不等式的基本性质
不等式的基本性质
110,又 a0, aa0, 一
dc
dc
性质四
又 ab0,10, ab0,二
c cc
性质四
由一二可得
ab还0有,其a他 方b d c 法d吗 c
性质二
性质六
c> d > 0性质{四cc>d d o
c1 d1 0 cd cd
1 10 dc
课堂互动讲练
一．实数大小的比较
一数轴上的点与实数一一对应可以利用数轴上点的左
二．不等式的基本性质
由两数大小关系的基本事实可以得到不等式的一些基
本性质：
一如果a＞b那么b＜a；如果b＜a那么a＞b.即 a＞
b⇔b＜a .
二如果a＞bb＞c那么
.a即＞ac＞bb＞c⇒ . a＞c
三如果a＞b那么a＋c> b＋. c
四如果a＞bc>0那么ac bc；>如果a>bc<0那么ac bc.
b是正数；如果a=b那么a-b等于零；如果a < b那么a-b 是负数；反过来也对.
用数学式子表示为:
表示等价于
a b a - b 0 a b a - b 0 a b a - b 0
基本理论
a b a-b 0；
a b a-b 0；
ab a-b0.
上式中的左边部分反映的是实数的大小顺序而右 边部分则是实数的运算性质合起来就成为实数的 大小顺序与运算性质之间的关系. 这一性质不仅 可以用来比较两个实数的大小而且是推导不等式 的性质、不等式的证明、解不等式的主要依据.
20＞ 0
所以 （x+1)(x+2) ＞ （x-3)(x+6)
课堂小结与作业
1.不等式的概念: 同向不等式；异向不等式；同解不等
不等式的基本性质知识点
不等式的基本性质知识点1 .不等式的定义：a-b>0 a>b, a-b=O a=b, a-b<O L> a<b。
①其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。
它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。
②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景，来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。
作差后，为判断差的符号，需要分解因式，以便使用实数运算的符号法则。
如证明y=x3为单增函数，3 3 2 2 2设x1, X2《(-m,+ m), X<X2, f(x i)_f(X 2)=X1 _X2 =(X1_X2)(X1 +X1X2+X2 )=(X1_X2)[(X l+ -)3+ X22]5 3再由(X什- )2+ X22>0, X1-X2<0,可得 f(X l)<f(X2), ••• f(X)为单增。
2.不等式的性质：①不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。
不等式基本性质有：(1)a>b三b<a (对称性)(2)a>b, b>c 二a>c (传递性)⑶ a>b = a+c>b+c (c € R)(4) c>0 时，a>b A，ac>bcc<0 时，a>b ac<bc。
运算性质有：(1) a>b, c>d —a+c>b+d。
⑵ a>b>0,c>d>0 ac>bd。
⑶ a>b>0 —a n>b n(n € N, n>1)。
⑷ a>b>0= 川>w (n € N, n>1)。
应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“ ”和“ ”即推出关系和等价关系。
一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。
解不等式就是施行一系列的等价变换。
因此，要正确理解和应用不等式性质。
不等式的基本性质
4
3
2
= 2x (x -1)+(1- x)(1+ x) 3 =(x -1)(2x - x -1) 2 = (x 1)(x 1)(2x 2x 1) 1 1 = (x -1) 2(x + 2) + 2 > 0
2 2
3
∴A>B
1、不等式的基本性质： ①对称性： a b b a
考点突破 利用不等式性质判断命题真假 运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的 条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意 捏造性质．解有关不等式的简单判断和选择题时，
也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵
循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简
单，便于验证计算．
对于实数 a，b，c，下列命题中的真命题 是( ) A．若 a＞b，则 ac2＞bc2 1 1 B．若 a＞b＞0，则a＞b b a C．若 a＜b＜0，则 ＞ a b 1 1 D．若 a＞b，a＞b，则 a＞0，b＜0
本专题知识结构
第一讲 不等式和绝对值不等式
不 等 式 选 讲
第二讲 证明不等式的基本方法 第三讲 柯西不等式与排序不等式 第四讲 数学归纳法证明不等式
第一讲
不等式和绝对值不等式
1.不等式的基本性质
知识回顾
A B a b b>a B b
a>b
A a
a>b a-b>0
解：
2
2
2 2 2
4 2 4
4
,
4
不等式的基本性质
等式的基本性质一：
等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个 整式 , 所得结果仍是等式。
如果 a = b , 那么 a + c = b + c (或 a – c = b – c ) 等式的基本性质二：
等式两边都乘以（或除以）同一个 数（除数 不能是零），所得结果仍是等式。
如果a = b , 那么 a c = b c（或 a／c =
2 ＜3 2 ×5 ＿ 3 ×5 2×0.3 ＿ 3× 0.3 10×2 10÷5 10＞－10 ＿ －10×2 ＿ －10÷5
2×（－1）＿ 3×（－1） 2÷（－3）＿ 3÷（－3）
10×（－3）＿－10×（－3）
10×（－7）＿－10×（－7）
思考并交流，你发现了不等式的那些性质？
不等式的基本性质二：
不等式的基本性质一：
不等式的两边都加上（或减去）同一个整式， 不等号的方向不变。
如果a﹤b , 那么a + c﹤b + c (或 a – c﹤b – c)
Hale Waihona Puke 如果a﹥b , 那么a + c﹥b + c (或 a – c﹥b – c)
做一做： 如果在不等式的两边都乘以（或除
以）同一个数，结果会怎样？完成下列填空。
b／c，c ≠ 0 ）
做一做: 如果在不等式的两边都加上（或减去）
同 一个整式，结果会怎样？完成下列填空。
2 ＜ 5
2 －1 ＿ 5 －1 2＋3 ＿ 5＋3
7 ＞ － 7
7 ＋2 ＿ － 7 ＋2
7－(－5）＿－7－（－5） 7 －3 ＿ －7 －3 7 －b ＿ －7 －b
2＋（－7）＿ 5＋（－7） 2 ＋a ＿ 5 ＋a
不等式的性质 不等式的基本性质
不等式的性质不等式的基本性质各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢不等式的性质不等式的性质1.不等式的基本性质:性质1:如果a>b,b>c,那么a>c(不等式的传递性).性质2:如果a>b,那么a+c>b+c(不等式的可加性).性质3:如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,cd,那么a+c>b+d.性质5:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.性质6:如果a>b>0,n∈N,n>1,那么an>bn,且.例1:判断下列命题的真假,并说明理由.若a>b,c=d,则ac2>bd2;(假)若,则a>b;(真)若a>b且abb;(真)若|a|b2;(充要条件)命题A:a命题A:,命题B:0说明:本题要求学生完成一种规范的证明或解题过程,在完善解题规范的过程中完善自身逻辑思维的严密性.a,b∈R且a>b,比较a3-b3与ab2-a2b 的大小.(≥)说明:强调在最后一步中,说明等号取到的情况,为今后基本不等式求最值作思维准备.例4:设a>b,n是偶数且n∈N*,试比较an+bn与an-1b+abn-1的大小.说明:本例条件是a>b,与正值不等式乘方性质相比在于缺少了a,b为正值这一条件,为此我们必须对a,b的取值情况加以分类讨论.因为a>b,可由三种情况(1)a>b≥0;(2)a≥0>b;(3)0>a>b.由此得到总有an+bn>an-1b+abn-1.通过本例可以开始渗透分类讨论的数学思想.练习:1.若a≠0,比较(a2+1)2与a4+a2+1的大小.(>)2.若a>0,b>0且a≠b,比较a3+b3与a2b+ab2的大小.(>)3.判断下列命题的真假,并说明理由.(1)若a>b,则a2>b2;(假) (2)若a>b,则a3>b3;(真)(3)若a>b,则ac2>bc2;(假) (4)若,则a>b;(真)若a>b,c>d,则a-d>b-c.(真).各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢。
不等式的基本性质有哪些
不等式的基本性质有哪些基本性质：①对称性；②传递性；③加法单调性，即同向不等式可加性；④乘法单调性；⑤同向正值不等式可乘性；⑥正值不等式可乘方；⑦正值不等式可开方；⑧倒数法则。
不等式的基本性质有哪些1不等式8个基本性质如果x>y，那么y<x；如果y<x，那么x>y；如果x>y，y>z；那么x>z；如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z,即不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变;如果x>y，z>0，那么xz>yz,即不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变;如果x>y，z<0，那么xz<yz,即不等式两边同时乘（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变;如果x>y，m>n，那么x+m>y+n；如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn；如果x>y>0，那么x的n次幂>y的n次幂（n为正数），x的n次幂<y的n次幂（n为负数）。
2不等式定理口诀解不等式的途径，利用函数的性质。
对指无理不等式，化为有理不等式。
高次向着低次代，步步转化要等价。
数形之间互转化，帮助解答作用大。
证不等式的方法，实数性质威力大。
求差与0比大小，作商和1争高下。
直接困难分析好，思路清晰综合法。
非负常用基本式，正面难则反证法。
还有重要不等式，以及数学归纳法。
图形函数来帮助，画图、建模、构造法。
3基本不等式两大技巧“1”的妙用。
题目中如果出现了两个式子之和为常数，要求这两个式子的倒数之和的最小值，通常用所求这个式子乘以1，然后把1用前面的常数表示出来，并将两个式子展开即可计算。
如果题目已知两个式子倒数之和为常数，求两个式子之和的最小值，方法同上。
调整系数。
有时候求解两个式子之积的最大值时，需要这两个式子之和为常数，但是很多时候并不是常数，这时候需要对其中某些系数进行调整，以便使其和为常数。
不等式的基本性质
(a b)( a b ) ( a b )( a b )2 ab ab 2 1 2 1 a 2 b 2 （定号） 0 ( ) ( ) a b b a
三、例题分析：
a b 例4:已知a 0, b 0，比较 ( ) ( ) b a 与 a b 的大小。
变式练习
已知 3≤a＋b≤4,1≤4a－2b≤2，求 4a
＋2b 的取值范围．
解：方法 1：(方程组思想) 1 1 x＝ a＋ b a＝3x＋6y 令 ，则 y＝ 4a－ 2b b＝2x－ 1y 3 6
.
1 1 2 1 8 1 ∴ 4a＋2b＝4( x＋ y)＋ 2( x－ y)＝ x＋ y， 3 6 3 6 3 3 8 32 3≤ x≤ 4 8≤3x≤ 3 又 ⇒ 1≤ y≤ 2 1≤1y≤2 3 3 3 25 8 1 34 ⇒ ≤ x＋ y≤ ， 3 3 3 3
1 2 2 a, b, , 2ab, a b 从小到大的顺序是 2
1 2 2 a 2ab a b b ______________________ 2 1 3 特殊值法: 取 a , b 4 4
三、例题分析：
2 2 2 x 4 y 1 x y 例2:(2)已知 ，比较
方法 2：(待定系数法)设 f(3)＝λf(1)＋μf(2)， ∴9a－c＝λ(a－c)＋μ(4a－c)． 5 λ ＝－ 3 9＝λ＋4μ ∴ ，解得 －1＝－λ－μ μ＝8. 3 5 8 ∴f(3)＝－ f(1)＋ f(2)．下同方法 1，略． 3 3
• 【方法总结】 本题把所求的问题用已 知不等式表示，然后利用同向不等式性 质解决．本题常用待定系数法解决，设 出方程，求出待定系数即可．
不等式的基本性质
做一做
根据2<3完成下列填空：
2×5_<__3×5； 2× 1 < 3×1 ；2×(-1)_>_3×(-1)；
2
2
2×(-5)_>_3×(-5)；
2×(-
1 2
)__>_3 ×(- 1
2
).
你发现了什么？
不等式的基本性质2：不等式的两边都乘（或 除以）同一个正数，不等号的方向不变.
2
x ≤ 3.
解:（1）x＞3；
（2）x＞-
5 6
； （3）x≤6.
在上节课的问题中，我们猜想，无论绳长l 取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即：
l 2 ＞l 2 . 4 π 16
你相信这个结论吗？你能利用不等式的基本 性质解释这一结论吗？
汇报完毕！谢谢！
不等式的基本性质
填一填
1.若x是正数，则 x＞0 2.若x是负数，则 x＜0 3.若x是非负数，则 x≥0 4.若x是非正数，则 x≤0 5.若x大于y，则 x＞y 6.若x小于y，则 x＜y 7.若x不小于y，则 x≥y 8.若x不大于y，则 x≤y 9.若x不等于y，则 x≠y 10.若xy同号，则 xy＞0或y/x＞0 11.若xy异号，则 xy＜0或y/x＜0
2.已知 x ＞ y ,下列不等式一定成立吗？
（1）x – 6 ＜ y – 6； （2） 3x＜3y； （3）-2x＜-2y ； （4） 2x +1＞2y +1.
不成立 不成立 成立 成立
随堂练习
1.将下列不等式化成 x ＞ a或 x ＜ a的形式：
（1）x –1 ＞2；
不等式的基本性质
D
ab .
A
ab 这个圆的半径为 2 显然，它大于或等于CD，
ab 2
ab
C
a
O
b
B
半径不小于半弦
E
二. 最值定理应用:设 x 0, y 0,由x y 2 xy
x 1.若积 xy P(定值），则和 y有最小值2 P
作业：
P10 Ex 3、10、11、13选做来自Ex 14五、基本不等式
一．常用的重要的不等式和基本不等式
a R, 则a 2 0, a 0（ 当且仅当 a 0时, 取“” 1.若 ）。
2.若 a, b R, 则a b 2ab （当且仅当a=b时取等号）.
2 2
a, b R ，则 a b 2 ab （当且仅当a=b时取等号）. 3.若
不等式的基本性质
一.不等式的三个基本事实：
a b a b 0; a b a b 0; a b a b 0.
比较大小的基本依据。
O
二. 不等式的基本性质(运算性质)
(1)a b b a. 对称性 (2)a b, b c a c. 传递性 (3)a b a c b c. 可加性 (4)a b, c 0 ac bc; 可乘性 a b, c 0 ac bc. (5)a b 0 a b (n N , n 2).
a 2 b2 ab 2 ( ) （当且仅当a=b时取等号）. 4.若a, b R , 则 2 2
1 3：（1）已知0<x< , 求函数y x(1 3x)的最大值。 3
不等式的基本性质
以数学符号表示为：若A>B，则B<A。例如，如果一个人年龄大于另一个人年龄，那么另一个人年龄必然小于第一个人年龄。
详细描述
不等式的对称性是指在不等式两端同时加上或减去同一个数或式子，不等式仍然成立。
以数学符号表示为：若A>B，则A±C>B±C。例如，如果一个人身高大于另一个人身高，那么无论在这两个人身高上加上或减去同一个数值，不等式仍然成立。
04
不等式的应用
数学竞赛中的不等式主要用于解决一些与不等式有关的问题，如最值、不等式证明等。
通过使用不等式性质，可以分析得出一些解决问题的技巧和方法，如放缩法、常数代换法等。
数学竞赛中的应用
不等式在数论中主要用于研究一些与不等式有关的问题，如三角不等式、柯西不等式等。
不等式在数论中还有许多应用，如在研究素数分布、算术级数等问题时都会涉及到不等式的应用。
最优化问题
控制理论
数据科学
经济与金融
THANK YOU.
谢谢您的观看
不等式可以用来描述各种最优化问题，如线性规划、二次规划、非线性规划等。
在经济学和金融学中，不等式被用来描述各种经济和金融模型，如供需模型、最优消费模型等。
在控制理论中，不等式被用来描述系统的稳定性和性能限制。
在数据科学中，不等式被用来进行特征选择和降维，以及建立数据隐私保护的约束条件。
不等式的进一步应用和研究方向
一次不等式
形如ax²+bx+c>0，a、b、c为实数且a≠0的不等式叫做二次不等式。
二次不等式
除一次和二次不等式外，还有指数不等式、对数不等式等其他
VS
不等式的传递性是指如果A和B之间存在不等式关系，且B和C之间也存在不等式关系，那么A和C之间也必然存在同样的不等式关系。
不等式及其性质与解法
（1）一元一次不等式：只含有一个未知数且未知数的次数是一次的不等式叫做一元一次不等式。
（2）一元一次不等式的解法：求接方法与解一元一次方程类似，根据不等式性质将不等式变形，从而等到解集.（3）一般步骤：一、去分母；二、去括号；三、移项；四、合并，化成b ax >或b ax <的形式（其中0≠a ）；五、两边都除以未知数的系数，得到不等式的解集。
热身练习1、判断下列各题是否正确？正确的打“√”，错误的打“×”。
（1） 不等式两边同时乘以一个整数，不等号方向不变.（ × ） （2） 如果a ＞b ，那么3－2a ＞3－2b.（ × ） （3） 如果a ＜b ，那么a 2＜b 2.（ × ） （4） 如果a 为有理数，则a ＞－a.（ × ） （5） 如果a ＞b ，那么ac 2＞bc 2.（ × ） （6） 如果－x ＞８，那么x ＞－8.（ × ） （7） 若a ＜b ，则a ＋c ＜b ＋c.（ √ ）2、若x ＞ｙ，则ax ＞ay ，那么a 一定为（ A ）。
[来源A 、a ＞０B 、ａ＜０C 、ａ≥0D 、a ≤03、有理数b 满足︱b ︱＜3，并且有理数a 使得a ＜b 恒成立，则a 得取值范围是（ C ）。
A 、小于或等于3的有理数 B 、小于3的有理数 C 、小于或等于－3的有理数 D 、小于－3的有理数4、若b a <，则下列各式中一定成立的是（ B ） A 、0>-b a B 、0<-b a C 、0>ab D 、0<ab5、如果t>0,那么a+t 与a 的大小关系是 ( A ).A 、a+t>aB 、a+t<aC 、a+t ≥aD 、不能确定 6、同时满足不等式2124xx -<-和3316-≥-x x 的整数x 是 （ B ）． A 、1，2，3 B 、0，1，2，3 C 、1，2，3，4 D 、0，1，2，3，47、若三个连续正奇数的和不大于27，则这样的奇数组有（ B ）A ．3组B ．4组C ．5组D ．6组 8、若a ＜0，则－2b a +__<__－2b[来源:学.科.网] 11．设a ＜b ，用“＞”或“＜”填空：[来源:Z*xx*ka －1__<__b －1， a ＋3__<__b ＋3， －2a__>__－2b ，3a __<__3b12．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，用“＞”或“＜”填空：a －b__<__0， a ＋b__<__0，ab __>__0，a 2__>__b 2，a 1__>__b1，︱a ︱__>__︱b ︱ 13．若a ＜b ＜0，则21（b －a ）_>___0 14、不等式2(x + 1) - 12732-≤-x x 的解集为_____1314≥x ________。
06 不等式的三条基本性质
名师精编优秀教案
不等式的三条基本性质
不等式基本性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变（即原来较大的一边仍然较大，原来较小的一边仍然较小）．不等式基本性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变（即原来较大的一边仍然较大，原来较小的一边仍然较小）．不等式基本性质3：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变（即原来较大的一边反而较小，原来较小的一边反而较大）．。
不等式的基本性质
知2－练
3
有一道这样的题：“由★x则题中★表示的是( D )
A．非正数
B．正数
C．非负数
D．负数
知2－练
4 已知实数a，b满足a＋1>b＋1，则下列选项错
误的为D( ) A．a>b
B．a＋2>b＋2
C．－a<－b
D．2a>3b
知2－练
5 实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下
2×(－1)___＞____3×(－1);
2×(－5)___＞____3×(－5)；
2 ( 1 ) ___＞___3 ( 1 )；
2
2
你发现了什么？请再举几例试一试，还有类似的结
论吗？与同伴交流.
（来自《教材》）
归纳
知3－导
不等式的基本性质3 不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等
号的方向改变.
3 若a＜ 7 －2＜b，且a，b是两
个连续整数，则a＋b的值是( A )
A．1
B．2
C．3
D．4
知1－练
知识点 2 不等式的基本性质2
知2－导
做一做 完成下列填空：
2 3；
2 5 _＜__ 3 5；
2 1 _＜__ 3 1 ；
2
2
（来自《教材》）
归纳
知2－导
不等式的基本性质2 不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等
列式子中正确的是( B )
A．a－c>b－c C．ac>bc
B．a＋c<b＋c D. a ＜ c
bb
1 知识小结
通过这节课的学习，你有哪些收获？
（来自《教材》）
知3－讲
简述不等式的4个基本性质
简述不等式的4个基本性质
不等式的基本性质：1、在一个区间上可导，在另一个区间上也可导；2、对于任何实数，都存在至少一个解析式；3、当不等式两边同时乘以或除以一个常数时，所得结果仍然是不等式。
4、如果有增根，那么它们互为相反数。
不等式的解题思路：首先要弄清楚该不等式左右两边到底是什么关系，因此必须从函数的角度考虑问题，即把不等式转化成一般形式，然后再利用各种方法进行求解。
由于不等号两边的关系较复杂，建议大家通过举例来理解和掌握。
在做题过程中，应注意分类讨论的作用，多联想一些与之有关的知识点，能起到事半功倍的效果。
不等式的基本性质
题型一
题型二
题型三
题型四
反思对于考查不等式的基本性质的选择题,解答时,一是利用不等
式的相关性质,其中,特别要注意不等号变号的影响因素,如数乘、
取倒数、开方、平方等;二是对所含字母取特殊值,结合排除法去
选正确的选项,这种方法一般要注意选取的值应具有某个方面的代
表性,如选取0、正数、负数等.
题型一
题型二
谢谢！
≤ .
2 2 2 2
2
2
2
题型一
题型二
题型三
题型四
π+ππ≤ 和− ≤2
2
2
2
-
π
π
≤ 的错误,导致该种错误的原因是忽视了 , 不能同时取到
2
2
2 2
4
π
和 − 以及忽视了α,β 的大小关系.
4
错因分析:在解答本题的过程中易出现 − ≤
题型一
题型二
正解: ∵
题型三
题型四
π
π
− 2≤α<β≤2,
π π -
π
即
的取值范围为 - ,
,
的取值范围为 - ,0 .
2
2 2 2
2
题型一
题型二
题型三
题型四
反思求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面,严
格依据不等式的性质和运算法则进行运算,是解答此类问题的基础.
在使用不等式的性质时,如果是由两个变量的取值范围求其差的取
值范围,一定不能直接作差,而要先转化为同向不等式后再求和.
第一讲 不等式
和绝对值不等式
一 不等式
1.不等式的基本
性质
学习目标：
不等式的基本性质知识点总结
4.2 实例分析 以一道具体的不等式问题为例，详细分析其 解题过程和思路，展示如何运用不等式的性 质进行解题。通过实例分析，加深对不等式 基本性质的理解和掌握
不等式的常见题型与解题技巧
如何激发对不等式学习的兴趣
A
学习不等式 需要耐心和
毅力
B
当我们遇到困 难时，不要轻 易放弃，而是 要坚持下去， 相信自己能够
解决问题
C
通过不断练习 和反思，我们 可以逐渐提高 自己的解决问
题的能力
总结与展望未来
12.1 总结
01
本文总结了不等式的基本性质、解法与变形、常见题型 与解题技巧等方面的知识点，并探讨了如何进一步提高 不等式问题的解决能力以及学习不等式的重要性和意义。 同时，也提出了一些激发对不等式学习兴趣的方法
不等式在实际生 活中的应用
7.1 经济学中的应用：在经济学中，不等式常被用来描述和解决资 源分配、市场供需、成本与收益等问题。例如，通过比较不同投资 方案的收益与成本，利用不等式来选择最优的投资方案
7.2 物理学中的应用：在物理学中，不等式被广泛应用于力学、 热学、电磁学等领域。例如，牛顿第二定律中的力与加速度的 关系就可以用不等式来描述
10.4 提高综合素质
学习不等式不仅可以提高我 们的数学能力，还可以培养 我们的耐心、毅力和创新精 神
通过解决复杂的问题，我们 可以锻炼自己的意志品质， 提高自己的综合素质
如何激发对不等式学习的兴趣
了解不等式在实际生活中的应用，可以激发我们对不等式学 习的兴趣。当我们知道所学知识能够解决实际问题时，自然 会产生学习的动力 参加数学竞赛和活动，可以让我们更好地了解数学的魅力， 提高解决数学问题的能力。在竞赛和活动中，我们可以结交 志同道合的朋友，共同探讨数学问题，分享解决问题的乐趣 寻找合适的学习资源，如教材、网络课程、学习 app 等， 可以帮助我们更好地学习不等式。同时，也可以通过参加学 习小组或找老师请教等方式，获取更多的学习帮助和支持
不等式的基本性质
在其他学科中的应用
物理
在物理中，不等式性质被广泛应用于解决力学、热 学和波动问题。
经济学
在经济学中，不等式性质被用来描述和解决市场供 需关系、投资回报率等问题。
计算机科学
在计算机科学中，不等式性质被用于算法设计和数 据结构优化，以提高程序的效率和正确性。
PART 05
不等式性质的注意事项
性质使用的条件和限制
文字表述
使用大于、小于、不等于等符号， 将不等式表示为数学语言。
数轴表示
在数轴上，将不等式的解集表示 在相应区间的位置。
PART 02
不等式的基本性质
不等式的传递性
01 定义
不等式的传递性是指如果a>b且b>c，那么a>c。
02 证明
通过反证法证明，假设a≤c，则a≤b≤c，这与已知条件 a>b矛盾，所以假设不成立，即a>c。
证明过程
通过反证法进行证明，假设a不大于c， 则可能出现a≤c的情况，但这与已知条 件a>b和b>c相矛盾。
结论
证明了传递性是成立的。
可加性的证明
简介
通过举例和数学推导，证明不 等式的可加性。
证明过程
详细展示不等式可加性的证明 步骤，包括假设、推理和结论。
应用举例
给出一些实际应用中不等式可 加性的例子，帮助理解其在实 际问题中的应用。
性质使用的灵活性
03 根据具体问题，灵活运用不等式性质，结合其他数学知识综合解决问题。
谢谢
汇报人：WPS
性质
在证明可乘方性时，需要利用不等式的 性质，即如果a>b，c>d，那么ac>bd。
证明过程
通过举例和反证法，证明不等式具有可 乘方性。例如，假设a>b>0，如果 a^2<=b^2，那么a<=sqrt(b^2)=b， 这与已知条件a>b矛盾。因此， a^2>b^2，证明了不等式具有可乘方 性。
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从而a<c<b。当b-c=0，即b=c时，因为bc>a2，
所以b2>a2，即b≠a。又a2-2ab+b2=(a-b)2=0，所以a=b，
与前面矛盾，故b≠c.所以a<c<b.
14
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小结
小结：理解并掌握不等式的六个基本性质
作业
一、课本 P10 3
2、求证：
1 1 （1）如果a>b, ab>0，那么 ; a b （2）如果a>b>0，c<d<0，那么ac<bd。
3、选做题：设a≥b,c≥d，
3．已知 a 0，比较 (a 2 2a 1)( a 2 2a 1) 与 (a a 1)(a a 1) 的大小．
a2 c2 且 0, c>0。 a>0，所以b= 2a
因为(a-c)2=a2-2ac+c2=2ab-2ac=2a(b-c )≥0，所以b-c≥0. 2 2 a c a2 c2 2 2 c a , , bc a , 当b-c>0，即b>c时，b= 得 2a 2a 所以a2c+c3 >2a3即a3-c3+a3-a2c<0，(a-c)(2a2+ac+c2)<0
• 例2、比较
【典型例题】
例3、比较以下两个实数的大小：
1 (1)16 与18 ; ( 2) 与2 n (n N* ) n1 n
18 16
（3）比较a b 和a b 的
a b b a
【解题回顾】本题的解答关键在于选择合适的方法.
作商比较法： 作商——变形——与1比较大小． 大多用于比较幂指式的大小．
2 2
1 求证：ac+bd≥ (a+b)(c+d) 2
=x2+3x+2-(x2+3x-18)
=20>0，
所以(x+1)(x+2)>(x-3)(x+6)
4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例1、求证：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd。
证明：因为a>b>0, c>d>0， 由不等式的基本性质（3）可得ac>bc, bc>bd， 再由不等式的传递性可得ac>bc>bd。 例2、 已知a>b>0，c>d>0，求证：
练习题
• 1. 已知 x≠0 , 比较 (x2 +2)2 与 x4+x2 +4的大小.
• 2.比较 (x2 +2)2 与 x4+5x2 +2的大小 • 3. 比较 x3 与 x2-x + 1的大小.
练习
比较x2+y2与xy+x+y-1的大小．
【解题回顾】用作差比较法比较两个实数的大小，步骤 是：作差——变形——判断符号．常见的变形 手段是通分、因式分解或配方等；变形的结果 是常数、若干个因式的积或完全平方式等.
• • • • • •
= (x -1)2 [2 (x + 1/2)2 + 1/2] x∈R ∴ 2 (x + 1/2)2 + 1/2 >0 若x≠1 那么 (x -1)2 > 0则 2x4+1 > 2x3+x2 若 x =1 那么(x -1)2 = 0 则 2x4+1 = 2x3+x2 综上所述: 若 x = 1 时 2x4+1 = 2x3+x2 若 x≠1 时 2x4+1 > 2x3+x2 求差比较大小 分四步进行：①作差；②变形；③定号； ③下结论。
（真命题）
5、已知f(x)=ax2+c，且-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5，求 f(3)的取值范围。 f(3)的取值范围是[-1, 20]
13
6、已知a>0，a2-2ab+c2 =0，bc>a2，试比较a、b、c的大小。 解：因为bc>a2>0，所以b、c同号；又a2+c2=2ab>0，且
a b d c
练习： 如果a>b,c>d，是否一定能得出ac>bd？并说明理 由。
5
例1、试比较 2x4+1 与 2x3+x2 的大小
• 解： (2x4+1) - (2x3+x2 ) = 2x4+1 - 2x3 _ x2 • = (2x4 - 2x3 )- (x2 -1) • = 2x3 (x -1) - (x -1) (x +1) • = (x－1) [2x3 - (x +1) ] • = (x－1)[(2x3－2x2) + (2x2－2x) + (x－1)] • = (x -1)2 (2x2 + 2x + 1) • = (x -1)2 [2 (x + 1/2)2 + 1/2] • 技能： • 分组组合；添项、拆项；配方法。
新课标人教版
《高中数学》选修4－5
1.1《 不等式》
1
第一讲 不等式和绝对值不等式
1、不等式
2
1、不等式的基本性质：
a b b a 传递性： a b, b c a c ①、对称性： _________
②、 a b, c R ，a+c＞b+c
③、a＞b， c 0 ， 那么ac＞bc；
练习
1、若m>0,比较m 与2 的大小
2、选择题： 已知 a b ，在以下4个不等式中正确的是：
（1）
m
m
1 1 a b
（2）lg( a
2
1 ) lg( b 1 )
2
（3）
a
2
b
2
（4）
2 2
a
b
3、若a、b、x、y∈R，则
x y a b 是 ( x a )( y b) 0
x a y b
成立的（ C
） B. 必要不充分条件
A. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4、对于实数a、b、c，判断下列命题的真假：
a b （1）若c>a>b>0，则 （真命题） c a c b 1 1
（2）若a>b,
，则a>0，b<0。 a b
主要内容 基本理论: a - b > 0 <=> a > b a - b = 0 <=> a = b a - b < 0 <=> a < b 基本理论四大应用之一：比较实数的大小. 一般步骤： 作差－变形－判断符号—下结论。 变形是关键： 1°变形常用方法:配方法，因式分解法。 2°变形常见形式是：变形为常数；一个常数与几个平 方和；几个因式的积。
a ＞b ，
c 0 ，那么ac＜bc
④、a＞b＞0，
cd 0
那么，ac＞bd
⑤、a>b>0，那么an>bn.（条件 n N , n 2 ） ⑥、 a＞b＞0 那么
n
a n b （条件n N , n 2 ）
3
练习：1、判断下列各命题的真假，并说明理由：
（1）如果a>b，那么ac>bc； （假命题） （2）如果a>b，那么ac2>bc2；（假命题） （3）如果a>b，那么an>bn(n∈N+)； （假命题） （4）如果a>b, c<d，那么a-c>b-d。 （真命题） 2、比较(x+1)(x+2)和(x-3)(x+6)的大小。 解：因为(x+1)(x+2)-(x-3)(x+6)