最新5弹性力学习题课2课时汇总

5弹性力学习题课2课时5 典型例题5.1 直角坐标解法例题1 试列出图 5-1的边界条件。

解：（a ）对于图 5-1（a ）的问题，在主要边界 y= ± h/2应精确满足下列边界条件：图 5- 12,,02y xy h x y q l στ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭1,0,2y xy hy q στ===在小边界（次要边界）x= 0，应用圣维南原理，列出三个积分的近似条件，当板厚δ=1时，()()()⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=⨯=⨯=⨯⎰⎰⎰-=-=-=2/2/02/2/02/2/0111h h s x xy h h x x h h x x F dy M ydy F dy τσσ在小边界x l =处，当平衡微分方程和其他各边界条件都已满足的条件下，三个积分的边界条件必然满足，可以不必校核。

（b ）在主要边界 x=0，b ，应精确满足下列边界条件：x=0，σx = -ρgy ，τxy =0； x= b ，σx =0， τxy = - q 。

在小边界 y=0，列出三个积分的边界条件，当板厚δ=1时：()()()⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫-=⨯-=⨯-=⨯⎰⎰⎰===by xyb y y by y F dx Fb xdx F dx 00000021431231τσσ注意，在列力矩的条件时，两边均是对原点O 的力矩来计算的。

对于y=h 的小边界可以不必校核。

例题2 图5-2所示的矩形截面柱体，在顶部受有集中力F 和力矩M =Fb/2的作用，试用应力函数：Φ = Ax 3+ Bx 2求解图示问题的应力及位移，设在 A 点的位移和转角均为零。

图 5-2解：应用应力函数求解：（1）校核相容方程04=Φ∇，满足。

（2）求应力分量，在无体力时，得：σy =6Ax+2B ， σx =τxy =0。

（3）考察主要边界条件，x= ± b σx =0， τxy =0，均已满足。

考察次要边界条件，在 y=0上：（τyx ）y=0 =0， 满足；(),F dx o y bb y -==-⎰σ 得 b FB 2-=；(),2Fb xdx o y bb y -==-⎰σ 得 28b F A -=代入，得应力的解答，⎪⎭⎫⎝⎛+-=b x b F y 2312σ， σx =τxy =0。

上述Φ和应力已满足了04=Φ∇和全部边界条件，因而是上述问题的解。

（4）求应变分量，⎪⎭⎫⎝⎛+=b x Eb F x 2312με，⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=b x Eb F y2312ε，0=xy γ （5）求位移分量，由⎪⎭⎫ ⎝⎛+==∂∂b x Eb F x ux 2312με，对x 积分，得： ()y f bx x Eb F u 12232+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=μ； 由⎪⎭⎫ ⎝⎛+-==∂∂b x Eb F y v y 2312ε，对 y 积分，得： ()x f b xy y Eb F v 2232+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=将u ，v 代入几何方程第三式==∂∂+∂∂xy yux v γ 两边分开变量，并令都等于常数ω，即：()()ω=+-=y EbFdy y df dx x df 21243 从上式分别积分，求出：()02v x x f +=ω()022183u y y Eb F y f +-=ω代入u ，v ，得：22283232u y y Eb F bx x Eb F u +-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=ωμ 0232v x b xy y Eb F v ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=ω再由刚体约束条件，0,0=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂==h y x y u ，得h EbF 243=ω ()0,0===h y x u ， 得22083h Eb F u =()0,0===hy x v ， 得h EbFv 20=代入u ，v ，得到位移分量的解答：()22283232y h Eb F b x x Eb F u -+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=μ ()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=b x y h Eb F v 2312 在顶点 x= y=0，()Eb Fhv y x 20,0===例题3 矩形截面的简支梁上，作用有三角形分布荷载，图 5-3。

图 5-3试用下列应力函数Φ = Ax 3y 3+ Bxy 5+ Cx 3y+ Dxy 3+ Ex 3+ Fxy ，求解应力分量。

解：应用上述应力函数求解： （1）将Φ 代入相容方程：40∇Φ=， 72A +120B =0， 得B A 35-=。

由此，Fxy Ex Dxy y Cx Bxy y Bx +++++-=Φ33353335 （2）求应力分量，在无体力下，得：Dxy Bxy y Bx x 6201033++-=σEx Cxy Bxy y 66103++-=σ()F Dy Cx By y Bx xy ++++--=2242233515τ（3）考察主要边界条件（y= ± h/2），y= ± h/2，τxy =0，得：0431*******422=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-F Dh Bh Bh C x对于任意的x 值，上式均应满足，由此得：041532=-Bh C （a ） 04316524=++F Dh Bh （b ） y= h/2， σy =0，063453=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-E Ch Bh x （c ） y= - h/2，l xq y -=σ，l x q E Ch Bh x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-63453（d ）（c ）+（d ）得：l qE 12-=（c ）-（d ）得：lh q C Bh 23452=+-（e ）-（a ）得：35lhqB =， lh qC 4=。

（4）考察小边界上的边界条件（x=0），由：()⎰-==2206h h x xyql dy τ得：641635ql Fh h D h B -=++ （f ） 由式（b ）和（f ）解出：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=lh hlq D 10133⎪⎭⎫ ⎝⎛-=h l l hq F 480另两个积分的边界条件：()⎰-==2200h h x x dy σ()⎰-==2200h h x x ydy σ显然是满足的。

于是，将各系数代入应力表达式，得应力解答：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=hl y l h hl x h l h y q h y h y l x q h y h x l lh xy q xy y x 2222332222222203414431210322τσσ。

读者试校核在 x= l 的小边界上，下列条件都是满足的，()⎰-==220h h lx x dy σ，()⎰-==220h h l x x ydy σ，()⎰-=-=223h h l x xy ql dy τ5.2 极坐标解法例题4（习题 4-8）试考察应力函数3cos36qaρϕΦ=能解决图5-4所示弹性体的何种受力问题？图 5- 4解：本题应按逆解法求解。

首先校核相容方程，40∇Φ=是满足的。

然后，代入教科书中应力公式（4-5），求出应力分量：cos3,cos3,sin3q q qa a aρϕρϕρρρσϕσϕτϕ=-==再求出边界上的面力：φ= ±30°面上，0,qaρϕρϕρσστ===±；aρ=面上，cos3,sin3q qρρϕσϕτϕ=-=。

面力分布如图5-4b所示，因此上述应力函数可解决如图所示的受力问题。

例题5（习题4-9）半平面体表面受有均布水平力q，试用应力函数()2sin2B CρϕϕΦ=+，求解应力分量，图5-5。

图5-5解：首先检验Φ，已满足40∇Φ=。

由Φ 求应力，得：2sin222sin222cos2B CB CB Cρϕρϕσϕϕσϕϕτϕ⎫=-+⎪=+⎬⎪=--⎭再考察边界条件。

注意本题有两个φ面，即2πϕ=±，分别为±φ面。

在±φ面上，应力符号以正面正向、负面负向为正。

因此，有：()20,0;Cπϕϕσ=±==得：()2qπρϕϕτ=±=-，得：2qB=-代入应力公式，得应力解答sin2sin2cos2qqqρϕρϕσϕσϕτϕ⎫=⎪=-⎬⎪=⎭例题6（习题 4-18）设半平面体在直边界上受有集中力偶，单位宽度上的力偶矩为M，图5-6，试求应力分量。

图5-6解：应用半逆解法求解。

（1）按量纲分析方法，单位宽度上的力偶矩与力的量纲相同。

应力应与M，ρ，φ有关，由于应力的量纲是单位面积上的力，即12L MT--，应力只能以2/Mρ形式组合。

（2）Φ应比应力的长度量纲高二次幂，可假设Φ=Φ（φ）。

（3）将Φ代入相容方程，得：42442140d dd dρϕϕ⎛⎫ΦΦ+=⎪⎝⎭删去因子41ρ，得一个关于Φ（φ）的常微分方程。

令其解为e λϕΦ=，代入上式，可得到一个关于λ的特征方程：()2240λλ+=其解为λ=2i ，-2i ，0，0。

于是得到Φ的四个解22,,,i i ae be c d ϕϕϕ-；前两项又可以组合为正弦、余弦函数。

由此得：Φ = Acos2φ+ Bsin2φ+ Cφ+ D 。

本题中结构对称于φ= 0的x 轴，而M 是反对称荷载，因此，应力应反对称于x 轴，为φ的奇函数，从而得 A = D =0，Φ = Bsin 2φ+ Cφ。

（4）由Φ求得应力分量，()2214sin 2012cos 2B B C ρϕρϕσϕρστϕρ⎫=-⎪⎪⎪=⎬⎪⎪=+⎪⎭（5）考察边界条件。

由于原点O 有集中力偶作用，应分别考察大边界上的条件和原点附近的条件。

在ρ≠0，φ= ±π/2的边界上，有（σφ）ρ≠0，φ= ±π/2 =0，（τρφ）ρ≠0，φ= ±π/2 =0。

前一式自然满足，而第二式成为：2B = C （a ）为了考虑原点O 附近有集中力偶的作用，取出以O 为中心，ρ为半径的一小部分脱离体，并列出其平衡条件：()()220,cos sin 0x F d d πρρϕπρρρρσϕρϕτϕρϕ==-⎡⎤=-=⎣⎦∑⎰ ()()220,sin cos 0y F d d πρρϕπρρρρσϕρϕτϕρϕ==-⎡⎤=+=⎣⎦∑⎰ ()2220,0O M d M πρϕπρρτρϕ=-=+=∑⎰上式中前两式自然满足，而第三式成为：2MB π=-（b ）再由式（a ）得出： MC π=-代入应力公式，得最后的应力解答：222sin 20cos 21M M ρϕρϕϕσπρσϕτπρ⎫=⎪⎪⎪=⎬⎪+⎪=-⎪⎭例题7（习题 4-19） 设有厚度为1的无限大薄板，在板内小孔中受集中力F ，图5-7，试用如下的应力函数求解：ln cos sin A B ρρϕρϕϕΦ=+。