者其中的一部分看作一个整体，用一个中间变量去代换，从而达到简化式子的目的．
第15届海门之窗网杯小学生巧思妙解玩数学模拟卷
第15届“海门之窗网”杯小学生巧思妙解玩数学模拟卷一年级试卷姓名 准考证号 得分一、填空题。
（第2、3、4、8题每题3分，其余每题2分，共28分）1.按照所标线路，如果三只小狗同时出发并且它们跑得一样快，（ ）号小狗最先到达终点。
①号小狗 终点 ②号小狗 终点 ③号小狗 终点2. 数数下面的图形中各有几个图形。
（ ）个三角形 （ ）个长方形 （ ）个正方形3. 找规律填数。
（1）1、6、7、12、13、（ ）（2）35、30、31、26、27、（ ）、（ ）（3）4. ＋＝10 ＝（ ）＋＋＝6 ＝（ ）＋＋＝8 ＝（ ）1943 9 10 3 7 14 8 61 1 ? 5.傍晚小红在灯下做作业时突然停电了，小红拉了五下开关，爸爸回来后又拉了三下开关。
等来电以后，小红房间的灯是（ ）的。
（填写“亮”或“不亮”）。
6.时钟在2点钟敲2下，2秒敲完；4点钟敲4下，（ ）秒敲完。
7. 如图，每个正方体的六个面上分别写着1～6这六个数字，并且任意两个相对的面上所写的两个数字之和都等于7，相连的两个数字之和都等于8。
图中打“？”的这个面上所写的数字是（ ）。
8. 在所给的数之间，填上“＋”“－”或“（ ）”，使等式成立。
（1）8 3 4 ＝ 9（2）4 4 4 4 ＝ 0（3）7 2 1 ＝ 89.小明的文具盒中有铅笔4支，钢笔3支，至少拿出（ ）支就能确保有2支是一样的。
10.把1、2、3、4、5、6、7、8这八个数分别填入□里（每个数只能用一次），使等式成立。
11. 公园到城堡有两条路，从城堡到森林动物园有四条路，从公园经过城堡到森林动物园有（ ）种不同的走法。
12. 鸡、兔关在同一个笼子里，共有10个头，28条腿，笼子里有（ ）只鸡，（ ）只兔。
二、实践与探索。
(每题6分，共24分)13. 只移动一根火柴棒，使下面算式成立。
（1）移动后的算式是（ ）⑥ 森林动物园 公园 ⑤ ① ④ ② 城堡 ③（2） 移动后的算式是（ ）14.把1、2、3、4、5、6、7这七个数填在右图的七个Ο里（每个数只能用一次），使每条直线上三个数相加的和都等于12。
巧思妙解小学二年级数学应用题
小学二年级数学应用题（巧思妙解）1、一群小朋友在游乐场里划船，原有28人，走里5人又来了17人，现在有多少人？2、仓库里有一些水泥，用去26包，又运来45包，现在仓库里有水泥93包。
仓库里原来有多少包？3、一辆公交车里原有27人，到站点后下去6人，又上来13人，现在车上有多少人？4、广场上插的红旗比黄旗多22面，红旗再添14面，黄旗再添18面，现在哪种旗多？多多少面？5、公园里原来的杨树比柳树少13科，今年植树节那天，又栽了18棵杨树和15棵柳树，现在杨树和柳树哪个多？多多少棵？6、水果店原来苹果比梨树多7筐，又运来12筐和一些苹果，现在苹果还比梨多4筐，又运来了多少筐苹果？7、有三根铁丝，第一根比第二根长10厘米，第二根比第三根短5厘米，已知第三根长15厘米，三根铁丝一共长多少米？8、有一个书架，中层有书32本，比下层少10本比上层多7本，三层一共有书多少本？9、二年级一班有学生54人，比二年级二班多3人，比二年级三班少4人，三个班一共有多少人？10、一瓶水，连瓶重121克，倒掉一半水后连瓶重71克，瓶重多少克？水重多少克？11、一筐香蕉，连筐重25千克，卖出一半香蕉后连筐重13千克。
筐重多少千克？香蕉重多少千克？12、一桶油连桶重42千克，用去一半油后，连桶重23克。
油重多少千克？桶重多少千克？13、小树苗艺术团原有60人，今年暑期有15名同学毕业了，又有13名同学新加入了艺术团，小树苗艺术团现在有多少人？14、一桶水，连桶重36千克，用去一半后，连桶重20千克，满桶水重多少千克？15、操场上有8面黄旗，红旗比黄旗多6面，有多少面红旗？绿旗比黄旗和红旗的总数少2面，有绿旗多少面? 16、商场里有42个红皮球和25个花皮球。
早上有6个人买去19个皮球，现在商店里有多少个皮球？17、菜场原来青菜比萝卜多7筐，后又运来12筐萝卜和9筐青菜，现在青菜多还是萝卜多？多几筐？18、幼儿园有水果糖30块，还有一些奶糖。
巧思妙解小学二年级数学应用题
小学二年级数学应用题（巧思妙解）1、一群小朋友在游乐场里划船，原有28人，走里5人又来了17人，现在有多少人？2、仓库里有一些水泥，用去26包，又运来45包，现在仓库里有水泥93包。
仓库里原来有多少包？3、一辆公交车里原有27人，到站点后下去6人，又上来13人，现在车上有多少人？4、广场上插的红旗比黄旗多22面，红旗再添14面，黄旗再添18面，现在哪种旗多？多多少面？5、公园里原来的杨树比柳树少13科，今年植树节那天，又栽了18棵杨树和15棵柳树，现在杨树和柳树哪个多？多多少棵？6、水果店原来苹果比梨树多7筐，又运来12筐和一些苹果，现在苹果还比梨多4筐，又运来了多少筐苹果？7、有三根铁丝，第一根比第二根长10厘米，第二根比第三根短5厘米，已知第三根长15厘米，三根铁丝一共长多少米？8、有一个书架，中层有书32本，比下层少10本比上层多7本，三层一共有书多少本？9、二年级一班有学生54人，比二年级二班多3人，比二年级三班少4人，三个班一共有多少人？10、一瓶水，连瓶重121克，倒掉一半水后连瓶重71克，瓶重多少克？水重多少克？11、一筐香蕉，连筐重25千克，卖出一半香蕉后连筐重13千克。
筐重多少千克？香蕉重多少千克？12、一桶油连桶重42千克，用去一半油后，连桶重23克。
油重多少千克？桶重多少千克？13、小树苗艺术团原有60人，今年暑期有15名同学毕业了，又有13名同学新加入了艺术团，小树苗艺术团现在有多少人？14、一桶水，连桶重36千克，用去一半后，连桶重20千克，满桶水重多少千克？15、操场上有8面黄旗，红旗比黄旗多6面，有多少面红旗？绿旗比黄旗和红旗的总数少2面，有绿旗多少面? 16、商场里有42个红皮球和25个花皮球。
早上有6个人买去19个皮球，现在商店里有多少个皮球？17、菜场原来青菜比萝卜多7筐，后又运来12筐萝卜和9筐青菜，现在青菜多还是萝卜多？多几筐？18、幼儿园有水果糖30块，还有一些奶糖。
巧思妙解中考题
分析 本题从纯几何的角度
寻找解 题思 路 较难 , 注 意到 矩 形
两条折痕之间的距离为 1cm. 其实我们只要动手按步骤 实际操作一下 , 无需象上面那样去进行复杂的思考 , 就 可快速发现问题的答案为 1cm. 例 2 (江苏省泰州 市中考题 ) 如图 3, 在 10 ×
10 的正方形网格纸中 , 线
的两邻边均未知 , 及其与正方形边长之间的关系 , 可得 巧解 : 设矩形的两邻边为辅助未知数 , 列方程组来解题 1 设矩形的长为 a , 宽为 b, 则有方程组
2a = ( k - 4 ) b, a + 2b = 2 a,
① ②
1 1 1 1 + 2 + 3 + 4 2 2 2 2
2 抓住特殊
例 1 (河北省中考题 ) 小宇同学在一次手工制作 活动中 , 先把一张矩形纸片按图 1 的方式进行折叠 , 使 折痕的左侧部分比右侧部分短 1cm; 展开后按图 2 的方 式再折叠一次 , 使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长
1cm, 再展开后 , 在纸上形成的两条折痕之间的距离是 cm.
2m + 4 n - 4n + 1994 =
2 2
例 6 (山东日照市中考题 ) 某校数学课外活动探 究小组 , 在老师的引导下进一步研究了完全平方公式 . 结合实数的性质发现以下规律 : 对于任意正数 a、 b 都有
a + b ≥2 a b成立.
1
2
分析 本题可以先求出 m , n, 再代入求值 , 但较复 杂 1从整体上看 , 可以发现 m , n 是方程 x - 2x - 1 = 0 的 两个根 , 从而可用根与系数的关系求得 m + n = 2. 又由 题意知 : m2 = 2m + 1, n2 = 2n + 1, 故有 2m 2 + 4n 2 - 4n +
巧思妙解1
两点。
(1)求抛物线的函数表达式。
(2)点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得△B′CD，若点C′恰好落在抛物线的对称轴上，求点C′和点D的坐标。
(3)设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当△CPQ为等边三角形时，求直线BP的函数表达式。
如图2：易证△BCP≌△C妙解】①当点P在x轴上方时；如图3：连BQ，∵Q在对称轴上∴BQ=QC=CP，故点B、C、P在以点Q为圆心CQ为半径的圆上。∴ ∴ ∴BP： 。
②当点P在x轴下方时；方法同上，略。请自行补充完整。
解答：
（1）y=x2-2x-3；
（2）由B(-1,0)，C(3,0)可知对称轴为直线x=1,故OB=2，BC=4。∵翻折，∴BC′=BC=4，由勾股定理可得OC′= ，故C′ 。易知∠C′BO=60°，∴∠DBO=30°。Rt△DB0中，OD=OB·tan∠DBO=2× = ,故D（1， ）。
（3）①当点P在x轴上方时；如图1：连CC′，PC′，BQ。由（2）可知△CBC′是等边三角形，∠C′CB=60°=∠QCP，∴∠C′CB-∠C′CQ=∠QCP-∠C′CQ，即∠BCQ=∠C′CP，又BC=CC′，CQ=CP，，∴BQ=C′P=CP。故BP是轴对称图形BCC′P对称国轴，∴∠PBO=30°∴ ∴BP： 。
巧思妙解2011年高考数学题
巧思妙解2011年高考数学题（江苏卷）杨洪林1.（题18）如图，在平面直角坐标系x O y中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限.过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k.（1）当直线PA平分线段MN时，求k的值；（2）当k= 2时，求点P到直线AB的距离d；（3）对任意k ＞0，求证：PA⊥PB.【参考答案】（1）…….（2）…….（3）解法一将直线PA的方程y= kx代入，解得x=±.记μ=，则P（μ,μk）, A（-μ, -μk）,于是C（μ,0）.故直线AB的斜率为=，其方程为.代入椭圆方程得（2 + k2）x2 -2μk2x–μ2（3k2 + 2）= 0, 解得x =或x = - μ .因此B（, ），于是直线PB的斜率k1 === -.因此k1 k= - 1，所以PA ⊥ PB.解法二设P（x1, y1）,B（x2, y2）,则x1＞0, x2＞0, x1≠x2，A（-x1,-y1）,C（x1,0）.设直线PB、AB的斜率分别为k1、k2，因为C在AB上，所以k2 ===.从而k1k+1=2k1k2+1 = 2··+ 1 =+ 1= = = 0. 因此k1k = - 1，所以PA ⊥ PB.·巧思·①利用三角形中位线定理，便知OD∥PB（D为AB的中点），“证明PA ⊥PB”就转化为“证明OA ⊥OD”。
②将点A、B的坐标设为对称式（关于中点D对称），便得两个对称的等式，从而又得一个简单的关系式。
③利用所得的简单关系式和A、B、C三点共线的条件（k= k BC），必可得到k OA·k OD = -1AB（条件都已用到）。
·妙解·设AB的中点D（a,b），A（a+ m,b+ n），B（a - m,b - n），则C（-a -m,0），OD ∥PB.且（a + m）2 + 2（b + n）2= 4 =（a - m）2 +2（b - n）2am + 2bn = 0.k PA = = 2 k AC = 2 k AB = = - = - = -PA⊥PB.【评注】①“对称美”是数学美之一，设立“对称式”求解问题也是数学研究中经常采用的手法之一。
好题巧思妙解
好的，以下是一些具有巧思妙解的题目：
1. 有一道数学题，要求解一个复杂方程，但是经过反复尝试，
都无法得到正确的答案。
后来，他发现了一种巧妙的方法，可以快
速准确地解决这个问题。
请问，这个巧妙的方法是什么？
答案：这个巧妙的方法是利用数学中的“对数”和“指数”之
间的关系，将方程转化为一个容易求解的形式。
具体来说，他可能
使用了“换底公式”或者“自然对数”等工具，将方程变形为一种
更易于求解的形式。
2. 有一道物理题，要求计算一个物体的重量。
但是题目中只给
出了物体的质量和重力加速度，而且物体处于一个非惯性系中。
请问，如何利用这些信息计算物体的重量？
答案：在非惯性系中，物体的重量会受到额外的力作用。
这个
额外的力等于物体质量乘以非惯性系的加速度乘积。
因此，要计算
物体的重量，可以先计算出非惯性系的加速度，然后再将其乘上物
体的质量即可。
3. 有一道化学题，要求从一种混合物中分离出一种特定的化学
成分。
但是混合物中的其他成分会对这种化学成分产生干扰。
请问，如何利用化学知识快速分离出这种化学成分？
答案：可以利用化学中的“萃取”方法，将混合物中的特定成
分萃取出来。
具体来说，可以选择一种与目标成分不相互作用的溶剂，将混合物中的目标成分萃取出来，然后再将其分离出来。
以上题目都具有巧思妙解的特性，需要运用所学的知识进行深
入思考和灵活运用才能得到正确答案。
巧思妙解
巧思妙解我的求法，妙广东省佛冈县第一小学六（4）班徐俊杰指导老师：黄秀银同学们，通过圆柱体积的学习，你们都知道圆柱的体积计算公式是：圆柱的体积=底面积高，用字母表示：V柱= S底h。
其实，除了这一计算公式外，圆柱的体积还有另一种求法。
我们先来回忆一下，把圆柱转化成我们所学过的立体图形，体积公式的推导过程是：首先把圆柱的底面分成许多相等的扇形（例如分成16份如图1），然后把圆柱切开，拼成一个近似的长方体（如图2，分成的扇形越多，拼成的立体图形就越接于近长方体），这个长方体的底面积等于圆柱的底面积，高就是圆柱的高。
因为长方体的体积=底面积高，所以圆柱的体积计算公式是：圆柱的体积=底面积高，用字母表示是：V柱= S底h。
我将拼成的近似长方体的立体图形由竖放变成横放（如图3），由此我就会发现了：这个长方体的底面积等于圆柱侧面积的一半，高等于圆柱的底面半径，所以圆柱体积的另一种计算公式是：圆柱的体积=圆柱侧面积的底面半径，用字母表示是：V柱=s侧r。
例如：一个圆柱的底面半径是5厘米，侧面积是62.8 平方厘一般解法：运用公式V柱= S底h进行计算。
圆柱的底面周长是：3.14 3 2=31.4（厘米）圆柱的高是：62.8 31.4=2（厘米）圆柱的体积是：3.14 52 2=157（立方厘米）巧妙解法：运用公式V柱=s侧r进行计算。
圆柱的体积是： 62.8 5=157（立方厘米）从上面的例子可以看出，用这两个公式算出的结果是一样的，两者相比，第二种解法非常巧妙。
不过，在实际解题时，我们应该根据题中所给出的具体条件，灵活地选择解题方法。
同学们，刚才所讲的求圆柱体积的新方法你一定学会了吧！那就快来动手试试看！练习：一个圆柱的底面直径是6厘米，侧面积是150.72 平方巧算圆的面积王家鹏一个正方形的面积是10平方米，在它的里面画一个最大的圆，求圆的面积。
图 1 图2方法一：如图1，在学了圆的面积S＝πr2以后，我知道了求圆面积的一般方法，即：先求r，再求S。
数学高考中的巧思妙解
剖析 3：同时按 x 、 y 的降幂（即将 x 、 y 同时作为主元）排列可得
x 2 y 2 xy 3( x y 1) ( x 2 2x 1) ( y 2 2 y 1) ( xy x y 1)
( x 1) 2 ( y 1) 2 ( x 1)( y 1)
x 3 3 3 5 y 1 x 2 x 2 4 2 4 4
2
1 3 5 5 y x 1 ( x 1) 2 . 2 4 4 4 1 1 当且仅当 y x 1 0 ， x 1 0 x 1 ， y 时等号成立. 2 2
( x 3) 2 4( x 2 3x 3) 3( x 1) 2 0 .
2 巧思妙解案例2
你会巧思妙解案例2吗？
数学既是神秘深奥的也是好玩有趣的！这就是数学教师独有的高雅的精 神享受！这就是数学王国对数学教师的最高奖赏！这就是数学迷宫吸引无数 人为之疯狂的魅力所在！试题是专家集体智慧结晶，因而这些试题呈现在我 们面前时显得高雅、高质、高贵，但命制试题又是有规律且可掌控的！应该 说绝大部分试题都是在原有试题（包括教科书例题、习题、高考试题、竞赛 试题乃至国际奥赛试题）上进行高质量加工、改编、拼接、组装、引申、拓 展．只是命题专家精心“无痕”“嫁接”，我们在短时间内难以发现“庐山 真面目”而已，这也是数学高深莫测的缘由之一．一旦寻觅到命制原创试题 专家的意图，顺着思路与构思，我们就可以从源头上找到真正的巧思妙解.
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二、诠释巧思妙解
思维是人脑对客观事物本质属性和内在联系的概括及间接反映.解题就是一种 思维活动.解题不仅要结果，而且要呈现解题活动的必要过程，更要充分暴露解题 的思维.巧思妙解则是解题的最高境界，因此巧思妙解的构思过程就是思维发散的 历程．而发散思维则指大脑在思维时呈现一种扩散状态的思维模式，主要表现为视 野广阔、多维发散，故而发散思维又称辐射思维、放射思维、扩散思维或求异思维 ．巧思妙解有利于培养学生发散思维，优化思维品质，激发创新意识及创造力． 安振平先生指出：“巧思妙解不是低层次的一招一式或妙手偶得的雕虫小技， 而是一种高思维层次、高智力水平的艺术，是一种独立于史诗、音乐、绘画之外的 数学美．”罗增儒教授指出：“巧思妙解不是低层次技巧的堆切，而是对知识内容 的深层认识．巧思妙解不是特殊技巧的神秘操作，而是对题目结构特征的充分挖掘 ．”基于此，怎样才能对知识内容达到深层次的认识呢？怎样才能对题目的结构特 征进行充分挖掘呢？
化学方程式计算中的巧思妙解——差量法
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化学方程式计算中的巧思 妙解——差量法
1.题型例析 2.方法指导 3.典题剖析 4.解题模板
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一、题型例析 用H2还原x g CuO，当大部分固体变红时停止加热， 冷却后得残留固体y g，共用去z g H2，此时生成水的 质量为( B ) 9 8 A. (x－y)g B. (x－y)g 8 9 C．9z g
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三、典题剖析
1． (2017· 合肥质检)将 a L NH3 通过灼热的装有铁触媒的硬质 玻璃管后， 气体体积变为 b L(气体体积均在同温同压下测定)， 该 b L 气体中 NH3 的体积分数是( C )
2a－b b－a 2a－b b－ a A. B. C. D. a b b a
提示：只需比较反应前后气体体积的差量即可
转解析 目录
四、解题模板 解题的基本步骤：
1.表示出理论差值及相应反应物、生成物对应的物理量， 要注意不同物质的物理量及单位间的对应关系；
2.表示出实际差量并写在相应位置(注意应将理论差值与实 际差值写在方程式最右侧)；
3.根据比例关练提升，请完成《创新设计》其他题型精练！
9 D. z g 40
转解析
说明：需要注意的是不可用z g H2进行计算，因为用去的 H2并非全部参加了反应；不可只用x g进行计算，因为CuO 未全部参加反应；不可只用 y g进行计算，因为y g是CuO 和Cu的质量和。
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二、方法指导
1 ．差量原理：所谓“差量”就是指反应过程中反应物的某种物理 量之和(始态量)与同一状态下生成物的相同物理量之和(终态量)的 差，这种物理量可以是质量、物质的量、气体体积、气体压强、反 应过程中的热效应等。 2 ．计算依据：化学反应中反应物或生成物的量与差量成正比。 3 ．解题关键：一是明确产生差量的原因，并能根据方程式求出理 论上的差值(理论差量)。二是结合题中的条件求出或表示出实际的 差值(实际差量)。
巧用数学思想妙解数学问题
课程探讨数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果，是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识。
在小学数学课堂教学的实践中，数学思想不仅能指导教师深入理解教材，进行高效的教学设计，更能帮我们巧妙地解决一些数学难题。
一、利用对应思想解决数学问题对应是人们对两个集合元素之间联系的一种思想方法。
这种思想方法是在两个事物之间建立起来的一种关系，即对应关系，从而揭示事物之间的联系。
运用对应思想可以让一些数学问题的数量关系变得简洁、明了。
例如：幼儿园教师把一箱饼干分给小班和中班的小朋友，平均每人分得6块；如果只分给中班的小朋友，平均每人可以多分4块。
如果只分给小班的小朋友，平均每人分得多少块？这是一道盈亏类型的题目，解决这道问题的常用思路：这箱饼干分给小班和中班的小朋友，平均每人分得6块；如果只分给中班的小朋友，平均每人可以多分4块。
说明中班的人数是小班人数的6÷4=1.5倍，因此，这箱饼干全分给小班的小朋友，每位小朋友可以多分6×1.5=9（块），一共可以分到6+9=15（块）。
但在实际的教学过程中，五年级的学生并不能很好地理解这种教学思路。
因此，在教学本道题目的时候，我就利用对应的思想来解决这道题目，收到了良好的教学效果。
“把这箱饼干分给小班和中班的小朋友，平均每人分得6块；如果只分给中班的小朋友，平均每人可以多分4块。
”通过对这句话的分析和理解，我们可以知道，如果只分给中班的小朋友，那么中班小朋友每人手中的6块饼干可以不用考虑，只考虑把小班小朋友的饼干重新分配给中班就可以。
认真观察，我们可以发现小班2个小朋友手中的饼干是6×2=12（块），这12块刚好分给中班的3个小朋友。
这样小班的2个小朋友和中班的3个小朋友之间就建立起一种对应关系。
因此，如果这箱饼干只分给小班的小朋友，每人就可以多分6×3÷2=9（块），每人共分6+9=15（块）。
巧思妙想_一题多解
◎相辉【题目】有红、黑两种颜色的笔，其中红颜色的笔的23等于黑颜色的笔的23，红颜色的笔比黑颜色的笔多21支。
两种颜色的笔各有多少支？思路一：转化成比。
根据红颜色的笔的23等于黑颜色的笔的23，可以推出红颜色的笔和黑颜色的笔的支数比是25∶24，说明红颜色的笔有这样的25份，黑颜色的笔就有这样的24份，红颜色的笔比黑颜色的笔多21支就是（25-24）份。
解：23∶23=25∶24……红颜色的笔和黑颜色的笔的比21÷）=21（支）21×25=525（支）21×24=504（支）答：红颜色的笔有525支，黑颜色的笔有504支。
思路二：列方程解答。
根据红颜色的笔的23等于黑颜色的笔的23，可以找出数量关系式：红颜色的笔的支数×23=黑颜色的笔的支数×2 3。
4 55 64 55 65 64545564556解：设黑颜色的笔有x 支，红颜色的笔就有（x +21）支。
2323x +21）2323852323x =504x +21=504+21=525答：红颜色的笔有525支，黑颜色的笔有504支。
思路三：根据分数乘、除法的意义进行解答。
已知“红颜色的笔的23颜色的笔的23”，可以把黑颜色的笔的支数看作单位“1”的量，红颜色的笔的支数就占黑颜色的笔的23÷23=23，21支就是黑颜色的笔的（23），根据黑颜色的笔的支数×（23）=21（支），可以求出黑颜色的笔的支数。
解：2323=2321÷（23-1）=504（支）504×23（支）答：红颜色的笔有525支，黑颜色的笔有504支。
【挑战自我】甲、乙两仓库共存粮950吨，如果23放入乙仓库，这时乙仓库存粮的23正好等于甲仓库存粮的。
甲、乙两仓库原来各存粮多少吨？扫描二维码获取更多资源564556451308454556452524564538143523842524252425242524252456。
巧思妙解应用题
分 钟 后 工 云再 出 发 ， 经 过 ４ 则 Ｏ分 钟 两 人 相 遇． 李 明 与 问 王 云单 独 走 完 Ａ 全 程 各 需 要 多 少 小 时 ？ Ｂ
分析
≮ｆ
本 题 中 的 数 量 关 系 比较 复 杂 ， 然 可 以设 辅 阎
量 ‘ ’ 。 ’
’ 。
就 町以列 出较为简 洁的方程 ， 而且 随着整体 思维 能力 的
不断提高 ， 出的方程也越来 越简便． 列
复杂 ， 如果从 多角度 去思 考 ， 可以 发现 比较简 单 的等 则
敛 关 系 ， 而 得 到 较 为 简 洁 的方 程 ． 从
国
例 ２ 甲 、 两 人 自 Ａ、 两 地 骑 车 相 向 而 行 ， 人 乙 两 相 遇 在 离 地 ８公 里 处． 遇 后 两 人 继 续 前 进 ， 别 到 相 分
１ ｌ ’
时， 甲走 了 ８公里 ； 第二次相遇 时 ， 甲走 了（ ＋１ ） ０ 公里． 然 ， 二次相遇时 甲 、 第 乙走 过 的路 程之 和是 第 一次相
遇 时 甲 、 走 过 的 路 程 之 和 的 ３倍 ， 而 ， 二 次 相 遇 时 乙 因 第 甲所 走 过 的 路 程 ， 是 第 一 次 相 遇 时 耳所 走 路 程 的 ３ 也 １
倍， 于是 得 方 程 ： ＋１ ０＝３Ｘ ， 得 ：１． ８解 ４
．， ． ．． ．
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答 ： Ｂ两鍪 距 离 为 ｌ耋里． ８ Ａ、 地 的 窑 ４公 ． ◆ ７ － 三 、 化 复杂 为 单 一 巧
对几道老题的巧解与妙解
几道老题的巧解、妙解赏析某某省灌云县伊山中学〔222200〕潘龙海多年高三的教师就有很深的体会，一些老题在资料上年年出现，所以对于教师而言就轻而易举，但我们并不能总以老方法对付老问题，你的解题没有创新，就没有吸引力，就不会精彩，下面根据平时教学的积累，介绍几道经典老题的巧解与妙解供大家欣赏.例1、 2()f x ax c =-且4(1)1,f -≤≤-1(2)5f -≤≤，求(3)f 的取值X 围. 巧解：转化为线性规划问题.由得41,145,a c a c -≤-≤-⎧⎨-≤-≤⎩即4,1,41,4 5.a c a c a c a c -≥-⎧⎪-≤-⎪⎨-≥-⎪⎪-≤⎩ 作出可行域，如图1所示.又目标函数(3)9.f a c =- 由图可知，目标函数(3)9.f a c =-分别在点A 、C 处取得最小值和最大值.由4 1.1.a c a c -=-⎧⎨-=-⎩得A 〔0，1〕；由4,45,a c a c -=-⎧⎨-=⎩得C 〔3，7〕 min max (3)9011,()93720f f x ∴=⨯-=-=⨯-=1(3)20.f ∴-≤≤妙解：借助向量分解定理.由(1),(2)4,(3)9f a c f a c f a c =-=-=-记12,4,9P a c P a c P a c =-=-=-，显然12,P P 不共线.根据向量分解定理得：112122(,)P P P λλλλ=+为实数，即1212129()(4)(4)().a c a c a c a c λλλλλλ-=-+-=+-+121249,1.λλλλ+=⎧∴⎨+=⎩解得1258,33λλ=-= 58(3)(1)(2)33f f f ∴=-+ 又55204(1)1(1),333f f -≤≤-⇒≤-≤ 1(2)5f -≤≤8840(2).333f ⇒-≤≤ 两式相加，得1(3)20f -≤≤.例2、 a 、b 、222,1,1c R a b c a b c ∈++=++=那么a 的取值勤X 围是〔〕.〔A 〕1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 〔B 〕1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 〔C 〕[]0,1 〔D 〕11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 巧解：联想构造函数.由2221,1b c a b c a +=-+=-，联想构造函数22222()22()()()0f x x b c x b c x b x c =-+++=-+-≥恒成立.故有2224()8()0b c b c ∆=+-+≤ 即24(1)8(1)0a a ---≤，可解得1 1.3a -≤≤ 妙解：联想构造直线和圆方程，利用直线和圆的位置关系. 由2221,1bc a b c a +=-+=-，可知(,)b c 在直线1x y a +=-上，又在圆2221x y a +=-上，因此直线和圆有公共点，圆心到直线的距离不大于半径，即d =≤可解得1 1.3a -≤≤ 例3、 0,0,1,a b a b ≥≥+=且求证：2225(2)(2).2a b +++≥巧解：用二次函数求最值.11a b a b +=⇒=-22222(2)(2)(3)(2)2213a b b b b b ∴+++=-++=-+225252(1)22b ≥-+≥ 妙解：联想点到线的距离公式.由1(0,0)a b a b +=≥≥可看作点P 〔,a b 〕在直线段1,(01)x y x +=≤≤上，22(2)(2)a b +++可看作点M 〔2,2--〕与线段1x y +=上的点P 〔,a b 〕之间的距离的平方.由于点到直线的距离是该点与直线上任意一点的距离最小值.由点到线的距离公式得222212522d ---==.所以不等式成立.如图2所示.例4、 ,,,a b R ab ∈≠且a b <-巧解：构造复数令复数121,1,z ai z bi =+=+那么1212z z z z a b ==-=-， 又1212,z z zz -<-a b <-妙解：构造函数.设()fx =那么()f x''== x >1<，所以()1f x '<.即等轴双曲线221y x -=图像上支上任意一点的切线斜率的绝对值小于1. 因为x R ∈，于是有过图像上两点A (,()),(,())a f a B b f b 的割线的斜率的绝对值也小于1.所以()()1f a f b a b -<-.因此()()f a f b a b -<-a b <-.。
巧思妙解(19)美人计
巧思妙解(19)美人计在三角函数式的求值、化简、证明过程中，我们常常会运用添项的方法，进行恒等变形，进而破解难点。
添项的方法很寻常，不外乎加一项、减一项，分子分母同除或同乘一项。
难点在于什么时候进行添项、添哪一项。
[例1] 已知tan β＝3，求sin 2cos sin cos β-ββ+β的值. 分析：一般的解题思路是由同角三角关系式求sin β、cos β值，但需要进行分类讨论，运算也比较烦琐。
解1：∵tan β＝3 ∴β为第一或第三象限角∵set 2β＝1＋tan 2β＝10 ∴set β(1) 当β为第一象限角时，set βcos β＝1set βsin β＝tan βcos β∴sin 2cos sin cos β-ββ+β＝14(2) 当β为第三象限角时，set βcos β＝1set βsin β＝tan βcos β ∴sin 2cos sin cos β-ββ+β＝14 由(1)、(2)可知：sin 2cos sin cos β-ββ+β＝14 分析：由于sin 2cos sin cos β-ββ+β是关于sin β、cos β的一次分式，利用tan β＝sin cos ββ，送一个“cos β”，即分子、分母同除cos β即可转化为关于tan β的一次分式。
解2：sin 2cos sin cos β-ββ+β＝tan 2tan 1β-β+＝14比较两种解法，我们发现，只有发现分式的特征，洞悉sin β、cos β、tan β之间的内在关系，才能知道分子分母可以同除哪一项，从而达到出奇制胜的效果。
[例1]的变式：已知tan β＝3，求sin2β－2cos 2β的值.分析：sin2β－2cos 2β＝2sin βcos β－2cos 2β，是关于sin β、cos β的两次式，而1＝sin 2β＋cos 2β，故送上“1”，即可成为关于sin β、cos β的两次分式，进而转化为关于tan β的二次分式。
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A. 40g
B.59.2 g
C.100.8 g
D.168g
按Ca元素守恒
2H-------Ca(OH)--------CaO 2 1.6g 74 x=59.2g 56 y=44.8g C-------CaCO3--------CaO 12 4.8g 100 m=40g 56 n=22.4g
6.现有一氧化碳和二氧化碳的气体混合物,若使其中的一氧化碳 完全转化为二氧化碳,则得到的气体的质量比原来增加了32%.那 么,原混合气体中一氧化碳和二氧化碳的分子个数比是_____.
A. 1：2 B.2：1 C.2：3 D.2：3
设:原混合物质量为100克,其中CO为X克,CO2为（100-X克）, 质量改变100X32%=32克 2CO + O2 ------------ 2CO2 质量改变(增加) 56 88 88-56=32 X 32 56:X = 32:32 X=56克 则CO2是100-56=44克 CO分子数:CO2分子数 = 56/28:44/44 =2:1
解法一：设NaOH质量为x，则Na2CO3质量为（9.3g－x） 钠元素的质量为：23/40x＋46/106(9.3g－x) 碳元素质量为：12/106(9.3g－x) 上述两式比值为23/3解得x=4g 则钠元素质量可算出为4.6g
解法二：混合后溶液失重全为CO2， CO2质量为 2.2g含碳元素质量为0.6g,所以钠元素质量为4.6g
利 用 质 量 相 等 求 解
若干克铜粉和铁粉的混合物与盐酸充分反应后过滤，将滤 渣在空气中充分加热，加热后产物的质量恰好等于原混合 物的质量，则原混合物中铁的质量分数为（ ） A．20% B．40% C．50.4% D．80%
利 用 等 量 代 换 求 解
解析： 很显然，经过一系列反应之后， 所得产物氧化铜中的氧元素和原混合 物中的铁在质量上发生了等量代换， 求铁在原混合物中的质量分数，即是 求氧在化学式CuO中的质量分数。氧 的质量分数=（16/80）×100%=20%， 故原混合物中铁的质量分数也为20%， 答案为A。
7.将一定质量的碳酸钙和铜粉置于一敞口容器中，加热煅烧 使其完全反应。若反应前后容器内固体质量不变，则容器中 铜和碳酸钙的质量比是（ ） A．11 ：14 B．20 ：14 C．44 ：25 D．16 ：25
解析: 本题涉及铜跟氧气的化 合反应和碳酸钙的分解反 应，反应前后固体总质量 不变。其原因是跟铜反应 的氧气的质量与碳酸钙分 解放出的二氧化碳的质量 相等，抓住这一关键即可 列式求解。 设混合物中铜的质量为x、碳 酸钙的质量为y
3.在一定质量的某NaCl溶液中加入足量的AgNO3溶液，
所得AgCl沉淀质量等于原NaCl溶液质量的1/4。则原 NaCl溶液中溶质的质量分数约为 【 】 A.40% B.30% C.20% D.10%
解析：由于 NaCl+ AgNO3== AgCl↓+NaNO3 58.5 143.5 假设AgCl沉淀的质量为143.5g,则NaCl的质 量为58.5g,氯化钠溶液的质量为4X143.5g,
原NaCl溶液中溶质的质量分数为
=58.5g/(4X143.5g)X100 %
= 10%
4.在一定质量的某Na2SO4溶液中加入足量BaCl2溶液，所得沉
淀质量等于原Na2SO4溶液质量的1/2。则原Na2SO4溶液中溶质 的质量分数接近于( ) A．10％ B．20% C． 30％ D．40%
5.现有9.3gNaOH与Na2CO3的固体混合物,测得其中钠元素与碳元素的质量比为 23:3.在室温下，将该混合物与50g稀硫酸混合，恰好完全发生反应。所得不饱和 溶液的质量为57.1g，则原固体混合物中含有钠元素的质量为下列的 （ ） A 1.15g B 2.3g C 4.6g D 6.9g
则：没有变质的CaO为200g-59.2g-40g=100.8g
变质的氧化钙：44.8g+22.4g =67.2g
所以：变质前的氧化钙为100.8g+67.2g=168g
2.向MgO和CuO的混合物12g中加入稀硫酸至恰好溶解，在向所 得溶液中加入NaOH至恰好沉淀完全，生成沉淀的总重量为15.6 克，则参加反应的NaOH的质量为（ ） A. 3.6g B.8.0g C.16.0 g D. 18.0g
解得 x=1.735g来自9.炭和碳酸钙的混合物在空气中受强热后，碳酸钙完全分 解、炭完全氧化，如果生成二氧化碳的总质量等于原混合 物的总质量，则原混合物中炭的质量分数为多少？
解析 设起始混合物的总质量为10g，其中炭的质量
为xg，则碳酸钙的质量为（10-x）g。根据碳元素 在反应前后质量守恒，可得
利 用 质 量 守 恒 求 解