多元函数积分学37931
高等数学与工程数学课件第八章多元函数积分学基础.ppt
第一节 二重积分的概念与性质
一、实例
1.曲顶柱体的体积 在空间直角坐标系Oxyz中,以在xOy平面上的有界闭区域D为 底,以D的边界曲线为准线,母线平行于z轴的柱面为侧面,以z f (x, y)]表示的曲面S为顶[这里f (x, y) 0且在D上连续]的几何体称 为以曲面S为顶,区域D为底的曲顶住体(见图8-1)
f (x, y)d | f (x, y) | d
D
D
性质6 设M 和m分别为f (x, y)在闭区域D上的最大值和最小值,
是D的面积,则有不等式
m f (x, y)d M D
性质7 (二重积分的中值定理)设函数f (x, y)在闭区域D上连续,
是D的面积,则在D内至少存在一点( ,)使得下列等式成立
1 4
y4
1
0
dx
y
1 0
计算从1(x)到2 (x)的定积分,然后把计算结果(关于x的函数)再
对x计算从a到b的定积分.从而得到把二重积分化为先对y, 再对x 的二次积分公式为
b
2 ( x)
f (x, y)dxdy dx f (x, y)dy
a
1 ( x )
D
类似地,若底面区域D为1( y) x 2 ( y), c y d, (见图8 6)
x
P(xi yi )
图8-2 曲顶柱体划分
n
(3)把n个小平顶柱体体积相加得 f (xi , yi )i ,它就是曲顶 i1
柱体体积V的近似值,即
n
V f (xi , yi )i i1
n
(4)对闭区域D的分割不断加细加密, f (xi , yi )i就越来越 i1
近曲顶柱体的体积V .当n个小闭区域的最大直径(指有界闭区域
第九章多元函数的积分学
第9章 多元函数的积分学第一节 重积分的概念与性质一、重积分的概念引例1 曲顶柱体的体积曲顶柱体是指底是xOy 面上的有界闭区域D ，它的侧面是以D 的边界为准线而母线平行于z 轴的柱面的一部分，它的顶面是曲面),(y x f z =，D y x ∈),(，且0),(≥y x f 为D 上的连续函数，如图所示，现在我们讨论如何计算上述曲顶柱体的体积V 。
（1）分割区域D ：任取一组曲线网将区域D 分割成n 个小闭区域：1D ∆，2D ∆，…，i D ∆，…，n D ∆，（2）近似代替：在i D ∆中任取一点),(i i ηξ，用i σ∆表示i D ∆的面积，则以i D ∆为底，以),(i i f ηξ为高的平顶柱体的体积为：i i i f σηξ∆),(，于是有i i i i f V σηξ∆≈∆),( ),,2,1(n i =（3）作和：∑∑==∆≈∆=ni i i i n i i f V V 11),(σηξ。
（4）取极限：记}{max 1i ni d ≤≤=λ，当λ趋于零时，∑=→∆=ni iiif V 1),(limσηξλ引例2 平面薄片的质量设有一平面薄片占有xOy 面上的有界闭区域D ，它在点),(y x 处的面密度为0),(≥y x ρ,且在D 上连续，现在要计算该薄片的质量M 。
首先作分割，将薄片任意分成n 个小块，在i D ∆上任取一点),(i i ηξ，用i σ∆表示i D ∆的面积，就可得到每个小块薄片质量i M ∆的近似值：i i i σηξρ∆),( ),,2,1(n i = 再通过求和即得平面薄片质量的近似值：∑∑==∆≈∆=ni iiin i iM M 11),(σηξρ，记}{max 1i ni d ≤≤=λ，则∑=→∆=ni iiiM 1),(limσηξρλ。
1.二重积分的定义定义 1 设),(y x f 是有界闭区域D 上的有界函数，将闭区域D 任意分割成n 个小闭区域1D ∆，2D ∆，…，i D ∆，…，n D ∆，并用i σ∆表示第i 个小闭区域i D ∆的面积。
多元函数积分学总结
多元函数积分学总结引言多元函数积分学是微积分的一个重要分支，研究的是多个变量的函数在特定区域上的积分计算和性质。
在实际问题中，我们经常需要求解多元函数的积分，以求得面积、体积、质量等物理量。
本文将对多元函数积分学的基本概念、计算方法和应用进行总结和介绍。
一、多元函数积分的基本概念1. 二重积分二重积分是多元函数积分学中最基本的概念之一。
它表示在二维平面上的一个有界区域上对函数进行积分。
二重积分的计算可以通过投影到坐标轴上的两个一元积分来实现。
根据积分区域的形状和函数性质的不同，二重积分可以分为类型I和类型II两种。
•类型I：积分区域为矩形、正方形或一般的可由直线分割成有限个矩形的区域。
•类型II：积分区域不属于类型I的情况，一般需要进行变量替换或极坐标转化来简化计算。
2. 三重积分三重积分是对三维空间内的函数进行积分。
它可以用于计算体积、质量、重心等与物体形状和密度有关的物理量。
三重积分的计算方法较为复杂，一般需要采用适当的坐标变换或者使用球坐标、柱坐标等不同坐标系下的积分公式来进行计算。
二、多元函数积分的计算方法1. Fubini定理Fubini定理是多元函数积分计算的基础定理之一。
它建立了二重积分和三重积分之间的关系，使得计算复杂多元函数积分时可以拆分为若干个简单的积分。
Fubini定理主要有两种形式：对于矩形区域上的二重积分，可以通过交换积分次序将其转化为两次一元积分。
对于空间区域上的三重积分，也可以利用类似的方法进行计算。
2. 极坐标和球坐标对于具有相关几何特性的问题，使用极坐标和球坐标可以简化多元函数积分的计算过程。
极坐标常用于计算平面上的二重积分，而球坐标常用于计算空间中的三重积分。
通过引入极坐标或球坐标的坐标变换，我们可以将原积分区域变换为一个更简单的形式，从而简化积分计算。
在实际应用中，灵活运用极坐标和球坐标可以大大提高计算效率。
三、多元函数积分的应用多元函数积分在物理学、工程学、经济学等领域有广泛的应用。
多元函数积分学
（ 4）
。
（5）如果 是分段光滑的：
，则
。
（6）如果 是封闭曲线，特记为 。
所围成的区域。
解二：画出积分区域的草图。 因为 D虽然是 X----型区域，但由于在定限时，第一次积分的上、下限发生了一次
改变，故不得已对 D进行分块。（作图：用直线
将 D分成
其中，
，
于是，有
。
注意；由例 2可见，对此题，虽然两种积分次序都可行，但第二种显然更麻烦。我们说有些 时候，就不仅仅是麻烦的问题了，如果积分次序选得不合适，可能做不出来。请看下面的
解：（1）这里
。画出草图如右。
（2）更换积分次序，即要将积分区域视为 X----型区域。为定限方便，需将积分区域分 为三块：
，则
其中，
，
，
于是，有：
例 9。对 （1）画出积分区域的草图；（2）更换积分次序。
解：（1）这里 记
，
。分别画
出草图如右。则
（2）更换积分次序，即要将积分区域视为 X----型区域。为定限方便，需将积分区域分 为四块：
，所以，
3．由积分中值定理，知：
注意：（6）关于重积分的对称性 （i）如果积分区域 D关于 X轴（或 Y）轴 对称，且被积函数
为奇，则
=0；
关于 y（或 X）
（ii）如果积分区域 D关于 X轴（或 Y）轴 对称，且被积函数
关于 y（或 X）
为偶，则
（其中， 为 D的上（右）一半区域）。
三.二重积分的计算 （一）利用直角坐标计算二重积分
的上、下限； （三）。计算累次积分。 注意：选择积分次序的原则 （一）。选择的积分次序使积分区域 D尽可能的少分块，以简化计算过程。 （二）。第一次积分的上、下限表达式要简单，并且容易根据第一次计算的结果作第二 次积分。 （三）。确定上、下限是重积分的关键。
多元函数积分学课件
解析
首先将二重积分拆分为两个定积 分，然后分别进行计算。
答案
$frac{4}{9}$
答案
$-frac{1}{6}$
解析
同样拆分二重积分，然后进行计 算。
例题2
计算$int_{0}^{1}int_{0}^{y}(x y)dxdy$
三重积分习题与解析
例题1
计算 $int_{0}^{1}int_{0}^{1}int_{0}^{x}xydzdxdy $
传导问题。
在几何中的应用
曲面面积和体积计算
积分可以用来计算曲面的面积和三维物体的体积，这在几何学中 非常重要。
曲线积分
在几何学中，曲线积分被用来计算曲线长度、面积和线段上的变化 量。
参数曲线和曲面
参数曲线和曲面可以用积分表示，这有助于研究几何对象的形状和 性质。
在工程中的应用
流体动力学
在航空航天、船舶和车辆设计中 ，积分被用来计算流体动力学效 应，如压力分布、速度场和流线 。
多元函数积分学课件
目 录
• 多元函数积分学概述 • 多元函数积分的计算方法 • 多元函数积分的几何意义 • 多元函数积分的性质与定理 • 多元函数积分的应用 • 多元函数积分习题与解析
01
多元函数积分学概述
定义与性质
定义
多元函数积分学是研究多元函数的积 分及其性质的一门学科，其基础概念 包括二重积分、三重积分、曲线积分 和曲面积分等。
计算步骤
首先确定积分区域，然后选择合适的 积分次序，最后根据定积分的计算公 式进行计算。
曲线上的第一类曲线积分计算
定义
第一类曲线积分是计算曲线上的函数值 与其对应的参数的乘积的积分，即求曲 线上的一个物理量（如质量、热量等） 的分布情况。
《数学分析》第六章 多元函数积分学
第四章 多元函数积分学一、本章知识脉络框图[,](),(t t t αβφ∈]),[,])()((),())()t t y dyt Q t t t dtαβϕϕφφ∈''+lPdx Qdy =+⎰时的方程为当Dyxyxzz∈=∑),(),,(⎰⎰++=DyxdxdyzzyxzyxfdSzyxf221)),(,,(),,(时的方程为当Dyxvuzzvuyyvuxx∈===∑),(:),(),,(),,(⎰⎰⎰⎰∑∑∂∂±=++dudvvuzyPRdxdyQdzdxPdydz),(),(dudvvuyxRdudvvuxzQ),(),(),(),(∂∂+∂∂+++RdxdyQdzdxPdydzdxdydzzRyQxP⎰⎰⎰Ω⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=∑∂的方向按右手法则)⎰∑∂++RdzQdyPdxdxdyyPxQdxdzxRzPdydzzQyR⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=⎰⎰∑⎰⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=dSyPxQxRzPzQyRγβαcoscoscos二、本章重点及难点本章需要重点掌握以下几个方面内容：●二重积分及其几何意义、二重积分的计算（化为累次积分、极坐标变换、一般坐标变换）.●三重积分、三重积分计算（化为累次积分、柱坐标、球坐标变换）.●重积分的应用（体积、曲面面积、重心、转动惯量等）.●含参量正常积分及其连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.含参量广义积分的一致收敛性及其判别法，含参量广义积分的连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.●第一型曲线积分、曲面积分的概念、基本性质、计算.●第二型曲线积分概念、性质、计算；Green公式，平面曲线积分与路径无关的条件.●曲面的侧、第二型曲面积分的概念、性质、计算，奥高公式、Stoke公式，两类线积分、两类面积分之间的关系.三、本章的基本知识要点㈠二重积分1.性质：假设性质中所涉及的函数的积分均存在（1）有界性 若),(y x f 在D 上可积，则),(y x f 在D 上有界，（可积的必要条件）. （2）线性性 若g f ,均在D 上可积，l k ,为任意实常数，则lg +kf 仍在D 上可积，且⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+DDDgd l fd k d kf σσσlg)(.（3）区域可加性 设 21DD D =，其中1D 与2D 的内部不相交则),(y x f 在D 上可积的充要条件是),(y x f 在1D 和2D 上均可积，且⎰⎰Dfd σ=⎰⎰1D fd σ+⎰⎰2D fd σ.（4）单调性 若在任区域D 上，),(),(y x g y x f ≤，则≤⎰⎰Dfd σ⎰⎰Dgd σ.特别地：当0),(≥y x f 时，有0≥⎰⎰Dfd σ.当M y x f m ≤≤),(时，有D M fd D m D∆⋅≤≤∆⋅⎰⎰σ，其中D ∆表示D 的面积.（5）σσd f fd DD⎰⎰⎰⎰≤.（6）中值公式 若),(y x f 在D 上连续，),(y x g 在D 上可积且不变号，则存在D ∈),(ηξ，使⎰⎰⎰⎰⋅=⋅DDgd f gd f σηξσ),(。
第九章 多元函数积分学
第九章 多元积分学及其应用第一节 三 重 积 分1定义 ∑⎰⎰⎰=→Ω∆=nk k k k k d v f z y x f 1,0),(lim dV ),,(ξηξ.2性质: 3计算:1)直角坐标: i) 先一后二; ii)先二后一. 2)柱坐标: z V d d d d θρρ= 3)球坐标:θϕϕd d d sin d 2r r V = 4)利奇偶性若积分域Ω关于xoy 坐标面对称,),,(z y x f 关于z 有奇偶性,则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰⎰⎰⎰⎰≥Ω.),,(0.),,(d ),,(2d ),,(0是奇函数关于是偶函数关于z z y x f z z y x f Vz y x f V z y x f z D5)利用变量的对称性.题型一 计算三重积分例9.1计算⎰⎰⎰ΩV z d 2,其中Ω由)0(2,2222222>≤++≤++R Rz z y x R z y x 所确定.解 原式52222220248059d )(d )2(R z z R z z z Rz z RR Rπππ=-+-=⎰⎰. 例9.2计算V z d ⎰⎰⎰Ω,其中Ω由z z y x ≥++222和z z y x 2222≤++所确定.解法1 原式⎰⎰⎰==ϕϕπππϕϕϕθcos 2cos 22020.45dr sin cos d d r r解法2 设z z y x z z y x 2:,:22222221≤++Ω≤++Ω，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ-=21zdV zdV zdV .由于⎰⎰⎰Ω2zdV 与⎰⎰⎰Ω1zdV 的计算方法完全一样，以下仅以⎰⎰⎰Ω2zdV 说明其三种较简单的计算方法： 方法1 直角坐标下先二后一：⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=zD zdxdy dz zdV 22（其中2222:z z y x D z -≤+）ππ34)2(202=-=⎰dz z z z .方法2 由形心计算公式得⎰⎰⎰Ω⋅=2V z zdV （其中z 为2Ω的形心z 坐标）)(343412的体积为Ω⋅=⋅=V ππ方法3 利奇偶性.注意2Ω关于平面1=z 上下对称，则0)1(2=-⎰⎰⎰ΩdV z从而有⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ==+-=22234]1)1[(πdV z zdV . 例9.3计算,=I ⎰⎰⎰Ω+V y x d )(22其中Ω由曲线⎩⎨⎧==022x zy ，绕oz 轴旋转一周而成的曲面和平面2=z ，8=z 所围的立体. 解法1 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=823422082320202.336d d d d d d ρπππρρθρρθz z I解法2 .336d d d 2032082πρρθπ==⎰⎰⎰zz I例9.4 计算⎰⎰⎰Ω++V nz ly mx d )(2,.:2222a z y x ≤++Ω 解2222222()()m x l yn z d V mx l y n z d V ΩΩ++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （奇偶性） 222222()3m l n x y z dV Ω++=++⎰⎰⎰ （变量对称性） 2225242220004s i n ()315a m l n a d d r d r m l n πππθϕϕ++==++⎰⎰⎰例9.5设)(t f 连续,=)(t F ⎰⎰⎰Ω++V y x f z d )]([222, 其中Ω由222t y x ≤+,h z ≤≤0所确定.求20)(lim ,d d tt F t F t →. 解 ρρρπρρρθπd hf h dz f z d d t F t h t )](31[2)]([)(230202020+=+=⎰⎰⎰⎰322()2()3h F t t h t f t ππ'=+. 32320022()()3lim lim (0)23t t h t htf t F t h hf t t ππππ++→→+==+. 题型二 更换三重积分次序例9.6计算=I ⎰⎰⎰-y x z z zy x 0210d )1(sin d d 解 先交换y 和z 的次序，则112200sin ()sin (1)(1)xxx zzx z z I dx dz dy dx dz z z -==--⎰⎰⎰⎰⎰.111200()sin 11sin (1cos1)(1)22z x z z dz dx zdz z -===--⎰⎰⎰ 第二节 对弧长的线积分（第一类线积分）计算方法 1．直接法：1)若⎩⎨⎧==)()(:t y y t x x C ，βα≤≤t ，则t t y t x t y t x f s y x f Cd )()())(),((d ),(22⎰⎰'+'=βα.2) 若)(:x y y C = ，b x a ≤≤，则x x y x y x f s y x f baCd )(1))(,(d ),(2⎰⎰'+=3) 若)(:θρρ=C ，βθα≤≤，则θρρθρθρβαd )sin ,cos (d ),(22⎰⎰'+=f s y x f C2.利用奇偶性.1) 若积分曲线C 关于y 轴对称, 则.⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰≥.),(.),(,0,d ),(2d ),(0为奇函数关于当为偶函数关于当x y x f x y x f x C Cs y x f s y x f 2)若积分曲线C 关于x 轴对称,则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰≥.),(.),(,0,d ),(2d ),(0为奇函数关于当为偶函数关于当y y x f y y x f y C Cs y x f s y x f 3．利用对称性若积分曲线关于直线x y =对称,则⎰Cs y x f d ),(=⎰Cs x y f d ),(特别的 ⎰⎰=CCds y f ds x f )()(题型 计算对弧长的线积分例9.7设L 是椭圆13422=+y x ，其周长为a ，则.d )432(22=++⎰s y x xy C解 =++⎰s y x xy C d )432(22s y x Cd )43(22⎰+ （奇偶性）a s y x C 12d )34(1222=+=⎰例9.8计算⎰++=Cs y x I d ])1([22,其中C 为).0(22>=+R Rx y x解: ⎰+++=Cs x I 1)d 2y y (22R xds R Cπ+=⎰ R R ππ+=23其中计算积分⎰Cxds 可以用直接法，以下介绍两种简单方法 方法1 ⎰Cxds ⎰⎰=+-=C Cds ds RR x ]2)2[( （奇偶性）22R π=方法2 ⎰Cxds l x ⋅= （形心公式）22R π=例9.9 计算⎰=Cs y I d ||,其中C 为双纽线).0)(()(222222>-=+a y x a y x解 双纽线)0)(()(222222>-=+a y x a y x 的极坐标方程为.2cos 22θa r =⎰=402sin 4πθθd aI )221(42-=a 例9.10计算⎰=Cs x I d 2,其中C 为⎩⎨⎧=++=++02222z y x R z y x 。
多元函数积分学总结
多元函数积分学总结引言多元函数积分学是微积分的重要分支，研究具有多个变量的函数的积分。
它在物理、工程、经济学等领域都有广泛的应用。
本文旨在总结多元函数积分学的基本概念、技巧和应用。
一、多重积分1.二重积分二重积分即对二元函数在一个有界区域上的积分。
它可以通过将区域分割成小的矩形，并在每个矩形中求函数值乘以该矩形的面积，再将所有矩形的面积相加而得到。
二重积分的计算可以使用极坐标、换元法等方法来简化计算过程。
2.三重积分三重积分即对三元函数在一个有界区域上的积分。
类似于二重积分，三重积分可以通过对区域进行分割，并在每个小的立体元中求函数值乘以立体元的体积，再将所有立体元的体积相加而得到。
三重积分的计算可以使用柱坐标、球坐标等方法来简化计算过程。
3.多重积分的性质–可加性：多重积分具有可加性，即对于函数的积分，可以将区域分割成多个子区域，分别在每个子区域上计算积分，再将这些积分相加。
–定积分的值与路径无关：对于连续函数，在一个闭合曲线上的积分与路径无关，只与路径所围成的区域有关。
二、重要定理1.Fubini定理Fubini定理是二重积分和三重积分的重要定理，它可以将多重积分转换为一重积分的形式，简化积分计算的过程。
2.Green公式和Stokes定理Green公式和Stokes定理是两个重要的向量积分定理。
它们描述了曲线积分和曲面积分与散度、旋度之间的关系。
3.Gauss公式Gauss公式是一个重要的体积积分定理，它表明了三维空间中的散度与体积分之间的关系。
这个定理在电磁学和流体力学中有广泛的应用。
三、应用实例1.质量和质心多重积分在质量和质心的计算中有广泛的应用。
通过将物体划分为无穷小的微元，可以通过多重积分计算物体的总质量和质心的位置。
2.引力和电场的计算在物理学中，多重积分可以用于计算引力和电场的作用。
通过计算物体上的质量或电荷在空间中的分布，可以使用多重积分来求解引力或电场的强度。
3.概率密度函数和统计分析在概率论和统计学中，概率密度函数描述了随机变量的概率分布。
《高等数学》第9章多元函数积分学
体积的计算（利用二重积分） 体积的计算（利用二重积分）
例 求在曲面 z = 4 − x 2 − y之下 , 而在长方形 R = {( x , y ) | ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 2}之上的立体的体积 V . 0
解： V = ∫∫ (4 − x 2 − y )dA = ∫ 2 ∫ 1(4 − x 2 − y )dxdy 0 0
S R
z
z = f ( x, y )
o
y
s
x
f ( x, y ) = 0
R
注：在矩形区域中二重积分具有的性质，在任意区域中仍具有. 在矩形区域中二重积分具有的性质，在任意区域中仍具有.
练
习
R =
1. 计算在 R 上的二重积分
( ∫∫ ) xy 3 dA １
R R
{( x , y ) | 0 ≤
k =1 n
存在, 则称 f ( x, y )在R上是 可积的.而且这个极限值称 f在R上 的二重积分 , 记作 : f ( x, y ) dA = lim ∑ f ( xk , yk ) ∆Ak ∫∫ δ →0
R k =1 n
其中∫∫ 称为二重积分号 , f ( x, y )称为 被积函数 , f ( x, y ) dA称为 被积表达式 , dA为面积元素 , x, y称为 积分变量 , R称为 积分区 域 , ∑ f ( xk , yk ) ∆Ak 称为 积分和式 .
解：用 S 代表 xoy 面上形成四面体底部的 三角形区域 ,
2. 计算二次积分 .
1 x
2 ye x dx dy . ∫0 ∫0
y2 1
2
1 y2
原式 = ∫0 ( 2 ye ) 0 dy ∫0 ( 2 ye y − 2 y ) dy = 解： = (e
《多元函数积分学》课件
物理应用
重积分在物理中有广泛的应用，如计 算物体的质量、质心、转动惯量等物 理量，还可以用来解决流体动力学、 弹性力学等领域的问题。
数值分析应用
重积分在数值分析中有重要的应用， 如数值积分、数值微分等计算方法的 实现都需要用到重积分的知识。
04 曲线积分与曲面积分
曲线积分的概念与性质
总结词
理解曲线积分的定义和计算方法，掌握其在几何和物理问题中的应用。
总结词
掌握多元函数的可积性和积分的基本性 质是理解多元函数积分学的重要环节。
VS
详细描述
可积性的判定条件和积分的基本性质（如 线性性质、可加性、不等式性质等）是多 元函数积分学中的核心知识点，对于理解 和应用积分具有重要意义。
多元函数积分的计算方法
总结词
掌握多元函数积分的计算方法是学习多元函数积分学的关键。
《多元函数积分学》ppt课件
• 多元函数积分学概述 • 多元函数积分的基本概念 • 重积分 • 曲线积分与曲面积分 • 多元函数积分学的应用
01 多元函数积分学概述
多元函数积分学的定义
定义
多元函数积分学是研究多元函数 的积分、微分和微积分基本定理 的一门学科。
多元函数
一个数学函数，其中自变量不止 一个，即函数的输入和输出都是 向量或更高维度的几何对象。
计算多维工程结构的热传导和流 体流动
在工程中，很多问题需要考虑多维工程结构的热传导和 流体流动，如热力管道、流体机械等。多元函数积分学 可以用来计算这些结构的热传导和流体流动。
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积分
对一个函数在某个区域上的所有 点的值进行加权求和，权值由该 点的坐标决定。
多元函数积分学的重要性
解决实际问题
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第八章.多元函数积分学在不同的问题当中，可以对多元函数的积分进行不同的定义，因此，我们需要在不同的问题背景当中来定义不同的积分概念。
二重积分。
二重积分实际上就是对二元函数求定积分，在实际问题当中，需要对二元函数进行求和计算，或者直观地说，涉及到体积的计算与具有在二维区域上的分布的物理量的计算，就需要运用二重积分的概念来进行。
因此我们对二重积分的定义，与对单变量函数的定积分的定义是完全类似的，只是这里的积分区域不是一维的，而是二维平面上的区域。
这样通过把积分区域任意划分成只有公共边界的子区域，然后在每一个子区域当中任意取一点，取这点的函数值与该子区域的面积之积，再把所有的这样的乘积加起来，得到一个和式，接下来，就是我们已经很熟悉的极限过程，即使得所有子区域当中面积最大者的面积趋向于0，也就是使得子区域的数目趋向于无穷大，看和式是否存在极限，以及可能的话，这个极限是多少。
这就是关于二重积分的可积性问题与二重积分的计算问题。
关于可积性的问题有下面一个简单的定理：如果函数在一个有界闭区域上有定义并且连续，则这个函数必定在这个区域上可积。
从上面的二重积分概念的说明，可以得到与单变量函数的定积分相类似的几何说明，即被积函数所描述的曲面与其在自变量平面上的积分区域上的投影之间所夹的空间的体积。
基于这样的理解，可以很容易得到如下的二重积分的性质。
（1）⎰⎰+⎰⎰=⎰⎰+D D D gdx j fdx i dx jg if )(，其中i ，j 为任意常数。
这是二重积分的线性性质；（2），⎰⎰+⎰⎰=⎰⎰D D fdxfdx fdx D 21其中D D D =⋃21。
（3）如果在区域D 上有),(),(y x g y x f ≤，则有⎰⎰≤⎰⎰D D gdxfdx ；而对于D 上的可积函数f ，存在任意上界M 和任意下界m ，则有MDfdx mD D ≤⎰⎰≤其中D 为区域D 的面积。
（4）设函数f 为有界连通闭区域D 上的连续函数，则一定在这个区域上存在一点（a ，b ），使得 Db a f fdx D ),(=⎰⎰；这个性质还可以推广到比较一般的形式：设函数g 为D 上的非负值连续函数，f 在D 上可积，则存在一个介于f 在D 上的上界与下界之间的唯一的常数k ，使得⎰⎰=⎰⎰D D gdxk gfdx 。
二重积分的计算方法与应用。
（一）二重积分的基本计算方法是在直角坐标系当中，把二重积分化成二次积分，也就是按先后顺序分别对两个自变量求定积分，因此也称为累次积分。
在作二次积分时，首先是把一个自变量看成是一个参数，而不是看成变量，这样第一步是作单变量函数的定积分，然后得到一个包含第二个变量的表达式，再对第二个变量求定积分，这样就得到了二重积分的值。
这里对于选择进行积分运算的自变量的顺序是完全任意的，也就是说，假设函数的积分区间，是由曲线)(1x y y =和)(2x y y =，x=a ，x=b 所围成的区域，那么f 在这个区域上的二重积分为=⎰⎰=⎰⎰)()(21),(),(x x b a D y y dy y x f dx dxdy y x f ⎰⎰)()(21),(x x b a y y dx y x f dy因此在实际问题当中，如果选择了一种积分顺序，而发现不是很恰当，或者显得很麻烦，则不妨尝试一下更换积分顺序，也许会更为恰当一些（二）另外一种常常更为简单的计算二重积分的方法，是在极坐标下，通过把二重积分转变为二次积分来得到结果。
一般公式就是⎰⎰=⎰⎰)()(21)sin ,cos (),(θθβαθθθσr r rdr r r f d d y x f D注意公式当中的面积元素带因子r ，千万不要忘记。
之所以使用极坐标，是因为很多几何对象在极坐标当中具有更为简单的还是形式，这样就使得被积函数的形式更为简单，从而简化了积分计算。
直观地看，二重积分就是针对二元函数的定积分，那么只要是运用二元函数表达的变化规律，都有可能需要利用二重积分计算某种可加性质的量。
例如对于在一定的平面区域上的某个物理量的分布，就可以利用二重积分计算，比方说已知质量分布的平面薄片的质量，重心，转动惯量，均匀薄片的一阶矩，等等，对于计算体积以及与体积相关的物理量，更是需要运用二重积分进行计算。
曲面面积以及第一型曲面积分。
与二重积分主要是针对体积的计算不同，所谓曲面积分主要是针对与曲面有关的面积与质量的计算。
而本课程只限制在处理光滑曲面或者是分片光滑的曲面，所谓光滑曲面定义为曲面的切平面连续转动，而法向量不为0。
计算曲面面积的关键是给出曲面的面积微元，即dxdy f f ds y x 221++=，然后对微元直接进行二重积分即可得到曲面面积⎰⎰++=D y x dxdy f f S 221。
如果进一步，曲面的面密度分布函数为),,(z y x μ，那么通过我们熟悉的分割，求和，取极限这样一些过程，可以得到计算曲面的质量的公式为⎰⎰++=D y x d f f y x f y x m σμ221)),(,,(。
我们把上面的具有给定面密度分布的给定曲面的质量的计算加以推广，也就是考虑定义在给定曲面上的有界连续函数，或者分片连续函数),,(z y x f ，用这个函数沿着曲面进行积分，也就是利用面积的可加性，进行求和与取极限的过程，就得到所谓的第一型曲面积分，一般地写成⎰⎰S ds z y x f ),,(。
第一型曲面积分具有与重积分完全类似的性质，例如线性性质和积分区域可加性性质。
而第一型曲面积分的一般计算方法，完全类似于上面的计算曲面质量的方法，一般地有：⎰⎰S ds z y x f ),,(=⎰⎰++S y x dxdy g g y x g y x f 221)),(,,(。
第一型平面曲线积分的概念及计算。
在平面上的曲线方程，固然可以看成是一个一元函数，如果沿着这个曲线具有某个物理量的密度分布，那么要沿着这个曲线，求这个物理量的总量，就必须定义一种相应的沿着平面曲线求和式极限的积分，这就是平面曲线积分。
我们把所讨论的曲线限制为简单光滑曲线。
在沿着曲线进行分割与求和积分时，根据具体问题的不同，可以有两种方法，即对弧长进行积分与对坐标进行积分，这两种方法，分别称为第一型与第二型平面曲线积分。
我们这里首先讨论第一型平面曲线积分，定义为∑∆=⎰=→∆n i i i i s L s f ds y x f 10),(lim ),(ηξ，其中),(y x f 为定义在曲线L 上的有界函数，把曲线L 分成任意的n 个光滑弧段，s i ∆为第i 个弧段的长度，),(ηξi i 为第i 个弧段上的任意一点，s ∆为曲线上所有弧段中长度最长的弧段。
值得注意的是，尽管被积函数具有两个自变量，但是由于积分是沿着一条固定的曲线进行的，按照物理学的理解，就是只有一个自由度，因此通过引入适当的参数，就可以把被积函数变换为一元函数。
从定义可以看到，曲线积分只不过是一种沿着固定曲线所进行的积分，很容易理解第一型平面曲线积分同样具有一般积分所具有的各种性质，如线性性质，积分区域可加性性质，估值性质与中值性质。
由于第一型平面曲线积分的被积式实际上是一个一元函数与弧微分的乘积，因此可以得到第一型平面曲线积分的计算公式为⎰+=⎰βαdt t y t x t y t x f ds y x f L ))(())('())(),((),(22；如果使用曲线的平面直角坐标系方程y=g （x ），那么就得到相应的计算公式⎰+=⎰b a L dx t g x g x f ds y x f ))((1))(,(),(2；而如果曲线用极坐标方程形式)(θg r =给出，则相应的计算公式为⎰+=⎰θθθθθθθθθ21)(')()sin )(,cos )((),(22d g g g g f ds y x f L 。
可以看到，曲线积分最终还是简化为一元函数的定积分计算。
平面向量场以及第二型平面曲线积分的概念和计算。
向量场的概念可以说是直接来源于物理学中的场的概念，平面向量场的定义，就是在平面区域D 上的一个向量值函数：j y x f i y x f y x f ),(),(),(21+=，直观地说，就是在平面区域D 上的每一点处都定义了一个向量，就构成了一个向量场。
如果在这样一个向量场中给定一条有向曲线，或者说沿着一条有向曲线，定义了一个有界的向量场，由于向量适宜于在坐标轴方向上进行分解，因此如果要求向量场沿着曲线的积分，一般对坐标进行积分，这样的积分方式称为第二型平面曲线积分。
这里同样把曲线限制为简单并且光滑或者分段光滑。
这样我们得到向量形式的定义为∑∆=⎰=→∆n i i i i s L s f s d y x f 10),(lim ),( ηξ。
这种曲线积分形式的一个特征就是曲线规定了方向，因此出现了一个新的性质，即如果使得曲线反向，则得到的积分值就变号。
其他的一般性质，如线性性质，积分曲线的可加性仍然成立，不过由于曲线的方向性，在连接曲线段时，必须注意方向性。
虽然第二型平面曲线积分应用向量形式来表示比较简明，不过进行计算时，还是采用分量形式，并且是分别对每个分量单独进行计算。
设向量场的两个分量为),(y x P 和),(y x Q ，那么第二型平面曲线积分的计算公式为⎰=⎰βαdtt x t y t x P dx y x P L )('))(),((),(；⎰=⎰βαdtt y t y t x Q dy y x Q L )('))(),((),(。
向量场沿着曲线的积分也可以采用对弧长积分的形式，这是通过引入沿着曲线的正方向的任何一点的切向量t 而得到的：⎰+=⎰L L ds y t y x Q x t y x P s d y x f )],cos(),(),cos(),([),( 。
格林公式。
平面曲线积分与路径无关的条件。
恰当微分。
上面我们已经根据不同的问题建立了两大类不同的积分形式，即重积分与线积分，那么重积分与线积分是否具有很紧密的关系呢？这是由格林定理通过格林公式揭示出来的：设P （x ，y ）和Q （x ，y ）是在平面区域D 上的具有各个一阶连续偏导数的函数，D 的边界由光滑或者分段光滑的简单曲线组成，并且约定边界的方向为沿着曲线的这个方向运动时，区域D 永远在边界线的左边，那么我们有格林公式如下：⎰⎰∂∂-∂∂=⎰+∂D D dxdy y P x Q Qdy Pdx )(。
这个公式具有非常重要的应用，即通过进行这两种不同积分形式的相互转化，而简化积分计算。
而这个公式更重要的应用，要求我们了解两个概念，即线积分的路径无关性，和单连通区域。
所谓线积分的路径无关性就是指如果一种曲线积分，在确定曲线的起点与终点后，积分值就是唯一的了，而与具体的起点与终点之间的曲线形状，或者说积分路径无关，我们就说这种曲线积分具有线积分的路径无关性。