哥德尔不完备性定理

哥德尔不完备性定理

2010-10-28 23:09:32来自: 苏仁(履霜冰至。一心难二用。)

一、哥德尔不完备性定理的基本内容

一个普遍公认的事实是，哥德尔不完备性定理在数理逻辑中占有极其重要的地位，是数学与逻辑发展史中的一个里程碑。

哥德尔关于形式系统的不完备性定理，首次发表在他的论文《论数学原理及有关系统中不可判定命题》中。不完备性定理是关于不可判定命题存在的一般结果，如果仅就算术系统而言，这个定理可以简单地表述为：

定理：如果形式算术系统是ω无矛盾的，则存在着这样一个命题，该命题及其否定在该系统中都不能证明，即它是不完备的。

罗塞尔（Rosser）对上面的定理进行了如下改进：

定理：如果形式算术系统是无矛盾的，则它是不完备的。具体说就是——

定理：如果一个含有自然数论的形式系统S是无矛盾的，则S中存在一个逻辑公式A，使得在S中A是不能证明的，同时￣|A（￣| 为否定连接词——笔者注）也是不能证明的。

作为不完备性定理证明思想的一个关键之处在于映射原理的应用，哥德尔是通过一种十分新颖的映射形式来构造他的命题的。映射是数学研究中极为重要的一种研究方法，其基本思想就是借助一一对应使得某一领域内的对象之间的某种关系得以在另一领域内的对象之间的关系得到表现。哥德尔的方法是：把算术系统（记为N）中的符号、表达式和表达式的序列都映射为数——通过引进“哥德尔数”而实现了对象的数化手续。这样处理的结果，对于数理逻辑和其他有关分支来说，在研究方法上就提供了一种数字化工具，能够方便地把一些讨论对象（如符号、公式）转换为自然数或自然数的函数，能够用自然数的理论来讨论有关问题。其次，哥德尔又通过“递归函数”的引进证明了所有元理论中关于表达式的结构性质命题，都可以在算术系统中得到表达。映射原理的应用和递归函数的引进，使元理论中的命题都映射为了算术系统中的命题，算术系统也因此获得了元数学的意义。

哥德尔在阐述自己的证明思想时说过：“我们可以注意到一个形式系统的公式在形式上都表现为基本符号（变量、逻辑常项、括号或中断号）的一个有限序列，而且人们容易精确地去指明基本符号的那些有限序列是有意义的公式和那些不是有意义的公式。类似地，从形式的观点看，所谓证明实际上就是公式的一个有限序列。对于元数学来说，究竟用什么东西来作为基本符号当然是没有关系的。我们不妨就用自然数来作为基本符号，如此，一个公式就是一个自然数的有限序列，而证明便是一个有限的自然数序列的有限序列。据此，元数学的概念（命题）也就变成了关于自然数或他们的序列的基本概念（命题），从而就可以（至少是部分地）在（对象）系统本身的符号中得到表示，特别是人们可以证明…公式‟、…证明‟、…可证公式‟等都可在对象系统中加以定义。”

哥德尔按照上述的证明思想，为不完备性定理的证明在对象系统内构造了这样一个命题G，使

其元数学的意义为“G是不能证明的”（作为元数学的命题——我们记为G‟，这里G‟为G的映射。）。

哥德尔指出：一旦构成这样的命题，定理的证明就完成了，因为G正是需要的不可判定的命题。对此，这里仅作简单描述：

前提：

（α）凡是可证明的命题必然是真的（从直观上看，这是任何一公理系统的必然要求）。

（β）命题的真理性在映射下保持不变（特别是这里的G和G‟是同真假的）。

结论1：G是不能证明的。

证明：用反证法

设G是可以证明的（α）→G为真，（β）→G‟为真；由G‟的意义→G是不能证明的。矛盾，证毕。

结论2：￣| G也是不能证明的。

证明：由结论1可知，G是不能证明的，由G‟的意义→G‟为真；（β）→G为真，Df→￣|G为假，（α）→￣| G是不能证明的，证毕。

由结论1和结论2可知G是不可判定的，也就是说系统是不完备的。

上述的证明，可以定性地概括如下：

（1）一个包括初等数论的形式系统P，如果这个系统是一致的，那么它就是不完备的。这条称为第一不完备性定理。

（2）如果一个包括初等数论的形式系统P是一致的，那么它的一致性在本系统中是不能得到证明的。这条称为第二不完备性定理。

哥德尔不仅详细检验了他的论证，而且进一步断定：如果要证明一个系统S的一致性，那么在元理论中所使用的推理工具绝不能弱于系统S中所使用的推理工具。因此，可以看出，希尔伯特的方案，即用有穷观点证明自然数论甚至整个数学的一致性是绝对行不通的。这一点也说明了形式系统有局限性。

哥德尔定理的证明思想来源于对悖论的分析，可见深入研究悖论问题对数学和逻辑学都有着极为重要的意义。而哥德尔定理的另一个重大意义在于：系统一致性和完备性的不相容性，仅仅存在于数学系统中，还是普遍存在于所有系统中呢（自然科学系统，社会科学系统，等等）？所以，哥德尔定理已经超越了数学和逻辑学，提出了无法回避的哲学问题；在20世纪对数学的基础研究中，对数学哲学基础的研究成了十分重要的一个方面，和哥德尔定理的发现是有着直接关系的。

二、悖论与数学史上的三次数学危机

在漫长的数学发展史中，曾有过三次危机：无理数的发现；微积分的创立，集合论的悖论。这三次危机，使数学与逻辑学、哲学的联系不断加深，也使人类对各种事物的认识不断得到深化。因此，深入了解数学史上的三次危机有助于了解数学发展的全貌。

公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的希帕索斯发现了等腰直角三角形的直角边与斜边不可通约，从而导致了数学的第一次危机。对于这个问题，可以进行如下的证明：

设等腰直角三角形斜边与一直角边之比为α︰β，并设这个比已经表达成最小整数之比：

α︰β= 1︰√2；α√2 =β （1）

将上式（1）两端平方后得：β平方= 2α平方。由于β平方是偶数，β必然也为偶数；因为任一奇数的平方必是奇数，而α︰β是既约的，所以α必然是奇数。β既是偶数，可以设为β=2γ；于是β 平方= 4γ平方= 2α平方。因此，α平方= 2γ平方，这样α平方是个偶数，所以α也是偶数了，但α同时又是奇数，这就产生了矛盾。

在毕达哥拉斯学派深信数是万物的本原，因此数是绝对和谐的不可能有任何矛盾的，宇宙的一切现象都能归结为整数或整数比，所以希帕索斯的发现就成了荒谬的、“反常”的事情，这个发现也因此构成了数学史上的第一次危机。这次危机，迫使数学家去认识和理解自然数及其比（有理数）不能包括一切几何量，毕达哥拉斯学派也被迫承认这一悖论并提出单子概念去解决这一悖论。

单子概念是一种如此之小的度量单位，以至于本身是不可度量的却要保持为一种单位，这应该看成是企图通过无限来解决有限问题的最早努力。但是，毕达哥拉斯学派的努力却又遭到了古希腊诡辩学派的著名代表芝诺的质疑，他认为：一个单子或者是0或者不是0，如果是0，就是无穷多个单子相加也产生不了长度；如果不是0，那么无穷多个单子组成的有限长线段就应该是无限长的，无论如何都会产生矛盾。所以，连同著名的芝诺悖论在内，都被列为第一次数学危机的组成部分。需要说明的是，毕达哥拉斯学派的单子论，对哲学的影响远远超过了对数学的影响，黑格尔受单子论的启发把物质的运动解释为“在与不在的矛盾统一……运动本身就是矛盾”，而莱布尼茨在深入研究单子论的基础上创立了微积分并最早提出了建立数理逻辑的设想——他因此被看成是数理逻辑的创始人。可以说：与莱布尼茨相比，黑格尔把单子论引向了“神秘主义”和“诡辩论”，辩证法因此被称为“通向诡辩的桥梁”是有其道理的。

希帕索斯悖论和芝诺悖论的出现，促使数学家从依靠直觉、经验转向了依靠证明，从而导致了公理几何学与逻辑学的诞生。同时，哲学家也开始深入研究数学，从数学中吸取建立哲学方法论的材料。

如果说第一次数学危机使数学从“有限”进入了“无限”，那么第二次数学危机则是“有限”与“无限”矛盾的集中反映。一般来说，人们把18世纪微积分的诞生以来在数学界出现的混乱局面称为第二次数学危机。虽然在整个18世纪微积分在各个领域都得到了广泛应用，但微积分的理论基础却是含糊不清的“无穷小量”概念，因此遭到了来自各方面的责难与攻击。

大家都知道，英国的贝克莱主教对微积分的攻击是最为激烈的，他的名字几乎成了“反微积分”的代名词。贝克莱对微积分的批判，主要是依据牛顿所创立的微积分，而不是莱布尼茨的微积分：牛顿是按照“流数法”来建立微积分的，而莱布尼茨是把单子论的哲学思想用于数学实践之中，因此两者还是有所区别的。贝克莱批判了牛顿的许多论点，例如，在《求曲边形的面积》一文中，牛顿辩解说自己避免了“无穷小量”，他给x以增量0，展开（x + 0）n次方，减去x的n次方；再除以0，求出x的n次方的增量与x的增量比，然后扔掉0的项，从而得到x的n次方的“流数”。贝克莱说牛顿首先给x一个增量，然后让它是0，这违背了背反律，至于导数被当作y与x消失了的增量之比，即dx与dy之比；贝克莱认为dx与dy既不是有限量也不是无限量，但又不是“无”，dx与dy只能是“消失了量的鬼魂”。微积分中的“鬼魂论”就是著名的“贝克莱悖论”。针对贝克莱悖论，柯西建立了严格的极限论，戴德金则在实数论的基础上证明了极限论的基本定理；此外，康托尔和魏尔斯特拉斯也加盟了进来，为微积分寻找牢固的基础。

普遍认为，由于严格的微积分理论的建立，上述的两次数学危机已经解决了。但事实上，建立严格的数学分析理论是以实数理论为基础的，而建立严格的实数理论又必须以集合论为基础；在集合论的发展过程中，却又出现了一系列悖论，由此构成了更大的危机。人们把集合论悖论的出现称之为第三次数学危机，