第四章 确知信号的检测1-1

N

T
0
x(t ) s0 (t ) dt
2
其中，
F lim t 0
2 1
N
为常数。
16

同理可得在假设 H 1 下，x的似然函数为
1 f (x | H1 ) F exp N0

T
0
x(t ) s1 (t ) dt
N N
15

在观测时间T不变的情况下，
令N t 0 T N t

t

带限白噪声变 为理想白噪声
这样，就得到了“连续抽样”即连续信号的似然函数
1 N 1 2 f (x | H 0 ) lim exp ( xk s0 k ) t t 0 2 N 0 k 1 1 F exp N0
T
H1 H0
s
T 0
2 2 ( t ) s 0 1 (t )

H1 dt H0
ln l 0
即 0x(t )s1 (t )dt 0x(t )s 0 (t )dt

N0 1 ln l 0 2 2
T
N0 1 ln l 0 2 2
s
T 0
2 1 (t )
2 s0 (t ) dt
x(t )s (t )dt
0 1
T
H1 x(t ) s 0 (t )dt 0 H0 T
E1 E 0 2

令检测统计量 I 为
I
x(t x(t )s
0
T
0
(t )dt

则判决规则变为
I
H1 H0

22

两种错误判决的概率分别为
9

由于噪声取样值 nk 是均值为零，方差 为 2 的高斯随机变量，xk 的条件均值为
Exk | H i E( sik nk ) | H i Esik | H i sik

xk 的条件方差为
Varxk | H i E xk E ( xk )2 | H i
T
T
0 (t ) dt
H1 H0

(4.21) 19

对应的接收机模型示于图4.4。这就是人 们熟知的相关接收机 。
20
4.1.2 接收机的检测性能

通常系统检测性能是在给定信号和噪声条件下， 通过系统平均风险或各类判决概率与输入信 噪比之间的关系反映出来的。 在二元通信系统中，接收机的性能通常通过系 统的平均错误概率与输入信噪比的关系获得。 为了便于计算二元通信系统，给出以下假设： P((H H )P / (P l) 1P H( l0 P( H1 ) / P( Hl0 0 1/ 0 1) 1、假定两类假设的先验概率相等； 2、假定正确判决不付出代价，错误判决付出 相等的代价。
0t T
H 1：x(t ) s1 (t ) n(t )

0t T
目的:设计一最佳检测系统（即接收机）对
x (t ) 进行处理，以便在上述两个假设中作出
选择。
5

根据前面介绍，最佳检测可以根据不同 的准则进行。但不管哪一种准则，判决 的规则都是似然比 l ( x )与某一门限 l 0作比 较，各种准则的差异在于采用不同的门 限值。因此，先不考虑采用什么准则， 而是从似然比 l ( x ) 的分析入手来研究最 佳接收机结构。



0 令 T 式中， Ei 0 si2 (t )dt 称为信号的能量。(4.20) 故判决规则又可写为
s
T
2 2 1 (t ) s 0 (t ) dt


N0 1 ln l 0 ( E1 E0 ) 2 2
x(t )s (t )dt x(t )s
0 1 0
P( D1 | H 0 )



f ( I | H 0 )dI
P( D0 | H 1 )




f ( I | H 1 )dI
平均错误概率 Pe 为
Pe P( H 0 ) P( D1 | H 0 ) P( H 1 ) P( D0 | H 1 ) 1 2

1 f ( I | H 0 )dI 2
1
本章主要内容： 1、高斯白噪声背景下确知信号检测接收机 的设计及性能评价。 2、分析常用的三种通信系统的检测性能： 相干相移键控系统、相干频移键控系统 和相干启闭键控系统。 3、讨论了匹配滤波器的设计方法和性质。

2
4.1 高斯白噪声下二元确知信号的检测


4.1.1 接收机的结构形式
所谓确知信号是指其波形和全部参量都已知 的信号。对于正弦信号，如果它的幅度、频 率、相位及到达时间都是已知的，则该正弦 信号就是一个确知信号。
6

根据第三章所述，最佳接收机结构如图 4.2所示，由似然比计算器和门限比较器 组成。
7

由经典检测理论可知，运用假设检验理论来解 决噪声中信号的检测问题，涉及的观测数据都 是离散的。 但在二元数字通信系统中，接收机接收到的信 号波形是连续的，因此,首先需要将观测到的 波形离散化，然后才能计算似然比。 在实际检测中，仅用一次取样并不能得到良好 的检测性能，一般在 (0，T ) 内取N个样本， 当 N 时，便成为连续取样情况，其判决 规则也就变为用连续函数表示，即可充分利用 连续输出波形 x (t ) 所提供的信息。


N0 1 ln l 0 ( E1 E0 ) 2 2
x(t )s (t )dt x(t )s
0 1 0
T
T
0 (t ) dt
H1 H0

(4.21) 18

2 N0
故判决规则为

2 x(t ) s1 (t )dt 0 N0
T
T

1 x(t ) s 0 (t )dt 0 N0




f ( I | H 1 )dI
接下来需要计算出 I 的概率密度函数。
23
I
x(t )s
0
T
1 (t )dt

x(t )s
0
T 0
T
0
(t )dt

在假定 H 0 下，I 的条件均值为
E(I | H 0 ) E

T
0
s 0 (t ) n(t )s1 (t )dt s 0 (t ) n(t )s 0 (t )dt
2 k
E n
| H i Var(nk ) 2


高斯分布的随机过程经过线性系统，其输出仍然是 高斯分布。 10

即 xk 服从高斯分布。 故 xk 的条件概率密度函数为
f (xk | H i ) ( x k s ik ) 2 exp 2 2 2 1
2

得到似然比 l (x) 为
f ( x | H1 ) f (x | H 0 ) 1 T 1 T 2 2 exp x ( t ) s ( t ) dt x ( t ) s ( t ) dt 1 0 0 0 N N 0 0 T 2 T 1 T 2 2 exp x(t )s1 (t )dt x(t )s0 (t )dt s0 (t ) s1 (t ) dt 0 0 0 N0 N0
假定噪声为带限白噪声，其功率谱密度
函数为
N0 G n () 2 ， | | 0， 其他
11
1, t f (t ) 0, t
Sa(

2
)
W

Sa(W t)
1, W F ( ) 0, W

T T E s 0 (t ) s1 (t )dt E n(t ) s1 (t )dt 0 0 T 2 T E s 0 (t )dt E n(t ) s 0 (t )dt 0 0

N0 1 ln l 0 2 2
T
N0 1 ln l 0 2 2
s
T 0
2 1 (t )
2 s0 (t ) dt



0 令 T 式中， Ei 0 si2 (t )dt 称为信号的能量。(4.20) 故判决规则又可写为
s
T
2 2 1 (t ) s 0 (t ) dt

Rn ( ) 0，说明接 由图可见，当 k / 时， 收信号按 k / 的时间间隔进行抽样，得到 的各样本是不相关的，又由于是高斯分布的， 所以它们又是统计独立的。
13

设取样间隔为 t / ，取样值相互独 立，则在观测时间（0，T）内，取样数 目为 T T
第四章 确知信号的检测
确知信号 随机相位信号 随机幅度信号 信号随机参量信号 随机频率信号 随机到达时间信号 信号 噪声 随机信号 白噪声 高斯噪声 色噪声 加性噪声 白噪声 非高斯噪声 色噪声
相应的自相关函数为
N 0 sin Rn () En(t )n(t ) 2

由于噪声均值为零，所以 Rn (0) En 2 (t ) 是 带限白噪声的方差，为

2
N0 Rn (0) 2
式（4.11） 12
噪声的自相关函数和功率谱密度曲线如图4.3所示

所谓白噪声是指功率谱密度在所有频率上都 为常数 （N 0 / 2 ） (t ) （N 0 / 2 ） ，相应的自相关函数为 的噪声。显然白噪声的平均功率是无限的， 是一种理想的噪声模型。