拉格朗日方程

3
Q g
(r

R)2 2


1 2
P g
(r

R)22

1 (1 22
P g
r 2 ) 2
17.2 1 (2Q 9P)(r R)22
12g
A
拉
给曲柄以虚位移 ，则对应的
M
r
格 广义力为
O
朗
W M
Q


M
R
日 求诸导数 方
T 1 (2Q 9P)(r R)2 6g
17.2
板上有半径为 r 、 质量为m2的均质圆柱， 圆柱在板
上作纯滚动而不滑动，今有一水平常力F 拉动金属
板，试求圆柱纯滚的角加速度和金属板的加速度。
拉
解：以系统为研究对象，
格
系统具两个自由度。选取 x A、
为广 义坐标。
C m2 g
A
朗 日 方
系统的动能为
xA
m1g
T

1 2
m1xA2
1 16 (3m1
4m2

8m3
)
x2

1 8
k
x2
方 代入保守系统的拉格朗日方程 d (L) L 0得
程
dt x x
(3m1 4m2 8m3)x 2kx 0
即为系统的运动微分方程。
例6 如图，均质圆轮的质量为m1，半径为R，在 水平面上只滚动不滑动。杆长L质量为 m2与轮在圆心

1 2
(1 2
m1R2 )2

1 2
m2 (x
R)2
系统的广义力为
Qx

W (x) x

(m1
m2 )gx k(x L0 )x x
(m1 m2 )g k(x L0 )
Q
W ( )


m2 gR
m2 gR
17.2
代入拉格朗日方程 d T T dt x x
（2）
（1）、（2）即为系统的运动微分方程。
例8 如图，物体A的质量为 m1，B轮质量为 m2，
半径为R，在水平面上只滚动不滑动，物体A与水平
17.2 面无摩擦，弹簧刚性系数为 k ，试求系统的运动微
分方程。
x2
拉
解：以系统为研究对象， x1
格 朗
系统具两个自由度。选取 x1 、 为广x2义坐标。
17.2 A铰接，试求系统的运动微分方程。 解：以系统为研究对象， x
拉 系统具有两个自由度。取 x

格 和 为广义坐标。
朗 日
系统的动能为
T

1 2
(3 2
m1R2 )(
x)2 R

R A

x L
2
C x
方 程
1 2
m2

x2


L2 4
2

2
L 2
xcos

q j qj dt qj
q j qj dt qj
5、写出拉格朗日方程并加以整理，得到k个二 阶常微分方程。由2 k个初始条件，解得运动方程。
方
程
例4 在水平面内运动的行星齿
轮机构如图。已知动齿轮半径为r，
A
17.2 重为P，可视为均质圆盘；曲柄OA 重Q，可视为均质杆；定齿轮半径
2、分析系统的运动，写出用广义坐标及广义速 度表示的系统的动能。（速度及角速度均为绝对的）
3、计算对应每个广义坐标的广义力 Q j；当主 动力为有势力时，需要写出用广义坐标表示的势能
17.2 及拉格朗日函数L T V。
4、计算诸导数：
拉 格 朗 日
T T d ( T ) 或 L L d ( L )
k st R m3g 2R 即 k st 2m3g
以系统平衡位置为弹力及重物C的零势能位置，
则系统的势能为
17.2
V

m3gx
k 2
( st

x)2 2


2 st

k AR
拉 利用前面的关系，整理得 V 1 kx2
BR
xC
格
则拉格朗日函数为
8
朗 日
L
T
V

Qx 得
拉 格
m1x
m2
d dt
(x
R)

(m1

m2 )g

k(x

L0 )
整理得
朗 日 方
(m1 m2 )x m2R (m1 m2 )g k(x L0 )
代入拉格朗日方程
d dt
T

T


Q
得
（1）
程
(m1 2m2 )R2 2m2Rx 2m2 gR

1 2
(1 12
m2 L2
)2
整理后得
T

3 4
m1x2

1 2
m2 (x2

1 4
L22

Lxcos)
1 24
m2 L22
系统的广义力为 Qx 0
17.2
Q

W ( )

m2 g
L 2

cos (90
)

xm2 g
L sin
T

T


Q
得
m2
1 4
L2
1 2
m2 L
d dt
( xc os )

1 12
m2 L2
1 2
m2 Lxsin

m2 g
L 2
sin
整理后得 2L 3xcos 3g sin 0 （2）
（1）、（2）即为系统的运动微分方程。

(m1

m2 )xA
m2r
17.2
拉
T 0

T
ห้องสมุดไป่ตู้
d ( T ) dt xA
m2rxA

3 2
(m1 m2 )xA m2r
m2r 2
d dt
(
T )


m2
rxA

3 2
m2r
2
格 朗
代入拉格朗日方程 d dt
( T ) xA
一、拉格朗日方程
设有n个知点组成的知点系，受完整的理想约束，
17.2 具有k个自由度，其位置可由k个广义坐标 q1, q2 ,, qk
来确定。则有
拉 格
d ( T ) T dt qj q j
Qj
( j 1,2,, k)
朗
日
式中
T

n i 1
12mi vi2 为质点系的动能；
mB
xA
程 代入拉格朗日方程 d ( L ) L 0 得
dt xA xA
1 2
(3mA

2mB
)xA

mB
yB

0
（1）
代入拉格朗日方程 d ( L ) L 0 得
dt yB yB
17.2
2mB yB mBxA mB g 0 （2）

k(x2
x1 l0 )x2 x2
k(x2
x1 l0 )
代入拉格朗日方程
d ( T ) T dt x1 x1
Qx1
得
17.2
m1x1 k(x2 x1 l0 ) 0
（1）
拉 格
代入拉格朗日方程 d ( T ) T dt x2 x2
日 方 程


(2Q

3Mg 9P)(r

R)2
t2
0t
0
式中， 0 、0分别为初始转角和初始角速度。
例5 如图轮A的质量为m1，在水平面上只滚动不
滑动，定滑轮B的质量为m2，两轮均为均质圆盘，半
17.2 径均为R，重物C的质量为m3，弹簧的弹性戏数为k ，
试求系统的运动微分方程。
程
d ( T ) 1 (2Q 9P)(r R)2
dt 6g
T 0

由
d ( T ) T
dt
Q
，得
17.2
1 (2Q 9P)(r R)2 M
6g
拉 格即

6Mg
(2Q 9P)(r R)2
朗 积分得曲柄的运动方程为
拉 格 朗
联立求解方程（1）、（2）得
aA

xA

mB 3mA mB
g
aB

yB

3mA 2mB 2(3mA mB )
g
日 于是角加速度为
方 程
A

aA R

mB (3mA mB )R
g
B

aB
aA R

3mA 2mB 2(3mA mB )R
g
例10 质量为 m1的金属板放置在光滑水平面上，
17.2
例7 如图轮为均质圆盘，质量为 m1，
半径为R，轮心O及重物A只能沿铅直方向 x k
拉 运动，重物A的质量为m2，弹簧刚性系数
格 为 k ，原长为 L0 。试求系统的运动微分方
朗
程。 解：以系统为研究对象，系统具两个
R
O
日 自由度。取 x 和 为广义坐标。
A

方
系统的动能为
程
T

1 2
m1x2
mB
yB2

mB xA yB

mB gyB
L 0 xA
L xA

1 2
(3mA
2mB )xA
mB yB
d dt
(
L xA
)

1 2
(3mA

2mB
)xA

mB
yB
L yB
2mB yB
mB xA
d dt
(
L yB
)

2mB
yB

1 4
(3mA

2mB )xA2

mB
yB2

mB xA yB
系统所受主动力只有重力，且皆为有势力。取
过圆柱的水平面为零势面，则系统的势能为
V mB gyB
故拉格朗日函数为
17.2
拉 格 朗 日 方
L T V 求诸导数
L yB
mB g

1 4
(3mA

2mB )xA2

拉 角加速度和质心的加速度。 xA
格
解：以系统为研究对象，
朗 日
系统具两个自由度。选取 x A、 为广yB义坐标。
系统的动能为
A
mAg
yB
B
方 程
T

1 2
mA xA2

1 2
(1 2
mA
R
2
)(
xA R
)2

1 2
mB yB2
mB g

1 2
(mB R2 )(
yB
R
xA
)2

M
r
O
拉 为R。今在曲柄上作用一不变的力
R
格
偶，其矩为M，使机构运动。求曲 柄的运动方程。
朗
解：以整个系统为研究对象，系统具有一个自
日 由度，取曲柄转角 为广义坐标。
方
由运动学关系知，动齿轮的角速度 与曲柄的角
程 速度 的关系为
r R
r
则系统的动能为
T

1 2
1

T xA
QxA 得
日
(m1 m2 )xA m2r F
（1）
方 程
代入拉格朗日方程
d dt
( T )

T

Q
得

m2rxA

3 2
m2r
2
0
（2）
解得 2F
r(3m1 m2 )
aA

xA
系统的动能为
A
kR
B
日 方
T

1 2
m1x12

1 2
m2 x22

1 2
(1 2
m2
R
2
)(
x2 R
)2

1 2
m1x12

3 4
m2 x22
程
系统的广义力为
Qx1

W (1) x1

k ( x2
x1 l0 )x1 x1
k(x2
x1 l0 )
Qx2

W (2) x2
拉 格
d ( L ) L 0 ( j 1,2,, k) dt qj q j
朗 式中L T V 为质点系动能和势能之差，称为拉格
日 朗日函数。 这就是保守系统的拉格朗日方程。
方
三、应用拉格朗日方程解题的步骤
程
1、确定研究对象，（一般以整个系统）判断系 统的自由度数目，选取合适的广义坐标。
拉
解：以系统为研究对象，
格 朗
系统具有一个自由度。取 x 为广义坐标，x 从重物的平衡 位置量起。系统的动能为
k AR
BR
xC
日 方
T

1 2
(3 2
m1R
2
)(
x)2 2R

1 2
(1 2
m2
R
2
)(
x) R
2

1 2
m3 x2
程

1 16
(3m1

4m2

8m3
)
x2
设系统平衡时弹簧的静伸长为 st ，则有关系式
Qx2
得
朗
3m2x2 2k(x2 x1 l0 ) 0 （2）
日 方
（1）、（2）即为系统的运动微分方程。
程
例9 实心均质圆柱A和质量分布与边缘的空心圆
柱B，质量分别为mA 、mB ，半径均为R，两者用通过 17.2 定滑轮的绳索相连，如图。设圆柱A沿水平面作纯滚
动，滚动摩擦不计，圆柱B铅直下降。试求两圆柱的
qj 是广义坐标对
方 时间的变化率，称为广义速度； Q j是对应广义坐标
程 q j的广义力。
这就是拉格朗日方程，简称拉氏方程。它是由k个二
阶常微分方程组成的方程组。将此微分方程组积分，
就可以得出以广义坐标表示的质点的运动方程。
二、保守系统的拉格朗日方程
在上述条件下，如果质点系所受的主动力都是 17.2 有势力，就得到保守系统的拉格朗日方程

1 2
m2 (xA

r)2

1 2
(1 2
m2r 2 )2
程

1 2
(m1 m2 )xA2 m2rxA
系统的广义力为
3 4
m2r
22
Fx
QxA

W ( A) xA

FxA xA
F
Q

W ( )
0
求诸导数
T 0 xA
T xA
2
代入拉格朗日方程
R
拉 格 朗 日 方
d T T
dt
x
x
Qx
得
3 2
m1x
m2
x
1 2
m2
L
d dt
(cos
)

0
A

L
2
C


整理得
(3m1

2m2 )x
m2 Lcos

m2 L2
s in
m2 g
0（1）
程
代入拉格朗日方程
d dt