高一数学必修四习题

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高一数学训练习题参考答案

数学必修（4）同步练习参考答案§1.1任意角和弧度制一、CDDCBA二、7.{x|x=k•3600+1800, k∈Z}, {x|x=k•1800+450,k∈Z} ; 8.-345°; 9. ;10.第二或第四象限, 第一或第二象限或终边在y轴的正半轴上三、11.{ α|α=k•3600+1200或α=k•3600+3000, k∈Z } -60° 120°12.由7θ=θ+k•360°，得θ=k•60°（k∈Z）∴θ=60°，120°，180°，240°，300°13.∵l=20－2r,∴S= lr= (20-2r)•r=－r2+10r=-(r-5)2+25∴当半径r=5 cm时，扇形的面积最大为25 cm2,此时，α= = =2(rad)14.A点2分钟转过2θ，且π＜2θ＜π,14分钟后回到原位，∴14θ=2kπ,θ= ，且 <θ< π，∴θ= π或π§1.2.1 任意角的三角函数一、CCDBCD二、7.一、三； 8. 0 ； 9. 或π； 10.二、四三、11.[2kπ, 2kπ,+ ( k∈Z)12.13.∵sinθ= - ，∴角θ终边与单位圆的交点（cosθ，sinθ）=（ ,- ）又∵P(-2, y)是角θ终边上一点, ∴cosθ<0,∴cosθ= - .14.略.§1.2.2同角三角函数的基本关系式一、BCDBBA二、7. ; 8.0; 9. ; 10.三、11.12.原式= － ==sinx+cosx13.左边=tan2θ－sin2θ= －sin2θ=sin2θ• =sin2θ• =sin2θ•tan2θ=右边14.(1)当m=0时, α=kπ, k∈Z ,cosα=±1, tanα=0(2)当|m|=1时, α=kπ+ , k∈Z ,cosα=0, tanα=0不存在(3)当0<|m|<1时,若α在第一或第四象限,则cosα= tanα= ;若α在第二或第三象限,则cosα=- tanα=- .§1.3 三角函数的诱导公式一、BBCCBC二、7. ; 8.1 ; 9.1 ; 10.三、11. 112. f(θ)= = =cosθ-1∴f( )=cos -1=-13.∵cos(α+β)=1, ∴α+β=2kπ, k∈Z. ∴cos(2α+β)= cos(α+α+β)= cos(π+α)=- cosα= - .14. 由已知条件得：sinα= sinβ①, cos α=- cosβ②，两式推出sinα= ，因为α∈(- , )，所以α= 或- ；回代②，注意到β∈(0,π)，均解出β= ，于是存在α= ，β= 或α=- ，β= ，使两等式同时成立。

高一数学必修四习题2.1

(3)方向为南偏西600的向量与北偏东600的向量是共线向量.(
B组
海平面以下的高度用负数表示，所以海拔也是向量. 你同意他的看法吗?温度、角度是向量吗？为什么？
1.有人说，由于海平面以上的高度（海拔）用正数表示，
2.矩形ABCD中，AB 2BC，M、N分别是AB和CD的中点，在以A、B、C、D、MБайду номын сангаасN 为起点和终点的所有向量中，相等的非零向量共有多少对？
高一数学必修四习题2.1
A组
2.一个人从点A出发，向东走500米到达点B,接着向北偏东 600走300米到达点C, 然后再向北偏东450走100米到达点D. 试选择适当的比例尺，用向量表示这个人的位移.
3.如图，D、E、F分别是ABC各边的中点，写出图中与DE、 EF、 FD相等的向量.
A D B E F C
5.已知边长为3的等边三角形ABC, 求BC边上的中线向量AD的模 | AD | .
6. 6.
判断下列结论是否正确（正确的在括号内打， ( ( ( ) ) ) )
错误的打“”），并说明理由. (1)若a, b都是单位向量，则a b; (2)物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量. (4)直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量.

高中数学必修四(人教B版)练习：第三章三角恒等变换3.1.1 Word版含解析

第三章 3.1 3.1.1一、选择题1．cos75°cos15°－sin435°sin15°的值是( ) A ．0 B ．12C ．32D ．－12[答案] A[解析] cos75°cos15°－sin435°sin15° ＝cos75°cos15°－sin(360°＋75°)sin15° ＝cos75cos15°－sin75°sin15° ＝cos(75°＋15°)＝cos90°＝0.2．在△ABC 中，若sin A sin B <cos A cos B ，则△ABC 一定为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形[答案] D[解析] ∵sin A sin B <cos A cos B ， ∴cos A cos B －sin A sin B >0， ∴cos(A ＋B )>0，∵A 、B 、C 为三角形的内角， ∴A ＋B 为锐角， ∴C 为钝角．3．下列结论中，错误的是( )A ．存在这样的α和β的值，使得cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin βB ．不存在无穷多个α和β的值，使得cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin βC ．对于任意的α和β，有cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin βD ．不存在这样的α和β的值，使得cos(α＋β)≠cos αcos β－sin αsin β [答案] B[解析] 当α、β的终边都落在x 轴的正半轴上或都落在x 轴的负半轴上时，cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin β成立，故选项B 是错误的．4．在锐角△ABC 中，设x ＝sin A sin B ，y ＝cos A cos B ，则x 、y 的大小关系是( )A ．x ≥yB ．x ≤yC ．x >yD ．x <y[答案] C[解析] y －x ＝cos(A ＋B )，在锐角三角形中π2<A ＋B <π，y －x <0，即x >y .5．化简sin(x ＋y )sin(x －y )＋cos(x ＋y )cos(x －y )的结果是( ) A ．sin2x B ．cos2y C ．－cos2x D ．－cos2y [答案] B[解析] 原式＝cos[(x ＋y )－(x －y )]＝cos2y .6．△ABC 中，cos A ＝35，且cos B ＝513，则cos C 等于( )A ．－3365B ．3365C ．－6365D ．6365[答案] B[解析] 由cos A >0，cos B >0知A 、B 都是锐角， ∴sin A ＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45，sin B ＝1－⎝⎛⎭⎫5132＝1213，∴cos C ＝－cos(A ＋B )＝－(cos A cos B －sin A sin B ) ＝－⎝⎛⎭⎫35×513－45×1213＝3365. 二、填空题7．若cos α＝15，α∈(0，π2)，则cos(α＋π3)＝________.[答案]1－6210[解析] ∵cos α＝15，α∈(0，π2)，∴sin α＝265.∴cos(α＋π3)＝cos αcos π3－sin αsin π3＝15×12－265×32＝1－6210.8．已知cos(π3－α)＝18，则cos α＋3sin α的值为________．[答案] 14[解析] cos(π3－α)＝cos π3cos α＋sin π3sin α＝12cos α＋32sin α ＝12(cos α＋3sin α)＝18， ∴cos α＋3sin α＝14.三、解答题 9．已知cos α＝55，sin(α－β)＝1010，且α、β∈(0，π2)．求：cos(2α－β)的值． [解析] ∵α、β∈(0，π2)，∴α－β∈(－π2，π2)，∴sin α＝1－cos 2α＝255，cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝31010，∴cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)] ＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β) ＝55×31010－255×1010＝210. 10. 已知sin α＋sin β＝310，cos α＋cos β＝9110，求cos(α－β)的值．[解析] 将sin α＋sin β＝310，两边平方得，sin 2α＋2sin αsin β＋sin 2β＝9100①，将cos α＋cos β＝9110两边平方得，cos 2α＋2cos αcos β＋cos 2β＝91100②，①＋②得2＋2cos(α－β)＝1， ∴cos(α－β)＝－12.一、选择题 1.cos47°＋sin17°sin30°cos17°的值为( )A ．－32B ．－12C ．12D ．32[答案] D [解析]cos47°＋sin17°sin30°cos17°＝cos (30°＋17°)＋sin17°sin30°cos17°＝cos30°cos17°－sin30°sin17°＋sin17°sin30°cos17°＝cos30°＝32. 2．在△ABC 中，若tan A ·tan B >1，则△ABC 一定是( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形[答案] C[解析] ∵sin A ·sin B >cos A ·cos B ， ∴cos A ·cos B －sin A ·sin B <0，即cos(A ＋B )<0，∵A 、B 、C 为三角形的内角， ∴A ＋B 为钝角，∴C 为锐角．又∵tan A ·tan B >1， ∴tan A >0，tan B >0，∴A 、B 均为锐角，故△ABC 为锐角三角形．3．在锐角△ABC 中，设x ＝sin A ·sin B ，y ＝cos A ·cos B ，则x 、y 的大小关系为( )A ．x ≤yB ．x >yC ．x <yD ．x ≥y[答案] B[解析] y －x ＝cos A cos B －sin A sin B ＝cos(A ＋B )， ∵△ABC 为锐角三角形， ∴C 为锐角，∵A ＋B ＝π－C ， ∴A ＋B 为钝角， ∴cos(A ＋B )<0，∴y <x .4．函数f (x )＝sin x －cos(x ＋π6)的值域为( )A ．[－2,2]B ．[－3，3]C ．[－1,1]D ．[－32，32] [答案] B[解析] f (x )＝sin x －cos(x ＋π6)＝sin x －cos x cos π6＋sin x sin π6＝32sin x －32cos x ＝3(32sin x －12cos x ) ＝3sin(x －π6)∈[－3，3]．二、填空题 5．形如⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd 的式子叫做行列式，其运算法则为⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，则行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos π3 sin π6sin π3 cos π6的值是________． [答案] 0[解析] ⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos π3 sin π6sin π3cos π6＝cos π3cos π6－sin π3sin π6＝cos(π3＋π6)＝cos π2＝0.6．已知cos(α＋β)＝13，cos(α－β)＝15，则tan α·tan β＝________.[答案] －14[解析] ∵cos(α＋β)＝13，∴cos αcos β－sin αsin β＝13，①∵cos(α－β)＝15，∴cos αcos β＋sin αsin β＝15，②由①②得⎩⎨⎧sin αsin β＝－115cos αcos β＝415，∴tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝－14.三、解答题7．已知cos(α－30°)＝1517，30°<α<90°，求cos α的值．[解析] ∵30°<α<90°， ∴0°<α－30°<60°. ∵cos(α－30°)＝1517，∴sin(α－30°)＝1－cos 2(α－30°)＝817，∴cos α＝cos[(α－30°)＋30°]＝cos(α－30°)cos30°－sin(α－30°)sin30°＝1517×32－817×12＝153－834.8．已知向量a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(3cos β，3sin β)，若向量a 与b 的夹角为60°，求cos(α－β)的值．[解析] ∵a·b ＝6cos αcos β＋6sin αsin β＝6cos(α－β)， ∴|a |＝2，|b |＝3，又∵a 与b 的夹角为60°，∴cos60°＝a·b |a|·|b|＝6cos (α－β)2×3＝cos(α－β)，∴cos(α－β)＝12.9. 已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋π6)(其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α、β∈[0，π2]，f (5α＋5π3)＝－65，f (5β－5π6)＝1617，求cos(α＋β)的值．[解析] (1)∵T ＝10π＝2πω，∴ω＝15.(2)由(1)得f (x )＝2cos(15x ＋π6)，∵－65＝f (5α＋5π3)＝2cos[15(5α＋5π3)＋π6]＝2cos(α＋π2)＝－2sin α，∴sin α＝35，cos α＝45.∵1617＝f (5β－5π6)＝2cos[15(5β－5π6)＋π6]＝2cos β， ∴cos β＝817，sin β＝1517.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45×817－35×1517＝－1385.。

(word完整版)高一数学数学必修4平面向量复习题

1•设a 、b 、c 是单位向量，且 a -b = o ,贝U a c ? b c 的最小值为（D )2A.1B.2C. 2A. 2B. 2 2C. 1D.12r r rr r r r r r uu r r r 2解析Q a,b,c 是单位向量a c ?bc ago (a b)gs crr r _ r r r1 |ab|gc| 1 <2cos ab,c 1.2.2.已知向量a 2,1 ,ab 10,|ab| 5J2，则 |b|(C )A. .5B. .10C.5D. 25r r 宀 r 宀 r r r 宀“ r2 2 2 2解析 Q50 |a b| |a | 2a gD |b| 5 20 | b ||b| 5 故选 C.3.平面向量a 与b 的夹角为600, a (2,0) , b 1则a 2b ( B )A.、3B. 2 3C. 4D.2解析由已知 |a|= 2,|a + 2b|2= a 2 + 4a b + 4b 2= 4+ 4X2X1 Xcos60° + 4= 12A a 2b2^3LUIUuiuuuu uiPC) = 2AP PM=2 AP PM cosO 2 -5.已知a 3,2 , b1,0，向量a b 与a2b 垂直，则实数的值为()1 A.—1 B.-1 C.—D.17766uuruur uuu UUJ uujruuu6.设 D 、E 、 F 分别是△ ABC 的三边 BC 、CA 、AB 上的点，且DC2BD,CE2EA, AF 2FB,UJLT 则ADUUU uuu uuu BE CF 与 BC(A)A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直(A )4444A.B.c.D.9339uu 由APUuu UJ uuuu 解析 2PM 知，p 为 ABC 的重心,根据向量的加法 ,PB P C2PM则 uur 4.在 ABC 中,M 是BC 的中点，AM=1,点P 在AM 上且满足学PALunn uur uuu uuu2PM ，则 PA (PB PC)等于uuruuu uiuuu uuu AP (PB1•设a 、b 、c 是单位向量，且 a -b = o ,贝U a c ? b c 的最小值为（ D )27.已知a , b 是平面内两个互相垂直的单位向量，右向量 c 满足（ac) (b c)0,则 c 的最大值是(C )3 4uuu uuu uuur8.已知O 是厶ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC 0，那么（ A ）则—的取值范围是mA .、3B . 2.3C .6 D . 2、616.在平行四边形 ABCD 中， uuu AE 1 uuu unr-AB, AF1 UULT一AD , CE 与BF 相交于G 点.的最小值为（B ) A. uuir unr AO ODunr uuir B. AO 2ODuuir uuirC. AO 3ODuur unr D. 2AO OD 9•设a5 ^2（4,3） , a 在b 上的投影为，b 在x 轴上的投影为2,且 | b |< 14，则 b 为(B ) (2,4)2,C .D . (2,) 10.设a, b 是非零向量，若函数f(x)(xa b) (a xb ）的图象是一条直线, 则必有（ A ）11.设两个向量a （ 2,a//2cos C . |a|)和b|b|D . |a| |b|mm,—2 sin ，其中，m, 为实数.若a 2b ,A . [-6, 1]B. [4,]C. (-6, 1] D . [-1 , 6]12.已知向量a(1, n),（1, n ），若2a b 与b 垂直，则|a（C13•如图，已知正六边形 RP 2P 3P 4P 5P 6 ,F 列向量的数量积中最大的是（A. RP2 ,R F 3B. P 1P 2, P 1P4C. P 1P 2 , P 1 P 5D.P 1P 2 ,P 1P614.已知向量a 尢,|e |= 1，对任意t € R , 恒有|a - t e | 冷一e |,贝y ( B )A. a 丄 eB. e 丄(a - e )C.a 丄(a - e )D.(a + e )丄(a - e )15.已知向量 unr unr n uurOA , OB 的夹角为一，|OA| 4 ,3luu r|OB| 1，若点 M 在直线 OB 上，贝U |&A OM |uuu r uur r uuur AB a, AD b,则AG342 r 1 r 2 rA. a bB. a7 7 7 17.设向量a与b的夹角为A」10 B. 3b 73.10 10C.(2,1),C.1 r r 4 rb D. a7 72b (4,5)，则cosD.18.已知向量a , b的夹角为3，且|a||b| 1 ,19.20.21.22.23.24.中,25.7等于D 则向量a与向量a 2b的夹角等于（5A .6已知向量A. [0, .2]已知单位向量A . 2.3在厶ABC 已知向量已知向量中,arOib-r-|b|其中b均为非零向量, 则| p |的取值范围是(B )B.[0,1]C.(0,2]D.[0,2]a,b的夹角为一，那么a2bAR 2RB,CP 2PR,若AP mAB nAC,贝U mC.a和b的夹角为120 ,B. 7|a| 2，且(2aOAA. [0,4]b) a，则|b |(0,2),OB (2,0),BCB .[冷C 2 cos ,2 sinC. [4,3T]）,贝UOA与OC夹角的取值范围是（上海）直角坐标系xOy中，i, j分别是与x, y轴正方向同向的单位向量. 在直角三角形ABC若AB 2i A. 1 j, AC 3i k j，则k的可能值个数是（B. 2若四边形ABCD满足AB CDc.「uuu0 , (AB3uiur uuirAD) ACD. 4则该四边形一定是BA.直角梯形B.菱形C.矩形D.正方形ir r ir 26.已知向量m,n的夹角为一，且|m |6uuir D为BC边的中点，贝U | AD |（乜,订| 2 ,在△ABC中,uuuABir r uuur ir r2m 2n，AC 2m 6n，112427. A . 2 uuu|OA|已知A.3 B . uuu,|OB| .3 ,OA?O B =0 , AOCD . 8uuur 30o ,设OC uuu uuu mOA nOB (m, nR),则D. 28.如图，其中45°直角三角板的斜边与所对的直角边重合.若 x , y 等于B x 3, y 1B. 345°直角三角板和 30°直角三角板拼在一起，直角三角板的 30°角 uuur y DA , uu u DB 30° uuu r DC 则A. C. x 2, y . 3 二、填空题 1. 若向量 a , b 满足 2. 3. 4. 5. 6. 7.8. 答案 .7 设向量答案 1 3,y 3 3,y 1 3 1,b 2且a 与b 的夹角为—, 3 a (1,2), (2,3)，若向量 a b 与向量c (4, 7)共线，则已知向量a 与b 的夹角为120°，且a b 4，那么 b (2a b)的值为答案 0 已知平面向量a (2,4) , b ( 1,2).答案 8,2b 的夹角为120 ,答案设向量答案若向量答案若向量答案uuuAB60若 c a (a 则5a bb)b , 则|C|uu ur 2, ACuuu uur3, AB AC | J 19,则r r aba 与b 的夹角为60 , 1，则 a? a bCABa,b 满足2,(a b) a ，则向量a 与b 的夹角等于uuu UULT LUU LUT UJU9. O 为平面上定点，A, B, C 是平面上不共线的三若 (OB OC ) •OB OC 2OA)=0,贝U ABC 的形状是 __________________________ .等腰三角形答案 -2510.不共线的向量m^ , m 2的模都为2,若a3m i2m 2 , b 2mi 3m 2 ,则两向量a b 与a b 的夹角为 _________________ 90 ° 11 •定义一种运算 S a b ，在框图所表达的算法中揭示了这种运算“”的含义•那么，按照运算 “”的含义，计算 tan 15o tan300 tan300 tan 15o _________ 1 ___r r12、已知向量 a (cos15o ,sin150), b ( sin 150, cos1S),贝y a b 的值为 ________ . 答案113、已知 Rt △ ABC 的斜边BC=5 ,则 AB BC BC CA CA AB 的值等于y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中,uur r AB ir uuur r rj , AC 2i mj ,则实数 m=答案 —2或0三、解答题rr r r r r1、已知ia 4,|b| 3,(2a — 3b) (2a b) 61 ,r rr r(1 )求 a b 的值；求a 与b 的夹(3)求b 的值;r r r r 心解：(1)由(2a —3b) (2a b) 61 得4a r r 「2「2又由 k 4,|b| 3得 a 16, 9代入上式得64 4a b 2761 a br rr3b14.在直角坐标系xOy 中,i[j 分别是与x 轴,艸(13|fr!=4・得卜2・｛妨=』_虛讪一&r5 52’uuuruur uur(2, 4)，在向量OC 上是否存在点P ，使得PA PB ，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由。

高一数学必修四测试卷(含答案)

高一数学必修四测试卷一、选择题：1．若角600°的终边上有一点（﹣4，a ），则a 的值是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A2．若sin α＜0且tan α＞0，则α是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】C3．函数的最小正周期是（）A ．B ．C ．2πD ．5π【答案】D4．要得到函数y=cos2x 的图象，可以将函数的图象（）A ．向右平移个单位得到B ．向左平移个单位得到C ．向右平移个单位得到D ．向左平移个单位得到【答案】B5．函数f (x)sin(2x )4p=-在区间上的最小值是（） A ．﹣1B ．C ．D ． 0【答案】B6．函数y ＝2cos(2x －π2)是( )A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数【答案】A7．图是函数y=Asin （ωx+φ）（x ∈R ）在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y=sinx （x ∈R ）的图象上所有的点（）A ．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B ．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D ．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变【答案】A8．函数f （x ）=sinx ﹣cosx 的最大值为（）A ． 1B ．C ．D ．2【答案】B9．函数()f x sin x cos x 2x 2=+的最小正周期和振幅分别是（） A ．π，1B ．π，2C ． 2π，1D ． 2π，2【答案】A10．已知sin2α=，则cos 2（α+）=（）A ．B ．C ．D ．【答案】A11．已知cos （π－2α）sin （α－π4）＝－22，则cos α＋sin α等于( ) A ．－72B.72C.12D ．－12【答案】D12．已知向量a ＝(cos2α，sin α)，b ＝(1，2sin α－1)，α∈⎝⎛⎭⎫π4，π，若a·b ＝25，则 tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值为( )A.13B.27C.17D.23【答案】C13．已知向量a ，b 满足|a|＝1，|b|＝3，且|2a ＋b|＝7，则a 与b 的夹角为( )A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°【答案】B14．已知a,b r r 满足：a =3r ，b =2r ，a+b =4r r ，则a-b r r=（）A ．B ．C ． 3D ．【答案】 D15．若| a r |=1，| b r |=2，c=a+b r r ，且c a ⊥r r ，则c b r r与的夹角为（）A ． 30°B ． 60°C ． 120°D ． 150°【答案】C16．已知函数2f (x)=2cos 2x+a （a 为常数）的定义域为0,2p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，f （x ）的最大值为6，则a 等于（） A ． 3B ． 4C ． 5D ． 6【答案】A ．二、解答题： 17．化简：（1）（2）sin120°•cos330°+sin （﹣690°）cos （﹣660°）+tan675°+cot765°．【答案】（1）原式===﹣1；（2）原式=sin120°cos （360°﹣30°）﹣sin （720°﹣30°）cos （﹣720°+60°）+tan （720°﹣45°）+=×+×﹣1+1=1．18．设函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x ＋a .(Ⅰ)写出函数f (x )的最小正周期及单调递减区间；(Ⅱ)当x ∈[－π6，π3]时，函数f (x )的最大值与最小值的和为32，求f (x )的图象、y 轴的正半轴及x 轴的正半轴三者围成图形的面积．【答案】(Ⅰ)f (x )＝32sin2x ＋1＋cos2x 2＋a ＝sin(2x ＋π6)＋a ＋12， ∴T ＝π.由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π. 故函数f (x )的单调递减区间是[π6＋k π，2π3＋k π](k ∈Z )．(Ⅱ)∵－π6≤x ≤π3，∴－π6≤2x ＋π6≤5π6.∴－12≤sin(2x ＋π6)≤1.当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3时，原函数的最大值与最小值的和(1＋a ＋12)＋(－12＋a ＋12)＝32，∴a ＝0. ∴f (x )＝sin(2x ＋π6)＋12.f (x )的图象与x 轴正半轴的第一个交点为(π2，0)所以f (x )的图象、y 轴的正半轴及x 轴的正半轴三者围成图形的面积 S ＝∫π20[sin(2x ＋π6) ＋12]d x＝ [－12cos(2x ＋π6) ＋x 2]|π2′0＝2 3 ＋ π4.19．设向量a x,sin x)=r ，b (cos x,sin x),x 0,2p ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦r ．（1）若|a ||b |=r r，求x 的值；（2）设函数f (x)a b =∙r r，求f （x ）的最大值．【答案】（1）由题意可得 =+sin 2x=4sin 2x ，=cos 2x+sin 2x=1，由，可得 4sin 2x=1，即sin 2x=． ∵x ∈[0，]，∴sinx=，即x=．（2）∵函数=（sinx ，sinx ）•（cosx ，sinx ）=sinxcosx+sin 2x=sin2x+=sin （2x ﹣）+． x ∈[0，]，∴2x ﹣∈[﹣，]，∴当2x ﹣=，sin （2x ﹣）+取得最大值为 1+=．20．已知函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x .求(Ⅰ)函数f (x )的周期； (Ⅱ)函数f (x )的单调递减区间； (Ⅲ)函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最值．【答案】f (x )＝cos2x ＋1＋3sin2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1. (Ⅰ)最小正周期T ＝2π2＝π.(Ⅱ)当2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，即k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z 时，函数f (x )单调递减，所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z . (Ⅲ)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π6＝3，f (x )min＝f ⎝⎛⎭⎫π2＝0.21．已知函数f （x ）=sin （π﹣ωx ）cos ωx+cos 2ωx （ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）将函数y=f （x ）的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y=g （x ）的图象，求函数y=g （x ）在区间上的最小值．【答案】（Ⅰ）∵f （x ）=sin （π﹣ωx ）cosωx+cos 2ωx ， ∴f （x ）=sinωxcosωx+=sin2ωx+cos2ωx+ =sin （2ωx+）+由于ω＞0，依题意得，所以ω=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知f （x ）=sin （2x+）+，∴g （x ）=f （2x ）=sin （4x+）+∵0≤x≤时，≤4x+≤，∴≤sin （4x+）≤1， ∴1≤g （x ）≤，g （x ）在此区间内的最小值为1．22．已知函数f (x )＝23sin(x －π6)cos(x －π6)－1＋2cos 2(x －π6)(Ⅰ)求f (x )的最大值及相应的x 的取值集合； (Ⅱ)求f (x )的单调递增区间．【答案】(Ⅰ)f (x )＝3sin(2x －π3)＋cos(2x －π3)＝2sin(2x －π6)，当2x －π6＝π2＋2k π(k ∈z)，即x ＝k π＋π3时，f (x )取得最大值2.所以f (x )的最大值为2.相应的x 的取值集合为{x |x ＝π3＋k π，k ∈Z }．(Ⅱ)解不等式2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，(k ∈Z )，得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )．所以f (x )的递增区间为[k π－π6，k π＋π3](k ∈Z )．23．若点O 为坐标原点，OA →＝(2a sin 2x ，a )，OB →＝(1，－23sin x cos x ＋1)，f (x )＝OA →·OB →＋b (a <b ，a ≠0)．(Ⅰ)求f (x )的单调递增区间；(Ⅱ)若f (x )的定义域为⎣⎡⎦⎤π2，π，值域为[2，5]，求a ，b 的值．【答案】(Ⅰ)f (x )＝OA →·OB →＋b＝2a sin 2x －23a sin x ·cos x ＋a ＋b ＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b . 当a >0时，递增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋23π，k ∈Z ；当a <0时，递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z . (Ⅱ)f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π， ∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤7π6，13π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－1，12. 当a >0时，⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋2a ＋b ＝5，－2a ·12＋2a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1； (舍去)当a <0时，⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋2a ＋b ＝2，－2a ·12＋2a ＋b ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝6. ∴a ＝－1，b ＝6.三、填空题：24．函数f (x )＝3sin x cos x －33cos 2x ＋332的图象为C ，给出以下四个结论： ①由y ＝3sin2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C ；②函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－π12，5π12内是增函数；③图象C 关于直线x ＝11π12对称；④图象C 关于点⎝⎛⎭⎫2π3，0对称．其中正确结论的编号是________．【答案】②③④25．已知向量()2,1,10,2a a b a b =∙=+= b= ．【答案】26．tan(2α－β)＝12，tan(β－α)＝14，tan α＝__________. 【答案】6727．tan20°cos10°＋3sin10°tan20°＋2cos40°＝________. 【答案】2。

高一数学必修四第一章课后练习

(1)420°(2)-75°(3)855°(4)-510°.
4.在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角:
(1)-54°18′(2)395°8′(3)-1190°30′.
5.写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式-720°≤β<360°的元素β写出来：
1.4.1正弦函数、余弦函数的图像
练习：
1.4.2正弦函数、余弦函数的性质
练习：
2.你认为我们应当如何利用函数的1.4.3正切函数的性质与图像
练习:
1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图像
练习：
3.作一个以5cm为单位长度的圆，然后分别作出225°，330°角的正弦线、余弦线、正切线，量出它们的长度，从而写出这些角的正弦值、余弦值、正切值.
4.你认为三角函数线对认识三角函数概念有哪些作用?
1.2.2同角三角函数的基本关系
练习：
1.3三角函数的诱导公式
练习：
4.填表：
1.4三角函数的图像与性质
5.分别用角度制、弧度制下的弧长公式，计算半径为1m的圆中，60°的圆心角所对的弧的长度（可用计算器）.
6.已知半径为120mm的圆上，有一条弧的长是144mm，求该弧所对的圆心角的弧度数.
1.2.1任意角的三角函数
练习：
3.填表：
角
角的弧度数
sin
cos
tan
练习：
1.你能从单位圆中的三角函数线出发得出三角函数的哪些性质？
第一章三角函数
1.1.1任意角
练习
1.（口答）锐角是第几象限角？第一象限角一定是锐角吗？再分别就直角、钝角来回答这两个问题.
2．（口答）今天是星期三，那么7k（k∈Z）天后的那一天是星期几？7k（k∈Z）天前的那一天是星期几？100天后的那一天是星期几？

高一数学必修四课件加习题精选：1.4.3正切函数的图象和性质

思考：类比研究正弦和余弦函数的方法，你认为正切函数有那些性质？
利用正切线画出函数y tan x, x ( , )的图象
22
y
•
•1
•
．•
o1
2
4
•
0
4
x
2
•
• 1
•
利用正切函数的周期性,把图象向左,右扩展,得到正切函数zxxk
y tan x, x R且x k , (k Z )的图象,并把它
6.对称性：对称中心是( k , 0), k Z
2
2
o 2
x 2
对称轴呢？
例1.求函数
y
tan(
x
)
的定义域、
周期和单调区间。 2 3
解：原函数要有意义，自变量x应满足
2
x
3
2
k
,k
Z
即
x
1 3
2k,
k
Z
所以，原函数的定义域是
{x
|
x
1 3
2k ,
k
Z}.
由于tan[2
(
x
2)
3
]
tan(2
7
7
7
7
变式训练：tan 6 tan
5
5
<
tan( 13
5
画出y | tan x | 并讨论它的单调性，周期性和奇偶性.
3
3
2
2
2
3 2
3
2
2
（1）正切函数的图像
y y tan x
（2）正切函数的性质：
➢定义域：
x
|
x
2
k
,

高一数学必修四综合练习题

高一数学必修四综合练习题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

） 1、 210sin 的值是（） A. 21- B. 21 C. 23-D. 23 2、函数1)4(cos 22--=πx y 是（）A. 最小正周期为π的奇函数B. 最小正周期为π的偶函数C. 最小正周期为2π的奇函数 D . 最小正周期为2π的偶函数3、设角α是第二象限角，且2cos2cosαα-=，则2α角的终边在（）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 4、函数xxx x x x y tan tan cos cos sin sin ++=的值的集合是（） A {}3,1,0,1- B {}3,0,1- C {}3,1- D {}1,1-5、已知平面向量)1,1(=→a ，)1,1(-=→b ，则向量→→-b a 2321的坐标是（）Ａ．(21)--， B ．(21)-，Ｃ．(10)-，Ｄ．6、在锐角△ABC 中，设.cos cos ,sin sin B A y B A x ⋅=⋅=则x,y 的大小关系为（）A.y x ≤B.y x >C.y x <D.y x ≥ 7、将函数sin()3y x π=-图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的函数图象向左平移3π个单位，最后所得到的图象对应的解析式是（）Ａ 1sin 2y x = B 1sin()22y x π=-C 1sin()26y x π=- D sin(2)6y x π=-8、已知向量()1,3=→a ，()3,-=→x b ，且→→⊥b a ，则实数x 的值为（）A. 3-B. 3C. 1-D. 1 9、如图，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，则OA BC AB ++等于( )A ．−→−CDB ．−→−OC C ．−→−DAD ．−→−CO10已知113a (,2sin ),b (cos ,),a 322=α=α且∥b ，则锐角α的值为（） A 、4π B 、2π C 、8π D 、6π11、设),6,2(),3,4(21--P P 且P 在21P P 的延长线上，使212PP P P =,则点P 的坐标是（）A 、)15,8(- B 、 (0,3) C 、)415,21(- D 、)23,1( 12、已知图1是函数π2sin()2y x ωϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭的图象上的一段，则（）Ａ.10π116ωϕ==，Ｂ．10π116ωϕ==-，Ｃ．π26ωϕ==，Ｄ．π26ωϕ==-，13.设集合M=｛x ︱x=9045k ︒︒•+,k ∈Z ｝N=｛x ︱x=4590k ︒︒•+,k ∈Z ｝，A M=NB M ⊆NC M ⊇ND M ∩N= ∅ 14.已知22sin cos 11cot 1tan αααα-=++ ,则α是（）A 第一象限角B 第二象限角C 第三象限角D 第四象限角ABODC15．求00080sin 40sin 20sin -+的值（）A 1B 1-C 3D 016. P=sin14cos14︒︒+ ， Q=214︒-，R =2, 比较P 、Q 、R 的大小关系（）A P>R>QB Q>R>PC R>Q>PD R>P>Q 17. 求函数sin 2cos 2y x x =的最小正周期是（） A 2π B π C2πD 32π18.已知函数()f x 为奇函数，当x>0时，函数f(x)=sin2x+sinx,则当x<0时，()f x 的解析式是（）A ()sin 2sin f x x x =+B ()sin 2sin f x x x =-+C ()sin 2sin f x x x =--D ()sin 2sin f x x x =-19. 下列条件中，不能确定三点A 、B 、P 共线的是（） A ．MB MA MP ︒︒+=10cos 10sin 22 B MB MA MP ︒︒+=70sin 20sin 22 C ．MB MA MP ︒︒+=80cos 10sin 22 D MB MA MP ︒︒+=200cos 20sin 22 20．在ABC ∆中，若C B A B A 22222sin sin cos cos sin =-，则ABC ∆是（）Ａ锐角三角形Ｂ直角三角形Ｃ等腰或直角三角形Ｄ钝角三角形 21. 已知平面向量a ,b ,c 满足|a |=1,|b |=2,|c |=3,且a 、b 、c ,两两所成的角相等，则 |a +b +c |等于（） A 3 B 6或2 C 6 D 6或322.在三角形ABC 中，向量a OA =, b OB =,OD 是AB 边上的高，若AB AD λ=,则实数λ等于（） A2||(b a a b a - B||b a - C ||(b a a b a --⋅ D 2||(b a b a a --⋅23.在三角形ABC 中，tanA,tanB 是方程01832=-+x x 的两个根，则cosC 等于（）A -2B 2C 55-D 5524.若方程0sin cos 22=+-a x x 在20π≤<x 内有实根，则a 的取值范围是A 11≤≤-aB 11≤<-aC 01<≤-aD 45-≤a二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分) 13. 设向量1e 和2e 不共线，若21e e k +与214e e -共线，则实数k 的值等于_________.14.在直角坐标系XOY 中，已知A （4，-3）和B （-6，8），若C 在角AOB 的平分线上，且|OC，则向量OC =_____________. 15. 求值()()()()1tan11tan 21tan 441tan 45︒︒︒︒++⋅⋅⋅⋅++=___________. 16.下列命题正确的序号有 ________________①已知点O 、N 、P 在ABC ∆所在平面内，且|OA |=|OB |=|OC |，0=++NC NB NA ，且PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅,则点O 、N 、P依次是ABC ∆的外心、重心、垂心②若向量a =)2,(x ,b =)5,3(-,且a 与b 的夹角是锐角,则∈x )310,(-∞ ③0)2()(=--⋅-OA OC OB OC OB ,则三角形ABC 为等腰三角形④在ABC ∆中，a AB =,b BC =且0>⋅b a ,则ABC ∆是钝角三角形。

高一数学必修四综合能力检测

本册综合能力检测一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分) 1．在△ABC 中，sin A ·cos A ＝－18，则cos A －sin A 的值为( ) A ．－32 B ．±32 C.52 D ．－52答案：D解析：由(cos A －sin A )2＝1－2sin A cos A ＝54，而在△ABC 中，因为sin A cos A <0可知sin A >0，cos A <0，∴cos A －sin A ＝－52.2．若|a |＝1，|b |＝2，|a ＋b |＝7，则a 与b 的夹角θ的余弦值( ) A ．－12 B.12 C.13 D ．－13 答案：B解析：由|a ＋b |＝7，得：7＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝1＋4＋2×1×2cos θ，所以cos θ＝12.3．如图，在△ABC 中，BD →＝12DC →，AE →＝3ED →，若AB →＝a ，AC →＝b ，则BE →等于( )A.13a ＋13b B ．－12a ＋14b C.12a ＋14b D ．－13a ＋13b答案：B解析：BE →＝AE →－AB →＝34AD →－a ＝34(AB →＋BD →)－a ＝34a －a ＋34BD →＝－14a ＋34×13BC →＝－14a ＋14(AC →－AB →)＝－14a ＋14b －14a ＝14b －12a .4．函数y ＝log 15sin(π3－π4x )的单调递增区间是( ) A ．[－23，103) B ．[－23，103) C ．[－23，103]D ．[8k －23，8k ＋43)(k ∈Z ) 答案：D解析：将原函数转化为y ＝log 15[－sin(π4x －π3)]，由复合函数的单调性可知，整个函数的单调递增区间就是y ＝sin(π4x －π3)的递增区间，且sin(π4x －π3)<0.5. 已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为[－1，12]，则b －a 的值不可能是( )A.π3B.2π3 C ．π D.4π3答案：A解析：画出函数y ＝sin x 的草图分析知b －a 的取值范围为[2π3，4π3]，故选A.6．化简式子2－sin 22＋cos4的值是( ) A ．sin2 B ．－cos2 C.3cos2 D ．－3cos2 答案：D解析：将cos4运用倍角公式变形为1－2sin 22，从而原式化为3－3sin 22，再开方即得结果．7．已知三点A (1,1)、B (－1,0)、C (0,1)，若AB →和CD →是相反向量，则点D 的坐标是( )A ．(－2,0)B ．(2,2)C ．(2,0)D ．(－2，－2) 答案：B解析：设出D 点的坐标(x ，y )，写出向量AB →和CD →的坐标形式，根据它们是相反向量，可以列出关于x ，y 的方程组，从而得解．8．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的部分图像如下图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (11)的值等于( )A ．2B ．2＋ 2C ．2＋2 2D ．－2－2 2答案：C解析：由图像可知，f (x )＝2sin π4x ，其周期为8， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (11) ＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝2sin π4＋2sin π2＋2sin 3π4＝2＋2 2.9．将函数y ＝sin2x 的图像向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式是( )A ．y ＝2cos 2xB ．y ＝2sin 2xC ．y ＝1＋sin(2x ＋π4) D ．y ＝cos2x 答案：A解析：平移后所得的解析式为：y ＝sin2(x ＋π4)＋1 ＝1＋cos2x ＝2cos 2x .10．a ＝(cos2α，sin α)，b ＝(1,2sin α－1)，α∈(π2，π)，若a ·b ＝25，则tan(α＋π4)等于( )A.13B.27C.17D.23答案：C解析：由题意得cos2α＋sin α(2sin α－1)＝25，整理得sin α＝35.又α∈(π2，π)，所以cos α＝－45，所以tan α＝－34.所以tan(α＋π4)＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝17.11．如右图，向量OA →＝a ，OB →＝b ，且BC →⊥OA →，C 为垂足，设向量OC →＝λa (λ>0)，则λ的值为( )A.a ·b|a |2 B.a ·b |a ||b |C.a ·b |b |D.|a ||b |a ·b答案：A解析：OC →为OB →在OA →上的射影．故|OC →|＝a ·b|a |，∴OC →＝a ·b |a |·a |a |＝a ·b |a |2·a .12．使f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)为奇函数，且在[0，π4]上是减函数的θ的一个值是( )A ．－π3 B.π3 C.2π3 D.4π3答案：C解析：f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)＝2sin(2x ＋θ＋π3)，因为f (x )是奇函数，验证得B 、D 不成立；当θ＝－π3时，f (x )＝2sin2x ，当x ∈[0，π4]时，f (x )是增函数，A 不成立；当θ＝2π3时，f (x )＝2sin(2x ＋π)＝－2sin2x 满足条件，故选C.二、填空题(本大共4个小题，每小题5分，共20分)13．已知向量OA →＝(0,1)，OB →＝(k ，k )，OC →＝(1,3)，且AB →∥AC →，则实数k ＝________.答案：－1解析：∵AB →＝(k ，k －1)，AC →＝(1,2)，AB →∥AC →， ∴2k －(k －1)＝0，∴k ＝－1.14．[2011·江苏卷]已知tan(x ＋π4)＝2，则tan xtan2x 的值为________．答案：49解析：由tan(x ＋π4)＝tan x ＋11－tan x ＝2，得tan x ＝13，tan xtan2x ＝tan x ·1－tan 2x 2tan x ＝1－tan 2x 2＝49.15．函数f (x )＝cos xcos x 2－sin x 2的值域是__________．答案：(－2，2) 解析：f (x )＝cos 2x2－sin 2x2cos x 2－sin x 2＝cos x 2＋sin x 2，且cos x 2－sin x2≠0，即sin x 2≠cos x 2，tan x2≠1，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4，x ≠2k π＋π2，k ∈Z . ∵x 2≠k π＋π4，x 2＋π4≠k π＋π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4≠±1，∴f (x )≠±2.∴f (x )∈(－2，2)．16．已知y ＝sin x ＋cos x ，给出以下四个命题：①若x ∈[0，π]，则y ∈[1，2]；②直线x ＝π4是函数y ＝sin x ＋cos x 图像的一条对称轴；③在区间[π4，5π4]上函数y ＝sin x ＋cos x 是增函数；④函数y ＝sin x ＋cos x 的图像可由y ＝2cos x 的图像向右平移π4个单位长度而得到．其中正确命题的序号为________．答案：②④解析：将函数变形后逐个判断正确与否． y ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)．①若x ∈[0，π]，则x ＋π4∈[π4，5π4]，得sin(x ＋π4)∈[－22，1]，即y ∈[－1，2]，①不正确；②记f (x )＝2sin(x ＋π4)，∵f (π2－x )＝2sin(π2－x ＋π4)＝2sin(3π4－x )＝2sin[π－(x ＋π4)]＝2sin(x ＋π4)＝f (x )．从而直线x ＝π4是函数y ＝sin x ＋cos x 图像的一条对称轴，②是正确的；③由于函数y ＝2sin(x ＋π4)是由y ＝2sin x 向左平移π4个单位长度得到的，而函数y ＝2sin x 在区间[π2，3π2]上是单调递减的，从而函数y ＝2sin(x ＋π4)在区间[π4，5π4]上也应该是单调递减的，即命题③不正确；④函数y ＝2cos x 的图像向右平移π4个单位长度得到函数y ＝2cos(x －π4)＝2·cos(π4－x )＝2cos[π2－(x ＋π4)]＝2sin(x ＋π4)，即函数y ＝sin x ＋cos x ，从而命题④正确．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知点A (－3，－4)、B (5，－12)． (1)求AB →的坐标及|AB →|；(2)若OC →＝OA →＋OB →，OD →＝OA →－OB →，求OC →及OD →的坐标； (3)求OA →·OB →.解：(1)AB →＝OB →－OA →＝(8，－8)， |AB →|＝82＋(－8)2＝8 2.(2)OC →＝(－3，－4)＋(5，－12)＝(2，－16)， OD →＝OA →＋BO →＝(－3，－4)＋(－5,12)＝(－8,8)． (3)OA →·OB →＝－3×5＋(－4)×(－12)＝33.18．(本小题满分12分)设函数f (x )＝a ·(b ＋c )，其中向量a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(sin x ，－3cos x )，c ＝(－cos x ，sin x )，x ∈R .(1)求函数f (x )的最大值和最小正周期；(2)将函数y ＝f (x )的图像按向量d 平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d .解：利用数量积的坐标运算将f (x )化简为一种角的三角函数形式后，再利用三角函数性质求解．(1)由题意得f (x )＝a ·(b ＋c )＝(sin x ，－cos x )·(sin x －cos x ，sin x －3cos x )＝sin 2x －2sin x cos x ＋3cos 2x ＝2＋cos2x －sin2x ＝2＋2sin(2x ＋34π)．故f (x )的最大值为2＋2，最小正周期是2π2＝π. (2)由sin(2x ＋34π)＝0得2x ＋3π4＝k π. 即x ＝k π2－3π8，k ∈Z . 于是d ＝(3π8－k π2，－2)，|d |＝(k π2－3π8)2＋4(k ∈Z )．因为k 为整数，要使|d |最小，则只要k ＝1，此时d ＝(－π8，－2)即为所求．19．(本小题满分12分)[2011·广东卷]已知函数f (x )＝2sin(13x －π6)，x ∈R .(1)求f (5π4)的值；(2)设α、β∈[0，π2]，f (3α＋π2)＝1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值．解：(1)f (5π4)＝2sin(13×5π4－π6) ＝2sin π4＝ 2.(2)∵α、β∈[0，π2]，f (3α＋π2)＝1013，f (3β＋2π)＝65. ∴2sin α＝1013，2sin(β＋π2)＝65，即sin α＝513，cos β＝35. ∵cos α＝1213，sin β＝45.cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β＝1213×35－513×45＝1665.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12sin2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin(π2＋φ)(0<φ<π)，其图像过点(π6，12)．(1)求φ的值；(2)将函数y ＝f (x )的图像上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图像，求函数g (x )在[0，π4]上的最大值和最小值．解：(1)因为f (x )＝12sin2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin(π2＋φ)(0<φ<π)．所以f (x )＝12sin2x sin φ＋1＋cos2x 2cos φ－12cos φ＝12sin2x sin φ＋12cos2x cos φ＝12(sin2x sin φ＋cos2x cos φ)＝12cos(2x －φ)．又函数图像过点(π6，12)，所以12＝12·cos(2×π6－φ)，即cos(π3－φ)＝1.又0<φ<π，所以φ＝π3.(2)由(1)知f (x )＝12cos(2x －π3)，将函数y ＝f (x )的图像上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图像，可知g (x )＝f (2x )＝12cos(4x －π3)．因为x ∈[0，π4]，所以4x ∈[0，π]，因此4x －π3∈[－π3，2π3]，故－12≤cos(4x －π3)≤1.所以y ＝g (x )在[0，π4]上的最大值和最小值分别为12和－14.21. (本小题满分12分)[2011·四川卷]已知函数f (x )＝sin(x ＋7π4)＋cos(x －3π4)，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0<α<β≤π2，求证：[f (β)]2－2＝0.解：(1)∵f (x )＝sin(x ＋7π4－2π)＋sin(x －3π4＋π2)＝sin(x －π4)＋sin(x －π4)＝2sin(x －π4)．∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.(2)由已知得cos β·cos α＋sin βsin α＝45，cos βcos α－sin βsin α＝－45，两式相加得2cos βcos α＝0，0<α<β≤π2，β＝π2，∴[f (β)]2－2＝4sin 2π4－2＝0.22. (本小题满分12分)已知a ＝(cos 5x 3，sin 5x 3)，b ＝(cos x 3，－sin x 3)，x∈[0，π2]．(1)求a ·b 及|a ＋b |；(2)若f (x )＝a ·b －2λ|a ＋b |(其中λ>0)的最小值是－32，求λ的值．解：(1)a ·b ＝cos 5x 3cos x 3－sin 5x 3·sin x 3＝cos2x .|a ＋b |＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝ (cos 25x 3＋sin 25x 3)＋2cos2x ＋(sin 2x 3＋cos 2x3)＝2＋2cos2x ＝4cos 2x .又x ∈[0，π2]，∴cos x >0，∴|a ＋b |＝2cos x .(2)f (x )＝a ·b －2λ|a ＋b |＝cos2x －2λ·2cos x ＝2cos 2x －4λcos x －1 ＝2(cos x －λ)2－2λ2－1.①当0<λ≤1时，f (x )的最小值为－2λ2－1， ∴－2λ2－1＝－32，∴λ＝12.②当λ>1时，cos x ＝1时f (x )取最小值1－4λ， ∴1－4λ＝－32，∴λ＝58，又λ>1，故应舍去．所以，所求λ的值为1 2.。

高一数学必修4复习题

高一数学必修4复习题高一数学必修4一、选择题1．将函数()sin 43f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移()0ϕϕ>个单位后关于直线12x π=对称，则ϕ的最小值为（）A ．6πB ．524π C ．4π D ．724π2．将函数()sin 43f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移()0ϕϕ>个单位后关于直线12x π=对称，则ϕ的最小值为（）A ．6πB ．524π C. 4π D ．724π 3．将函数()2cos 2f x x =的图象向右平移6π个单位后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间0,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦和72,6a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上均单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,48ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦4．已知函数()()⎪⎭⎫⎝⎛<>>+=2,0,0sin πϕωϕωA x A x f 的部分图像如图所示，若将()x f 图像上的所有点向右平移12π个单位得到函数()x g 的图象，则函数()x g 的单调递增区间为（）A ．Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,6,3ππππ B ．Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,32,6ππππC ．Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,12,12ππππ D ．Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡--,12,127ππππ5．若函数3cos y x x=-的图象向右平移m （0m >）个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（）A ．6πB ．4π C. 23πD ．3π6．当4x π=时，函数()()()sin 0f x A x A φ=+>取得最小值，则函数34y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭是（） A ．奇函数且图象关于直线2x π=对称 B ．偶函数且图象关于点()0π，对称C.奇函数且图象关于点02π⎛⎫⎪⎝⎭，对称D ．偶函数且图象关于点02π⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称 7．已知函数()()12cos cos 3f x x x ϕ=++是偶函数，其中0 2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则下列关于函数()()cos 2g x x ϕ=-的正确描述是（）A ．()g x 在区间 123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最小值为1- B ．()g x 的图象可由函数()f x 的图象先向上平移2个单位，再向右平移3π个单位得到 C. ()g x 的图象可由函数()f x 的图象向左平移3π个单位得到D ．()g x 的图象可由函数()f x 的图象向右平移3π个单位得到8．三角函数()sin cos f x a x b x =-，若()()44f x f x ππ-=+，则直线0ax by c -+=的倾斜角为（）A ．4πB ．3π C. 23π D ．34π9．函数cos 2y x =的图象向右平移02πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后，与函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像重合，则ϕ=（） A ．12π B ．6π C ．3πD ．512π 10．函数()sin(2)f x A x ϕ=+（2πϕ≤，0A >）部分图像如图所示，且()()0f a f b ==，对不同的1x ，[]2,x a b ∈，若12()()f x f x =，有12()3f x x +=，则（）A ．()f x 在5(,)1212ππ-上是减函数B ．()f x 在5(,)1212ππ-上是增函数C ．()f x 在5(,)36ππ上是减函数D ．()f x 在5(,)36ππ上是增函数 11．设函数()()()sin 30,2f x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（） A．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减B ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增D ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 12．函数xx y 2cos 32sin -=的图象的一条对称轴方程为（）A ．12π=xB ．12π-=x C. 3π=x D ．6π-=x13．已知函数2()sin ()f x x ω=12-（0ω>）的周期为π，若将其图象沿x 轴向右平移a 个单位（0a >），所得图象关于原点对称，则实数a 的最小值为（）A ．πB ．34πC ．2π D ．4π 14．若x 是三角形的最小内角，则函数sin cos sin cos y x x x x=+-的最小值是（）A ．122-+．122+．1 D 2 15．设动直线x a=与函数2()2sin ()4f x x π=+和()32g x x=的图象分别交于M 、N 两点，则||MN 的最大值为（）A 2B 3．2 D ．316．已知函数()()()2sin 20f x x θθπ=-+<<，14f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭则()f x 的一个单调递减区间是（）A ．5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．7,1212ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭17．函数()sin 31f x x x ωω=+的最小正周期为π，当[]x m n ∈，时，()f x 至少有12个零点，则n m -的最小值为（）A ．12πB ．73πC ．6πD ．163π18．如图，某地一天从6:14时的温度变化曲线近似满足函数：sin()y A x b ωϕ=++，则中午12点时最接近的温度为（）A ．26C ︒B ．27C ︒ C ．28C ︒D ．29C ︒ 19．已知()510sin ,ααβαβ=-=均为锐角，则cos 2β=（）A ．3B ．1-C ．0D ．120．已知),0(πα∈,若31)4tan(=-απ,则=α2sin （） A ．-54 B ．54 C ．45- D ．45 21．已知24cos 0352παπα⎛⎫+=-<< ⎪⎝⎭，，则sin sin 3παα⎛⎫++ ⎪⎝⎭等于（）A.43B.33C.33D.4322．已知1sin()63πα-=，则cos 2()3πα⎡⎤+⎢⎥⎣⎦的值是（） A ．79- B ．79 C ．13- D ．1323．已知tan 3θ=，则sin 21cos 2θθ=+（） A ．3 B ．3-3．324．在ABC ∆中，已知C BA sin 2tan =+，给出以下四个论断① tan 1tan AB= ②2sin sin 0≤+<B A ③1cos sin22=+B A④CB A 222sin cos cos=+其中正确的是（）(A)①③ （B ）②④ （C ）①④ （D ）②③25．已知在ABC ∆中，3sin 4cos 6,4sin 3cos 1A B B A +=+=，则角C 的大小为 ( )(A)30︒ (B)150︒ (C)30︒或150︒ ( D)90︒26．将函数2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为()f x ，则函数()f x 的单调递增区间（）A.()5 1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，B.()511 1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦， C.()57 2424k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦， D.()719 2424k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦， 27．将函数sin(4)6y x π=-图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移4π个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A ．12x π=B ．6x π=C ．3x π=D ．12x π=- 28．已知函数()sin x 3f x x π=+-，则12340332017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 的值为（）A ．4033B ．-4033C ．8066D ．-8066 二、解答题29．已知函数()2cos sin()3f x x x π=-23sin cos x x x++．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若()0f x m -=在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦恰有一实根，求m 的取值范围．30．已知函数()23sin 22cos f x x x a=--在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为2.（1）求函数()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域；（2）设11016,0,,,221213235f f πππαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求()sin αβ-的值.31．已知函数()xx x x x f 44cos cos sin 2cos--=.（1）若x 是某三角形的一个内角，且()22-=x f ，求角x 的大小；（2）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，求()x f 的最小值及取得最小值时x 的集合.32．已知函数()21sin 23cos 2f x x x=⑴求()f x 的最小正周期和最小值；⑵将函数()f x 的图象上每一点横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，当2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求()g x 的值域．33．已知函数()23)sin()sin 244f x x x x aππωωω=+-++（0ω>）的图象与直线y m =（0m >）相切，并且切点横坐标依次成公差为π的等差数列，且()f x 的最大值为1．（2）将()f x 的图象向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，若函数()y g x m =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点，求实数m 的取值范围．34．已知函数()4sin cos 4f x x x ωπω⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭在4x π=处取得最值，其中()0,2ω∈.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）将函数()f x 的图象向左平移36π个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，若α为锐角，()23g α4=cos α.35．已知函数2()2sin cos()42f x x x π=--．（1）求()f x 的最小正周期；（2）设(0)2πα∈，，且3()285f απ+=，求tan()4πα+．36．已知函数f(x)2cos 12x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，x ∈R. (1)求f 6π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值； (2)若cos θ＝35，θ∈3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求f 23πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 37．已知函数Rx x x x x f ∈+=,cos sin cos )(2（1）求)6(πf 的值；（2）若53sin =α，且),2(ππα∈，求)242(πα+f .38．已知函数()2()23sin cos 2cos y f x x x x a x R ==++∈，其中a 为常数．（1）求函数()y f x =的周期；（2）如果()y f x =的最小值为0，求a 的值，并求此时)(x f 的最大值及图像的对称轴方程.39．已知函数()sin 2cos 2()f x a b x c x x R =++∈的图像过点(0,1),(,1)4A B π，且b >0，又()f x 的最大值为221.（1）将写成含的形式;（2）由函数y =()f x 图像经过平移是否能得到一个奇函数y =()g x 的图像？若能，请写出平移的过程；若不能，请说明理由．40．（本小题满分10分）3tan123︒- .41．已知函数⎤⎡πππ。

高一数学必修四解答题专练(含答案)

高一数学必修四解答题专练（含答案）1.已知f(α)=sin(π−α)cos(2π−α)tan(−α+π)−tan(−α−π)cos(π2−α)(1)化简f(α)；(2)若α是第三象限角，且cos(α−3π2)=15，求f(α)的值．2.已知函数，x∈R．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若把f(x)向右平移π6个单位得到函数g(x)，求g(x)在区间[−π2,0]上的最小值和最大值．3.如图为函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2,x∈R)的部分图象．(1)求函数解析式；(2)求函数f(x)的单调递增区间；(3)若方程f(x)=m在[−π2,0]上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围．4.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示．(I)求函数f(x)的解析式；(II)求函数f(x)在区间x∈[0,π2]上的最大值和最小值．5.已知a⃗=(sinx,cosx)，b⃗ =(sinx,sinx)，函数f(x)=a⃗⋅b⃗ ．(Ⅰ)求f(x)的对称轴方程；(Ⅱ)求使f(x)≥1成立的x的取值集合；(Ⅲ)若对任意实数x∈[π6,π3]，不等式f(x)−m<2恒成立，求实数m的取值范围．6.已知函数(Ⅰ)求f(x)的值域；(Ⅱ)若不等式|f(x)−m|<2在x∈[π4,π2]上恒成立，求实数m的取值范围．7.设函数f(x)=sin(ωx−π6)+sin(ωx−π2)，其中0<ω<3，已知f(π6)=0．(Ⅰ)求ω；(Ⅱ)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)在[−π4,3π4]上的最小值．8.已知函数．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．9.函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B的一部分图象如图所示，其中A>0，ω>0，|φ|<π2．(1)求函数y=f(x)解析式；(2)求x∈[0,π2]时，函数y=f(x)的值域；(3)将函数y=f(x)的图象向右平移π4个单位长度，得到函数y=g(x)的图象，求函数y=g(x)的单调递减区间．10. 已知向量m ⃗⃗⃗ =(√3sin x 4,1)，n ⃗ =(cos x 4,cos 2x4)，记f(x)=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ． (Ⅰ)求f(x)的单调递减区间； (Ⅱ)若f(a)=32，求cos(2π3−a)的值；(Ⅲ)将函数y =f(x)的图象向右平移2π3个单位得到y =g(x)的图象，若函数y =g(x)−k 在[0,7π3]上有零点，求实数k 的取值范围．11. 已知α∈(π2,π)，且sinα=13．(1)求sin2α的值；(2)若sin(α+β)=−35，β∈(0,π2)，求sinβ的值．12. 已知sinθ+cosθ=15，θ∈(0,π)．(1)求tanθ的值； (2)求1−2sinθcosθcos 2θ−sin 2θ的值．13. 已知a ⃗ =(3,4)，b ⃗ =(2,k)．(1)若(a ⃗ +2b ⃗ )//(a ⃗ −b ⃗ )，求k 的值． (2)若(a ⃗ +b ⃗ )⊥(a ⃗ −b ⃗ )，求k 的值．14. 已知α∈(π2,π)，sinα=√55． (1)求sin(π4+α)的值； (2)求cos(5π6−2α)的值．15. 已知角α的终边在直线y =−√3x 上，(1)求tanα，并写出与α终边相同的角的集合S ； (2)求值√3sin(α−π)+5cos(2π−α)−√3cos(3π2+α)+cos(π+α)．16. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=1，向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ −b ⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +3b ⃗ ．(1)若a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为60°，求|a ⃗ −b ⃗ |的值；(2)若，求向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角θ的值．17.已知函数f(x)=4sinxcos(x−π3)−√3．(Ⅰ)求f(x)的最小正周期、零点；(Ⅱ)求f(x)在区间[π24,3π4]上的最大值和最小值．18.已知−π2<x<0，sinx+cosx=15．(1)sinx−cosx的值．(2)求tan x的值．19.已知m⃗⃗⃗ =(12sinx,√32)，n⃗=(cosx,cos2x−12)(x∈R)，且函数f(x)=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗．(1)求f(x)的对称轴方程；(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)=0，sinB=45，a=√3，求b的值．20.已知向量a⃗=(sinx,34)，b⃗ =(cosx,−1)．(1)当a⃗//b⃗ 时，求cos2x−sin2x的值；(2)设函数f(x)=2(a⃗+b⃗ )⋅b⃗ ，已知f(α2)=34，α∈(π2,π)，求sinα的值．21.已知函数y=4cos2x−4√3sinxcosx−1(x∈R)．(1)求出函数的最小正周期；(2)求出函数的最大值及其相对应的x值；(3)求出函数的单调增区间；(4)求出函数的对称轴．22.已知函数f(x)=4tanxsin(π2−x)cos(x−π3)−√3．(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f(x)在区间[−π4,π4]上的单调性．23.已知函数f(x)=2sinxcosx−2√3cos2x+√3．(1)当x∈[0,π2]时，求函数f(x)的值域；(2)求函数y=f(x)的图象与直线y=1相邻两个交点间的最短距离．24.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，设向量m⃗⃗⃗ =(a,c)，n⃗=(cosC,cosA)．(1)若m⃗⃗⃗ //n⃗，a=√3c，求角A；(2)若m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=3bsinB，cosA=35，求cos C的值．25.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=13，求B．26.已知f(x)=2sin(2x−π6)(Ⅰ)求函数f(x)的单调递增区间与对称轴方程；(Ⅱ)当x∈[0,π2]时，求f(x)的最大值与最小值．27.已知函数f(x)=sin2x+√3sinxcosx．(Ⅰ)求f(x)的最小正周期；(Ⅱ)若f(x)在区间[−π3,m]上的最大值为32，求m的最小值．28.若f(x)=Asin(ωx+θ)(A>0,ω>0,|θ|<π2)的图象如图所示，(1)求f(x)的解析式．(2)求f(x)的单调区间及对称轴．29.已知向量a⃗=(4,3)，b⃗ =(1,2)．(1)设a⃗与b⃗ 的夹角为θ，求cosθ的值；(2)若a⃗−λb⃗ 与2a⃗+b⃗ 垂直，求实数λ的值..30.已知函数f(x)=√3cos(2x−π3)−2sinxcosx．(I)求f(x)的最小正周期；(II)求证：当x∈[−π4,π4]时，f(x)≥−12．答案和解析1.【答案】解：(1)f(α)=sin(π−α)cos(2π−α)tan(−α+π)−tan(−α−π)cos(π2−α)=sinαcosα⋅(−tanα)tanα⋅sinα=−cosα；(2)α是第三象限角，且cos(α−3π2)=15，∴sinα=−15， ∴cosα=−√1−sin 2α=−√1−(−15)2=−2√65，∴f(α)=−cosα=2√65．【解析】本题考查了三角函数的诱导公式与同角三角函数关系的应用问题，是基础题． (1)利用三角函数的诱导公式化简f(α)即可；(2)根据诱导公式，利用同角的三角函数关系计算即可． 2.【答案】解：(1)f(x)=1+2√3sinxcosx −2sin 2x ， =√3sin2x +cos2x =2sin(2x +π6)，令2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2，k ∈Z ，得kπ−π3≤x ≤kπ+π6，k ∈Z ，可得函数f(x)的单调增区间为[kπ−π3,kπ+π6]，k ∈Z ；令2kπ+π2≤2x +π6≤2kπ+3π2，k ∈Z ，得kπ+π6≤x ≤kπ+2π3，k ∈Z ，可得函数f(x)的单调减区间为[kπ+π6,kπ+2π3]，k ∈Z ；(2)若把函数f(x)的图像向右平移π6个单位，得到函数的图像，∵x ∈[−π2,0]，∴2x −π6∈[−7π6,−π6]，．故g(x)在区间[−π2,0]上的最小值为−2，最大值为1．【解析】本题主要考查三角函数的化简及函数y =Asin(ωx +φ)的图象性质和最值，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属于中档题． (1)利用二倍角公式和辅助角公式，化简函数f(x)的解析式，再利用正弦函数的单调性，ωx+φ的范围，即可利用正弦函数的性质求出g(x)的最小值和最大值．3.【答案】解：(1)由题中的图象知，A=2，T4=π3−π12=π4，即T=π，所以ω=2πT=2，根据五点作图法，令2×π12+φ=π2+2kπ,k∈Z，得到φ=π3+2kπ,k∈Z，∵|φ|<π2，∴φ=π3，∴解析式为f(x)=2sin(2x+π3)；(2)令2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2，k∈Z，解得kπ−5π12≤x≤kπ+π12，k∈Z，∴f(x)的单调递增区间为[kπ−5π12,kπ+π12]，k∈Z；(3)由x∈[−π2,0]，f(x)=2sin(2x+π3)的图象如下图所示：当时，f(x)=−√3，所以当方程f(x)=m在[−π2,0]上有两个不相等的实数根时，观察函数的图象可知，m∈(−2,−√3]．【解析】本题考查了由三角函数图象求解析式以及利用三角函数的性质求单调区间以及数形结合求参数范围，熟练掌握三角函数的图象和性质是解答的关键，属于中档题(1)由已知图象求出A、T，代点求出φ，求得解析式；(2)由(1)的解析式，结合三角函数的性质求单调增区间；(3)利用数形结合求满足条件的m的范围．4.【答案】解：(I)由图可知，A=2，3T 4=9π12，得T=π，解得ω=2，f(π3)=2sin(2π3+φ)=2，即2π3+φ=π2+2kπ，k∈Z，|φ|<π2，所以φ=−π6，故f(x)=2sin(2x−π6)；(II)当x∈[0,π2]时，2x−π6∈[−π6,5π6]，故f(x)min=2sin(−π6)=−1，f(x)max=2sinπ2=2．【解析】本题主要考查了三角函数图形，以及三角函数解析式与最值，属于中档题．(I)由图形可直接得出A，求出ω，φ即可；(II)根据解析式，以及定义域，可求出2x−π6∈[−π6,5π6]，可求出最大值与最小值．5.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=a⃗⋅b⃗=sin2x+sinx⋅cosx=1−cos2x2+12sin2x=√22sin(2x−π4)+12，令2x−π4=kπ+π2,k∈Z，解得x=kπ2+3π8,k∈Z．∴f(x)的对称轴方程为x=kπ2+3π8,k∈Z．(Ⅱ)由f(x)≥1得√22sin(2x−π4)+12≥1，即sin(2x−π4)≥√22，∴π4+2kπ≤2x−π4≤3π4+2kπ,k∈Z，解得π4+kπ≤x≤π2+kπ,k∈Z，故x的取值集合为{x|π4+kπ≤x≤π2+kπ,k∈Z}．(Ⅲ)∵x∈[π6,π3]，∴π12≤2x−π4≤5π12，又∵y=sinx在[0,π2]上是增函数，∴sinπ12≤sin(2x−π4)≤sin5π12，又sin5π12=sin(π6+π4)=√6+√24，∴f(x)在[π6,π3]上的最大值为f(x)max=√22×√6+√24+12=√3+34，∵f(x)−m<2恒成立，∴m>f(x)max−2，即m>√3−54，∴实数m的取值范围是(√3−54,+∞)．【解析】本题考查三角函数的图象与性质，三角恒等变换中的公式，向量数量积的运算，以及恒成立问题的转化，考查转化思想，化简、变形能力，属于中档题．(Ⅰ)利用向量的数量积运算、二倍角的公式，两角差的正弦公式化简解析式，由三角函数的对称轴和整体思想求出f(x)的对称轴方程；(Ⅱ)由(Ⅰ)化简f(x)≥1，由正弦函数的图象与性质列出不等式，求出不等式的解集；(Ⅲ)由由x的范围求出2x−π4的范围，利用三角函数的性质求出f(x)的最大值，根据条件和恒成立问题列出不等式，求出实数m的取值范围．6.【答案】解：(Ⅰ=1+sin2x−√3cos2x=1+2sin(2x−π3)，又∵x∈[π4,π2]，，即，∴f(x)∈[2,3]；(Ⅱ)由|f(x)−m|<2恒成立，可得f(x)−2<m<f(x)+2恒成立，又，∴m>f(x)max−2且m<f(x)min+2，结合(1)知，∴1<m<4，即m的取值范围是(1,4)．【解析】本题考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，不等式的解法及其应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．(Ⅰ)利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f(x)=1+2sin(2x−π3)，由已知可求范围，利用正弦函数的性质即可得解其值域；(Ⅱ)由|f(x)−m|<2恒成立可得，m>f(x)max−2且m<f(x)min+2，结合(1)即可得解．7.【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)=sin(ωx−π6)+sin(ωx−π2)=sinωxcos π6−cosωxsinπ6−sin(π2−ωx)=√32sinωx−32cosωx=√3sin(ωx−π3)，又f(π6)=√3sin(π6ω−π3)=0，∴π6ω−π3=kπ，k ∈Z ，解得ω=6k +2，又0<ω<3， ∴ω=2；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)=√3sin(2x −π3)，将函数y =f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y =√3sin(x −π3)的图象；再将得到的图象向左平移π4个单位，得到y =√3sin(x +π4−π3)的图象， ∴函数y =g(x)=√3sin(x −π12)；当x ∈[−π4,3π4]时，x −π12∈[−π3,2π3]，∴sin(x −π12)∈[−√32,1]， ∴当x =−π4时，g(x)取得最小值是−√32×√3=−32．【解析】本题考查了三角恒等变换与正弦型函数在闭区间上的最值问题，是中档题． (Ⅰ)利用三角恒等变换化函数f(x)为正弦型函数，根据f(π6)=0求出ω的值； (Ⅱ)写出f(x)解析式，利用平移法则写出g(x)的解析式，求出x ∈[−π4,3π4]时g(x)的最小值．8.【答案】解：(1)由函数f(x)=(sinx +cosx)2+cos2x −1．化简可得：f(x)=2sinxcosx +cos2x=sin2x +cos2x =√2sin(2x +π4)，∴函数f(x)的最小正周期T =2π2=π，(2)由(1)可知，f(x)=√2sin(2x +π4)， ∵x ∈[−π4,π4]，∴2x +π4∈[−π4,3π4]，当2x +π4=π2时，x =π8，∴f(x)在(−π4,π8)上单调递增，在(π8,π4)上单调递减， f(−π4)=−1，f(π8)=√2，f(π4)=1，故得函数f(x)在区间[−π4,π4]上的最大值和最小值分别为√2，−1．【解析】本题考查三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，属于中档题．(1)利用二倍角以及辅助角公式将函数化为y=√2sin(2x+π4)，再利用周期公式求函数的最小正周期；(2)根据x∈[−π4,π4]求出2x+π4∈[−π4,3π4]，再结合三角函数的图象和性质，求出f(x)的最大值和最小值．9.【答案】解：(1)根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B的一部分图象，其中A>0，ω>0，|φ|<π2，∵{A+B=4−A+B=0,∴{A=2B=2,∵T4=14⋅2πω=5π12−π6，∴ω=2，再根据，可得，，∵|φ|<π2，∴φ=π6，∴函数y=f(x)的解析式为f(x)=2sin(2x+π6)+2；(2)∵x∈[0,π2]，∴2x+π6∈[π6,7π6]，∴sin(2x+π6)∈[−12,1]，∴函数y=f(x)的值域为[1,4]；(3)将函数y=f(x)的图象向右平移π4个单位长度，得到函数g(x)=2sin[2(x−π4)+π6]+2=2sin(2x−π3)+2的图象，对于函数g(x)=2sin(2x−π3)+2，令2kπ+π2≤2x−π3≤2kπ+3π2，求得kπ+5π12≤x≤kπ+11π12，故函数g(x)的单调减区间为[kπ+5π12,kπ+11π12]，k∈Z．【解析】本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求函数解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，还考查了正弦函数的定义域和值域，正弦函数的单调性，属于中档题．(1)由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式；(2)利用正弦函数的定义域和值域，求得x ∈[0,π2]时，函数y =f(x)的值域； (3)利用正弦函数的单调性，求得函数y =g(x)的单调递减区间．10.【答案】解：(Ⅰ，由2kπ+π2≤x2+π6≤2kπ+3π2，，求得4kπ+2π3≤x ≤4kπ+8π3，所以f(x)的单调递减区间是[4kπ+2π3,4kπ+8π3]，；(Ⅱ)由已知f(a)=32，得sin(a2+π6)+12=32，即，则a =4k 1π+2π3，．∴cos(2π3−a)=cos(2π3−4k 1π−2π3)=1；(Ⅲ)将函数y =f(x)的图象向右平移2π3个单位得到g(x)=sin(x2−π6)+12的图象， ∵x ∈[0,7π3]，∴−π6≤x2−π6≤π，所以−12≤sin(x2−π6)≤1，∴0≤sin(x2−π6)+12≤32．若函数y =g(x)−k 在[0,7π3]上有零点，则函数y =g(x)的图象与直线y =k 在[0,7π3]上有交点，所以实数k 的取值范围为[0,32].【解析】本题考查向量的数量积公式，三角恒等变换，三角函数的单调性，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，三角函数的定义域和值域，属于中档题．(Ⅰ)根据两个向量的数量积公式，三角恒等变换，三角函数的单调性，求f(x)的单调递减区间；(Ⅱ)由题意f(a)=32，求出a =4k 1π+2π3，，代入cos(2π3−a)可得结果；(Ⅲ)利用y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，三角函数的定义域和值域，求得实数k 的取值范围．11.【答案】解：(1)∵α∈(π2,π)，且sinα=13，∴cosα=−√1−sin 2α=−2√23， ∴sin2α=2sinαcosα=2×13×(−2√23)=−4√29． (2)∵sin(α+β)=−35，β∈(0,π2)，α∈(π2,π)， ∴α+β∈(π,3π2)，∴cos(α+β)=−√1−sin 2(α+β)=−45，∴sinβ=sin[(α+β)−α]=sin(α+β)cosα−cos(α+β)sinα =−35×(−2√23)−(−45)×13=6√2+415．【解析】本题主要考查同角三角函数的基本关系，三角函数在各个象限中的符号，二倍角的正弦公式，以及两角和差的正弦公式的应用，属于中档题．(1)利用同角三角函数的基本关系，三角函数在各个象限中的符号，求得cosα的值，再利用二倍角的正弦公式求得sin2α的值． (2)先确定α+β∈(π,3π2)，可得 cos(α+β)的值，再根据sinβ=sin[(α+β)−α]，利用两角差的正弦公式求得结果．12.【答案】解：(1)∵sinθ+cosθ=15，θ∈(0,π)①，则sinθ>0，①式两边平方可得1+2sinθcosθ=125， ∴sinθcosθ=−1225②，由①②求得sinθ=45，cosθ=−35， ∴tanθ=sinθcosθ=−43；(2)1−2sinθcosθ22=(cosθ−sinθ)2=cosθ−sinθcosθ+sinθ=1−tanθ1+tanθ=−7．【解析】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．(1)由题意利用同角三角函数的基本关系求得sinθ和cosθ的值，可得tanθ的值；(2)利用同角三角函数的基本关系，化简要求的式子，再把tanθ的值代入，可得结果．13.【答案】解：a ⃗ =(3,4)，b ⃗ =(2,k)．(1)a ⃗ +2b ⃗ =(7,4+2k)，a ⃗ −b ⃗ =(1,4−k)，(a ⃗ +2b ⃗ )//(a ⃗ −b⃗ )，可得：28−7k =4+2k ，解得k=83．(2)a⃗+b⃗ =(5,4+k)．a⃗−b⃗ =(1,4−k)，(a⃗+b⃗ )⊥(a⃗−b⃗ )，可得：5+16−k2=0，解得k=±√21．【解析】利用向量的共线与垂直的充要条件列出方程求解即可．本题考查向量共线与垂直的充要条件的应用，考查计算能力．14.【答案】解：α∈(π2,π)，sinα=√55.∴cosα=−√1−sin2α=−2√55(1)sin(π4+α)=sinπ4cosα+cosπ4sinα=√22×(−2√55)+√22×√55=−√1010；∴sin(π4+α)的值为：−√1010．(2)∵α∈(π2,π)，sinα=√55.∴cos2α=1−2sin2α=35，sin2α=2sinαcosα=−45∴cos(5π6−2α)=cos5π6cos2α+sin5π6sin2α=−√32×35+12×(−45)=−4+3√310．cos(5π6−2α)的值为：−4+3√310．【解析】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．(1)通过已知条件求出cosα，然后利用两角和的正弦函数求sin(π4+α)的值；(2)求出cos2α，然后利用两角差的余弦函数求cos(5π6−2α)的值．15.【答案】解：(1)∵角α的终边在直线y=−√3x上，∴tanα=−√3，与α终边相同的角的集合S={α|α=2kπ+2π3，或α=2kπ−π3，k∈Z，}，即S={α|α=kπ+2π3,k∈Z};(2)√3sin(α−π)+5cos(2π−α)−√3cos(3π2+α)+cos(π+α)=−√3sinα+5cosα−√3sinα−cosα=√3tanα+5−√3tanα−1=√3tanα−5√3tanα+1=4．【解析】本题主要考查任意角的三角函数的定义，终边相同的角的表达方式，同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．(1)利用任意角的三角函数的定义，求得tanα的值，再根据终边相同的角的表达方式求得与α终边相同的角的集合S;(2)利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得所给式子的值．16.【答案】解：(1)a⃗⋅b⃗ =2×1×cos60°=1．∴|a ⃗ −b ⃗ |2=a ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=4−2+1=3． ∴|a ⃗ −b ⃗ |=√3．(2)∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即(2a ⃗ −b ⃗ )⋅(a ⃗ +3b ⃗ )=2a ⃗ 2+5a ⃗ ⋅b ⃗ −3b ⃗ 2=8+10cosθ−3=0． ∴cosθ=−12，又θ∈[0°,180°] ∴θ=120°．【解析】本题考查了平面向量的数量积运算，夹角公式和模的求法，属于基础题．(1)求出a ⃗ ⋅b ⃗ ，对|a ⃗ −b ⃗ |取平方计算可解； (2)由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，列出方程解出cosθ，得到θ的值．17.【答案】解：函数f(x)=4sinxcos(x −π3)−√3．化简可得：f (x )=4sinx(12cosx +√32sinx)−√3=2sinxcosx +2√3sin 2x −√3=sin2x +√3(1−cos2x )−√3 =sin2x −√3cos2x=2sin (2x −π3)，(Ⅰ)∴函数f(x)的最小正周期T =2π2=π，令f(x)=2sin(2x −π3)=0，即2x −π3=kπ,k ∈Z ，解得：，∴函数f(x)的零点是x =π6+kπ2,k ∈Z ．(Ⅱ)∵π24≤x ≤3π4，∴π12≤2x ≤3π2，∴−π4≤2x −π3≤7π6，∴当2x −π3=−π4，即x =π24时，函数f(x)的最小值为−√2；当2x −π3=π2，即x =5π12时，函数f(x)的最大值为2．∴f(x)在区间[π24,3π4]上的最大值为2，最小值−√2．【解析】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于基础题．(Ⅰ)利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y =Asin (ωx +φ)的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，令f(x)=0，解得x 的值即为零点．(Ⅱ)x∈[π24,3π4]上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，即得出f(x)的最大值和最小值．18.【答案】解：(1)∵−π2<x<0，∴sinx−cosx=−√(sinx−cosx)2=−√1−2sinxcosx=−√1−[(sinx+cosx)2−1]=−√1+2425=−75；(2)∵sinx+cosxsinx−cosx =tanx+1tanx−1=−17，∴tanx=−34．【解析】本题考查同角三角函数间的基本关系系，是基础题．解题时要认真审题，注意三角函数的符号．(1)先利用同角三角函数间的关系把sinx−cosx等价转化为−√1−2sinxcosx，由此能求出sinx−cosx的值；(2)先sinx+cosxsinx−cosx 分子分母同时除以cos x，得到tanx+1tanx−1=−17，由此能求出tan x的值．19.【答案】解：=12sin(2x+π3)，令2x+π3=kπ+π2，可得x=12kπ+π12，即f(x)的对称轴方程为x=12kπ+π12，k∈Z；(2)f(A)=12sin(2A+π3)=0，，得，∴当k=1时，A=π3，∵sinB=45，a=√3，∴由正弦定理可得b45=√3√32，∴b=85．【解析】本题考查三角函数的图象与性质，考查正弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．(1)利用向量条件，结合辅助角公式化简函数，利用正弦函数的性质，求f(x)的对称轴方程；(2)求出A，利用正弦定理，求b的值．20.【答案】解：(1)因为a⃗//b⃗ ，所以34cosx+sinx=0，所以tanx=−34．故cos2x−sin2x=cos2x−2sinxcosxsin2x+cos2x=1−2tanx 1+tan2x=1−2×(−3 4 )1+(−34)2=85．(2)f(x)=2(a⃗+b⃗ )⋅b⃗=2sinxcosx−32+2(cos2x+1)=sin2x+cos2x+32=√2sin(2x+π4)+32，因为f(α2)=34，所以f(α2)=√2sin(α+π4)+32=34，即sin(α+π4)=−3√28，因为α∈(π2,π)，所以3π4<α+π4<5π4，故cos(α+π4)=−(3√28)=−√468，所以sinα=sin[(α+π4)−π4]=√22[sin(α+π4)−cos(α+π4)] =√22×(−3√28+√468)=−3+√238．【解析】本题主要考查向量的坐标运算，以及向量和三角函数的综合应用，属于中档题．(1)根据向量关系的坐标表示进行转化，结合三角函数的性质进行求解即可．(2)根据向量数量积的坐标表示求出函数f(x)的解析式，结合三角函数的相关公式进行化简求解．21.【答案】解：y=4cos2x−4√3sinxcosx−1=4×1+cos2x2−2√3sin2x=2cos2x−2√3sin2x+2=−4sin(2x−π6)+2(1)函数的最小正周期T=2π2=π；(2)当sin(2x−π6)=−1时，函数取最大值为：6，此时2x−π6=−π2+2kπ(k∈Z)，解得x=−π6+kπ(k∈Z)；(3)由π2+2kπ≤2x−π6≤3π2+2kπ(k∈Z)得，π3+kπ≤x≤5π6+kπ(k∈Z)，∴函数的单调增区间是[π3+kπ,5π6+kπ](k∈Z)；(4)由2x−π6=π2+kπ(k∈Z)得，x=π3+kπ2(k∈Z)，∴函数的对称轴方程是x=π3+kπ2(k∈Z)．【解析】利用二倍角的正弦、余弦公式，以及两角差的正弦公式，化简函数解析式化为y=−4sin(2x−π6)+2，(1)根据最小正周期公式T=2π|ω|求解；(2)根据解析式知：当sin(2x−π6)=−1时，函数取最大值，求出原函数的最大值和对应的x的值；(3)根据解析式知：原函数的单调增区间为正弦函数单调减区间，即π2+2kπ≤2x−π6≤3π2+2kπ(k∈Z)，求解即可；(4)根据正弦函数得对称轴得2x−π6=π2+kπ(k∈Z)，求解即可．本题考查正弦函数的性质和三角恒等变换，涉及的公式有：二倍角的正弦、余弦公式，以及两角和与差的正弦公式，其中灵活利用三角函数的恒等变形把函数解析式化为一个角的三角函数是解本题的关键，注意化简解析式是一定要把ω化为正的．22.【答案】解：(1)∵f(x)=4tanxsin(π2−x)cos(x−π3)−√3．∴x≠kπ+π2，即函数的定义域为{x|x≠kπ+π2,k∈Z}，则f(x)=4tanxcosx⋅(12cosx+√32sinx)−√3=4sinx(12cosx+√32sinx)−√3=2sinxcosx+2√3sin2x−√3=sin2x+√3(1−cos2x)−√3=sin2x−√3cos2x=2sin(2x−π3)，则函数的周期T=2π2=π；(2)由2kπ−π2<2x−π3<2kπ+π2，k∈Z，得kπ−π12<x<kπ+5π12，k∈Z，即函数的增区间为(kπ−π12,kπ+5π12)，k∈Z，当k=0时，增区间为(−π12,5π12)，∵x∈[−π4,π4]，∴此时x∈(−π12,π4]，由2kπ+π2<2x−π3<2kπ+3π2，k∈Z，得kπ+5π12<x<kπ+11π12，k∈Z，即函数的减区间为(kπ+5π12,kπ+11π12)，k∈Z，当k=−1时，减区间为(−7π12,−π12)，∵x∈[−π4,π4]，∴此时x∈[−π4,−π12)，即在区间[−π4,π4]上，函数的减区间为∈[−π4,−π12)，增区间为(−π12,π4].【解析】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的诱导公式，两角和差的余弦公式以及辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关键．(1)利用三角函数的诱导公式以及两角和差的余弦公式，结合三角函数的辅助角公式进行化简求解即可．(2)利用三角函数的单调性进行求解即可．23.【答案】解：(1)f(x)=2sinxcosx−2√3cos2x+√3=sin2x−√3cos2x=2sin(2x−π3)，当x∈[0,π2]时，2x−π3∈[−π3,2π3]，则x=0时，f(x)min=2sin(−π3)=−√3，当2x−π3=π2，即时，f(x)max=2sinπ2=2；所以f(x)的值域为[−√3,2]．(2)令f(x)=2sin(2x−π3)=1，∴sin(2x−π3)=12，故2x −π3=2kπ+π6或2x −π3=2kπ+5π6，k ∈Z ，即x =kπ+π4或，k ∈Z ，∴函数y =f(x)的图象和直线y =1时的两交点的最短距离为π3．【解析】本题主要考查正弦函数的定义域和值域，函数的零点与方程的根的关系，属于中档题．(1)由条件利用f(x)中x 的范围，求得函数f(x)的值域． (2)令f(x)=2sin(2x −π3)=1，求得x 的值，可得结论． 24.【答案】解：(1)∵m⃗⃗⃗ //n ⃗ ，∴acosA =ccosC ， ∴sinAcosA =sinCcosC ，∴sin2A =sin2C ，又A 、C 为三角形的内角， ∴2A =2C 或2A +2C =π，∴A =C(由a =√3c 舍去此种情况) 或，∴B =π2，Rt △ABC 中，a =√3c ，则tanA =√3，A =π3；(2)∵m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =3bsinB ，∴acosC +ccosA =3bsinB ，由正弦定理可得sinAcosC +sinCcosA =3sin 2B ， ∴sin(A +C)=3sin 2B ，又sinB ≠0， ∴sinB =13，∵cosA =35，∴sinA =45，∵sinA >sinB ，∴a >b ，A >B ， ∴cosB =2√23，∴cosC =−cos(A +B)=−35×2√23+45×13=4−6√215．【解析】本题综合考查向量与解三角形，属于中档题． (1)若m ⃗⃗⃗ //n ⃗ ，可得acosA =ccosC ，利用正弦定理可求B ，利用a =√3c ，求角A ； (2)若m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =3bsinB ，由正弦定理和两角和的正弦公式可得sinB =13，又cosA =35，再利用诱导公式结合两角和的余弦公式即可求cos C 的值．25.【答案】解：∵3acosC=2ccosA，由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，∴3tanA=2tanC，∵tanA=13，∴2tanC=3×13=1，解得tanC=12．∴tanB=tan[π−(A+C)]=−tan(A+C)=−tanA+tanC1−tanAtanC =−13+121−13×12=−1，∵B∈(0,π)，∴B=3π4【解析】本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．由3acosC=2ccosA，利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，再利用同角的三角函数基本关系式可得tan C，利用tanB=tan[π−(A+C)]=−tan(A+C)即可得出．26.【答案】解：(Ⅰ)因为f(x)=2sin(2x−π6)，由−π2+2kπ≤2x−π6≤π2+2kπ,k∈Z，求得−π6+kπ≤x≤π3+kπ，可得函数f(x)的单调递增区间为[−π6+kπ,π3+kπ]，k∈Z．由2x−π6=π2+kπ,k∈Z，求得x=π3+kπ2．故f(x)的对称轴方程为x=π3+kπ2，其中k∈Z．(Ⅱ)因为0≤x≤π2，所以−π6≤2x−π6≤5π6，故有−12≤sin(2x−π6)≤1故当2x−π6=−π6即x=0时，f(x)的最小值为−1，当2x−π6=π2即x=π3时，f(x)的最大值为2．【解析】本题主要考查正弦函数的单调性、以及图象的对称性，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．(Ⅰ)利用正弦函数的单调性、以及图象的对称性，求得函数f(x)的单调递增区间与对称轴方程．(Ⅱ)当x∈[0,π2]时，利用正弦函数的定义域和值域，求得f(x)的最大值与最小值．27.【答案】解：(I)函数f(x)=sin2x+√3sinxcosx=1−cos2x2+√32sin2x=sin(2x−π6)+12，f(x)的最小正周期为T=2π2=π；(Ⅱ)若f(x)在区间[−π3,m]上的最大值为32，可得2x−π6∈[−5π6,2m−π6]，即有2m−π6≥π2，解得m≥π3，则m的最小值为π3．【解析】(I)运用二倍角公式的降幂公式和两角差的正弦公式和周期公式，即可得到所求值；(Ⅱ)求得2x−π6的范围，结合正弦函数的图象可得2m−π6≥π2，即可得到所求最小值．本题考查三角函数的化简和求值，注意运用二倍角公式和三角函数的周期公式、最值，考查运算能力，属于中档题．28.【答案】解：(1)由题干图象知，周期T=11π12−(−π12)=π，∴ω=2πT=2．∵点(−π12,0)在函数图象上，∴Asin(−2×π12+θ)=0，即sin(−π6+θ)=0．又∵−π2<θ<π2，∴−2π3<−π6+θ<π3，从而−π6+θ=0，即θ=π6．又∵点(0,1)在函数图象上，∴1=Asin(π6)，解得：A=2．故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin(2x+π6).(2)由(1)可知f(x)=2sin(2x+π6).根据正弦函数图象及性质，可知：2x+π6∈[2πk−π2,2kπ+π2]是单调增区间，即2πk−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，解得：kπ−π3≤x≤kπ+π6，(k∈Z)，可知：2x+π6∈[2πk+π2,2kπ+3π2]是单调减区间，即2πk+π2≤2x+π6≤2kπ+3π2，解得：kπ+π6≤x≤kπ+2π3.(k∈Z)，可知：对称轴方程为2x+π6=kπ+π2，(k∈Z)，解得：x =12kπ+π6，(k ∈Z)，故得f(x)的单调增区间是[kπ−π3,kπ+π6](k ∈Z)；单调减区间是[kπ+π6,kπ+2π3](k ∈Z)，对称轴方程：x =12kπ+π6，(k ∈Z)．【解析】本题主要考查三角函数的图象和性质，学会看图象，搞懂图象的含义求出函数的解析式是关键．(1)根据图象求出A ，ω和θ，即可求函数f(x)的解析式； (2)根据正弦函数图象及性质可得f(x)的单调区间及对称轴．29.【答案】解：(1)向量a ⃗ =(4,3)，b ⃗ =(1,2)，则a ⃗ ⋅b ⃗ =4×1+3×2=10，且|a ⃗ |=√42+32=5， |b ⃗ |=√12+22=√5；设a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为θ，则cosθ=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |×|b⃗ |=5×√5=2√55； (2)若a ⃗ −λb ⃗ 与2a ⃗ +b ⃗ 垂直，则(a ⃗ −λb ⃗ )⋅(2a ⃗ +b ⃗ )=0，即2a ⃗ 2+(1−2λ)a ⃗ ⋅b ⃗ −λb ⃗ 2=0，所以2×52+10(1−2λ)−5λ=0，解得λ=125．【解析】本题考查了平面向量的数量积，向量的夹角，向量的模，属于基础题． (1)根据平面向量的模与数量积运算，可求出a ⃗ 、b ⃗ 夹角的余弦值； (2)根据两向量垂直，数量积为0，列出方程求出λ的值．30.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=√3cos(2x −π3)−2sinxcosx ，=√3(12cos2x +√32sin2x)−sin2x ，=√32cos2x +12sin2x ，=sin(2x +π3)，∴T =2π2=π，∴f(x)的最小正周期为π， (Ⅱ)∵x ∈[−π4,π4]， ∴2x +π3∈[−π6,5π6]，∴−12≤sin(2x +π3)≤1，∴f(x)≥−1．2【解析】本题考查了三角函数的化简以及周期的定义和正弦函数的图象和性质，属于基础题)，根据周期的(Ⅰ)根据两角差的余弦公式和两角和正弦公式即可求出f(x)=sin(2x+π3定义即可求出，(Ⅱ)根据正弦函数的图象和性质即可证明．。

(word完整版)高一数学必修四综合试题

高一数学必修四综合试题一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1、已知sin()0,cos()0πθπθ+<-<，则角θ所在的象限是（）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限2、cos ,[,]62y x x ππ=∈-的值域是（）A 、[0,1]B 、[1,1]- C、[0,2D 、1[,0]2-3、在ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ；若a ，b ，c 成等比数列，且c ＝2a ，则cos B =（）A 、14B 、34C、4 D、3４、“12a =”是“函数22cos 2sin 2y ax ax =-的最小正周期委π”的（） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件５、若角θ的终边过点P (4,3)(0)a a a -≠，则sin cos θθ+等于 ( )A 、15-B 、15C 、15± D 、不能确定，与a 的值有关 6、函数()sin()6f x x π=+在(0,2)π上的图象与x 轴的交点的横坐标为（）A 、1166ππ-或 B 、566ππ或 C 、51166ππ或D 、766ππ或 7、下列判断正确的是 ( )A 、若向量AB CD u u u r u u u r与是共线向量，则A,B,C,D 四点共线B 、单位向量都相等C 、共线的向量，若起点不同，则终点一定不同D 、模为0是一个向量方向不确定的充要条件8、如图，在菱形ABCD 中，下列式子成立的是（）A 、AB CD =u u u r u u u r B 、AB BC =u u u r u u u r C 、AD CB =u u u r u u u rD 、AD BC =u u u r u u u r9、设s ，t 是非零实数，,i j r r 是单位向量，当两向量,s i t j t i s j +-r r r r的模相等时，,i j r r 的夹角是（）A 、6π B 、4π C 、3πD 、2π10、点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量(4,3)v =-r （即点P 的运动方向与v r 相同，且每秒移动的距离为||v r各单位）。

人教版高一数学必修四测试题(含详细答案)

高一数学试题（必修4）（特别适合按14523顺序的省份）必修4 第一章三角函数(1)一、选择题：1.已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（）A．B=A∩C B．B∪C=C C．AC D．A=B=C2 等于（）A B C D3.已知的值为（）A．－2 B．2 C．D．－4．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是（）A.y=sin2xB.y=cos C .sin2x+cos2x D. y=5 若角的终边上有一点，则的值是（）A B C D6．要得到函数y=cos()的图象，只需将y=sin的图象（）A．向左平移个单位 B.同右平移个单位C．向左平移个单位 D.向右平移个单位7．若函数y=f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再将整个图象沿x轴向左平移个单位，沿y轴向下平移1个单位，得到函数y=sinx的图象则y=f(x)是（）A．y= B.y=C.y=D.8. 函数y=sin(2x+)的图像的一条对轴方程是（）A.x=-B. x=- C .x=D.x=9．若，则下列结论中一定成立的是（）A. B． C． D．10.函数的图象（）A．关于原点对称 B．关于点（－，0）对称 C．关于y轴对称 D．关于直线x=对称11.函数是（）A．上是增函数 B．上是减函数C．上是减函数D．上是减函数12.函数的定义域是（）A．B．C． D．二、填空题：13. 函数的最小值是 .14 与终边相同的最小正角是_______________15. 已知则 .16 若集合，，则=_______________________________________三、解答题：17．已知，且．a)求sinx、cosx、tanx的值．b)求sin3x – cos3x的值．18 已知，（1）求的值（2）求的值19. 已知α是第三角限的角，化简20．已知曲线上最高点为（2，），由此最高点到相邻的最低点间曲线与x轴交于一点（6，0），求函数解析式，并求函数取最小值x的值及单调区间必修4 第一章三角函数(2)一、选择题：1．已知，则化简的结果为（）A． B. C． D. 以上都不对2．若角的终边过点(-3，-2)，则( )A．sin tan＞0 B．cos tan＞0C．sin cos＞0 D．sin cot＞03 已知，，那么的值是（）A B C D4．函数的图象的一条对称轴方程是（）A． B. C. D.5．已知，,则tan2x= ( ) A． B. C. D.6．已知，则的值为（）A． B. 1 C. D. 2 7．函数的最小正周期为（）A．1 B. C. D.8．函数的单调递增区间是（）A． B.C． D.9．函数，的最大值为（）A．1 B. 2 C. D.10．要得到的图象只需将y=3sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位11．已知sin(+α)=，则sin(-α)值为（）A. B. — C. D. —12．若，则（）A. B. C. D.二、填空题13．函数的定义域是14．的振幅为初相为15．求值：=_______________16．把函数先向右平移个单位，然后向下平移2个单位后所得的函数解析式为________________________________三、解答题17 已知是关于的方程的两个实根，且，求的值18．已知函数，求：（1）函数y的最大值，最小值及最小正周期；（2）函数y的单调递增区间19．已知是方程的两根，且，求的值20．如下图为函数图像的一部分（1）求此函数的周期及最大值和最小值（2）求与这个函数图像关于直线对称的函数解析式必修4 第三章三角恒等变换(1)一、选择题:1.的值为 ( ）A 0BC D2.，，，是第三象限角，则（）A B C D3.设则的值是( )A B C D4. 已知，则的值为（）A B C D5.都是锐角，且，，则的值是（）A B C D6. 且则cos2x的值是（）A B C D7.在中，的取值域范围是 ( )A B C D8. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于,则这个三角形底角的正弦值为（）A B C D9.要得到函数的图像，只需将的图像（）A、向右平移个单位B、向右平移个单位C、向左平移个单位D、向左平移个单位10. 函数的图像的一条对称轴方程是（）A、 B、 C、 D、11.若是一个三角形的最小内角，则函数的值域是( )A B C D12.在中，，则等于 ( )A B C D二、填空题:13.若是方程的两根，且则等于14. .在中，已知tanA ,tanB是方程的两个实根，则15. 已知，则的值为16. 关于函数，下列命题：①若存在，有时，成立；②在区间上是单调递增；③函数的图像关于点成中心对称图像；④将函数的图像向左平移个单位后将与的图像重合．其中正确的命题序号（注：把你认为正确的序号都填上）三、解答题：17. 化简18. 求的值．19. 已知α为第二象限角，且sinα=求的值.20.已知函数，求（1）函数的最小值及此时的的集合。

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必修4三角函数(1)一、选择题:1. 已知A=｛第一象限角｝, B=｛锐角｝, C=｛小于90。

的处｝,那么A 、B 、V3 2「, sin a-2 cos a3. ------------------------- 己知 ----------------3sina + 5cosa =-5,那么tana 的值为若角600°的终边上有一点(-4卫)，则Q 的值是,沿y 轴向下平移1个单位，得到函数y=2sinx 的图象( )1 • s 71、,B. ------------------- y= —sin(2x ) + 1 D. — sin(2x - —) +12.A. B=AACB. BUC=CC. ASCD. A=B=Csin 2120° 等于4. A. ~2B. 2C.23 16D.23 16下列函数中，最小正周期为兀的偶函数是 A.y=sin2xXB.y=cos—C .sin2x+cos2x1 +tan6. 7. 4V3B. -473D.Y 7T Y耍得到函数尸cos(---)W 图彖，只需将y=sin 一的图彖(TTTTA •向左平移一个单位B.同右平移一个单位22TT 7TC.向左平移-个单位 D •向右平移-个单位 4 4若函数y=f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标仲长到原来的2倍，再将C 关系是 V3 2D,7T整个图象沿X 轴向左平移尹单位 •则 y=f(x)是1 •… 兀、,A • y= — sin( 2x 4—) +1 C.y=2 sin(2x + —)4-12 42 4&函数y=sin(2x+—)的图像的一条对轴方程是12•函数y = A /2COSX + 1的定义域是二、填空题：13. 函数 y = cos(x-—)(XG [―,—-T ])的最小值是 ________________________ .8 6 3 14. 与-2002°终边相同的最小正角是 _______________ .I JI15. 已知sin6TcosQ 二一，且一<a< —,则cosa-sina =8 4 2----------------------16. 若集合 A = ^x\k7T + ^<x<k7T-i-7r,keZ^f B = {x\-2< x<2],则 AC\B=7tA.x=- —2 B. x=- —4 c -x=i9. 若sin 0 - cos&=丄，则下列结论中一定成立的是2A.sin& =並B. sin& = 一返2 2TT10. 函数y = 2sin(2x + -)的图象 C. sin& + cos& 二 1D. sin&-cos& = 0A.关于原点对称B.关于点(一兰 0)对称C.关于y 轴对称D.关于直线％=仝对称611. 函 ^y = sin(x + —),XG R 是jr TTA ・[-py]上是增函数 B. [0,龙]上是减函数 C. [―不0]上是减函数D. [-盜龙]上是减函数A.C.伙wZ)B.2k 兀 - ,2kjr —伙 w Z)6 6 (ke Z) D.2R 兀 -- ,2k 兀 ---- {k G Z)3 3一、选择题:必修4第三章三角恒等变换(1)1. cos 24° cos 36 一cos 66 cos 54°的值为sin0 = -12130是第三彖限角，贝ijcos(0 —a)=(33 6356 16A—— B — C — D -----65 65 65 651 + tan x3.设丄W =2,贝ij sin 2兀的值是1 - tan x3 3 3A - B—— c - D -15 4 4g4.已^ltan(a + 0) = 3,tan(a-/?) = 5,则tan(2a)的值为4 A -------74 B - 754,0都是锐角，R sin a -5 二—, 1333 16A — B65 653龙716. XG ( ------- ,—)11 cos -x4 4 <4 /7 24A -------B -25 25 7.在V^sinx + cos兀=2。

高一数学必修四第一章测试题及答案

高一数学必修四第一章测试题及答案第一单元命题人：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分（时间：90分钟.总分150分）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本答题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

4255°化为弧度是（） A. B. C． D． 33362.为得到函数ysin(2x)的图象，只需将函数ysin(2x)的图像（） 36A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 44C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 223.函数ysin(2x)图像的对称轴方程可能是（） 3A．x6 B．x12 C．x6 D．x12x4．若实数x满足㏒2=2+sin,则 x1x10( ) A. 2x-9 B. 9-2x D. 9y5.点A(x,y)是300°角终边上异于原点的一点，则值为( ) xB. - 3C.D. - 336. 函数ysin(2x)的单调递增区间是（） 35A．k,k  kZ 12125B．2k&#614 85;,2k 1212kZ5C．k,k  kZ 667．sin(－5D．2k,2k&#6148 3; kZ 6631011π)的值等于（） A． B．－ C． D．－223228．在△ABC中，若sin(ABC)sin(ABC)，则△ABC 必是（）A．等腰三角形 C．等腰或直角三角形 B．直角三角形 D．等腰直角三角9.函数ysinxsinx的值域是（）A．0 B．1,1 C．0,1D．2,010.函数ysinxsinx的值域是（）A．1,1 B．0,2 C．2,2 D．2,011.函数ysinxtanx的奇偶性是（）A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数12.比较大小，正确的是（）A．sin(5)sin3sin5第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每小题6分，共30分）13.终边在坐标轴上的角的集合为_________.14.时针走过1小时50分钟，则分钟转过的角度是______.15. 已知扇形的周长等于它所在圆的周长的一半，则这个扇形的圆心角是C．sin3sin(5)sin5 B．sin(5)sin3sin5 D． sin3sin(5)sin5 ________________.16.已知角的终边经过点P(-5,12),则sin+2cos的值为______.17.一个扇形的周长是6厘米，该扇形的中心角是1弧度，该扇形的面积是________________.三、解答题：本大题共4小题，共60分。

高一数学高中数学必修4：第三章++三角恒等变换+单元同步测试(含解析)

第三章测试一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．sin105°cos105°的值为( )A.14 B ．－14 C.34 D ．－34解析原式＝12sin210°＝－12sin30°＝－14.答案 B2．若sin2α＝14，π4<α<π2，则cos α－sin α的值是( ) A.32 B ．－32 C.34 D ．－34解析 (cos α－sin α)2＝1－sin2α＝1－14＝34. 又π4<α<π2，∴cos α<sin α，cos α－sin α＝－34＝－32.答案 B3已知180°<α<270°，且sin(270°＋α)＝45，则tan α2＝( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3答案 D4．在△ABC 中，∠A ＝15°，则 3sin A －cos(B ＋C )的值为() A. 2 B.22 C.32 D. 2解析在△ABC 中，∠A ＋∠B ＋∠C ＝π，3sin A －cos(B ＋C )＝3sin A ＋cos A ＝2(32sin A ＋12cos A )＝2cos(60°－A )＝2cos45°＝ 2.答案 A5．已知tan θ＝13，则cos 2θ＋12sin2θ等于( )A ．－65B ．－45 C.45 D.65 解析原式＝cos 2θ＋sin θcos θcos 2θ＋sin 2θ＝1＋tan θ1＋tan 2θ＝65. 答案 D6．在△ABC 中，已知sin A cos A ＝sin B cos B ，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析 ∵sin2A ＝sin2B ，∴∠A ＝∠B ，或∠A ＋∠B ＝π2.答案 D7．设a ＝22(sin17°＋cos17°)，b ＝2cos 213°－1，c ＝32，则( )A ．c <a <bB ．b <c <aC ．a <b <cD ．b <a <c解析 a ＝22sin17°＋22cos17°＝cos(45°－17°)＝cos28°，b ＝2cos 213°－1＝cos26°，c ＝32＝cos30°，∵y ＝cos x 在(0,90°)内是减函数，∴cos26°>cos28°>cos30°，即b >a >c .答案 A8．三角形ABC 中，若∠C >90°，则tan A ·tan B 与1的大小关系为( )A ．tan A ·tanB >1 B. tan A ·tan B <1C ．tan A ·tan B ＝1D ．不能确定解析在三角形ABC 中，∵∠C >90°，∴∠A ，∠B 分别都为锐角．则有tan A >0，tan B >0，tan C <0.又∵∠C ＝π－(∠A ＋∠B )，∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B 1－tan A ·tan B<0，易知1－tan A ·tan B >0，即tan A ·tan B <1.答案 B9．函数f (x )＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4是( ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数解析 f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 ＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin2x . 答案 A10．y ＝cos x (cos x ＋sin x )的值域是( )A ．[－2,2] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋22，2 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，1＋22 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32 解析 y ＝cos 2x ＋cos x sin x ＝1＋cos2x 2＋12sin2x ＝12＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin2x ＋22cos2x ＝12＋22sin(2x ＋π4)．∵x ∈R ， ∴当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝1时，y 有最大值1＋22；当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝－1时，y 有最小值1－22.∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，1＋22.答案 C 11.2cos10°－sin20°sin70°的值是( ) A.12 B.32 C. 3D. 2 解析原式＝2cos (30°－20°)－sin20°sin70°＝2(cos30°·cos20°＋sin30°·sin20°)－sin20°sin70°＝3cos20°cos20°＝ 3. 答案 C12．若α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，则cos α的值为( ) A.5665 B.1665 C.5665或1665 D ．以上都不对解析 ∵0<α＋β<π，cos(α＋β)＝1213>0，∴0<α＋β<π2，sin(α＋β)＝513.∵0<2α＋β<π，cos(2α＋β)＝35>0，∴0<2α＋β<π2，sin(2α＋β)＝45.∴cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)cos(α＋β)＋sin(2α＋β)sin(α＋β)＝35×1213＋45×513＝5665.答案 A二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上)13．已知α，β为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________.解析 ∵cos(α＋β)＝sin(α－β)，∴cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β.∴cos α(sin β＋cos β)＝sin α(sin β＋cos β)．∵β为锐角，∴sin β＋cos β≠0，∴cos α＝sin α，∴tan α＝1.答案 114．已知cos2α＝13，则sin 4α＋cos 4α＝________.解析 ∵cos2α＝13，∴sin 22α＝89.∴sin 4α＋cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)2－2sin 2αcos 2α＝1－12sin 22α＝1－12×89＝59.答案 5915.sin (α＋30°)＋cos (α＋60°)2cos α＝________. 解析 ∵sin(α＋30°)＋cos(α＋60°)＝sin αcos30°＋cos αsin30°＋cos αcos60°－sin αsin60°＝cos α，∴原式＝cos α2cos α＝12.答案 1216．关于函数f (x )＝cos(2x －π3)＋cos(2x ＋π6)，则下列命题：①y ＝f (x )的最大值为2；②y ＝f (x )最小正周期是π；③y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24，13π24上是减函数；④将函数y ＝2cos2x 的图象向右平移π24个单位后，将与已知函数的图象重合．其中正确命题的序号是________．解析 f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3 ＝2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3 ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋π4 ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12， ∴y ＝f (x )的最大值为2，最小正周期为π，故①，②正确．又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24，13π24时，2x －π12∈[0，π]，∴y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24，13π24上是减函数，故③正确．由④得y ＝2cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π24＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12，故④正确．答案 ①②③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α－23，－1，n ＝(sin x,1)，m 与n 为共线向量，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0. (1)求sin α＋cos α的值；(2)求sin2αsin α－cos α的值．解 (1)∵m 与n 为共线向量，∴⎝⎛⎭⎪⎫cos α－23×1－(－1)×sin α＝0，即sin α＋cos α＝23.(2)∵1＋sin2α＝(sin α＋cos α)2＝29，∴sin2α＝－79. ∴(sin α－cos α)2＝1－sin2α＝169.又∵α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，∴sin α－cos α<0.∴sin α－cos α＝－43.∴sin2αsin α－cos α＝712. 18．(12分)求证：2－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 4α－sin 4α＝1＋tan α1－tan α. 证明左边＝2－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝2－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α－sin 2α＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2cos 2α－sin 2α＝1＋sin2αcos 2α－sin 2α＝(sin α＋cos α)2cos 2α－sin 2α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α.∴原等式成立． 19．(12分)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝210，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4. (1)求sin x 的值；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的值．解 (1)解法1：∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，∴x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，于是sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝ 1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝7210.sin x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4sin π4＝7210×22＋210×22 ＝45.解法2：由题设得22cos x ＋22sin x ＝210，即cos x ＋sin x ＝15.又sin 2x ＋cos 2x ＝1，从而25sin 2x －5sin x －12＝0，解得sin x ＝45，或sin x ＝－35，因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，所以sin x ＝45. (2)∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，故 cos x ＝－1－sin 2x ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－35. sin2x ＝2sin x cos x ＝－2425. cos2x ＝2cos 2x －1＝－725.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 ＝sin2x cos π3＋cos2x sin π3＝－24＋7350.20．(12分)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2，－sin x 2，c ＝(3，－1)，其中x ∈R .(1)当a ⊥b 时，求x 值的集合；(2)求|a －c |的最大值．解 (1)由a ⊥b 得a ·b ＝0，即cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x 2＝0，则cos2x ＝0，得x ＝k π2＋π4(k ∈Z )，∴x 值的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π2＋π4，k ∈Z .(2)|a －c |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2－32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3x 2＋12 ＝cos 23x 2－23cos 3x 2＋3＋sin 23x 2＋2sin 3x 2＋1 ＝5＋2sin 3x 2－23cos 3x 2＝5＋4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－π3，则|a －c |2的最大值为9.∴|a －c |的最大值为3.21．(12分)某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 cm ，求割出的长方形桌面的最大面积(如图)．解连接OC ，设∠COB ＝θ，则0°<θ<45°，OC ＝1.∵AB ＝OB －OA ＝cos θ－AD ＝cos θ－sin θ，∴S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝(cos θ－sin θ)·sin θ＝－sin 2θ＋sin θcos θ＝－12(1－cos2θ)＋12sin2θ＝12(sin2θ＋cos2θ)－12＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π4－12. 当2θ－π4＝0，即θ＝π8时，S max ＝2－12(m 2)．∴割出的长方形桌面的最大面积为2－12 m 2.22．(12分)已知函数f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值．解 (1)因为f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx .所以f (x )＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos2ωx 2＝12sin2ωx ＋12cos2ωx ＋12 ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋12.由于ω>0，依题意得2π2ω＝π.所以ω＝1. (2)由(1)知f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12.所以g (x )＝f (2x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋12. 当0≤x ≤π16，π4≤4x ＋π4≤π2.所以22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤1. 因此1≤g (x )≤1＋22.故g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值为1.。

人教版高一数学必修四测试题(含详细答案)

高一数学试题（必修4)（特殊适合按14523依次的省份）必修4第一章三角函数(1)一、选择题：l已知A={第一象限角}'B={锐角}'C={小千90°的角｝，那么A、B、C关系是（）A. B=Anc2.✓sin2120° 等千忒i A土——- B. B U C=CC. A宝D. A=B=C（）五2B五2c1_2n i sin a —2cosa3已知=-5, 那么tana的值为3 sin a + 5 c os aA.—2B. 2C .23164. 下列函数中，最小正周期为兀的偶函数是A.y =sin 2xXB y =c s—2A , 4✓3B -4✓3C .s in 2x+c s 2x 5, 若角600°的终边上有一点(-4,a),则a的值是（）23 D.16（）1-tan 2 xD. y =1 + tan2 x（）c .土4✓3D✓3X冗X6. 要得到函数y=co s (—-—)的图象，只需将y=sin —的图象( )2 4 2冗冗A. 向左平移—个单位B 同右平移—个单位22冗冗C. 向左平移—个单位D. 向右平移—个单位4 47. 若函数y=f (x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再将冗l整个图象沿x轴向左平移—个单位，沿y轴向下平移l个单位，得到函数y =-sin x 的图象22测y=f (x)是（）l 兀A. y=—sin(2x+—) +12 2 l 兀C.y =—sin(2x+—) +1 2 4l 兀B.y =—sin(2x -—) +12 2 l 冗D. —sin(2x -—) +12 45兀8. 函数y=sin (2x+—-)的图像的一条对方程是2冗A.x=-— 冗B. x =-— 冗＿8＿＿ xc 19. 若sin0·cos0=—，则下列结论中肯定成立的是A .si n 0 = ✓22B. 五sin 0 = -—C. si n 0+cos0 = 1（三4(＿ x D））冗10 函数y = 2si n (2x+—)的图象3冗A. 关千原点对称B.关千(——,0)对称c.6 冗11 函数y =s n (x+—)X E R 是2 兀冗A . [-—,—]上是增函数2 2C. [-冗OJ 上是减函数12函数y =✓2c o sx l的定义域是A . [2k三三}k EZ)C. [2k冗十f,2k冗＋气}k EZ)D. si n 0—cos0=0（）冗关千y 对称D .关千直线x =—对称6（）B. [O五上是减函数D. [-冗冗上是减函数（）B. [2k 二，2k 兀三}k E Z ) 6 6D. [2k 兀一气，2k兀＋气}k E Z ) 二、填空题：冗冗213. 函数y = cos (x -—) (x E [—,—兀）的最小值是8 6 314。

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