数字信号处理6.4双线性变换法

10 1 log10 ( 0.1s ) s lg k sp 10 1 =2 c = N = = 0.1 s 1/ 2 N =0.5851 (10 1) lg sp 2 log10 (s / p ) 1 0.3423 H a ( s) = = 2 s 2 s ( ) 2 1 s 0.8275s 0.3423 c c
(1) 将数字带阻滤波器指标转换成模拟带阻滤波器指标
2 取T=2，利用 = tan( ) 得模拟带阻指标为 T 2
p1=6rad, p2=13rad, s1=9rad, s2=11rad,p1dB, s 10dB
例：试设计满足下列指标的BW型数字带阻滤波器
p1=2.8113rad/s, p2=2.9880rad/s, p1dB , s1=2.9203rad/s, s2=2.9603rad/s, s 10dB
例：利用AF-BW filter及脉冲响应不变法和双线性变换法设
计一DLF，满足p=0.2p, s=0.6p, p2dB, s15dB
解：
(1) 将数字低通指标转换成模拟低通指标= / T.
p=0.2p/T, s=0.6p/T, p2dB, s15dB
(2) 设计模拟低通滤波器 （BW型）
解:
模拟带阻指标
p1=6rad, p2=13rad, s1=9rad, s2=11rad,p1dB, s 10dB
(2) 将模拟带阻滤波器指标转换成模拟低通滤波器指标
B = s2 s1 = 2
0 = s1 s 2 = 9.9499
p = max{
B p1
方法二
=/T
p,s
数字频 率变换
p , s
2 = tan( ) T 2
, p s
设计原型 低通滤波器
Ga ( s )
1 1 s si 1 e siT z 1
H(z)
Z域 变换
H a ( z)
脉冲响应不变法 双线性变换法 2 1 z 1 s= T 1 z 1
2 = tan( ) T 2 , p,s p s
设计模拟 滤波器
双线性变换
H(s)
H(z)
利用MATLAB [numd,dend] = bilinear(num,den,Fs)
H ( z) = H (s)
s=
2 1 z 1 T 1 z 1
num,den：AF分子、分母多项式的系数向量
双线性变换法
回顾内容
脉冲响应不变法的优缺点 优点： 1、数字滤波器和模拟滤波器的频率关系为线性 =T 2、数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器 的单位脉冲响应，时域特性逼近好。 缺点：存在频谱混叠，故不能用脉冲响应不变法设
计高通、带阻等滤波器。
双线性变换法
双线性变换法的基本原理
解: 原型模拟低通指标 p = 0.3714, s = 1 p1dB, s 10dB
双线性变换法
双线性变换 p= 0.3945 s= 15.0000
0ห้องสมุดไป่ตู้
0.1
0.2
0.3
0.4 0.5 0.6 Normalized frequency
0.7
0.8
0.9
1
非低通IIR数字滤波器的设计
方法一
=/T
模拟频 率变换 设计原型 低通滤波器
p,s
2 = tan( ) T 2
例：利用AF-BW filter及双线性变换法设计一DF，满足
p=0.2p, s=0.6p, p2dB, s15dB
将双线性变换法与脉冲响应不变法所设计DF的结果比较。
0 -5 -10 -15 -20
脉冲响应不变法
脉冲响应不变
p= 1.1187
s= 12.3628
Gain,dB
-25 -30 -35 -40 -45 -50
和 的关系
2 = tan( ) T 2
T = 2 arctan( ) 2
2 1 z s= 1 T 1 z
1
2 s z=T 2 s T
双线性变换法
双线性变换法的基本原理
稳定性分析
2 1 z s= T 1 z 1
令s=+j，则有
1
2 T s z= 2 T s
例：利用AF-BW filter及双线性变换法设计一DF，满足
p=0.2p, s=0.6p, p2dB, s15dB
解：
(3) 用双线性变换法将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器
H ( z ) = H ( s)
2 1 z 1 s= T 1 z 1
0.1578 0.3155z 1 0.1578z 2 = 1 0.6062z 1 0.2373z 2
10 1 log10 ( 0.1 p ) s 10 1 =2 c = =0.8013 /T 0.1 s 1/ 2 N N (10 1) 2 log10 (s / p ) 0.6421 1 = H a ( s) = ( sT ) 2 1.1356 sT ) 0.6421 ( s 2 s ( ) 2 1 c c 双线性变换法
p=0.2p, s=0.6p, p2dB, s15dB
解：
p 2 p = tan( ) = 0.3249 T 2 p2dB, s15dB
0.1 p
(1) 将数字低通指标转换成模拟低通指标，取T=2
s 2 s = tan( ) = 1.3764 T 2
(2) 设计模拟低通滤波器 （BW型）
2 p1 2 0
,
B p2
2 p2 2 0
} = 0.3714
s = 1
Ap1dB, As 10dB
例：试设计满足下列指标的BW型数字带阻滤波器
p1=2.8113rad/s, p2=2.9880rad/s, p1dB , s1=2.9203rad/s, s2=2.9603rad/s, s 10dB
结论：参数T的取值和最终的设计结果无关。 为简单起见一般取T=2
例：用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计一
个3dB截频为p的数字滤波器，并与脉冲响应不变法 设计的DF比较。
解：
双线性变换法设计的DF的系统函数为
H双 ( z) =
tan(p / 2)(1 z 1 ) 1 tan(p / 2) (tan(p / 2) 1) z 1
N=1, c = p
(2) 设计3dB截频为p的一阶BW型模拟低通滤波器，即
故
1 1 = = H ( s) = s / c 1 s / p 1
1 sT 1 2 tan( p / 2)
例：用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计一
个3dB截频为p的数字滤波器，并与脉冲响应不变法 设计的DF比较。
Amplitude
脉冲响应不变法存在频 谱混叠，所设计的DF不满 足给定指标。而双线性变 换法不存在频谱混叠，所 设计的DF满足给定指标。
双线性变换法
p =0.6p
1
0 0 0.6 Normalized frequency
例：用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计一
个3dB截频为p的数字滤波器，并与脉冲响应不变法 设计的DF比较。 H双(z)和H脉(z)幅度响应比较的MATLAB实现 Wp=0.6*pi; b=[1-exp(-Wp)];b1=tan(Wp/2)*[1 1]; a=[1 -exp(-Wp)];a1=[1+tan(Wp/2) tan(Wp/2)-1]; w=linspace(0,pi,512); h=freqz(b,a,w);h1=freqz(b1,a1,w); plot(w/pi,(abs(h)),w/pi,(abs(h1)) ); xlabel('Normalized frequency'); ylabel('Amplitude'); set(gca,'ytick',[0 0.7 1]); set(gca,'xtick',[0 Wp/pi 1]); grid;
IIR数字滤波器设计的基本思想
模拟低通滤波器设计
模拟域频率变换
脉冲响应不变法
双线性变换法
利用MATLAB设计IIR DF
双线性变换法
问题的提出
双线性变换法的基本原理
双线性变换法设计DF的步骤
双线性变换法
问题的提出
频率 变换 设计模拟 滤波器
p,s
p,s
H(s)
AF到DF 的转换
H(z)
如何将模拟滤波器转变为数字滤波器? 1. 脉冲响应不变法 2. 双线性变换法
解：设双线性变换中的参数为T
(3) 用双线性变换法将模拟滤波器转换为数字滤波器
1 H ( s) = sT 1 2 tan( p / 2)
H ( z) =
tan(p / 2)(1 z 1 )
2 1 z 1 s= T 1 z 1
1 tan(p / 2) (tan(p / 2) 1) z 1
p,s
p , s
Ga ( p)
复 频 率 变 换
注意： 脉冲响应不 变法不能设计高 H(z) 通和带阻数字滤 波器
1 1 s si 1 e siT z 1
脉冲响应不变法 双线性变换法 2 1 z 1 s= T 1 z 1
双线性变换法
H(s)
非低通IIR数字滤波器的设计
极点为s1=(0.5678 + 0.5654j)/T, s2=(0.5678 0.5654j)/T 利用
可得DF的系统函数为
0.3448 z 1T H ( z) = 1双线性变换法z 1 0.3212 z 2 0.9571
例：利用AF-BW filter及双线性变换法设计一DF，满足
Fs：抽样频率
numd,dend：DF分子、分母多项式的系数向量
双线性变换法
例：用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计一
个3dB截频为p的数字滤波器，并与脉冲响应不变法 设计的DF比较。
解：设双线性变换中的参数为T
(1) 将DF的频率指标转换为AF的频率指标
p 2 p = tan( ) T 2
双线性变换法
例：试设计满足下列指标的BW型数字带阻滤波器
p1=2.8113rad/s, p2=2.9880rad/s, p1dB , s1=2.9203rad/s, s2=2.9603rad/s, s 10dB
解:
脉冲响应不变法不适合设计数字带阻滤波器， 因此采用双线性变换法设计。
0.1 s
例：利用AF-BW filter及脉冲响应不变法设计一DLF，满足
p=0.2p, s=0.6p, p2dB, s15dB
解：(3) 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器
0.5678j 0.5678j H a ( s) = s s1 s s2
1 T s si 1 e siT z 1
1. 将数字滤波器的频率指标{k}转换为 模拟滤波器的频率指标{k}
k 2 k = tan( ) T 2
2. 由模拟滤波器的指标设计模拟滤波器的H(s)。 3. 利用双线性变换法，将H(s)转换H(z)。
H ( z) = H (s)
s=
2 1 z 1 T 1 z 1
双线性变换法
双线性变换法设计DF的步骤
脉冲响应不变法设计的DF的系统函数为
H脉 ( z) =
1 e 1 e
p
p
z 1
取p =0.6p，令z=ej ，可分别获得两者的幅度响应
例：用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计一
个3dB截频为p的数字滤波器，并与脉冲响应不变法 设计的DF比较。
1
脉冲响应不变法
0.7
3dB
|z|=1
|z|>1
S域虚轴映射到Z域单位圆上
S域右半平面映射到Z域单位圆外
因果、稳定的AF系统映射为因果、稳定的DF系统
双线性变换法
双线性变换法的基本原理
双线性变换法的优缺点 优点：无混叠 缺点：频率转换非线性（幅度响应不是常数时 会产生幅度失真）
双线性变换法
双线性变换法设计DF的步骤
(2 / T ) 2 2 z = (2 / T ) 2 2
双线性变换法
双线性变换法的基本原理
稳定性分析
(2 / T ) 2 2 z = 2 2 (2 / T )
S域左半平面映射到Z域单位圆内
1) <0,
|z|<1
2) =0,
3) >0,