初三数学九上一元二次方程所有知识点总结和常考题型练习题
九年级数学上册第二十一章一元二次方程重点知识点大全(带答案)
九年级数学上册第二十一章一元二次方程重点知识点大全单选题1、已知关于x 的一元二次方程标kx 2−(2k −1)x +k −2=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．k >−14B ．k <14C ．k >−14且k ≠0D ．k <14且k ≠0答案：C分析：由一元二次方程定义得出二次项系数k ≠0；由方程有两个不相等的实数根，得出“△>0”，解这两个不等式即可得到k 的取值范围．解：由题可得：{k ≠0[−(2k −1)]2−4k (k −2)>0, 解得：k >−14且k ≠0；故选：C ．小提示：本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式（组）的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求．2、已知A =x 2+6x +n 2，B =2x 2+4x +2n 2+3，下列结论正确的个数为( )①若A =x 2+6x +n 2是完全平方式，则n =±3；②B －A 的最小值是2；③若n 是A +B =0的一个根，则4n 2+1n 2=659；④若(2022−A )(A −2019)=2，则(2022−A )2+(A −2019)2=4A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：B分析：①利用完全平方式求解；②利用整式的加减运算和配方法求解；③利用求根公式和完全平方公式求解；④利用完全平方公式求解．解：①∵A =x 2+6x +n 2是完全平方式，∴n =±3，故结论正确；②∵B -A=2x 2+4x +2n 2+3-（x 2+6x +n 2）=x 2-2x +n 2+3=（x -1）2+n 2+2，而（x -1）2+n 2≥0，∴B -A ≥2，∴B -A 的最小值是2，故结论正确；③∵A +B =x 2+6x +n 2+2x 2+4x +2n 2+3=3x 2+10x +3n 2+3，把x =n 代入3x 2+10x +3n 2+3=0，得3n 2+10n +3n 2+3=0，即6n 2+10n +3=0，解得n =−5±√76 当n =−5+√76时，2n +1n =−5+√73+−5−√73=−103,∴4n 2+1n 2=(2n +1n )2−4=1009−4=649当n =−5−√76时，2n +1n =−5−√73+−5+√73=−103 ∴4n 2+1n 2=(2n +1n )2−4=1009−4=649;故结论错误； ④∵（2022-A +A -2019）2=（2022-2019）2=（2022-A ）2+（A -2019）2+2（2022-A ）（A -2019）=（2022-A ）2+（A -2019）2+2×2=9，∴（2022-A ）2+（A -2019）2=5；故结论错误； 故选B ．小提示：本题考查了解一元二次方程，配方方法的应用，完全平方公式，正确的计算是解题的关键．3、已知x＝a是一元二次方程x2−2x−3=0的解，则代数式2a2−4a的值为（）A．3B．6C．﹣3D．﹣6答案：B分析：把x＝a代入一元二次方程x2−2x−3=0，得a2-2a-3=0，再变形，得a2-2a=3，然后方程两边同乘以2，即可求解．解：把x＝a代入一元二次方程x2−2x−3=0，得a2-2a-3=0，∴a2-2a=3，∴2a2-4a=6，故选：B．小提示：本题考查一元二次方程的解，代数式求值，熟练掌握方程的解是使方程左右两边相等的未知数值是解题的关键．4、已知方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，则另一个方程（x+3）2+2（x+3）﹣3=0的解是（）A．x1=﹣1，x2=3B．x1=1，x2=﹣3C．x1=2，x2=6D．x1=﹣2，x2=﹣6答案：D分析：根据已知方程的解得出x+3=1，x+3=﹣3，求出两个方程的解即可．解：∵方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，∴方程（x+3）2+2（x+3）﹣3=0中x+3=1或﹣3，解得：x=﹣2或﹣6，即x1=﹣2，x2=﹣6，故选：D．小提示：本题考查了解一元二次方程，换元法解一元二次方程，能根据方程的解得出x+3=1，x+3=﹣3，是解此题的关键．5、已知m为方程x2+3x−2022=0的根，那么m3+2m2−2025m+2022的值为（）A．−2022B．0C．2022D．4044答案：B分析：根据题意有m2+3m−2022=0，即有m3+3m2−2022m=0，据此即可作答．∵m为x2+3x−2022=0的根据，∴m2+3m−2022=0，且m≠0，∴m3+3m2−2022m=0，则有原式=(m3+3m2−2022m)−(m2+3m−2022)=0−0=0，故选：B．小提示：本题考查了利用未知数是一元二次方程的根求解代数式的值，由m为x2+3x−2022=0得到m2+ 3m−2022=0是解答本题的关键．6、如图，把长40cm，宽30cm的矩形纸板剪掉2个小正方形和2个小矩形（阴影部分即剪掉部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为x cm（纸板的厚度忽略不计），若折成长方体盒子的表面积是950cm2，则x的值是（）A．3B．4C．4.8D．5答案：D分析：观察图形可知阴影部分小长方形的长为(x+40−2x2)cm，再根据去除阴影部分的面积为950cm2，列一元二次方程求解即可．解：由图可得出，40×30−2x2−2x⋅(x+40−2x2)=950整理，得，x2+20x−125=0解得，x1=5,x2=−25（不合题意，舍去）．小提示：本题考查的知识点是一元二次方程的应用，根据图形找出阴影部分小长方形的长是解此题的关键．7、若α和β是关于x的方程x2+bx−1=0的两根，且αβ−2α−2β=−11，则b的值是（）A．－3B．3C．－5D．5答案：C分析：根据一元二次方程根与系数的关系得出α+β=−b,αβ=−1，代入αβ−2α−2β=−11得到关于b的方程，求出b的值即可．解：∵α和β是关于x的方程x2+bx−1=0的两根，∴α+β=−b,αβ=−1，∴αβ−2α−2β=αβ−2(α+β)=−1+2b=−11∴b=−5故选：C小提示：本题考查了根与系数的关系，熟练掌握两根之和为-ba ，两根之积为ca是解题的关键．8、若实数a（a≠0）满足a﹣b＝3，a+b+1＜0，则方程ax2+bx+1＝0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．无实数根D．有两个实数根答案：B分析：先求出根的判别式，再根据已知条件判断正负，即可判断选项．解：在方程ax2+bx+1＝0中，△=b2﹣4a，∵a﹣b＝3，∴a＝3+b，代入a+b+1＜0和b2﹣4a得，b＜﹣2，b2﹣4（3+b）=b2﹣4b﹣12=(b+2)(b﹣6)∵b+2＜0，b-6＜0，∴(b+2)(b-6) ＞0，所以，原方程有有两个不相等的实数根；小提示：本题考查了一元二次方程根的判别式和因式分解，解题关键是求出根的判别式，利用因式分解判断值的正负．9、我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x 株，则符合题意的方程是（）A．3(x−1)x=6210B．3(x−1)=6210C．(3x−1)x=6210D．3x=6210答案：A分析：设这批椽的数量为x株，则一株椽的价钱为3（x−1）文，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．解：∵这批椽的数量为x株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，∴一株椽的价钱为3（x−1）文，依题意得：3（x−1）x＝6210，故选：A．小提示：本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10、一元二次方程x2−25=0的解为（）A．x1=x2=5B．x1=5，x2=−5C．x1=x2=−5D．x1=x2=25答案：B分析：先移项，再通过直接开平方法进行解方程即可．解：x2−25=0，移项得：x2=25，开平方得：x1=5，x2=﹣5，故选B．小提示：本题主要考查用开平方法解一元二次方程，解题关键在于熟练掌握开平方方法．填空题11、若关于x的一元二次方程mx2+nx−1=0(m≠0)的一个解是x=1，则m+n的值是___．答案：1分析：根据一元二次方程解的定义把x=1代入到mx2+nx−1=0(m≠0)进行求解即可．解：∵关于x的一元二次方程mx2+nx−1=0(m≠0)的一个解是x=1，∴m+n−1=0，∴m+n=1，所以答案是：1．小提示：本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，熟知一元二次方程解的定义是解题的关键．12、若a是方程x2+x−1=0的一个根，则代数式−3a2−3a+2022的值为________．答案：2019分析：根据a是方程x2+x−1=0一个根，可以得到a2+a−1=0，然后即可得到a2+a=1，再整体代入所求式子计算即可．解：∵a是方程x2+x−1=0一个根，∴a2+a−1=0，∴a2+a=1，∴−3a2−3a+2022=−3(a2+a)+2022=−3×1+2022=−3+2022=2019，所以答案是：2019．小提示：本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，利用整体代入的思想解答．13、若a是方程2x2=x+5的一个根，则代数式6a2−3a的值是__________.答案：15分析：利用a是方程2x2=x+5的一个根，得到2a2−a=5，代入6a2−3a即可．解：∵a是方程2x2=x+5的一个根，∴2a2=a+5，∴2a2−a=5，∴6a2−3a=3(2a2−a)=3×5=15，所以答案是：15．小提示：本题考查了方程解的定义以及整体代入求值，其中利用方程解的定义求得2a2−a=5是解题的关键．14、近来房地产市场进入寒冬期，某楼盘原价为每平方米10000元，连续两次降价后售价为8100元，则平均每次降价的百分率是______．答案：10%分析：设平均每次降价的百分率为x，根据该楼盘的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．解：设平均每次降价的百分率为x，依题意得：10000（1-x）2=8100，解得：x1=0.1=10%，x2=1.9（不合题意，舍去）．所以答案是：10%．小提示：本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．15、“降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解高次方程x3－x＝0，它的解是_____________．答案：x1=0,x2=−1,x3=1分析：先把方程的左边分解因式，再化为三个一次方程进行降次，再解一次方程即可.解：∵x3−x=0,∴x(x+1)(x−1)=0,则x=0或x+1=0或x−1=0,解得：x1=0,x2=−1,x3=1.所以答案是：x1=0,x2=−1,x3=1.小提示：本题考查的是利用因式分解的方法把高次方程转化为一次方程，掌握“因式分解的方法与应用”是解本题的关键.解答题16、如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8，BC＝20，AD＝18，点Q为BC中点，动点P在线段AD 边上以每秒2个单位的速度由点A向点D运动，设动点P的运动时间为t秒．(1)当t为何值时，四边形PBQD是平行四边形，请说明理由?(2)在AD边上是否存在一点R，使得B、Q、R、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出t的值：若不存在，请说明理由．(3)在线段PD上有一点M，且PM＝10，当点P从点A向右运动_________秒时，四边形BCMP的周长最小，其最小值为_________．答案：(1)4(2)存在，t=3；2√89+30(3)52分析：（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定方法，得到PD=BQ=10，列出一元一次方程求解即可；（2）利用菱形的判定，由一组邻边相等的平行四边形是菱形，得到PB=PR=10，再利用勾股定理建立方程求解即可；（3）先确定四边形BCMP的周长等于30+QM+CM，再利用轴对称的知识和两点之间线段最短的知识确定QM+CM的最小值即可得到周长最小值，最后求出AP的长即可得到P点运动时间．（1）解：连接BP、DQ，∵BC＝20，点Q为BC中点，∴BQ=CQ=10，要使四边形PBQD是平行四边形，则PD=BQ=10，∴18−2t=10，∴t=4，此时，PD=BQ且PD∥BQ，则四边形PBQD是平行四边形，∴当t为4时，四边形PBQD是平行四边形．（2）存在，t=3；假设R点在图中所示位置，则连接BP、QR，要使得B、Q、R、P四点为顶点的四边形是菱形，则有PB=PR=10，在Rt△ABP中，82+(2t)2=102，∴t=3，t=−3（舍去），此时AR=2×3+10=16，符合题意；∴在AD边上存在一点R，使得B、Q、R、P四点为顶点的四边形是菱形，且t=3．（3）5；2√89+302如图，连接BP、QM，因为PM=10，∴PM=BQ且PM∥BQ，∴四边形PBQM是平行四边形，∴PB=QM，∵四边形BCMP的周长=PM+PB+BC+CM=10+QM+20+CM=30+QM+CM，∴当QM+CM的值最小时，四边形BCMP的周长最小，作Q点关于AD的对称点G，连接CG，则QG=2QE=16，四边形ABQE是矩形，∴AE=BQ=10，AB=EQ=8，当C、M、G三点共线时（即M点位于图中的F点处），QM+CM的值最小等于CG，∴Rt△GQC中，CG=√QG2+QC2=√162+102=2√89，此时，四边形BCMP的周长最小值为2√89+30，∵E点为QG中点，EF∥QC，∴EF=1QC=5，2∴AF=15，∴AP=15-10=5,∴t=5．2∴当点P从点A向右运动5秒时，四边形BCMP的周长最小，其最小值为2√89+30．2；2√89+30．所以答案是：52小提示：本题考查了动点问题，涉及到了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理解三角形、“将军饮马”问题、一元一次方程的应用、解一元二次方程等，解题关键是能正确建立方程，以及能确定最短路径．17、如图，在平面直角坐标系中，△ABC的BC边与x轴重合，顶点A在y轴的正半轴上，线段OB，OC（OB<OC）的长是关于x的方程x2−7x+6=0的两个根，且满足CO＝2AO．(1)求直线AC的解析式；(2)若P为直线AC上一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，PD与直线AB交于点Q，设△CPQ的面积为S（S≠0），点P的横坐标为a，求S与a的函数关系式；(3)点M的坐标为(m,2)，当△MAB为直角三角形时，直接写出m的值．答案：(1)y=12x+3；(2)S={74a2+212a,a<−6或a>0−74a2−212a,−6<a<0；(3)m的值为－3或－1或2或7；分析：（1）根据一元二次方程的解求出OB和OC的长度，然后得到点B，点C坐标和OA的长度，进而得到点A坐标，最后使用待定系数法即可求出直线AC的解析式；（2）根据点A ，点B 坐标使用待定系数法求出直线AB 的解析式，根据直线AB 解析式和直线AC 解析式求出点P ，Q ，D 坐标，进而求出PQ 和CD 的长度，然后根据三角形面积公式求出S ，最后对a 的值进行分类讨论即可；（3）根据△MAB 的直角顶点进行分类讨论，然后根据勾股定理求解即可．（1）解：解方程x 2−7x +6=0得x 1=6，x 2=1，∵线段OB ，OC （OB <OC ）的长是关于x 的方程x 2−7x +6=0的两个根，∴OB ＝1，OC ＝6，∴B (1,0)，C (−6,0)，∵CO ＝2AO ，∴OA ＝3，∴A (0,3)，设直线AC 的解析式为y =kx +b (k ≠0)，把点A (0,3)，C (−6,0)代入得{−6k +b =0b =3， 解得{k =12b =3， ∴直线AC 的解析式为y =12x +3；（2）解：设直线AB 的解析式为y =px +q ，把A (0,3)，B (1,0)代入直线AB 解析式得{3=q 0=p +q， 解得{p =−3q =3， ∴直线AB 的解析式为y =−3x +3，∵PD ⊥x 轴，垂足为D ，PD 与直线AB 交于点Q ，点P 的横坐标为a ，∴P (a,12a +3)，Q (a,−3a +3)，D (a,0)，∴PQ =|(−3a +3)−(12a +3)|=|72a|，CD =|a +6|，∴S=12PQ⋅CD=12×|72a|⋅|a+6|，当点P与点A或点C重合时，即当a=0或a=−6时，此时S=0，不符合题意，当a<−6时，S=12×(−72a)[−(a+6)]=74a2+212a，当−6<a<0时，S=12×(−72a)(a+6)=−74a2−212a，当a>0时，S=12×72a(a+6)=74a2+212a，∴S={74a2+212a,a<−6或a>0−74a2−212a,−6<a<0；（3）解：∵A(0,3)，B(1,0)，M(m,2)，∴AB=√(1−0)2+(0−3)2=√10，AM=√(m−0)2+(2−3)2=√m2+1，BM=√(m−1)2+(2−0)2=√m2−2m+5，当∠MAB=90°时，AM2+AB2=BM2，∴(√m2+1)2+(√10)2=(√m2−2m+5)2，解得m=−3，当∠ABM=90°时，AB2+BM2=AM2，∴(√10)2+(√m2−2m+5)2=(√m2+1)2，解得m=7，当∠AMB=90°时，AM2+BM2=AB2，∴(√m2+1)2+(√m2−2m+5)2=(√10)2，解得m1=−1，m2=2，∴m的值为－3或－1或2或7．小提示：本题考查解一元二次方程、待定系数法求一次函数解析式、三角形面积公式、勾股定理，正确应用分类讨论思想是解题关键．18、解方程：(1)2x2－5x－3＝0；(2)x2－2x＝2x－1；(3)x2＋3x＋2＝0答案：(1)x1＝－12，x2＝3(2)x1＝2＋√3，x2＝2－√3(3)x1＝－1，x2＝－2分析：（1）直接用公式法求解；（2）用配方法求解；（3）用因式分解法求解．(1)解：∵a＝2，b＝－5，c＝－3，∴b2－4ac＝(－5)2－4×2×(－3)＝49＞0，∴x＝5±√492×2＝5±74，∴x1＝－12，x2＝3；(2)解：移项，得x2－4x＝－1，配方，得x2－4x＋4＝－1＋4，即(x－2)2＝3，两边开平方，得x－2＝±√3，即x－2＝√3或x－2＝－√3，∴x1＝2＋√3，x2＝2－√3；(3)解：原方程可变形为(x＋1)(x＋2)＝0，∴x＋1＝0或x＋2＝0，∴x1＝－1，x2＝－2．小提示：本题考查一元二次方程解法，根据方程的特征，选择适当方法求解是解题的关键．。
一元二次方程知识归纳与题型突破(12类题型清单)(原卷版)—2024-2025学年九年级数学上册
一元二次方程知识归纳与题型突破（12类题型）一、一元二次方程的定义（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高01 思维导图02 知识速记次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．二、一元二次方程的一般形式（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．三、一元二次方程的解（1）一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．ax12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0）．四、解一元二次方程-直接开平方形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±；如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±．注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．③方法是根据平方根的意义开平方．五、解一元二次方程-配方法（1）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．六、解一元二次方程-公式法（1）把a acbbx24 2-±-=（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．七、解一元二次方程-因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意义因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．八、由实际问题抽象出一元二次方程在解决实际问题时，要全面、系统地申清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．九、一元二次方程的应用1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．2、列一元二次方程解应用题中常见问题：（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．（2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2=后来数．（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．4．解：准确求出方程的解．5．验：检验所求出的根是否符合所列方程题型一 利用一元二次方程的定义判断是否是一元二次方程例1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．20ax bx c ++=B ．212x x +=C ．221x x y +=+D ．()()22131x x +=+巩固训练1.（2023·江苏盐城·模拟预测）下列方程是一元二次方程的是（ ）A ．20ax bx c ++=Bx=C ．21220x x++=D ．()22134m x x +-=2．（23-24八年级下·山东烟台·期中）下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ）A ．7x y -=B ．220x x ++=C ．120x x+=D ．()232x x x-=+3.（23-24八年级下·山东烟台·期中）下列方程中：①2210x x -+=；②20ax bx c ++=；③22350x x+-=；④20x -=；⑤()2212x y -+=；⑥()()22132x x x --=，一元二次方程的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4题型二 一元二次方程的一般形式例2. （23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）方程()()320x x +-=化为一元二次方程的一般形式是 ．巩固训练1．（23-24八年级下·广西崇左·期中）把方程()()223243x x +=-化为一元二次方程的一般形式是 ．03 题型归纳2.（23-24八年级下·山东东营·阶段练习）把一元二次方程()()112x x x +-=化成一般形式后得到二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．3.（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）方程2(21)(3)1x x x +-=-化为一般形式为 ，二次项系数、一次项系数、常数项的和为．题型三 利用一元二次方程的定义求参数例3.（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）若关于x 的方程()211450m m x x +++-=是一元二次方程，则m的值是（ ）A ．0B ．1-C ．1D ．1±巩固训练1.（2024八年级下·安徽·专题练习）关于x 的方程||(2)23m m x mx -++=是一元二次方程，则m 值为（ ）A ．2或2-B ．2C ．2-D ．0m ³且2m ¹2.（23-24八年级下·安徽亳州·期中）若()22210mm x mx ---+=是一元二次方程，则m 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．2或2-D ．3．（23-24八年级下·安徽池州·期末）若关于x 的方程22(2)430kk x x --+-=是一元二次方程，则k = ．例4. （2024·江苏镇江·二模）已知2x =是方程230x x c -+=的一个根，则实数c 的值是 ．巩固训练1．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）关于x 的一元二次方程2320x x m ++-=有一个根为0，则m 的值是（ ）A ．1B ．1±C ．2D ．2±2.（2024·山东济南·三模）关于x 的一元二次方程2420x x m -+=的一个根14x =，则m =．3.（2024·山东济南·二模）已知关于x 的一元二次方程2260x mx +-=的一个根是3，则m 的值是 ．题型五 一元二次方程的解求代数式的值例5. （2024·青海玉树·三模）若3x =是关于x 的方程26ax bx -=的解，则202493a b -+的值为 ．巩固训练1.（2024·四川南充·中考真题）已知m 是方程2410x x -=+的一个根，则(5)(1)m m +-的值为．2.（2024·江苏常州·二模）已知m 为方程 ²360x x --=的一个根，则代数式²36m m -+-的值是 ．3.（2024·福建·模拟预测）已知m 为方程2320240x x +-=的根，那么32220272024m m m +-+的值为题型六 一元二次方程的解的估算例6. （23-24八年级下·黑龙江大庆·阶段练习）根据表格中的数据：估计一元二次方程20ax bx c ++=（a ，b ，c 为常数，0a ¹）一个解x 的范围为（ ）x0.511.5232ax bx c++28181042-A ．0.51x ＜＜B ．1 1.5x ＜＜C ．1.52x ＜＜D ．23x ＜＜巩固训练1.（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知2310x x -+=，依据下表，它的一个解的范围是（ ）x2.52.6 2.7 2.8231x x -+0.25-0.04-0.190.44A ．2.5 2.6x <<B ．2.6 2.7x <<C ．2.7 2.8x <<D ．不确定2.（23-24八年级下·江苏苏州·期中）观察表格，一元二次方程22 1.10x x --=的一个解的取值范围是．题型七 用配方法配一元二次方程例7.（23-24八年级下·浙江金华·期中）用配方法解一元二次方程221x x -=，配方后得到的方程是（ ）A ．2(1)2x -=B ．()212x +=C ．2(1)0x +=D ．2(1)0x -=巩固训练1.（2024·山西阳泉·三模）用配方法解一元二次方程28100x x -+=配方后得到的方程是（ ）A ．()2854x +=B ．()2854x -=C ．()246x +=D ．()246x -=2.（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）用配方法解一元二次方程22510x x --=，配方正确的是（ ）A ．2533416x æö-=ç÷èøB ．2541416x æö-=ç÷èøC ．252724x æö-=ç÷èøD ．252924x æö-=ç÷èø3.（23-24八年级下·安徽淮北·阶段练习）用配方法解方程23430x x --=，应把它先变形为（ ）A ．221339x æö-=ç÷èøB ．2203x æö-=ç÷èøC ．21839x æö-=ç÷èøD ．211039x æö-=ç÷èø题型八 解一元二次方程例8．（23-24九年级·江苏·假期作业）解关于x 的方程（因式分解方法）：(1)230x =；(2)7(3)39x x x -=-．巩固训练1．（2024八年级下·浙江·专题练习）解方程：(1) 2490x -=；(2)()221491x +-=．2.（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）用适当的方法解方程：()()22325x x -=+3.（23-24八年级下·广西崇左·期中）解方程：(1)22350x x --=；(2)()2326x x +=+．4.（23-24八年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程：(1)2120x x --=；(2)22530x x +-=；(3)22770x x -+=．5.（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）用配方法解方程：(1)242x x +=； (2)27304x x --=；(3)2483x x -=-；(4)2441018x x x++=-题型九 解一元二次方程中错解复原问题例9：（2024·江西吉安·三模）小明解一元二次方程22530x x ++=的过程如下，请你仔细阅读，并回答问题：(1)小明解此方程使用的是______法；小明的解答过程是从第______步开始出错的．(2)请写出此题正确的解答过程．巩固训练1.（23-24八年级下·全国·2+=解：∵a =b =c =∴(2244320b ac D =-=-=>，∴2x ==，∴12x =，22x =-.请你分析以上解答过程有无错误，如有错误，指出错误的地方，并写出正确的结果.2.（23-24八年级下·广西百色·期中）小涵与小彤两位同学解方程()()2366x x x -=-的过程如下：小涵的解题过程：第1步：两边同时除以()6x -得36x x =-，第2步：移项，得36x x =-，第3步：解得2x =-．小彤的解题过程：第1步：移项，得()()23660x x x ---=，第2步：提取公因式，得()()6360x x x ---=．第3步：则60x -=或360x x --=，第4步：解得16x =，22x =．(1)小涵和小彤的解法都不正确，小涵第一次出错在第_____步，小彤第一次出错在第_____步；(2)请你给出正确的解法，并结合你的经验提出一条解题注意事项．题型十 根据判别式判断一元二次方程根的情况例10.（23-24九年级下·云南昆明·阶段练习）已知关于x 的一元二次方程2550x x -+=的根的情况，下列说法正确的是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定巩固训练1.（2024·河南周口·三模）关于x 的一元二次方程2220x mx +-=的根的情况是（ ）A ．没有实数根B ．只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根2.（2024·上海·中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）A ．260x x -=B ．290x -=C ．2660x x -+=D ．2690x x -+=3.（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）下列方程中，没有实数根的是（ ）A ．22x x =B ．2210x x -+=C ．260x x --=D ．224x x =-题型十一 利用一元二次方程根与系数的关系求值例11．（2024·江西宜春·模拟预测）一元二次方程2310x x --=的两根分别为a ，b ，则()ab a b += ．巩固训练1.（2024·江西吉安·一模）已知方程2430x x --=的两个根分别为1x ，2x ，则12x x 的值为 ．2.（2024·广东深圳·模拟预测）若1x ，2x 是方程2210x x --=的两个根，则121222x x x x +-的值为 ．3.（2024·江苏南京·三模）设12x x 、是方程2320210x x --=的两个根，则21122x x x -+= ．4.（2024·山东济宁·一模）设a ，b 是一元二次方程23170x x +-=的两个根，则252a a b ++=.题型十二 用一元二次方程解决与图形有关的问题例12：（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）一个矩形蔬菜大棚长32m ，宽20m ，其中有两横两竖四条小路，横竖小路的宽度相同，小路的面积占整个大棚面积的532．(1)小路的宽度是多少？(2)蔬菜的种植需要两组工人来完成，甲组每平方米50元，乙组每平方米60元，若完成此大棚的种植不超过30000元，至少安排甲组种植多少平方米？巩固训练1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）李大爷用30米的栅栏围成一个菜园，围成的菜地是如图所示的矩形ABCD．设边AD的长为x（单位：米），矩形ABCD的面积为S（单位：平方米）．(1)求S与x之间的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；<，请求出此时AD的长．(2)若矩形ABCD的面积为54平方米，且AB AD2．（重庆市两江新区2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试题）新高考采用“312++”的模式，对生物学科提出了更高的要求．某学校生物组为培养同学们观察、归纳的能力，组建了生物课外活动小组．在一次野外实践时，同学们发现一种水果黄瓜的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21．(1)这种水果黄瓜每个支干长出多少小分支？(2)学校打算建立一块矩形的生物种植田来种植这种水果黄瓜，一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为10米），其余部分需要用总长为22米的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开，栅栏因实验需要，有两个宽为1米的门（门无需栅栏，如图所示）．设种植田的宽AB为m米．若该种植田的面积为36平方米（栅栏的占地面积忽略不计），求该种植田的宽m．。
人教版九年级数学-一元二次方程全章知识点专题复习(含答案)
一元二次方程全章知识点专题复习【课标要点】1. 理解一元二次方程定义；2. 会解一元二次方程；3. 会根据根的判别式24b ac -判断一元二次方程的根的情况； 4. 会列一元二次方程解决实际问题.⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩解法根的判别式一元二次方程二次三项式的分解因式根与系数的关系实际应用问题第1讲 一元二次方程的概念【知识要点】1、一元二次方程的一般形式：200),,,ax bx c a a b c ++=≠（其中是常数. 2、在一般式中，当b ＝0时，则有220c 00ax c ax bx +=+=或当＝时，则有，这两种情况都是一元二次方程.【典型例题】 例1判断下列关于x 的方程是不是一元二次方程.22222222213;(2)50;(3)235;(5)2(3)21;511(6)33;(7)2;(8)()10;(9)40:1(10)0.(0)x x x xy x x x x x x x x abx a b x x x x px qx m p =-=--==-=+++=-=+++=-+=+++=≠（） 分析：一元二次方程，必须满足：（1）整式方程；（2）含有一个未知数，并且最高次数是2.解：方程（1）、（6）、（7）的左边是分式，不属于整式方程，方程（3）含有两个未知数，方程（4）的左边不是整式，方程（5）经整理候，得－6x ＝1，方程（8）中未确定ab≠0，因此，只有（2）、（9）、（10）是一元二次方程.例2方程25)(3)(3)50.m m m x m x ---+-+=（（1） m 为何值时，此方程为一元二次方程？ （2） m 为何值时，此方程为一元一次方程？分析：形如0nax bx c ++=的方程，当n ＝2且a≠0时为一元二次方程；当a ＝0时且b≠0时为一元二次方程.解：（1）当m －2＝2时，m ＝4，这时5)(3)0.m m --≠（当m ＝4时，此方程为一元二次方程.（2）5)(3)0,20,2m 30m m m m --=->-≠当（为自然数，且－时，方程为一元一次方程.由5)(3)0m 5m 3m m m --=≠（得＝或＝，又因为3，∴当m ＝5时，此方程为一元一次方程.例3 为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用了新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2填，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还应再增加多少米？（只需列出方程，并整理成一般一元二次方程形式.）分析：根据题意本题有两个关系式：一是计划每天加固的长度比原计划增加了20米，而是实际完成工程任务所需时间比原计划缩短2天，由时间关系列出方程.解：设现在计划每天加固河堤x 米，则原来计划每天加固河堤（x －20）米.根据题意德22402240220x x-=-，整理，得 22022400x x --=【知识运用】 一、选择题1．一元二次方程得一般形式是（ ）A.20x bx c ++= `B.20ax bx c ++=C. 20()ax bx c a o ++== D.以上都不对 2．下列方程为一元二次方程的有（ ）A.21102x x-+= B. 252ax bx c +=C.()219x -=D.x+y=03.关于x 的方程232232(m n m x mx m x nx px q +=+-+≠其中），经化简整理，化为200)ax bx c a ++=≠（的形式后，二次项系数、一次项系数及常数项分别是（ ）A.m －n ，p ，qB. m －n ，－p ，qC.m －n ，－p ，－qD.m －n ，p ，－q4．将一元二次方程21x 2x 302-+=－的二次项系数变为正整数，且使方程的根不变的是（ ）A. 2x 2x 30+=－ B. 2x x 60+=－4C 2x x 60=－4－D 2x x 60-=+4二、填空题5．方程24x 0=是_____元______次方程，二次项系数是______，一次项系数是____，常数项是_______.6.当m__________时，方程2m-1)x 21)x 0m m -+=（－(不是关于x 的一元二次方程；当m___________时，上述方程才是关于x 的一元二次方程；7.若方程22x 3x 1k x +=+是一元二次方程，则k 的取值范围是_________; 三、解答题 8．若方程1(3)x230k k x --+-=是关于x 的一元二次方程，求k 的值.9．若关于x 的一元二次方程22(a-1)x +x+a 10-=的一个根是0，求a 的值.10．某大学改善校园环境，计划在一块长80米，宽60米的矩形场地中央建一矩形网球场，网球场占地面积为3500平方米，四周为宽度相等的步行道，求步行道的宽度，根据题意列出泛称，并将其化为一般形式.第2讲 配方法【知识要点】1、直接开平方法解一元二次方程：将方程化成()2b(0)x a b +=≥的形式，则x＝0)a b -±≥.2、配方法解一元二次方程：利用公式222a 2()ab b a b ±+=±，把一元二次方程转化为2()(0)x a b b +=≥，再利用直接开平方法解方程.【典型例题】例1 用配方法解关于x 的一元二次方程： x 0px q ++=2分析：配方法解一元二次方程，关键要搞清配方的目的是什么，即配方要使方程能运用直接开平方法解决，该题是一种字母系数的一元二次方程，故可按上述步骤进行求解，先将其整理成一般形式，二次项系数化为1.因二次项系数为1，所以移项得2x x p q +=-，方程两边配方，然后利用完全平方公式，直接开平方法解出方程.解：22221212x ,x (),244qx ,244q p 400,4x (2)p 40x 23p 40px q p p px q p p p q x pq x q +=-++=-+--->>---<222222移项，得配方，得整理，得（+）＝（1）当时，方程两边直接开平方，得当＝时，＝＝；（）当时,原方程无实数解.例2 用配方法解方程（1）2x 6x 50+-=； （2）24x 7x 20-+=分析：方程经过移项，配方后变为形如2().ax b c +=的方程 解：（1）（2）移项，得24x 7x 2-=-化二次项系数为1，例3 试证：不论x 为何实数，多项式424224124x x x x ----的值总大于的值. 分析：比较两个代数式大小通常用做差的方法. 解：∴多项式424224124x x x x ----的值总大于的值. 【知识运用】 一、选择题1． 已知代数式2224x 228x 5x x +-+-的值为3，则代数式的值为（ ） A.5B. －5C. 5或－5D.02．将二次三项式22x 4x 6-+进行配方，正确的结果是（ ）A.24-2（x-1） B.24+2（x-1）C.22-2（x-2）D. 22+2（x-2） 3．方程2(1)9x +=的解是（ ） A.2x =B. 4x =-C. 122,4x x ==-D. 122,4x x =-=221265,6959,314333x x x x x x x +=++=+=∴+=∴=-+=--2移项，得配方，得即（x ＋）2222127717x ()()48287177x x 864877x x 88x x x -+=-+-∴-∴--∴得即（）＝，＝＝＝4242424222224242(241)(24)23(21)2(1)2x (1)20(241)(24)0x x x x x x x x x x x x x x -----=-+=-++=-+-+>----->对于任何实数，总有即4.已知11120,19,21202020a xb xc x =+=+=+，则代数式222a b c ab bc ac ++---的值是（ ） A.4 B.3C. 2D. 1二、填空题5．224___9(___3)x -+=-6．将二次三项式2x 2x 2--进行配方，其结果等于__________.7.已知m 是方程2x x 20--=的一个根，则代数式2m m -的值等于______. 三、解答题8．用配方法解下列方程2(1)2360;x x --= 221(2)20;33y y --=2(3)0.40.81;x x -= 2(4)1)0;y y ++=9.用配方法证明21074x x -+-的值恒小于0.10.来自信息产业部的统计数字显示，2019年1月至4月份我国手机产量为4000万台，相当于2018年全年手机产量的80％，预计到2020年年底收机产量将达到9800万台，试求这两年手机产量平均每年的增长率.第3讲公式法【知识要点】1．公式法：一般地，对于一元二次方程221200),b 4ac 0x ax bx c a ++=≠≥，（当－时， 2．2b 4ac 0≥V 当=－，方程可用公式法求解；当2b 4ac 0<V 当=－时，方程无解.【典型例题】例1 用公式法解下列方程21x 100-+=（） 2(2)221x x +=(3)(1)(1)x x +-=分析：首先把每个方程化成一般式，确定a 、b 、c 的值，在2b 4ac 0≥－的前提下，代入求根公式求出方程的根.解：2221222212(2)2210,2,2,1,424?2?(1122(3)10,1,2,1,44?1?(2(4)x x a b c b ac x x x a b c b ac x x +-====--=-±∴=⨯-+-∴===--===-=--=-±∴==⨯∴==Q 移项，得-1)=12>0,-2x=22原方程可化为（-1)=12>0,-（x=222221210,1,1,1,414?1?(x x a b c b ac x x +-====--=-∴=∴===Q 将原方程可化为-1)=5>0,x例2 阅读下面一段材料，并解答问题.22(1)1,4,10,4(411080,(212x x a b c b ac x ==-=-=-⨯⨯>--∴===⨯∴=Q 1=2－＝22220(0)40,4200(0,,,)ax bx c a x b ac b ac b x aa ax bx c a abc ++=≠=-≥--∆=≠∆≥++=≠ 我们知道由一元二次方程运用配方法得其求根公式由平方根的意义知:当时即负数,没有平方根,故代数式就决定了方程根的情况,称它为一元二次方程根的判别式,用记号“”表示,故公式符合条件且0,方可用于求实数根.此外,若均为整数应当222121242,(1)10,:4,?,,?:,b ac b a k x x k x k x x x x k ∆=-∆--+++==∆≥注意当是完全平方时,方程根为有理根;当是完全平方且(是的整数倍时方程的根为整数根. 根据上面得出的结论,请你解答下列问题: 已知关于的方程试求 ⑴为何值时方程有两个实数根 ⑵若方程的两个实数根满足则为何值 分析根据上面材料分析当0时方程有实数根,从而确定k 的取值,对[]1222121121212121.:(1),1)4(1)043230.2(2)0,,0,2k-3=0,35k=,0,240,010,10,,x x k k k k x x x x x x x x x x x k k x =∆≥+-+≥-≥∴≥=≥=∆===><-=+=∴+==-∆≥Q 1于⑵中需分类讨论 解方程有实数根故0,即-( 化简得时方程有两个实数根由①当时此时即符合要求.②当x 时即与相矛盾故舍去k=-13综上可知:当k=时有22x = 例3 某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米 的三级污水处理池(平面图如右图),由于地形限制,三级水库处理 池的长、宽都不能超过16米,如果池的外围墙建造单价为每米 400元,中间两条间隔墙单价为每米300元,池底建造单价为每平 方米80元.(池墙的厚度忽略不计)(1) 当三级污水处理池的总造价为47200元时,求池长x;(2) 如果规定总造价越低就越合算那么根据题目提供的信息以47200元为总造价来修建三级污水处理池是否最合算?请说明理由.分析：可根据三级污水处理池的总造价为47200元列方程.ADBC隔墙隔墙x21212400400:(1)400(2)3002008047200,4007008002008047200,393500,14,25,,14,25,2516(,)10014,16.7x x xx xx x x x x x ⨯++⨯+⨯=⨯++⨯=-+=====><∴ 解由题意得即有 化简得 解得经检验都是原方程的根但米米不符合题意舍去 当池长为米时池宽为米米符合题意 当三级污水处理池的总造价为47200(2)1612.5164007008001620080463004720016<⨯⨯++⨯=<∴元时,池长为14米.当以47200元为总造价修建三级污水处理池时,不是最合算. 当池长为米时,池宽为米米,故池长为16米符合题意,这时总造价为当以47200元为总造价修建三级污水处理池时,不是最合算.【知识应用】 一、选择题22222401)53200,0,0,x x k k m x x m m m n x mx n n m n --=-++-+=++=≠+1.方程2有两个相等的实数根,则的值为( )A.-1 B.-2 C.1 D.22.若一元二次方程(的常数项为则为( )A.1 B.2 C.1或2 D.53.若是方程的根则的值为( )1A. B.1 C.222235020,______.6.610_______.7.x x x mx m x x x --=++=--=1- D.-124.不解方程,判断方程2的根的情况是( )A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.不能确定二、填空题5.已知的一个根则方程的另一个根是_____,的值是方程3的两根之和是方程22230530______.x x x --=++=与方程2的公共解是三、解答题,28.已知直角三角形的一条直角边比另一条直角边长2cm,且面积为24cm 求直角三角形的周长.21)(4)240,10,.k x k x k k k +++-+=+≠9.已知方程(有零根其中求的值2210.2)0,a a x ax b x a --++=要使(是关于的一元二次方程求的取值范围.第4讲 分解因式法【知识要点】112212121212a xb a x b b b a a x x a a ++≠=-=- 1. 分解因式法:把一个一元一次方:程整理为:()()=0的(0)的形式，方程的解为：；；. 2.注意(1)方程一边一定化为0；（2）常用的方法：①提公因式法；②运用公式法③十字相乘法.【典型例题】260;x x -=例1 用因式分解法解下列方程. (1):(1),,(2),(5)(5),,.x x --分析方程的右边是零左边可以用提公因式法分解方程不要去掉括号更不要两边同时除以或要先移项使方程右边为零212212:60,(6)0,060,0, 6.(2)3(5)2(5)0,(5)[3(5)2]0,(5)(133)0,501330,135,.3x x x x x x x x x x x x x x x x x x -=-=∴=-=∴==---=---=--=∴-=-=∴==解(1)即或原方程可变形为 即或 2(2)3(5)2(5)x x -=-例2 用公式法因式分解式解下列方程.2222(4)(43)(2)49(3)16(6)x x x x -=--=+ (1)3221222(1)(2)(1)(4)(43)0[(4)(43)][(4)(43)]0(77)(1)0,770101, 1.(2)7(3)][4(6)]0,7(3)4(6)][7(3)4(x x x x x x x x x x x x x x x x x x ---=∴-+----=∴---=∴-=--=∴==---+=-++--分析:方程先移项再利用因式分解法来解,方程移项后也能因式分解.解:移项,得333或 原方程化为[ [126)]0,(113)(345)0,3,15.11x x x x +=+-=∴=-=化简为,1).x x x x +-例3 为解决新疆农牧民出行难的问题今年是新疆投资公路建设力度最大、最多的一年，某公路修筑队接受了改建农村公路96千米的任务，为了尽量减少施工带来的交通不便，实际施工时每天比计划多修1千米，结果提前16天完成任务，问原计划每天修多少千米？分析：如果把修路队原来计划每天修（千米），则实际每天修路是(千米,工作任务可根据工作时间=列方程工作效率解:设原计划每天修路千米,由题意得962129616160(3)(2)03(),2:x x x x x x x =++-=∴+-=∴=-= 化简整理得舍去答原计划每天修2千米.【知识运用】1212121212121200550505244552A. B.4C.,4D.,4225(1)(2)034,A B x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -======-==--======+-===-一、选择题1.一元二次方（5）＝0的两个根为（ ）A.，B.，C.，D.，2.方程（）＝5（）的根为（ ）3.方程的根是，则这个方程为（ ）.-1,2 .12C D 34,A.(3)(4)0B.(3)(4)0C.(3)(4)0D.(3)(4)0x x x x x x x x x x ==--+=+-=++=--=1,-2 .0,-1,2 .0,1,-24.已知一元二次方程的两根分别为，则这个方程为（ ）22225123,_____.4_____,.5147.235(23)201(21);(2)(5)59.,3,x x x x x x x x x x y x x x +-+=-=+-++++=-=-=2二、填空题:5.若与的值相等则6.当时代数式的值为零用分解因式法解方程:2()的解是_____.三、解答题8.用适当的方法解方程.1(1)2有一个直角三角形它的边长恰是个连续整数这个三角形的三边长是多少?10.有一个两位数,它的十位数字和个位数字的和是5,把这个两位数的十位数字和个位数字互换后得到另一个两位数,两个两位数的积为736,求原来的两位数.第5讲 一元二次方程【知识要点】 1、黄金分割：如,图若点C 把线段分成两条线段AB 和BC ，且满足AC BCAB AC=则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.2、列方程解应用题的基本步骤可归纳为：审（审题）；设（设未知数）；列（列方程）解（解方程）；答（答案）.3、列方程解应用题的关键是找出存在的相等关系 【典型例题】例1 某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10％，5月份的营业额达到633.6万元，求3月份到五月份营业额的平均增长率.分析：本题属于平均增长率问题，由已知可设月平均增长率为x ，那么3月份的营业额为400（1＋10％）（1＋x ），5月份营业额为400（1＋10％）（1＋x ）2.解：设平均月增长率为x ，由题意得400（1＋10％）（1＋x ）2＝633.6 整理得：（1＋x ）2＝633.61 1.2440x ∴+=± 0.2x ∴= 所以平均月增长率为20％.例2 一块矩形耕地大小尺寸如图所示，要在这块地上沿东西和南北方向分别挖2条和4条水渠，如果水渠的宽相等，而且要保证余下的可耕地面积为9600米2，那么水渠应挖多宽？分析：这类问题的 特点是挖蕖所占用土地面积只与挖蕖的条数、渠道的宽度有关，而与渠道的位置无关，为了研究问题方便可分别把沿东西和南北方向挖的渠道移动到一起，那ABC么剩余可耕的长方形土地的长为（162－2x ）米，宽为（64－4x ）米.解：设水渠应挖x 米宽，以题意，得（162－2x ）（64－4x ）＝9600化简，297960x x -+=解得11x =,296x =（舍去）答：水渠应挖1米宽. 【知识运用】 一、选择题1． 某商店十月份营业额为5000元，十二月份上升到7200元，平均每月增长的百分率是( ) A ．20% B ．.12％ C ．22％ D.10％2． 从正方形的铁皮上，截去2cm 宽的一条长方形，余下的面积是48cm 2,则原来的正方形铁皮的面积是（ ）A. 9cm 2B.68cm 2C. 8cm 2D. 64cm 23．有一个两位数，它的数字和等于14，交换数字位置后，得到新的两位数比原来的两位数大18，则原来的两位数是（ ）A ．68 B.86 C.－68 D.－864．随着通讯市场竞争日益激烈，某通讯公司的收集市话收费标准按原标准每分钟降低了a 院后，再次下降25％，现在的收费标准是每分钟b 元，则原收费标准是每分钟（ ） A. 5(1)4b -元 B. 5()4b a +元 C. 3()4b a +元 D 4()3b a +元. 二、填空题5．三个连续偶数，较小的两个数的平方和等于较大的数的平方，则这三个数为________. 6．一个两位数，它的数字之和为9，如果十位数字为a ，那么这个两位数是________;b 把这个两位数的个位数字与十位数字对调组成一个新数，则这个数与原数的差为________. 7.某种手表的成本在两年内以100元降低到81元，那么平均每年降低成本的百分率是_____. 三、解答题8．某工厂计划用两个月把产量提高21％，如果每月比上个月提高的百分数相同，求这个百分数.9．某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支出1000元用来购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行.若存款的利率不变，到期后得本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率.10．某商店如果将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售200件.现采用提高售价、减少进货量的方法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销售量就减少10件.问售价定为多少时，才能使所赚利润最大，并求出最大利润.第1讲一、1．C 2.C 3.D 4.D 二、5．一、二，4，0，0 6.m=1,m ≠1 7.222a ab b --三、8.根据题意的1230k k ⎧-=⎪⎨-≠⎪⎩①②由①得k －1=－2解得k=3或k=－1,由②得k ≠3,所以k=－19.由于方程的解使方程的左右两边相等，故将方程的解代入原方程后得到关于a 得方程，求出a 得值，但是需要满足原一元二次方程的二次项系数不为零，故只取a=－1. 10．设步行道的宽度为x 米，根据题意得（80－2x ）.(60－2x)=3500整理，得方程的一般形式为703250x -+=2x 第2讲一、1．A 2.B 3.C 4.B二、5．12x,2x ；6.2(1)3x --；7.22m m -=三、8．121233(1)(2)2,31342x y y y y ±±==-==-=--2（）x=29．2711110)002040x --<原式配方得－（ 2210740,10740x x x x +-=+-即－故－的值恒小于 10．设这两年手机产量平均每年的增长率为x ，根据题意得2124000212(1)980040%,8055x x x +====-解得％（舍去） 第3讲一、1．B 2..B 3.D 4.A 二、5．24-- 6.2 7.x=－1三、8．设直角三角形的较短的直角边长为xcm ，则较长的直角边长为（x+2）cm.根据题意得：2001)0(4)02402x x k k k k =∴=+⨯++⨯-+=∴=Q 方程有零根即将代入方程得，（2121(2)24248026,8()2810x x x x x x x +=∴+-===-∴+=∴∴解得不符合题意舍去较长直角边为直角三角形的周长为6＋8＋10＝24（cm ）9． 10．要使方程是x 的一元二次方程，则由一元二次方程的定义.有220,2,1a a a a x --≠∴≠≠-且时该方程时关于的一元二次方程第4讲一、1．C 2.A 3.C 4.C 二、5.－ 1或4 6.x ＝－27.260,y y x +-==三、8.（1）y＝12±（2）121x x 5==- 9. 3，4，5 10. 32，23第5讲一、1．C 2.A 3.B 4.D 二、5. 7,6,8 6.9a+9,81－18a 7.10%三、8.设每月提高的百分率为x,原产量为a ，以题意得a(1+x)2=a(1+21%)220(1) 1.210.110% 2.1(10a x x ≠∴+====-∴Q 1解得x 舍去）为％9.设此种存款的年利率为x ，由题意得： 【2000（1＋x ）－1000】(1+x)=1320 所以年利率为10％10．设此种商品的售价为x 元，商品所赚利润s 最大.2210.(20010)2040020(10)20000.5102000.x s x x x s x x s -=-⨯=-+∴=--+∴=当时，取最大值。
人教版初三九年级数学第二十一单元一元二次方程知识点及单元测试(含答案)
第二十一章一元二次方程一．知识框架二.知识概念一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．本章内容主要要求学生在理解一元二次方程的前提下，通过解方程来解决一些实际问题。
（1）运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．（2）配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．介绍配方法时，首先通过实际问题引出形如的方程。
这样的方程可以化为更为简单的形如的方程，由平方根的概念，可以得到这个方程的解。
进而举例说明如何解形如的方程。
然后举例说明一元二次方程可以化为形如的方程，引出配方法。
最后安排运用配方法解一元二次方程的例题。
在例题中，涉及二次项系数不是1的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。
对于没有实数根的一元二次方程，学了“公式法”以后，学生对这个内容会有进一步的理解。
（3）一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b 2-4ac ≥0时，•将a 、b 、c 代入式子x=2b a-±就得到方程的根．(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。
《常考题》初中九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》知识点总结(含答案解析)
一、选择题1．欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程22x ax b +=的方法，类似地可以用折纸的方法求方程210x x +-=的一个正根，如图，裁一张边长为1的正方形的纸片ABCD ，先折出BC 的中点E ，再折出线段AE ，然后通过折叠使EB 落在线段EA 上，折出点B 的新位置F ，因而EF EB =，类似地，在AB 上折出点M 使AM AF =，表示方程210x x +-=的一个正根的线段是（ ）A ．线段BMB ．线段AMC ．线段AED ．线段EM2．27742322x -+⨯⨯=⨯是下列哪个一元二次方程的根（ ）A ．22730x x ++=B ．22730x x --=C ．22730x x +-=D ．22730x x -+=3．某超市今年1月份的营业额为50万元，已知2月至3月营业额的月增长率是1月至2月营业额的月增长率的2倍，3月份的营业额是66万元，设该超市1月至2月营业额的月增长率为x ，根据题意，可列出方程（ ） A ．()50166x += B ．()250166x += C ．()2501266x +=D ．()()5011266x x ++=4．已知4是关于x 的方程()2120x m x m -++=的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长为（ ） A ．7 B ．7或10 C ．10或11 D ．11 5．x=－2是关于x 的一元二次方程2x 2+3ax －2a 2=0的一个根，则a 的值为（ ） A ．1或4B ．－1或－4C ．－1或4D ．1或－46．日历中含有丰富的数学知识，如在图1所示的日历中用阴影圈出9个数，这9个数的大小之间存在着某种规律.小慧在2020年某月的日历中也按图1所示方式圈出9个数（如图2），发现这9个数中最大的数与最小的数乘积是297，则这9个数中，中间的数e 是（ ） 日一二 三 四 五 六1 2 3 4 5 6789101112abcd ef ghi图1图2A ．17B ．18C ．19D ．207．新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有81人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，下列列式正确是（ ） A ．(1)81x x x ++= B ．2181x x ++= C ．1(1)81x x x +++=D ．(1)81x x +=8．用配方法解方程23620x x -+=时，方程可变形为（ ） A ．21(3)3x -= B ．21(1)33x -=C ．21(1)3-=x D ．2(31)1x -=9．一元二次方程20x x -=的根是（ ） A ．10x =，21x = B ．11x =，21x =- C ．10x =，21x =-D ．121x x ==10．关于x 的方程2mx 0x +=的一个根是1-，则m 的值为（ ） A ．1B ．0C ．1-D ．1或011．方程23x x =的解为（ ） A ．3x =B ．3x =-C ．10x =，23x =D ．10x =，23x =-12．关于x 的方程x 2﹣kx ﹣2＝0的根的情况是（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．没有实数根 C ．有两个不相等的实数根 D ．无法确定13．有1人患了流感，经过两轮传染后共有81人患流感，则每轮传染中平均一个人传染了（ ）人． A ．40 B ．10 C ．9D ．814．一元二次方程（x ﹣3）2﹣4＝0的解是（ ）A ．x ＝5B ．x ＝1C ．x 1＝5，x 2＝﹣5D ．x 1＝1，x 2＝515．如图，BD 为矩形ABCD 的对角线，将△BCD 沿BD 翻折得到BC D '△，BC '与边AD 交于点E ．若AB ＝x 1，BC ＝2x 2，DE ＝3，其中x 1、x 2是关于x 的方程x 2﹣4x+m ＝0的两个实根，则m 的值是（ ）A ．165B ．125C ．3D ．2二、填空题16．填空：（1）214x x ++________2(7)x =+；（2）29x x -+_______=（x-____）217．设a ，b 是方程220190x x +-=的两个实数根，则11a b+=_____． 18．关于x 的方程222(1)0x m x m m +-+-=有两个实数根α，β，且2212αβ+=，那么m 的值为________．19．设m 、n 是一元二次方程x 2+2x ﹣7＝0的两个根，则m+n ＝_____． 20．已知a 为方程210x x -+=的一个根，则代数式2233a a -+的值为_____ 21．如图，将一张矩形纸片ABCD 折叠，使两个顶点A C 、重合，折痕为FG ，若4,8AB BC ==，则线段BF 的长为_________．22．参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，共有________个队参加比赛．23．北京奥运会的主会场“鸟巢”让人记忆深刻．在鸟巢设计的最后阶段，经过了两次优化，鸟巢的结构用钢量从5.4万吨减少到4.2万吨．若设平均每次用钢量降低的百分率为x ，根据题意，可得方程_______24．已知2x =是关于x 的方程220x x m ++=的一个根，则m =_________．25．若关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣m 2﹣m ＝0（m ＞0），当m ＝1、2、3、…2020时，相应的一元二次方程的两个根分别记为α1、β1，α2、β2，…，α2020、β2020，则112220202020111111αβαβαβ++++++的值为_____．26．为解决民生问题，国家对某药品价格分两次降价，该药品的原价是48元，降价后的价格是30元，若平均每次降价的百分率均为x，可列方程．为____________．三、解答题27．已知关于x的方程x2﹣8x﹣k2+4k+12＝0．（1）求证：无论k取何值，这个方程总有两个实数根；（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．28．5月10日，重庆正式启动“加快发展直播带货行动计划”，以推动直播带货和“网红经济”发展，已知云阳桃片糕每盒12元，仙女山红茶每盒50元，第一次直播期间，共卖出云阳桃片糕和仙女山红茶共计2000盒．（1）若卖出桃片糕和红茶的总销售额不低于54400元，则至少卖出仙女山红茶多少盒？（2）第一次直播结束，为了回馈顾客，在第二次直播期向，桃片糕每盒降价10%3a，红茶每盒降价4a%，桃片糕数量在（1）问最多的数量下增加6a%，红茶数量在（1）问最少的数量下增加4a%，最终第二次直播总销售额比第一次直播的最低销售额54400元少80a 元，求a的值．29．某水果超市以每千克20元的价格购进一批大枣，规定每千克大枣的售价不低于进价又不高于40元．经市场调查发现：大枣的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）之间满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示：（2）该水果超市想要获利1000元的日销售利润，每千克大枣的售价应定为多少元? 30．某玩具店购进一批甲、乙两款乐高积木，它们的进货单价之和是720元．甲款积木零售单价比进货单价多80元．乙款积木零售价比进货单价的1.5倍少120元，按零售单价购买甲款积木4盒和乙款积木2盒，共需要2640元．（1）分别求出甲乙两款积木的进价．（2）该玩具店平均一个星期卖出甲款积木40盒和乙款积木24盒，经调查发现，甲款积木零售单价每降低2元，平均一个星期可多售出甲款积木4盒，商店决定把甲款积木的零售价下降()0m m>元，乙款积木的零售价和销量都不变．在不考虑其他因素的条件下，为了顾客能获取更多的优惠，当m为多少时，玩具店一个星期销售甲、乙两款积木获取的总利润恰为5760元．。
北师大版九年级上册数学第二章一元二次方程-知识点总结含中考真题试题解析
北师大版九年级上册数学第二章一元二次方程☞解读考点知识点名师点晴一元二次方程的概念 1.一元二次方程的概念会识别一元二次方程。
2.一元二次方程的解会识别一个数是不是一元二次方程的解。
解法步骤能灵活选择适当的方法解一元二次方程。
根的判别式b2－4ac 是一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的判别式会判断一元二次方程根的情况。
根与系数的关系x1＋x2＝b a -，x1x2＝ca会灵活运用根与系数的关系解决问题。
一元二次方程的应用由实际问题抽象出一元二次方程要列方程，首先要根据题意找出存在的等量关系．最后要检验结果是不是合理.☞2年中考【2015年题组】1．（2015来宾）已知实数1x ，2x 满足127x x +=，1212x x =，则以1x ，2x 为根的一元二次方程是（）A ．27120x x -+=B ．27120x x ++=C ．27120x x +-=D ．27120x x --=【答案】A ．【解析】试题分析：以1x ，2x 为根的一元二次方程27120x x -+=，故选A ．考点：根与系数的关系．2．（2015河池）下列方程有两个相等的实数根的是（）A ．2+10x x +=B ．24210x x ++=C ．212360x x ++=D ．220x x +-=【答案】C．考点：根的判别式．3．（2015贵港）若关于x 的一元二次方程2(1)220a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值为（）A ．﹣1B ．0C ．1D ．2【答案】B ．【解析】试题分析：∵关于x 的一元二次方程2(1)220a x x --+=有实数根，∴△=2(2)8(1)a ---=1280a -≥且10a -≠，∴32a ≤且1a ≠，∴整数a 的最大值为0．故选B ．考点：1．根的判别式；2．一元二次方程的定义．4．（2015钦州）用配方法解方程21090x x ++=，配方后可得（）A ．2(5)16x +=B ．2(5)1x +=C ．2(10)91x +=D ．2(10)109x +=【答案】A ．【解析】试题分析：方程21090x x ++=，整理得：2109x x +=-，配方得：2102516x x ++=，即2(5)16x +=，故选A ．考点：解一元二次方程-配方法．5．（2015成都）关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（）A ．1k >-B ．1k ≥-C ．0k ≠D ．1k >-且0k ≠【答案】D ．【解析】试题分析：∵是一元二次方程，∴0k ≠，∵有两个不想等的实数根，则0∆>，则有224(1)0k ∆=-⨯->，∴1k >-，∴1k >-且0k ≠，故选D ．考点：根的判别式．6．（2015攀枝花）关于x 的一元二次方程2(2)(21)20m x m x m -+++-=有两个不相等的正实数根，则m 的取值范围是（）A ．34m >B ．34m >且2m ≠C ．122m -<<D ．324m <<【答案】D．考点：1．根的判别式；2．一元二次方程的定义．7．（2015雅安）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程2430x x -+=的根，则该三角形的周长可以是（）A ．5B ．7C ．5或7D ．10【答案】B ．【解析】试题分析：解方程2430x x -+=，（x ﹣1）（x ﹣3）=0，解得13x =，21x =；∵当底为3，腰为1时，由于3＞1+1，不符合三角形三边关系，不能构成三角形；∴等腰三角形的底为1，腰为3；∴三角形的周长为1+3+3=7．故选B ．考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的性质；4．分类讨论．8．（2015巴中）某种品牌运动服经过两次降价，每件件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x ，下面所列的方程中正确的是（）A ．2560(1)315x +=B ．2560(1)315x -=C ．2560(12)315x -=D ．2560(1)315x -=【答案】B．考点：1．由实际问题抽象出一元二次方程；2．增长率问题．9．（2015达州）方程21(2)04m x --+=有两个实数根，则m 的取值范围（）A ．52m >B ．52m ≤且2m ≠C ．3m ≥D ．3m ≤且2m ≠【答案】B ．【解析】试题分析：根据题意得：220301(4(2)04m m m ⎧⎪-≠⎪-≥⎨⎪⎪∆=--⨯≥⎩，解得52m ≤且2m ≠．故选B ．考点：1．根的判别式；2．一元二次方程的定义．10．（2015泸州）若关于x 的一元二次方程2210x x kb -++=有两个不相等的实数根，则一次函数y kx b =+的大致图象可能是（）A．B．C．D ．【答案】B ．【解析】试题分析：∵2210x x kb -++=有两个不相等的实数根，∴△=4﹣4（kb+1）＞0，解得kb ＜0，A ．k ＞0，b ＞0，即kb ＞0，故A 不正确；B ．k ＞0，b ＜0，即kb ＜0，故B 正确；C ．k ＜0，b ＜0，即kb ＞0，故C 不正确；D ．k ＞0，b=0，即kb=0，故D 不正确；故选B ．考点：1．根的判别式；2．一次函数的图象．11．（2015南充）关于x 的一元二次方程0222=++n mx x 有两个整数根且乘积为正，关于y 的一元二次方程0222=++m ny y 同样也有两个整数根且乘积为正．给出四个结论：①这两个方程的根都是负根；②2)1()1(22≥-+-n m ；③1221≤-≤-n m ．其中正确结论的个数是（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C ．考点：1．根与系数的关系；2．根的判别式；3．综合题．12．（2015佛山）如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m ，另一边减少了3m ，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是（）A ．7mB ．8mC ．9mD ．10m 【答案】A ．【解析】试题分析：设原正方形的边长为xm ，依题意有：（x ﹣3）（x ﹣2）=20，解得：x=7或x=﹣2（不合题意，舍去），即：原正方形的边长7m ．故选A ．考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题．13．（2015怀化）设1x ，2x 是方程2530x x +-=的两个根，则2221x x +的值是（）A ．19B ．25C ．31D ．30【答案】C ．考点：根与系数的关系．14．（2015安顺）若一元二次方程220x x m --=无实数根，则一次函数(1)1y m x m =++-的图象不经过第（）象限．A ．四B ．三C ．二D ．一【答案】D ．【解析】试题分析：∵一元二次方程220x x m --=无实数根，∴△＜0，∴△=4﹣4（﹣m ）=4+4m ＜0，∴m ＜﹣1，∴m+1＜1﹣1，即m+1＜0，m ﹣1＜﹣1﹣1，即m ﹣1＜﹣2，∴一次函数(1)1y m x m =++-的图象不经过第一象限，故选D ．考点：1．根的判别式；2．一次函数图象与系数的关系．15．（2015山西省）我们解一元二次方程2360x x -=时，可以运用因式分解法，将此方程化为3(2)0x x -=，从而得到两个一元一次方程：30x =或20x -=，进而得道原方程的解为10x =，22x =．这种解法体现的数学思想是（）A ．转化思想B ．函数思想C ．数形结合思想D ．公理化思想【答案】A ．【解析】试题分析：我们解一元二次方程2360x x -=时，可以运用因式分解法，将此方程化为3(2)0x x -=，从而得到两个一元一次方程：30x =或20x -=，进而得道原方程的解为10x =，22x =．这种解法体现的数学思想是转化思想，故选A ．考点：解一元二次方程-因式分解法．16．（2015枣庄）已知关于x 的一元二次方程20x mx n ++=的两个实数根分别为12x =-，24x =，则m+n 的值是（）A ．﹣10B ．10C ．﹣6D ．2【答案】A．考点：根与系数的关系．17．（2015淄博）若a 满足不等式组211122a a-≤⎧⎪⎨->⎪⎩，则关于x 的方程21(2)(21)02a x a x a ---++=的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．以上三种情况都有可能【答案】C ．【解析】试题分析：解不等式组211122a a -≤⎧⎪⎨->⎪⎩，得a ＜﹣3，∵△=21(21)4(2)()2a a a ---+=2a+2，∵a ＜﹣3，∴△=2a+2＜0，∴方程21(2)(21)02a x a x a ---++=没有实数根，故选C ．考点：1．根的判别式；2．一元一次方程的解；3．解一元一次不等式组；4．综合题．18．（2015烟台）如果201(1)x x x --=+，那么x 的值为（）A ．2或﹣1B ．0或1C ．2D ．﹣1【答案】C ．【解析】试题分析：∵201(1)x x x --=+，∴211x x --=，即（x ﹣2）（x+1）=0，解得：12x =，21x =-，当x=﹣1时，x+1=0，故x≠﹣1，故选C ．考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．零指数幂．19．（2015烟台）等腰三角形边长分别为a ，b ，2，且a ，b 是关于x 的一元二次方程2610x x n -+-=的两根，则n 的值为（）A ．9B ．10C ．9或10D ．8或10【答案】B ．考点：1．根的判别式；2．一元二次方程的解；3．等腰直角三角形；4．分类讨论．20．（2015大庆）方程)5(2)5(32-=-x x 的根是．【答案】15x =，2173x =．【解析】试题分析：方程变形得：23(5)2(5)0x x ---=，分解因式得：(5)[3(5)2]x x ---，可得50x -=或3170x -=，解得：15x =，2173x =．故答案为：15x =，2173x =．考点：解一元二次方程-因式分解法．21．（2015甘孜州）若矩形ABCD 的两邻边长分别为一元二次方程27120x x -+=的两个实数根，则矩形ABCD 的对角线长为．【答案】5．【解析】试题分析：方程27120x x -+=，即(3)(4)0x x --=，解得：13x =，24x =，则矩形ABCD 2234+=5．故答案为：5．考点：1．矩形的性质；2．解一元二次方程-因式分解法；3．勾股定理．22．（2015达州）新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经调査，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，则每件童装应降价多少元？设每件童裝应降价x 元，可列方程为．【答案】（40﹣x ）（20+2x ）=1200．考点：1．由实际问题抽象出一元二次方程；2．销售问题．23．（2015广元）从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个敖，作为函数2(5)y m x=-和关于x 的一元二次方程2(1)10m x mx +++=中m 的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m 的值是________．【答案】2-．【解析】试题分析：∵所得函数的图象经过第一、三象限，∴250m ->，∴25m <，∴3，0，﹣1，﹣2，﹣3中，3和﹣3均不符合题意，将m=0代入2(1)10m x mx +++=中得，210x +=，△=﹣4＜0，无实数根；将1m =-代入2(1)10m x mx +++=中得，10x -+=，1x =，有实数根，但不是一元二次方程；将2m =-代入2(1)10m x mx +++=中得，2210x x +-=，△=4+4=8＞0，有实数根．故m=2-．故答案为：2-．考点：1．根的判别式；2．一次函数图象与系数的关系；3．综合题．24．（2015凉山州）已知实数m ，n 满足23650m m +-=，23650n n +-=，且m n ≠，则n mm n +=．【答案】225-．【解析】试题分析：∵m n ≠时，则m ，n 是方程23650x x --=的两个不相等的根，∴2m n +=，53mn =-．∴原式=22m n mn +=2()2m n mn mn +-=2522()223553-⨯-=--，故答案为：225-．考点：1．根与系数的关系；2．条件求值；3．压轴题．25．（2015泸州）设1x 、2x 是一元二次方程2510x x --=的两实数根，则2212x x +的值为．【答案】27．考点：根与系数的关系．26．（2015绵阳）关于m 的一元二次方程2220n m --=的一个根为2，则22n n -+=．【答案】26．【解析】试题分析：把m=2代入2220n m --=得022742=--n n ，整理得：n n 7212=+，所以721=+n n ，所以原式=21()2n n +-=22-=26．故答案为：26．考点：一元二次方程的解．27．（2015内江）已知关于x 的方程260x x k -+=的两根分别是1x ，2x ，且满足12113x x +=，则k 的值是．【答案】2．【解析】试题分析：∵关于x 的方程260x x k -+=的两根分别是1x ，2x ，∴126x x +=，12x x k =，1212121163x x x x x x k ++===，解得：k=2，故答案为：2．考点：根与系数的关系．28．（2015咸宁）将263x x ++配方成2()x m n ++的形式，则m=．【答案】3．考点：配方法的应用．29．（2015荆州）若m ，n 是方程210x x +-=的两个实数根，则22m m n ++的值为．【答案】0．【解析】试题分析：∵m ，n 是方程210x x +-=的两个实数根，∴1m n +=-，21m m +=，则原式=2()()m m m n +++=1﹣1=0，故答案为：0．考点：1．根与系数的关系；2．一元二次方程的解．30．（2015曲靖）一元二次方程250x x c -+=有两个不相等的实数根且两根之积为正数，若c 是整数，则c=．（只需填一个）．【答案】故答案为：1，2，3，4，5，6中的任何一个数．【解析】试题分析：∵一元二次方程250x x c -+=有两个不相等的实数根，∴△=2(5)40c -->，解得254c <，∵125x x +=，120x x c =>，c 是整数，∴c=1，2，3，4，5，6．故答案为：1，2，3，4，5，6中的任何一个数．考点：1．根的判别式；2．根与系数的关系；3．开放型．31．（2015呼和浩特）若实数a 、b 满足(44)(442)80a b a b ++--=，则a b +=__________．【答案】12-或1．【解析】试题分析：设a b +=x ，则由原方程，得：4(42)80x x --=，整理，得：(21)(1)0x x +-=，解得112x =-，21x =．则a b +的值是12-或1．故答案为：12-或1．考点：换元法解一元二次方程．32．（2015吉林省）若关于x 的一元二次方程20x x m -+=有两个不相等的实数根，则m 的值可能是（写出一个即可）．【答案】答案不唯一，只要14m <即可，如：0．考点：1．根的判别式；2．开放型．33．（2015毕节）关于x 的方程2430x x -+=与121x x a =-+有一个解相同，则a=．【答案】1．【解析】试题分析：由关于x 的方程2430x x -+=，得：（x ﹣1）（x ﹣3）=0，∴x ﹣1=0，或x ﹣3=0，解得x=1或x=3；当x=1时，分式方程121x x a =-+无意义；当x=3时，12313a =-+，解得a=1，经检验a=1是原方程的解．故答案为：1．考点：1．分式方程的解；2．解一元二次方程-因式分解法；3．分类讨论．34．（2015毕节）一个容器盛满纯药液40L ，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液10L ，则每次倒出的液体是L ．【答案】20．【解析】试题分析：设每次倒出液体xL ，由题意得：40401040xx x ---⋅=，解得：x=60（舍去）或x=20．故答案为：20．考点：一元二次方程的应用．35．（2015日照）如果m ，n 是两个不相等的实数，且满足23m m -=，23n n -=，那么代数式2222015n mn m -++=．【答案】2026．考点：根与系数的关系．36．（2015成都）如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的是________．（写出所有正确说法的序号）．①方程220x x --=是倍根方程；②若(2)()0x mx n -+=是倍根方程，则22450m mn n ++=；③若点()p q ，在反比例函数2y x =的图像上，则关于x 的方程230px x q ++=是倍根方程；④若方程20ax bx c ++=是倍根方程，且相异两点(1)M t s +，，N(4)t s -，都在抛物线2y ax bx c =++上，则方程20ax bx c ++=的一个根为54．【答案】②③．【解析】试题分析：研究一元二次方程20ax bx c ++=是倍根方程的一般性结论，设其中一根为t ，则另一个根为2t ，因此222()(2)32ax bx c a x t x t ax atx t a ++=--=-+，所以有2902b ac -=；我们记292K b ac=-，即0K =时，方程20ax bx c ++=为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题：对于①，29102K b ac =-=，因此本选项错误；对于②，2(2)20mx n m x n +--=，而29K (2)(2)02n m m n =---=，∴22450m mn n ++=，因此本选项正确；对于③，显然2pq =，而29K 302pq =-=，因此本选项正确；对于④，由(1)M t s +，，N(4)t s -，知145222b t t a ++--==，∴5b a =-，由倍根方程的结论知2902b ac -=，从而有509c a =，所以方程变为：250509ax ax a -+=，∴2945500x x -+=，∴1103x =，253x =，因此本选项错误．故答案为：②③．考点：1．新定义；2．根与系数的关系；3．压轴题；4．阅读型．37．（2015黄石）解方程组：224 4 2 2 x y y ⎧+=⎪+=①②．【答案】111xy=⎧⎨=⎩，2212xy⎧=⎪⎨=-⎪⎩．考点：高次方程．38．（2015自贡）利用一面墙（墙的长度不限），另三边用58m长的篱笆围成一个面积为200m2的矩形场地，求矩形的长和宽．【答案】当矩形长为25米时宽为8米，当矩形长为50米时宽为4米．【解析】试题分析：设垂直于墙的一边为x米，则邻边长为（58﹣2x），利用矩形的面积公式列出方程并解答．试题解析：设垂直于墙的一边为x米，得：x（58﹣2x）=200，解得：125x=，24x=，∴另一边为8米或50米．答：当矩形长为25米时宽为8米，当矩形长为50米时宽为4米．考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题．39．（2015巴中）如图，某农场有一块长40m，宽32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140m2，求小路的宽．【答案】2m．考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题．40．（2015广元）李明准备进行如下操作实验：把一根长40cm的铗丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．（1）要使这两个正方形的面积之和等于582cm，李明应该怎么剪这根铁丝？（2）李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于482cm．你认为他的说法正确吗？请说明理由．【答案】（1）12cm和28cm；（2）正确．考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题．41．（2015崇左）为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”．某市加快了廉租房的建设力度，2013年市政府共投资3亿元人民币建设了廉租房12万平方米，2015年投资6.75亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．（1）求每年市政府投资的增长率；（2）若这两年内的建设成本不变，问2015年建设了多少万平方米廉租房？【答案】（1）50%；（2）18．【解析】试题分析：（1）设每年市政府投资的增长率为x．根据2015年投资6.75亿元人民币建设廉租房，列方程求解；（2）先求出单位面积所需钱数，再用累计投资÷单位面积所需钱数可得结果．试题解析：（1）设投资平均增长率为x，根据题意得：23(1) 6.75x+=，解得10.5x=，22.5x=-（不符合题意舍去）答：政府投资平均增长率为50%；（2）212(10.5)18+=（万平方米）答：2015年建设了18万平方米廉租房．考点：1．一元二次方程的应用；2．增长率问题．42．（2015崇左）一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上．（1）求证：△AEF∽△ABC；（2）求这个正方形零件的边长；（3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？【答案】（1）证明见试题解析；（2）48；（3）2400．考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题；3．最值问题；4．压轴题．43．（2015淮安）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？【答案】（1）100+200x；（2）1．考点：1．一元二次方程的应用；2．销售问题；3．综合题．44．（2015遂宁）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．计算：11111111111111 (1)()(1)()23423452345234---⨯+++-----⨯++．令111234t++=，则原式=11 (1)()(1)55 t t t t -+---=22 114 555t t t t t +---+=1 5问题：（1）计算1111111111111111111 (1...)(...)(1...)(...)2342014234520152345201420152342014 -----⨯+++++--------⨯++++；（2）解方程22(51)(57)7 x x x x++++=．【答案】（1）12015；（2）10x=，25x=-．考点：1．换元法解一元二次方程；2．有理数的混合运算；3．换元法；4．阅读型；5．综合题．45．（2015十堰）已知关于x 的一元二次方程()222320x m x m -+++=．（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根分别为1x ，2x ，且满足22121231x x x x +=+，求实数m 的值．【答案】（1）112m ≥-；（2）2．【解析】试题分析：（1）若方程有实数根，则△≥0，解不等式即可；（2）由根与系数的关系得到1223x x m +=+，2122x x m =+，由21220x x m =+>和22121231x x x x +=+，得到22121231x x x x +=+，即21212()313x x x x +=+，代入即可得到结果．试题解析：（1）∵关于x 的一元二次方程()222320x m x m -+++=有实数根，∴△≥0，即22(23)4(2)0m m +-+≥，∴112m ≥-；（2）根据题意得1223x x m +=+，2122x x m =+，∵21220x x m =+>，∴1212x x x x =，∵22121231x x x x +=+，∴22121231x x x x +=+，∴21212()313x x x x +=+，即22(23)313(2)m m +=++，解得m=2，m=﹣14（舍去），∴m=2．考点：1．根的判别式；2．根与系数的关系；3．综合题．46．（2015潜江）已知关于x 的一元二次方程042=+-m x x ．（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根为1x ，2x ，且满足22521=+x x ，求实数m 的值．【答案】（1）m≤4；（2）m=﹣12．考点：1．根的判别式；2．根与系数的关系．47．（2015鄂州）关于x 的一元二次方程22(21)10x k x k ++++=有两个不等实根1x ，2x ．（1）求实数k 的取值范围．（2）若方程两实根1x ，2x 满足1212x x x x +=，求k 的值．【答案】（1）k ＞34；（2）k=2．【解析】试题分析：（1）由方程有两个不相等的实数根可得△=430k ->，求出k 的取值范围；（2）首先判断出两根均小于0，然后去掉绝对值，进而得到2211k k +=+，结合k 的取值范围解方程即可．试题解析：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴△=22(21)4(1)k k +-+=2244144k k k ++--=430k ->，解得：k ＞34；（2）∵k ＞34，∴12(21)0x x k +=-+<，又∵21210x x k =+>，∴10x <，20x <，∵1212x x x x +=，∴1212x x x x --=，∴2211k k +=+，∴10k =，22k =，又∵k ＞34，∴k=2．考点：1．根的判别式；2．根与系数的关系；3．综合题．【2014年题组】1．（2014年甘肃兰州中考）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根，则b2﹣4ac 满足的条件是（）A.b2﹣4ac=0B.b2﹣4ac ＞0C.b2﹣4ac ＜0D.b2﹣4ac≥0【答案】B ．【解析】试题分析：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac ＞0．故选B ．考点：一元二次方程根的判别式．2.（2014年广西贵港中考）若关于x 的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则b+c 的值是（）A ．﹣10B ．10C ．﹣6D ．﹣1【答案】A．考点：1.一元二次方程根与系数的关系；2.求代数式的值．3.（2014年内蒙古呼伦贝尔中考）一元二次方程x2﹣x ﹣2=0的解是（）A.x1=2，x2=1 B.x1=﹣2，x2=1 C.x1=2，x2=﹣1 D.x1=﹣2，x2=﹣1【答案】C ．【解析】试题分析：（x ﹣2）（x+1）=0，x ﹣2=0或x+1=0，∴x1=2，x2=﹣1．故选C ．考点：因式分解法解一元二次方程．4.（2014年山东聊城中考）用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），此方程可变形为（）A.22.2b b 4ac x 2a 4a -⎛⎫+=⎪⎝⎭ B.22.2b 4ac b x 2a 4a -⎛⎫+=⎪⎝⎭ C.22.2b b 4ac x 2a 4a -⎛⎫-=⎪⎝⎭ D.22.2b 4ac b x 2a 4a -⎛⎫-=⎪⎝⎭【答案】A ．【解析】试题分析：先移项，把二次项系数化成1，再配方，最后根据完全平方公式得出即可：移项，得ax2+bx=﹣c ，两边同除以a ，得2b c x x a a +=-，两边同加上一次项一半的平方，得222b bc b x x a 2a a 2a ⎛⎫⎛⎫++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴22.2b b 4ac x 2a 4a -⎛⎫+=⎪⎝⎭．故选A ．考点：配方法解一元二次方程．5.（2014年甘肃白银、定西、平凉、酒泉、临夏中考）一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0，则a=．【答案】1．考点：一元二次方程和解的定义．6.（2014年广西桂林中考）已知关于x 的一元二次方程()22x 2k 1x k 20+++-=的两根x1和x2，且()()112x 2x x 0--=，则k 的值是．【答案】2-或94-．【解析】试题分析：∵()()112x 2x x 0--=，∴1x 2=或12x x =．∵关于x 的一元二次方程()22x 2k 1x k 20+++-=的两根x1和x2，∴若1x 2=，则()22222k 1k 20k 2+++-=⇒=-；若12x x =，则方程()22x 2k 1x k 20+++-=有两相等的实数根，∴()()2292k 141k 20k 4∆=+-⋅⋅-=⇒=-．∴k 2=-或9k 4=-．考点：1.解方程；2.一元二次方程的根和根的判别式；3.分类思想的应用．7.（2014年湖南永州中考）方程x2﹣2x=0的解为．【答案】x1=0或x2=2．【解析】试题分析：把方程的左边分解因式得x （x ﹣2）=0，得到x=0或x ﹣2=0，从而求出方程的解：x1=0或x2=2．考点：因式分解法解一元二次方程．8.（2014年江西省中考）若,a b 是方程2x 2x 30--=的两个实数根，则22a +b =．【答案】10．【解析】试题分析：∵,a b 是方程2x 2x 30--=的两根，∴2,3a +b =a b =- ．∴()222222610a +b =a +b -a b =+=．考点：1.一元二次方程根与系数的关系；2.代数式求值；3.完全平方公式；4.整体思想的应用．9.（2014年江苏泰州中考）解方程：2x2﹣4x ﹣1=0．【答案】12x x == ．考点：公式法解一元二次方程．10.（2014年四川巴中中考）某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？【答案】当该商品每个单价为60元时，进货100个．【解析】试题分析：方程的应用解题关键是设出未知数，找出等量关系，列出方程求解.本题利用销售利润=售价-进价，根据题中条件可以列出利润与x 的关系式，求出即可．解：设每个商品的定价是x 元，由题意，得（x ﹣40）[180﹣10（x ﹣52）]=2000，整理，得x2﹣110x+3000=0，解得x1=50，x2=60．x1=50时，进货180﹣10（x ﹣52）=200个，不符合题意舍去．答：当该商品每个单价为60元时，进货100个．考点：一元二次方程的应用（销售问题）．☞考点归纳归纳1：一元二次的有关概念基础知识归纳：1.一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．2.一般形式:ax2+bx+c=0（其中a 、b 、c 为常数，a ≠0），其中ax2、bx 、c 分别叫做二次项、一次项和常数项，a 、b 分别称为二次项系数和一次项系数．3.一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．基本方法归纳：一元二次方程必须具备三个条件：（1）必须是整式方程；（2）必须只含有1个未知数；（3）所含未知数的最高次数是2．注意问题归纳：在一元二次方程的一般形式中要注意a ≠0.因为当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．【例1】若x=﹣2是关于x 的一元二次方程225x ax a 02-+=的一个根，则a 的值为（）A.1或4B.﹣1或﹣4C.﹣1或4D.1或﹣4【答案】B ．考点：一元二次方程的解和解一元二次方程．归纳2：一元一次方程的解法基础知识归纳：一元二次方程的解法1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
一元二次方程 知识归纳与题型突破(八类题型清单) (解析)--九年级数学上册单元速记巧练(北师大版)
第二章 一元二次方程 知识归纳与题型突破（八类题型清单）一、一元二次方程的有关概念 1. 一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 2. 一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.要点：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0． 二、一元二次方程的解法1．基本思想 一元二次方程一元一次方程 2．基本解法 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．要点：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解→降次01 思维导图02 知识速记法，再考虑用公式法．三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即.（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 要点：1.一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．2. 一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数； (3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程． 四、列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系； 三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤：审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）；答 (写出答案，切忌答非所问).4.常见应用题型 数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.要点： 列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.题型一 一元二次方程的概念及求参数)0(02≠=++a c bx axac b 42−)0(02≠=++a c bx ax ∆ac b 42−=∆)0(02≠=++a c bx ax21x x ，a b x x −=+21acx x =2103 题型归纳例题1．下列方程中，一定是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．20ax bx c ++=B ．()223232x x x −=−C ．()21x x x −=D ．21x =【答案】D【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【解析】A. a=0时，是一元一次方程，故A 错误； B. 经化简，方程是一元一次方程，故B 错误； C. 经化简，方程为一元三次方程，故C 错误； D. 方程为一元二次方程，故D 正确； 故选D.【点睛】此题考查一元二次方程的定义，解题关键在于掌握一元二次方程的判定.巩固训练2．把2(2)43x x x x −−化成一般形式为 ，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ．【答案】 230x x −= 3 1− 0【分析】原式去括号、移项、合并同类项，写出二次项系数，一次项系数，常数项即可． 【解析】解：2(2)43x x x x −−，， 去括号：22243x x x x −=−， 移项合并同类项：230x x −=，∴二次项系数为：3；一次项系数为：1−，常数项为：0； 故答案为：230x x −=；3；1−；0．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般式，熟知一元二次方程的一般式为：20(0)ax bx c a ++=≠是解题的关键．3．关于x 的方程()222310aa x x −+−−=是一元二次方程，则a 的值是（ ）A ．2a =±B ．2a =−C ．2a =D ．a 为任意实数【答案】C【分析】根据一元二次方程的定义得222a −=且a +2≠0，求解即可．【解析】解：由题意，得222a −=且a +2≠0， 解得：a =2， 故选：C ．【点睛】本题考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的方程叫做一元二次方程．4．要使方程()()2310a x b x c −+++=是关于x 的一元二次方程，则（ ） A ．a ≠0 B ．a ≠3 C ．a ≠1且b ≠﹣1 D ．a ≠3且b ≠﹣1且c ≠0【答案】B【分析】本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．【解析】解：根据一元二次方程的定义中二次项系数不为0得，a -3≠0，a ≠3． 故选B ．【点睛】一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx +c =0（a ，b ，c 是常数且a ≠0）特别要注意a ≠0的条件．当a =0时，上面的方程就不是一元二次方程了，当b =0或c =0时，上面的方程在a ≠0的条件下，仍是一元二次方程，只不过是不完全的一元二次方程． 题型二 一元二次方程的根及其应用例题5．已知关于x 的一元二次方程2260x mx 的一个根是3，则m 的值是 ． 【答案】4−【分析】根据一元二次方程2260x mx 的一个根是3，将3x =代入原方程得到关于m 的一元一次方程进而即可解答．本题考查了一元二次方程的根，一元一次方程的解，理解一元二次方程的根是解题的关键． 【解析】解：∵关于x 的一元二次方程2260x mx 的一个根是3， ∴将3x =代入方程2260x mx 得：223360m ×+−=， 解得：4m =−， 故答案为：4−．巩固训练6．若m 是方程24270x x −−=的一个根，则代数式223m m −+的值是 ． 【答案】 12−【分析】本题考查了代数式求值，一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先根据一元二次方程解的定义得到24270m m −−=，则2722m m −=，再把223m m −+变形为2(2)3m m −−+，然后利用整体代入的方法计算．【解析】解：m 是方程24270x x −−=的一个根，24270m m ∴−−=， 2722m m ∴−=，227123(2)3322m m m m ∴−+=−−+=−+=−．故答案为：12−．7．若3x =是关于x 的方程26ax bx −=的解，则202493a b 的值为 ． 【答案】2018【分析】本题考查了方程的解的定义、代数式求值，根据方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把3x =代入原方程得出936a b −=，整理202493a b 为 202493a b ，整体代入计算即可，熟练掌握方程的解的定义、代数式求值是解题的关键．【解析】解：∵3x =是关于x 的方程26ax bx −=的解， ∴936a b −=， ∴202493a b202493a b 202462018=，故答案为：2018．题型三 一元二次方程的解法 例题82x ）A ．120,x x ==B ．120,x x ==C ．12x x ==D ．12x x ==【答案】A【分析】利用直接开方法解一元二次方程即可得．2x(23x =，利用直接开方法得：x ±，解得120,x x == 故选：A ．【点睛】本题考查了利用直接开方法解一元二次方程，熟练掌握直接开方法是解题关键．巩固训练9．方程y 2＝-a 有实数根的条件是（ ） A ．a ≤0 B ．a ≥0C ．a >0D ．a 为任何实数【答案】A【分析】根据平方的非负性可以得出﹣a ≥0，再进行整理即可． 【解析】解：∵方程y 2＝﹣a 有实数根， ∴﹣a ≥0（平方具有非负性）， ∴a ≤0； 故选：A ．【点睛】此题考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是根据已知条件得出﹣a ≥0． 10．方程224(21)25(1)0x x −−+=的解为（ ）A ．127x x ==−B ．1217,3x x =−=− C ．121,73x x == D ．1217,3x x =−=【答案】B【分析】移项后利用直接开平方法解答即可． 【解析】解：移项，得224(21)25(1)x x −=+，两边直接开平方，得2(21)5(1)x x −=±+， 即2(21)5(1)x x −=+或2(21)5(1)x x −=−+， 解得：17x =−，213x =−．故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题型，熟练掌握直接开平方法是解题的关键． 11．形如2()(0)ax b p a +=≠的方程，下列说法错误的是（ ）A ．0p >时，原方程有两个不相等的实数根B ．0p =时，原方程有两个相等的实数根C ．0p <时，原方程无实数根D ．原方程的根为x =【答案】D【分析】根据应用直接开平方法求解的条件逐项判断即得答案．【解析】解：A 、当0p >时，原方程有两个不相等的实数根，故本选项说法正确，不符合题意； B 、当0p =时，原方程有两个相等的实数根，故本选项说法正确，不符合题意； C 、当0p <时，原方程无实数根，故本选项说法正确，不符合题意；D 、当0p ≥时，原方程的根为x = 故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题目，熟练掌握应用直接开平方法求解的条件是关键． 12．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A ．22990x x −−=化为2(1)100x −=B ．2890x x ++=化为2(4)25x +=C ．22740t t −−=化为2781416t −=D ．23420x x −−=化为221039x−=【答案】B【分析】根据配方的步骤计算即可解题．【解析】()2222890,89,816916,47x x x x x x x ++=+=−++=−++= 故B 错误．且ACD 选项均正确， 故选：B【点睛】考查了用配方法解一元二次方程，配方步骤：第一步平方项系数化1；第二步移项，把常数项移到右边；第三步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第四步左边写成完全平方式；第五步，直接开方即可．13．用配方法解方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0），四个学生在变形时得到四种不同结果，其中配方正确的是（ ） A ．2224()24b ac b x a a −+=B ．2224()22b b acx a a−+=C ．2224()24b b acx a a −+=D ．2222()22b b acx a a ++=【答案】C【分析】根据配方法的步骤：先把二次项系数化为1，然后把常数项移到右边，两边同时加上一次项系数的一半的平方，即可得到答案． 【解析】解：∵20ax bx c ++= ，∴20b cx x a a++=， ∴22222b b b cx x a a a a++=− ，∴222424b b ac x a a −+=， 故选C ．【点睛】本题主要考查了配方法，解题的关键在于能够熟练掌握配方法． 14．方程4160x −=的根的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】移项得416x ==24,然后两边同时开四次方得x-=±2，由此即可解决问题． 【解析】解：∵4160x −= ∴416x ==24， ∴x=±2，∴方程4160x −=的根是x=±2. 故选B.【点睛】本题考查高次方程的解法，解题的关键是降次，这里通过开四次方把四次降为了一次．15．若实数m ，n 满足()()222225250+++−=m n m n ，则222m n +的值为（ ） A ．5 B ．2.5 C ．2.5或5− D ．5或5−【答案】A 【解析】略16．一元二次方程()25410x x x −=−的根是 ．【答案】12x =，252x =【分析】方程变形为x （2x ﹣5）﹣2（2x ﹣5）＝0，然后利用因式分解法解方程． 【解析】解：x （2x ﹣5）＝4x ﹣10， x （2x ﹣5）﹣2（2x ﹣5）＝0， （x ﹣2）（2x ﹣5）＝0， x ﹣2＝0或2x ﹣5＝0， 所以12x =，252x =． 故答案为：12x =，252x =． 【点睛】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想），掌握因式分解解方程的方法是解题的关键． 17．方程(x ＋1)(x －3)＝5的解是 ( )A ．x 1＝1，x 2＝3B ．x 1＝4， x 2＝－2C ．x 1＝－1， x 2 ＝3D ．x 1＝－4， x 2＝2【答案】B【分析】先把一元二次方程展开合并，再根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．【解析】∵()()135x x +−=， ∴228=0x x −−，∴(4)(2)0x x −+=， ∴x-4=0或x+2=0， ∴1242x x ==−，． 故选B ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，掌握十字相乘因式分解，是解题的关键． 18．用求根公式解方程23412x x +=，正确的是（ ）A ．x =B ．x =C ．x =D ．x =【答案】D【分析】先把23412x x +=化成一般式231240x x −+=，直接运用公式法解题即可． 【解析】解：23412x x +=， 则一般式是231240x x −+=， 则3a =，12b =−，4c =，那么()22412434b ac ∆=−=−−××，把3a =，12b =−，()22412434b ac ∆=−=−−××都代入x得x =故选：D ．【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，正确掌握公式法是解题的关键．19．当20,40a b ac ≠−≥的是（ ）A ．20ax bx c ++=B ．20ax bx c −+=C ．2ax bx c +=D ．2ax bx c =+【答案】A【分析】根据公式法，判断选项中的一元二次方程的实数根是否是题目中给出的那个．【解析】一元二次方程20ax bx c ++=，当0a ≠，240b ac −≥．故选：A ．【点睛】本题考查一元二次方程的解法——公式法，解题的关键是掌握求根公式．20．解下列方程：①2x 2－18＝0；②9x 2－12x －1＝0；③3x 2＋10x ＋2＝0；④2(5x －1)2＝2(5x －1)．用较简便的方法依次是( )A ．①直接开平方法，②配方法，③公式法，④因式分解法B ．①直接开平方法，②公式法，③、④因式分解法C ．①因式分解法，②公式法，③配方法，④因式分解法D ．①直接开平方法，②、③公式法，④因式分解法 【答案】D【解析】①2x 2=18，所以利用直接开平方法.②9x 2－12x －1＝0，公式法.③3x 2＋10x ＋2＝0，公式法. ④ 2(5x －1)2-2(5x －1)=0,利用因式分解法. 所以选D.21．用适当方法解下列方程： (1)2(21)9x −=； (2)212455250x x −−=；(3)22(31)(1)0x x −−+=； (4)2(2)(2)0x x x −+−=；(5)21102x −+=； (6)20.30.50.3 2.1x x x +=+． 【答案】(1)12x =，21x =− (2)1354x =，25x =− (3)11x =，20x = (4)11x =，22x =(5)12x x − (6)173x =，23x =−【分析】利用直接开平方法，配方法、因式分解法，公式法解出方程的解．【解析】（1）解：2(21)9x −=直接开平方可得：213x −=±， 213x −=或213x −=− ∴原方程的解为：12x =，21x =−； （2）解：212455250x x −−=24151750x x −−=因式分解得：()()43550x x −+=， ∴原方程的解为：1354x =，25x =−； （3）解：22(31)(1)0x x −−+=， 平方差因式分解得：()()()()3113110x x x x −−+−++=，整理得：()2240x x −=， ∴原方程的解为：11x =，20x =；（4）2(2)(2)0x x x −+−=， 提取公因式可得：()()220x x x −−+=， 整理得：()()2220x x −−=， ∴原方程的解为：11x =，22x =；（5）解：∵方程21102x −+=， (2141482∆=−−××=，∴原方程的解为：12x x +； （6）20.30.50.3 2.1x x x +=+，232210x x +−=，因式分解得：()()3730x x −+=， ∴原方程的解为：173x =，23x =− 22．下面是小明用因式分解法解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的问题． 解一元二次方程：26213x x x −=−解：原方程可以化为：()()23131x x x −=−−第一步 两边同时除以()31x −得：21x =−第二步 系数化为1，得：12x =−第三步任务：(1)小明的解法是不正确的，他从第_________步开始出现了错误； (2)请你继续用因式分解法完成这个方程的正确解题过程． 【答案】(1)二(2)13x =或12x =−，过程见解析【分析】本题考查了解一元二次方程——因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法．（1）第二步不符合等式的性质；（2）先移项得到()()231310x x x −+−=，再利用因式分解法把方程转化为310x −=或210x +=，然后解两个一次方程．【解析】（1）解：他从第二步开始出现了错误， 故答案为：二；（2）解：26213x x x −=− ()()23131x x x −=−−()()231310x x x −+−= ()()21310x x +−=310x −=或210x +=， 解得：13x =或12x =−．题型四 一元二次方程的代数应用例题23．代数式243x x −+的最小值为（ ）．A ．1−B ．0C ．3D ．5【答案】A【分析】利用配方法对代数式做适当变形，通过计算即可得到答案． 【解析】代数式()2224344121x x x x x −+=−+−=−−∵()220x −≥，∴()2211x −−≥−即代数式2|431x x −+≥−， 故选：A ．【点睛】本题考查了完全平方公式和不等式的知识；解题的关键是熟练掌握完全平方公式和不等式的性质，从而完成求解．巩固训练24．在解一元二次方程x 2+px +q ＝0时，小红看错了常数项q ，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P ，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（ ）A ．x 2+2x ﹣3＝0B ．x 2+2x ﹣20＝0C ．x 2﹣2x ﹣20＝0D ．x 2﹣2x ﹣3＝0【答案】B【分析】分别按照看错的情况构建出一元二次方程，再舍去错误信息，从而可得正确答案. 【解析】解： 小红看错了常数项q ，得到方程的两个根是﹣3，1， 所以此时方程为：()()310,x x +−=即：2230,x x +−= 小明看错了一次项系数P ，得到方程的两个根是5，﹣4，所以此时方程为：()()540,x x −+=即：2200,x x −−= 从而正确的方程是：22200,x x +−= 故选：.B【点睛】本题考查的是根据一元二次方程的根构建一元二次方程，掌握利用一元二次方程的根构建方程的方法是解题的关键.25．已知m ，n 是一元二次方程2320x x ++=的两根，则 ）A ．2B ．2−C D ．【答案】D【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，二次根式的化简，先解方程可得11x =−，22x =−，再由【解析】解：∵m ，n 是一元二次方程2320x x ++=的两根，∴()()120x x ++=， ∴11x =−，22x =−， ∴0m <，0n <，∴， 故选：D ．26．方程ax 2+bx+c=0（a ＜0）有两个实根，则这两个实根的大小关系是（ ）ABCD【答案】A【解析】因为b b −≤−+,且 a ＜0,故选A. 27．已知多项式A ＝x 2﹣x +(32k−)，若无论x 取何实数，A 的值都不是负数，则k 的取值范围是 ．【答案】112k ≤【分析】根据配方法可进行求解．【解析】解：∵A ＝x 2﹣x +（32k −）＝x 2﹣x 1144+−+（32k −）＝（x 12−）214−+（32k −）， 若x 取任何实数，A 的值都不是负数，∴14−+（32k −）≥0，解得：112k ≤； 故答案为：112k ≤． 【点睛】本题主要考查配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键． 28．如果代数式22x x ++与52x −的值相等，那么x = ． 【答案】2【分析】由题可得2252x x x ++−，整理得到2440,x x −+=即()220,x −=解出即可． 【解析】解：根据题意得2252x x x ++−2440,x x ∴−+= ()220,x ∴−=2.x ∴=故答案为：2．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解此题的关键． 29．已知2252,b 52,a a b +=-+=-则a b +的值=【答案】5−或5−【分析】依题意解252x x +=-后，分a=b 与a b ≠进行讨论即可． 【解析】解：依题意得a,b 是方程252x x +=-的解，解252x x +=-得：12x x =当a b ==a+b=当a b ==a+b=当a b 时，a b 5+=−，故答案为：5−或5−．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的问题，掌握一元二次方程的解以及分类讨论是解题的关键． 30．已知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=（a ，b ，c 为常数，且0a ≠），此方程的解为12x =，23x =．则关于x 的一元二次方程2930ax bx c −+=的解为 ． 【答案】23−或1−/1−或23−【分析】将12x =和23x =分别代入20ax bx c ++=，可求得a ，b ，c 之间的等量关系，代入一元二次方程2930ax bx c −+=即可消去参数，从而解一元二次方程即可．【解析】解： 一元二次方程20ax bx c ++=的解为12x =，23x =，∴420930a b c a b c ++= ++=，解得56b ac a =− = ，∴一元二次方程2930ax bx c −+=可化为291560ax ax a ++=， 0a ≠，∴291560x x ++=， 解得123x =−，21x =−．∴一元二次方程2930ax bx c −+=的解为23−或1−．故答案为：23−或1−．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，解决本题的关键是利用一元二次方程的解求得a ，b ，c 之间的等量关系，从而代入求解．题型五 一元二次方程的几何应用例题31．已知三角形其中两边之和为10，第三边长是是方程212110x x −+=的一个根，则该三角形的周长为（ ） A ．11 B ．21C ．11或21D ．11或1【答案】A【分析】先求出方程212110x x −+=的根，然后分x ＝1和x ＝11两种情况，利用三角形三边关系进行判断即可．【解析】解：由212110x x −+=可得()()1110x x −−=， ∴10x −=或110x −=， 解得x ＝1或x ＝11，当x ＝1时，因为10＞1，所以能组成三角形，此时该三角形的周长为11； 当x ＝11时，因为10＜11，所以不能组成三角形， 故选：A ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系的应用，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．巩固训练32．已知：a 、b 、c 是ABC ∆的三边，且22|10a a b c −+−+=，ABC ∆的形状是 ． 【答案】直角三角形【分析】等式配方成22|10a a b c −+−+=，利用非负数性求得a 、b 、c 的长，再利用勾股定理的逆定理即可求解．【解析】解：∵22|10a a b c −+−+=，∴222110a a c −++−++=，∴22(1)1)|0a c −++=，∴10a −=10=，0c =，∴=1a ，=2b ，c =∵22212+，∴ABC ∆的形状是直角三角形． 故答案为：直角三角形．【点睛】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形就是直角三角形．33．已知2，3，a 分别是等腰三角形三边的长，且a 是关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣x +k 2+1＝0的根，则k 的值为 ．【答案】-5【分析】根据等腰三角形的定义，分a =2和a =3，分别代入方程，解之可得k 值． 【解析】解：∵2，3，a 分别是等腰三角形三边的长，当a =2时，即x =2，代入()22110k x x k −−++=， 得：()241210k k −−++=， 解得：k =-5，或k =1（舍），当a =3时，即x =3，代入()22110k x x k −−++=， 得：()291310k k −−++=，解得：k ，或k故答案为：-5 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，解一元二次方程，解题的关键是要注意根据等腰三角形的定义进行分类讨论．34．如图，在ABC 中，90,6cm,8cm B AB BC ∠=°==，点P 从A 开始沿边AB 向点B 以1cm/s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以2cm/s 的速度移动．点P ，Q 同时出发，当点Q 运动到点C 时，两点停止运动，设运动时间t 秒．(1)填空：BQ =______cm ，PB =______cm ；（用含t 的代数式表示）； (2)当t 为几秒时，PQ 的长度等于；(3)是否存在某一时刻t ，使四边形APQC 的面积等于ABC 面积的23？如果存在，求出t 的值，如果不存在，请说明理由．【答案】(1)2t ，()6−t (2)2s 或2s 5(3)存在，2s =t【分析】（1）根据路程=速度×时间，2cm BQ t =，cm AP t =，结合已知解答即可．（2）根据勾股定理222PQPB BQ =+，列式计算即可． （3）根据23ABC PBQ ABC APQC S S S S =−=四边形列式计算即可． 【解析】（1）∵90,6cm,8cm B AB BC ∠=°==，点P 从A 开始沿边AB 向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以2cm/s 的速度移动． ∴2cm BQ t =，cm AP t =，∴()6cm PB AB AP t =−=−， 故答案为：2t ，()6−t ．（2）∵90,6cm,8cm B AB BC ∠=°==，2cm BQ t =()6cm PBt =−，，222PQ PB BQ =+，∴(()()22262t t =−+，整理，得251240t t −+=， 解得1222,5t t ==，当运动时间为2s 或运动时间为2s 5时，PQ 的长度等于．（3）∵90,6cm,8cm B AB BC ∠=°==，2cm BQ t =()6cm PBt =−，23ABC PBQ ABC APQC S S S S =−=四边形， ∴111232PB BQ AB BC =× ， ∴()1112668232t t ××−=×××， 整理，得2680t t −+=， 解得122,4t t ==（舍去）， 故当运动时间为2秒时，四边形APQC 的面积等于ABC 面积的23．【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形中的动点问题，一元二次方程的应用，熟练掌握勾股定理，解方程是解题的关键．题型六 一元二次方程的根的判别式例题35．关于x 的一元二次方程x 2﹣8x +3＝0的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．无实数根C ．有两个不相等的实数根D ．无法确定【答案】C【分析】根据一元二次方程的判别式即可求出答案． 【解析】解：由题意可知：△＝64﹣4×1×3＝52＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根， 故选：C ．【点睛】本题考查的是一元二次方程系数与根的情况，比较简单，需要牢记根的判别式的取值与方程根的个数的关系.巩固训练36．若关于x 的一元二次方程2230mx x −+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．13m ≤B ．13m <−C ．13m ≤且0m ≠D ．13m <且0m ≠【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握知识点是本题的关键．根据一元二次方程根的判别式，有两个不相等的实数根，即根的判别式240b ac ∆=−>，结合一元二次方程的定义计算出答案即可． 【解析】解：∵一元二次方程2230mx x −+=有两个不相等的实数根， ∴()22Δ42430b ac m =−=−−×> 解得13m <∵方程2230mx x −+=是一元二次方程 ∴0m ≠， ∴13m <且0m ≠， 故选：D ．37．已知关于x 的方程2210mx x −+=有两个不相等的实数根，则m 可取的最大整数是 ． 【答案】1−【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到0m ≠且0∆>，然后求出两不等式的公共部分，最后解得m 可取的最大整数．【解析】解：已知关于x 的方程2210mx x −+=有两个不相等的实数根， ∴0m ≠，且0∆>， ∵a m =，2b =−，1c =， ∴224(2)40b ac m ∆=−=−−×>， 即440m −>， 解得1m <且0m ≠，∴其中m 可取的最大整数是1−， 故答案为：1−．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=−有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当∆<0时，方程无实数根．本题中二次项系数不为零是易错点．38．已知,,a b c 分别是ABC 的边长，则一元二次方程2()20a b x cx a b ++++=的根的情况是（ ） A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．无法判断【答案】A【分析】由于这个方程是一个一元二次方程，所以利用根的判别式可以判断其根的情况．而△=（2c ）2-4（a +b ）（a +b ）=4c 2-4（a +b ）2【解析】解：△=（2c ）2-4（a +b ）（a +b ）=4c 2-4（a +b ）2=4（c +a +b ）（c -a -b ）． ∵a ，b ，c 分别是三角形的三边， ∴a +b ＞c ．∴c +a +b ＞0，c -a -b ＜0， ∴△＜0，∴方程没有实数根． 故选：A ．【点睛】本题主要考查了三角形三边关系、一元二次方程的根的判别式等知识点．重点是对（2c ）2-4（a +b ）（a +b ）进行因式分解．39．小刚在解关于x 的方程()200++=≠ax bx ca 时，只抄对了2a =，1c =，解出其中一个根是1x =．他核对时发现所抄的b 比原方程的b 值小1，则原方程的根的情况是（ ）A ．不存在实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有另一个根是=1x −D ．有两个相等的实数根【答案】A【分析】直接把已知数据代入，进而得出b 的值，再根据根的判别式判别即可．【解析】解：小刚在解关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠时，只抄对了2a =，1c =，解出其中一个根是1x =， 代入20ax bx c ++=得：211012b ， 解得：3b =−，∵核对时发现所抄的b 比原方程的b 值小1， 故原方程中2b =−， 原方程为22210x x −+=，∴ 22424214840b ac∴原方程的根的情况是不存在实数根， 故选：A ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解和根的判别式，正确得出b 的值是解题关键．40．已知：关于x 的一元二次方程()2211204x m x m +++−=． (1)当m 取何值时，此方程没有实数根； (2)若此方程有两个实数根，求m 的最小整数值．【答案】(1)92m <−(2)4−【分析】本题考查了根的判别式，熟知根的判别式为24b ac ∆=−是解题的关键．（1）利用判别式的意义得到()221Δ1412294m m m=+−××−=+，根据题意可得290m +<，即可解答；（2）利用判别式的意义得到()221Δ1412294m m m=+−××−=+，根据题意可得290m +≥，即可得到m的最小整数值．【解析】（1）解：关于x 的一元二次方程()2211204x m x m +++−=， 可得211,1,24a b m c m ==+=−， ()221Δ1412294m m m∴=+−××−=+当290m +<，即92m <−时，此方程没有实数根；（2）解：∵()2211204x m x m +++−=有两个实数根， ∴290m +≥， ∴92m ≥−；∴m 的最小整数值为4−．41．已知关于x 的方程2(3)30x k x k −++=． (1)求证：无论k 取任何实数，该方程总有实数根；(2)如果这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的两边长，其第三边长为4，求ABC 的周长． 【答案】(1)见详解(2)ABC 的周长为11或10．【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，根据根的情况求参数和等腰三角形的性质.（1）先计算出2(3)k ∆=−，然后根据非负数的性质即可证明． （2）分两种情况计算，当腰长为4时，代入方程，求出k 值，得出方程，进而求得方程的另一个根，当底边长为4时，此时方程有两个相等的实数根，根据Δ0=得出k 的值，把k 值代入方程，解方程即可求的ABC 的腰长．【解析】（1）证明：222[(3)]41369(3)k k k k k ∆=−+−××=−+=−， ∵2(3)0k −≥，即0∆≥，∴无论k 取任何实数，方程总有实数根．（2）当腰长为4时，把4x =代入2(3)30x k x k −++=， 得，1641230k k −−+=， 解得4k =；方程化为27120x x −+=， 则其另一个解为3x =，此时ABC 的周长为34411++=． 当底边长为4时，则方程2(3)30x k x k −++=有两个相等的实数根，∴2(3)0k ∆=−=， ∴3k =，此时方程化为2690x x −+=， 即()230x −=, 解得：123x x ==， 此时ABC 的周长为33410++=． 综上所述，ABC 的周长为11或10．42．关于x 的一元二次方程()200ax bx ca ++=≠，下列说法错误的是（ ） A ．若0abc −+=，则240b ac −≥B ．若c 是方程20ax bx c ++=的一个实数根，则一定有10ac b ++=成立C ．若方程2ax c =没有实数根，则方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实数根D ．若m 是方程20ax bx c ++=的一个实数根，则()2242b ac am b −=+【答案】B【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=−有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ0<时，方程无实数根是解题的关键．【解析】解：A 、若0a b c −+=，则1x =−是方程20ax bx c −+=的解，由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：240b ac ∆=−≥，正确，故此选项不符合题意；B 、c 是方程20ax bx c ++=的一个根，20ac bc c ∴++=，(1)0c ac b ∴++=，当10ac b ++=时，等式成立，当0c ，10ac b ++≠，等式仍然成立，故10ac b ++=不一定成立，故一定有10ac b ++=成立错误，故此选项符合题意；C 、∵方程2ax c =没有实数根，∴040ac =+<Δ，40ac ∴<，∴方程20ax bx c ++=的判别式240b ac ∆=−>，∴方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实根，正确，故此选项不符合题意；D 、若m 是一元二次方程20ax bx c ++=的根，由求根公式可得：m 2am b ∴+224(2)b ac am b ∴−=+，正确，故此选项不符合题意； 故选：B ．43．已知一元二次方程210x ax ++=，220x bx ++=，240x cx ++=，其中a ，b ，c 是正实数，且满足2b ac =．设这三个方程不相等的实数根的个数分别为1M ，2M ，3M ，则下列说法一定正确的是（ ）A ．若12M =，22M =，则30M =B ．若10M =，22M =，则30M =C ．若11M =，20M =，则30M =D ．若10M =，20M =，则30M =【答案】C【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，正确记忆一元二次方程根的判别式的相关知识是解题关键． 由题意得214a ∆=−，228b ∆=−，根据1M 、2M 判定出1∆、2∆的符号，再由2b ac =得2b c a，代入216c ∆=−即可确定判别式的符号，得出3M 的值，从而确定答案．【解析】解：A 、∵12M =，22M =，∴240a ∆=−>，280b ∆=−>，即24a >，28b >，∵2b ac =，∴422bc a=，∵4221616b c a∆=−=−，无法确定∆符号，∴3M 的值无法确定，故此选项不符合题意； B 、∵10M =，22M =，∴2140a ∆=−<，2280b −=>∆，即24a <，28b >，∴4216b a >∵2b ac =，∴422b c a=，∵423216160b c a∆=−=−>，∴32M =，故此选项不符合题意；C 、∵11M =，20M =，2140a ∴∆=−=，2280b ∆=−<，即24a =，2b ac = ，∴44224b bc a ==， 而4222364(8)(8)1644b b bc −+−∆=−==，280b +> ，280b -<，∴23160c ∆=−<，30M ∴=；故此选项符合题意； D 、∵10M =，20M =，∴2140a ∆=−，2280b ∆=−<，即24a <，28b <，∵2b ac =，∴422bc a=，∵42321616b c a∆=−=−，无法确定3∆的符号，∴3M 的值无法确定，故此选项不符合题意；故选：C ．题型七 一元二次方程的根与系数的关系例题44．方程245x x −=的根是（ ）A ．125x x =B ．124x x +=−C ．1254x x =D ．124x x +=【答案】D【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，解题关键是熟练掌握一元二次方程()200ax bx ca ++=≠有两根为12b x x a+=−，12cx x a ⋅=． 先把方程化成一般式，再根据一元二次方程根与系数关系求出12x x +与12cx x a⋅=的值，判定即可．。
人教版九年级一元二次方程知识点总结及基础题型
一元二次方程知识点一：一元二次方程的定义等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2 （二次）的方程叫做一元二次方程，一般形式是 ax2 bx c 0(a 0, a,b,c为常数)①ax2 0a 0类型：②ax2 ③ax2 bx 0a 0 c 0a 0④ax2 bx c 0a 0判断一元二次方程的步骤1.把方程化成一般形式 ax2 bx c 0(a 0, a,b, c为常数) 2.最高次数=2 3.最高次项的系数≠0例 1：1.下列方程时一元二次方程的是① 3x2 x 20 ；② 2x2 3xy 4 0；③ x2 1 4 ；④ x2 0 ；⑤ x2 x 3 0x3⑥x2﹣1 ⑦（2）（1）2 ⑧ 6x2=5 ⑨⑩ x2 +3x0；⑪ 1=0；⑫2x2 1 x 132；⑬x2 1 5 0 x⑭；⑮3y2﹣2﹣1；⑯2x2﹣53y2=0；⑰⑱；⑲；⑳⑥；⑦；⑧⑩（ ）．；④；⑤；；⑨；2．关于 x 的方程 2+32+4 是一元二次方程，则 m 应满足条件是 ．3．关于 x 的一元二次方程 2﹣32=0 中，a 的取值范围是 ．4．当 时，方程（m2﹣1）x2﹣5=0 不是一元二次方程．5．若关于 x 的方程（k﹣1）x2﹣4x﹣5=0 是一元二次方程，则 k 的取值范围是例 2：当 m 6．若时，方程 (m 1)x m 1 2x 7 0为一元二次方程 是关于 x 的一元二次方程，则 ．7．若关于 x 的方程（m﹣1） ﹣﹣3=0 是一元二次方程，则 ．8．当 时，（k﹣1） ﹣（2k﹣1）x﹣3=0 是关于 x 的一元二次方程．9．方程（2）31=0 是关于 x 的一元二次方程，则10．关于 x 的方程（m﹣2）﹣1=0 是一元二次方程，则 知识点二：一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是 ax2 bx c 0(a 0, a,b,c为常数) ，其中 ax2 是二次项，a 是二次项系数； bx 是一次项， b 是一次项系数； c 是常数项① a 0；②指出二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号③一元二次方程化为一般形式时，若没出现一次项 bx ，并不是没有，而是b 0例 3： 把方程（1） x 1x 3 12 （2）（3）（4） 数项化为一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是2.一元二次方程 4x2 x 1的二次项系数，一次项系数，常数项分别是3.一元二次方程 x2 －3x = 4 的一般形式是，一次项系数为。
初三数学九上一元二次方程所有知识点总结和常考题型练习题
一元二次方程知识点一、一元二次方程1、一元二次方程:含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.2、一元二次方程的一般形式：，它的特征是：等式左边加一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零,其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项.二、一元二次方程的解法1、直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根.2、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有。
配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法.一元二次方程的求根公式：公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a,一次项的系数为b，常数项的系数为c4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法,这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
分解因式法的步骤:把方程右边化为0,然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法)或十字相乘,如果可以，就可以化为乘积的形式5、韦达定理利用韦达定理去了解,韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和，二根之积。
利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数,在题目中很常用三、一元二次方程根的判别式根的判别式一元二次方程中,叫做一元二次方程的根的判别式,通常用“”来表示，即I.当△〉0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；II.当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；III。
当△〈0时，一元二次方程没有实数根四、一元二次方程根与系数的关系如果方程的两个实数根是，那么，。
人教版九年级上册期末专题复习：一元二次方程全章热门考点与重点题型解题技巧整理((含答案解析)
一元二次方程全章热门考点与重点题型解题技巧整理（解析） 考点1：巧用一元二次方程的定义及相关概念求值考点分析：巧用一元二次方程的定义及相关概念求值主要体现在：利用定义或项的概念求字母的值，利用根的概念求字母或代数式的值，利用根的概念解决探究性问题等． 题型1 利用一元二次方程的定义确定字母的取值1．已知(m －3)x 2＋m ＋2x ＝1是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是( D )A ．m ≠3B ．m ≥3C ．m ≥－2D ．m ≥－2且m ≠3点拨：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m －3≠0，m ＋2≥0，解得m ≥－2且m ≠3.2．已知关于x 的方程(m ＋1)xm 2＋1＋(m －2)x －1＝0.(1)m 取何值时，它是一元二次方程？并写出这个方程；(2)m 取何值时，它是一元一次方程？解：(1)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋1＝2，m ＋1≠0时，它是一元二次方程，解得m ＝1. 当m ＝1时，原方程可化为2x 2－x －1＝0.(2)当⎩⎪⎨⎪⎧m －2≠0，m ＋1＝0或者当m ＋1＋(m －2)≠0且m 2＋1＝1时，它是一元一次方程．解得m ＝－1或m ＝0.故当m ＝－1或m ＝0时，它是一元一次方程．题型2 利用一元二次方程的项的概念求字母的取值1．若一元二次方程(2a －4)x 2＋(3a ＋6)x ＋a －8＝0没有常数项，则a 的值为___8___．点拨：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －8＝0，2a －4≠0.解得a ＝8. 2．已知关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋5x ＋m 2－1＝0的常数项为0，求m 的值．解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1＝0，m －1≠0，解得m ＝－1.题型3 利用一元二次方程的根的概念求字母或代数式的值1．已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0的一个根是－a(a≠0)，则a－b的值为(A) A．－1 B．0 C．1 D．2点拨：∵关于x的方程x2＋bx＋a＝0的一个根是－a(a≠0)，∴a2－ab＋a＝0. ∴a(a－b＋1)＝0. ∵a≠0，∴a－b＝－1.2．已知关于x的一元二次方程(k＋4)x2＋3x＋k2－16＝0的一个根为0，求k的值．解：把x＝0代入(k＋4)x2＋3x＋k2－16＝0，得k2－16＝0，解得k1＝4，k2＝－4. ∵k＋4≠0，∴k≠－4，∴k＝4.3．已知实数a是一元二次方程x2－2 016x＋1＝0的根，求代数式a2－2 015a－a2＋1 2 016的值．解：∵实数a是一元二次方程x2－2 016x＋1＝0的根，∴a2－2 016a＋1＝0.∴a2＋1＝2 016a，a2－2 016a＝－1.∴a2－2 015a－a2＋12 016＝a2－2 015a－2 016a2 016＝a2－2 015a－a＝a2－2 016a＝－1题型4 利用一元二次方程根的概念解决探究性问题1．已知m，n是方程x2－2x－1＝0的两个根，是否存在实数a使(7m2－14m＋a)(3n2－6n－7)的值等于8？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．解：由题意可知m2－2m－1＝0，n2－2n－1＝0，∴(7m2－14m＋a)(3n2－6n－7)＝[7(m2－2m)＋a][3(n2－2n)－7]＝(7＋a)(3－7)＝－4(a ＋7)，由－4(a＋7)＝8得a＝－9，故存在满足要求的实数a，且a的值等于－9.考点2：一元二次方程的解法归类考点分析：解一元二次方程时，主要考虑降次，其解法有直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法等．在具体的解题过程中，结合方程的特点选择合适的方法，往往会达到事半功倍的效果．类型1 限定方法解一元二次方程方法1 形如(x ＋m )2＝n (n ≥0)的一元二次方程用直接开平方法求解1．方程4x 2－25＝0的解为( C )A ．x ＝25B ．x ＝52C ．x ＝±52D ．x ＝±252．用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为( C )A ．x 2－5＝5B ．－3x 2＝0C ．x 2＋4＝0D ．(x ＋1)2＝0方法2 当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解1．用配方法解方程x 2＋3＝4x ，配方后的方程变为( C )A ．(x －2)2＝7B ．(x ＋2)2＝1C ．(x －2)2＝1D ．(x ＋2)2＝22．解方程：x 2＋4x －2＝0.解：x 2＋4x －2＝0，x 2＋4x ＝2，(x ＋2)2 ＝6，x ＋2 ＝±6，x 1＝－2＋6，x 2＝－2－ 6.3．已知x 2－10x ＋y 2－16y ＋89＝0，求x y的值． 解：x 2－10x ＋y 2－16y ＋89＝0，(x 2－10x ＋25)＋(y 2－16y ＋64) ＝0，(x －5)2＋(y －8)2 ＝0，∴x ＝5，y ＝8，∴x y ＝58.方法3 能化成形如(x ＋a )(x ＋b )＝0的一元二次方程用因式分解法求解1．一元二次方程x (x －2)＝2－x 的根是( D )A ．－1B ．0C ．1和2D ．－1和22．解下列一元二次方程：(1)x 2－2x ＝0；(2)16x 2－9＝0；(3)4x 2＝4x －1.解：(1)x 2－2x ＝0，x (x －2)＝0，x 1＝0，x 2＝2.(2)16x 2－9＝0，(4x ＋3)(4x －3)＝0，x 1＝－34，x 2＝34. (3)4x 2＝4x －1，4x 2－4x ＋1＝0，(2x －1)2＝0，x 1＝x 2＝12. 方法4 如果一个一元二次方程易于化为它的一般式，则用公式法求解1．用公式法解一元二次方程x 2－14＝2x ，方程的解应是( B ) A ．x ＝－2±52 B ．x ＝2±52C ．x ＝1±52D ．x ＝1±322．用公式法解下列方程．(1)3(x 2＋1)－7x ＝0；(2)4x 2－3x －5＝x －2.解：(1)3(x 2＋1)－7x ＝0，3x 2－7x ＋3＝0，∴b 2－4ac ＝(－7)2－4×3×3＝13，∴x ＝7±132×3＝7±136.∴x 1＝7＋136，x 2＝7－136. (2)4x 2－3x －5＝x －2，4x 2－4x －3＝0，∴b 2－4ac ＝(－4)2－4×4×(－3)＝64，∴x ＝4±642×4， ∴x 1＝32，x 2＝－12.类型2 选择合适的方法解一元二次方程1．方程4x 2－49＝0的解为( C )A ．x ＝27B ．x ＝72C ．x 1＝72，x 2＝－72D ．x 1＝27，x 2＝－272．一元二次方程x 2－9＝3－x 的根是( C )A ．3B ．－4C ．3和－4D ．3和43．方程(x ＋1)(x －3)＝5的解是( B )A ．x 1＝1，x 2＝－3B ．x 1＝4，x 2＝－2C ．x 1＝－1，x 2＝3D ．x 1＝－4，x 2＝24．解下列方程．(1)3y 2－3y －6＝0；(2)2x 2－3x ＋1＝0.解：(1)3y 2－3y －6＝0，y 2－y －2＝0，y 2－y ＋14－94＝0，⎝⎛⎭⎫y －122＝94，y －12＝±32， ∴y 1＝2，y 2＝－1.(2)2x 2－3x ＋1＝0，b 2－4ac ＝(－3)2－4×2×1＝1，∴x ＝3±12×2，即x 1＝1，x 2＝12. 类型3 用特殊方法解一元二次方程方法1 构造法1．解方程：6x 2＋19x ＋10＝0.解：将原方程两边同乘6，得(6x )2＋19×(6x )＋60＝0.解得6x ＝－15或6x ＝－4.∴x 1＝－52，x 2＝－23. 2．若m ，n ，p 满足m －n ＝8，mn ＋p 2＋16＝0，求m ＋n ＋p 的值．解：因为m －n ＝8，所以m ＝n ＋8.将m ＝n ＋8代入mn ＋p 2＋16＝0中，得n (n ＋8)＋p 2＋16＝0，所以n 2＋8n ＋16＋p 2＝0，即(n ＋4)2＋p 2＝0.又因为(n ＋4)2≥0，p 2≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ＋4＝0，p ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－4，p ＝0.所以m ＝n ＋8＝4， 所以m ＋n ＋p ＝4＋(－4)＋0＝0.方法2 换元法a ．整体换元1．若(a ＋b )(a ＋b ＋2)－8＝0，则a ＋b 的值为( A )A ．－4或2B ．3或－32C ．－2或4D ．3或－22．已知x 2－2xy ＋y 2＋x －y －6＝0，则x －y 的值是( B )A ．－2或3B ．2或－3C ．－1或6D ．1或－63．解方程：(x －2)2－3(x －2)＋2＝0.解：(x －2)2－3(x －2)＋2＝0.设x －2＝y ，原方程化为y 2－3y ＋2＝0，解得y 1＝1，y 2＝2.当y ＝1时，x －2＝1，x ＝3，当y ＝2时，x －2＝2，x ＝4.∴原方程的解为x 1＝3，x 2＝4.4．解方程：(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)＝48.解：原方程即[(x －1)(x －4)][(x －2)(x －3)]＝48，即(x 2－5x ＋4)(x 2－5x ＋6)＝48.设y ＝x 2－5x ＋5，则原方程变为(y －1)(y ＋1)＝48.解得y 1＝7，y 2＝－7.当x 2－5x ＋5＝7时，解得x 1＝5＋332，x 2＝5－332； 当x 2－5x ＋5＝－7时，Δ＝(－5)2－4×1×12＝－23<0，方程无实数根．∴原方程的根为x 1＝5＋332，x 2＝5－332.b ．降次换元1．解方程：6x 4－35x 3＋62x 2－35x ＋6＝0.解：经验证x ＝0不是方程的根，原方程两边同除以x 2，得6x 2－35x ＋62－35x ＋6x 2＝0， 即6⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2－35⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋62＝0. 设y ＝x ＋1x ，则x 2＋1x 2＝y 2－2， 原方程可变为6(y 2－2)－35y ＋62＝0.解得y 1＝52，y 2＝103. 当x ＋1x ＝52时，解得x 1＝2，x 2＝12； 当x ＋1x ＝103时，解得x 3＝3，x 4＝13. 经检验，均符合题意．∴原方程的解为x 1＝2，x 2＝12，x 3＝3，x 4＝13.c ．倒数换元1．解方程：x －2x －3x x －2＝2.解：设x －2x ＝y ，则原方程化为y －3y＝2， 整理得y 2－2y －3＝0，∴y 1＝3，y 2＝－1.当y ＝3时，x －2x＝3，∴x ＝－1. 当y ＝－1时，x －2x＝－1，∴x ＝1. 经检验，x ＝±1都是原方程的根，∴原方程的根为x 1＝1，x 2＝－1.方法3 特殊值法1．解方程：(x －2 013)(x －2 014)＝2 015×2 016.解：方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2 013＝2 016，x －2 014＝2 015的解一定是原方程的解，解得x ＝4 029. 方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2 013＝－2 015，x －2 014＝－2 016的解也一定是原方程的解，解得x ＝－2.∵原方程最多有两个实数解，∴原方程的解为x1＝4 029，x2＝－2.点拨：解本题也可采用换元法．设x－2 014＝t，则x－2 013＝t＋1，原方程可化为t(t ＋1)＝2 015×2 016，先求出t，进而求出x.考点3：根的判别式的四种常见应用考点分析：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，式子b2－4ac的值决定了一元二次方程的根的情况，利用根的判别式可以不解方程直接判断方程根的情况，反过来，利用方程根的情况可以确定方程中待定系数的值或取值范围．题型1 利用根的判别式判断一元二次方程根的情况1．已知关于x的方程kx2＋(1－k)x－1＝0，下列说法正确的是(C)A．当k＝0时，方程无解B．当k＝1时，方程有一个实数解C．当k＝－1时，方程有两个相等的实数解D．当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解点拨：当k＝0时，方程为一元一次方程，解为x＝1；当k≠0时，因为Δ＝(1－k)2－4k·(－1)＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2≥0，所以当k＝1时，Δ＝4，方程有两个不相等的实数解；当k＝－1时，Δ＝0，方程有两个相等的实数解；当k≠0时，Δ≥0，方程总有两个实数解．故选C.2．已知方程x2－2x－m＝0没有实数根，其中m是实数，试判断方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有无实数根．解：∵x2－2x－m＝0没有实数根，∴Δ1＝(－2)2－4·(－m)＝4＋4m<0，即m<－1.对于方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0，Δ2＝(2m)2－4·m(m＋1)＝－4m>4，∴方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有两个不相等的实数根．题型2 利用根的判别式求字母的值或取值范围1已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋2k－4＝0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．解：(1)根据题意得b2－4ac ＝4－4(2k －4)＝20－8k>0，解得k<52. (2)由k 为正整数，可得k ＝1或k ＝2.利用求根公式可求出方程的根为x ＝－1±5－2k ，∵方程的根为整数，∴5－2k 为完全平方数，∴k 的值为2.2．已知关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2) x ＋2＝0，(1)证明：不论m 为何值，方程总有实数根；(2)m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．(1)证明：Δ＝[－(m ＋2)]2－8m ＝m 2－4m ＋4＝(m －2)2.∵不论m 为何值，(m －2)2≥0，即Δ≥0.∴不论m 为何值，方程总有实数根．(2)解：解关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0，得x ＝m ＋2±Δ2m ＝m ＋2±（m －2）2m .∴x 1＝2m ，x 2＝1. ∵方程的两个根都是正整数，∴2m是正整数，∴m ＝1或m ＝2. 又∵方程的两个根不相等，∴m ≠2，∴m ＝1.题型3 利用根的判别式求代数式的值1．已知关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋4＝0有两个相等的实数根，求m －1（2m －1）2＋2m的值．解：∵关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋4＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(2m －1)2－4×1×4＝0，即2m －1＝±4.∴m ＝52或m ＝－32. 当m ＝52时，m －1（2m －1）2＋2m ＝52－116＋5＝114；当m ＝－32时，m －1（2m －1）2＋2m ＝－32－116－3＝－526.2.已知关于x 的一元二次方程mx 2＋nx －2＝0(m ≠0)有两个相等的实数根，求mn 2（m ＋4）2＋n 2－16的值． 解：由题意可知，b 2－4ac ＝n 2＋8m ＝0，∴8m ＝－n 2，∴mn 2（m ＋4）2＋n 2－16＝mn 2m 2＋8m ＋16＋n 2－16＝mn 2m 2＋8m ＋n 2＝mn 2m 2－n 2＋n 2＝mn 2m 2. ∵m ≠0，∴mn 2m 2＝n 2m＝－8.题型4 利用根的判别式确定三角形的形状1.已知a ，b ，c 是三角形的三边长，且关于x 的一元二次方程(b －c )x 2＋2(a －b )x ＋b －a ＝0有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状解：∵一元二次方程(b －c )x 2＋2(a －b )x ＋b －a ＝0有两个相等的实数根， ∴[2(a －b )]2－4(b －c )·(b －a )＝0，∴4(a －b )(a －c )＝0，∴a ＝b 或a ＝c ，∴此三角形是等腰三角形2．已知a ，b ，c 是三角形的三边长，且关于x 的一元二次方程(a ＋c )x 2＋bx ＋a －c 4＝0有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状．解：∵方程(a ＋c)x2＋bx ＋a －c 4＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2－4(a ＋c)·a －c 4＝b2－(a2－c2)＝0， 即b2＋c2＝a2，∴此三角形是直角三角形．考点4：一元二次方程与三角形的综合考点分析：一元二次方程是初中数学重点内容之一，常常与其他知识结合，其中一元二次方程与三角形的综合应用就是非常重要的一种，主要考查一元二次方程的根的概念、根的判别式的应用、一元二次方程的解法及与等腰三角形、直角三角形的性质等知识的综合运用．题型1 一元二次方程与三角形三边关系的综合1．三角形的两边长分别为4和6，第三边长是方程x2－7x＋12＝0的解，则第三边的长为(C)A．3B．4C．3或4D．无法确定2．根据一元二次方程根的定义，解答下列问题．一个三角形两边长分别为3 cm和7 cm，第三边长为a cm，且整数a满足a2－10a＋21＝0，求三角形的周长．解：由已知可得4<a<10，则a可取5，6，7，8，9.(第一步)当a＝5时，代入a2－10a＋21＝52－10×5＋21≠0，故a＝5不是方程的根．同理可知a＝6，a＝8，a＝9都不是方程的根，a＝7是方程的根．(第二步)∴△ABC的周长是3＋7＋7＝17(cm)．上述过程中，第一步是根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，第二步应用的数学思想是__分类讨论_，确定a值的大小是根据_方程根的定义__．题型2 一元二次方程与直角三角形的结合1．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x2－17x＋60＝0的两个根，则这个直角三角形的斜边长为____13____．2．已知a，b，c分别是△ABC的三边，当m>0时，关于x的一元二次方程c(x2＋m)＋b(x2－m)－2m ax＝0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．解：△ABC 是直角三角形．理由如下： 原方程可化为(b ＋c )x 2－2m ax ＋cm －bm ＝0， Δ＝4ma 2－4m (c －b )(c ＋b )＝4m (a 2＋b 2－c 2)． ∵m >0，且原方程有两个相等的实数根，∴a 2＋b 2－c 2＝0，即a 2＋b 2＝c 2. ∴△ABC 是直角三角形．3．已知△ABC 的三边a ，b ，c 中，a ＝b －1，c ＝b ＋1，又已知关于x 的方程4x 2－20x ＋b ＋12＝0的根恰为b 的值，求△ABC 的面积．解：将x ＝b 代入原方程，整理得4b 2－19b ＋12＝0，解得b 1＝4，b 2＝34.当b 1＝4时，a＝3，c ＝5，∵32＋42＝52，即a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形，且∠C ＝90°.∴S △ABC ＝12ab ＝12×3×4＝6；当b 2＝34时，a ＝34－1<0，不合题意，舍去．因此，△ABC 的面积为6.题型3 一元二次方程与等腰三角形的综合1．等腰三角形一条边的长为3，另两条边的长是关于x 的一元二次方程x 2－12x ＋k ＝0的两个根，则k 的值是( B )A ．27B ．36C ．27或36D ．182．已知关于x 的一元二次方程(a ＋c )x 2＋2bx ＋(a －c )＝0，其中a ，b ，c 分别为△ABC 的三边的长．(1)如果x ＝－1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； (3)如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 解：(1)△ABC 是等腰三角形．理由如下：把x ＝－1代入原方程，得a ＋c －2b ＋a －c ＝0，所以a ＝b ，故△ABC 是等腰三角形． (2)△ABC 是直角三角形．理由如下：方程有两个相等的实数根，则Δ＝(2b )2－4(a ＋c )(a －c )＝0，所以b 2－a 2＋c 2＝0，所以a 2＝b 2＋c 2，故△ABC 是直角三角形．(3)如果△ABC 是等边三角形，则a ＝b ＝c ，所以方程可化为2ax 2＋2ax ＝0，所以2ax (x ＋1)＝0，所以方程的解为x 1＝0，x 2＝－1.考点5：根与系数的关系的四种应用类型考点分析：利用一元二次方程的根与系数的关系可以不解方程，仅通过系数就反映出方程两根的特征．在实数范围内运用一元二次方程的根与系数的关系时，必须注意Δ≥0这个前提，而应用判别式Δ的前提是二次项系数不为0.因此，解题时要注意分析题目中有没有隐含条件Δ≥0和a ≠0.题型1 利用根与系数的关系求代数式的值1．设方程4x 2－7x －3＝0的两根为x 1，x 2，不解方程求下列各式的值． (1)(x 1－3)(x 2－3)；(2)x 2x 1＋1＋x 1x 2＋1；(3)x 1－x 2.1．解：根据一元二次方程根与系数的关系，有 x 1＋x 2＝74，x 1x 2＝－34.(1)(x 1－3)(x 2－3)＝x 1x 2－3(x 1＋x 2)＋9＝－34－3×74＋9＝3.(2)x 2x 1＋1＋x 1x 2＋1＝x 2（x 2＋1）＋x 1（x 1＋1）（x 2＋1）（x 1＋1）＝ x 12＋x 22＋x 1＋x 2x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2＋（x 1＋x 2）x 1x 2＋（x 1＋x 2）＋1＝⎝⎛⎭⎫742－2×⎝⎛⎭⎫－34＋74－34＋74＋1＝10132.(3)∵ (x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝⎛⎭⎫742－4×⎝⎛⎭⎫－34＝9716， ∴x 1－x 2＝±9716＝±1497.题型2 利用根与系数的关系构造一元二次方程1．构造一个一元二次方程，使它的两根分别是方程5x 2＋2x －3＝0各根的负倒数． 解：设方程5x 2＋2x －3＝0的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－25，x 1x 2＝－35.设所求方程为y 2＋py ＋q ＝0，其两根为y 1，y 2， 令y 1＝－1x 1，y 2＝－1x 2.∴p ＝－(y 1＋y 2)＝－⎝⎛⎭⎫－1x 1－1x 2＝1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝23，q ＝y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫－1x 1⎝⎛⎭⎫－1x 2＝1x 1x 2＝－53. ∴所求的方程为y 2＋23y －53＝0，即3y 2＋2y －5＝0.题型3 利用根与系数的关系求字母的值或取值范围1．已知关于x 的一元二次方程2x 2－mx －2m ＋1＝0的两根的平方和是294，求m 的值．．解：设方程两根为x 1，x 2，由已知得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝m2，x 1x 2＝－2m ＋12.∵x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝294， 即⎝⎛⎭⎫m 22－2×－2m ＋12＝294， ∴m 2＋8m －33＝0. 解得m 1＝－11，m 2＝3.当m ＝－11时，方程为2x 2＋11x ＋23＝0， Δ＝112－4×2×23<0，方程无实数根， ∴m ＝－11不合题意，舍去；当m ＝3时，方程为2x 2－3x －5＝0，Δ＝(－3)2－4×2×(－5)>0，方程有两个不相等的实数根，符合题意．∴m 的值为3.2.已知关于x 的方程x2＋2x ＋a －2＝0.(1)若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围； (2)若该方程的一个根为1，求a 的值及该方程的另一根． 解：(1)∵22－4×1×(a －2)＝12－4a>0，解得a<3. ∴a 的取值范围是a<3.(2)设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧1＋x1＝－2，1·x1＝a －2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，x1＝－3.题型4 巧用根与系数的关系确定字母系数的存在性4．已知x 1，x 2是一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根，是否存在实数k ，使(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)＝－32成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．解：不存在．理由如下：∵一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0有两个实数根， ∴k ≠0，且Δ＝(－4k )2－4×4k (k ＋1)＝－16k ≥0， ∴k ＜0.∵x 1，x 2是方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根， ∴x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝k ＋14k. ∴(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)＝2(x 1＋x 2)2－9x 1x 2＝－k ＋94k .又∵(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)＝－32，∴－k ＋94k ＝－32，∴k ＝95.又∵k <0，∴不存在实数k ，使(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)＝－32成立．方法总结：对于存在性问题，先根据方程根的情况，利用根的判别式确定出未知字母的取值范围，再利用根与系数的关系求出已知式子中字母的值，验证字母的值是否在其取值范围内．考点6：可化为一元二次方程的分式方程的应用考点分析：可化为一元二次方程的分式方程的实际应用较广泛，一般应用于营销、行程、工程等问题中，解分式方程的基本思路就是化归，去掉分母后转化为一元二次方程，但最后一定要验根，有时可能会产生增根或不符合题意的根．题型1 营销问题1．某玩具店采购人员第一次用100元去采购“企鹅牌”玩具，很快售完，第二次去采购时发现批发价每件上涨了0.5元，用去了150元，所购玩具数量比第一次多了10件，两批玩具的售价均为2.8元，问：第二次采购玩具多少件？(说明：根据销售常识，批发价应该低于销售价)1．解：方法一：设第二次采购玩具x 件，则第一次采购玩具(x －10)件，由题意得100x －10＋0.5＝150x.整理得x 2－110x ＋3 000＝0， 解得x 1＝50，x 2＝60，经检验x 1＝50，x 2＝60都是原方程的解．当x ＝50时，第二次采购时每件玩具的批发价为150÷50＝3(元)，高于玩具的售价，不合题意，舍去；当x ＝60时，第二次采购时每件玩具的批发价为150÷60＝2.5(元)，低于玩具的售价，符合题意， 因此第二次采购玩具60件．方法二：设第一次采购玩具x 件，则第二次采购玩具(x ＋10)件，由题意得100x ＋0.5＝150x ＋10， 整理得x 2－90x ＋2 000＝0， 解得x 1＝40，x 2＝50，经检验，x 1＝40，x 2＝50都是原方程的解．第一次采购40件时，第二次采购40＋10＝50(件)，批发价为150÷50＝3(元)，不合题意，舍去；第一次采购50件时，第二次采购50＋10＝60(件)，批发价为150÷60＝2.5(元)，符合题意． 因此第二次采购玩具60件．2．小明的爸爸下岗后，做起了经营水果的生意，一天，他先去水果批发市场，用100元购甲种水果，用150元购乙种水果，乙种水果比甲种水果多购进10千克，乙种水果的批发价比甲种水果的批发价每千克高0.50元，然后到零售市场，都按每千克2.8元零售，结果乙种水果很快售完，甲种水果售出45时，出现滞销，他便按原售价的5折售完剩下的水果，请你帮小明的爸爸算一算，这天卖水果是赔钱了还是赚钱了(不考虑其他因素)？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？2．解：设小明的爸爸购乙种水果x 千克，则购甲种水果(x －10)千克，所以甲种水果的批发价为每千克100x －10元，乙种水果的批发价为每千克150x 元．根据题意得150x －100x －10＝0.5.方程两边同乘以x (x －10)，整理得x 2－110x ＋3 000＝0， 解之得x 1＝50，x 2＝60.经检验，x 1＝50，x 2＝60都是方程的根．当x ＝50时，乙种水果的批发价为每千克15050＝3(元)，高于水果零售价，不合题意，舍去．当x ＝60时，乙种水果的批发价为每千克15060＝2.5(元)，符合题意；甲种水果的批发价为每千克10060－10＝2(元)，也符合题意．因此，小明的爸爸购进乙种水果60千克，购进甲种水果60－10＝50(千克)，小明的爸爸这一天卖水果盈利：⎝⎛⎭⎫50×45×2.8＋50×15×2.8×12＋60×2.8－(100＋150)＝44(元)．∴小明的爸爸这一天卖水果赚钱了，赚了44元．题型2 行程问题3．从甲站到乙站有150千米，一列快车和一列慢车同时从甲站开出，1小时后快车在慢车前12千米，快车到达乙站比慢车早25分钟，快车和慢车每小时各行驶多少千米？3．解：设慢车每小时行驶x 千米，则快车每小时行驶(x ＋12)千米，依题意得150x －150x ＋12＝2560. 解得x 1＝－72(不合题意，舍去)，x 2＝60. 所以x ＋12＝72. ∴快车每小时行驶72千米，慢车每小时行驶60千米．应用3 工程问题4．某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成．甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用30天才能完成此项工程．(1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天；(2)若甲工程队单独施工a 天后，再由甲、乙两工程队合作________天(用含a 的代数式表示)可完成此项工程；(3)如果甲工程队施工每天需收取施工费1万元，乙工程队施工每天需收取施工费2.5万元，那么甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？解：(1)设乙工程队单独施工x 天完成此项工程，则甲工程队单独施工(x ＋30)天完成此项工程，由题意得20⎝⎛⎭⎫1x ＋1x ＋30＝1，整理，得x 2－10x －600＝0， 解得x 1＝30，x 2＝－20.经检验x 1＝30，x 2＝－20都是分式方程的解，但x 2＝－20不符合题意，应舍去，故x ＝30，x ＋30＝60. 故甲、乙两工程队单独完成此项工程分别需要60天，30天．(2)⎝⎛⎭⎫20－a 3 (3)由题意得1×a ＋(1＋2.5)⎝⎛⎭⎫20－a3≤64，解得a ≥36. 故甲工程队至少要单独施工36天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元．考点7：几种常见的热门考点考点分析：一元二次方程题的类型非常丰富，常见的有一元二次方程的根、一元二次方程的解法、一元二次方程根的情况、一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的应用等，只要我们掌握了不同类型题的解法特点，就可以使问题变得简单，明了．题型1 一元二次方程的根1．若一元二次方程ax 2－bx －2 015＝0有一根为x ＝－1，则a ＋b ＝________． 2．若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一根为－1，且a ＝4－c ＋c －4－2，求（a ＋b ）2 0162 015c的值．1．2 015 点拨：把x ＝－1代入方程中得到a ＋b －2 015＝0，即a ＋b ＝2 015. 2．解：∵a ＝4－c ＋c －4－2，∴c －4≥0且4－c ≥0，即c ＝4，则a ＝－2.又∵－1是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，∴a －b ＋c ＝0，∴b ＝a ＋c ＝－2＋4＝2.∴原式＝（－2＋2）2 0162 015×4＝0.题型2 一元二次方程的解法1．用配方法解方程x 2－2x －1＝0时，配方后所得的方程为( D ) A ．(x ＋1)2＝0 B ．(x －1)2＝0 C ．(x ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＝22．一元二次方程x 2－2x －3＝0的解是( A ) A ．x 1＝－1，x 2＝3 B ．x 1＝1，x 2＝－3 C ．x 1＝－1，x 2＝－3 D ．x 1＝1，x 2＝3 3．选择适当的方法解下列方程： (1)(x －1)2＋2x (x －1)＝0； (2)x 2－6x －6＝0；(3)6 000(1－x )2＝4 860； (4)(10＋x )(50－x )＝800； (5)(2x －1)2＝x (3x ＋2)－7. 3．解：(1)(x －1)2＋2x (x －1)＝0， (x －1)(x －1＋2x ) ＝0， (x －1)(3x －1) ＝0， x 1＝1，x 2＝13.(2)x 2－6x －6＝0， ∵a ＝1，b ＝－6，c ＝－6， ∴b 2－4ac ＝(－6)2－4×1×(－6)＝60. ∴x ＝6±602＝3±15， ∴x 1＝3＋15，x 2＝3－15. (3)6 000(1－x )2＝4 860， (1－x )2＝ 0.81， 1－x ＝ ±0.9， x 1＝1.9，x 2＝0. 1. (4)(10＋x )(50－x )＝800， x 2－40x ＋300＝ 0， x 1＝10，x 2＝30. (5)(2x －1)2＝x (3x ＋2)－7， 4x 2－4x ＋1 ＝3x 2＋2x －7， x 2－6x ＋8 ＝0， x 1＝2，x 2＝4.题型3 一元二次方程根的判别式1．若关于x 的方程x 2＋2x ＋a ＝0不存在实数根，则a 的取值范围是( B ) A ．a ＜1 B ．a ＞1 C ．a ≤1 D ．a ≥12．已知关于x 的一元二次方程(x ＋1)2－m ＝0有两个实数根，则m 的取值范围是( B ) A ．m ≥－34 B ．m ≥0C ．m ≥1D ．m ≥23．在等腰三角形ABC 中，三边长分别为a ，b ，c .其中a ＝5，若关于x 的方程x 2＋(b ＋2)x ＋(6－b )＝0有两个相等的实数根，求△ABC 的周长．解：∵关于x 的方程x 2＋(b ＋2)x ＋(6－b )＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(b ＋2)2－4(6－b )＝0，∴b 1＝2，b 2＝－10(舍去)．当a 为腰时，△ABC 周长为5＋5＋2＝12.当b 为腰时，2＋2＜5，不能构成三角形．∴△ABC 的周长为12.题型4 一元二次方程根与系数的关系1．已知方程x 2－32x ＋1＝0，构造个一元二次方程使它的根分别是原方程两根的倒数，则这个一元二次方程是( )A ．x 2＋32x ＋1＝0B ．x 2＋32x －1＝0C ．x 2－32x ＋1＝0D ．x 2－32x －1＝02．已知α，β是关于x 的一元二次方程x 2＋(2m ＋3)x ＋m 2＝0的两个不相等的实数根，且满足1α＋1β＝－1，则m 的值是( A ) A ．3 B ．1C ．3或－1D ．－3或13．已知关于x 的一元二次方程(x －1)(x －4)＝p 2，p 为实数．(1)求证：方程有两个不相等的实数根．(2)p 为何值时，方程有整数解．(直接写出三个，不需说明理由)．(1)证明：化简方程，得x 2－5x ＋4－p 2＝0.Δ＝(－5)2－4(4－p 2)＝9＋4p 2.∵p 为实数，则p 2≥0，∴9＋4p 2＞0.即Δ＞0，∴方程有两个不相等的实数根．(2)解：当p 为0，2，－2时，方程有整数解．(答案不唯一)点拨：(1)先将一元二次方程化为一般形式，由题意得，一元二次方程根的判别式b 2－4ac ＝(－5)2－4×1×(4－p 2)＝9＋4p 2，易得，9＋4p 2＞0，从而得证．(2)一元二次方程的解为x ＝5±9＋4p 22，若方程有整数解，则9＋4p 2必须是完全平方数，故当p ＝0、2、－2时，9＋4p 2分别对应9、25、25，此时方程的解分别为整数．4．关于x 的方程ax 2－(3a ＋1)x ＋2(a ＋1)＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2，且有x 1＋x 2－x 1x 2＝1－a ，求a 的值．解：由题意，得x 1＋x 2＝3a ＋1a ，x 1x 2＝2（a ＋1）a ，∴3a ＋1a －2（a ＋1）a＝1－a ，∴a 2－1＝0，即a ＝±1.又∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝[－(3a ＋1)]2－4a ·2(a ＋1)＞0，即(a －1)2＞0，∴a ≠1，∴a ＝－1.5．设x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋a 2＋4a －2＝0的两个实数根，当a 为何值时，x 12＋x 22有最小值？最小值是多少？解：∵方程有两个实数根，∴Δ＝(2a )2－4(a 2＋4a －2)≥0，∴a ≤12. 又∵x 1＋x 2＝－2a ，x 1x 2＝a 2＋4a －2，∴x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝2(a －2)2－4.∵a ≤12，且2(a －2)2≥0，∴当a ＝12时，x 12＋x 22的值最小． 此时x 12＋x 22＝2⎝⎛⎭⎫12－22－4＝12，即最小值为12. 点拨：本题中考虑Δ≥0从而确定a 的取值范围这一过程易被忽略．题型5 一元二次方程的应用1．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6 080元的利润，应将销售单价定为多少元？解：设每件商品降价x 元，则售价为每件(60－x )元，每星期的销量为(300＋20x )件． 根据题意，得(60－x －40)(300＋20x )＝6 080.解得x 1＝1，x 2＝4.又要顾客得实惠，故取x ＝4，即销售单价为56元．答：应将销售单价定为56元．2．小林准备进行如下操作实验：把一根长为4 cm 的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm 2，小林该怎么剪？(2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm 2.”他的说法对吗？请说明理由．解：(1)设剪成的较短的一段为x cm ，则较长的一段为(40－x ) cm ，由题意，得⎝⎛⎭⎫x 42＋⎝⎛⎭⎫40－x 42＝58，解得x 1＝12，x 2＝28.当x ＝12时，较长的一段为40－12＝28(cm )，当x ＝28时，较长的一段为40－28＝12＜28(舍去)．∴较短的一段为12 cm ，较长的一段为28 cm .(2)小峰的说法正确．理由如下：设剪成的较短的一段为m cm ，则较长的一段就为(40－m ) cm ，由题意得⎝⎛⎭⎫m 42＋⎝⎛⎭⎫40－m 42＝48，变形为m 2－40m ＋416＝0.∵Δ＝(－40)2－4×416＝－64＜0，∴原方程无实数解，∴小峰的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm 2.3．某校为培养青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个图形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A ，B 出发，以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动．甲运动的路程l (cm )与时间t (s )满足关系：l ＝12t 2＋32t (t ≥0)，乙以4 cm /s 的速度匀速运动，半圆的长度为21 cm .(1)甲运动4 s 后的路程是多少？(2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多长时间？(3)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多长时间？解：(1)当t ＝4时，l ＝12t 2＋32t ＝12×42＋32×4＝14. 答：甲运动4 s 后的路程是14 cm .(2)设它们运动了m s ，根据题意，得12m 2＋32m ＋4m ＝21. 解得：m 1＝3，m 2＝－14(不合题意，舍去)．答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3 s .(3)设它们运动了n s 后第二次相遇，根据题意，得⎝⎛⎭⎪⎫12n 2＋32n ＋4n ＝21×3. 解得n 1＝7，n 2＝－18(不合题意，舍去)．答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了7 s .4．如图，某海关缉私艇在C 处发现正北方向30海里的A 处有一艘可疑船只，测得它正以60海里/时的速度向正东方向航行．缉私艇随即调整方向，以75海里/时的速度航行，这样可同时到达B 处进行拦截．缉私艇从C 处到达B 处航行了多少小时？解：设缉私艇航行了x 小时到达B 处．根据题意，得302＋(60x )2＝(75x )2，解得x 1＝23，x 2＝－23(不符合题意，舍去)． 答：缉私艇从C 处到达B 处航行了23小时． 点拨：本题是根据速度、时间、路程之间的关系和勾股定理等有关知识列方程解答，把几何知识、代数知识有机结合来进行解答．题型6 新定义问题1．若x 1，x 2是关于x 的方程x 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根，且|x 1|＋|x 2|＝2|k |(k 是整数)，则称方程x 2＋bx ＋c ＝0为“偶系二次方程”．如方程x 2－6x －27＝0，x 2－2x －8＝0，x 2＋3x －274＝0，x 2＋6x －27＝0，x 2＋4x ＋4＝0都是“偶系二次方程”． 判断方程x 2＋x －12＝0是否是“偶系二次方程”，并说明理由．解：不是．理由如下：解方程x 2＋x －12＝0，得x 1＝－4，x 2＝3.|x 1|＋|x 2|＝4＋3＝2×|3.5|.∵3.5不是整数，∴方程x 2＋x －12＝0不是“偶系二次方程”．。
人教版数学九年级上册第二十一章 —一元二次方程知识点总结及练习
一元二次方程一 、 基本概念（1）方程定义：含有未知数的等式叫方程。
（2） 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
（3）解方程：求方程的解的过程叫做解方程。
（4）一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.一般形式为 02=++c bx ax （0≠a ）.注：一元二次方程的解也叫一元二次方程的根 考察一元二次方程概念例○1：下列方程不是整式方程的是（ ） A 、321=+x B 、07222=++z xy y x C 、21373+=-+x x D 、172=m ○2下列方程不是一元二次方程的是（ ） A 、01262=++y y B 、m m 531212-= C 、043611012=+-p p D 、x 2+x-1=x 2○3方程013)2(=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为（ ） A 、2±=m B 、2=m C 、m =-2 D 、2±=m○4一元二次方程0352=-+-x x ，把二次项系数变为正数，且使方程的根不变的是（ ）A.0352=+-x xB.0352=--x xC.0352=-+x xD.0352=++x x二、一元二次方程的解法 1．直接开方法（1）用直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.如果一个一元二次方程，左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负数，就可以用直接开平方法求解.计算：（1）2x 2-8=0 （2）9x 2-5=3（3）（x+6）2-9=0 （4）3（x-1）2=6 （5）（2x+1）2=（x-1）2 （6）（5-2x ）2=9（x+3）22．配方法（1）用配方法解方程是以配方为手段，以直接开平方法为基础的一种解题方法.是中学数学中常用的数学方法.（2）配方的关键步骤是：在方程两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平方.理论根据是：222)(2b a b ab a ±=+±（3）配方的结果是使方程的一边化为一个完全平方式，另一边为非负实数，再利用直接开平方法求解. 步骤：（1）移项；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方； （4）原方程变形为（x+m ）2=n 的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．练习题1．用适当的数填空：①x 2+6x+ =（x+ ）2；② x 2－5x+ =（x － ）2； ③x 2+ x+ =（x+ ）2；④ x 2－9x+ =（x － ）2 2．将二次三项式2x 2-3x-5进行配方，其结果为_________． 3．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______．4．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为_______，•所以方程的根为_________．5．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（ ） A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．以上都不对 6．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（ ） A ．（a-2）2+1 B ．（a+2）2-1 C ．（a+2）2+1 D ．（a-2）2-1 7．把方程x+3=4x 配方，得（ ） A ．（x-2）2=7 B ．（x+2）2=21 C ．（x-2）2=1 D ．（x+2）2=28．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（ ） A ．2B ．-2C ．D ．9．不论x 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x-4y+7的值（ ）A ．总不小于2B ．总不小于7C ．可为任何实数D ．可能为负数10．用配方法解下列方程：（1）3x 2-5x=2． （2）x 2+8x=9（3）x 2+12x-15=0 （4）41x 2-x-4=0（5）6x 2-7x+1=0 （6）4x 2-3x=5211.用配方法求解下列问题（1）求2x 2-7x+2的最小值 ；（2）求-3x 2+5x+1的最大值。
解一元二次方程(公式法4种题型)-2023年新九年级数学核心知识点与常见题型(人教版)(解析版)
解一元二次方程（公式法4种题型）【知识梳理】一、公式引入一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），可用配方法进行求解：得：2224()24b b acx a a −+=．对上面这个方程进行讨论：因为0a ≠，所以240a >①当240b ac −≥时，22404b aca −≥利用开平方法，得：2b x a += 即：x = ②当240b ac −<时，22404b aca −< 这时，在实数范围内，x 取任何值都不能使方程2224()24b b acx a a−+=左右两边的值相等，所以原方程没有实数根． 二、求根公式一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），当240b ac −≥时，有两个实数根：1x 2x =20ax bx c ++=（0a ≠）的求根公式． 三、用公式法解一元二次方程一般步骤①把一元二次方程化成一般形式20ax bx c ++=（0a ≠）； ②确定a 、b 、c 的值；③求出24b ac −的值（或代数式）；④若240b ac −≥，则把a 、b 、c 及24b ac −的值代入求根公式，求出1x 、2x ；若240b ac −<，则方程无解．四、 根的判别式1.一元二次方程根的判别式：我们把24b ac −叫做一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，通常用符号“∆”表示，记作2=4b ac ∆−．2.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，当2=40b ac ∆−>时，方程有两个不相等的实数根； 当2=40b ac ∆−=时，方程有两个相等的实数根；当2=40b ac ∆−<时，方程没有实数根．五、根的判别式的应用（1）不解方程判定方程根的情况； （2）根据参数系数的性质确定根的范围； （3）解与根有关的证明题．【考点剖析】题型1用公式法解一元二次方程例1.用公式法解下列方程： （1）2270x x −+=；（2）211042x x −=．【答案】（1）27,021==x x ；（2）2,021==x x ．【解析】（1）0,7,2==−=c b a ，则4942=−ac b ，则477−±−=x ，∴27,021==x x ；（2）0,21,41=−==c b a ，则4142=ac b ，则212121±=x ，∴2,021==x x ．【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式x 的运用．例2.用公式法解下列方程：（1）2320x x +−=；（2）25610x x −++=．【答案】（1）12x x ==；（2）12x x ==．【解析】（1）132a b c ===−，，，则1742=−ac b ，则2173±−=x ，∴12x x ==；（2）561a b c =−==，，，则5642=−ac b ，则101426−±−=x ，∴12x x ==．【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式x 的运用．例3.用公式法解下列方程：（1）(24)58x x x −=−；（2）2(53)(1)(1)5x x x −+=++．【答案】（1）122222x x −+−==；（2）123322x x ==−，． 【解析】（1）方程可化为：05422=−+x x ，245a b c ===−，，，则5642=−ac b ，则41424±−=x ，∴122222x x −−==；（2）方程可化为：2490x −=，则123322x x ==−，．【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用，（2）也可以用直接开平方法求解． 例4.用公式法解下列方程：（1）20.2 2.5 1.30.1x x x +−=；（2）22(3)(31)(23)1552x x x x +−−+−=．【答案】（1）12x x ==；（2）12122x x ==−，． 【解析】（1）方程可化为2224130x x +−=，13,24,2−===c b a ，则68042=−ac b ，则4170224±−=x ，∴12x x =（2）两边同时乘以10，方程可化为02322=−−x x ，2,3,2−=−==c b a ，则2542=−ac b ， 则453±=x ，∴12122x x ==−，．【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用，（2）也可以用因式分解法求解． 例5.用公式法解下列方程：（1）291x +=；（220+−=．【答案】（1）12x x =；（2）12x x ==【解析】（1）1,66,9=−==c b a ，则18042=−ac b ，则185666±=x ，∴原方程的解为：12x x =；（2）22,34,2−===c b a ，则6442=−ac b ，则22834±−=x ，∴原方程的解为：12x x ==【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用．题型2解系数中有字母的一元二次方程例6.用配方法解下列关于x 的方程：220ax x ++=（0a ≠）．【解析】220ax x ++=（0a ≠），则22−=+x ax ，整理得：a x a x 212−=+，配方可得：22248141221a a a a a x −=+−=⎪⎭⎫ ⎝⎛+， 当81≤a 时，a a x 21811−−=，a a x 21812−−−=，当81>a 时，方程无实数根．【总结】注意配方时方程两边同加一次项系数一半的平方，另此题系数中含有字母，要注意分类讨论． 例7.用公式法解下列关于x 的方程：（1）20x bx c −−=；（2）2100.1ax a −−=． 【解析】（1）∵c b 42+=∆，∴当042≥+c b 时，2421c b b x ++=，2422c b b x +−=；当042<+c b 时，原方程无实数根；原方程可化为：22100x a −=，∵2222400a b a ∆=+≥，∴原方程的解为：12x +=，22x a=．【总结】本题主要考查利用公式法求解一元二次方程的根，注意分类讨论．题型3根的判别式例8.选择：（1） 下列关于的一元二次方程中，有两个不．相等的实数根的方程是（ ）（A ）（B ） （C ）（D ）（2） 不解方程，判别方程25750x x −+=的根的情况是（）（A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根 （C ）只有一个实数根（D ）没有实数根（3）方程2510x x −−=的根的情况是()（A ）有两个相等实根 （B ）有两个不等实根 （C ）没有实根（D ）无法确定（4）一元二次方程2310x x +−=的根的情况为（）（A ）有两个不相等的实数根 （B ）有两个相等的实数根 （C ）只有一个实数根（D ）没有实数根【答案】（1）D ；（2）D ；（3）B ；（4）A ．【答案】【答案】【解析】（1）A ：1a =，0b =，1c =，2440b ac ∆=−=−<，方程无实根； B ：1a =，2b =，1c =，240b ac ∆=−=，方程有两个相等实根； C ：1a =，2b =，3c =，2480b ac ∆=−=−<，方程无实根；D ：1a =，2b =，3c =−，24160b ac ∆=−=>，方程有两不等实根实根，故选D ； （2）5a =，7b =−，5c =，24510b ac ∆=−=−<，方程无实根，故选D ； （3）1a =，5b =−，1c =−，24290b ac ∆=−=>，方程有两不等实根，故选B ； （4）1a =，3b =，1c =−，24130b ac ∆=−=>，方程有两个相等实根，故选A ．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，先列出方程中的a 、b 、c ，再代值计算∆，根据∆与0的大小关系确定方程根的情况，注意a 、c 异号时则必有两不等实根． 例9.不解方程，判别下列方程的根的情况： （1）24530x x −−=；（2）22430x x ++=；x 012=+x 0122=++x x 0322=++x x0322=−+x x（3）223x +=； （4）22340x x +−=．【答案】（1）方程有两不等实根；（2）方程无实数根；（3）方程有两相等实根； （4）方程有两不等实根．【解析】（1）4a =，5b =−，3c =−，24730b ac ∆=−=>，方程有两不等实根； （2）2a =，4b =，3c =，2480b ac ∆=−=−<，方程无实数根；（3）2a =，b =−，3c =，240b ac ∆=−=，方程有两相等实根； （4）2a =，3b =，4c =−，24410b ac ∆=−=>，方程有两不等实根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，先将方程整理成一般形式，列出方程中的a 、b 、c ，再代值计算∆，根据∆与0的大小关系确定方程根的情况，注意a 、c 异号时则必有两不等实根．例10.关于x 的方程2(1)0x m x m +−−=（其中m 是实数）一定有实数根吗？为什么？ 【答案】一定有．【解析】∵1a =，1b m =−，c m =−，∴()()()22241410b ac m m m ∆=−=−−⨯−=+≥恒成立，可知方程一定有实数根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于含有字母系数的一元二次方程，只需要对最终的∆的值与0的大小关系，进而确定方程根的情况． 例11.已知关于x 的一元二次方程2(1)210m x mx −++=根的判别式的值为4，求m 的值． 【答案】0．【解析】∵1a m =−，2b m =，1c =，∴()()()2224241414b ac m m m m ∆=−=−⨯−=−+=，整理即得20m m −=，解得：11m =，20m =，同时方程是一元二次方程，知10a m =−≠，故1m ≠， 由此得0m =．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于含有字母系数的一元二次方程，尤其是二次项系数中含有字母的情况，一定要注意字母所隐含的取值范围，即二次项系数不能为0． 例12.已知方程组18ax y x by −=⎧⎨+=⎩的解是23x y =⎧⎨=⎩，试判断关于x 的方程20x ax b ++=的根的情况．【答案】方程无实数根．【解析】方程组18ax y x by −=⎧⎨+=⎩的解是23x y =⎧⎨=⎩，代入即得：231238a b −=⎧⎨+=⎩，可解得：22a b =⎧⎨=⎩，此时方程即为2220x x ++=，其中1a =，2b =，2c =，2480b ac ∆=−=−<，可知方程无实数根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于系数含有字母的情况，根据题目条件确定字母取值，再确定其∆值，判定方程解的情况．例13.当m 取何值时，关于x 的方程221(2)104x m x m +−+−=，（1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？ 【答案】（1）2m <；（2）2m =；（3）2m >． 【解析】对此方程，1a =，2b m =−，2114c m =−，则()22214241484b ac m m m ⎛⎫∆=−=−−−=−+ ⎪⎝⎭，由此可知，（1）当480m ∆=−+>，即2m <时，方程有两个不相等的实数根； （2）当480m ∆=−+=，即2m =时，方程有两两个相等的实数根； （3）当480m ∆=−+<，即2m >时，方程无实数根．∆值，方程可由∆值判定其根的情况，同样地，可由方程根的情况确定其∆值与0的大小关系，可在此基础上进行分类讨论．例14.当k 为何值时，关于x 的方程224(21)0x kx k −+−=有实数根？并求出这时方程的根（用含k 的代数式表示）．【答案】14k ≥时，方程有实数根；方程的根为2x k =± 【解析】对此方程，1a =，4b k =−，()221c k =−，则()()22244421164b ac k k k ∆=−=−−−=−，因为方程有实数根，则有1640k ∆=−≥，即14k ≥时，方程有实数根；根据一元二次方程求根公式，可知方程解为()4222k b x k a −−−===【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于系数含有字母的情况，先确定其∆值，方程可由∆值判定其根的情况，同样地，可由方程根的情况确定其∆值与0的大题型5根的判别式的应用例15.证明：方程()()212x x k −−=有两个不相等的实数根． 【解析】证明：对原方程进行整理，即为：22320x x k −+−= 其中1a =，3b =−，22c k =−，则()()22224342410b ac k k ∆=−=−−−=+>恒成立， 由此可证得方程有两个不相等的实数根．【总结】将方程整理成一元二次方程的一般形式，方程的根的情况，只需要根据方程的∆值即可以确定下来．例16.当k 为何值时，方程()()222210kx k x x k k −−=−−≠，（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根． 【答案】（1）54k <且1k ≠；（2）54k =；（3）54k >． 【解析】将方程整理成关于x 的一元二次方程的一般形式，即得：()()()212210k x k x k −−−++=，此时，1a k =−，()22b k =−−，1c k =+，由方程为一元二次方程，可知10a k =−≠，故1k ≠；()()()224424111620b ac k k k k ∆=−=−−−+=−+，由此可知，（1）当16200k ∆=−+>，即54k <且1k ≠时，方程有两不等实根； （2）当16200k ∆=−+=，即54k =时，方程有两相等实根；（3）当16200k ∆=−+<，即54k >时，方程无实根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，首先将方程整理成一元二次方程的一般形式，然后确定二次项系数不能为0的情况，然后确定其∆值，可由方程根的情况确定其∆值与0的大小关系，可在此基础上进行分类讨论．例17.已知关于x 的一元二次方程()21230m x mx m +++−=有实数根，求m 的取值范围． 【答案】32m ≥−且1m ≠−．【解析】由原方程是一元二次方程，可知10m +≠，即1m ≠−；对此方程， 其中1a m =+，2b m =，3c m =−，方程有实根，则必有：()()()22424138120b ac m m m m ∆=−=−+−=+≥，可解得32m ≥−；即m 的取值范围为32m ≥−且1m ≠−．【总结】对于形如20ax bx c ++=的方程，首先要根据题意确定相关隐含条件，既要保证一元二次方程的二次项系数不能为0，然后在此基础上进行解题和计算．例18.如果m 是实数，且不等式(1)1m x m +>+的解集是1x <，那么关于x 的一元二次方程21(1)04mx m x m −++=的根的情况如何?【答案】方程无实根．【解析】由(1)1m x m +>+的解集是1x <，可知10m +<，即1m <−，对一元二次方程21(1)04mx m x m −++=而言，其中a m =，()1b m =−+，14c m =，则()221414214b ac m m m m ∆=−=+−⋅=+，1m <−时，0∆<恒成立， 由此可知方程无实数根．【总结】探求含有字母的一元二次方程根的情况，需要根据题目条件确定相关字母取值范围，再根据其∆值确定相关方程根的情况．例19.已知关于x 的方程()21230m x mx m +++−=总有实数根，求m 的取值范围． 【答案】32m ≥−． 【解析】（1）当10m +=，即1m =−时，方程为一元一次方程240x −−=，方程有实根； （2）当10m +≠，即1m ≠−时，方程为一元二次方程， 其中1a m =+，2b m =，3c m =−，方程有实根，则必有：()()()22424138120b ac m m m m ∆=−=−+−=+≥，可解得32m ≥−且1m ≠−；综上所述，m 的取值范围为32m ≥−．【总结】对于形如20ax bx c ++=的方程，首先要根据题意确定二次项系数能否为0，在此基础上进行相关分类讨论和计算．【过关检测】一、单选题【答案】B【分析】根据关于x 的一元二次方程20x x k −−=有实数根得到140k ∆=+≥，解不等式即可得到答案．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程20x x k −−=有实数根，∴()()2141140k k ∆=−−⨯⨯−=+≥，解得14k ≥−，故选：B【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程0∆≥时有实数根是解题的关键． 2．（2023春·广东潮州·九年级潮州市金山实验学校校考期末）如果关于x 的一元二次方程2(5)410a x x −−−=有两个不相等的实数根，则a 满足条件是（ ）A ．5a ≠B ．1a >且5a ≠C ．1a ≥且5a ≠D ．1a ≥【答案】B【分析】由二次项系数非零及根的判别式0∆>，即可得出关于a 的一元一次不等式组，解之即可得出a 的取值范围．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2(5)410a x x −−−=有两个不相等的实数根，∴()()()25044510a a −≠⎧⎪⎨−−⨯−⨯−>⎪⎩，解得：1a >且5a ≠， 故选B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，牢记“当0∆>时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．3．（2023·浙江温州·统考三模）若关于x 的一元二次方程2160x bx ++=，有两个相等的实数根，则正数b 的值是（ ） A ．8B ．8−C ．4D ．4−【答案】A【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，运用根的判别式进行解答即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2160x bx ++=，有两个相等的实数根，∴22441160b ac b ∆=−=−⨯⨯=，∴264b =，∴8b =±， ∵b 是正数， ∴8b =， 故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−＞，则原方程有两个不相等的实数根；若240b ac ∆=−=，则原方程有两个相等的实数根；若240b ac ∆=−＜，则原方程没有实数根．【答案】C【分析】分别代入数值解方程，逐一判断即可解题．【详解】解：当12a =时，方程为28120x x −−=，解得4x =±A 选项不符合题意；当16a =时，方程为28160x x −−=，解得4x =±B 选项不符合题意；当20a =时，方程为28200x x −−=，解得10x =或2x =−是整数，故C 选项符合题意；当24a =时，方程为28240x x −−=，解得4x =±D 选项不符合题意；故选：C【点睛】本题考查一元二次方程的解法，掌握公式法解一元二次方程是解题的关键．5．（2023·安徽安庆·校考三模）如果关于x 的一元二次方程260x x a −+=无实数根，那么a 的值可以为（ ）A ．10B ．9C ．8D ．7【答案】A【分析】由一元二次方程根与系数的关键可得：Δ0<, 从而列不等式可得答案．【详解】解：∵一元二次方程260x x a −+=无实数根，∴()2246410b ac a ∆−−−⨯⨯==<，解得：>9a ，只有选项A 符合题意，故选：A ．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 6．（2023·河南商丘·统考三模）方程229x x −=的根的情况是（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．没有实数根 C ．有一个实数根 D ．有两个不相等的实数根 【答案】D【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．【详解】解：∵229x x −=，即2290x x −−=，1,2,9a b c ==−=−，∴24436400b ac ∆=−=+=>，∴方程229x x −=有两个不相等的实数根，故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++= (0a a b c ≠，，，为常数)的根的判别式24b ac ∆=−，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程没有实数根．7．（2022秋·江苏镇江·九年级校考阶段练习）已知关于x 的一元二次方程210x bx +−=的较大的一根小于1，则实数b 的取值范围是（ ） A ．一切实数 B ．2b >C ．1b >D ．0b >【答案】D【分析】用公式法求出方程的解，根据题意得出关于b 的不等式，解不等式可得答案．【详解】解：解方程210x bx +−=得：x =，∵一元二次方程210x bx +−=的较大的一根小于1，∴1<，2b +，两边平方得：2244b b b +<+4+，∴0b >， 故选：D ．【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，能够根据题意得出关于b 的不等式是解题的关键． 8．（2022·浙江·九年级自主招生）满足方程22419151x xy y −+=的整数对(),x y 有（ ） A ．0对 B ．2对 C ．4对 D ．6对【答案】C【分析】利用一元二次方程有解判断出y 的范围，根据y 是整数求出y 的值，进而求出x 的值，利用x 也是整数判断即可得出结论． 【详解】解：原方程可化为()224191510x yx y −+−=，∵方程22419151x xy y −+=有实数根，∴()222164191516041510y y y ∆=−−=−+⨯≥，∴21511101515y ≤=，∵y 是整数，∴=3y −，2−，1−，0，1，2，3，当0y =时，原方程可化为2151x =，∴x =x 为整数，所以舍去），当1y =时，原方程可化为241320x x −−=，∴2x =±（由于x 为整数，所以舍去），当1y =−时，原方程可化为241320x x +−=，∴2x =−±x 为整数，所以舍去），当2y =时，原方程可化为28750x x −−=，∴4x =x 为整数，所以舍去），当=2y −时，原方程可化为28750x x +−=，∴4x =−x 为整数，所以舍去），当3y =时，原方程可化为212200x x −+=，∴2x =或10x =，当=3y −时，原方程可化为212200x x ++=，∴2x =−或10x =−，∴原方程的整数解为：23x y =⎧⎨=⎩或103x y =⎧⎨=⎩或23x y =−⎧⎨=−⎩或103x y =−⎧⎨=−⎩，即：方程22419151x xy y −+=的整数对(),x y 为()2,3、()10,3、()2,3−−，()10,3−−共四对，故选：C ．【点睛】此题是非一次不定方程，主要考查了一元二次方程的有整数根问题．解题的关键是将原方程变形，利用判别式求解．二、填空题9．（2023·上海杨浦·统考三模）如果关于x 的方程220x x m −+=有两个相等的实数根，那么m 的值是________． 【答案】1【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程220x x m −+=有两个相等的实数根，∴()2240m ∆=−−=，解得1m = 故答案为：1．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．10．（2023·浙江嘉兴·统考二模）在()240x −+=的括号中添加一个关于x 的一次项，使方程有两个相等的实数根，这个一次项可以是______． 【答案】4x ±【分析】设方程为240x kx −+=，根据方程有两个相等的实数根可知0∆=，据此列式求解即可．【详解】设方程为240x kx −+=，由题意得2160k −=，∴4k =±， ∴一次项为4x ±． 故答案为4x ±．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．11．（2023·江苏苏州·苏州市第十六中学校考二模）关于x 的一元二次方程()21210m x x −−−=有两个实数根，则实数m 的取值范围是________． 【答案】0m ≥且1m ≠【分析】根据一元二次方程根的判别式0∆≥以及一元二次方程的定义得出10m −≠，即可求解． 【详解】解：依题意()244410b ac m ∆=−=+−≥，且10m −≠，解得：0m ≥且1m ≠， 故答案为：0m ≥且1m ≠．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式的意义，熟练掌握一元二次方程根的判别式的定义是解题的关键．12．（2023·山东东营·校考二模）如果关于x 的一元二次方程234x x m ++=有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是________． 【答案】254m <【分析】先把这个一元二次方程变成一般式，再根据一元二次方程根的判别式计算即可．【详解】234x x m ++=，∴2340x x m ++−=．关于x 的一元二次方程234x x m ++=有两个不相等的实数根，∴()2243440b ac m ∆=−=−−>∴4250m −+> ∴254m <．故答案为：254m <．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式性质，准确计算是解本题的关键．13．（2023·四川巴中·校考二模）已知关于x 的一元二次方程()222210x m x m +++−=．两实数根分别为12x x 、，且满足221258x x +=，则实数m 的值为_____________．【答案】2【分析】先由一元二次方程根的判别式得到关于m 的不等式，解不等式即可得到m 的取值范围，再根据根与系数的关系可得：()1222x x m +=−+，2121x x m =−，代入()2221212122x x x x x x +=+−得到关于m 的一元二次方程，解方程并根据（1）中的m 的取值范围即可得到答案．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程()222210x m x m +++−=有实数根， ∴()()22242241b ac m m ⎡⎤∆=−=+−−⎣⎦16200m =+≥，解得：54m ≥−，即m 的取值范围是54m ≥−；∵由根与系数的关系可得：()21212221x x m x x m +=−+=−，，∴()2221212122x x x x x x +=+−()()222221m m ⎡⎤=−+−−⎣⎦221618m m =++，∵221258x x +=，∴22161858m m ++=，即28200m m +−=，∴()()2100m m −+=，解得110m =−或22m =，∵54m ≥−，∴2m =， 故答案为：2．【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式和根与系数关系，准确计算是解题的关键．三、解答题【答案】1x =，2x =【分析】用公式法解此方程即可．250x −+=a ==5b −，c =()224=540b ac −−−>x此方程的解为：1x =，2x =【点睛】此题考查的是用公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法解方程的步骤． 15．（2022秋·青海西宁·九年级校考期中）解方程：27180x x −−=（公式法） 【答案】129,2x x ==−【分析】利用公式法解答，即可求解．【详解】解：27180x x −−=，∵1,7,18a b c ==−=−， ∴()()2741181210∆=−−⨯⨯−=>，∴7711212x ±==⨯，∴129,2x x ==−．【点睛】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，是解题的关键．16．（2023春·北京西城·九年级北师大实验中学校考阶段练习）已知关于x 的一元二次方程2(4)(21)0m x m x m ---+=有两个不相等的实数根．(1)求m 的取值范围；(2)当m 取满足要求的最小正整数时，求方程的解． 【答案】(1)112m >−且4m ≠(2)1x ，2x【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，则根的判别式()()22421440b ac m m m ∆=−=−−−−>⎡⎤⎣⎦，且40m −≠，求出m（2）得到m 的最小整数，利用公式法解一元二次方程即可．【详解】（1）一元二次方程2(4)(21)0m x m x m ---+=有两个不相等的实数根，∴()()22421440b ac m m m ∆=−=−−−−=>⎡⎤⎣⎦，且40m −≠，即224414160m m m m +−−+>，且40m −≠，解得：112m >−且4m ≠；（2）m 满足条件的最小正整数是1m =，此时方程为2310x x −−+=，x ==解得：1x ，2x =【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与判别式24b ac ∆=−的关系是解答本题的关键．17．（2023·北京西城·校考模拟预测）关于x 的一元二次方程()2320x m x m −+++=．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的两个实数根都是正整数，求m 的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)1−【分析】（1）先求出一元二次方程根的判别式为()21m ∆=+，即可证明结论；（2）根据题意得到1212x x m ==+，是原方程的根，根据方程两个根均为正整数，可求m 的最小值． 【详解】（1）证明：由()2320x m x m −+++=得，()()()222342211m m m m m ∆=−+−+=++=+⎡⎤⎣⎦，∵()210m +≥，∴方程总有两个实数根； （2）∵()2320x m x m −+++=，∴()()120x x m −−+=⎡⎤⎣⎦，∴1212x x m ==+，，∵方程的两个实数根都是正整数， ∴21m +≥． ∴1m ≥−．∴m 的最小值为1−．【点睛】本题考查的是根的判别式及解一元二次方程，在解答（2）时得到方程的两个根是解题的关键． 18．（2018秋·广东清远·九年级统考期末）不解方程，判断方程22410x x −−=的根的情况． 【答案】有两个不相等的实数根【分析】先求一元二次方程的判别式，由∆与0的大小关系来判断方程根的情况． 【详解】解：∵2a =，4b =−，1c =− ∴()()2244421240b ac ∆=−=−−⨯⨯−=>∴原方程有两个不相等的实数根．【点睛】此题考查一元二次方程根的情况与判别式∆的关系：（1）0∆>，方程有两个不相等的实数根；（2）Δ0=方程有两个相等的实数根；（3）Δ0<方程没有实数根．19．（2023春·河南三门峡·九年级统考阶段练习）已知关于x 的方程2210x x a +−+=没有实数根，试判断关于y 的方程21y ay a ++=实数根的情况，并说明理由． 【答案】一定有两个不相等的实数根．理由见解析．【分析】根据关于x 的方程2210x x a +−+=没有实数根，求出a 的求值范围；再表示关于y 的方程21y ay a ++=，()()222412a a a ∆=−−=−，即可判断该方程根的情况．【详解】解：∵方程2210x x a +−+=没有实数根，()144140a a ∴∆=−−+=<，<0a ∴，对于关于y 的方程21y ay a ++=，()()222412a a a ∆=−−=−，0a <，()220a ∴−>，即20∆>，∴方程21y ay a ++=一定有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的情况之间的关系是解题关键．20．（2022秋·四川遂宁·九年级校考期中）对于任意一个三位数k ，如果k 满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：k ＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”．(1)已知一个“喜鹊数”k ＝100a +10b +c （1≤a 、b 、c ≤9，其中a ，b ，c 为正整数），请直接写出a ，b ，c 所满足的关系式 ；判断241 “喜鹊数”（填“是”或“不是”），并写出一个“喜鹊数” ；(2)利用（1）中“喜鹊数”k 中的a ，b ，c 构造两个一元二次方程ax 2+bx +c ＝0①与cx 2+bx +a ＝0②，若x ＝m是方程①的一个根，x＝n是方程②的一个根，求m与n满足的关系式；(3)在（2）中条件下，且m+n＝﹣2，请直接写出满足条件的所有k的值．【答案】(1)b2﹣4ac＝0；不是；121(2)mn＝1(3)121，242，363，484【分析】（1）根据喜鹊数的定义解答即可；（2）根据一元二次方程的定义和根的判别式解答即可；（3）求出m与n互为倒数，又m+n＝﹣2，得出m＝﹣1，n＝﹣1，求出b＝a+c，a＝c，结合喜鹊数的定义即可得出答案．【详解】（1）∵k＝100a+10b+c是喜鹊数，∴b2＝4ac，即b2﹣4ac＝0；∵42＝16，4×2×1＝8，16≠8，∴241不是喜鹊数；∵各个数位上的数字都不为零，百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，∴十位上的数字的平方最小为4，∵22＝4，4×1×1＝4，∴最小的“喜鹊数”是121．故答案为：b2﹣4ac＝0；不是；121．（2）∵x＝m是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，x＝n是一元二次方程cx2+bx+a＝0的一个根，∴am2+bm+c＝0，cn2+bn+a＝0，将cn2+bn+a＝0两边同除以n2得：a（1n）2+b（1n）+c＝0，∴将m、1n看成是方程ax2+bx+c的两个根，∵b2﹣4ac＝0，∴方程ax2+bx+c有两个相等的实数根，∴m＝1n，即mn＝1；故答案为：mn＝1．（3）∵m+n＝﹣2，mn＝1，∴m ＝﹣1，n ＝﹣1，∴a ﹣b+c ＝0，∴b ＝a+c ，∵b2＝4ac ，∴（a+c ）2＝4ac ，解得：a ＝c ，∴满足条件的所有k 的值为121，242，363，484．故答案为：121，242，363，484．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是弄清喜鹊数的定义．【答案】(1)m=0或m=1(2)m=0或m=1【分析】（1）把x=2代入方程22(23)320x m x m m −++++=得到关于m 的一元二次方程，然后解关于m 的方程即可；（2）先计算出判别式，再利用求根公式得到12x m =+，21x m =+，则AC=m+2，AB=m+1．因为△ABC 是直角三角形，所以当BC 或AC 为斜边时根据勾股定理分别解关于m 的一元二次方程即可．【详解】（1）解：∵x=2是方程的一个根，∴242(23)320m m m −++++=，∴m=0或m=1；（2）解：∵△=22[(23)]4(32)1m m m −+−++=， ∴x=2312m +±∴12x m =+，21x m =+，∴AB 、AC （AB ＜AC ）的长是这个方程的两个实数根，∴AC=m+2>0，AB=m+1>0．∴m>-1．∵△ABC 是直角三角形，∴当BC 为斜边时，有222(2)(1)m m +++=，解这个方程，得13m =−(不符合题意，舍去)，20m =；当AC 为斜边时，有222(1)(2)m m ++=+，解这个方程，得1m =．综上所述，当m=0或m=1时，△ABC 是直角三角形．【点睛】此题考查了解一元二次方程和直角三角形的判定，解题的关键是掌握公式法解一元二次方程，熟练运用勾股定理进行分类讨论．【答案】(1)241不是“快乐数”；最大的“快乐数”为999(2)333【分析】（1）根据“快乐数”的定义解答即可；（2）根据“快乐数”可得出2a cb +=，根据一元二次方程根的情况可得2b ac =，再结合710a b c ≤++≤及1a ≤、b 、9c ≤，a 、b 、c 为自然数可得出a 、b 、c 的值，最后结合“快乐数”的定义即可得出答案．【详解】（1）解：∵2142+≠，∴241不是“快乐数”，∵各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字等于百位上的数字与个位上的数字的平均数，各个数位上的数字最大为9，又∵9992+=，∴最大的“快乐数”为999．（2）∵10010k a b c =++为“快乐数”， ∴2a cb +=，∵关于x 的一元二次方程220ax bx c ++=有两个相等的实数根，∴()2240b ac −=，即2b ac =， ∴2271019a c b b ac a b c a b c +⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪≤++≤⎪≤≤⎪⎩、、，解得：3a =，3b =，3c =，∴1001010031033333k a b c =++=⨯+⨯+=，综上所述，满足条件的所有k 的值为333．∴满足条件的所有k 的值为333．“快乐数”的定义． ）已知在ABC 中，问题探究：（2）如图，将正方形CDEF问题拓展：（3）将正方形CDEF 绕点C 旋转一周，当=45ADC ∠︒时，若3AC =，1CD =，请直接写出线段AH 的长.【答案】（1）BF AD =，BF AD ⊥，理由见解析；（2）见解析；（3）2或【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明()SAS BCF ACD ≌△△，得出BF AD =，FBC DAC ∠=∠，再利用角的代换得到90AHF ∠=︒，即可得到结论；（2）先证明()SAS BCF ACD ≌△△，得出CBK CAH ∠=∠，进而证明()SAS BCK ACH ≌△△，得到CK CH =，BCK ACH ∠=∠，进一步即可证明KCH 是等腰直角三角形，于是可得HK =，然后利用线段间的代换即可证得结论；（3）分两种情况：①当A ，()H F ，D 三点共线时，=45ADC ∠︒；②当B ，()D H ，F 三点共线时，=45ADC ∠︒；设AH x =，在Rt ABH △中根据勾股定理列出关于x 的方程，解方程即可求出结果.【详解】解：（1）BF AD =，BF AD ⊥；理由如下：∵四边形CDEF 是正方形，∴CF CD =，90FCD ∠=︒，在BCF △和ACD 中，,90,,BC AC BCF ACD CF CD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()SAS BCF ACD ≌△△， ∴BF AD =，FBC DAC ∠=∠，∵90BFC FBC ∠+∠=︒，BFC AFH ∠=∠，∴90AFH DAC ∠+∠=︒，∴90AHF ∠=︒，∴BF AD ⊥；（2）证明：如图，在线段BF 上截取BK AH =，连接CK ，∵四边形CDEF 是正方形，∴CF CD =，90FCD ACB ∠=︒=∠，∴ACD BCF ∠=∠，∴()SAS BCF ACD ≌△△，∴CBK CAH ∠=∠，在BCK 和ACH 中，,,,BC AC CBK CAH BK AH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS BCK ACH ≌△△， ∴CK CH =，BCK ACH ∠=∠，∴90KCH BCA ∠=∠=︒，∴KCH 是等腰直角三角形，∴HK ，∴BH AH BH BK KH −=−=；（3）分两种情况：①如图，当A ，()H F ，D 三点共线时，=45ADC ∠︒；同理可证明：BH AD =，BH AD ⊥，且1CD CF ==，FD =∵3BC =，∴AB =设AH x =，则BH AD x ==在Rt BAH 中，∵222BH AH AB +=，∴((222x x +=，解得x =或x =（舍去）；②如图，当B ，()D H ，F 三点共线时，=45ADC ∠︒，设AH x =，∵BF AH =，∴BH AH HF x =−=在Rt ABH △中，∵222BH AH AB +=，∴((222x x +=，解得x =或x =（舍去）；综上所述，线段AH 的长为2或.【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理以及一元二次方程的求解等知识，属于常考题型，正确添加辅助线、证明三角形全等是解题的关键.。
九年级数学一元二次方程知识点及练习
知识点总结：一元二次方程知识框架知识点、概念总结1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
2.一元二次方程有四个特点：(1)含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程。
要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。
如果能整理为 ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。
（4）将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0时，应满足（a≠0）3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）。
一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
4.一元二次方程的解法（1）直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如bax=+2)(的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，ax+是b的平方根，当0≥b时，bax±=+，bax±-=，当b<0时，方程没有实数根。
（2）配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
配方法的理论根据是完全平方公式222)(2bababa+=+±，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有222)(2bxbbxx±=+±。
配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．（3）公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
初三数学上册(人教版)第二十一章一元二次方程21.3知识点总结含同步练习及答案
描述：例题：初三数学上册(人教版)知识点总结含同步练习题及答案第二十一章 一元二次方程 21.3 实际问题与一元二次方程一、学习任务1. 会分析实际问题中蕴含的数量关系，列出一元二次方程来解决实际问题，并根据具体情况检验根的是否合理．2. 提高分析问题、解决问题的能力．二、知识清单一元二次方程的应用三、知识讲解1.一元二次方程的应用列方程解应用题的一般步骤：第一步：审题，弄清题意．找出等量关系；第二步：设未知数．用 表示所求的数量或有关的未知量；第三步：根据题中等量关系，列出一元二次方程；第四步：解方程，求出未知数的值；第五步：检查结果是否符合题意并写出答语．x 某商场九月份的销售额为 万元，十月份的销售额下降了 ，商场从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了 万元，求这两个月的平均增长率．解：设这两个月的平均增长率为 ．由题意得整理，得解方程，得答：这两个月的平均增长率为 ．20020%193.6x 200×(1−20%)(1+x =193.6.)2(1+x =1.21.)2=0.1, =−2.1(不合题意，舍去).x1x 210%某中学校园内有一长 米，宽 的长方形空地，现将其建成花园广场，设计图案如图所10080若绿化区的总面积恰好占空地面积高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
答案：解析：3. 据2007年5月8日《台州晚报》报导，今年"五一"黄金周我市各旅游景点共接待游客约 万人，旅游总收入约 亿元．已知我市2005年"五一"黄金周旅游总收入约 亿元，那么这两年同期旅游总收入的年平均增长率约为 A ．B ．C ．D ．C 设这两年同期旅游总收入的年平均增长率约为 ，则根据题意可得： ，解得．3349 6.25()12%16%20%25%x 6.25=9(1+x )2x =20%答案：4. 湛江市2009年平均房价为每平方米 元．连续两年增长后，2011年平均房价达到每平方米 元，设这两年平均房价年平均增长率为 ，根据题意，下面所列方程正确的是 A ．B ．C ．D ．D 40005500x ()5500=4000(1+x )25500=4000(1−x )24000=5500(1−x )24000=5500(1+x )2。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一元二次方程知识点一、一元二次方程1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边加一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。
二、一元二次方程的解法1、直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。
2、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。
配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式： )04(2422≥--±-=ac b aac b b x 公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式5、韦达定理 利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和a b x x -=+21，二根之积ac x x =21。
利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用三、一元二次方程根的判别式根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆I. 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；II. 当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；III.当△<0时，一元二次方程没有实数根四、一元二次方程根与系数的关系如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，ac x x =21。
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
五、一元二次方程的应用1．构建一元二次方程数学模型，常见的模型如下：⑴ 与几何图形有关的应用：如几何图形面积模型、勾股定理等；⑵ 有关增长率的应用：此类问题是在某个数据的基础上连续增长（降低）两次得到新数据，常见的等量关系是a(1±x ）2=b ，其中a 表示增长（降低）前的数据，x 表示增长率（降低率），b 表示后来的数据。
注意：所得解中，增长率不为负，降低率不超过1。
⑶ 经济利润问题：总利润=（单件销售额－单件成本）×销售数量；或者，总利润=总销售额－总成本。
⑷ 动点问题：此类问题是一般几何问题的延伸，根据条件设出未知数后，要想办法把图中变化的线段用未知数表示出来，再根据题目中的等量关系列出方程。
2．注重解法的选择与验根：在具体问题中要注意恰当的选择解法，以保证解题过程简洁流畅，特别要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性．一元二次方程练习一、选择题1、若关于x 的一元二次方程(m-1)x 2+5x+m 2-3m+2=0有一个根为0，则m 的值等于（ ）A ．1B . 2C . 1或2D . 02、巴中日报讯：今年我市小春粮油再获丰收，全市产量预计由前年的45万吨提升到50万吨，设从前年到今年我市的粮油产量年平均增长率为x ，则可列方程为（ ）A ．45250x +=B ．245(1)50x +=C ．250(1)45x -=D ．45(12)50x += 3、已知a b ，是关于x 的一元二次方程210x nx +-=的两实数根，则b a a b +的值是（ ） A ．22n + B ．22n -+ C ．22n -D ．22n -- 4、已知a 、b 、c 分别是三角形的三边，则(a + b)x 2 + 2cx + (a + b)＝0的根的情况是（ ）A ．没有实数根B ．可能有且只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根5、已知n m ,是方程0122=--x x 的两根，且8)763)(147(22=--+-n n a m m ，则a 的值等于 （ ）A ．－5 B.5 C.-9 D.96、已知方程20x bx a ++=有一个根是(0)a a -≠，则下列代数式的值恒为常数的是（ ）A ．abB ．a b C ．a b + D ．a b - 7、112,022x x x x 下面对的一较小根为=--的估计正确的是 （ ）A ．121-<<-xB ．011<<-xC ．101<<xD ．211<<x8、关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12x x 、，且22127x x +=，则212()x x -的值是（ ）A ．1B ．12C ．13D ．259、某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2450张相片，如果全班有x 名学生，根据题意，列出方程为( )A . 2450)1(=-x xB . 2450)1(=+x xC . 2450)1(2=+x xD . 24502)1(=-x x 10、设a b ，是方程220090x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（ ）A ．2006B ．2007C ．2008D ．2009 11、对于一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)，下列说法：①若a+c=0，方程ax 2+bx+c=0必有实数根；②若b 2+4ac<0，则方程ax 2+bx+c=0一定有实数根；③若a-b+c=0，则方程ax 2+bx+c=0一定有两个不等实数根；④若方程ax 2+bx+c=0有两个实数根，则方程cx 2+bx+a=0一定有两个实数根．其中正确的是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①③④二、填空题1、若一元二次方程x 2－(a+2)x+2a=0的两个实数根分别是3、b ，则a+b=．3、方程（x ﹣1）（x + 2）= 2（x + 2）的根是．4、关于x 的一元二次方程ax 2+bx+1=0(a ≠0)有两个相等实根，求4-2)-(a ab 222b + 的值为_______． 5、在等腰△ABC 中，三边分别为a ，b ，c ，其中a=5，若关于x 的方程x 2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，则△ABC 的周长为__________．6、已知关于x 的一元二次方程x 2-6x-k 2=0（k 为常数）．设x 1，x 2为方程的两个实数根，且x 1 +2x 2=14，则k 的值为__________．7、已知m 、n 是方程x 2-2003x+2004=0的两根，则(n 2-2004n+2005)与(m 2-2004m+2005)的积是.三、解方程②2（x －1）2+5（x －l ）+2=0 ③x 2 －2x －2=0 ④x 2 +5x+3=0四、计算题1、关于x 的方程04)2(2=+++k x k kx 有两个不相等的实数根. (1)求k 的取值范围。
(2)是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由2．小红的妈妈前年存了5000元一年期的定期储蓄，到期后自动转存。
今年到期扣除利息税（利息税为利息的20%），共取得5760元.求这种储蓄的年利率.3．如图12-3，△ABC中，∠B=90°，点P从A点开始沿AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动。
（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒钟，使△ABQ的面积等于8cm2?（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进，Q以C后又继续在AC边上前进，经几秒钟，使△PCQ的面积等于12.6 cm2。
4、为了开阔学生视野，某校组织学生从学校出发，步行6千米到科技展览馆参观。
返回时比去时每小时少走1千米，结果返回时比去时多用了半小时。
求学生返回时步行的速度。
5、某商店以2400元购进某种盒装茶叶，第一个月每盒按进价增加20%作为售价，售出50盒，第二个月每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的茶叶．在整个买卖过程中盈利350元，求每盒茶叶的进价．6、某公司需在一个月（31天）内完成新建办公楼的装修工程．如果由甲、乙两个工程队合做，12天可完成；如果由甲、乙两队单独做，甲队比乙队少用10天完成．（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程所需的天数．（2）如果请甲工程队施工，公司每日需付费用2000元；如果请乙队施工，公司每日需付费用1400元．在规定时间内：A．请甲队单独完成此项工程；B．请甲、乙两队合作完成此项工程；C．请甲先做10天，余下甲乙合做完成此项工程。
以上三种方案哪一种花钱最少？。