高中数学选修2-2教学设计4：2.3数学归纳法教案

《数学归纳法》教学设计

教学目标

1．了解归纳法的意义，培养学生观察、归纳、发现的能力

2．了解数学归纳法的原理，能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤．

3．抽象思维和概括能力进一步得到提高．

重点：借助具体实例了解数学归纳的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正

整数n （n 取无限多个值）有关的数学命题。

难点：1、学生不易理解数学归纳的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不

易根据归纳假设作出证明；

2、运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。

（一）、复习回顾

一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：

（1） （归纳奠基）证明当n 取第一个值*00()n n N ∈时命题成立;

（2） （归纳递推）假设*0(,)n k k n k N =≥∈时命题成立，证明当1n k =+时

命题也成立 。--------------数学归纳法

（二）、例题剖析：

例1．用数学归纳法证明：)(17)13(+∈-⋅+N n n n

能被9整除.

[解析]（1）当n=1时，（3+1）×7－1=27 能被9整除，命题成立

（2）假设当n=k 时命题成立，即)(17)13(+∈-⋅+N n k k 能被9整除

那么，当n=k+1时， 17]1)1(3[1-⋅+++k k

1111

(31)73717(31)7371

(31)716(31)737[(31)71](1827)7k k k k k k k k k

k k k k k k ++++=+⋅+⋅-=⋅+⋅+⋅-=+⋅-+⋅+⋅+⋅=+⋅-++⋅

由归纳假设)(17)13(+∈-⋅+N n k k 能被9整除

及k k 7)2718(⋅+是9的倍数

所以k k k k 7)2718(]17)13[(⋅++-⋅+能被9整除

即n=k+1时，命题成立

由（1）（2）知命题对任意的+∈N n 均成立

例2．若n 为大于1的自然数，用数学归纳法证明：

2413212111>+++++n n n Λ [解析](1)当n =2时，24

131********>=+++ (2)假设当n =k 时成立，即24

13212111>+++++k k k Λ 1,

1111111232212211

1311113112421221242122

13113.242(21)(1)24

n k k k k k k k k k k k k k k k =+++++++-++++++>++-=+-+++++=+>++L 则当时不等式也成立 由(1)、 (2)知原不等式对一切大于2的自然数都成立。

例3．已知n a =23123(1)

n

n n n +++⋅⋅⋅++ (*n N ∈) 求证：1n a < [解析](1)当n =1时，a 1=2

1＜1，不等式成立. （2）假设n =k (k ≥1)时，不等式成立，即a k =k k

k k )

1(32132++⋅⋅⋅+++＜1 亦即1+22+33+…+k k ＜(k +1)k

当n =k +1时

a k +1=11

1132)

2()1()1(]1)1[()1(321++++++++<+++++⋅⋅⋅+++k k k k k k k k k k k k =1)

2()2()1(++++k k k k k =(21++k k )k ＜1. ∴n =k +1时，不等式也成立. 由（1）、（2）知,对一切n ∈N *，不等式都成立.

例4 ．用数学归纳法证明等式对所有n ∈N*均成立．

111111111234212122n n n n n

-

+-++-=+++-++L L [解析]i)当n=1时，左式=21211=-，右式=21111=+， ∴ 左式=右式，等式成立． ii)假设当n=k(k ∈N)时等式成立，

即k

k k k k 212111211214131211+++++=--++-+-ΛΛ， 则当n=k+1时，

)

1(21)1(13)1(12)1(11)1(12

21121413121)2

2111(1213121221121)212111(2

21121)211214131211(2

21121211214131211++++++++++++++=++++++++++=+-++++++++=+-+++++++=+-++--++-+-=+-++--++-+-k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ΛΛΛΛΛΛ 即n=k+1时，等式也成立，

由i) ii)可知，等式对n ∈N 均成立．

小结：在利用归纳假设论证n=k+1等式成立时，注意分析n=k 与n=k+1的两个等式的差别．n=k+1时，等式左边增加两项，右边增加一项，而且右式的首项由11+k 变为21+k ．因此在证明中，右式中的11+k 应与-2

21+k 合并，才能得到所证式．因而，在论证之前，把n=k+1时等式的左右两边的结构先作一分析是有效的．

由例1可以看出，数学归纳法的证明过程中，要把握好两个关键之处：一是f(n)与n 的关系；二是f(k)与f(k+1)的关系．

（三）、巩固深化，反馈矫正

（四）、归纳整理，整体认识

1．用数学归纳法证明，要完成两面个步骤，这两个步骤是缺一不可的，但从证题的难易来分析，证明第二步是难点和关键，要充分利用归纳假设，做好命题从n=k 到 n=k+1的转化，这个转化要求在变化过程中结构不变。

2．数学归纳法常处理的几类问题①证明有关整除问题②证明不等式③证明数列有关问题。

3．运用数学归纳法时易犯的错误：

①对项数估算错误，特别是寻找n = k 与 n = k+1的关系时，项数发生什么变化被弄错。②没有利用归纳假设。

③关键步骤含糊不清，“假设n=k 时结论成立，利用此假设证明n=k+1时结论也成立”，是