全国硕士研究生招生考试数学考试大纲(2019年)
湖南大学-2019年-硕士研究生招生考试大纲-859数学教学论
《数学教学论》考试大纲
一、作为课程的数学教学论
数学教学论的结构内容，数学教学论的产生与发展，数学教学论的理论基础.
二、国际数学教学的改革与发展
国际中学数学教学改革概况，国际数学课程改革的特点，国际数学课程改革的启示.
三、我国中学数学教学的改革与发展
我国中学数学教学改革概况，20年来我国中学数学教学改革的总结评价.
四、新一轮国家基础教育课程改革
新一轮国家基础教育课程改革的兴起，国家《数学课程标准》的研制，新课程的理念与创新，新课程目标与学段目标.
五、《数学课程标准》理念下的数学教学
《数学课程标准》理念下的数学教学活动，《数学课程标准》理念下的数学教师角色，《数学课程标准》理念下的学生发展.
六、现代数学教学观
正确认识数学教学的本质，确立“大众数学”的教育观念，强化数学应用的意识，数学素质教育.
七、数学教育目的
数学教育目的概述，数学教育目的制定的依据，我国“数学教育。
北京大学2019年数学分析试题及解答
=
l, lim xn n→+∞
=
L,
知
{xn}
中有无穷项小于等于
l+c 2
,
有无穷项
大于
c.
从而
|xn+1 − xn|
有无穷多项大于等于
c−l 2
,
矛盾.
类似地,
存在
n2
> n1
使得
xn1 +c 2
< xn2
⩽ c.
以
此类推可取一个子列
{xnk }
,|xnk
−
c|
⩽
c−l 2k
,
此时
{xnk }
nπ 4
+
sin
nπ 4
)np
,
∑ +∞
sin
nπ 4
np
在 p > 1 时绝对收敛, 在 0 < p ⩽ 1 时条件收敛.
n=1
sin2
nπ 4
(np
+
sin
nπ 4
)np
∼
sin2
nπ 4
n2p
=
1
− cos n2p
nπ 2
,
(n
→
+∞),
∑ +∞
sin2
nπ 4
因此 n=1
(np +sin
nπ 4
∫ +∞
这与
f ′(x) dx 有意义的 Cauchy 收敛原理矛盾.
1
注 裴礼文的《数学分析中的典型问题与方法》第二版第 249 页例 3.3.11 与本题几乎完全相同, 那里有另外一
种证明方法. 我写的这个解法是源于一个很经典的题目, 可以见《数学分析习题课讲义》上册第 396 页命题
中国科学院大学-2019年-硕士研究生入学考试大纲-803概率论与数理统计
中国科学院大学硕士研究生入学考试
《概率论与数理统计》考试大纲
本《概率论与数理统计》考试大纲适用于中国科学院大学非数学类的硕士研究生入学考试。
概率统计是现代数学的重要分支，在物理、化学、生物、计算机科学等学科有着广泛的应用。
考试的主要内容有以下几个部分：
概率统计中的基本概念
随机变量及其分布
随机变量的数学特征及特征函数
独立随机变量和的中心极限定理及大数定律
假设检验
点估计及区间估计
简单线性回归模型
要求考生对基本概念有深入的理解，能计算一些常见分布的期望、方差，了解假设检验、点估计及区间估计的统计意义，能解决一些经典模型的检验问题、区间估计及点估计。
最后，能理解大数定律及中心极限定理。
一、考试内容
（一）基本概念
1．样本、样本观测值
2．统计数据的直观描述方法：如干叶法、直方图
3．统计数据的数字描述：样本均值、样本方差、中位数事件的独立性、样本空间、事件
4．概率、条件概率、Bayes公式
5．古典概型
（二）离散随机变量
1．离散随机变量的定义
2．经典的离散随机变量的分布
a.二项分布
b.几何分布
c.泊松分布
d.超几何分布
3．离散随机变量的期望、公差
4．离散随机变量的特征函数
5．离散随机变量相互独立的概念
6．二维离散随机变量的联合分布、条件分布、边缘分布及二个离散随机变量的相关系数
（三）连续随机变量
1．连续随机变量的概念
2．密度函数
3．分布函数
4．常见的连续分布
a.正态分布。
2019年全国硕士研究生招生考试数学二解析
2019年全国硕士研究生招生考试
数学（二）
（科目代码：301）
考生注意事项
1、答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生编号和考生姓名；在答题卡指定位置上填写报考单位，考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。
2、选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号和选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。
超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答案无效。
3、填（书）写必须使用黑色字迹签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。
4、考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。
（以下信息考生必须认真填写）
考试编号
考生姓名。
2019年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解【圣才出品】
＿
相互独立，并不能说明 P（A）＝P（B）。对选项 D 来说，若令 B＝A，等式恒成立，亦不
＿
＿
能说明 P（A）＝P（B）。P（AB）＝P（A）－P（AB），P（BA）＝P（B）－P（AB），P
＿
＿
（AB）＝P（BA）⇒P（A）＝P（B）。故选 C。
8．设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都服从正态分布 N（μ，σ2），则 P{|X－Y|＜1（} ）。 A．与 μ 无关，而与 σ2 有关 B．与 μ 有关，而与 σ2 无关 C．与 μ，σ2 都有关 D．与 μ，σ2 都无关 【答案】A
2．已知方程 x5－5x＋k＝0 有 3 个不同的实根，则 k 的取值范围（ ）。 A．（－∞，－4） B．（4，＋∞） C．{－4，4} D．（－4，4） 【答案】D 【考点】简单函数的几何特征分析
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【解析】方程 x5－5x＋k＝0 有 3 个不同实根等价于曲线 y＝x5－5x 与直线 y＝－k 有
3 个不同的交点，因此研究曲线 y＝x5－5x 的曲线特点即可。
令 f（x）＝x5－5x，则 f（x）在 R 上连续，且 f′（x）＝5x4－5。再令 f′（x）＝0，得
x＝±1。通过分析 f′（x）在稳定点 x＝±1 左右两侧的符号，可知当 x∈（－∞，－1）时，
f′（x）＞0，f（x）单调递增；当 x∈（－1，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当 x∈
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2019 年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解
一、选择题（1～8 小题，每小题 4 分。共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有 一个选项符合题目要求。）
2019年全国研究生考试数学(三)真题
全国硕士研究生入学统一考试数学试题全国硕士研究生入学统一考试数学试题一、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(1) 极限xx x 20)]1ln(1[lim ++→=. (2)dx ex x x⎰--+11)(=.(3) 设0a >，，x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧== 而D 表示全平面，则⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(=.(4) 设,A B 均为三阶矩阵，E 是三阶单位矩阵. 已知2AB A B =+, 202040202B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则1)(--E A =.(5) 设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a T Λα；E 为n 阶单位矩阵，矩阵T E A αα-=， T aE B αα1+=，其中A 的逆矩阵为B ，则a = .(6) 设随机变量X 和Y 的相关系数为0.5,0EX EY == ,222==EY EX , 则2)(Y X E += .二、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(1) 曲线21x xe y = ( )(A) 仅有水平渐近线. (B) 仅有铅直渐近线.(C) 既有铅直又有水平渐近线. (D) 既有铅直又有斜渐近线. (2) 设函数)(1)(3x x x f ϕ-=，其中)(x ϕ在1x =处连续，则0)1(=ϕ是()f x 在1x =处可导的 ( )(A) 充分必要条件. (B)必要但非充分条件.(C) 充分但非必要条件 . (D) 既非充分也非必要条件. (3) 设可微函数(,)f x y 在点),(00y x 取得极小值，则下列结论正确的是 ( )(A) ),(0y x f 在0y y =处的导数等于零. (B)),(0y x f 在0y y =处的导数大于零.(C) ),(0y x f 在0y y =处的导数小于零. (D) ),(0y x f 在0y y =处的导数不存在.(4) 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=001010100B .已知矩阵A 相似于B ，则秩(2)A E -与秩()A E -之和等于( )(A) 2. (B) 3. (C) 4. (D) 5. (5) 对于任意二事件A 和B ( )(A) 若φ≠AB ，则,A B 一定独立. (B) 若φ≠AB ，则,A B 有可能独立.(C) 若φ=AB ，则,A B 一定独立. (D) 若φ=AB ，则,A B 一定不独立.(6) 设随机变量X 和Y 都服从正态分布，且它们不相关，则 ( )(A) X 与Y 一定独立. (B) (X ,Y )服从二维正态分布. (C) X 与Y 未必独立. (D) X +Y 服从一维正态分布.设 ).1,21[,)1(1sin 11)(∈--+=x x x x x f πππ试补充定义(1)f 使得()f x 在]1,21[上连续.四 、(本题满分8分)设(,)f u v 具有二阶连续偏导数，且满足12222=∂∂+∂∂vfu f ，又)](21,[),(22y x xy f y x g -=,求.2222y g x g ∂∂+∂∂ 五 、(本题满分8分) 计算二重积分.)sin(22)(22dxdy y x e I Dy x+=⎰⎰-+-π其中积分区域22{(,)}.D x y x y π=+≤ 六、(本题满分9分)设1a >，at a t f t -=)(在),(+∞-∞内的驻点为).(a t 问a 为何值时，()t a 最小？并求出最小值.七、(本题满分9分)设()y f x =是第一象限内连接点(0,1),(1,0)A B 的一段连续曲线，(,)M x y 为该曲线上任意一点，点C 为M 在x 轴上的投影，O 为坐标原点. 若梯形OCMA 的面积与曲边三角形CBM 的面积之和为3163+x ，求()f x 的表达式. 八、(本题满分8分)设某商品从时刻0到时刻t 的销售量为kt t x =)(，).0(],,0[>∈k T t 欲在T 时将数量为A 的该商品销售完，试求(1) t 时的商品剩余量，并确定k 的值；(2) 在时间段[0,]T 上的平均剩余量. 九、(本题满分13分)设有向量组(I)：T )2,0,1(1=α，T )3,1,1(2=α，T a )2,1,1(3+-=α和向量组(II)：T a )3,2,1(1+=β，T a )6,1,2(2+=β，.)4,1,2(3T a +=β 试问：当a 为何值时，向量组(I)与(II)等价？当a 为何值时，向量组(I)与(II)不等价？设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a A 11121112可逆，向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11b α是矩阵*A 的一个特征向量，λ是α对应的特征值，其中*A 是矩阵A 的伴随矩阵. 试求,a b 和λ的值. 十一、(本题满分13分)设随机变量X 的概率密度为;],8,1[,0,31)(32其他若∈⎪⎩⎪⎨⎧=x x x f()F X 是X 的分布函数. 求随机变量()Y F X =的分布函数.十二、(本题满分13分)对于任意二事件A 和B ，1)(0,1)(0<<<<B P A P ， )()()()()()()(B P A P B P A P B P A P AB P -=ρ称作事件A 和B 的相关系数.(1) 证明事件A 和B 独立的充分必要条件是其相关系数等于零；(2) 利用随机变量相关系数的基本性质，证明.1≤ρ2003年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析一、填空题 (1)【答案】2e【详解】方法1：xx x 20)]1ln(1[lim ++→，属于∞1型未定式极限，可以考虑利用重要极限求解．首先凑成重要极限形式：()200002ln(1)1ln(1)2ln(1)2lim lim 2lim[1ln(1)]lim 1ln(1)xx x x x x x x x xx xx x e e e →→→→+⋅++=++=++==方法2：xx x 20)]1ln(1[lim ++→=2ln[1ln(1)]0lim x x x e++→=2ln[1ln(1)]2ln(1)limlim2x x x x xxeee →→+++==(注意：l n[1ln(1)]ln(1)x x +++:)(2)【答案】)21(21--e【分析】对称区间上的定积分，有0()2()()()0()a a aaaf x dx f x dxf x f x dx f x --⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰⎰⎰当为偶函数当为奇函数【详解】dx ex x x⎰--+11)(=dx xedx ex xx⎰⎰----+1111=dx ex x--⎰11+012x xe dx -=⎰102x xde -=-⎰112[]xx xe e dx --=--⎰=)21(21--e ．(3)【答案】2a【详解】本题积分区域为全平面，但只有当10,10≤-≤≤≤x y x 时，被积函数才不为零，则二重积分只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分商积分即可，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可．⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(=20101x y x a dxdy ≤≤≤-≤⎰⎰=1120x xa dx dy+⎰⎰1220[(1)]a x x dx a =+-=⎰(4)【答案】⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100 【详解】 应先化简，从2AB A B =+中确定1)(--E A ．2AB A B =+⇒222AB B A E E -=-+⇒E E A B E A 2)(2)(=---⇒E E B E A 2)2)((=--⇒E E B E A =-⋅-)2(21)(，所以 1)(--E A =)2(21E B -=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100．(5) 【答案】-1【详解】这里T αα为n 阶矩阵，而22a T =αα为数，直接通过E AB =进行计算并注意利用乘法的结合律即可．由题设，有)1)((T T a E E AB αααα+-==T T T T a a E αααααααα⋅-+-1111()T T T T E a a αααααααα=-+-=T T T a a E αααααα21-+-1(12)T E a E aαα=+--+=，于是有0121=+--a a ，即0122=-+a a ，解得.1,21-==a a 已知0a <，故1a =-．(6)【答案】6【分析】本题的核心是逆向思维，利用协方差公式()cov(,)()()E XY X Y E X E Y =+． 涉及公式：(1)22()()[()]D X E X E X =-，(2)()()()2cov(,)D X Y D X D Y X Y +=++(3)XY ρ=【详解】方法1：由方差定义的公式和相关系数的定义22()()[()]D X E X E X =-202,=-= 同理()2D Y =，1cov(,)212XY X Y ρ==⨯=．所以 222()()[()]()()E X Y D X Y E X Y D X Y EX EY +=+++=+++()()()2cov(,) 6.D X Y D X D Y X Y =+=++=方法2：由数学期望的线性可加性()()()E aX bY aE X bE Y +=+得：222()(2)E X Y E X XY Y +=++222()EX E XY EY =++42()E XY =+再利用()()()(,)E XY Cov X Y E X E Y =+⋅，得2)(Y X E +()()42[(,)]Cov X Y E X E Y =++⋅由方差定义的公式，有22()()[()]D X E X E X =-202,=-= 同理()2D Y =，再由相关系数的定义XY ρ=得，cov(,)XY X Y ρ=2)(Y X E +42420.52 6.XY ρ=+=+⨯⨯=二、选择题 (1)【答案】()D【分析】按照铅直、水平、斜渐近线三种情况分别考虑：先考虑是否有水平渐近线：lim (),()x f x c c →±∞=为常数，y c =为曲线的一条水平渐近线；若无水平渐近线应进一步考虑是否存在斜渐近线：()()lim,lim [()]x x x x x x yk b f x kx x →∞→∞→+∞→+∞→-∞→-∞==-，y kx b =+为曲线的一条斜渐近线；而是否存在铅直渐近线，应看函数是否存在无定义点，且00lim ,lim x x x x y y +-→→=∞=∞，则0x x =为曲线的一条垂直渐近线．【详解】1．y x ±∞→lim 极限均不存在，故曲线不存在水平渐近线；2．1lim lim 21==∞→∞→x x x e x y ，2221212001lim()lim1lim 0u u x x u u e u xe x u x e u uu -→∞→→--=-=:， 所以曲线有斜渐近线y x =．3．在0x =处21xxe y =无定义，且1222111ln 000lim lim lim lim xxx e xx xx x x x xe ee e ++++→→→→====∞，故 0x =为铅直渐近线．故曲线21x xe y =既有铅直又有斜渐近线，应选()D ．(2)【答案】()A【详解】被积函数中含有绝对值，应当作分段函数看待，利用()f x 在1x =处左右导数定义讨论即可．32111()(1)1lim lim ()lim(1)()3(1)11x x x f x f x x x x x x x ϕϕϕ+++→→→--=⋅=++⋅=--， 32111()(1)1lim lim ()lim(1)()3(1)11x x x f x f x x x x x x x ϕϕϕ---→→→--=-⋅=-++⋅=---， 由于()f x 在1x =处可导的充分必要条件是左、右导数相等，所以.0)1()1(3)1(3=⇔-=ϕϕϕ故应选()A ．(3)【答案】()A【详解】由函数(,)f x y 在点),(00y x 处可微，知函数(,)f x y 在点),(00y x 处的两个偏导数都存在，又由二元函数极值的必要条件即得(,)f x y 在点),(00y x 处的两个偏导数都等于零． 从而有000(,)(,)(,)0y y x y x y df x y f dyy==∂==∂选项()A 正确．(4)【答案】(C)【分析】 利用相似矩阵有相同的秩计算，秩(2)A E -与秩()A E -之和等于秩(2)B E -与秩()B E -之和．【详解】因为矩阵A 相似于B ， 又1B P AP -=，所以()111222P A E P P AP P EP B E ----=-=-，于是，矩阵(2)A E -与矩阵(2)B E -相似. 同理有()111P A E P P AP P EP B E ----=-=-所以，矩阵A E -与矩阵B E -相似. 又因为相似矩阵有相同的秩，而秩(2)B E -=秩3201010102=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---，秩()B E -=秩1101000101=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--， 所以有秩(2)A E -+秩()A E -= 秩(2)B E -+秩()B E -=4，故应选(C)．(5)【答案】B【详解】本题考查独立与互斥事件之间的关系，事实上，独立与互斥事件之间没有必然的互推关系．当{}{}0,0P A P B ≠≠时，若,A B 相互独立，则一定有{}{}{}0P AB P A P B =≠，从而有AB ≠∅． 可见，当,A B 相互独立时，往往,A B 并不是互斥的．AB ≠∅推不出{}{}{}P AB P A P B =⋅， 因此推不出,A B 一定独立，排除(A);若AB =∅，则{}0P AB =，但{}{}P A P B 是否为零不确定，{}{}{}P AB P A P B ≠. 因此(C)，(D) 也不成立，故正确选项为(B)．(6)【答案】C ．【分析】本题考查正态分布的性质以及二维正态分布与一维正态分布之间的关系．只有(,)X Y 服从二维正态分布时，不相关与独立才是等价的．有结论如下：① 若X Y 与均服从正态分布且相互独立，则(,)X Y 服从二维正态分布．如果X Y 与都服从正态分布，甚至X Y 与是不相关，也并不能推出(,)X Y 服从二维正态分布．② 若X Y 与均服从正态分布且相互独立，则bY aX +服从一维正态分布． ③ 若(,)X Y 服从二维正态分布，则X Y 与相互独立⇔X Y 与不相关． 【详解】只有当(,)X Y 服从二维正态分布时，X Y 与不相关⇔X Y 与独立，本题仅仅已知X Y 与服从正态分布，因此，由它们不相关推不出X Y 与一定独立，排除(A);若X Y 与都服从正态分布且相互独立，则(,)X Y 服从二维正态分布，但题设并不知道,X Y 是否独立，可排除(B);同样要求X Y 与相互独立时，才能推出X Y +服从一维正态分布，可排除(D)．故正确选项为(C)．三【详解】为使函数()f x 在1[,1]2上连续，只需求出函数()f x 在1x =的左极限)(lim 1x f x -→，然后定义(1)f 为此极限值即可．11111lim ()lim[]sin (1)x x f x x x x πππ--→→=+-- 1111lim[]sin (1)x x x πππ-→=+--11(1)sin lim (1)sin x x xx xπππππ-→--=+- 令1u x =-，则当1x -→时，0u +→，所以1lim ()x f x -→01sin (1)lim sin (1)u u u u u πππππ+→--=+-1sin (1)lim (sin cos cos sin )u u u u u u ππππππππ+→--=+⋅⋅-⋅01sin (1)limsin u u u u uπππππ+→--=+⋅ 2201sin (1)lim u u u u ππππ+→--+等201cos (1)lim2u u uπππππ+→+-+洛 2201sin (1)lim 2u u ππππ+→-+洛110ππ+== 定义π1)1(=f ，从而有11lim ()(1)x f x f π-→==，()f x 在1x =处连续． 又()f x 在)1,21[上连续，所以()f x 在]1,21[上连续．四【详解】由复合函数[(,),(,)]z f x y x y ϕψ=的求导法则，得221()()2x y g f xy f x u x v x ⎛⎫∂- ⎪∂∂∂∂⎝⎭=+∂∂∂∂∂f f y x u v ∂∂=+∂∂ 221()()2x y g f xy f y u y v x ⎛⎫∂- ⎪∂∂∂∂⎝⎭=+∂∂∂∂∂.f f x y u v∂∂=-∂∂ 从而2222222222222222g f f f f f y y x x y x x u u v v u v v f f f f y xy x u u v v v ⎡⎤⎡⎤∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅++⋅+⋅⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂2222222222222222g f f f f f x x y y x y y u u v v u v v f f f f x xy y u u v v v⎡⎤⎡⎤∂∂∂∂∂∂=⋅-⋅--⋅-⋅⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦∂∂∂∂=-+-∂∂∂∂∂所以 222222222222222222()()()()g g f f f f x y x y x y x y u v u v∂∂∂∂∂∂+=+++=++∂∂∂∂∂∂=.22y x +五【详解】从被积函数与积分区域可以看出，应利用极坐标进行计算．作极坐标变换：设θθsin ,cos r y r x ==，有2222222()22()22222220sin()sin()sin sin sin .2xy xy DDt r r r t I e x y dxdy e e x y dxdye e d r rdr d r dr e e tdt ππππππππθθπ-+--+=---=+=+=⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰记tdt e A t sin 0⎰-=π，则000sin cos cos cos ttt t A e tdt e d t e t e tdt ππππ----⎡⎤==-=-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 0001sin 1sin sin t t t e e d t e e t e tdt πππππ-----⎡⎤=---+=+--⎢⎥⎣⎦⎰⎰=.1A e -+-π因此 )1(21π-+=e A ，).1(2)1(2πππππe e e I +=+=-六【详解】()f t 的驻点即满足()f t 的一阶导数为零的点，它是关于a 的函数．由0ln )(=-='a a a t f t ，得唯一驻点.ln ln ln 1)(aa a t -= 求()t a 的最小值，即求函数aaa t ln ln ln 1)(-=在1a >时的最小值， 22211111ln ln ln ln ln 1ln ln ln ()0(ln )(ln )(ln )a a aa a a a a a t a a a a a ⋅---'=-=-=-=得唯一驻点.e e a =当e e a >时，lnln 0,1lnln 0a a >-<，从而0)(>'a t ，这时()t a 单调递增；当e e a <时，lnln 0,1lnln 0a a <->，从而0)(<'a t ，这时()t a 单调递减. 因此当e a e =时()t a 为最小值，此时ee t e 11)(-=为极小值，也是最小值．七【分析】梯形OCMA 的面积可直接用梯形面积公式计算得到，曲边三角形CBM 的面积可用定积分计算，再由题设，梯形OCMA 的面积与曲边三角形CBM 的面积之和为3163+x ，可得一含有变限积分的等式，两边求导数，可转化为一阶线性微分方程，然后用通解公式计算即可． 【详解】由题意得1[1()]2OCMA S x f x =+，1()CBM x S f t dt =⎰ 所以 316)()](1[213+=++⎰x x dt t f x f x ． 两边关于x 求导2111[1()]()()222f x xf x f x x '++-=，即21()()2().f x xf x f x x '++-= 化简，当0≠x 时，得211()()x f x f x x x -'-=，即211.dy x y dx x x--⋅=利用一阶线性非齐次微分方程()()dyP x y Q x dx+=的通解公式 ()()()P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎛⎫⎰⎰=⋅+ ⎪⎝⎭⎰ 所以此方程为标准的一阶线性非齐次微分方程，其通解为 y]1[)(121C dx e xx ex f dx x dxx+⎰-⎰=---⎰ =]1[ln 2ln C dx e xx ex x+--⎰ =)1(22C dx xx x +-⎰ Bx=.12Cx x ++曲线过点(1,0)B ，故0f =（1），代入，故有20C +=，从而2C =-． 所以.)1(21)(22-=-+=x x x x f八【详解】(1) 在时刻t 的剩余量()y t 可用总量A 减去销量()x t 得到，即)()(t x A t y -==kt A -， ].,0[T t ∈再T 时刻将数量为A 的该商品销售完，得0A kT -=，即Ak T=．因此， ,)(t TAA t y -= ].,0[T t ∈ (2) 由于()y t 随时间连续变化，因此在时间段[0,]T 上的平均剩余量，即函数平均值可用积分⎰Tdt t y T 0)(1表示(函数()f x 在[,]a b 上的平均值记为⎰-ba dx x f ab .)(1)． 所以，)(t y 在[0,]T 上的平均值为⎰=T dt t y T y 0)(1=2-20011()()()22TT A A A T A t dt At t T T T T T T T -=-=-⎰牛莱公式=.2A 因此在时间段[0,]T 上的平均剩余量为.2A九【分析】两个向量组等价也即两个向量组可以相互线性表示；而两个向量组不等价，只需其中一组有一个向量不能由另一组线性表示即可．而线性表示问题又可转化为对应非齐次线性方程组是否有解的问题，这可通过化增广矩阵为阶梯形来判断．一个向量1β是否可由321,,ααα线性表示，只需用初等行变换化增广矩阵(1321,,βααα)为阶梯形讨论，而一组向量321,,βββ是否可由321,,ααα线性表示，则可结合起来对矩阵(321321,,,,βββααα)同时作初等行变换化阶梯形，然后类似地进行讨论即可．【详解】矩阵(321321,,,,βββααα)作初等行变换，有),,,,(321321βββαααM =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++-463232112110221111a a a a M M M (第一行乘以-1加到第三行，第二行乘以-1 加到第三行)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+--→111100112110111201a a a a M M M ． (1) 当1-≠a 时，有行列式12310a ααα=+≠，秩(3),,321=ααα，故线性方程组)3,2,1(332211==++i x x x i βααα均有唯一解． 所以321,,βββ可由向量组(I)线性表示．同样，行列式12360βββ=≠，秩(3),,321=βββ，故321,,ααα可由向量组(II)线性表示．因此向量组(I)与(II)等价．(2) 当1a =-时，有),,,,(321321βββαααM ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→202000112110111201M M M ． 由于秩(321,,ααα )≠秩(),,1321βαααM ，线性方程组1332211βααα=++x x x 无解，故向量1β不能由321,,ααα线性表示． 因此，向量组(I)与(II)不等价． 【评注1】涉及到参数讨论时，一般联想到利用行列式判断，因此，本题也可这样分析：因为行列式1,,321+=a ααα，06,,321≠=βββ，可见(1) 当1-≠a 时，秩3),,(),,(321321==βββαααr r ，因此三维列向量组321,,ααα与321,,βββ等价，即向量组(I)与(II)等价．(2) 当1a =-时，秩2),,(321=αααr ，而行列式04,,132≠=βαα，可见2),,(321=αααr ≠1231(,,,)r αααβ =3， 因此线性方程组1332211βααα=++x x x 无解，故向量1β不能由321,,ααα线性表示． 即向量组(I)与(II)不等价．【评注2】 向量组(I)与(II)等价，相当于321,,ααα与321,,βββ均为整个向量组321321,,,,,βββααα的一个极大线性无关组，问题转化为求向量组321321,,,,,βββααα的极大线性无关组，这可通过初等行变换化阶梯形进行讨论．十【分析】 题设已知特征向量，应想到利用定义：λαα=*A . 又与伴随矩阵*A 相关的问题，应利用E A AA =*进行化简．【详解】 矩阵*A 属于特征值λ的特征向量为α，由于矩阵A 可逆，故*A 可逆．于是0≠λ，0≠A ，且λαα=*A ．两边同时左乘矩阵A ，得αλαA AA =*⇒αλαAA =，即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111111121112b A b a λ，由此，得方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=+.1,22,3λλλA b a b A b A b )3()2()1(由式(1)，(2)解得1=b 或2-=b ；由式(1)，(3)解得 2.a =因此42311121112=-==a aA ，根据(1)式知，特征向量α所对应的特征值.343bbA +=+=λ 所以，当1=b 时，1=λ；当2-=b 时，.4=λ【评注】本题若先求出*A ，再按特征值、特征向量的定义进行分析，则计算过程将非常复杂．一般来说，见到*A ，首先应想到利用公式E A AA =*进行化简．十一【分析】先求出分布函数()F x 的具体形式，从而可确定()Y F X = ，然后按定义求Y 的分布函数即可．注意应先确定()Y F x =的值域范围)1)(0(≤≤X F ，再对y 分段讨论．【详解】易见，当1x <时，()0F x =; 当8x >时，()1F x =．对于]8,1[∈x ，有.131)(3132-==⎰x dt t x F x设()G y 是随机变量()Y F x =的分布函数． 显然，当0<y 时，()G y =0；当1≥y 时，()G y =1． 对于)1,0[∈y ，有})({}{)(y X F P y Y P y G ≤=≤=31}{(1)}P y P X y =≤=≤+3[(1)].F y y =+=于是，()Y F x =的分布函数为0,0,(),01,1, 1.y G y y y y <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩若若若十二【分析】A 和B 独立的充要条件是{}{}{}P AB P A P B =⋅，由此可以直接证明问题(1)；对于问题(2)，应先构造随机变量，不难看出与事件A 和A 联系的应是随机变量1, ,0, .A X A ⎧=⎨⎩若出现若不出现 随机变量X 和Y 的相关系数为XY E XY E X E Y ρ-==，需将P AB P A P B ρ-=转化为用随机变量表示. 显然，若有(){}E XY P AB =，(){}(){},E X P AE Y P B ==以及=，=即可，这只需定义1,,0, .A X A ⎧=⎨⎩ 若出现若不出现 1,0, .B Y B ⎧=⎨⎩若出现,若不出现 【详解】 (1) 由题给ρ的定义，可见0=ρ当且仅当{}{}{}0P AB P A P B ==，而这恰好是二事件A 和B 独立的定义，即0=ρ是A 和B 独立的充分必要条件．(2) 考虑随机变量X 和Y :1,0,A X A ⎧=⎨⎩若出现若不出现 1,0,B Y B ⎧=⎨⎩若出现若不出现由条件知，X 和Y 都服从01-分布：{}{}01~X P A P A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，{}{}01~.Y P B P B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 由离散型随机变量的数字特征，(){}1ni i i i E X x P X x ==⋅=∑，()()()22D X E X EX =-易见 (){}E X P A =，(){}E Y P B =；(){}{}D X P A P A =， (){}{}D Y P B P B =; 由协方差的定义()()(){}{}{}(,).Cov X Y E XY E X E Y P AB P A P B =-=-因此，事件A 和B 的相关系数就是随机变量X 和Y 的相关系数．于是由二随机变量相关系数的基本性质1ρ≤，所以题目中定义的 .1≤ρ。
2019考研数学三(试题与解析)
C.
D.
，有
可得 ，
；
.
若要
由 3 个不同的实根，则必须满足：
，即
，则
.
3. 已知微分方程 次为（ ）
A. 1，0，1
B.1，0，2
的通解为
，则
依
C. 2，1，3
D. 2，1，4
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【解析】D
由题设条件可得：
①
为
方程
的两个解，即
有重根-1，则
.
②为
的特解，即为
.
,求
，并求 的极值.
， ；
；故
，令
可得
，
-
0
+
不存在
-
0
+
极小值
极大值
极小值
于是由 的极小值为
，极大值为
.
16. 已知
具有 2 阶连续偏导数，且
，求
【解析】
，
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故
.
17. 已知 满足微分方程
，且有
.
（1）求 ；
（2） 转体体积.
，求平面区域 绕 轴旋转一周成的旋
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2019 全国硕士研究生入学统一考试
一、选择题
1. 当
时，
A. 1
C. 3
【解析】C
数学（三）试题
与 是同阶无穷小，则 =（ ） B. 2 D. 4
由于
，则可得
2. 已知方程
A.
B.
【解析】D
令 ，当
则可得：极大值为
极小值为
1978-2019年全国硕士研究生入学统一考试(数学一)真题及部分答案
历年考研数学一真题1987-20191987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)当x =_____________时,函数2x y x =⋅取得极小值. (2)由曲线ln y x=与两直线e 1y x=+-及y =所围成的平面图形的面积是_____________.1x =(3)与两直线 1y t =-+2z t =+及121111x y z +++==都平行且过原点的平面方程为_____________.(4)设L 为取正向的圆周229,x y +=则曲线积分2(22)(4)L xy y dx x x dy -+-⎰= _____________. (5)已知三维向量空间的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),===ααα则向量(2,0,0)=β在此基底下的坐标是_____________.二、(本题满分8分)求正的常数a 与,b 使等式201lim 1sin x x bx x →=-⎰成立.三、(本题满分7分) (1)设f 、g 为连续可微函数,(,),(),u f x xy v g x xy ==+求,.u v x x∂∂∂∂ (2)设矩阵A 和B 满足关系式2,+AB =A B 其中301110,014⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 求矩阵.B四、(本题满分8分)求微分方程26(9)1y y a y ''''''+++=的通解,其中常数0.a >五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设2()()lim1,()x af x f a x a →-=--则在x a =处 (A)()f x 的导数存在,且()0f a '≠ (B)()f x 取得极大值 (C)()f x 取得极小值 (D)()f x 的导数不存在 (2)设()f x 为已知连续函数0,(),s t I t f tx dx =⎰其中0,0,t s >>则I 的值(A)依赖于s 和t (B)依赖于s 、t 和x (C)依赖于t 、x ,不依赖于s (D)依赖于s ,不依赖于t (3)设常数0,k >则级数21(1)n n k n n∞=+-∑(A)发散 (B)绝对收敛 (C)条件收敛 (D)散敛性与k 的取值有关 (4)设A 为n 阶方阵，且A 的行列式||0,a =≠A 而*A 是A 的伴随矩阵，则*||A 等于(A)a (B)1a(C)1n a - (D)na六、（本题满分10分） 求幂级数1112n nn x n ∞-=∑的收敛域，并求其和函数.七、（本题满分10分） 求曲面积分2(81)2(1)4,I x y dydz y dzdx yzdxdy ∑=++--⎰⎰其中∑是由曲线13()0z y f x x ⎧=≤≤⎪=⎨=⎪⎩绕y 轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y 轴正向的夹角恒大于.2π八、（本题满分10分）设函数()f x 在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个,x 函数()f x 的值都在开区间(0,1)内,且()f x '≠1,证明在(0,1)内有且仅有一个,x 使得().f x x =九、（本题满分8分） 问,a b 为何值时,现线性方程组123423423412340221(3)2321x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=++=-+--=+++=-有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设在一次实验中,事件A 发生的概率为,p 现进行n 次独立试验,则A 至少发生一次的概率为____________;而事件A 至多发生一次的概率为____________.(2)有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球, 第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为____________.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________. (3)已知连续随机变量X 的概率密度函数为221(),xx f x-+-=则X 的数学期望为____________,X 的方差为____________.十一、（本题满分6分）设随机变量,X Y 相互独立,其概率密度函数分别为()X f x = 1001x ≤≤其它,()Y f y = e 0y - 00y y >≤, 求2Z X Y =+的概率密度函数.1988年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求幂级数1(3)3nnn x n ∞=-∑的收敛域. (2)设2()e ,[()]1x f x f x x ϕ==-且()0x ϕ≥,求()x ϕ及其定义域.(3)设∑为曲面2221x y z ++=的外侧,计算曲面积分333.I x dydz y dzdx z dxdy ∑=++⎰⎰二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上)(1)若21()lim (1),tx x f t t x→∞=+则()f t '= _____________.(2)设()f x 连续且31(),x f t dt x -=⎰则(7)f =_____________. (3)设周期为2的周期函数,它在区间(1,1]-上定义为()f x =22x1001x x -<≤<≤,则的傅里叶()Fourier 级数在1x =处收敛于_____________.(4)设4阶矩阵234234[,,,],[,,,],==A αγγγB βγγγ其中234,,,,αβγγγ均为4维列向量,且已知行列式4,1,==A B 则行列式+A B = _____________.三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设()f x 可导且01(),2f x '=则0x ∆→时,()f x 在0x 处的微分dy 是(A)与x ∆等价的无穷小 (B)与x∆同阶的无穷小(C)比x ∆低阶的无穷小 (D)比x ∆高阶的无穷小 (2)设()y f x =是方程240y y y '''-+=的一个解且00()0,()0,f x f x '>=则函数()f x 在点0x 处(A)取得极大值 (B)取得极小值(C)某邻域内单调增加 (D)某邻域内单调减少 (3)设空间区域2222222212:,0,:,0,0,0,x y z R z x y z R x y z Ω++≤≥Ω++≤≥≥≥则(A)124xdv dv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(B)124ydv ydv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(C)124zdv zdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(D)124xyzdv xyzdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4)设幂级数1(1)n n n a x ∞=-∑在1x =-处收敛,则此级数在2x =处(A)条件收敛 (B)绝对收敛(C)发散 (D)收敛性不能确定(5)n 维向量组12,,,(3)s s n ≤≤ααα线性无关的充要条件是(A)存在一组不全为零的数12,,,,s k k k 使11220s s k k k +++≠ααα(B)12,,,s ααα中任意两个向量均线性无关(C)12,,,s ααα中存在一个向量不能用其余向量线性表示(D)12,,,s ααα中存在一个向量都不能用其余向量线性表示四、(本题满分6分)设()(),x y u yf xg yx=+其中函数f 、g 具有二阶连续导数,求222.u u x y x x y∂∂+∂∂∂五、(本题满分8分)设函数()y y x =满足微分方程322e ,x y y y '''-+=其图形在点(0,1)处的切线与曲线21y x x =--在该点处的切线重合,求函数().y y x =六、（本题满分9分）设位于点(0,1)的质点A 对质点M 的引力大小为2(0kk r>为常数,r 为A 质点与M 之间的距离),质点M 沿直线y =(2,0)B 运动到(0,0),O 求在此运动过程中质点A 对质点M 的引力所作的功.七、（本题满分6分）已知,=AP BP 其中100100000,210,001211⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦B P 求5,.A A八、（本题满分8分）已知矩阵20000101x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 与20000001y ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B 相似. (1)求x 与.y (2)求一个满足1-=PAP B的可逆阵.P九、（本题满分9分）设函数()f x 在区间[,]a b 上连续,且在(,)a b 内有()0,f x '>证明:在(,)a b 内存在唯一的,ξ使曲线()y f x =与两直线(),y f x a ξ==所围平面图形面积1S 是曲线()y f x =与两直线(),y f x b ξ==所围平面图形面积2S 的3倍.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设在三次独立试验中,事件A 出现的概率相等,若已知A 至少出现一次的概率等于19,27则事件A 在一次试验中出现的概率是____________.(2)若在区间(0,1)内任取两个数,则事件”两数之和小于65”的概率为____________.(3)设随机变量X 服从均值为10,均方差为0.02的正态分布,已知22(),(2.5)0.9938,u xx du φφ-==⎰则X 落在区间(9.95,10.05)内的概率为____________.十一、（本题满分6分） 设随机变量X 的概率密度函数为21(),(1)X f x x π=-求随机变量1Y =的概率密度函数().Y f y1989年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim2h f h f h→--= _____________. (2)设()f x 是连续函数,且10()2(),f x x f t dt =+⎰则()f x =_____________.(3)设平面曲线L为下半圆周y =则曲线积分22()Lxy ds +⎰=_____________.(4)向量场div u在点(1,1,0)P 处的散度div u =_____________.(5)设矩阵300100140,010,003001⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A I 则矩阵1(2)--A I =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)当0x >时,曲线1sin y x x=(A)有且仅有水平渐近线 (B)有且仅有铅直渐近线(C)既有水平渐近线,又有铅直渐近线 (D)既无水平渐近线,又无铅直渐近线(2)已知曲面224z x y =--上点P 处的切平面平行于平面2210,x y z ++-=则点的坐标是(A)(1,1,2)- (B)(1,1,2)-(C)(1,1,2) (D)(1,1,2)-- (3)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数,则该非齐次方程的通解是(A)11223c y c y y ++ (B)1122123()c y c y c c y +-+(C)1122123(1)c y c y c c y +--- (D)1122123(1)c y c y c c y ++--(4)设函数2(),01,f x x x =≤<而1()sin ,,n n S x b n x x π∞==-∞<<+∞∑其中12()sin ,1,2,3,,n b f x n xdx n π==⎰则1()2S -等于(A)12- (B)14-(C)14(D)12(5)设A 是n 阶矩阵,且A 的行列式0,=A 则A 中 (A)必有一列元素全为0 (B)必有两列元素对应成比例(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合 (D)任一列向量是其余列向量的线性组合三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) (1)设(2)(,),z f x y g x xy =-+其中函数()f t 二阶可导,(,)g u v 具有连续二阶偏导数,求2.zx y∂∂∂ (2)设曲线积分2()c xy dx y x dy ϕ+⎰与路径无关,其中()x ϕ具有连续的导数,且(0)0,ϕ=计算(1,1)2(0,0)()xy dx y x dy ϕ+⎰的值.(3)计算三重积分(),x z dv Ω+⎰⎰⎰其中Ω是由曲面z =与z =所围成的区域.四、(本题满分6分)将函数1()arctan 1x f x x+=-展为x 的幂级数.五、(本题满分7分)设0()sin ()(),xf x x x t f t dt =--⎰其中f 为连续函数,求().f x六、（本题满分7分）证明方程0ln exx π=-⎰在区间(0,)+∞内有且仅有两个不同实根.七、（本题满分6分）问λ为何值时,线性方程组13x x λ+= 123422x x x λ++=+ 1236423x x x λ++=+有解,并求出解的一般形式. 八、（本题满分8分）假设λ为n 阶可逆矩阵A 的一个特征值,证明 (1)1λ为1-A 的特征值.(2)λA为A 的伴随矩阵*A 的特征值.九、（本题满分9分）设半径为R 的球面∑的球心在定球面2222(0)x y z a a ++=>上,问当R 为何值时,球面∑在定球面内部的那部分的面积最大?十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知随机事件A 的概率()0.5,P A =随机事件B 的概率()0.6P B =及条件概率(|)0.8,P B A =则和事件AB的概率()P AB =____________.(2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为____________.(3)若随机变量ξ在(1,6)上服从均匀分布,则方程210x x ξ++=有实根的概率是____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 与Y 独立,且X 服从均值为1、标准差(均方差)的正态分布,而Y 服从标准正态分布.试求随机变量23Z X Y =-+的概率密度函数.1990年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)2x t =-+(1)过点(1,21)M -且与直线 34y t =-垂直的平面方程是_____________.1z t =-(2)设a 为非零常数,则lim()x x x a x a→∞+-=_____________.(3)设函数()f x =111x x ≤>,则[()]f f x =_____________.(4)积分2220e y x dx dy -⎰⎰的值等于_____________. (5)已知向量组1234(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(4,5,6,7),====αααα则该向量组的秩是_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 是连续函数,且e ()(),xx F x f t dt -=⎰则()F x '等于(A)e (e )()x x f f x ---- (B)e (e )()x x f f x ---+(C)e (e )()x x f f x ---(D)e (e )()x x f f x --+ (2)已知函数()f x 具有任意阶导数,且2()[()],f x f x '=则当n 为大于2的正整数时,()f x 的n 阶导数()()n f x 是(A)1![()]n n f x + (B)1[()]n n f x +(C)2[()]n f x(D)2![()]n n f x(3)设a 为常数,则级数21sin()[n na n∞=∑ (A)绝对收敛 (B)条件收敛(C)发散 (D)收敛性与a 的取值有关 (4)已知()f x 在0x =的某个邻域内连续,且0()(0)0,lim2,1cos x f x f x→==-则在点0x =处()f x (A)不可导 (B)可导,且(0)0f '≠(C)取得极大值 (D)取得极小值(5)已知1β、2β是非齐次线性方程组=AX b 的两个不同的解1,α、2α是对应其次线性方程组=AX 0的基础解析1,k 、2k 为任意常数,则方程组=AX b 的通解(一般解)必是(A)1211212()2k k -+++ββααα(B)1211212()2k k ++-+ββααα (C)1211212()2k k -+++ββαββ(D)1211212()2k k ++-+ββαββ三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求120ln(1).(2)x dx x +-⎰(2)设(2,sin ),z f x y y x =-其中(,)f u v 具有连续的二阶偏导数,求2.zx y∂∂∂(3)求微分方程244e x y y y -'''++=的通解(一般解).四、(本题满分6分)求幂级数0(21)n n n x ∞=+∑的收敛域,并求其和函数.五、(本题满分8分) 求曲面积分2SI yzdzdx dxdy =+⎰⎰其中S 是球面2224x y z ++=外侧在0z ≥的部分.六、（本题满分7分）设不恒为常数的函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,在开区间(,)a b 内可导,且()().f a f b =证明在(,)a b 内至少存在一点,ξ使得()0.f ξ'>七、（本题满分6分） 设四阶矩阵1100213401100213,0011002100010002-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦B C 且矩阵A 满足关系式1()-''-=A E C B C E其中E 为四阶单位矩阵1,-C 表示C 的逆矩阵,'C 表示C 的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵.A八、（本题满分8分）求一个正交变换化二次型22212312132344448f x x x x x x x x x =++-+-成标准型.九、（本题满分8分）质点P 沿着以AB 为直径的半圆周,从点(1,2)A 运动到点(3,4)B 的过程中受变力F 作用(见图).F 的大小等于点P 与原点O 之间的距离,其方向垂直于线段OP 且与y 轴正向的夹角小于.2π求变力F 对质点P 所作的功.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知随机变量X 的概率密度函数1()e ,2xf x x -=-∞<<+∞ 则X 的概率分布函数()F x =____________.(2)设随机事件A 、B 及其和事件的概率分别是0.4、0.3和0.6,若B 表示B 的对立事件,那么积事件AB 的概率()P AB =____________.(3)已知离散型随机变量X 服从参数为2的泊松()Poisson 分布,即22e {},0,1,2,,!k P X k k k -===则随机变量32Z X =-的数学期望()E Z =____________.十一、（本题满分6分）设二维随机变量(,)X Y 在区域:01,D x y x <<<内服从均匀分布,求关于X 的边缘概率密度函数及随机变量21Z X =+的方差().D Z1991年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设 21cos x t y t=+=,则22d ydx =_____________.(2)由方程xyz +=所确定的函数(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分dz =_____________.(3)已知两条直线的方程是1212321:;:.101211x y z x y zl l ---+-====-则过1l 且平行于2l 的平面方程是_____________.(4)已知当0x →时123,(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,则常数a =_____________.(5)设4阶方阵52002100,00120011⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A 则A的逆阵1-A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)曲线221e 1ex x y --+=-(A)没有渐近线 (B)仅有水平渐近线(C)仅有铅直渐近线 (D)既有水平渐近线又有铅直渐近线 (2)若连续函数()f x 满足关系式20()()ln 2,2tf x f dt π=+⎰则()f x 等于(A)e ln 2x(B)2e ln 2x(C)eln 2x+(D)2eln 2x+(3)已知级数12111(1)2,5,n n n n n a a ∞∞--==-==∑∑则级数1n n a ∞=∑等于(A)3 (B)7 (C)8 (D)9 (4)设D 是平面xoy 上以(1,1)、(1,1)-和(1,1)--为顶点的三角形区域1,D 是D 在第一象限的部分,则(cos sin )Dxy x y dxdy +⎰⎰等于(A)12cos sin D x ydxdy ⎰⎰ (B)12D xydxdy ⎰⎰(C)14(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰ (D)0(5)设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式,=ABC E 其中E 是n 阶单位阵,则必有(A)=ACB E (B)=CBA E(C)=BAC E (D)=BCA E三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) (1)求20lim ).x π+→(2)设n 是曲面222236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的指向外侧的法向量,求函数u =在点P 处沿方向n 的方向导数.(3)22(),x y z dv Ω++⎰⎰⎰其中Ω是由曲线 220yz x ==绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z =所围城的立体.四、(本题满分6分)过点(0,0)O 和(,0)A π的曲线族sin (0)y a x a =>中,求一条曲线,L 使沿该曲线O 从到A 的积分3(1)(2)Ly dx x y dy +++⎰的值最小.五、(本题满分8分)将函数()2(11)f x x x =+-≤≤展开成以2为周期的傅里叶级数,并由此求级数211n n∞=∑的和.六、（本题满分7分） 设函数()f x 在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且1233()(0),f x dx f =⎰证明在(0,1)内存在一点,c 使()0.f c '=七、（本题满分8分） 已知1234(1,0,2,3),(1,1,3,5),(1,1,2,1),(1,2,4,8)a a ===-+=+αααα及(1,1,3,5).b =+β(1)a 、b 为何值时,β不能表示成1234,,,αααα的线性组合?(2)a 、b 为何值时,β有1234,,,αααα的唯一的线性表示式?写出该表示式.八、（本题满分6分）设A 是n 阶正定阵,E 是n 阶单位阵,证明+A E 的行列式大于1.九、（本题满分8分）在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点(,)P x y 处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ 长度的倒数(Q是法线与x 轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x 轴平行.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)若随机变量X 服从均值为2、方差为2σ的正态分布,且{24}0.3,P X <<=则{0}P X <=____________.(2)随机地向半圆0y a <<为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为____________.十一、（本题满分6分）设二维随机变量(,)X Y 的密度函数为(,)f x y =(2)2e 0,00 x y x y -+>>其它求随机变量2Z X Y =+的分布函数.1992年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)设函数()y y x =由方程e cos()0x yxy ++=确定,则dydx=_____________.(2)函数222ln()u x y z =++在点(1,2,2)M -处的梯度grad Mu=_____________.(3)设()f x =211x-+ 00x x ππ-<≤<≤,则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π处收敛于_____________. (4)微分方程tan cos y y x x'+=的通解为y=_____________.(5)设111212121212,n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 其中0,0,(1,2,,).i i a b i n ≠≠=则矩阵A的秩()r A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)当1x →时,函数1211e 1x x x ---的极限(A)等于2 (B)等于0 (C)为∞ (D)不存在但不为∞(2)级数1(1)(1cos )(n n a n∞=--∑常数0)a >(A)发散 (B)条件收敛(C)绝对收敛 (D)收敛性与a 有关(3)在曲线23,,x t y t z t ==-=的所有切线中,与平面24x y z ++=平行的切线(A)只有1条 (B)只有2条(C)至少有3条 (D)不存在(4)设32()3,f x x x x =+则使()(0)n f 存在的最高阶数n 为 (A)0 (B)1(C)2 (D)3(5)要使12100,121⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ξξ都是线性方程组=AX 0的解,只要系数矩阵A 为(A)[]212- (B)201011-⎡⎤⎢⎥⎣⎦(C)102011-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦(D)011422011-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) (1)求x x →(2)设22(e sin ,),x z f y x y =+其中f 具有二阶连续偏导数,求2.zx y∂∂∂ (3)设()f x = 21exx -+ 00x x ≤>,求31(2).f x dx -⎰四、(本题满分6分)求微分方程323e x y y y -'''+-=的通解.五、(本题满分8分) 计算曲面积分323232()()(),xaz dydz y ax dzdx z ay dxdy ∑+++++⎰⎰其中∑为上半球面z =.六、（本题满分7分） 设()0,(0)0,f x f ''<=证明对任何120,0,x x >>有1212()()().f x x f x f x +<+七、（本题满分8分） 在变力F yzizxj xyk=++的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面2222221x y z a b c++=上第一卦限的点(,,),M ξηζ问当ξ、η、ζ取何值时,力F 所做的功W 最大?并求出W 的最大值.八、（本题满分7分）设向量组123,,ααα线性相关,向量组234,,ααα线性无关,问:(1)1α能否由23,αα线性表出?证明你的结论. (2)4α能否由123,,ααα线性表出?证明你的结论.九、（本题满分7分）设3阶矩阵A 的特征值为1231,2,3,λλλ===对应的特征向量依次为1231111,2,3,149⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ξξξ又向量12.3⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭β (1)将β用123,,ξξξ线性表出. (2)求(n n A β为自然数).十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上) (1)已知11()()(),()0,()(),46P A P B P C P AB P AC P BC ======则事件A、B 、C 全不发生的概率为____________.(2)设随机变量X 服从参数为1的指数分布,则数学期望2{e }X E X -+=____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 与Y 独立,X 服从正态分布2(,),N Y μσ服从[,]ππ-上的均匀分布,试求Z X Y =+的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数Φ表示,其中22()e)t xx dt --∞Φ=.1993年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)函数1()(2(0)x F x dt x =->⎰的单调减少区间为_____________.(2)2232120x y z +==绕y 轴旋转一周得到的旋转面在点处的指向外侧的单位法向量为_____________.(3)设函数2()()f x x x x πππ=+-<<的傅里叶级数展开式为1(cos sin ),2n n n a a nx b nx ∞=++∑则其中系数3b 的值为_____________. (4)设数量场u =则div(grad )u =_____________.(5)设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零,且A 的秩为1,n -则线性方程组=AX 0的通解为_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设sin 2340()sin(),(),xf x t dtg x x x ==+⎰则当0x →时,()f x 是()g x 的(A)等价无穷小 (B)同价但非等价的无穷小(C)高阶无穷小 (D)低价无穷小(2)双纽线22222()x y x y +=-所围成的区域面积可用定积分表示为(A)402cos 2d πθθ⎰ (B)404cos 2d πθθ⎰(C)2θ(D)2401(cos 2)2d πθθ⎰(3)设有直线1158:121x y z l --+==-与2:l 623x y y z -=+=则1l 与2l 的夹角为(A)6π(B)4π(C)3π(D)2π(4)设曲线积分[()e ]sin ()cos xL f t ydx f x ydy --⎰与路径无关,其中()f x 具有一阶连续导数,且(0)0,f =则()f x 等于(A)e e 2x x--(B)e e 2x x--(C)e e 12x x-+-(D)e e 12x x-+-(5)已知12324,369t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Q P 为三阶非零矩阵,且满足0,=PQ 则(A)6t =时P 的秩必为1 (B)6t =时P的秩必为2(C)6t ≠时P 的秩必为1 (D)6t ≠时P的秩必为2三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求21lim(sin cos ).x x x x→∞+(2)求.x(3)求微分方程22,x y xy y '+=满足初始条件11x y ==的特解.四、(本题满分6分)计算22,xzdydz yzdzdx z dxdy ∑+-⎰⎰其中∑是由曲面z =与z =所围立体的表面外侧.五、(本题满分7分)求级数20(1)(1)2n nn n n ∞=--+∑的和.六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分) (1)设在[0,)+∞上函数()f x 有连续导数,且()0,(0)0,f x k f '≥><证明()f x 在(0,)+∞内有且仅有一个零点.(2)设,b a e >>证明.ba ab >七、（本题满分8分） 已知二次型22212312323(,,)2332(0)f x x x x x x ax x a =+++>通过正交变换化成标准形22212325,f y y y =++求参数a 及所用的正交变换矩阵.八、（本题满分6分）设A 是n m ⨯矩阵,B 是m n ⨯矩阵,其中,n m <I 是n 阶单位矩阵,若,=AB I 证明B 的列向量组线性无关.九、（本题满分6分）设物体A 从点(0,1)出发,以速度大小为常数v 沿y 轴正向运动.物体B 从点(1,0)-与A 同时出发,其速度大小为2,v 方向始终指向,A 试建立物体B 的运动轨迹所满足的微分方程,并写出初始条件.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为____________.(2)设随机变量X 服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量2Y X =在(0,4)内的概率分布密度()Y f y =____________.十一、（本题满分6分） 设随机变量X的概率分布密度为1()e ,.2xf x x -=-∞<<+∞ (1)求X 的数学期望EX 和方差.DX(2)求X 与X 的协方差,并问X 与X 是否不相关? (3)问X 与X 是否相互独立?为什么?1994年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)011lim cot ()sin x x xπ→-= _____________.(2)曲面e 23x z xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________. (3)设e sin ,xxu y-=则2u x y ∂∂∂在点1(2,)π处的值为_____________.(4)设区域D为222,x y R +≤则2222()Dx y dxdy a b +⎰⎰=_____________. (5)已知11[1,2,3],[1,,],23==αβ设,'=A αβ其中'α是α的转置,则nA =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设4342342222222sin cos ,(sin cos ),(sin cos ),1x M xdx N x x dx P x x x dx x ππππππ---==+=-+⎰⎰⎰则有(A)N P M << (B)MP N<<(C)N MP <<(D)P MN<<(2)二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数00(,)x f x y '、00(,)y f x y '存在是(,)f x y 在该点连续的(A)充分条件而非必要条件 (B)必要条件而非充分条件(C)充分必要条件 (D)既非充分条件又非必要条件(3)设常数0,λ>且级数21n n a ∞=∑收敛,则级数1(1)nn ∞=-∑(A)发散 (B)条件收敛(C)绝对收敛 (D)收敛性与λ有关 (4)2tan (1cos )lim2,ln(12)(1)x x a x b x c x d e-→+-=-+-其中220,a c +≠则必有(A)4b d = (B)4b d =- (C)4a c = (D)4a c =- (5)已知向量组1234,,,αααα线性无关,则向量组1994年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)011lim cot ()sin x x xπ→-= _____________.(2)曲面e 23x z xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________. (3)设e sin ,xxu y-=则2u x y ∂∂∂在点1(2,)π处的值为_____________. (4)设区域D为222,x y R +≤则2222()Dx y dxdy a b +⎰⎰=_____________. (5)已知11[1,2,3],[1,,],23==αβ设,'=A αβ其中'α是α的转置,则nA =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设4342342222222sin cos ,(sin cos ),(sin cos ),1x M xdx N x x dx P x x x dx x ππππππ---==+=-+⎰⎰⎰则有(A)N P M << (B)MP N<<(C)N MP <<(D)P MN<<(2)二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数00(,)x f x y '、00(,)y f x y '存在是(,)f x y 在该点连续的(A)充分条件而非必要条件 (B)必要条件而非充分条件(C)充分必要条件 (D)既非充分条件又非必要条件 (3)设常数0,λ>且级数21n n a ∞=∑收敛,则级数1(1)nn ∞=-∑(A)发散 (B)条件收敛(C)绝对收敛 (D)收敛性与λ有关 (4)2tan (1cos )lim2,ln(12)(1)x x a x b x c x d e -→+-=-+-其中220,a c +≠则必有(A)4b d = (B)4b d =-(C)4a c = (D)4a c =- (5)已知向量组1234,,,αααα线性无关,则向量组 (A)12233441,,,++++αααααααα线性无关 (B)12233441,,,----αααααααα线性无关 (C)12233441,,,+++-αααααααα线性无关 (D)12233441,,,++--αααααααα线性无关三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)设 2221cos()cos()tx t y t t udu ==-⎰,求dy dx 、22d y dx在t =的值.(2)将函数111()ln arctan 412x f x x x x +=+--展开成x 的幂级数.(3)求.sin(2)2sin dxx x+⎰四、(本题满分6分)计算曲面积分2222,Sxdydz z dxdyx y z +++⎰⎰其中S是由曲面222x y R +=及,(0)z R z R R ==->两平面所围成立体表面的外侧.五、(本题满分9分) 设()f x 具有二阶连续函数,(0)0,(0)1,f f '==且2[()()][()]0xy x y f x y dx f x x y dy '+-++=为一全微分方程,求()f x 及此全微分方程的通解.六、(本题满分8分)设()f x 在点0x =的某一邻域内具有二阶连续导数,且()lim0,x f x x →=证明级数11()n f n ∞=∑绝对收敛.七、（本题满分6分）已知点A 与B 的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB绕x 轴旋转一周所成的旋转曲面为.S 求由S 及两平面0,1z z ==所围成的立体体积.八、（本题满分8分）设四元线性齐次方程组(Ⅰ)为122400x x x x +=-=,又已知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解为12(0,1,1,0)(1,2,2,1).k k +-(1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解析.(2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.九、（本题满分6分）设A 为n 阶非零方阵*,A 是A 的伴随矩阵,'A 是A 的转置矩阵,当*'=AA 时,证明0.≠A十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知A 、B 两个事件满足条件()(),P AB P AB =且(),P A p =则()P B =____________.(2)设相互独立的两个随机变量,X Y 具有同一分布率,且X 的分布率为则随机变量max{,}Z X Y =的分布率为____________.十一、（本题满分6分） 设随机变量X和Y 分别服从正态分布2(1,3)N 和2(0,4),N 且X 与Y 的相关系数1,2xy ρ=-设,32X Y Z =+(1)求Z 的数学期望EZ 和DZ 方差. (2)求X 与Z 的相关系数.xz ρ (3)问X 与Y 是否相互独立?为什么?1995年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)2sin 0lim(13)xx x →+=_____________.(2)202cos x d x t dt dx ⎰= _____________.(3)设()2,⨯=a b c 则[()()]()+⨯++a b b c c a =_____________.(4)幂级数2112(3)n n nn nx ∞-=+-∑的收敛半径R=_____________.(5)设三阶方阵,A B 满足关系式16,-=+A BA A BA 且100310,41007⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 则B =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设有直线:L321021030x y z x y z +++=--+=,及平面:4220,x y z π-+-=则直线L(A)平行于π (B)在π上(C)垂直于π (D)与π斜交(2)设在[0,1]上()0,f x ''>则(0),(1),(1)(0)f f f f ''-或(0)(1)f f -的大小顺序是(A)(1)(0)(1)(0)f f f f ''>>-(B)(1)(1)(0)(0)f f f f ''>->(C)(1)(0)(1)(0)f f f f ''->>(D)(1)(0)(1)(0)f f f f ''>->(3)设()f x 可导,()()(1sin ),F x f x x =+则(0)0f =是()F x 在0x =处可导的(A)充分必要条件 (B)充分条件但非必要条件(C)必要条件但非充分条件 (D)既非充分条件又非必要条件 (4)设(1)ln(1n n u =-则级数 (A)1n n u ∞=∑与21nn u ∞=∑都收敛 (B)1n n u ∞=∑与21nn u ∞=∑都发散(C)1n n u ∞=∑收敛,而21nn u ∞=∑发散 (D)1n n u ∞=∑收敛,而21nn u ∞=∑发散(5)设11121311121321222321222312313233313233010100,,100,010,001101a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A B P P 则必有(A)12AP P =B (B)21AP P =B (C)12P P A =B (D)21P P A =B三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分) (1)设2(,,),(,e ,)0,sin ,y u f x y z x z y x ϕ===其中,f ϕ都具有一阶连续偏导数,且0.zϕ∂≠∂求.du dx(2)设函数()f x 在区间[0,1]上连续,并设1(),f x dx A =⎰求110()().x dx f x f y dy ⎰⎰四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分) (1)计算曲面积分,zdS ∑⎰⎰其中∑为锥面z =在柱体222x y x +≤内的部分.(2)将函数()1(02)f x x x =-≤≤展开成周期为4的余弦函数.五、(本题满分7分)设曲线L 位于平面xOy 的第一象限内,L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交,交点记为.A 已知,MA OA =且L 过点33(,),22求L 的方程.六、(本题满分8分)设函数(,)Q x y 在平面xOy 上具有一阶连续偏导数,曲线积分2(,)L xydx Q x y dy +⎰与路径无关,并且对任意t 恒有(,1)(1,)(0,0)(0,0)2(,)2(,),t t xydx Q x y dy xydx Q x y dy +=+⎰⎰求(,).Q x y七、（本题满分8分） 假设函数()f x 和()g x 在[,]a b 上存在二阶导数,并且()0,()()()()0,g x f a f b g a g b ''≠====试证:(1)在开区间(,)a b 内()0.g x ≠(2)在开区间(,)a b 内至少存在一点,ξ使()().()()f fg g ξξξξ''=''八、（本题满分7分）设三阶实对称矩阵A 的特征值为1231,1,λλλ=-==对应于1λ的特征向量为101,1⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ξ求.A九、（本题满分6分）设A 为n 阶矩阵,满足('=AA I I 是n 阶单位矩阵,'A 是A 的转置矩阵),0,<A 求.+A I十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4,则2X 的数学期望2()E X =____________.(2)设X 和Y 为两个随机变量,且34{0,0},{0}{0},77P X Y P X P Y ≥≥=≥=≥= 则{max(,)0}P X Y ≥=____________.十一、（本题满分6分） 设随机变量X 的概率密度为()X f x = e 0x- 00x x ≥<,求随机变量e XY =的概率密度().Y f y1996年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)设2lim()8,x x x a x a →∞+=-则a =_____________.(2)设一平面经过原点及点(6,3,2),-且与平面428x y z -+=垂直,则此平面方程为_____________.(3)微分方程22e x y y y '''-+=的通解为_____________. (4)函数ln(u x =在点(1,0,1)A 处沿点A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数为_____________.(5)设A 是43⨯矩阵,且A 的秩()2,r =A 而102020,103⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B 则()r AB =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)已知2()()x ay dx ydyx y +++为某函数的全微分,a 则等于 (A)-1 (B)0(C)1 (D)2 (2)设()f x 具有二阶连续导数,且()(0)0,lim1,x f x f x→'''==则(A)(0)f 是()f x 的极大值 (B)(0)f 是()f x 的极小值 (C)(0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点(D)(0)f 不是()f x 的极值,(0,(0))f 也不是曲线()y f x =的拐点(3)设0(1,2,),n a n >=且1n n a ∞=∑收敛,常数(0,),2πλ∈则级数21(1)(tan )n n n n a nλ∞=-∑(A)绝对收敛 (B)条件收敛(C)发散 (D)散敛性与λ有关 (4)设有()f x 连续的导数220,(0)0,(0)0,()()(),xf f F x x t f t dt '=≠=-⎰且当0x →时,()F x '与k x 是同阶无穷小,则k 等于(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(5)四阶行列式112233440000000a b a b a b b a 的值等于(A)12341234a a a a b b b b - (B)12341234a a a a b b b b +(C)12123434()()a a b b a a b b -- (D)23231414()()a a b b a a b b --三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分) (1)求心形线(1cos )r a θ=+的全长,其中0a >是常数.(2)设1110,1,2,),n x x n +===试证数列{}n x 极限存在,并求此极限.四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分) (1)计算曲面积分(2),Sx z dydz zdxdy ++⎰⎰其中S 为有向曲面22(01),z x y x =+≤≤其法向量与z 轴正向的夹角为锐角.(2)设变换 2u x y v x ay =-=+可把方程2222260z z zx x y y∂∂∂+-=∂∂∂∂简化为20,zu v∂=∂∂求常数.a五、(本题满分7分) 求级数211(1)2nn n ∞=-∑的和.六、(本题满分7分) 设对任意0,x >曲线()y f x =上点(,())x f x 处的切线在y轴上的截距等于01(),x f t dt x⎰求()f x 的一般表达式.。
2015年考研数学考试大纲变动情况
考试形式和试卷结构对比情况：无变动
考试分值和考试时间与以往保持一致：考试时间180分钟，满分150分。
数学各部分的试卷内容结构为：数学一（高等数学56%、线性代数22%、概率论与数理统计22%）、数学二（高等数学78%、线性代数22%）、数学三（微积分56%、线性代数22%）。
试卷题型结构仍为：单项选择题（8小题、每小题4分、共32分）、填空题（6小题、每小题4分、共24分）、解答题（包括证明题）（9
小题，共94分）。
考试内容和考试要求的对比情况：无变动
数学一：2015年《全国硕士研究生招生考试数学考试大纲》与2014年《全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲》对比，高等数学、线性代数及概率论与数理统计的考试内容和考试要求没有变动。
数学二：2015年《全国硕士研究生招生考试数学考试大纲》与2014年《全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲》对比，高等数学和线性代数的考试内容和考试要求没有变动。
数学三：2015年《全国硕士研究生招生考试数学考试大纲》与2014年《全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲》对比，微积分、线性代数及概率论与数理统计的考试内容和考试要求没有变动。
综上，2015考研数学大纲没有变动，同学们可以按照原来的计划继续有条不紊地复习。
已经进入9月中旬，距离考研还有100多天，下半年的任务很繁重，同学们一定要抓紧时间积极备考，争分夺秒地积累知识。
文都考研数学老师温馨提示2015考研的广大学员：后期的复习要厚基础，重做题，做好总结与归纳及查缺补漏工作。
后续老师会详细给出下半年考研数学的各科及整体的备考建议，请同学们继续关注文都考研大纲解析的相关情况。
预祝2015年考研学子考研成功，取得圆满的成绩！。
2019年全国硕士研究生招生考试研究生高等代数A卷试题及参考答案
姓名： 报考专业： 准考证号码：密封线内不要写题2019年全国硕士研究生招生考试初试自命题试题科目名称：高等代数（√A 卷□B 卷）科目代码：614考试时间： 3 小时 满分 150 分可使用的常用工具：□无 □计算器 □√直尺 □√圆规（请在使用工具前打√）注意：所有答题内容必须写在答题纸上，写在试题或草稿纸上的一律无效；考完后试题随答题纸交回。
一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分)1、设,A B 均是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（ ）。
（A ）TA 与TB 相似 （B ）1A -与1B -相似 （C ）TA A +与TB B +相似 （D ）1A A --与1B B --相似2、设矩阵21111214A a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21b d d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，集合{}1,2Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件是 （ ）。
(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω3、二次型()123,,f x x x 在正交变换X PY = 下的标准形为2221232+-y y y ，其中123(,,)P e e e =，若132(,,)Q e e e =-，则()123,,f x x x 在变换X QY =下的标准形是（ ）。
(A) 2221232-+y y y(B) 2221232+-y y y (C) 2221232--y y y(D) 2221232++y y y4、所有4阶对称矩阵按矩阵的加法和数乘所组成的线性空间V 的维数是 （ ）。
（A ） 4维 （B ） 16维 （C ） 8维 （D ） 10维5、设1α，2α，3α均为3维向量，则对任意常数k ，l ，向量组1α＋3αk ，2α＋3αl 线性无关是向量组1α，2α，3α线性无关的（ ）。
（A ）必要非充分条件（B ）充分非必要条件（C ）充分必要条件（D ）非充分非必要条件6、设A 是3阶方阵, 将A 的第1列与第2列交换得B , 再把B 的第2列加到第3列得C , 则满足AQ C =的可逆矩阵Q 为（ ）。
考研数学二大纲2024
考研数学二大纲2024
2024年考研数学二考试大纲如下：
一、考试性质
考研数学二是全国硕士研究生招生考试的重要组成部分，旨在考查考生对高等数学、线性代数等数学知识的掌握程度，以及运用这些知识解决实际问题的能力。
该考试以选拔性和公平性为原则，为招生单位选拔优秀人才提供科学依据。
二、考试内容
高等数学：函数、极限、连续；一元函数微分学；一元函数积分学；向量代数与空间解析几何；多元函数微分学；多元函数积分学；常微分方程。
线性代数：行列式；矩阵；向量；线性方程组；矩阵的特征值和特征向量；二次型。
三、考试形式与试卷结构
考试形式：闭卷、笔试。
试卷满分及考试时间：试卷满分为150分，考试时间为180分钟。
试卷内容结构：高等数学约70%，线性代数约30%。
试卷题型结构：单项选择题8小题，每小题4分，共32分；填空题6小题，每小题4分，共24分；解答题9小题，每小题8分，共72分。
四、考查目标
具有扎实的数学基础，掌握高等数学和线性代数的基本概念、基本理论和基本方法。
能够运用数学知识分析和解决实际问题，具有初步的科学研究能力。
掌握基本的数学方法和技巧，包括计算、推理、证明、归纳等。
具备良好的数学思维能力，包括逻辑思维、创新思维和批判性思维等。
以上是考研数学二考试大纲的简要介绍，具体内容可能会有所变化，建议考生查阅最新的考试大纲以获取准确信息。
2019南京林业大学硕士研究生入学考试初试科目主要参考书
生物化学A
《生物化学》（上下册）,沈同,高等教育出版社
617
城乡规划综合理论
《城市规划原理》第四版,吴志强、李德华,中国建筑工业出版社,2010
《中国城市建设史》第三版,董鉴泓,中国建筑工业出版社
《外国城市建设史》沈玉麟,中国建筑工业出版社
618
森林土壤学（含地质）
《土壤学》,孙向阳,中国林业出版社,2005
845
工业设计史
《工业设计史》,何人可,北京理工大学出版社,2000
846
建筑学基础A
《建筑初步》,田学哲,中国建筑工业出版社
847
木材切削原理与刀具
《木材切削原理与刀具》,曹平祥,中国林业出版社,2010
848
食品化学
《食品化学》,夏延斌，王燕.中国农业出版社，第二版.2015.2
849
传热学
传热学（第六版），章熙民等，中国建筑工业出版社，2014
881
模拟电子技术
《电子技术基础》第四版（模拟部分）源,高教出版社,2001
884
计算机软件基础
《数据结构》（C语言版）,耿国华,高等教育出版社
851
管理学原理
《管理学原理:领域、层次与过程》第二版,张智光,清华大学出版社,2010
852
经济学原理
《现代西方经济学原理》第三版,刘厚俊,南京大学出版社,2002
861
土木工程材料
《土木工程材料》,王元纲等,人民交通出版社,2018
862
土力学
《土力学》,杨平,机械工业出版社,2005
863
交通工程学
《汉英时文翻译教程》,贾文波,中国对外翻译出版公司,2008
431
2023年全国硕士研究生招生考试《数学一》真题试卷【完整版】(文末含答案解析)
2023年全国硕士研究生招生考试《数学一》真题试卷【完整版】一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选选项前的字母填在答题卡指定位置。
1．曲线1ln 1y x e x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭的渐近线方程为（ ）。
A ．y ＝x ＋e B ．y ＝x ＋1/e C ．y ＝xD ．y ＝x －1/e2．已知微分方程式y ′′＋ay ′＋by ＝0的解在（－∞，＋∞）上有界，则（ ）。
A ．a ＜0，b ＞0 B ．a ＞0，b ＞0 C ．a ＝0，b ＞0 D ．a ＝0，b ＜03．设函数y ＝f （x ）由2sin x t t y t t⎧=+⎪⎨=⎪⎩确定，则（ ）。
A ．f （x ）连续，f ′（0）不存在B ．f ′（0）存在，f ′（x ）在x ＝0处不连续C ．f ′（x ）连续，f ′′（0）不存在D ．f ′′（0）存在，f ′′（x ）在x ＝0处不连续4．已知a n ＜b n （n ＝1，2，...），若级数1nn a∞=∑与1nn b∞=∑均收敛，则“级数1nn a∞=∑绝对收敛”是“1nn b∞=∑绝对收敛”的（ ）。
A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．已知n 阶矩阵A ，B ，C 满足ABC ＝0，E 为n 阶单位矩阵，记矩阵0A BC E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0AB C E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0E AB AB ⎛⎫ ⎪⎝⎭的秩分别为γ1，γ2，γ3，则（ ）。
A ．γ1≤γ2≤γ3 B ．γ1≤γ3≤γ2 C ．γ3≤γ1≤γ2 D ．γ2≤γ1≤γ36．下列矩阵中不能相似于对角矩阵的是（ ）。
A ．11022003a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B ．1112003a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭C ．11020002a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭D ．11022002a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭7．已知向量121212212,1,5,03191⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααββ，若γ既可由α1，α2线性表示，也可由与β1，β2线性表示，则γ＝（ ）。
复旦大学2019年全国硕士研究生招生考试907类脑综合知识考试大纲
复旦大学2019年全国硕士研究生招生考试
907类脑综合知识考试大纲
科目代码907科目名称类脑综合知识
一、考试内容范围
类脑综合知识考试涵盖高等数学、数理统计、微分方程、机器学习基础、神经网络基础、自动控制理论、核磁共振原理等学科专业基础课程。
要求考生比较系统地掌握上述专业基础课程的基本概念、基本原理和基本方法，能够综合运用所学的基本原理和基本方法分析、判断和解决有关理论问题和实际问题。
二、试卷结构
简答题：150分。
三、参考书目
作者书名出版社出版时间版次备注张学工模式识别清华大学出版社2010年第3版
奥本海姆信号与系统电子工业出版社2013年第2版
陈武凡、康《MRI原理与技科学出版社出版2012年
利丽术》
John A Rice.Mathematical
statistics and
data analysis.
Duxbury Advanced
Series,Thomson/Broo
ks/Cole,
2007年Third
Edition.。
考研数学一考试大纲
考研数学一考试大纲一、考试性质考研数学一是全国硕士研究生招生考试的重要组成部分，旨在考查考生对高等数学、线性代数、概率论与数理统计等数学知识的掌握程度，以及运用这些知识解决实际问题的能力。
二、考试目标通过考查考生对高等数学、线性代数、概率论与数理统计等数学知识的理解与运用，重点检测考生的运算能力、逻辑推理能力、空间想象能力以及运用数学知识解决实际问题的能力。
三、考试内容1、高等数学：函数、极限、连续；一元函数微积分学；多元函数微积分学；常微分方程；无穷级数；向量代数与空间解析几何等。
2、线性代数：行列式；矩阵；向量；线性方程组；矩阵的特征值和特征向量；二次型等。
3、概率论与数理统计：随机事件及其概率；随机变量及其分布；随机变量的数字特征；大数定律与中心极限定理；数理统计的基本概念；参数估计等。
四、考试形式与试卷结构1、考试形式：笔试，考试时间为180分钟，满分150分。
2、试卷结构：题型包括选择题、填空题和解答题。
其中，选择题和填空题分值约占40%，解答题分值约占60%。
五、考试难度与要求1、考试难度：考研数学一的考试难度较大，主要表现在对知识点的综合运用能力和解题技巧的要求较高。
2、考试要求：考生应全面掌握考试大纲所要求的知识点，并能够灵活运用，具备综合分析问题和解决问题的能力。
在解题过程中，要求思路清晰、运算准确、表达规范。
六、备考建议1、系统复习：考生应首先对考试大纲所涉及的知识点进行系统复习，建立完整的知识体系，不留死角。
2、强化训练：通过大量的练习题和模拟试题进行强化训练，提高解题能力和速度。
3、注重方法：在复习和解题过程中，要注重方法和思路，善于总结和归纳。
4、合理安排时间：在备考过程中，要合理安排时间，尤其是对于知识点较多、难度较大的章节，要适当增加复习时间。
5、多交流：可以参加考研辅导班或者与其他考生进行交流，分享经验和心得。
七、总结考研数学一是硕士研究生招生考试中重要的一环，对于想要继续深造的学子来说至关重要。
数学(三)真题 参考答案及解析
（15）已知函数
（f x）
x2x,
xex
1,
x x
0 0 ，求
f（ x），并求
（f x）的极值.
【答案】
f（ x）
2x2（x ln x 1）,
（x
1）e
x
,
x x
0， 0.e
2
e1
和1
e1
为
（f x）的极小值；1为
（f x）的
极大值.
7
中公学员内部专用
版权所有 翻版必究
【解析】当 x 0 时， f（ x）=（x2x） =（e2xln x） =e2xln（x 2lnx 2）=2x2（x lnx 1）；
大值.
（16）设函数 （f u，v）具有二阶连续偏导数，函数 g（x，y） xy （f x y，x y），
8
中公学员内部专用
版权所有 翻版必究
求
2g x2
2g xy
2g y 2
.
【答案】1 3 f11 f22 .
【解析】因为 （f u，v）具有二阶连续偏导数，所以 f12 f21 .
由复合函数求导法则可知
0
（12）以 pA ， pB 分别表示 A ， B 两种商品的价格，设商品 A 的需求函数为
QA
500
p
2 A
pA
pB
2 pB2
，则当
pA
10，pB
20
时，商品
A 的需求量对自身价
格的弹性AA (AA 0) 为_______.
【答案】 0.4
【解析】由题干得
QA pA
=
2 pA
pB
.
因为
AA
pA QA
2019年全国硕士研究生招生考试考研数学一真题及详解【圣才出品】
2019年全国硕士研究生招生考试考研数学一真题及详解一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
）1．当x→0时，若x－tanx与x k是同阶无穷小，则k＝（）。
A．1B．2C．3D．4【答案】C【考点】无穷小的比较，泰勒展开式【解析】tanx在x＝0处的泰勒展开式为：tanx＝x＋（1/3）x3＋o（x3）。
因此当x→0时有x－tanx～－（1/3）x3，即x－tanx与－（1/3）x3是x→0时的等价无穷小，进一步可得x－tanx与x3是同阶无穷小，所以k＝3。
故选C。
2．设函数则x＝0是f（x）的（）。
A．可导点，极值点B．不可导点，极值点C．可导点，非极值点D．不可导点，非极值点【答案】B【考点】函数在一点处的性质【解析】由于因此f＋′（0）不存在，因此x＝0是f（x）不可导点。
又当－1＜x＜0时，f（x）＝x|x|＜0＝f（0），当0＜x＜1时，f（x）＝xlnx＜0＝f（0）。
因此x＝0是f（x）的极大值点。
故选B。
3．设{u n}是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是（）。
A．B．C．D．【答案】D【考点】数项级数的收敛性判别【解析】由单调有界定理，数列{u n}的极限存在。
令级数的部分和S n＝（u n＋12－u n2）＋（u n2－u n－12）＋…＋（u22－u12）＝u n＋12－u12。
因此故部分和S n的极限也存在，从而级数收敛。
故选D。
4．设函数Q（x，y）＝x/y2，如果对上半平面（y＞0）内的任意有向光滑封闭曲线C 都有那么函数P（x，y）可取为（）。
A．y－x2/y3B．1/y－x2/y3C．1/x－1/yD．x－1/y【答案】D【考点】曲线积分与路径无关的等价条件【解析】由题意可知，y＞0时积分与路径无关，因而∂Q/∂x＝∂P/∂y＝1/y2，排除选项A和B。
虽然C选项满足上述条件，但其在y轴正半轴无意义，故选D。
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2019 年全国硕士研究生招生考试数学考试大纲考试科目：高等数学、线性代数、概率论与数理统计考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为 150 分，考试时间为 180 分钟．二、答题方式答题方式为闭卷、笔试．三、试卷内容结构高 等 数 学 约 56%线 性 代 数 约 22%概率论与数理统计 约 22%四、试卷题型结构单 选 题 8 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 32 分填 空 题 6 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 24 分解答题（包括证明题） 9 小题，共 94 分高等数学一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限和右极限 无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限：lim x →0 sin x = 1 x lim ⎛1+ x →∞ ⎝ 1 ⎫x⎪ = e ⎭ x函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系．2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系．6.掌握极限的性质及四则运算法则．7.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．8.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限．9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L’Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值弧微分曲率的概念曲率圆与曲率半径考试要求1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．4.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数．5.理解并会用罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理，了解并会用柯西（Cauchy）中值定理．6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．7.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用．8.会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间(a,b) 内，设函数f (x) 具有二阶导数．当f''(x)>0时，f(x)的图形是凹的；当f''(x)<0时，f(x)的图形是凸的），会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形．9.了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径．三、一元函数积分学考试内容原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿- 莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分反常（广义）积分定积分的应用考试要求1．理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念．2.掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法．3.会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分．4.理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式．5.了解反常积分的概念，会计算反常积分．6.掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数的平均值．四、向量代数和空间解析几何考试内容向量的概念向量的线性运算向量的数量积和向量积向量的混合积两向量垂直、平行的条件两向量的夹角向量的坐标表达式及其运算单位向量方向数与方向余弦曲面方程和空间曲线方程的概念平面方程直线方程平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件点到平面和点到直线的距离球面柱面旋转曲面常用的二次曲面方程及其图形空间曲线的参数方程和一般方程空间曲线在坐标面上的投影曲线方程考试要求1．理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示．2.掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），了解两个向量垂直、平行的条件．3.理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法．4.掌握平面方程和直线方程及其求法．5.会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等））解决有关问题．6.会求点到直线以及点到平面的距离．7.了解曲面方程和空间曲线方程的概念．8.了解常用二次曲面的方程及其图形，会求简单的柱面和旋转曲面的方程．9.了解空间曲线的参数方程和一般方程．了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求该投影曲线的方程．五、多元函数微分学考试内容多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上多元连续函数的性质多元函数的偏导数和全微分全微分存在的必要条件和充分条件多元复合函数、隐函数的求导法二阶偏导数方向导数和梯度空间曲线的切线和法平面曲面的切平面和法线二元函数的二阶泰勒公式多元函数的极值和条件极值多元函数的最大值、最小值及其简单应用考试要求1．理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义．2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质．3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性．4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法．5.掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法．6.了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数．7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程．8.了解二元函数的二阶泰勒公式．9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题．六、多元函数积分学考试内容二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用两类曲线积分的概念、性质及计算两类曲线积分的关系格林（Green）公式平面曲线积分与路径无关的条件二元函数全微分的原函数两类曲面积分的概念、性质及计算两类曲面积分的关系高斯（Gauss）公式斯托克斯（Stokes）公式散度、旋度的概念及计算曲线积分和曲面积分的应用考试要求1.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理．2.掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）．3.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系．4.掌握计算两类曲线积分的方法．5.掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数．6.了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，掌握用高斯公式计算曲面积分的方法，并会用斯托克斯公式计算曲线积分．7.了解散度与旋度的概念，并会计算．8.会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、质心、形心、转动惯量、引力、功及流量等）．七、无穷级数考试内容常数项级数的收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与p 级数及其收敛性正项级数收敛性的判别法交错级数与莱布尼茨定理任意项级数的绝对收敛与条件收敛函数项级数的收敛域与和函数的概念幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域幂级数的和函数幂级数在其收敛区间内的基本性质简单幂级数的和函数的求法初等函数的幂级数展开式函数的傅里叶（Fourier）系数与傅里叶级数狄利克雷（Dirichlet）定理函数在[ l,l]上的傅里叶级数函数在[0,l] 上的正弦级数和余弦级数考试要求1.理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件．2.掌握几何级数与p 级数的收敛与发散的条件．3.掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法．4.掌握交错级数的莱布尼茨判别法．5.了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系．6.了解函数项级数的收敛域及和函数的概念．7.理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法．8.了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和．9.了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件．10.掌握e x ，sin x ，cos x ，ln(1+x) 及(1+x)α的麦克劳林（Maclaurin）展开式，会用它们将一些简单函数间接展开为幂级数．11.了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在[-l,l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0,l] 上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和函数的表达式．八、常微分方程考试内容常微分方程的基本概念变量可分离的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程伯努利（Bernoulli）方程全微分方程可用简单的变量代换求解的某些微分方程可降阶的高阶微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简单的二阶常系数非齐次线性微分方程欧拉（Euler）方程微分方程的简单应用考试要求1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念．2.掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法．3.会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程．4.会用降阶法解下列形式的微分方程：y(n) =f (x), y '=f (x, y') 和y '=f (y, y') ．5.理解线性微分方程解的性质及解的结构．6.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程．7.会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程．8．会解欧拉方程．9．会用微分方程解决一些简单的应用问题．线性代数一、行列式考试内容行列式的概念和基本性质行列式按行（列）展开定理考试要求1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质．2．会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式．二、矩阵考试内容矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算考试要求1.理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及它们的性质．2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质．3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵．4.理解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法．5.了解分块矩阵及其运算．三、向量考试内容向量的概念向量的线性组合与线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量空间及其相关概念n 维向量空间的基变换和坐标变换过渡矩阵向量的内积线性无关向量组的正交规范化方法规范正交基正交矩阵及其性质考试要求1.理解n 维向量、向量的线性组合与线性表示的概念．2.理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法．3.理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩．4.理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系．5.了解n 维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念．6.了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵．7.了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法．8.了解规范正交基、正交矩阵的概念以及它们的性质．四、线性方程组考试内容线性方程组的克拉默（Cramer）法则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件非齐次线性方程组有解的充分必要条件线性方程组解的性质和解的结构齐次线性方程组的基础解系和通解解空间非齐次线性方程组的通解考试要求l．会用克拉默法则．2.理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件．3.理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法． 4．理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念．5．掌握用初等行变换求解线性方程组的方法．五、矩阵的特征值和特征向量考试内容矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似变换、相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵考试要求1.理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量．2.理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法．3.掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．六、二次型考试内容二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性考试要求1.掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念，了解合同变换与合同矩阵的概念，了解二次型的标准形、规范形的概念以及惯性定理．2.掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，会用配方法化二次型为标准形．3.理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法.概率论与数理统计一、随机事件和概率考试内容随机事件与样本空间事件的关系与运算完备事件组概率的概念概率的基本性质古典型概率几何型概率条件概率概率的基本公式事件的独立性独立重复试验考试要求1.了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算．2.理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯（Bayes）公式．3.理解事件独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法．二、随机变量及其分布考试内容随机变量随机变量分布函数的概念及其性质离散型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率密度常见随机变量的分布随机变量函数的分布考试要求1.理解随机变量的概念，理解分布函数F (x) =P{X ≤x}(-∞<x <+∞) 的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率．2.理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握 0-1 分布、二项分布B(n, p) 、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布P(λ) 及其应用． 3．了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布．4.理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布U (a, b) 、正态分布N(μ,σ2 ) 、指数分布及其应用，其中参数为λ(λ> 0) 的指数分布E(λ) 的概率密度为1 2 1 2 ⎧⎪λe -λ x , f (x ) = ⎨若x > 0, ⎪⎩ 5. 会求随机变量函数的分布．三、多维随机变量及其分布考试内容0, 若 x ≤ 0.多维随机变量及其分布 二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度 随机变量的独立性和不相关性 常用二维随机变量的分布 两个及两个以上随机变量简单函数的分布考试要求1. 理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质，理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度，会求与二维随机变量相关事件的概率．2. 理解随机变量的独立性及不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件．3. 掌握二维均匀分布，了解二维正态分布 N (μ , μ ;σ 2 ,σ 2;ρ) 的概率密度，理解其中参数的概率意义．4. 会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布．四、随机变量的数字特征考试内容随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质 随机变量函数的数学期望 矩、协方差、相关系数及其性质考试要求1. 理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征．2. 会求随机变量函数的数学期望．五、大数定律和中心极限定理1 n -1 考试内容切比雪夫（Chebyshev ）不等式 切比雪夫大数定律 伯努利（Bernoulli ）大数定律 辛钦（Khinchine ）大数定律 棣莫弗-拉普拉斯（De Moivre-Laplace ）定理 列维-林德伯格（Levy-Lindberg ）定理考试要求 1．了解切比雪夫不等式．2. 了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量序列的大数定律）．3. 了解棣莫弗-拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限分布）和列维-林德伯格定理（独立同分布随机变量序列的中心极限定理）．六、数理统计的基本概念考试内容总体 个体 简单随机样本 统计量 样本均值 样本方差和样本矩 χ 2 分布 t 分布 F 分布 分位数 正态总体的常用抽样分布考试要求1. 理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念， 其中样本方差定义为n 22 S = ∑( X i - X ) i =12. 了解 χ 2 分布、t 分布和 F 分布的概念及性质，了解上侧α 分位数的概念并会查表计算．3. 了解正态总体的常用抽样分布．七、参数估计考试内容点估计的概念 估计量与估计值 矩估计法 最大似然估计法 估计量的评选标准 区间估计的概念 单个正态总体的均值和方差的区间估计 两个正态总体的均值差和方差比的区间估计考试要求1．理解参数的点估计、估计量与估计值的概念．2.掌握矩估计法（一阶矩、二阶矩）和最大似然估计法．3.了解估计量的无偏性、有效性（最小方差性）和一致性（相合性）的概念，并会验证估计量的无偏性．4、理解区间估计的概念，会求单个正态总体的均值和方差的置信区间，会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间．八、假设检验考试内容显著性检验假设检验的两类错误单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验考试要求1.理解显著性检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验可能产生的两类错误．2.掌握单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验．。